ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

7

Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ. Λ 4. Λ. Σ. Σ 4. Λ. Λ. Σ 4. Σ 4. Σ 4. Σ 44. Σ 5. Σ 5. Σ 45. Σ 6. Σ 6. Σ 46. Λ 7. Σ 7. Σ 47. Σ 8. Σ 8. Λ 48. Σ 9. Λ 9. Σ 49. Λ 0. Λ 0. Σ 50. Λ. Σ. Λ 5. Σ. Σ. Σ 5. Λ. Σ. Λ 5. Λ 4. Λ 4. Σ 54. Λ 5. Σ 5. Σ 55. Λ 6. Λ 6. Σ 56. Σ 7. Σ 7. Λ 57. Σ 8. Σ 8. Σ 58. Σ 9. Λ 9. Σ 59. Σ 0. Λ 40. Λ 60. Λ 7

Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Γ 9. 9. Β. 0. Β 0.. Ε. Γ. Γ 4. α) Γ. Ε. Ε β) Β. Ε. γ) Α 4. Ε 4. Ε 5. Γ 5. Γ 5. Γ 6. Α 6. 6. Β 7. Β 7. Γ 7. 8. Α 8. 8. Β Μερικές ενδεικτικές λύσεις. Πρέπει να εξηγήσουµε ότι οι συµβολισµοί g (x) και (g (x)) είναι διαφορετικοί. Το g (x) είναι η παράγωγος της g στο x, ενώ (g (x)) = g (x) (x) = g (x). Άρα η δοσµένη σχέση f (x) = g (x) δίνει f (x) = g (x) f (x) = (g (x)) f (x) = ( g (x)), άρα f (x) = g (x) + c (απάντηση Α). 7. Εδώ θέλουµε από τη γραφική παράσταση της f, να βγάλουµε κάποιο συµπέρασµα για την f. Από το σχήµα βλέπουµε ότι η f αλλάζει µονοτονία, άρα δεν µπορεί να είναι σωστή η Α, Γ και η. Παρατηρώντας προσεκτικά το σχήµα βλέπουµε ότι αλλάζει δύο φορές µονοτονία, άρα έχει δύο ρίζες η f. Έτσι σωστή είναι η Β. 74

6. Η υπόθεση f (x 0 ) 0 σηµαίνει f (x 0 ) > 0 ή f (x 0 ) < 0. Στην πρώτη περίπτωση η f θα είχε ελάχιστο το x 0, δηλαδή ακρότατο. Στη δεύτερη περίπτωση θα είχε µέγιστο στο x 0, δηλαδή πάλι ακρότατο. Έτσι, σε κάθε περίπτωση έχει ακρότατο, χωρίς να ξέρουµε το είδος του ακροτάτου, συνεπώς σωστή είναι η. Απαντήσεις στις ερωτήσεις αντιστοίχισης. γ. ε α β β στ 4 α 5 γ. δ 4. δ στ α β γ 4 γ 5. β 6. δ δ α α β 7. α δ β 75

Απαντήσεις στις ερωτήσεις διάταξης. - < - 5 < 0 < < 55 5. ξ = - 7 < ξ = - < ξ = < ξ4 = 7 x + x. f (x ) < f < f (x ) Απαντήσεις - υποδείξεις στις ερωτήσεις ανάπτυξης. α) Η συνάρτηση f (x) = x - x - έχει σύνολο τιµών το [0, ], ενώ η f (x) = x - x + µηδενίζεται κοντά στο [0, 0,] καλύτερη προσέγγιση δίνει η η x + x + = 0,5. Άρα στο 8 ενώ στο [0,95 ] β) Παρατηρήστε ότι η y = x + είναι εφαπτοµένη της Cf στο (, ). α) f (t) < 0 για t > 0 lim f (t) =,5 t β) y = 5 76

. Εµβαδόν βάσεων πρ, εµβαδόν παράπλευρης επιφάνειας πρ h. Συνολικό κόστος πρ + πρh µε όγκο V = πρ h, άρα h = V, οπότε το συνολικό πρ κόστος Κ (ρ) = 6πρ + h 4V. Για Κ (ρ) = 0 προκύπτει πρ - 4V = 0, άρα ρ = ρ 4. α) Αν x 0 η τετµηµένη του κοινού σηµείου τότε f (x 0 ) = g (x 0 ), άρα ηµx 0 =, g (x 0 ) = f (x 0 ) ηµx 0 + f (x 0 ) συνx 0, όµως συνx 0 = 0, ηµx 0 =, άρα g (x 0 ) = f (x 0 ) β) Για τα κοινά σηµεία f (x) = g (x) f (x) = f (x) ηµκx, άρα ηµκx = και g (x) = f (x) ηµκx + κσυνx f (x), άρα g (x) = f (x) για ηµκx = 5. f (x) = ηµ 6 x + συν 6 x + ηµ x συν x, οπότε f (x) = 0 6. α) y = x - β) Αν δ = x + x - (x - ) = + x ισχύει δ < 0,0 για x > 00 7. α) s (t) = υ (t) = αt + βt + γ µε υ (0) = 0, υ (5) = 0, άρα υ (t) = αt - 5αt δηλαδή s (t) = β) υ (, 5) = 90 αt - γ) στο [0, 5 ] επιταχ. στο ( 5, 5] επιβραδ. 5αt 6 + c µε s (0) = 0 και s (5) = 5. Άρα α = - 5 77

8. Αν Μ (x, y) σηµείο της y = x θέλουµε (x ) = x, δηλαδή x =, άρα x =, y = 4 9. q = c () = 7 R () = 57 0. κ = -. Έστω Α (- ρ, 0) το σηµείο επαφής. Τότε το Β έχει συντεταγµένες (x, f (x) = ρ - x ), άρα (ΑΒΓ) = (ρ + x) (ρ + x) (ρ - x) ρ - x πρέπει να απέχει ρ από το Α. ρ - x = f (x) ( - ρ x ρ). και όταν x = ρ, η f παρουσιάζει µέγιστο, άρα η ΒΓ α) Αν ο κύκλος εφάπτεται στον y y στο Ο (0, 0), τότε αν Β (x, y), OK = x και στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΒ το ΒΚ είναι ύψος, άρα y = BK = OK K = x (ρ - x), άρα y = ρx - x, οπότε το εµβαδόν Ε = x ρx - x = f (x). Για την f (x) προκύπτει το ίδιο µέγιστο και αυτό αποτελεί ισχυρή ένδειξη ότι η θέση των αξόνων είναι ανεξάρτητη του αποτελέσµατος. β) Παρατηρούµε ότι στη θέση µεγίστου εµβαδού ΒΓ = ρ, άρα το τρίγωνο πρέπει να είναι ισόπλευρο. Το πρόβληµα της εγγραφής µέσα σε κύκλο τριγώνου µε µέγιστο εµβαδό είναι ένα κλασικό γεωµετρικό πρόβληµα, του οποίου η αναλυτική αντιµετώπιση θα µπορούσε να είναι η προτεινόµενη παραπάνω. 78

x. g (x) = ce. Στο δεύτερο βήµα δεν ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήµατος L Hospital 4. α) υ = 40 β) Ε (40) = 0 µονάδες ενέργειας 48x - x 5. α) Ε = 4 β) Ε = 7 64 6 6 Β (4, ) Γ (- 4, ) 7 7 6. α) f (t) = ln (t - ) + 4 β) t > + e - 7. x = f () = 4 8. α) (-, ], (, 4] (4, + ) β) Από το σχήµα προκύπτει ότι f (x) = x - 5x + 4, γ) άρα f (x) = x y 7 6 0 x 5 - x + 4x + c και αφού f (0) =, άρα c = 4 x y 9. α) x = - x = β) - < x < γ) - < x < - ή < x < 79

0. α) i) OP = x, η (ε) έχει εξίσωση: y - αx = αx (x - x ). Για y = 0 προκύπτει x x = =ΤΡ (η τετµηµένη του Τ), άρα ΟΡ MP ii) εφω =, άρα f (x ) = TP f (x ) TP Μ x ω Τ P Ν iii) Στο ΤΜΝ ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει ΡΝ ΤΡ = ΜΡ, άρα ΡΝ = f f (x) (x ) f (x ) TM MN MP iv) =, άρα ΤΜ = MP PN PNMN και MN = MP + PN β) ΤΡ = για την e x και αν ΤΡ = α = e γ) ΑΤ = 8 άρα το ΟΤ του (α) ερωτήµατος είναι 8, δηλαδή ΟΡ = 6 εποµένως f (6) = 40, δηλαδή α 6 = 40, άρα η παραβολή έχει εξίσωση y = 40 x 6. α) εφω = f () µε f (x) = lnx, άρα εφω = δηλαδή ω = 45 β) εφ45 = f (0) µε f (x) = α x, άρα = α lnα, δηλαδή α = e e. α) - = t s (t). Άρα s (t) = κ - e κ αφού για t = 0 s (t) = κ. t + 4 Αυτό σηµαίνει ότι ακόµη και αν ο οδηγός είχε µηδενικό χρόνο αντίδρασης (0 καθυστέρηση), το αυτοκίνητο θα διένυε διάστηµα κ. β) s (t) > 0 άρα s (t), δηλαδή µεγαλύτερος χρόνος αντίδρασης µεγαλύτερο διάστηµα ακινητοποίησης 80

γ) s (0, 8) =,7κ. α) r (t) > 0, δηλαδή r (t) β) lim r (t) = t + 4. α) f (x) = e x x - - x - - x x 4 -, x > 0, τότε f () (x) µε ελάχιστο το 0, 6 4 άρα f () (x) µε ελάχιστο το 0, άρα f (x) µε ελάχιστο το 0, άρα f µε f (x) > 0 β) αδύνατη γ) η f είναι και δίνει τη διαφορά του e x από το άθροισµα 5. (f (x) + x) - f (x) f (x) x για x = 0 και x = 0, f (0, ), ενώ µε όµοιο τρόπο f (- 0,05) 0,9 6. Στα σηµεία Α, Β οι εφαπτόµενες είναι παράλληλες προς τον x x άρα τα x, x είναι ρίζες της f (x) = x + κx +, όµως x x = α γ = 7. α) f (x) = 0 x = 500, άρα για x < 500 f, ενώ για x > 500 f β) f (000) > f (998) από το (α) ερώτηµα. Θα µπορούσαµε ακόµη να πούµε ότι f (0) > f () και να καταλήξουµε στο ίδιο συµπέρασµα: 000 > 998 + γ) Παρατηρούµε ότι εδώ έχουµε µια γενίκευση των (α), (β) και f (x) = ν [(x - α) ν- + x ν- α ], µια προφανής ρίζα της f είναι η x 0 = (αφού ν = ρ) που είναι µοναδική, αφού f (x) > 0, άρα f (x). α α Η µονοτονία της f είναι: f στο (-, ] και f στο (, + ). Για α = 0.000 και ν = 00 προκύπτει f (0.000) > f (9.000) 8

8. h (x 0 ) = 0 f (x 0 ) = g (x 0 ), άρα παράλληλες εφαπτοµένες 9. α) f (υ) = 0 τότε υ 40, άρα η σήµανση πρέπει να γίνει 40 km/h β) f (40) 5 αυτ/sec 0. f (x) = g (x) άρα f (x) = g (x) + c για x = 0 c = 4 υ. Σε t ώρες έξοδα καυσίµου 50 ( + ) t, αφού θα κινηθεί επί t = 00 υ Άρα θεωρούµε την Κ (t) = 50 ( + ) t + 4.000t 00 υ Άρα Κ (υ) = 50 ( + ) 00 500 500 + 4.000 υ υ Βρίσκουµε υ = 8. 00 9 χιλ./ώρα και έξοδα Κ (9) 45.500 δρχ. 500. υ 8