Teorija grafov in topologija poliedrov

Teorija grafov in topologija poliedrov Matjaž Željko Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Seminar Razvedrilna matematika Ljubljana, 18. februar 2011 1 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Osnovne definicije Teorija grafov Graf G je par (V,E), sestavljen iz množice točk V in množice povezav E. Povezavo e E lahko zapišemo kot e=uv, kjer sta u in v točki iz V. Če želimo poudariti, da se V in E nanašata na graf G, zapišemo V(G) in E(G). Če ločimo med zapisoma uv in vu, je ta povezava usmerjena, sicer je neusmerjena. Če imata dve povezavi enak zapis, sta povezavi vzporedni. Povezave, ki jih lahko zapišemo kot e = uu, imenujemo zanke. Graf, v katerem ni usmerjenih povezav, je neusmerjen graf, sicer pa je graf usmerjen (čeprav niso vse povezave usmerjene). Graf, v katerem ni vzporednih povezav in zank, je enostaven graf. 2 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Teorija grafov e 3 e 1 u e=uv v e 2 w Na sliki je narisan usmerjen graf G. Povezava e 1 je zanka, povezavi e 2 in e 3 sta vzporedni. (Povsem precizno bi rekli, da sta vzporedni, vendar nista usmerjeno vzporedni.) 3 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Teorija grafov Običajno si graf, če ne povemo drugače, predstavljamo kot enostaven graf. Kadar hočemo poudariti, da so dovoljene tudi vzporedne povezave in zanke, pravimo takemu grafu multigraf. Točki u,v V(G) sta sosednji, u G v, če obstaja povezava uv E(G). V usmerjenih grafih sosednost ni nujno simetrična relacija. Število sosedov točke u (v enostavnem grafu) označimo z deg(u) in ga imenujemo stopnja točke u. Graf, v katerem imajo vse točke enako stopnjo, je regularen graf. Največjo stopnjo kakšne točke v grafu označimo z (G). Torej (G)=max{deg(u); u V(G)}. 4 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Komplement grafa Teorija grafov Naj bo G enostaven graf. Komplement grafa G, označimo ga z G, ima isto množico točk kot graf G, sosednost pa je določena s pravilom: u G v u G v. 5 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Izomorfizem Teorija grafov Naj bosta G 1 in G 2 enostavna grafa. Bijektivna preslikava f : V(G 1 ) V(G 2 ) je izomorfizem grafov, če je uv E(G 1 ) natanko tedaj, ko f(u)f(v) E(G 2 ). 6 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Podgraf Teorija grafov Graf H je podgraf grafa G, H G, če je H izomorfen kakemu grafu, ki ga dobimo tako, da iz grafa G izpustimo nekaj točk (skupaj s povezavami do teh točk) in/ali nekaj povezav. Zapis H G beremo tudi kot G vsebuje H. Za vsak graf G velja G G. Graf H je subdivizija grafa G, če lahko graf H dobimo tako, da grafu G na nekatere povezave dodamo nove točke. Graf G je vedno subdivizija grafa G. 7 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Teorija grafov Nekatere družine grafov Polni graf na n točkah K n je graf, v katerem je vsaka točka povezana z vsako drugo točko. Polni dvodelni graf na m + n točkah K m,n je graf, kjer so točke razdeljene v dve skupini. V prvi je m, v drugi n točk. Vsaka točka iz prve skupine je povezana z vsemi točkami druge skupine. K 5 K 3,3 8 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Vpeto drevo Teorija grafov Podgraf G =(V,E ) grafa G=(V,E) se imenuje vpeto drevo, če je G drevo. 9 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Teorija grafov Pot na n točkah P n je graf z množico točk V ={1,2,...,n}, kjer sta točki u,v V povezani natanko tedaj, ko je u v =1. Cikel na n točkah C n je graf z množico točk V ={1,2,...,n}, kjer sta točki u,v V povezani natanko tedaj, ko u v {1,n 1}. Drevo je povezan graf na n točkah z n 1 povezavami. Pot v grafu G je podgraf, izomorfen poti P k. Cikel v grafu G je podgraf, izomorfen ciklu C k. 10 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Povezanost grafov Teorija grafov Graf G je povezan, če za vsaki točki u,v V(G) obstaja pot v grafu G z začetkom v u in koncem v v. Naj bo G enostaven graf. Grafa G in G ne moreta biti hkrati nepovezana, lahko pa sta oba povezana. K 5 G G 11 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Barvanja grafov Teorija grafov Preslikava c: V(G) N je barvanje točk grafa G, če za vsako povezavo uv E(G) velja c(u) c(v). Torej sta poljubni sosednji točki različno obarvani. Najmanjše število barv, s katerimi lahko pobarvamo graf G, je kromatično število grafa G. Označimo ga s χ(g). Graf, za katerega je χ(g) 2, je dvodelen graf. Graf je dvodelen natanko tedaj, ko ne vsebuje cikla lihe dolžine. Za kromatično število grafa velja očitna ocena 1 χ(g) V(G) (različne točke so različno obarvane). Velja tudi χ(g) (G)+1. 12 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Problem štirih barv Teorija grafov Ali je vsak zemljevid moč pobarvati s štirimi barvami tako, da nobeni dve pokrajini s skupno mejo nista enake barve? Odgovor je pritrdilen, vsi znani dokazi pa so narejeni s pomočjo računalnikov. 13 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Teorija grafov Namesto točk lahko barvamo tudi povezave. Pravilno barvanje je tako, da nobeni dve povezavi iste barve nimata skupnega krajišča. Najmanjše število barv, s katerimi lahko pravilno pobarvamo povezave grafa, imenujemo kromatični indeks grafa in označimo s χ (G). Za barvanje povezav velja: Vizingov izrek Za kromatični indeks enostavnega grafa G velja (G) χ (G) (G)+1. χ = +1 χ = 14 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Poti in cikli Teorija grafov Sprehod po grafu G, ki gre skozi vsako povezavo grafa G natanko enkrat, je Eulerjev sprehod. Obhod po grafu G, ki gre skozi vsako povezavo grafa G natanko enkrat, je Eulerjev obhod. 3 2 4 5 1 4 6 3 1 5 2 Graf ima Eulerjev sprehod natanko tedaj, ko je povezan in ima kvečjemu dve točki lihe stopnje. Graf ima Eulerjev obhod natanko tedaj, ko je povezan in so vse točke sode stopnje. 15 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Teorija grafov Königsberški mostovi Zgled V 18. stoletju je bilo v srednjeveškem mestu Königsberg v Vzhodni Prusiji sedem mostov, ki so povezovali štiri dele mesta. Ali se lahko meščan sprehodi po mestu tako, da prečka vsakega od mostov natanko enkrat in se vrne v začetno točko? G Graf G nima niti Eulerjevega sprehoda niti Eulerjevega obhoda. 16 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Teorija grafov Pot v grafu G, ki gre skozi vsako točko grafa G natanko enkrat, je Hamiltonova pot. Cikel v grafu G, ki gre skozi vsako točko grafa G natanko enkrat, je Hamiltonov cikel. 17 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Teorija grafov Iskanje Hamiltonovega cikla je zahteven problem, ki ga v splošnem rešujemo s sistematičnim poskušanjem. Če iz grafa odstranimo k točk in graf razpade na vsaj k+ 1 delov, potem nima Hamiltonovega cikla (lahko pa ima Hamiltonovo pot). Če razpade na vsaj k + 2 delov, potem graf nima Hamiltonove poti (niti Hamiltonovega cikla). Diracov izrek Če ima graf G vsaj 3 točke in velja, da je stopnja točke z najmanjšo stopnjo večja ali enaka polovici števila točk v grafu, potem ima G Hamiltonov cikel. Orejev izrek Naj bo G enostaven graf z vsaj 3 točkami. Če je za poljubni nesosednji točki u in v vsota stopenj u in v večja ali enaka številu točk v grafu, potem G vsebuje Hamiltonov cikel. 18 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Teorija grafov Zgled Ali obstaja zaporedje skakačevih skokov, s katerimi skakač obišče vsa polja šahovnice velikosti 3 5? Vse možne skoke lahko predstavimo z grafom. 19 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Teorija grafov Zgled Ali obstaja zaporedje skakačevih skokov, s katerimi skakač obišče vsa polja šahovnice velikosti 3 5? Vse možne skoke lahko predstavimo z grafom. Če odstranimo 5 točk s pripadajočimi povezavami, dobimo 7 komponent. Hamiltonove poti torej ni. 19 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Teorija grafov Vložitve in Eulerjeva formula Graf G je vložen v ploskev S, če ga moremo narisati na ploskev tako, da se nobeni dve povezavi ne sekata (razen v krajiščih). Za nas so najbolj zanimive vložitve v ravnino (oziroma na sfero). Izrek Kuratowskega Graf je ravninski natanko tedaj, ko ne vsebuje podgrafa, ki bi bil subdivizija grafa K 3,3 ali grafa K 5. K 5 K 3,3 20 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Teorija grafov Eulerjeva formula za grafe Naj bo povezan graf G vložen v ploskev S. Povezave grafa G razdelijo ploskev S na povezane dele, ki jim rečemo lica. Naj bo v število točk grafa G, e število povezav in f število lic izbrane vložitve. Za ravnino in sfero (ali plašč poliedra) velja Eulerjeva formula: v e+ f = 2. Izbrana vložitev grafa ima v = 6 oglišč, e=10 robov in f = 6 lic. Res je v e+ f = 2. Opozorilo. Pri grafu na ravnini je potrebno šteti tudi zunanje (neomejeno) območje. 21 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Graf na tetraedru Teorija grafov Izbrana vložitev grafa ima v = 3 oglišča, e=5 robov in f = 4 lica. Res je v e+ f = 2. 22 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Poliedri Poliedri Polieder je trirazsežno geometrijsko telo, ki je omejeno z mnogokotniki. Ima končno število ploskev, ploskve se stikajo v ravnih robovih, robovi pa se stikajo v ogliščih. Če je polieder enostavno povezan (tj. nima lukenj), velja zanj Eulerjeva poliederska formula v e+ f = 2, kjer je v število oglišč, e število robov in f število ploskev poliedra. Tetraeder (četverec) ima v = 4 vrhove, e=6 robov in f = 4 mejne ploskve. Res je v e+ f = 2. 23 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Poliedri z luknjami Poliedri Če ima polieder več lukenj (npr. n), velja formula v e+ f = 2 2n. n=2 Za polieder z eno luknjo torej velja v e+ f = 0. Topološko gledano je tak polieder torus. 24 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Poliedri Narisano telo je kvader z eno luknjo. Število oglišč je enako v = 8+8 = 16. Ker sprednja in zadnja ploskev nista mnogokotnika, je bilo potrebno dodati še štiri povezave. Skupno število povezav je tako enako e = 12+12+4 = 28. Število ploskev pa je enako f = 4+4+4 = 12. Torej je res v e+ f = 0. 25 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Platonska telesa Poliedri Pravimo, da je konveksni polieder pravilen, če je so vse njegove stranske ploskve pravilni večkotniki (recimo p-kotniki) in da se v vsakem njegovem oglišču stika enako mnogo stranskih ploskev (recimo q). Pravilnim poliedrom pravimo tudi Platonska telesa. Izrek Platonska telesa so: ime p q v e f četverec (tetraeder) 3 3 4 6 4 kocka (heksaeder) 4 3 8 12 6 osmerec (oktaeder) 3 4 6 12 8 dvanajsterec (dodekaeder) 5 3 20 30 12 dvajseterec (ikozaeder) 3 5 12 30 20 26 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Poliedri Dokaz. Seveda je p 3 in q 3. Ker se vzdolž vsakega roba stikata dve stranski ploskvi in ima vsak rob dve krajišči, je Iz Eulerjeve formule tako sledi qv = 2e=pf. 2=v e+ f = v qv 2 + qv p =(4 (p 2)(q 2)) v 2p. Ker mora biti (p 2)(q 2)<4, imamo za p in q le peščico možnosti (tj. (p 2)(q 2) {1,2,3}). Možni produkti so 1 1, 2 1, 1 2, 3 1, 1 3, kar nam da rešitve (p,q) {(3,3),(3,4),(4,3),(3,4),(5,3),(3,5)}. 27 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov

Poliedri Nazadnje se s pomočjo v = e = f = 4p 4 (p 2)(q 2), 2pq 4 (p 2)(q 2), 4q 4 (p 2)(q 2) prepričamo, da so tudi pripadajoča števila v, e in f naravna in izpolnimo tabelo. 28 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija poliedrov