Câmpul electric. Suprafețe echipotențiale

Câmpul electric. Suprafețe echipotențiale Obiective Scopul aceste lucrări de laborator este determinarea experimentală a curbelor de echipotențial și reprezentarea linilor de câmp electric în cazul a două configurații de sarcină de simetrie plan-paralelă și radială. După efectuarea acestui experiment ar trebui să înțelegeți: 1. Noțiunea de curbă (sau suprafață) echipotențială. 2. Noțiunea de câmp electric și de linie de câmp electric. 3. Relația dintre câmp electric și potențial electric. Teorie Mărimea forței electrostatice dintre două sarcini punctiforme q 1 și q 2 aflate în vid este dată de legea lui Coulomb: F = 1 4πε 0 q 1 q 2 r 2, (1) unde r este distanța dintre cele două sarcini iar 1 = 9.0 10 9 Nm 2 C 2 este o constantă. 4πε 0 Direcția și sensul forței electrostatice se poate determina ținând cont de faptul că sarcinile de aceleași semn se resping iar cele de semn opus se atrag. Intensitatea câmpului electric (E) se definește ca fiind forța electrostatică per unitatea de sarcină pozitivă (q 0 ), adică E = F q 0. În cazul unui câmp electric asociat unei sarcini punctiforme q modulul intensității câmpului electric, într-un punct aflat la distanța r față de sarcina q, este dat de: E = F = 1 qq 0 q 0 4πε 0 r 2 = 1 q q 0 4πε 0 r2. (2) Deoarece forța este o mărime vectorială și câmpul electric este, de asemenea, o mărime vectorială, a cărei direcție și sens se poate determina pornind de la direcția și sensul forței ce acționează asupra sarcinii de probă q 0. Conceptul de intensitate a câmpului electric, sau simplu câmp electric, este definit pornind de la noțiunea de forță resimțită de o sarcină de probă q 0. Acest concept se poate extinde, însă, și la puncte din spațiu în care nu avem sarcini electrice. Spunem, de fapt, că deoarece într-un anumit punct avem o forță electrică asupra unei sarcini, chiar dacă sarcina se înlătură, în acel punct avem un câmp electric. Câmpul electric E se va traduce prin prezența unei forte F = q 0 E, în cazul în care plasăm sarcina q 0 în acel punct. Generalizând, putem să asociem fiecărui punct (x,y,z) din spațiu un vector E. În acest mod câmpul electric este o funcție vectorială de x, y, z, iar în cazul cel mai general, și de timp [în matematică o funcție ce depinde de poziția în spațiu (x,y,z) se numește câmp]. Un câmp vectorial E poate fi reprezentat desenând vectori în mai multe puncte din spațiu, fiecare dintre

acești vectori reprezentând intensitatea câmpului electric în acel punct [Fig. 1(a)]. O altă Fig. 2 Linii de câmp electric produs de sarcini punctiforme izolate pozitive și negative. radială, așa cum este indicat în Fig. 2. Sensul linilor de câmp produs de o sarcină pozitivă este dinspre sarcină, iar în cazul unei sarcini negative este înspre sarcină. Fig. 1. (a) Un câmp de vectori descris prin reprezentarea unei mulțimi de vectori în anumite puncte din spațiu; (b) Același câmp de vectori reprezentat prin trasare linilor de câmp tangente la direcția vectorilor câmpului, densitatea linilor este proporțională cu modulul vectorilor câmpului. modalitatea este de a trasa linii de forță sau linii de câmp tangente în orice punct la vectorii E. Pentru a nu pierde informația legată de mărimea intensității câmpului, în general, se adoptă convenția că numărul de linii de câmp pe unitatea de arie perpendiculară pe linii este proporțională cu intensitatea câmpului. Astfel, în zonele unde câmpul este mai intens liniile sunt mai apropiate iar unde este mai slab liniile sunt mai depărtate [Fig. 1(b)]. Din punct de vedere fizic liniile de câmp pot fi înțelese ca traiectoria pe care o urmează o sarcină pozitivă plasată în câmp și lăsată să se miște liber. În cazul unei sarcini punctiforme, datorită simetriei sferice, liniile de câmp au direcție Deoarece o sarcină lăsată liberă se mișcă într-un câmp electric, câmpul electric efectuează lucru mecanic asupra sarcinii. Să presupunem că avem o sarcină punctiformă staționară q care produce un câmp electric, și o sarcină de probă q 0 pe care o putem deplasa în câmpul produs de sarcina q. Fie punctele a și b la distanțele r a și r b (Fig. 3). Să presupunem că mai întâi transportăm sarcina de probă q 0 între punctele a și b de-a lungul unei direcției radiale, ca în Fig. 3(a). Lucrul mecanic efectuat pentru transportarea sarcinii din a în b este: b L a b = Fdr a r b = q 0 Edr, (3) r a Semnul minus ne indică faptul că la deplasarea sarcinii efectuăm lucru mecanic împotriva câmpului electric. Deoarece câmpul electric este radial deplasarea este paralelă cu acesta, astfel încât integrala de mai sus se poate evalua imediat: L a b = q 0q 4πε 0 ( 1 r b 1 r a ). (4) Să considerăm acum o deplasare a sarcinii între aceleași puncte a și b, însă pe drumul descris în Fig. 3(b), care presupune atât deplasări circulare

cât și radiale. Pentru a determina lucrul mecanic trebuie să integrăm (3) atât de-a lungul porțiunilor radiale cât și a celor circulare. Se poate observa din (4) că suma integralelor de-a lungul porțiunilor radiale aa și a a este egală cu integrala luată direct între a și b. În cazul r b L a b = q 0 Edr = q 0 [V(b) V(a)]. (5) r a Funcția V poartă numele de potențial electrostatic și este definită pornind de la (5) astfel: deplasărilor circulare, deoarece câmpul local este perpendicular pe deplasare conform cu (3) lucrul mecanic efectuat o să fie 0. Aceasta înseamnă că și pentru traiectoria din Fig. 3(b) obținem același rezultat ca și pentru traiectoria directă din Fig. 3(a). Drumul din Fig. 3(b) reprezintă un caz particular, însă orice fel de drum am alege, oricât de complex, acesta poate fi descompus, în ultimă instanță, în deplasări infinitezimale radiale și circulare. Astfel, putem concluziona că, indiferent de drumul pe care îl alegem, lucrul mecanic la transportarea sarcinii între a și b are întotdeauna aceeași valoare. Deoarece lucrul mecanic depinde numai de poziția punctelor a și b putem să-l exprimăm ca și diferența a două numere V(a) și V(b) ce depind numai de poziția punctelor a și b: r b V(b) V(a) = Edr (6) r a Relația (6) definește diferența de potențial. Astfel, pentru a determina potențialul unui punct întotdeauna avem nevoie de o referință [de obicei aceasta se ia la infinit unde V( ) = 0]. Potențialul electrostatic este un câmp scalar, adică este o funcție scalară ce depinde de poziția în spațiu (x, y, z). Să presupunem că avem două puncte într-o zonă a spațiului în care avem câmp electric, unul în x iar celălalt în x + dx, însă la aceleași coordonate y și z. Lucrul mecanic elementar pentru a transporta sarcina q 0 între aceste două puncte este: dl = q 0 [V(x + dx, y, z) V(x, y, z)] = V x dx. (7) În același timp, din (5) se poate arăta că lucrul mecanic elementar este egal cu: dl = Edr = E x dx. (8) Astfel, din (7) și din (8) rezultă că: E x = V x. (9) Același tip de raționament va conduce la: Fig. 3 Sarcina de probă q 0 deplasată în câmpul electric produs de sarcina q pe o traiectorie (a) radială și (b) pe o traiectorie ce implică atât deplasări radiale cât și circulare. E y = V y, E z = V z. (10) Astfel, relațiile (9) și (10) ne vor conduce la:

E = E x i + E y j + E z k = V V V i j k (11) x y z Folosind notațiile analizei vectoriale, relația de mai sus se poate rescrie astfel: E = V, (12) unde este operatorul gradient = ( i, j, k ). x y z La fel ca în cazul câmpului vectorial E, pentru care avem o reprezentare geometrică sub forma linilor de câmp, și pentru potențial putem să ne imaginăm o reprezentare geometrică prin trasarea suprafețelor (curbelor) echipotențiale. Pe o suprafață echipotențială potențialul electric are aceeași valoare. Ecuația (12) ne indică faptul vectorul câmp electric este egal cu un vector de aceeași mărime și antiparalel cu vectorul gradient al potențialului electrostatic. Gradientul unui câmp scalar este un vector care are direcția celei mai rapide modificări a acestuia. Aceasta înseamnă că E trebuie să fie pretutindeni perpendicular pe o suprafață echipotențială, deoarece direcția celei mai rapide modificări a potențialului este perpendiculară pe suprafață. Dacă direcția celei mai rapide modificări a potențialului nu ar fi perpendiculară pe suprafața echipotențială, aceasta ar avea o componentă paralelă la suprafața echipotențială, ceea ce înseamnă că potențialul ar varia pe suprafața echipotențială, dar atunci suprafața nu ar mai fi echipotențială. În cazul unei sarcini punctiforme, suprafețele echipotențiale sunt sfere cu centrul în sarcină (în două dimensiuni acestea sunt vizualizate ca și cercuri concentrice cu centrul în sarcină), așa cum este indicat în Fig. 4. Experimental este mult mai simplu să se măsoare potențialul electric decât intensitatea câmpului electric. Apoi, folosind ecuația (12) se poate determina câmpul electric. În cadrul acestei lucrări, se vor determina curbele echipotențiale în cazul a două configurații, de simetrie plan-paralelă și radială, și se vor trasa liniile de câmp electric ținând cont că acestea sunt perpendiculare pe curbele echipotențiale. Procedura experimentală 1. Dispozitivul experimental constă dintr-o placă plană pe care este plasată o foaie de hârtie semiconductoare. Pe hârtia semiconductoare se fixează, cu ajutorul șuruburilor cu fluture, electrozii metalici. Electrozii sunt astfel confecționați pentru a reprezenta o secțiune transversală printr-un condensator plan-paralel și un condensator cilindric (Fig. 5). 2. Cu ajutorul firelor conductoare se conectează cei doi electrozi la bornele sursei de tensiune. Sursa de tensiune se reglează la o valoare de 10 V, ceea ce înseamnă că între cei doi electrozi avem o diferență de potențial de 10 V. Fig. 4. Reprezentare schematică a linilor de câmp electric și a curbelor echipotențiale din jurul unei sarcini punctiforme pozitive. 3. Se reglează multimetrul pentru citire tensiune continuă pe scala de 20 V. Electrodul negativ al multimetrului se conectează la electrodul negativ plasat pe hârtia milimetrică. 4. Electrodul neconectat al multimetrului se plasează pe hârtia semiconductoare și se citește

indicația multimetrului. Deplasând electrodul pe suprafața hârtiei semiconductoare se identifică poziția unui punct de potențial 2V și se marchează poziția acestuia. În continuare se identifică poziția unui alt punct de potențial 2V aflat la circa 1 cm față de primul punct. Procedura se repetă până se identifică un număr satisfăcător de puncte. Prin unirea punctelor se trasează curba de echipotențială de 2V. 5. Se repetă pasul 4 pentru 4V, 6V și 8V. 6. Ținând cont de faptul că E este perpendicular pe curbele echipotențiale se trasează un număr relevant de linii de câmp și totodată se stabilește și sensul acestora. 7. Pașii de la 2 la 7 se repetă pentru cele două configurații, de simetrie plan-paralelă și radială.

Nume Secţia/Grupa Data Câmpul electric. Suprafețe echipotențiale Raport de Laborator Determinarea câmpul electric în diferite zone din vecinătatea electrozilor. a. Cazul simetriei plan paralele În cazul simetriei plan-paralele operatorul gradient se reduce la = i + j. În acest caz vectorul x y câmp electric o să fie E = ( V x V i + j), astfel componentele vectorului câmp electric vor fi: y E x = V x E y = V y (11) Calculul componentelor câmpului electric folosind relația (11) impune calcularea unor variații infinitezimale ( V V şi ). Bineînteles, folosind datele experimentale obținute nu se pot calcula astfel de x y variații. De aceea, vom aproxima variațiile infinitezimale dintr-un anumit punct cu variații măsurabile V x,y și x, y, astfel V ΔV x x Δx V şi ΔV y y Δy. De exemplu, să presupunem că dorim să calculăm componentele câmpului electric în punctul (x 1,y 1 ) din Fig. 5(a). Folosind notațiile din figură, cele două componente ale câmpului vor fi: E x ΔV x Δx = V(x 1 + x, y 1 ) V(x 1, y 1 ) x E y ΔV y Δy = V(x 1, y 1 + y) V(x 1, y 1 ) y (12) Folosind metoda aproximativă descrisă mai sus, se va calcula câmpul electric în diferite puncte din jurul electrozilor indicate în Fig. 5(b).

Nume Secţia/Grupa Data Fig. 5. (a) Determinarea gradientului potențialului în punctul (x 1, y 1 ) prin aproximarea variaților infinitezimale cu variații măsurabile. (b) Zone din jurul electrozilor unde se va calcula câmpul electric. TABELUL DE DATE 1 Scop: Determinarea câmpul electric în diferite zone din vecinătatea electrozilor în cazul simetriei planparalele Nr. Crt. x ( ) y ( ) E x ( ) E y ( ) E b. Cazul simetriei cilindrice Datorită simetriei cilindrice a sistemului, curbele echipotențiale sunt cercuri concentrice iar liniile de câmp au direcție radială. În cazul acestei simetrii operatorul gradient se reduce la = d ρ, unde ρ este dr versorul direcției radiale, iar vectorul câmp electric o să fie E = dv ρ. Similar cazului precedent o să aproximăm variația infinitezimală a potențialului dintr-un anumit punct cu variații măsurabile, astfel: dr

Nume Secţia/Grupa Data dv ΔV r dr Δr. De exemplu, câmpul electric la distanța r față de centrul de simetrie al sistemului, folosind notațiile din Fig. 6, se va calcula astfel: E ΔV r Δr = V(r + r) V(r) r (13) Folosind această metodă se va calcula modulul câmpului electric la diferite distanțe față de centrul de simetrie al sistemului. Fig. 6. Determinarea gradientului potențialului în punctul în cazul simetriei cilindrice prin aproximarea variaților infinitezimale cu variații măsurabile. TABELUL DE DATE 2 Scop: Determinarea câmpul electric la diferite distanțe față de centrul sistemului în cazul simetriei cilindrice. Nr. Crt. r ( ) E ( )

Nume Secţia/Grupa Data Întrebări: i) Ce reprezintă liniile de câmp electric și ce informații conțin acestea? ii) Ce reprezintă suprafețele (curbele) echipotențiale și care este relația dintre acestea și liniile de câmp? iii) Ce reprezintă vectorul gradient al unui câmp scalar? iv) În cazul configurației plan-paralele comentați geometria linilor de câmp între plăci și în apropierea marginilor acestora.

Nume Secţia/Grupa Data v) Reprezentați schematic liniile de câmp electric și curbele echipotențiale în cazul configuraților de mai jos.