2

ήµητρα Χαµηλάκη ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΙΟΦΑΝΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Πτυχιακή Εργασία Παρουσιάσθηκε στις 22-6-2000 Επιβλέπων Καθηγητής ΝΓ Τζανάκης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης - Ηράκλειο 2000

2

E D D Κεφάλαιο 1 Στοιχεία Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθµών Υποθέτουµε ότι εργαζόµαστε σε ένα αριθµητικό σώµα δηλαδή σε πεπερασµένη επέκταση του την οποία ϑεωρούµε ως υπόσωµα του Οταν λέµε ακέραιος εννοούµε «αλγεβρικός ακέραιος» δηλαδή στοιχείο του (συνήθως στοιχείο του το οποίο είναι ϱίζα ενός µονικού πολυωνύµου µε συντελεστές από το Για τους συνήθεις ακεραίους χρησιµοποιούµε τον όρο ϱητός ακέραιος 11 Θεµελειώδη εργαλεία το ελάχιστο πολυώνυµο του ϐαθµού και #% οι ϱίζες του &' 1 Κάθε στοιχείο ( του *+- / είναι της µορφής ( 102 30 54 ; 6798 5=#>?A Συζυγής του ( λέγεται καθένας από τους F+G H (CB D?E 2 102 30 IKJLI D Ορισµός 111 Εστω το σώµα Παρατηρήσεις 1 B D?E (NB (OQPR(S JM #? 2 Οι συζυγείς του ( δεν είναι κατ ανάγκη διαφορετικοί µεταξύ τους Για παράδειγµα στο σώµα TV X οι συζυγείς του C Z %[ Z 1 Σύµφωνα µε το Θεώρηµα 115 αυτές είναι διαφορετικές µεταξύ τους είναι 1

E [ E D 2 1 Στοιχεία Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθµών δηλαδή οι ϱίζες του & ' 0 (CB Οµως Παίρνω ( οπότε (CB V Είναι 0 (NB [ E V / άρα %[ %[ και ανάλογα προκύπτει ότι ο τρίτος µε τον τέταρτο συζυγή του συµπίπτουν Θεώρηµα 112 Το σύνολο όλων των αλγεβρικών ακεραίων του αποτελεί υποδακτύλιο του Ειδικώτερα το σύνολο όλων των αλγεβρικών ακεραίων του αποτελεί υποδακτύλιο του Απόδειξη Ο δεύτερος ισχυρισµός είναι άµεση συνέπεια του πρώτου Οσον αφορά στον πρώτο αρκεί να αποδείξουµε ότι (- ( C ( Εστω ( Τα ( είναι ϱίζες κάποιων µονικών πολυωνύµων ' αντιστοίχως Εστω (C (-O(%## ( οι ϱίζες του%' καιr C > οι ϱίζες του R' οπότε ' K(N>LS(%R#' K( X5 ' R> R 'L Το ( ανήκει στο διότι είναι ϱίζα του 4 L/ ( 4= D το οποίο είναι µονικό πολυώνυµο ϐαθµού µε συντελεστές ϱητούς ακεραίους GJM Πράγµατι για 8 ένας παράγοντας του πολυωνύµου είναι ο 'Z 9( R οπότε το πολυώνυµο έχει ϱίζα το ( Προφανώς είναι µονικό πολυώνυµο και οι συντελεστές του ανήκουν στο (& ( ## ( =R5##? 9 (N? ( ## ( ' R##C Το µένει αµετάβλητο από κάθε αντιµετάθεση 4# άρα κάθε συντελεστής του είναι συµµετρική παράσταση των 5## Συνεπώς σύµφωνα µε D το Θεµελιώδες Θεώρηµα των Συµµετρικών Πολυωνύµων οι συντελεστές του ' ανήκουν στο 9 (N? (%#> ( 1 %R >C όπου R # οι στοιχειώδεις συµµετρικές παραστάσεις των ## οι οποίες µε τη σειρά τους είναι κατά προσέγγιση προσήµου οι συντελεστές του R άρα είναι ϱητοί α- κέραιοι Εφαρµόζοντας ξανά το Θεµελιώδες Θεώρηµα των Συµµετρικών Πολυωνύµων συµπεραίνουµε ότι οι συντελεστές του ' ανήκουν στο &?&>>&3 όπου&1&> #>& οι στοιχειώδεις συµµετρικές παραστάσεις των ( (%# ( οι οποίες είναι ϱητοί ακέραιοι αφού συµπίπτουν κατά προσέγγιση προσήµου µε τους συντελεστές του Αρκεί τώρα να δείξουµε ότι το ( ανήκει στο κάποιες ιδιότητες να αποδείξουµε εύκολα

+ + 4 4 11 Θεµελειώδη εργαλεία 3 Θεώρηµα 113 Εστω ισοµορφισµός σωµάτων % ανάγωγο πάνω από το και ' το αντίστοιχο πολυώνυµο του % (δηλαδή αν X+ X+ %' V # 1 τότε C C?V C V Αν ϱίζα του %' σε κάποια επέκταση του και ϱίζα του ' σε κάποια επέκταση του τότε ο ισοµορφισµός επεκτείνεται σε ισοµορφισµό R µεc Πρόταση 114 Εστω &'%' και % ανάγωγο Αν τα πολυώνυµα έχουν κάποια κοινή ϱίζα σε κάποια επέκταση του τότε το %' διαιρεί το & Απόδειξη Εστω ότι το δεν διαιρεί το & Τότε αυτά τα πολυώνυµα είναι πρώτα µεταξύ τους διότι το % είναι ανάγωγο Επεται ότι υπάρχουν => R#' τέτοια ώστε %'R> &X# Αν η κοινή ϱίζα των %' &' σε κάποια επέκταση του η αντικατάσταση TM µας δίνει άτοπο Πρόταση 115 Εστω % ανάγωγο Τότε όλες οι ϱίζες του είναι πολλαπλότητας ' την τυπική παράγωγο του %' Ετσι αν 5+ % 1 τότε εξ ορισµού '? 1 30 ότι το % έχει µια ϱίζα πολλαπλότητας Τότε το είναι ϱίζα και του ηλαδή τα %' και και % ανάγωγο Άρα από την Πρόταση 114 deg% deg Απόδειξη Συµβολίζουµε µε στον ορισµό του άτοπο Εστω σε κάποια επέκταση του έχουν κοινή ϱίζα στο ' (1 Οπως ϕαίνεται (2 Λόγω των (1(2 καταλήγουµε σε Με τους συµβολισµούς του Ορισµού 111 και ϐάσει της Πρότασης 115 και του Θεωρήµατος 113 συµπεραίνουµε ότι για κάθε 8 ##? υπάρχει ισο- 4 µορφισµός Συνεπώς XT' 4 4 µε PA και ' 4 ( 4 ( (11 Για κάθε (O Το να ϐλέπουµε τους συζυγείς ενός αλγεβρικού αριθµού ως εικόνες µέσω των 4 ισοµορφισµών είναι συχνά πολύ ϐοηθητικό Για παράδειγµα έχουµε την Πρόταση 116 Οι συζυγείς αλγεβρικού ακεραίου είναι επίσης αλγεβρικοί ακέ- ϱαιοι Απόδειξη Εστω ( /T' αλγεβρικός ακέραιος Το ( είναι ϱίζα ενός µονικού 4 πολυωνύµου & µε συντελεστές από το Θεωρούµε τον ισοµορφισµό 4 4 4 όπως προηγουµένως Τότε & (? & (? Άρα και ο συζυγής του ( είναι ϱίζα του ίδιου πολυωνύµου µε συντελεστές από το δηλαδή είναι αλγεβρικός ακέραιος

D D E E 4 1 Στοιχεία Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθµών Συνεχίζουµε µε τους συµβολισµούς του Ορισµού 111 Πρόταση 117 Η στάθµη O9(& είναι ϱητός αριθµός µη µηδενικός αν ( Αν επιπλέον ο ( είναι αλγεβρικός ακέραιος τότε η ( είναι ϱητός ακέραιος είναι ϕανερό από τον ορισµό της Απόδειξη Εστω ( T Για ( στάθµης ότι ( #+ Υπάρχουν µονοσήµαντα ορισµένοι +G G τέτοιοι ώστε ( 2 302 10 άρα O9(& +G 2 # H 102 30 D > T C1>%3 10 και είναι συµµετρική των -5Q#>% Ετσι από το Θεµελιώδες Θεώρηµα των Συµµετρικών Πολυωνύµων O9(&TG 1 #> 3 όπου 5 ## είναι οι στοιχειώδεις συµµετρικές παραστάσεις των -% Οµως από τους τύπους του Viète οι 5## συµπίπτουν κατά προσέγγιση προσήµου µε τους συντελεστές του &' άρα ανήκουν στο οπότε και O9(&A Ο δεύτερος ισχυρισµός απαιτεί περισσότερη δουλειά και αποδεικνύεται στην Παράγραφο 111 Πρόταση 118 Για τη στάθµη ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες ( O ( και B Αν (- και ( τότε O9(& O Κάθε ακέραιος είναι διαιρέτης της στάθµης του Αν X και A τότε O B Απόδειξη Πράγµατι χρησιµοποιώντας τη σχέση (11 έχουµε ( ( R ( R# ( (R# ( R# (& R> 1 (& R# (& R# (& (R 9(& R 1 R# O ( - ( ( # R>9(& 1 (&R# ( R# R O9(& O Η τρίτη ιδιότητα είναι άµεση συνέπεια της πρώτης Για την τέταρτη ιδιότητα χρησιµοποιούµε τους συµβολισµούς του Ορισµού 111 Αν ο ( είναι ακέραιος τότε είναι ϱίζα ενός µονικού πολυωνύµου µε συντελεστές από το Οµως κάθε συζυγής του ( είναι ϱίζα του ίδιου πολυωνύµου άρα είναι αλγεβρικός ακέραιος Αν λοιπόν ( (C (%#> ( είναι οι συζυγείς

11 Θεµελειώδη εργαλεία 5 του του ( τότε (%?( O9(&3(N οπότε το αριστερό µέλος ϐάσει του Θεωρή- µατος 112 είναι αλγεβρικός ακέραιος Το δεξιό µέλος από την Πρόταση 117 ανήκει στο Άρα η O ( είναι γινόµενο του ( επί έναν αλγεβρικό ακέραιο του δηλαδή διαιρείται από τον ( Η πέµπτη ιδιότητα είναι άµεση συνέπεια της σχέσης (11 Ορισµός 119 Εστω ακέραιος του σώµατος Το λέγεται µονάδα αν υπάρχει ακέραιος τέτοιος ώστε Προφανώς το του παραπάνω ορισµού είναι επίσης µονάδα Συµβολίζουµε το σύνολο των µονάδων του µε και είναι προφανές ότι αποτελεί υποοµάδα της πολλαπλασιαστικής οµάδας Πρόταση 1110 Ενας ακέραιος Ολοι οι διαιρέτες µιας µονάδας είναι µονάδες είναι µονάδα αν και µόνο αν O Απόδειξη Εστω µονάδα του Τότε άρα (Πρόταση 118 O O O Οµως από την Πρόταση 117 είναι ϱητός ακέραιος άρα Αντιστρόφως έστω µε O Αν # είναι οι συζυγείς του τότε ο αριθµός είναι ακέραιος του (πρβλ απόδειξη του τέταρτου ισχυρισµού της Πρότασης 118 µε το στη ϑέση του ( Αν τον συµβολίσουµε µε τότε O άρα το είναι µονάδα του Οσον αφορά στον δεύτερο ισχυρισµό αν είναι µονάδα και διαιρέτης του έχω για κάποιο ακέραιο άρα O O O απ όπου λόγω και του πρώτου ισχυρισµού που αποδείξαµε O Οι δύο παράγοντες του δεξιού µέλους είναι ϱητοί ακέραιοι (Πρόταση 117 άρα O οπότε ϐάσει του πρώτου ισχυρισµού που αποδείξαµε το είναι µονάδα του Ορισµός 1111 Εστω ακέραιος Συνεταιρικός του λέγεται κάθε ακέραιος της µορφής = όπου µονάδα του Προφανείς διαιρέτες κάθε ακεραίου του είναι οι µονάδες του και οι συνεταιρικοί του οι λεγόµενοι τετριµµένοι διαιρέτες του Πράγµατι έστω µονάδα Τότε υπάρχει µονάδα έτσι ώστε Άρα δηλαδή C Επίσης αν ο είναι συνεταιρικός του τότε είναι µονάδα ειδικώτερα C Ορισµός 1112 Αν ( ακέραιοι µέγιστος κοινός διαιρέτης των (- λέγεται κάθε ακέραιος µε τις ιδιότητες (α ο διαιρεί τα ( (ϐ για κάθε που διαιρεί τα ( ο διαιρεί το

( 6 1 Στοιχεία Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθµών Πρόταση 1113 Εστω ( ακέραιοι στο Οι µέγιστοι κοινοί διαιρέτες των (- διαφέρουν κατά µονάδες του είναι δηλαδή συνεταιρικοί µεταξύ τους Απόδειξη Αν 1> είναι µέγιστοι κοινοί διαιρέτες των (- τότε εξ ορισµού 3 και Εποµένως υπάρχουν ακέραιοι τέτοιοι ώστε Επεται άρα και συνεπώς είναι µονάδες Αν οι µόνοι κοινοί διαιρέτες δύο ακεραίων είναι µονάδες οι ακέραιοι λέγονται πρώτοι µεταξύ τους Ορισµός 1114 Εστω µη µηδενικός ακέραιος Οι ακέραιοι (- λέγονται ι- σοδύναµοι αν η διαφορά (S διαιρείται δια Γράφουµε τότε ( X και λέµε ότι τα (- ανήκουν στην ίδια κλάση ισοδυναµίας Ορισµός 1115 Ενας ακέραιος που δεν είναι µονάδα και έχει µόνο τους τετριµ- µένους διαιρέτες λέγεται ανάγωγος Πρόταση 1116 Κάθε ακέραιος µε στάθµη πρώτο είναι ανάγωγος Απόδειξη Εστω ακέραιος µε K Αρκεί να δείξω ότι αν τότε ένας από τους = είναι µονάδα (οπότε ο άλλος είναι συνεταιρικός του Αν τότε έχω O O O ή O άρα από την Πρόταση 1110 ο είτε ο είναι µονάδα Ορισµός 1117 Εστω ακέραιος του πρώτος αν αληθεύει η συνεπαγωγή ( και ( ακέραιοι ( είτε ο οποίος δεν είναι µονάδα Ο λέγεται Στο εξής λέγοντας «πρώτος» ϑα εννοούµε «πρώτοςτου πρώτους ϑα χρησιµοποιούµε τον όρο «ϱητός πρώτος»» ενώ για τους συνήθεις Πρόταση 1118 Κάθε πρώτος του είναι και ανάγωγος Αρκεί να δείξω ότι αν Αφού ( ένας από τους Απόδειξη Εστω πρώτος του (- είναι µονάδα και ο άλλος συνεταιρικός του ( συµπεραίνω ειδικώτερα ότι ο διαιρεί το γινόµενο ( και επειδή είναι πρώτος διαιρεί τουλάχιστον ένα από τους (- Ας υποθέσω χωρίς ϐλάβη της γενικότητας ότι διαιρεί τον ( Τότε υπάρχει ακέραιος τέτοιος ώστε ( Οµως ( άρα ( και συνεπώς Η τελευταία σχέση λέει ότι το είναι µονάδα Το αντίστροφο της προηγούµενης πρότασης δεν ισχύει εν γένει ηλαδή υπάρχουν ανάγωγοι που δεν είναι πρώτοι Για παράδειγµα στο σώµα T X X# είναι ανάγωγο και προφανώς διαιρεί το γινόµενο Εύκολα διαπιστώνεται ότι το # Οµως

11 Θεµελειώδη εργαλεία 7 δεν διαιρεί κανένα από τους 5 Πράγµατι αν υπάρχει (- ( 2 έτσι ώστε X ( Επεται ότι οπότε Άτοπο γιατί οι είναι ακέραιοι Παρακάτω στην Παράγραφο 12 ϑα δούµε ότι υπάρχουν σώµατα στα οποία ισχύει το αντίστροφο οπότε οι έννοιες «ανάγωγος» και «πρώτος» ταυτίζονται Χάρη σ αυτή την ιδιότητα αυτά τα σώµατα µας επιτρέπουν να µεταφέρουµε στους ακεραίους τους τις σηµαντικότερες ιδιότητες της Αριθµητικής των συνηθισµένων ακεραίων 111 Στάθµη αλγεβρικού ακεραίου Σ αυτή την παράγραφο αποδεικνύουµε τον δεύτερο ισχυρισµό της Πρότασης 117 ότι η στάθµη ακεραίου είναι ϱητός ακέραιος Αυτό προκύπτει ως άµεση συνέπεια της τελευταίας σχέσης αυτής της παραγράφου η οποία καθ εαυτήν είναι ενδιαφέρουσα Χρειαζόµαστε πρώτα ένα απλό γενικό λήµµα σχετικό µε οµάδες Λήµµα 1119 Εστω πεπερασµένη οµάδα και υποοµάδες της τέτοιες ώστε και Τότε για κάθε σύµπλοκο υπάρχουν ακριβώς 4 το πλήθος διαφορετικά σύµπλοκα A## τέτοια ώστε 8 ## Απόδειξη Εστω ισοδυναµίας το σύνολο των αριστερών συµπλόκων Ορίζουµε τη σχέση 3 3 Ο ισχυρισµός του λήµµατος ισοδυναµεί µε το ότι για κάθε η κλάση ισοδυνα- µίας περιέχει ακριβώς στοιχεία (σύµπλοκα Θα δείξουµε πρώτα ότι όλες οι κλάσεις ισοδυναµίας έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων Αν είναι δύο κλάσεις ϑεωρώ τέτοιο ώστε Εύκολα ϐλέπουµε ότι η απεικόνιση S είναι αµφιµονοσήµαντη Λόγω συµµετρίας υπάρχει επίσης αµφιµονοσήµαντη C είναι ισοπληθείς Συνεπώς κάθε κλάση περιέχει τόσα σύµπλοκα όσα και η Για να δουµε πόσα σύµπλοκα περιέχει η εξετάζουµε τη συνθήκη 7K Αυτή ισοδυναµεί µε την δηλαδή µε την Συνεπώς L σύνολο των αριστερών συµπλόκων απεικόνιση Άρα οι κλάσεις 2 ο είναι ακέραιος του #% &('* λόγω του ϑεωρήµατος 141

4 4 4 4 4 8 1 Στοιχεία Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθµών Καθώς είναι γνωστό το τελευταίο σύνολο έχει πληθάριθµο ίσο µε Εφαρµογή ιατηρούµε τους συµβολισµούς του Ορισµού 111 Εστω σώµα ϱιζών του &' πάνω από το Εστω επίσης ( και R' το ελάχιστο (µονικό πολυώνυµό του Ας υποθέσουµε ότι το ' είναι ϐαθµού και ας συµβολίσουµε τις ϱίζες του ( (C ( > ( Επειδή ( και η επέκταση 3 είναι Galois όλες οι ϱίζες του R ανήκουν στο Εξ ορισµού της στάθµης Παρατηρούµε τα εξής (& 1 Για κάθε F 15C' 5 % και αντιστρόφως για κάθε υπάρχει 3 τέτοιο ώστε C Πράγµατι το στοιχείο C είναι ϱίζα του & αφού ' 4 Αντιστρό- ϕως είδαµε αµέσως πριν από τη σχέση (11 ότι για κάθε δείκτη 8 υπάρχει 4 -ισοµορφισµός ' που στέλνει το στο Με στερεότυπες τεχνικές της Θεωρίας Σωµάτων αυτός ο ισοµορφισµός επεκτείνεται σε αυτοµορφισµό του και αυτό είναι το Ϲητούµενο 3 2 Αν R 3 τότε R R# 1 Πράγµατι αυτό προκύπτει αµέσως από την παρατήρηση ότι αφού T' έχουµε 0 R 0 R#' 3 ( N (& όπου το διατρέχει ένα πλήρες σύστηµα εκπροσώπων Εστω µέσα από το σύνολο 3 # Αυτό προκύπτει από προφανή συνδυασµό των δύο πρώτων παρατηρήσεων T9(& Εφαρµόζουµε το Λήµµα 1119 για την αλυσσίδα οµάδων 3 6 Z Είναι 6 X X Άρα σε κάθε G αντιστοιχούν ακριβώς το πλήθος 4 σύµπλοκα 5 > τέτοια ώστε G 6 Αυτό σηµαίνει ότι τα που εµφανίζονται στο µπορούµε να τα οµαδοποιήσουµε ανά έτσι ώστε O9(& C ( (CB E& το

12 Αριθµητικά Σώµατα Μονοσήµαντης Ανάλυσης 9 διατρέχει ένα πλήρες σύστηµα εκπροσώπων µέσα από το σύνολο 1 #6 Το πλήθος των παραγόντων στο C ( είναι ίσο µε 3 6 Επίσης αν 6 6 τότε #9(& 19(& Άρα τα N (& που εµφανίζονται στο γινόµενο αυτό είναι όλα διαφορετικά µεταξύ τους και το πλήθος τους είναι Συνεπώς αυτά ταn (& δεν είναι παρά τα (## ( αφού κάθεc9(& πρέπει να είναι ϱίζα του R Συµπέρασµα ( (&Q(?( > Q σταθερός όρος του R'* Αν ο ( είναι ακέραιος οπότε ο σταθερός όρος του ' είναι ϱητός ακέραιος τότε άµεση συνέπεια της τελευταίας σχέσης είναι ότι (& 12 Αριθµητικά Σώµατα Μονοσήµαντης Ανάλυσης Ορισµός 121 Λέµε ότι στο (ακριβέστερα στον δακτύλιο των ακεραίων του έχουµε µονοσήµαντη ανάλυση αν κάθε µη µηδενικός ακέραιος του που δεν είναι µονάδα αναλύεται σε γινόµενο πρώτων παραγόντων κατά µοναδικό τρόπο ϑεωρούµε ότι η σειρά των παραγόντων δεν παίζει ϱόλο και πρώτοι που είναι συνεταιρικοί δεν εννοούνται ως διαφορετικοί Θεώρηµα 122 Στο δακτύλιο των ακεραίων του υποθέτω ότι Υπάρχει συνάρτηση µε P και P το ' είναι ακέραιος 5 Αν % ακέραιοι µε υπάρχουν ακέραιοι = τέτοιοι ώστε µε ή Q Τότε στον ισχύουν τα εξής (α Αν οι ακέραιοι % είναι πρώτοι µεταξύ τους και ο διαιρεί το γινόµενο τότε διαιρεί τον C (ϐ Κάθε ανάγωγος είναι πρώτος (γ Ο ακέραιος ( του είναι µονάδα αν και µόνο αν 9(& (δ Εχουµε µονοσήµαντη ανάλυση σε πρώτους παράγοντες Απόδειξη (α Προφανώς αρκεί να αποδείξουµε τον ισχυρισµό για που δεν είναι µονάδα Λόγω της υπάρχουν ακέραιοι = έτσι ώστε ή Q M

10 1 Στοιχεία Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθµών Αποκλείεται όµως = και η Αν συνεχίζω διότι τότε που αντιφάσκει στην υπόθεση Άρα εξασφαλίζει την ύπαρξη ακεραίων έτσι ώστε ή [ [ ή [ κοκ Η ακολουθία V # είναι γνησίως ϕθίνουσα ακολουθία ϑετικών α- κεραίων Εποµένως υπάρχει ένας ϕυσικός τέτοιος ώστε δηλαδή 30 για κάποιο ακέραιο Οµως από τις παραπάνω σχέσεις προχωρώντας διαδοχικά διαπιστώνουµε εύκολα ότι ΜΚ ΜΚ 5 ΜΚ =# 5 ΜΚ 305 Άρα το µονάδα αφού οι % έχουν υποτεθεί πρώτοι µεταξύ τους Ακόµα ΜΚ (% V δηλαδή ΜΚ % V όπου ακέραιος συνεταιρικός του Προφανώς ενώ εξ υποθέσεως Άρα ΜΚ %V οπότε και (ϐ Εστω ανάγωγος µε Αν ΜΚ N R τότε και Επειδή ο είναι ανάγωγος και ο είναι παράγοντάς του έπεται ότι ο είναι µονάδα ή ακέραιος συνεταιρικός του Αν ο είναι µονάδα οι N είναι πρώτοι µεταξύ τους οπότε λόγω του (α η σχέση δίνει Αν ο είναι συνεταιρικός του τότε όµως άρα Σε κάθε περίπτωση ο διαιρεί τουλάχιστον ένα από τους C εποµένως ο είναι πρώτος (γ Κατ αρχάς Πράγµατι έστω A µη µηδενικό Τότε άρα από την? ' ' δηλαδή Αν ο ακέραιος ( είναι µονάδα τότε ( ( για κάποιον ακέραιο ( οπότε από την 9(& 9( M και οι παράγοντες στο αριστερό µέλος είναι ϱητοί ακέραιοι Άρα ( Αντιστρόφως έστω ακέραιος ( τέτοιος ώστε ( Εφαρµόζοντας την ϐρίσκουµε ακεραίους C O έτσι ώστε %( µε ή R 9(& Επειδή ( και R το δεύτερο ενδεχόµενο προφανώς αποκλείεται Άρα ( που σηµαίνει ότι το ( είναι µονάδα (δ Θα δείξω πρώτα ότι κάθε ακέραιος που δεν είναι µονάδα έχει ένα τουλάχιστον ανάγωγο διαιρέτη Πράγµατι ο αριθµός είναι ϑετικός ϱητός ακέραιος Για κάθε διαιρέτη του που δεν είναι µονάδα ο αριθµός είναι λόγω της? I ϑετικός (ϱητός ακέραιος X Συνεπώς υπάρχει διαιρέτης του όχι µονάδα µε ελάχιστο Ο είναι ανάγωγος γιατί σε αντίθετη περίπτωση µε τους ακεραίους όχι µονάδες Τότε όµως από το (γ άρα οι είναι διαιρέτες του µε γεγονός που αντίκειται στην επιλογή του Στη συνέχεια ϑα δείξω ότι κάθε ακέραιος αναλύεται σε πεπερασµένο πλήθος αναγώγων παραγόντων Πράγµατι αν ο ίδιος ο είναι ανάγωγος ο ισχυρισµός

4 12 Αριθµητικά Σώµατα Μονοσήµαντης Ανάλυσης 11 ισχύει τετριµµένα Αν ο δεν είναι ανάγωγος τότε έχει τουλάχιστον ένα ανάγωγο διαιρέτη Γράφουµε τότε 3- Λόγω του (γ άρα από τη σχέση X =Q 1Q έπεται X 3Q Αν ο ακέραιος 3 είναι ανάγωγος τότε η Ϲητούµενη ανάλυση του σε ανάγωγους παράγοντες έχει ήδη επιτευχθεί ιαφορετικά ο έχει ένα ανάγωγο παράγοντα οπότε γράφουµε 3 3 Οπως πριν ϐλέπουµε ότι # Αν ο είναι ανάγωγος τότε # είναι η Ϲητούµενη ανάλυση σε ανάγωγους παράγοντες διαφορετικά ϐρίσκουµε ένα ανάγωγο παράγοντα του κλπ Επειδή X 3V F# είναι ϕθίνουσα ακολουθία ϑετικών (ϱητών ακεραίων η παραπάνω διαδικασία ϑα σταµατήσει ύστερα από πεπερασµένο πλήθος ϐηµάτων ηλαδή υπάρχει κάποιος δείκτης έτσι ώστε #10 3 # όπου τώρα όχι µόνο ο 3 αλλά και ο # είναι ανάγωγος Τότε 3 # 3 310 #10 3 # όπου όλοι οι παράγοντες του δεξιώτερου µέλους είναι ανάγωγοι Άρα καταλήξαµε στο συµπέρασµα ότι κάθε ακέραιος του αναλύεται σε ανάγωγους παράγοντες Λόγω του (ϐ συµπεραίνοµε ότι κάθε ακέραιος του αναλύεται σε πρώτους παράγοντες Θα δείξω τώρα τη µοναδικότητα αυτής της ανάλυσης αν (1 παραβλέψω τη σειρά γραφής των πρώτων παραγόντων και (2 ϑεωρήσω συνεταιρικούς πρώτους παράγοντες ως κατ ουσίαν όχι διαφορετικούς Πράγµατι έστω ότι έχω δύο αναλύσεις του # X # (12 Υποθέτω χωρίς ϐλάβη της γενικότητας I Ο πρώτος % διαιρεί το γινόµενο X οπότε διαιρεί τουλάχιστον ένα από τους X # Υποθέτω (αλλα- Ϲοντας την αρίθµηση των αν χρειαστεί ότι Επειδή και ο είναι πρώτος έχω µονάδα και η (12 γίνεται # X% Επαναλαµβάνοντας το παραπάνω επιχείρηµα για καθένα από τα R > καταλήξω στη σχέση % - ϑα

( D ( 12 1 Στοιχεία Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθµών όπου οι παράγοντες 5## υπάρχουν µόνο αν Αυτή η περίπτωση αποκλείεται όµως γιατί η παραπάνω σχέση δείχνει ότι καθένας από αυτούς τους παράγοντες είναι διαιρέτης του άρα είναι µονάδα του Αυτό έρχεται σε αντίφαση µε τον ορισµό του πρώτου Ορισµός 123 Οταν ένα σώµα ικανοποιείτις συνθήκες ϱήµατος 122 χαρακτηρίζεται ευκλείδειο? και 5 του ϑεω- Πρόταση 124 Η στάθµη είναι απεικόνιση του στο που ικανοποιεί τη συνθήκη? Οσον αφορά στην αυτή είναι ισοδύναµη µε την 5 Αν τότε υπάρχει έτσι ώστε Απόδειξη Ο πρώτος ισχυρισµός προκύπτει αµέσως από τις Προτάσεις 117 και 118 Υποθέτουµε τώρα ότι ισχύει η συνθήκη Για Θέτουµε = Εστω µε η λέει ότι υπάρχει ακέραιος έτσι ώστε L οπότε έχουµε διαδοχικά 5 Q 5 Q OQ Αντιστρόφως υποθέτουµε ότι ισχύει η συνθήκη 5 Εστω A Για κατάλληλο Για κατάλληλο ο ( είναι ακέραιος 3 Εφαρµόζουµε τη συνθήκη για τα ( οπότε συµπεραίνουµε ότι υπάρχουν ακέραιοι = έτσι ώστε µε O= O όπου στην τελευταία ισότητα έγινε χρήση της Πρότασης 117 Ο ακέραιος ικανοποιεί τη συνθήκη 5 Πράγµατι 5 άρα O9( O O 3 Πράγµατι αν και είναι ο συντελεστής του µεγιστοβαθµίου όρου του τότε εύκολα ϐλέπει κανείς ότι Αν τώρα ϑέσουµε %&' # µε τα και είναι το ΕΚΠ των τότε µπορούµε ως * να πάρουµε το &+& #( ( του όπου - ο ϐαθµός

( 4 8 ( ( D 4 D D 13 Οταν δεν ισχύει η µονοσήµαντη ανάλυση 13 Ο συνδυασµός των προτάσεων 122 και 124 µας δίνει µία χρήσιµη ικανή συνθήκη για να διαπιστώνουµε ότι σε ένα αριθµητικό σώµα ισχύει η µονοσή- µαντη ανάλυση Εφαρµογή ϑα δούµε στο τέλος της Παραγράφου 14 Για την επίλυση διοφαντικών εξισώσεων συνήθως καταφεύγουµε σε παραγοντοποίηση στην οποία υπεισέρχονται ακέραιοι ενός αριθµητικού σώµατος Τότε πολύ χρήσιµη αποδεικνύεται η εξής Πρόταση 125 Εστω ότι στους ακεραίους ενός σώµατος ισχύει η µονοσήµα- ντη ανάλυση σε πρώτους παράγοντες Αν ισχύει µια σχέση της µορφής ( µε (C και ΜΚ ( τότε ( και όπου µε ΜΚ Απόδειξη Εστω ( M και ( ( οι αναλύσεις των (C σε πρώτους Επειδή οι (- είναι πρώτοι µεταξύ τους J ( D P8 5=# 5=#> Η σχέση ( δίνει ( ( (13 Λόγω της µονοσήµαντης ανάλυσης ενώ οι πρώτοι που εµφανίζονται στις δύο αναλύσεις είναι συνεταιρικοί Αλλάζοντας τη σειρά των 5 ## αν χρειαστεί έχουµε 4 4 5=#> και J / =# Άρα ( και ηλαδή ( και Άρα ( µε και M λόγω της σχέσης (13 Η Πρόταση αυτή είναι απαραίτητο εργαλείο στις Παραγράφους 21 και 22 Πρόταση 126 Εστω ότι στους αλγεβρικούς ακεραίους ενός σώµατος ισχύει η µονοσήµαντη ανάλυση σε πρώτους παράγοντες Αν ισχύει µια σχέση της µορφής ; ( µε (-C % και ΜΚ ( τότε ( και όπου ΜΚ και Η απόδειξη είναι ανάλογη µε αυτή της προηγούµενης πρότασης 13 Οταν δεν ισχύει η µονοσήµαντη ανάλυση Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε τι γίνεται στην περίπτωση που ο δακτύλιος των αλγεβρικών ακεραίων ενός σώµατος δεν είναι δακτύλιος µονοσήµαντης ανάλυσης Αναγκαίο είναι να ϑυµηθούµε ορισµούς και να δούµε κάποιους νέους

( 4 14 1 Στοιχεία Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθµών ιαιρετότητα ιδεωδών Εξ ορισµού ΜΚ ιδεωδών Ορισµός ανάλογος του 1112 όπου τα (-C αντικαθίστανται από ιδεώδη του Ορισµός 131 Εστω ιδεώδες του Το λέγεται πρώτο αν ισχύει η συνεπαγωγή ( και ( (S ή O Χαρακτηριστική ιδιότητα των πρώτων ιδεωδών ανάλογη µε αυτή των πρώτων αριθµών Αν πρώτο ιδεώδες ιδεώδη και τότε ή Ορισµός 132 Εστω Το λέγεται κλασµατικό ιδεώδες του αν ικανοποιούνται όλες οι παρακάτω ιδιότητες (α Αν τότε & (ϐ Αν και τότε (γ Υπάρχει T τέτοιο ώστε Για τα ιδεώδη του ϑα χρησιµοποιούµε τον όρο «ακέραια ιδεώδη» Προφανώς κάθε ακέραιο ιδεώδες είναι κλασµατικό Σ` αυτή την παράγραφο όταν λέµε «ιδεώδες» εννοούµε «κλασµατικό ιδεώδες» εν γένει Ορισµός 133 Ενα ιδεώδες λέγεται κύριο αν Συχνά χρησιµοποιούµε τον συµβολισµό ( ϕουµε ( και εννοούµε ( για κάποιο (S αντί ( Επίσης συχνά γρά- Παρατήρηση Εστω Τότε - υπάρχει µονάδα τέτοια ώστε Ορισµός 134 Αν ιδεώδη το γινόµενο ορίζεται ως εξής 4 4 4 όπου το δηλώνει πεπερασµένο άθροισµα Αν X ιδεώδη του ισχύουν ακόµα τα εξής Το είναι ιδεώδες του =V 1 (δηλαδή µοναδιαίο ιδεώδες

13 Οταν δεν ισχύει η µονοσήµαντη ανάλυση 15 Για κάθε ιδεώδες του υπάρχει ιδεώδες τέτοιο ώστε Εποµένως στο (το αντίστροφο του Πρόταση 135 Το σύνολο των ιδεωδών του αποτελεί αντιµεταθετική οµάδα την οποία συµβολίζοµε µε Το σύνολο των κυρίων ιδεωδών του είναι κανονική υποοµάδα της Ορισµός 136 Ορίζουµε την οµάδα πηλίκο η οποία λέγεται οµάδα κλάσεων ιδεωδών Θεώρηµα 137 Η οµάδα είναι πεπερασµένη και η τάξη της που συµβολίζεται µε λέγεται αριθµός κλάσεων ιδεωδών του Θεώρηµα 138 Ο δακτύλιος είναι δακτύλιος µονοσήµαντης ανάλυσης αν και µόνο αν Ακόµα και όταν ο δακτύλιος δεν είναι δακτύλιος µονοσήµαντης ανάλυσης είναι δακτύλιος του Dedekind ηλαδή κάθε ιδεώδες αναλύεται µονοσήµαντα σε γινόµενο πρώτων ιδεωδών Ειδικότερα στην περίπτωση των τετραγωνικών σωµάτων ισχύει το εξής Θεώρηµα 139 Θεωρούµε το τετραγωνικό σώµα τετράγωνο Αν ακεραίων και ϱητός πρώτος τότε όπου όχι τέλειο η διακρίνουσα του σώµατος 4 ο δακτύλιος των αλγεβρικών αν και µόνο αν όπου τα είναι πρώτα ιδεώδη του και αν και µόνο αν όπου το είναι πρώτο ιδεώδες του αν και µόνο αν όπου το είναι πρώτο ιδεώδες του 4 Η διακρίνουσα του σώµατος - είναι - αν - - αν -

16 1 Στοιχεία Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθµών Το σύµβολο που εµφανίζεται στο προηγούµενο ϑεώρηµα ονοµάζεται σύµβολο του Kronecker αποτελεί γενίκευση του συµβόλου Legendre και ορίζεται ως εξής Αν και ταυτίζεται µε το σύµβολο Legendre Αν Αν όπου το είναι το σύµβολο του Jacobi Πρόταση 1310 Εστω X ιδεώδη του Αν τα είναι πρώτα µεταξύ τους η σχέση συνεπάγεται ότι? 2 όπου τα 5 είναι πρώτα µεταξύ τους τα είναι πρώτα µεταξύ τους και?2 Στην επίλυση των διοφαντικών εξισώσεων ϑα χρειαστούµε τα εξής λήµµατα Λήµµα 1311 Αν και ιδεώδες µε % δεν είναι πρώτοι µεταξύ τους στο Λήµµα 1312 Εστω Z όπου A X Απόδειξη ιδεώδη τέτοια ώστε ακέραιος του όπου X το συζυγές του X X XG και Παίρνω τη συζυγή της τελευταίας σχέσης ηλαδή XG άρα X K Z και ο συζυγής του Αν X τότε οι τότε 14 Αριθµητική σε τετραγωνικά σώµατα Εξειδικεύουµε τα συµπεράσµατα του 1 στα τετραγωνικά σώµατα Θεωρούµε το T όπου όχι τέλειο τετράγωνο Το ελάχιστο πολυώνυµο του πάνω από το είναι το & Εποµένως µια ϐάση για την επέκταση 3 αποτελείται από τα Θεώρηµα 141 Εστω S * ελεύθερος τετραγώνου Οι αλγεβρικοί ακέ- ϱαιοι του T είναι το σύνολο C όπου αν - = 6 ή αν

14 Αριθµητική σε τετραγωνικά σώµατα 17 Απόδειξη Περίπτωση α Εστω C Τότε - και έχω διαδοχικά τις σχέσεις Q = για κάποια A ZN K H & Επεται ότι το είναι αλγεβρικός ακέραιος γιατί C Εστω µορφής A Θα δείξω ότι και κάθε αλγεβρικός ακέραιος του T T οπότε το ανήκει στο αλγεβρικός ακέραιος Τότε µπορώ να υποθέσω ότι είναι της Z όπου Z και ΜΚ Z S Επειδή αλγεβρικός ακέραιος έχω ότι A δηλαδή και Εστω ΜΚ 5 Τότε άρα Και αφού έχω ότι Ισχυριζόµαστε ότι Πράγµατι έστω πρώτος διαιρέτης του Τότε αλλά και οπότε Ο είναι ελεύθερος τετραγώνου άρα δηλαδή Άτοπο γιατί ΜΚ Επειδή και ΜΚ έχουµε ότι οπότε ή & Αν ενώ άρα A ηλαδή A [ ] Αν Αν άρτιος και επειδή έχω Αφού ΜΚ ο είναι περιττός Επεται ότι και άρα Άτοπο γιατί ελεύθερος τετραγώνου Άρα περιττός και X όµως και παίρνω που σηµαίνει περιττός Ετσι - ηλαδή [ ] Περίπτωση ϐ = G Εστω [ ] Τότε οπότε αλγεβρικός ακέραιος

18 1 Στοιχεία Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθµών Εστω αλγεβρικός ακέραιος Τότε όπου AZ και ΜΚ M Οµοίως µε M πριν καταλήγω στο ότι ή Αν προφανώς A [ ] Αν αν άρτιος ϕτάνω σε άτοπο (όπως στην προηγούµενη περίπτωση Αν περιττός όµως άρα X και έχουµε Τότε και ο είναι περιττός αλλιώς περιττός και έτσι K Άτοπο Άρα Από τις 5 έχω ότι X άτοπο Θεώρηµα 142 Εστω A M ελεύθερος τετραγώνου Εστω Τότε για την οµάδα? των µονάδων του αν? 0 αν Εστω και αν όπως στην εκφώνηση του Θεωρήµατος 141 Τότε 9 ισχύει όπου ϑετικοί ακέραιοι οι οποίοι ορίζονται ως εξής Αν = GX τότε και ελάχιστο Αν τότε 0 [ και ελάχιστο Απόδειξη Εστω A ακέραιος Το είναι µονάδα αν και µόνο αν O ιακρίνουµε περιπτώσεις Αν = 6 τότε + Εχουµε λοιπόν O 0 Άρα για και ή και οπότε 9T για και οπότε 9T? Αν τότε = O Άρα + 0 Z Άρα για και ή και ή και ή και οπότε 9 X? 0 για και οπότε 9? Εστω τώρα Από τη Θεωρία των πραγµατικών Τετραγωνικών Σωµάτων είναι γνωστό ότι υπάρχει µία µονάδα µε η λεγόµενη ϑεµελιώδης µονάδα του τετραγωνικού σώµατος τέτοια ώστε κάθε άλλη µονάδα του να είναι της µορφής A δηλαδή να ανήκει στην οµάδα

14 Αριθµητική σε τετραγωνικά σώµατα 19 Από την Πρόταση 1110 M άρα στην περίπτωση = X στην περίπτωση Μένει να δείξουµε ότι το Ϲεύγος % αποτελεί την ελάχιστη ϑετική λύση ' M της εξίσωσης ή µατι αν ' είναι λύση της αντίστοιχης εξίσωσης τότε O' αντιστοίχως Πράγ- άρα (Πρόταση 1110 το στοιχείο είναι µονάδα και συνεπώς σύµφωνα µε τη προαναφερθείσα Θεωρία έχουµε X Αν επιπλέον υποτεθεί ότι τότε ϕαίνεται εύκολα ότι στο δεξιό µέλος της παραπάνω σχέσης ισχύει το ϑετικό πρόσηµο και Γράφοντας γενικά 1 C A διαπιστώνουµε αµέσως τις αναδροµικές σχέσεις και 1 και 1 X αν = X αν απ όπου γίνεται ϕανερό αναδροµικά ότι και 1 για κάθε Σύµφωνα µε ότι δείξαµε παραπάνω όµως X > µε Άρα αν η λύση ' δεν ταυτίζεται µε την % τότε κατ ανάγκη είναι µεγαλύτερη Θεώρηµα 143 Τα µιγαδικά τετραγωνικά σώµατα T #Z=# # είναι ευκλείδεια και συνεπώς σε αυτά ισχύει η µονοσήµαντη ανάλυση εν υπάρχουν άλλα ευκλείδεια µιγαδικά τετραγωνικά σώµατα για το οποίο ισχύουν οι προϋποθέσεις της πρότασης 124 Άρα ισχύει η µονοσήµαντη ανάλυση σε πρώτους παράγοντες και η πρόταση ως ισοδύναµη της Εστω τυχαίο στοιχείο του Λόγω της 5 υπάρχει 5 Απόδειξη Θεωρούµε το τετραγωνικό σώµα T ακέραιος έτσι ώστε O Αν = 6 ο είναι της µορφής 5 Η συνάρτηση στην περίπτωση των µιγαδικών τετραγωνικών σωµάτων παίρνει µη αρνητικές τιµές #

I I I I I I 20 1 Στοιχεία Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθµών Άρα δηλαδή O Επιλέγω Τότε οπωσδήποτε I L και οπότε η σχέση (14 γίνεται V #Z Αν ο είναι της µορφής Άρα O Επιλέγουµε οπότε OL και από την (15 # # K O V OL και I από την οποία A Ισχύει όµως και ότι (14 άρα (15 οπότε Αντιστρόφως για κάθε µία από τις τιµές του που εµφανίζονται στην εκ- ϕώνηση το αντίστοιχο σώµα είναι ευκλείδειο (µε τη στάθµη διότι ικανοποιείται η συνθήκη 5 της Πρότασης 124 Αυτό διαπιστώνεται ως εξής τότε αρκεί να επιλέξω µε Αν = G και τους A τους πλησιέστερους ακέραιους των αντιστοίχως Αν και 8 ώστε οι LA να ικανοποιούν τις σχέσεις Τότε διαπιστώνεται εύκολα ότι και από την επιλογή των X και O έπεται ότι OL 8 τότε επιλέγω το Αποτελεί ικανή συνθήκη για να ισχύει η µονοσήµαντη ανάλυση σε κάποιο σώµα το να είναι το ευκλείδειο εν είναι όµως και αναγκαία Ετσι εκτός

14 Αριθµητική σε τετραγωνικά σώµατα 21 από τα C C XC 5 τα οποία ϐρήκα προηγουµένως η µονοσήµαντη ανάλυση ισχύει και σε άλλα τετραγωνικά µιγαδικά σώµατα Αυτά είναι τα T XX5LT 5L Σχετικά πρόσφατα αποδείχθηκε ότι εκτός από τα παραπάνω εννέα µιγαδικά τετραγωνικά σώµατα δεν υπάρχουν άλλα (µιγαδικά τετραγωνικά στα οποία να ισχύει η µονοσήµαντη ανάλυση(abaker και HMStark Οσον αφορά στα πραγµατικά τετραγωνικά σώµατα ισχύει το Θεώρηµα 144 Τα πραγµατικά τετραγωνικά σώµατα T 5 5 = = = είναι ευκλείδεια και συνεπώς σε αυτά ισχύει η µονοσήµαντη ανάλυση εν υπάρχουν άλλα ευκλείδεια πραγµατικά τετραγωνικά σώµατα Η απόδειξη του ϑεωρήµατος είναι πολύ δύσκολη ( και

22 1 Στοιχεία Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθµών

( J J J J Κεφάλαιο 2 Επίλυση ιοφαντικών Εξισώσεων 21 Η εξίσωση ουλεύουµε στο σώµα T όπου σύµφωνα µε το ϑεώρηµα 143 ισχύει η µονοσήµαντη ανάλυση Z Θέτουµε Q πρώτος λόγω του ϑεωρήµατος 1116 X και Τότε O οπότε ο είναι Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα 142 οι µονάδες του είναι οι Ο είναι συνεταιρικός µε τον αφού Η ανάλυση του σε πρώτους παράγοντες είναι Λήµµα 211 Οι ακέραιοι του σώµατος είναι ισοδύναµοι και µε έναν από τους Απόδειξη Αν A τότε X Εχουµε έτσι διαδοχικά τις σχέσεις J J/J X # στο J/J στο 2 Άρα δηλαδή Αν ( A ακέραιος στο τότε Z Επειδή όµως όπου J/ έχουµε ότι ( 23

( ( ( ( ( ( ( ( 24 2 Επίλυση ιοφαντικών Εξισώσεων Λήµµα 212 Αν ( ακέραιος στο T X που δεν διαιρετός δια τότε ( [ Απόδειξη Αφού ο ( δεν είναι διαιρετός δια ( Άρα ( όπου ακέραιος Ετσι F F [ F [ [ F / H [ F [ [ F [ (21 Για το έχω και έτσι ηλαδή η διαφορά είναι πάντοτε διαιρετή δια οπότε η σχέση (21 γίνεται ( [ δεν έχει µη τετριµµένες ακέραιες Θεώρηµα 213 Η εξίσωση λύσεις Απόδειξη Υποθέτουµε ότι υπάρχουν ακέραιοι τέτοιοι ώστε (22 διαιρεί δύο από τους τότε ϑα διαιρεί και τον τρίτο Εποµένως µπορούµε να υποθέσουµε ότι οι ακέραιοι είναι πρώτοι ανά δύο Αν κανένας από τους F δεν είναι διαιρετός δια από το λήµµα 212 ισχύει η σχέση [ Αυτό όµως είναι αδύνατο να συµβεί Ετσι τουλάχιστον ένας από τους - έστω ο - είναι διαιρετός δια Επειδή οι είναι πρώτοι ανά δύο ο δεν διαιρεί τους Θέτουµε και ακέραιος µη διαιρετός δια Η εξίσωση (22 γίνεται 2 Θεωρούµε όµως την πιο γενική 2 (23 Αν κάποιος πρώτος εξίσωση ακέραιοι πρώτοι ανά δύο Θα δείξουµε ότι αυτή δεν έχει µη τετριµµένη λύση Αν είχε ϑα επιλέγαµε κάποια µε ελάχιστο δυνατό Λόγω του λήµµατος 212 η σχέση (23 δίνει όπου µονάδα του T X και % F 2 όπου τα τρία πρόσηµα είναι ανεξάρτητα Οι περιπτώσεις 2 [ αποκλείονται διότι συνεπάγονται τη σχέση άρα O O δηλαδή άτοπο Άρα για να ισχύει η τελευταία σχέση [

B E B 21 Η εξίσωση 25 2 πρέπει [ δηλαδή Οι ακέραιοι 1 (N S( S(% είναι ισοδύναµοι Τα είναι ϱίζες της εξίσωσης Ετσι στη σχέση Z 0 #T #' η αντικατάσταση δίνει (NV(%5( και λόγω της (23 2 (&Q(%5( ηλαδή ο διαιρεί το γινόµενο (N(% ( και επειδή είναι πρώτος διαιρεί τουλάχιστον ένα από τους (N (%# (% Οι (&5(% ( όµως είναι ισοδύναµοι άρα (& ( ( Οι ακέραιοι (N ( ( είναι πρώτοι ανά δύο 2 Ετσι R οπότε από τη σχέση (23 30 E ηλαδή ο 230 διαιρεί το και επειδή οι είναι πρώτοι ανά δύο ένας ακριβώς 230 από αυτούς διαιρείται από το Υποθέτουµε ότι αυτός είναι ο διότι η εξίσωση = X δεν αλλάζει αν το αντικατασταθεί από τον ή Λόγω της πρότασης 125 ϑα έχουµε R 230 όπου µονάδες του T X και 5 5 1 ακέραιοι πρώτοι ανά δύο µη διαιρετοί δια Ισχύει διότι Q V # ( R ( (24 (N Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιµές των # στη σχέση (24 έχουµε 230 δηλαδή [ 230 (25 Επειδή και κανένας από τους 5 δεν είναι διαιρετός δια λόγω του λήµµατος 212 έχουµε [ Ετσι [ και η εξίσωση (25 γίνεται? 30 Η τελευταία εξίσωση είναι της ίδιας µορφής µε τη (23 και έχει λύση αφού έχει και η (23 Οµως ο εκθέτης του είναι µικρότερος απ ότι στη (23 Αντίφαση µε την υπόθεση 1 & και (& 2 Αν οι διαιρούνται από τον ίδιο πρώτο τότε οι & & διαιρούνται από τον Άτοπο γιατί είναι πρώτοι µεταξύ τους Οµοίως δείχνουµε ότι οι είναι πρώτοι µεταξύ τους ϑα και

26 2 Επίλυση ιοφαντικών Εξισώσεων 22 Η εξίσωση των Ramanujan - Nagell Σε αυτή την παράγραφο ϑα αποδείξουµε το Θεώρηµα 221 Η εξίσωση και µόνο αυτές = = 5 Θα εργαστούµε στο σώµα M ισχύει η µονοσήµαντη ανάλυση ακτύλιος των ακεραίων του Z Το συζυγές του είναι το είναι ο έχει ακέραιες λύσεις τις όπου σύµφωνα µε το ϑεώρηµα 143 A όπου Από το ϑεώρηµα 142 ξέρουµε ότι οι µονάδες του σώµατος είναι οι Στάθµη του τυπικού στοιχείου AT Z & - Πράγµατι Z & Z & έστω # Τότε O O Άρα και Ετσι έχουµε H G H ή ή ή και ή ή 5 που ικανοποιούν την # δηλαδή - και # Τα = Η ανάλυση του σε πρώτους είναι µε την πρόταση 1116 διότι η στάθµη τους είναι πρώτος ή Επιλέγω εκείνα τα Ϲεύγη είναι πρώτοι σύµφωνα Απόδειξη ϑεωρήµατος Εστω? ακέραιοι έτσι ώστε (26 Προφανώς ο είναι περιττός και υποθέτουµε ότι είναι ϑετικός Αν ο είναι άρτιος ισχύει η σχέση 2 # 2

22 Η εξίσωση των Ramanujan - Nagell 27 από την οποία 2 M O και 2 Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε 1 2 Άρα και = Αν ο είναι περιττός προφανώς Για έχουµε F Ο είναι περιττός οπότε Ο διαιρετός δια οπότε ϑέτοντας K η εξίσωση (26 γράφεται δηλαδή - Οι πρώτοι = σύµφωνα µε την πρόταση 125 και - ή και Σε όλες τις περιπτώσεις αφαιρώντας κατά µέλη παίρνουµε - Υποθέτουµε είναι δεν γίνεται να διαιρούν ταυτόχρονα τους 3 οπότε οι τελευταίοι είναι πρώτοι µεταξύ τους Ετσι Το δεξιό µέλος της τελευταίας ισότητας είναι µια παραγοντοποιήση σε πρώτους Οµως το ϑετικό πρόσηµο δεν γίνεται να εµφανίζεται Πράγµατι ϑέτουµε - Προφανώς ενώ η σχέση - συνεπάγεται Ετσι 0 είναι περιττός Άτοπο γιατί - Άρα 6 6 Τότε επειδή ο Άρα και έχουµε 3 Αν ο & & & διαιρεί τους & & & & & ϑα διαιρεί και τη διαφορά τους άτοπο

28 2 Επίλυση ιοφαντικών Εξισώσεων C0 2 C0 0 Q Q άρα C0 Το7 έχει περίοδο και το 0 έχει περίοδο τους έχει περίοδο ίση µε το ΕΚΠ A ή ή Επειδή ο είναι περιττός 4 έχω τελικά ότι X ή ή (27 Το άθροισµά Εποµένως οι λύσεις της (27είναι Οι τιµές = δίνουν αποδεκτές λύσεις Θα δείξουµε ότι είναι αδύνατον να υπάρξει λύση 6 5 Εστω λύση της (26 µε 6 5 Εστω ακόµα Επειδή * X 5 έχουµε C09 C0 9 και άρα (28 Λόγω του λήµµατος 222 ισχύει = Άρα = = (29 Επειδή 0 έχουµε C0 4 Q / Q Q & Ο & είναι άρτιος άρα & Οµοίως τα υπόλοιπα 5 ΜΚ άρα ΜΚ και έτσι Q

I 22 Η εξίσωση Οµως για / διότι 0 οπότε λόγω των σχέσεων (28 (29 των Ramanujan - Nagell 29 * X5 H 6 Ετσι η τελευταία σχέση γίνεται 9 Εποµένως άτοπο γιατί X Οµοίως δείχνουµε ότι δεν γίνεται να έχουµε λύση της (26 ούτε λύση 6 5 (Η απόδειξη είναι πολύ ευκολότερη από άποψη υπολογισµών = Οι τιµές = µας δίνουν τις λύσεις = 5 5 της αρχικής εξίσωσης Χρησιµοποιήσαµε το Λήµµα 222 Εστω ότι οι είναι ακέραιοι και ϑέτουµε ότι για κάθε πρώτο διαιρέτη του ισχύει Απόδειξη Εστω ΜΚ A Τότε όπου ΜΚ Λόγω όµως της σχέσης * * R# R# R# A έχουµε R R# 6 Πράγµατι - & το οποίο ισχύει αφού R# * A Υπο- / Τότε / A A

30 2 Επίλυση ιοφαντικών Εξισώσεων * R# * R# 23 Η εξίσωση M Θεωρούµε το τετραγωνικό σώµα ισχύει η µονοσήµαντη ανάλυση T όπου σύµφωνα µε το ϑεώρηµα 144 Ο δακτύλιος των ακεραίων του σώµατος είναι Z A όπου - Ελάχιστο πολυώνυµο του Το συζυγές του είναι το Στάθµη του τυπικού στοιχείου είναι Θεµελιώδης µονάδα H O S Η ανάλυση του σε πρώτους είναι Πράγµατι οι Z Το συζυγές του % VZ - > είναι πρώτοι γιατί η στάθµη τους είναι πρώτος είναι το Z G

23 Η εξίσωση 31 Εύρεση όλων των ακεραίων λύσεων της εξίσωσης µε ΜΚ ' Εστω (210 ακέραιοι τέτοιοι ώστε να ικανοποιούν την εξίσωση (210 Τότε > (211 τότε Αν ΜΚ? ΜΚ (212 Οι είναι πρώτοι µεταξύ τους στο TV 7 και εποµένως οι # είναι πρώτοι µεταξύ τους στο ίδιο σώµα 8 Εποµένως η σχέση (212 συνεπάγεται ότι Z Εστω Z Τότε Q # N Παίρνοντας συζυγή έχουµε ότι > Άρα ο ' εκτός από τον πρώτο διαιρείται επίσης και από τον πρώτο Q # O Οµοίως Z MN Οµοίως αποκλείουµε τη περίπτωση M ή οπότε που αντίκειται στην υπόθεση και µας µένουν οι περιπτώσεις M Αν λόγω της πρότασης 125 η σχέση (211 µας δίνει ' ZK άρα X ZH Αν τότε ' X άρα Επειδή οι ΜΚ M * είναι ακέραιοι πρώτοι µεταξύ τους πρέπει ΜΚ 53 οπότε πρέπει 7 Αν κάποιος πρώτος του διαιρεί τους τότε και ηλαδή και Οµως Ακόµα απ` οπότε υπάρχει ϱητός πρώτος που διαιρεί τους Άτοπο γιατί οι είναι πρώτοι µεταξύ τους στο 8 Σύµφωνα µε τη πρόταση 1116 ο είναι πρώτος στο διότι η στάθµη του είναι πρώτος Αφού οι είναι πρώτοι µεταξύ τους κανένας από τους πρώτους που εµφανίζονται στην κανονική ανάλυση του δεν εµφανίζεται στην κανονική ανάλυση του Αν οι δεν εµφανίζεται στην κανονική ανάλυση του Άρα δηλαδή Άτοπο γιατί οι είναι είναι πρώτοι µεταξύ τους στο τότε ο δηλαδή Παίρνοντας συζυγή έχουµε ότι & Από τις δύο τελευταίες σχέσεις παίρνουµε ότι πρώτοι µεταξύ τους στο

32 2 Επίλυση ιοφαντικών Εξισώσεων όπου Αν ΜΚ 3 τότε ' Αν 6 τότε ' X X * S H άρα H * ΜΚ 3 Αν και Άρα οι είναι περιττοί 9 Επειδή L - η σχέση (211 µας δίνει ότι εξής διαδοχικά 'L #' 6 L Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας υποθέτουµε ότι X Ετσι Συνεπώς και V άρα διότι και γράφεται ως 6 οπότε άρα - 5 # ZK όπου όπως και στην προηγούµενη περίπτωση αρκεί να ϑεωρήσουµε τις τιµές 5 Για κάθε µια από αυτές τις τιµές ϐρίσκουµε οικογένεια λύσεων συναρτήσει των παραµέτρων 9 & και

24 Η εξίσωση 33 24 Η εξίσωση ουλεύουµε στο σώµα M T Ο δακτύλιος των ακεραίων του σώµατος είναι = Από το ϑεώρηµα 142 γνωρίζουµε ότι µονάδες του σώµατος είναι οι Ο αριθµός κλάσεων ιδεωδών είναι Αυτό διαπιστώνεται από πίνακες ή µε τη ϐοήθεια του υπολογιστικού πακέτου Pari Η ανάλυση του C Θεώρηµα 241 Η εξίσωση σύµφωνα µε το ϑεώρηµα 139 είναι όπου είναι πρώτο ιδεώδες όχι κύριο έχει λύσεις τις Q X5 X Απόδειξη Εστω έτσι ώστε να ικανοποιούν τη (213 Προφανώς ο είναι περιττός ενώ η σχέση (213 γράφεται LG X#' Εστω πρώτο ιδεώδες κοινός διαιρέτης των L L6 6 Άρα 1 1 1 Αν τότε 10 και λόγω της (214 λήµµα 1311 έχουµε ότι οι Άρα κάθε πρώτος διαιρέτης των L L L6 οπότε LG δηλαδή (214 Ετσι από το δεν είναι πρώτοι µεταξύ τους στο Άτοπο ή και Στην πραγµατικότητα αν το διαιρεί κάποιο από τα ϑα διαιρεί και το άλλο 11 Άρα ΜΚ 6 10 Επειδή το είναι πρώτο ιδεώδες 11 Αν πχ διαιρεί το άρα &(' τότε &(' &(' Οµως άρα &(' Άρα & &(' & &(' & &('

34 2 Επίλυση ιοφαντικών Εξισώσεων και από τη σχέση (213 παίρνω διαδοχικά L Ετσι λόγω της Πρότασης 1310 L Ο αριθµός κλάσεων ιδεωδών είναι Μεταφέροντας λοιπόν την τελευταία σχέση σε κλάσεις ισοδυναµίας έχουµε 1 1 V2 Άρα το είναι κύριο ιδεώδες δηλαδή διαδοχικά Οπότε Άρα ' ' και 25 Η εξίσωση Εργαζόµαστε στο σώµα M 1 V 3 X και N και παίρνουµε τις λύσεις * Ελάχιστο πολυώνυµο του 3 - όπου O K 3 Εχουµε λοιπόν X εύτερος συζυγής του M

25 Η εξίσωση 35 ακτύλιος των ακεραίων του Z Στάθµη του τυπικού στοιχείου Z A S Θεµελιώδης µονάδα του σώµατος - O Οµάδα κλάσεων ιδεωδών του [ όπου είναι το ιδεώδες = Την τελευταία πληροφορία σχετικά µε την οµάδα κλάσεων ιδεωδών µας πήρα- µε µέσω του αριθµοθεωρητικού πακέτου Pari ακολουθώντας την εξής διαδικασία K bnfinit bnfclassunit? 2 1 idealtwoelt Στο δεξιό µέλος της εξίσωσής µας εµφανίζεται ο αριθµός απαραίτητο να γνωρίζουµε την ανάλυση των σε ιδεώδη του οπότε είναι Επίσης όπως ϑα δούµε παρακάτω ϑα µας χρειασθεί και η ανάλυση του Με την εντολή idealprimedec όπου ϱητός πρώτος το Pari επιτυγχάνει την ανάλυση του σε πρώτα ιδεώδη του Ετσι ϐρήκαµε C C = N 5 C 5 = # C Παρατήρηση Οι δεξιώτερες ισότητες σε κάθε µία από τις τρεις τελευταίες γραµ- 5 C µές σε συνδυασµό µε το Λήµµα 1312 συνεπάγονται ότι αν Z τότε # και Θα µας χρειασθεί επίσης να ξέρουµε σε ποιά κλάση ιδεωδών ανήκει καθένα από τα παραπάνω ιδεώδη Η εντολή του Pari

36 2 Επίλυση ιοφαντικών Εξισώσεων bnfisprincipal όπου είναι ένα οποιοδήποτε από τα παραπάνω ιδεώδη µας δίνει τις εξής σχέσεις Επίλυση της διοφαντικής εξίσωσης Η σχέση (215 δίνει ' ιδεώδη C # Z ΜΚ C (215 Περνούµε σε Λόγω των αναλύσεων των ιδεωδών που παράγονται από τα 3 και 37 η τελευταία γίνεται C X N (216 Θέλουµε τώρα να ανακαλύψουµε τους πιθανούς κοινούς διαιρέτες των παραγόντων του αριστερού µέλους Εστω κοινός διαιρέτης των % Εχουµε διαδοχικά Επειδή τα T 1 και 1 και και είναι πρώτα µεταξύ τους 12 Αν ο είναι ο ΜΚ των L L L και Άρα τότε 12 Εστω ότι υπήρχε µη τετριµµένος κοινός διαιρέτης των Επειδή ' και έπεται ότι ' Εξ υποθέσεως άρα ' οπότε λόγω του λήµµατος 1311 οι ' δεν ϑα ήταν πρώτοι µεταξύ τους άτοπο

[ [ [ 25 Η εξίσωση 37 Αν από τους ο ένας είναι άρτιος και ο άλλος περιττός τότε αναγκαστικά 13 οπότε από τη σχέση (216 λόγω και του λήµµατος 1312 συµπεραίνουµε ότι ισχύει µία από τις περιπτώσεις N ή Παρατηρούµε τώρα ότι η αλλαγή προσήµου στο η οποία δεν αλλάζει ουσιαστικά τις λύσεις της αρχικής εξίσωσης µετατρέπει το X N στο Z X Αν αυτό συνδυαστεί µε το Λήµµα 1312 ϐγαίνει το συµπέρασµα ότι στις παραπάνω διαζευκτικές περιπτώσεις µπορούµε να ϑεωρήσουµε χωρίς ϐλάβη της γενικότητας µόνο εκείνες στις οποίες εµφανίζεται το Ετσι (217 (218 ή ή για κάποιο ακέραιο ιδεώδες Αν οι είναι και οι δύο περιττοί ο είναι άρτιος έστω σχέση (216 γίνεται L N [ [ και η (219 Οι παράγοντες στο αριστερό µέλος είναι πρώτοι µεταξύ τους 14 Κατ αναλογίαν µε πρίν µπορούµε να υποθέσουµε χωρίς ϐλάβη της γενικότητας ότι αριστερώτερος παράγων διαιρείται από το Ετσι η σχέση (219 συνεπάγεται µία από τις παρακάτω σχέσεις L L L L 7 7 7 7 [ (220 (221 (222 (223 για κάποιο ακέραιο ιδεώδες Προχωρούµε τώρα σε επίλυση κάθε µιας από τις εξισώσεις ιδεωδών στις οποίες καταλήξαµε 13 Εστω πχ ότι & περιπτώσεις τότε διαδοχικά έχοµε για κάποια άρα & ' & & & άτοπο Ανάλογα αποκλείονται οι 14 Πράγµατι έστω ότι έχουν ένα πρώτο κοινό διαιρέτη Αυτός πρέπει να διαιρεί το άθροισµα και τη διαφορά των δύο παραγόντων άρα τα ' ηλαδή τα ' έχουν κοινό πρώτο διαιρέτη Τότε ' άρα ' οπότε ' Οµως και άρα από το λήµµα 1311 οι ' δεν είναι πρώτοι µεταξύ τους στο άτοπο

+ + + + [ + [ + + + + + + + + [ + + + + [ + + 38 2 Επίλυση ιοφαντικών Εξισώσεων Επίλυση της (217 Περνούµε σε κλάσεις ιδεωδών Άρα Αν ή 9 η σχέση (217 γίνεται διαδοχικά L L H 3 H - > (224 Στην τελευταία ισότητα παίρνουµε στάθµες 15 οπότε 2[ ' συµπεραίνοµε από την τελευ- Επειδή το αριστερό µέλος ισούται µε ταία ότι ο είναι περιττός και Για τις διάφορες τιµές του λύνουµε ως πρός V 9 K K αναπτύσουµε το δεξιό µέλος της (224 και Για παράδειγµα κάνοντας χρήση του Maple υπολογίζουµε για - Z # [ [ [ [ [V 2[ 9 2[? 9 [ 9 9 2[ 9 2[ 2[?9 [V2[V [ 92[ [ + [ [ +++ 2[ 9 [ [ Η υπόλοιπη διαδικασία είναι πολύ απλή Εξισώνουµε το µε το ϱητό µέρος του δεξιού µέλους και το µε τον συντελεστή του και ϐρίσκουµε τα ενώ το είναι ήδη υπολογισµένο παραπάνω Είδαµε λοιπόν ότι αν καταλήξουµε σε µία σχέση όµοια µε την (224 ο µπορεί να ϑεωρείται δεδοµένος Για τον λόγο αυτό υπολογισµός των 15 Εδώ γίνεται χρήση της εντολής idealnorm του Pari (όπου ιδεώδες ή γεννήτορας ιδεώδους

25 Η εξίσωση 39 στις παρακάτω περιπτώσεις ϑα σταµατούµε τη διαδικασία επίλυσης µέχρι να ϐρούµε σχέση ανάλογη της (224 Αν L L η σχέση (217 δίνει διαδοχικά Επίλυση της (218? Αν? X Αν 5 ή? K - Άρα K # ή η σχέση (218 συνεπάγεται διαδοχικά 3 > η σχέση (218 δίνει διαδοχικά Επίλυση της (220 Αν Αν 1 9 L L? 3 άρα > η σχέση (220 δίνει διαδοχικά (δηλαδή 7 X Z H 7 X Z H 7 X N 3 > X η σχέση (220 δίνει διαδοχικά 5 L X / περιττός Επεται ότι περιττός περιττός ή περιττός περιττός

40 2 Επίλυση ιοφαντικών Εξισώσεων Στα επόµενα ϑα είµαστε πιο συνοπτικοί Κάνοντας πάντα χρήση του Pari µπο- ϱούµε να υπολογίζουµε γινόµενα (συνάρτηση idealmul δυνάµεις (συνάρτηση idealpow και πηλίκα (συνάρτηση idealdiv ιδεωδών Επίλυση της (221? Αν? Αν ή = Άρα η σχέση (221 γίνεται διαδοχικά X 5 > η σχέση (221 δίνει διαδοχικά [ #? ή Επεται ότι περιττός περιττός Επίλυση της (222 ( Αν? Αν η (222 δίνει διαδοχικά 5 > X η (222 δίνει διαδοχικά [ Z Άρα #? (? ή περιττός περιττός

25 Η εξίσωση 41 Επίλυση της (223 Αν Αν? L L L L Επεται ότι η (223 δίνει διαδοχικά L X X X [ 5 C > η (223 δίνει διαδοχικά 7 7 N H > X ή ( περιττός περιττός