Matematiniai modeliai ir jų korektiškumas

1 skyrius Mtemtinii modelii ir jų korektiškums 1.1. Mtemtinių uždvinių klsifikcij Mtemtinis modelivims yr svrbus nujs žinių gvimo būds, kuris vis džniu nudojms sprendžint technologinius uždvinius, tirint gmtos ir socilinius procesus. Tikydmi šį metodą nudojme nujusius mtemtikos psiekimus, kit vertus mtemtinis modelivims formulvo ir formuluoj nujus mtemtikos uždvinius, įtkoj pčios mtemtikos vystymąsi. Mtemtinių modelių bendroji schem. Pirmiusi ptrsime lbi bendrą mtemtinių uždvinių sprendimo schemą. Piškinsime, kokius reiklvimus turėtų tenkinti bet koks mtemtinis modelis, kd jį glėtume nudoti modeliuodmi relius procesus, technologinius įrenginius ir socilinius reiškinius. Trkime, kd turime prdinius duomenis u, td nudodmi psirinktąjį lgoritmą pibrėžime uždvinio sprendinį v = R(u). Šime pibrėžime kol ks neptikslinme, kip sudroms mtemtinis modelis ir jį relizuojntis lgoritms (šį pibrėžimą tenkin netgi tokie egzotiški lgoritmi, kip strologinės prognozė r tsitiktinis spėjims). 1.1 pvyzdys. Tiesinių lygčių sistem. Spręsime tiesinių lygčių sistemą AX = F, 1

2 1 SKYRIUS. MATEMATINIAI MODELIAI IR JŲ KOREKTIŠKUMAS či prdinius duomenis sudro n n dydžio mtric A ir vektorius F, o reiki rsti vektorių X. Nudodmi bendrąją schemą, pžymėsime u = (A, F), v = X. Uždvinio sprendinį pibrėžime tokiu būdu X = A 1 F, kur A 1 yr tvirkštinė mtric, tenkinnti sąlygą AA 1 = I. Jokio konkretus lgoritmo, kip skičiuoti tvirkštinę mtricą kol ks nenurodome. Skykime, kd prdinii duomenys u prikluso metrinei erdvei U, o sprendinys v metrinei erdvei V. Atstumus trp dviejų elementų šiose erdvėse titinkmi žymėsime ρ U (u 1, u 2 ), ρ V (v 1, v 2 ). 1.1.1. Korektiški suformuluots uždvinys Apibrėžime du pirmuosius reiklvimus, kuriuos turi tenkinti korektišks mtemtinis uždvinys. 1. Kiekvienm elementui u U egzistuoj sprendinys v = R(u) V. 2. Toks sprendinys yr vienintelis. Pvyzdžiui, jei mtricos A determinnts nelygus nuliui, ti tiesinių lygčių sistem turi vienintelį sprendinį bet kokiems vektorims F. Tčiu jei deta = 0, ti toki sistem turi sprendinį (netgi ne vienintelį) tik tm tikriems vektorims F. Trečisis reiklvims yr tiesiogii susijęs su mtemtinio modelivimo poreikiis. Dugelis reiškinių psižymi svybe, kd, esnt pnšioms prdinėms sąlygoms, stebime lbi rtimus rezulttus. Tokią svybę džni vdinme stbilumu. Todėl ntūrlu reikluti, kd ir titinkmi mtemtinii modelii būtų stbilūs. Stbilums tiesiogii siejsi su sprendinio tolydži priklusomybe nuo prdinių duomenų. Apibrėžims. Sprendinio v = R(u) V, u U rdimo uždvinys vdinms stbiliu metrinėse erdvėse (V, U), jei bet kokim ε > 0 egzistuoj toks

1.1. MATEMATINIŲ UŽDAVINIŲ KLASIFIKACIJA 3 δ(ε) > 0, kd imdmi u 1, u 2 U, tenkinnčius nelygybę ρ U (u 1, u 2 ) δ(ε), gunme įvertį ρ V (v 1, v 2 ) ε, či v 1 = R(u 1 ), v 2 = R(u 2 ), v 1, v 2 V. Td formuluojme trečiąjį korektiškų uždvinių reiklvimą. 3. Uždvinys yr stbilus metrinėse erdvėse (V, U). Toki svybė lbi svrbi, ki uždvinio sprendinio ieškome skitiniis metodis. Td tenk proksimuoti prdinius duomenis ir uždvinio opertorių, tčiu šią pklidą glime pdryti kiek norim mž δ(ε). Jei uždvinys yr stbilus, ti gunme tikslus sprendinio rtinį, kuris skirisi nuo tikslus sprendinio tik dydžiu ε. Uždvinio korektiškums prikluso nuo metrinių erdvių poros (V, U) prinkimo. Vienose erdvėse jis yr korektišks, kitose ne. Ti susiję su informcijos pie uždvinio prdinius duomenis ir sprendinį kiekiu. Tokius pvyzdžius pteiksime kitme skirsnyje. Korektiškų uždvinių pibrėžimą pirmsis suformulvo prncūzų mtemtiks Žks Admrs (Hdmrd). 1.1.2. Nekorektiškų uždvinių pvyzdžii Egzistuoj dug mtemtinių modelių, pršnčių mus dominnčius reiškinius, bet netenkinnčių pteiktojo korektiškų uždvinių pibrėžimo. Ti nereiški, kd mes nespręsime tokių uždvinių, tik būtin ptikslinti uždvinio pibrėžimą, nes klsikinii sprendimo metodi ju nepknkmi. Svrbu mokėti pžinti nekorektiškus uždvinius ir sukurti specilius jų sprendimo metodus. Pirmiusi pteiksime bendrąją schemą, tinkmą dugeliui uždvinių, sprendžimų mtemtinio modelivimo metodu. Mus domin uždvinio Av T = u T, u T U, v T V sprendinys. Trkime, kd tikslus sprendinys v T V egzistuoj ir yr vienintelis. Džniusii vietoj tikslių prdinių duomenų u T turime tik jų rtinį u U, pvyzdžiui, šiuos duomenis gunme tlikdmi eksperimentus r mtvimus. Todėl neišvengimi tsirnd prdinių duomenų pklidos, js įvertinme metrinės erdvės U, kurioje pibrėžti prdinii duomenys, metrikoje: ρ U (u, u T ) δ, δ > 0.

4 1 SKYRIUS. MATEMATINIAI MODELIAI IR JŲ KOREKTIŠKUMAS Todėl relii sprendžime modifikuotą uždvinį Av = u. Td gli susidryti kelios neplnkios situcijos: Tokiems prdinims duomenims u U uždvinio sprendinys v = A 1 u V neegzistuoj, t.y. u AV. Reiki suglvoti, kip pibrėžti pibendrintąjį rb kvzi- sprendinį v = R(u), kuris egzistuotų visiems prdinims duomenims u U ir būtų tm tikr prsme rtims tikslim sprendiniui v T. Jei sprendinys (gl būt tik pibendrintsis) egzistuoj, jis gli nekonverguoti į tikslų sprendinį v T, ki δ 0, t.y. mžus prdinių duomenų pokyčius titink kiek norim dideli sprendinio pokyčii. Dbr pteiksime pvyzdžius uždvinių, kuriuos ju ngrinėjome mtemtinės nlizės kurse, ir įrodysime, kd jie nekorektiški. 1. Išvestinės skičivims. Reiki rsti diferencijuojmos funkcijos u T (t) C 1 (D), D = [0, 2π] išvestinę, ki šios funkcijos reikšmes žinome tik su pklid (tsirndnči, pvyzdžiui, dėl mtvimo prietiso skirimosios gebos). Pžymėkime v T (t) = u T (t) funkcijos u T(t) išvestinę. Trkime, kd vietoj funkcijos u T (t) turime tik jos rtinį u(t) = u T (t) + ε sin(ωt), ε, ω > 0. Ngrinėkime tolydžių funkcijų metrinę erdvę C(D), ki tstums pibrėžims tip: ρ C (u 1, u 2 ) = mx t D u 1(t) u 2 (t). Šioje metrinėje erdvėje tstums trp funkcijų u(t) ir u T (t) yr ρ C (u, u T ) ε. Tigi mūsų turimi prdinii duomenys u(t) mži skirisi nuo tikslių prdinių duomenų u(t), ki prmetrs ε yr mžs skičius. Pirmiusi pstebėsime, kd išvestinę v(t) = u (t) glime pskičiuoti bet kokioms prmetrų ε, ω reikšmėms, t.y. nereiki ieškoti pibendrintojo sprendinio (šiuo tveju pibendrintos išvestinės) pibrėžimo.

1.1. MATEMATINIŲ UŽDAVINIŲ KLASIFIKACIJA 5 Trkime, kd metrinėje erdvėje V nudojme tą pčią metriką C(D). Td pskičiuotoji išvestinės reikšmė skirisi nuo tikslios išvestinės dydžiu ρ C (v, v T ) = mx εω cos(ωt) = εω. t D Prinkus pknkmi didelį prmetrą ω, šis skirtums gli būti kiek norim didelis, net ki ε yr mžs skičius. Tigi išvestinės skičivims tokioje metrinių erdvių poroje (U, V ) yr nekorektišks uždvinys. Psirinkę kitą metrinę erdvę U, glime guti ir korektišką uždvinį. Pvyzdžiui, trkime kd u(t) C 1 (D) yr tolydžii diferencijuojmos funkcijos ir tstums trp dviejų funkcijų pibrėžims tip: ( ρ C 1(u 1, u 2 ) = mx u1 (t) u 2 (t) + u 1(t) u 2(t) ). t D Kdngi teisings įvertis ρ C (v, v T ) ρ C 1(u, u T ), ti sprendinys v(t) = u (t) tolydžii prikluso nuo prdinių duomenų. Įrodėme, kd išvestinės skičivims yr korektišks uždvinys, ki turime metrinių erdvių porą (U, V ) = (C 1 (D), C(D). Tčiu ptikrinti, kd eksperimentinii duomenys u(t) prikluso tokii metrinei erdvei U = C 1 (D) yr sudėting, tigi ši metrinė erdvė netinkm, ki modeliuojme relius fizinius rb technologinius procesus. 2. Furjė eilutės sumvims. Skičiuokime eilutės f T (t) := n cos(nt), n=0 0 t π sumą. Šio uždvinio prdinius duomenis sudro funkcijos f T (t) Furjė koeficienti u T = { n, n = 0, 1,...} U. Erdvėje U pibrėžime l 2 tstumo funkciją: ( ρ l2 (u 1, u 2 ) = ( 1n 2n ) 2) 1/2. n=0 Trkime, kd vietoj u T turime koeficientus c n = n + ε n, n 1, c 0 = 0,

6 1 SKYRIUS. MATEMATINIAI MODELIAI IR JŲ KOREKTIŠKUMAS td sumuojme eilutę f(t) := n=0 c n cos(nt). n=0 Metrinėje erdvėje l 2 biejų eilučių koeficienti skirisi dydžiu: ( ε 1 := ρ l2 (u T, u) = ( n c n ) 2) 1/2 ( 1 ) 1/2 π 2 = ε = ε n 2 6. Psirinkę mžą skičių ε, šį skirtumą glime pdryti kiek norim mžu, t.y. prdinii duomenys bus rtimi viens kitm. Tčiu eilučių sumos skirsis dydžiu 1 f(t) f T (t) = ε n cos(nt). Tigi tstums ρ l2 (f, f T ) negli būti pdryts kiek norim mžu prenknt mžą ε, nes dešinėje lygybės pusėje esnti eilutė diverguoj, jeigu t = 0: ε N n=1 n=1 n=1 1 ε lnn, N. n Tigi, jei V = C(D), ti Furjė eilutės sumvims yr nekorektišks uždvinys, nes neišpildyts sprendinio stbilumo reiklvims. Jeigu tstumą trp funkcijų f(t) ir f T (t) pibrėžime nudodmi V = L 2 (0, π) metriką: ( π ( ρ L2 (f 1, f 2 ) = f1 (t) f 2 (t) ) ) 2 1/2, dt 0 0 ti tokioje metrinių erdvių poroje (U, V ) Furjė eilutės sumvimo uždvinys ju korektišks, nes, nudodmi Prsevlio teoremą, gunme lygybę ( π ( δ(ε 1 ) := f(t) ft (t) ) ) 2 1/2 ( π dt = 2 ( n c n ) 2) 1/2 π = ε1 2. 3. Integrlinių lygčių sprendims. Šiuolikinė nerdomosios dignostikos, medicinos (pvz. tomogrfijos) prtūr pded guti svrbią informciją, kurios neglime tiesiogii išmtuoti r tirti, o nudojme tik nesunkii mtuojmų pglbinių chrkteristikų r požymių rezulttus. Tokių metodų mtemtinis modelis pršoms integrline lygtimi Av := b n=0 K(x, s)v(s)ds = u(x), c x d,

1.1. MATEMATINIŲ UŽDAVINIŲ KLASIFIKACIJA 7 či v(s) V yr ieškomoji funkcij, u(x) U eksperimentinii mtvimo duomenys, o funkcij K(x, s) chrkterizuoj mtvimo prtūrą (ji yr žinom). Imdmi skirtingus režimus x [c, d] tliekme seriją mtvimų u(x), x [c, d] (pvyzdžiui rentgeno spinduliis peršviečime tą ptį objektą įviriomis kryptimis), td iš jų rndme funkciją v(s). 1 pstb. Funkcijos u(t) išvestinės skičivimo uždvinį irgi glime užršyti kip integrlinę lygtį t 0 v(s)ds = u(t) u(0). Kdngi vietoj tikslių prdinių duomenų u T (x) turime tik pytikslius eksperimentinius duomenis u(x) U, ti integrlinės lygties Av = u, u(x) U sprendinys v V gli ir neegzistuoti, jei u(x) AV. Tigi šiuo tveju gli būti neišpildyt ir pirmoji korektiškų uždvinių pibrėžimo sąlyg. Pvyzdžiui, tip bus td, ki K(x, s) yr tolydžii diferencijuojm pgl x funkcij, o eksperimente gutoji funkcij u(x) nėr diferencijuojm. Či ju neglime tikyti klsikinio sprendinio pibrėžimo v = A 1 u, nes toks sprendinys egzistuoj tik td, ki u(x) išvestinė yr tolydi funkcij. Reiki nutrti, kip pibrėšime sprendinį, kd jis egzistuotų ir neglodiems prdinims duomenims. Kitoje pskitoje pteiksime tokių pibrėžimų pvyzdžius. Tčiu net ir td, ki pytikslii prdinii duomenys u(x) AV, sprendinys gli netenkinti stbilumo sąlygos. Trkime, kd tstums trp dviejų funkcijų metrinėje erdvėje U pibrėžts formule ( d ( ρ U (u 1, u 2 ) = u1 (x) u 2 (x) ) ) 2 1/2, dx c t.y. turime U = L 2 [c, d] erdvę, o sprendinio pokyčius vertinsime V = C[, b] metrikoje: ρ C (v 1, v 2 ) = mx v 1 (x) v 2 (x). x b Trkime, kd pytikslii prdinii duomenys yr tokie: u(x) = u T (x) + M b K(x, s)sin(ωs)ds, M, ω > 0.

8 1 SKYRIUS. MATEMATINIAI MODELIAI IR JŲ KOREKTIŠKUMAS Įvertinsime prdinių duomenų pklidą [ d ( b 2dx ] 1/2. ρ U (u, u T ) = M K(x, s)sin(ωs)ds) c Ngrinėkime tvejį, ki funkcij K(x, s) yr diferencijuojm pgl s ir išvestinė K s C yr prėžt iš viršus. Integruodmi dlimis, gunme lygybę b K(x, s)sin(ωs)ds = 1 ( K(x, s)cos(ωs) b b ω + Tigi prdinių duomenų pokyčius įvertinme nelygybe δ := ρ U (u, u T ) CM ω. K ( ) ) x, s cos(ωs)ds. s Prinkę pknkmi didelį prmetrą ω, šiuos pokyčius glime pdryti kiek norim mžis. Tčiu tokiems prdinims duomenims tstums trp sprendinių erdvės C[, b] metrikoje ρ C[,b] (v, v T ) := mx s b v(s) v T(s) = M mx s b sin(ωs) = M yr kiek norim didelis, jei M didelis skičius. Tigi neišpildyt sprendinio tolydžios priklusomybės nuo prdinių duomenų sąlyg. Integrlinės lygties sprendimo uždvinys nekorektišks net ir td, ki sprendinius pibrėžime L 2 (, b) metrinėje ervėje (šioje erdvėje prdinių duomenų pokyčius glime pdryti kiek norim mžis). Psinudojme pprstomis trigonometrinėmis formulėmis: sin 2 x = 1 cos(2x), sin(2x) sin(2y) = 2 sin(x y)cos(x + y), 2 td gunme lygybę: ( b ( ρ L2 (v, v T ) = v(s) vt (s) ) ) 2 1/2 ( b ds = M ) 1/2 sin 2 (ωs)ds ( b = M 1 2 2ω sin( ω(b ) ) cos ( ω(b + ) )) 1/2 = CM. Tigi ρ L2 (v, v T ) gli būti kiek norim didelis, o ρ U (u, u T ) kiek norim mžs, titinkmi prinkus ω ir M. Vėl neišpildyt sprendinio tolydžios priklusomybės nuo prdinių duomenų sąlyg.

1.1. MATEMATINIŲ UŽDAVINIŲ KLASIFIKACIJA 9 4. Admro pvyzdys. Šį uždvinį ngrinėjo Ž. Admrs, formuluodms korektiškų mtemtinių uždvinių reiklvimus. Srityje spręsime dvimtę Lplso lygtį D = {(x, y) : < x <, 0 y < Y } 2 v x 2 + 2 v = 0, (1.1) y2 ki užduotos prdinės sąlygos v v(x,0) = 0, = ϕ(x), < x <. (1.2) y y=0 Prdinius duomenis ir sprendinį ngrinėsime tolydžiųjų funkcijų metrinėse erdvėse C ir C(D), kurių metrikos yr pibrėžtos tip: ρ C (ϕ 1, ϕ 2 ) = sup ϕ 1 (x) ϕ 2 (x), <x< ρ C(D) (v 1, v 2 ) = sup v 1 (x, y) v 2 (x, y). (x,y) D Jeigu prdinė funkcij ϕ T (x) 0, ti (1.1) (1.2) uždvinio sprendinys v T (x, y) 0. Pkeitę prdinę sąlygą į ϕ(x) = 1 sinx, gunme tokį uždvinio sprendinį v(x, y) = 1 sin(x)sinh(y), > 0. 2 Prinkdmi pknkmi didelį skičių, tstumą trp prdinių duomenų ρ C (ϕ, ϕ T ) = sup 1 sin x 1 = <x< glime pdryti kiek norim mžu. Tčiu tstums trp sprendinių ρ C(D) (v, v T ) = sup 1 2 sin(x)sinh(y) 1 = 2 sinh(y ) (x,y) D gli būti kiek norim dideliu, ki prenkme didelį skičių. Tigi tokio uždvinio sprendinys nėr stbilus prdinių duomenų tžvilgiu, todėl jis nekorektišks. 2 pstb. Lplso lygčii korektišką uždvinį gunme, ki vietoj ntrosios prdinės sąlygos formuluojme krštinę sąlygą tške y = Y, pvyzdžiui v(x, Y ) = ϕ(x).

101 SKYRIUS. MATEMATINIAI MODELIAI IR JŲ KOREKTIŠKUMAS 5. Diferencilinės lygties koeficientų rdims. Lbi džni tenk spręsti tvirkštinį koeficientų rdimo uždvinį. Eksperimente mtuojme tm tikrus sprendinio funkcionlus, o turime rsti ne tik ptį sprendinį, bet ir diferencilinės lygties koeficientus. Ngrinėkime prdinį-krštinį prbolinio tipo uždvinį, modeliuojntį tempertūros u(x, t) psiskirstymą vienmčime strype. Turime diferencilinę lygtį cρ u t = 2 u + f(x, t), (t, x) (0, T] (0, 1), x2 prdinę sąlygą tempertūri u(x,0) = u 0 (x), x [0, 1], ir dvi krštines sąlygs (mtuojme tempertūrą strypo gluose): u(0, t) = µ 0 (t), u(1, t) = µ 1 (t), t (0, T]. Šilumos tlpumo ir medžigos tnkio koeficienti c, ρ, bei išorinio šilumos šltinio tnkio funkcij f(x, t) yr žinomos. Reiki rsti funkciją u(x, t) ir difuzijos koeficientą. 3 pstb. Iš mtemtinės fizikos kurso žinome, kd prbolinis diferencilinis uždvinys yr korektišks (vienintelis sprendinys egzistuoj ir tolydžii prikluso nuo prdinių duomenų, ki prmetrs irgi yr žinoms). Norėdmi rsti (u, ), ppildomi mtuojme dr vieną sprendinio funkcionlą, pvyzdžiui šilumos srutą u = ν(t), x x=0 t (0, T]. Glim įrodyti, kd gutsis uždvinys nėr stbilus, tigi jis nekorektišks. Egzistuoj dug svrbių tikomųjų uždvinių, ki reiki rsti mtemtinio modelio koeficientus, o turime tik eksperimentinius mtvimus. Tokie uždvinii džniusii nekorektiški, todėl svrbu išmokti efektyvii spręsti šiuos uždvinius.