Επληπτικά θέµτ Θεωρίς Γ Λυκείου Α i κι γ δi είι δυο µιγδικοί ριθµοί τότε: 3 4 Οι ιδιότητες υτές µπορού ποδειχτού µε εκτέλεση τω πράξεω Γι πράδειγµ έχουµε: i γ δi γ δ i γ δ i i γδi Οι πρπάω ιδιότητες κι 3 ισχύου κι γι περισσότερους πό δυο µιγδικούς ριθµούς Είι δηλδή: Ιδιίτερ είι τότε η τελευτί ισότητ γίετι: Α είι µιγδικοί ριθµοί τότε Πράγµτι έχουµε: κι επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει θ ισχύει κι η ισοδύµη ρχική Αάλογ ποδεικύετι κι η δεύτερη ιδιότητ 3 Από τη γωστή µς τριγωική ισότητ κι πό τη γεωµετρική ερµηεί του θροίσµτος κι της διφοράς δύο µιγδικώ προκύπτει ότι: Επίσης είι φερό ότι το µέτρο του διύσµτος ON είι ίσο µε το µέτρο του διύσµτος M M Ο M 3 M M N M 6 Προσοχή! ε περιέχετι όλη η εξετζόµεη θεωρί του σχολικού ιλίου σε υτό το φυλλάδιο!
4 Έστω τώρ το πολυώυµο Σύµφω µε τις πρπάω ιδιότητες έχουµε: P κι P Εποµέως 5 Έστω η ρητή συάρτηση Εποµέως P P P P όπου P Q πολυώυµ του κι µε Q Τότε Q P P P Q Q Q P P Q Q εφόσο Q 6 ΘΕΩΡΗΜΑ εδιάµεσω τιµώ Έστω µι συάρτηση η οποί είι ορισµέη σε έ κλειστό διάστηµ [ ] Α: η είι συεχής στο [ ] κι τότε γι κάθε ριθµό η µετξύ τω κι υπάρχει ές τουλάχιστο τέτοιος ώστε η Ας υποθέσουµε ότι < Τότε θ ισχύει < η< Σχ 67 Α θεωρήσουµε τη συάρτηση η [ ] πρτηρούµε ότι: η είι συεχής στο [ ] κι < φού η< κι η> Εποµέως σύµφω µε το θεώρηµ του Bolano υπάρχει τέτοιο ώστε η η η a Α O a 67 B η Προσοχή! ε περιέχετι όλη η εξετζόµεη θεωρί του σχολικού ιλίου σε υτό το φυλλάδιο!
7 ΘΕΩΡΗΜΑ Α µι συάρτηση είι πργωγίσιµη σ έ σηµείο τότε είι κι συεχής στο σηµείο υτό Γι έχουµε [ ] φού η είι πργωγίσιµη στο Εποµέως δηλδή η είι συεχής στο 8 Εστω η στθερή συάρτηση c cϵr Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει δηλδή c Πράγµτι είι έ σηµείο του R τότε γι ισχύει: Εποµέως δηλδή c c c 9 Έστω η συάρτηση Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει δηλδή Πράγµτι είι έ σηµείο του R τότε γι ισχύει: Εποµέως δηλδή Έστω η συάρτηση δηλδή vϵn-{} Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει Πράγµτι είι έ σηµείο του R τότε γι ισχύει: Προσοχή! ε περιέχετι όλη η εξετζόµεη θεωρί του σχολικού ιλίου σε υτό το φυλλάδιο! 3
Προσοχή! ε περιέχετι όλη η εξετζόµεη θεωρί του σχολικού ιλίου σε υτό το φυλλάδιο! 4 δηλδή Έστω η συάρτηση Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει δηλδή Πράγµτι είι έ σηµείο του τότε γι ισχύει: δηλδή Όπως είδµε στη πράγρφο 3 η δε είι πργωγίσιµη στο ΘΕΩΡΗΜΑ Α οι συρτήσεις είι πργωγίσιµες στο τότε η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: Γι ισχύει: Επειδή οι συρτήσεις είι πργωγίσιµες στο έχουµε: δηλδή 3 Έστω η συάρτηση vϵn* Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο R* κι ισχύει δηλδή Πράγµτι γι κάθε ϵr* έχουµε:
Είδµε όµως πιο πρι ότι γι κάθε φυσικό > Εποµέως κ ϵ Ζ-{} τότε κ κ κ 4 Έστω η συάρτήση εφ δηλδή συ Πράγµτι γι κάθε ϵ R έχουµε: Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο R R { συ } κι ισχύει εφ συ ηµ ηµ συ ηµ συ συσυ ηµ ηµ εφ συ συ συ συ ηµ συ συ 5 Η συάρτηση ϵ R - Z είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει δηλδή Πράγµτι ln e κι θέσουµε u ln τότε έχουµε u e Εποµέως u u ln e e u e 6 Η συάρτηση Πράγµτι > είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει ln e κι θέσουµε u ln 7 Η συάρτηση ln Πράγµτι > τότε < ln τότε έχουµε ln δηλδή u e Εποµέως u u ln e e u e ln ln ϵ R * είι πργωγίσιµη στο R * κι ισχύει ln ln ln εώ τότε ln ln θέσουµε ln κι u έχουµε ln u Εποµέως ln u u u Αποδεικύετι ότι γι > η είι πργωγίσιµη κι στο σηµείο κι η πράγωγός της είι ίση µε εποµέως δίετι πό το ίδιο τύπο Προσοχή! ε περιέχετι όλη η εξετζόµεη θεωρί του σχολικού ιλίου σε υτό το φυλλάδιο! 5
κι άρ ln 8 ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω µι συάρτηση ορισµέη σε έ διάστηµ Α η είι συεχής στο κι γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του τότε η είι στθερή σε όλο το διάστηµ Αρκεί ποδείξουµε ότι γι οποιδήποτε ισχύει Πράγµτι Α τότε προφώς Α < τότε στο διάστηµ [ ] η ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήµτος µέσης τιµής Εποµέως υπάρχει ξ τέτοιο ώστε ξ Επειδή το ξ είι εσωτερικό σηµείο του ισχύει ξ λόγω της είι Α < τότε οµοίως ποδεικύετι ότι Σε όλες λοιπό τις περιπτώσεις είι 9 ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω δυο συρτήσεις ορισµέες σε έ διάστηµ Α οι είι συεχείς στο κι γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του τότε υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε γι κάθε ισχύει: c Η συάρτηση σηµείο ισχύει είι συεχής στο κι γι κάθε εσωτερικό Εποµέως σύµφω µε το πρπάω θεώρηµ η συάρτηση είι στθερή στο Άρ υπάρχει στθερά C τέτοι ώστε γι κάθε c ισχύει c c O ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω µι συάρτηση η οποί είι σ υ ε χ ή ς σε έ διάστηµ Α > σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του τότε η είι γησίως ύξουσ σε όλο το Α < σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του τότε η είι γησίως φθίουσ σε όλο το Αποδεικύουµε το θεώρηµ στη περίπτωση που είι > Προσοχή! ε περιέχετι όλη η εξετζόµεη θεωρί του σχολικού ιλίου σε υτό το φυλλάδιο! 6
Έστω µε < Θ δείξουµε ότι < Πράγµτι στο διάστηµ [ ] η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Εποµέως υπάρχει ξ τέτοιο ώστε ξ έχουµε ξ Επειδή ξ > κι έχουµε < > > Στη περίπτωση που είι < εργζόµστε λόγως ΘΕΩΡΗΜΑ Fermat Έστω µι συάρτηση ορισµέη σ έ διάστηµ κι έ εσωτερικό σηµείο του Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό τότε: Ας υποθέσουµε ότι η προυσιάζει στο τοπικό µέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σηµείο του κι η προυσιάζει σ υτό τοπικό µέγιστο υπάρχει δ > τέτοιο ώστε δ δ κι γι κάθε δ δ Επειδή επιπλέο η είι πργωγίσιµη στο ισχύει Εποµέως δ τότε λόγω της θ είι θ έχουµε δ τότε λόγω της θ είι θ έχουµε 3 O 33 δ δ Έτσι πό τις κι 3 έχουµε Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη Προσοχή! ε περιέχετι όλη η εξετζόµεη θεωρί του σχολικού ιλίου σε υτό το φυλλάδιο! 7
ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω µι συάρτηση ορισµέη σε έ διάστηµ Α F είι µι πράγουσ της στο τότε όλες οι συρτήσεις της µορφής G F c c είι πράγουσες της στο κι κάθε άλλη πράγουσ G της στο πίρει τη µορφή G F c c Κάθε συάρτηση της µορφής G F c όπου c είι µι πράγουσ της στο φού G F c F γι κάθε Έστω G είι µι άλλη πράγουσ της στο Τότε γι κάθε G F γι κάθε Άρ σύµφω µε το πόρισµ της 6 υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε ισχύου F κι G G F c γι κάθε 3 ΘΕΩΡΗΜΑ Α είι µι συεχής συάρτηση σε έ διάστηµ κι είι έ σηµείο του τότε η συάρτηση F t dt είι µι πράγουσ της στο ηλδή ισχύει: t dt γι κάθε a Γι πράδειγµ ηµ tdt ηµ κι ln tdt ln ΣΧΟΛΙA Εποπτικά το συµπέρσµ του πρπάω θεωρήµτος προκύπτει Σχ 4 ως εξής: F h F t dt Άρ γι µικρά h > είι h Εµδό του χωρίου Ω h γι µικρά h > F h F h F h F F h h O F 4 Προσοχή! ε περιέχετι όλη η εξετζόµεη θεωρί του σχολικού ιλίου σε υτό το φυλλάδιο! 8
4 ΘΕΩΡΗΜΑ Θεµελιώδες θεώρηµ του ολοκληρωτικού λογισµού Έστω µι συεχής συάρτηση σ έ διάστηµ [ ] Α G είι µι πράγουσ της στο [ ] τότε t dt G G Σύµφω µε το προηγούµεο θεώρηµ η συάρτηση [ ] Επειδή κι η G είι µι πράγουσ της στο [ ] θ υπάρχει F t dt είι µι πράγουσ της στο G F c c τέτοιο ώστε Από τη γι Εποµέως έχουµε G F c t dt c c c G G F G γι έχουµε κι άρ t dt G F G G t dt G G Προσοχή! ε περιέχετι όλη η εξετζόµεη θεωρί του σχολικού ιλίου σε υτό το φυλλάδιο! 9