ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.

ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και ότι f() > 0 για κάθε є (0, + ). 0 iii) Να δείξετε ότι f() f()e = για κάθε є [0, + ). iv) Να δείξετε ότι ln και ότι 2f() > ln για κάθε є (0, + ) v) Να βρείτε το lim f() καθώς και το σύνολο τιμών της f. + vi) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y = είναι εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο O(0, 0). vii) Να δείξετε ότι η f είναι κοίλη και επιπλέον ότι f() για κάθε є [0, + ). viii) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να ορίσετε την f -. i) Να υπολογίσετε τα : f(e), f e. e+ e ) Να βρείτε την τιμή του αθροίσματος f(t)dt+ - f (t)dt. 0 0 i) Να υπολογίσετε το ii) Να βρείτε το : λe λ 0 E(λ)= -f() d, λ > 0. lim Ε(λ). λ +

ΘΕΜΑ 52 ο Δίνεται μία συνάρτηση f με συνεχή παράγωγο στο και f (0) = και f - f =,. 2 2 Να αποδείξετε ότι: α) Η f είναι αντιστρέψιμη. β) Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f () = f(). γ) Να βρείτε τον τύπο της f. δ) Να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης της f. 3 4 - ε) Να υπολογίσετε το f ()d. 0

ΘΕΜΑ 53 ο Δίνεται η συνάρτηση f : δύο φορές παραγωγίσιμη με f () 0 με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία A(, 0) και B(2, -). Α) Να δείξετε ότι η f έχει μοναδική λύση στο. B) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Γ) Έστω ο μιγαδικός u. Αν ισχύει f 2+f iu+ γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών u. 0, να βρεθεί ο Δ) Έστω οι μιγαδικοί z, z, z 2, w για τους οποίους ισχύει z-z = f(), w-z = f(2) και z -z = 2f 3. Να βρεθεί η μέγιστη και η 2 2 2 ελάχιστη τιμή του z-w.

ΘΕΜΑ 54 ο Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο ώστε να ισχύει 2f(2 3) + f(6 ) = 2, για κάθε є. 2-3 A) Nα αποδειχθεί η σχέση 2 f(t)dt = --6 για κάθε є. B) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα 7 4 f()d. 6-2+ 5 Γ) Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης g()= 2-5 f 5u- 4 du Δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση 3f() 0 = 0 έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα.

Έστω η συνάρτηση f, f() = ΘΕΜΑ 55 ο + t+ t 2 + dt Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. Γ) Να υπολογίσετε τα όρια: lim - f(), lim f() και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της f -. Δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : 402-2 = + 2 2 t +dt έχει μοναδική πραγματική ρίζα.

ΘΕΜΑ 56 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f:, η οποία είναι τέτοια ώστε: f() e 2 f(t )dt Να αποδείξετε ότι: Α) f() ( )e,., για κάθε. Β) η ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο,τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα μόνο σημείο. Γ) η γραφική παράσταση της f παρουσιάζει ένα μόνο σημείο καμπής και (+)e+3 --5, για κάθε [-3,+ ). Δ) υπάρχει μοναδική ευθεία = 0, η οποία χωρίζει το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη C f, τον άξονα χ χ και τις ευθείες = 0, =, σε δύο χωρία, των οποίων ο λόγος των εμβαδών είναι 20.

ΘΕΜΑ 57 ο Δίνεται μια συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει f() 0 για κάθε є και 0 f()d= 20. ) Να αποδείξετε ότι f() > 0 για κάθε є. 2) Να λυθεί η ανίσωση f(t)dt f(t)dt. 2 0 0 3) Θεωρούμε τη συνάρτηση g με g()= tf(t)dt, t,. 0 α) Να αποδείξετε ότι g()= tf(t)dt για κάθε 0. 2 0 β) Δείξτε ότι η συνάρτηση g είναι συνεχής στο σημείο o = 0. γ) Αν επιπλέον ισχύει 2 0 tf(t)dt = 3 tf(t)dt, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ є (, 2) τέτοιο, ώστε f(ξ) = 2g(ξ).

Δίνεται η συνάρτηση f() = Να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ 58 ο 2 dt, lnt ln2, = α) ισχύει ln2 f() 2 ln2, για κάθε. β) η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο o =. γ) η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. δ) υπάρχει μοναδικός αριθμός α є (, + ) τέτοιος, ώστε 2 α dt = 20+ dt. lnt lnt α 2 2

ΘΕΜΑ 59 ο Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f και g στο, για τις οποίες ισχύει η σχέση y f(t)dt = 0 2 4g(u) g 2(u)+ du dy, για κάθε, y є. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει η σχέση: -2 f () 2 για κάθε є. ii) Να αποδείξετε ότι f(β)-f(α) 2 β-α για κάθε α,β є. iii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό o є, ώστε να ισχύει: f ( )= 3. o o iv) Να αποδείξετε ότι 4 0 f t dt = 0 2. v) Να αποδείξετε ότι: 4 f(t)dt 8. 0 vi) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f, αν γνωρίζουμε ότι η f() είναι πολυώνυμο ου βαθμού και στη σχέση του ερωτήματος v) ισχύει η ισότητα.

Δίνονται οι συναρτήσεις 2 g() = ln - h() -, > 0 ΘΕΜΑ 60 ο h() = lntdt, > 0 και. Να δείξετε ότι η εξίσωση g() = 0 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα [, e]. 2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση h είναι - στο [, + ) 3. Δίνεται και η συνάρτηση F() = f() lnt dt, > ln f() ln(f()), =, όπου f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο με f () > 0, f(0) = 0 και lim(f ()) = α) Να δείξετε ότι η F είναι συνεχής στο [, + ) β) Αν γνωρίζουμε ότι F(e) = f() και ln(f(e))= να δείξετε ότι f() = γ) Αν επίσης γνωρίζουμε ότι F()ln = h(), για >, να δείξετε ότι f() =

ΘΕΜΑ 6 ο A) Να δειχθεί ότι: e2 για κάθε є. B) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει: 2f() 2 f()e -f ()= για κάθε є. i) Να δείξετε ότι: f() > 0, για κάθε є*. ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. iii) Να βρείτε το lim + f(). iv) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις : = - και = 0 συναρτήσει του f(-).

ΘΕΜΑ 62 ο Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : 0, για την οποία ισχύει ότι ln f() για κάθε θετικό αριθμό. (α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο o = και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο αυτής με τετμημένη. (β) Θεωρούμε την συνάρτηση g με () Να βρείτε το g() lim 2. g() f(t)dt ln, 0. (2) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ є (, e] τέτοιο ώστε να ισχύει ότι: f(t)dt eln.

Έστω f : 0, ΘΕΜΑ 63 ο δυο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν : f () f (), για κάθε є(0,+ ) και f(0) f (0). Δείξτε ότι : α) f() e για κάθε є[0,+ ). Πότε ισχύει η ισότητα ; β) f γνησίως αύξουσα και κυρτή στο [0,+ ). γ) υπάρχει ξ є(0,) : δ) υπάρχει r є(0,) : f(t)dt. 0 f(r) r.

ΘΕΜΑ 64 ο Έστω συνάρτηση f :, αντιστρέψιμη και τέτοια ώστε για κάθε є να ισχύει : f () e f ().. Να βρεθεί η f. 2. Να αποδείξετε ότι: α. η f είναι γνησίως φθίνουσα. β. οι γραφικές παραστάσεις των f, f - έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο lim, - 3. Να υπολογιστούν τα όρια: f ()+ - lim - - f ()

ΘΕΜΑ 65 ο Δίνεται η συνάρτηση f : * για την οποία ισχύει 3 2 2f() 3f() 2 5 27 α) Να αποδείξετε ότι 4 f(). για κάθε 0, και f() = -3. β) Να αποδείξετε ότι η f δεν αντιστρέφεται. γ) Να βρείτε το όριο δ) Να βρείτε το όριο f() 3 lim. 2 2 lim f() 5 2. 2 ε) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς το (0, 0).

ΘΕΜΑ 66 ο Δίνεται η συνάρτηση f : με f f() -f()=-. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι -. β) Αν υπάρχει το lim f(), να δείξετε ότι υπάρχει και το o lim f (). o γ) Να υπολογίσετε το lim o f () f(). δ) Με δεδομένο ότι υπάρχουν τα ακόλουθα όρια, να αποδείξετε ότι f () lim lim f() f (). ε) Να αποδείξετε ότι αν η fof είναι γνησίως αύξουσα, τότε και η f είναι γνησίως αύξουσα.

ΘΕΜΑ 67 ο Έστω συνάρτηση f : κοίλη στο με f(0) = 0 και f(2)= 4. α) Να δείξετε ότι για κάθε > 0 ισχύει : f () f(). β) Αν f(t) h() dt με > 0, να δείξετε ότι : t 2 i) η h είναι κοίλη στο (0, + ) ii) h() 2 4 για κάθε > 0.

Έστω ΘΕΜΑ 68 ο f : e, δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν : f() f ()ln 0 για κάθε є (e, + ) και f(e) = f (e) =. 2 Α) Δείξτε ότι : α) f() ln, για κάθε є [e, + ). β) f 20 3 20f(3). Β) Δείξτε ότι υπάρχει (e,e 2) τέτοιο ώστε o o f(t) dt. t e Γ) Δείξτε ότι f γνησίως αύξουσα στο [e, + ). Δ) Υπολογίστε το όριο : f () lim 2.

ΘΕΜΑ 69 ο Δίνεται η συνάρτηση f :[0, 3] με τύπο f() 2 e. α) Να μελετηθεί συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να αποδειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί η αντίστροφη της. γ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα δ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα Q e2 f (e 2) ln(e 4 ) d - 2 2 ln f() 0 e 2 4ln 2. W d e d 2 2 e d 0

ΘΕΜΑ 70 ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, με f(0) = 0 και f() f () f() για κάθε 0, Α) Δείξτε ότι, α) f() > 0, για κάθε > 0.. β) f() e για κάθε є (0, ). f() Β) Αν Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την g() = f(), τον άξονα και τις ευθείες = 2, = 3 να δείξετε ότι : 2ef(2) f(3). e Γ) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του μέτρου z z2 όπου z, z 2 μιγαδικοί που ανήκουν στην γραμμή με εξίσωση : zf(200) zf(200) 2f(20).

ΘΕΜΑ 7 ο Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση g : 0, ώστε 2 t 2 g dt g() g() g dt t, > 0. Θεωρούμε επίσης την συνάρτηση G() =, >0. g(t)dt α) Nα βρεθεί ο τύπος της g(). β) Nα αποδειχθεί ότι G() 0. γ) Να αποδειχθεί ότι g(t)dt g(t)dt. δ) Να λυθεί η ανίσωση 223 lnt dt 0. 27 t2 G() ε) Να βρεθεί, εφόσον υπάρχει το lim g().

ΘΕΜΑ 72 ο A. Nα αποδείξετε την ανίσωση e >, για κάθε B. Θεωρούμε τις συναρτήσεις f () = α + 3 + όπου α > και g () = 3 + + 2,. (i) Nα μελετηθούν οι f, g ως προς τη μονοτονία. (ii) Να αποδείξετε ότι (f + g)(e + 202) > (f + g)( + 20). (iii) Eάν ισχύει f () g (), για κάθε, να υπολογίσετε τη τιμή της παραμέτρου α. (iv) Για τη τιμή της παραμέτρου α, που υπολογίσατε στο ερώτημα (iii), να υπολογίσετε το εμβαδόν του επίπεδου χωρίου που περικλείεται μεταξύ των συναρτήσεων f και h () = e + +. (v) Για τη τιμή της παραμέτρου α, που υπολογίσατε στο ερώτημα (iii), να υπολογίσετε το εμβαδόν του επίπεδου χωρίου που περικλείεται μεταξύ των συναρτήσεων f και k () = 3 + 2 και των ευθειών = και =.

Δίνεται η συνάρτηση f() = ln ΘΕΜΑ 73 ο, με > 0.. Να μελετηθεί η μονοτονία της f. 2. Αν [, e], να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός z = + i f() με το μέγιστο μέτρο. 3. Αν [, e], να αποδειχθεί ότι υπάρχει μιγαδικός αριθμός z = + i f() με μέτρο 2. 4. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f έχει ένα μόνο σημείο καμπής. 5. Να αποδειχθεί η ανισοτική σχέση π > 2 lnπ. 6. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της σύνθετης συνάρτηση fof. 7. Να λυθεί η εξίσωση f() f()e =ln. 8. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης (f()) 2 = 2. 9. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει o > 0 με o e+ : f( e+ o)= f 2 2 0. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει o > 0 τέτοιος ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο ( o, f( o ) ) να την τέμνει στο σημείο 3 3,f 2 2. Αν 2 g() = f(t)dt, να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει ο > 0, τέτοιο ώστε ο (g ( ο ) + ) = g( ο ) + 2 ο f( ο ). f()+ 2. Να υπολογιστεί το όριο lim e. +..

ΘΕΜΑ 74 ο Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z=e +(-)i,. α) Να δείξετε ότι : Re(z) Im(z) και Re(z) 2 Im(z) ά. β) Να δείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον o є(0,) τέτοιος ώστε ο αριθμός w z2 z 2i να είναι πραγματικός. γ) Να βρείτε τον μιγαδικό z, του οποίου το μέτρο γίνεται ελάχιστο, καθώς και το ελάχιστο μέτρο του. δ) Να υπολογίσετε το ορισμένο ολοκλήρωμα : 0 Re(z) Im(z) d

ΘΕΜΑ 75 ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: και η g: για τις οποίες γνωρίζουμε ότι: η f στρέφει τα κοίλα κάτω, η γραφική της παράσταση στο σημείο της A3,f(3) έχει εφαπτομένη τον, 2 g()= f( -2), για κάθε є. α. Να δείξετε ότι f() 0, για κάθε є. β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει μοναδικό ακρότατο, (τοπικό ή ολικό). γ. Να μελετήσετε την μονοτονία της συνάρτησης g και να βρείτε τις θέσεις στις οποίες παρουσιάζει τοπικό ακρότατο καθώς και το είδος του ακρότατου. δ. Αν, επιπλέον, γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη τότε: i. να δείξετε ότι και η g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ii. να δείξετε ότι η εξίσωση g () = 0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες.

ΘΕΜΑ 76 ο Έστω f συνεχής συνάρτηση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών και η συνάρτηση t t 0 0 g() = e f(u)du dt,. Α) α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη και ισχύει: g()= 0 t e - e f(t)dt β. Αν f() 0 για κάθε є, να δείξετε ότι και g() 0 για κάθε є. Β) Αν επιπλέον ισχύει: g () 2,. f() e 2,. α. Να δείξετε ότι β. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f και τον άξονα.

ΘΕΜΑ 77 ο Έστω η συνάρτηση f: με α f()= -e, και α. e α. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και να δείξετε ότι δεν έχει σημεία καμπής. α(+) α α e -e α(+) β. Να δείξετε ότι: e < <e, για κάθε. γ. Να δείξετε ότι: f() 0,για κάθε є. δ. Να βρείτε την τιμή του α για την οποία ισχύει f() -,για κάθε є.

ΘΕΜΑ 78 ο Έστω f, g δύο συναρτήσεις ορισμένες στο σύνολο των πραγματικών αριθμών για τις οποίες ισχύουν: f παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και f(0) =. 0 tf (t)dt -=(-)e 2 f(t )dt α, για κάθε πραγματικό αριθμό g() =, για κάθε πραγματικό αριθμό και g() = 0 α. Να δείξετε ότι f()=e,. β. Να δείξετε ότι α =. γ. Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης g. δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου το οποίο περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g και τους άξονες και y y ε. Να βρεθεί το όριο lim + g().

ΘΕΜΑ 79 ο A) Να αποδείξετε ότι e, ά 0. Β) Έστω συνάρτηση f:[0.+ ), συνεχής και γνησίως μονότονη στο [0, + ) με f(e) = και για κάθε 0 ισχύει f() f()e. i) Nα δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+ ). ii) Να δείξετε ότι για κάθε > 0 ισχύει : ln f() 2. iii) Nα δείξετε ότι η f αντιστρέφεται, να βρείτε το σύνολο τιμών της καθώς και την αντίστροφή της. iv) Nα βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +. v) Nα βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f - στο +. vi) Nα λύσετε την εξίσωση f 2( ) f( ) e lnf( ) e, 0. vii) Nα δείξετε ότι υπάρχει ένα o є(0,e) τέτοιο ώστε : f ( ). Γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [0,+ ) τότε : i) Nα δείξετε ότι η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [0,+ ). ii) Nα δείξετε ότι η f είναι κοίλη iii) Nα δείξετε ότι υπάρχει cє(0,e) τέτοιο ώστε : f c e iv) Nα βρεθεί η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο 0. v) Nα δείξετε ότι για κάθε 0 ισχύει : f(). 2e o o vi) Nα υπολογιστούν τα : e e f() f() e f()e f() f() 0 0e e I f()d J d

ΘΕΜΑ 80 ο Δίνεται η συνάρτηση f : με e e f(), και ο μιγαδικός 2 αριθμός z, για τον οποίο γνωρίζουμε ότι : z0 3z 6 3z 6 i 0z i, όπου i η φανταστική μονάδα. Α) Να δείξετε ότι : i) 2 0, για κάθε πραγματικό αριθμό α. ii) η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και να ορίσετε την αντίστροφή της. Β) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο Κ(,0) και ακτίνα ρ = 3. Γ) Αν είναι w, τέτοιος ώστε zw=2, να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w είναι επίσης κύκλος του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα. Δ) Αν w ο μιγαδικός του προηγουμένου ερωτήματος τότε να δείξετε ότι : 4w 2z2 z 2 4w e e e e

ΘΕΜΑ 8 ο A) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός o,0 B) Δίνεται ο μιγαδικός z e i,. 2 ώστε: e o 0. i) Nα βρείτε την ελάχιστη απόσταση m της εικόνας του z από την αρχή των αξόνων συναρτήσει του o. ii) Nα δείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης g() = ln, > 0. iii) Έστω ο κύκλος C με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα m. α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g και ο κύκλος C στο σημείο επαφής τους δέχονται κοινή εφαπτομένη. o β) Να δείξετε ότι ο μιγαδικός w mz2m 2 2z m στην περιφέρεια του κύκλου C. βρίσκεται στο εσωτερικό ή

ΘΕΜΑ 82 ο Δίνεται η συνάρτηση f :, γνησίως αύξουσα με f(-) > 0 και ο μιγαδικός αριθμός f( )f(0) z 4 3 i, για τον οποίο ισχύει 2 f() z z i 3. Να αποδείξετε ότι ισχύουν : 2 α) f( )f(0)f() 8 β) 2Re(z) = z γ) f(-) < 2 < f() δ) - < f z < 0

ΘΕΜΑ 83 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f:, ώστε να ισχύει f3 f2 f, για κάθε є. i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. iii. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη της iv. Να λύσετε την εξίσωση f() = v. Να βρεθούν οι γεωμετρικοί τόποι των εικόνων των μιγαδικών z f()i, w f() i,. vi. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου, μεταξύ των δύο τόπων του (v) υποερωτήματος. vii. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο.

ΘΕΜΑ 84 ο Έστω συνάρτηση f : ώστε να ισχύει f3 3 +f()= για κάθε є. i. Να δείξετε ότι η f είναι περιττή. ii. Να δείξετε ότι f() > 0 για κάθε > 0. iii. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. iv. Να υπολογίσετε τα όρια A = lim f(),b = lim f() + 3 + v. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο.. vi. Να βρείτε το σύνολο τιμών f(). vii. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. viii. Να δικαιολογήσετε την αντιστρεψιμότητα της f και να βρείτε το είδος της μονοτονίας της αντίστροφης. i. Να βρείτε τον τύπο της f -.. Να λύσετε την εξίσωση f(f()) =. i. Να δείξετε ότι η f - είναι συνεχής στο. ii. Να βρείτε τον τύπο της f -. f iii. Να βρεθεί, αν υπάρχει το lim 0 iv. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα -. 30 f(t) I = 2 dt d. 0 30 3f 2(t)+

ΘΕΜΑ 85 ο Δίνεται η άρτια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το για την οποία ισχύουν τα εξής: η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με 0 2 f 0 2f 0 4. Α. Να αποδείξετε ότι: i. 0 f(0) 2. ii. f 2f 0 4. iii. f για κάθε є. iv. lim f() lim f(). v. 006 f()d 202f(0). 006 Β. Δίνεται ο μιγαδικός z 5i, με 6z5i z5i f 2, για κάθε f()d 0, για κάθε є. i. Να αποδείξετε ότι το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών z ανήκουν στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g της οποίας να βρεθεί ο τύπος. ii. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g. iii. Αν y = φ() είναι η ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g στο +, να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης h() 24 ()g(), τον άξονα, τον άξονα y y και την ευθεία =3. lim g(t) (t) dt. iv. Να υπολογίσετε το όριο

ΘΕΜΑ 86 ο Έστω f, g παραγωγίσιμες στο συναρτήσεις με f(0) = 0, f()d 2, g() 0 για κάθε є και f 2g g για κάθε 0 є. Να δείξετε ότι: α) Η συνάρτηση h με τύπο με τιμή h() = 2 για κάθε є. β) g() < 0 για κάθε є. γ) 2 για κάθε є. f(t)dt δ) Υπάρχει ξ є(, 2) τέτοιο ώστε h f(t)dt g(t)dt, є είναι σταθερή 0 f(t)dt 200 20. ε) Η εξίσωση f() = 2g() + 2 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0, ).

ΘΕΜΑ 87 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f : με τύπο: 2, 0 f(), 0, όπου α, β є σταθερές. i) Να δείξετε ότι α + β = 0 και να βρείτε τους α, β є. ii) Να βρείτε το όριο lim f() iii) Να δείξετε ότι: f()d 0.. iv) Να δείξετε ότι το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα [0, ].

ΘΕΜΑ 88 ο Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g : για τις οποίες ισχύουν 2 f() 2 f 2 t dt για κάθε є και 2 0 0 g t dt f() για κάθε є. Να δείξετε ότι : Α) η f είναι παραγωγίσιμη στο. Β) ο τύπος της f είναι f() e2. Γ) 0g()d 2 Δ) υπάρχει ξ є(0,) τέτοιο ώστε g(t)dt. 0 Ε) η εξίσωση g() έχει τουλάχιστον μια λύση στο 0g(t)dt διάστημα (0, ).

ΘΕΜΑ 89 ο et g t f g(t)dt t. Έστω οι συναρτήσεις α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία. β) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της g έχει οριζόντια ασύμπτωτη και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. γ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. 2 δ) Για κάθε 0, να δείξετε ότι : eln g(t)dt e ln ε) Να βρεθεί το lim f. 2 2

ΘΕΜΑ 90 ο A. Η εξίσωση z2 z 0,, δεν έχει πραγματικές ρίζες. Αποδείξτε ότι β > 0 και το μέτρο των ριζών της είναι. Β. Δίνεται η εξίσωση 2 5 z 5 z 4 0 όπου λє(-, ). i) Nα βρείτε το σύνολο τιμών της f() 5 5,,. ii) Aποδείξτε ότι η εξίσωση έχει δυο μη πραγματικές ρίζες z, z 2. iii) Aποδείξτε ότι οι εικόνες των z, z 2 βρίσκονται στον ίδιο κύκλο. iv) Aποδείξτε ότι zz2 4. v) Nα βρείτε την τιμή του λє(-, ) για την οποία το μέτρο z z2 γίνεται μέγιστο, καθώς και τους z, z 2 σε αυτή την περίπτωση.

ΘΕΜΑ 9 ο Έστω f : παραγωγίσιμη και f() 0 για κάθε є, όπου η γραφική παράσταση της f τέμνει το θετικό ημιάξονα Οy και η g f(t) dt. f() Α) Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της g. B) Nα βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο που τέμνει τον. Γ) Αν ισχύει f 0 για κάθε є, να δείξετε ότι f() f(t)dt f(), για κάθε є. Δ) Αν ισχύει f 0 f 0 για κάθε є, να μελετήσετε την κυρτότητα της g στο, και έπειτα να δείξετε ότι g(),.

ΘΕΜΑ 92 ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f() 2 ln, 0 0, 0, για την οποία για κάθε 0 ισχύει 2 ln f. e Α.) Να αποδείξετε ότι για κάθε 0 ισχύει 2) Να υπολογίσετε τον αριθμό α. Β. Για α = 0 : f 2ln. ) Nα μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 2) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα στο διάστημα (0, + ) και να βρείτε το σημείο καμπής. 3) Να αποδείξετε ότι 2f h f 2h, h 0.

ΘΕΜΑ 93 ο Θεωρούμε μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο φθίνουσα στο κάθε є 0,. 0, και f 0 0. 0, Δίνεται επιπλέον ότι Ορίζουμε τη συνάρτηση F με F. 0, 0 f(t)dt f(0), 0 με f γνησίως f 0 για Α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F είναι συνεχής στο o 0.. f() Β) Να αποδείξετε ότι για κάθε 0, ύ F Γ) Να αποδείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα.. Δ) Να αποδείξετε ότι F(t)dt F(e) tf (t)dt 0 0

ΘΕΜΑ 94 ο Για την δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύουν : f () e 0 ά, f f e 2 z e f 0 z A) Να δειχθεί για κάθε, ό f e z. B) Να δειχθεί για κάθε, ό f e z. Γ) Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ 2 2 є[-, ] ώστε : 2 e f f e. Δ) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της f(), καθώς και ο z ώστε η ελάχιστη αυτή τιμή να γίνεται μέγιστη. Ε) Αν επιπλέον ισχύει, z ln2 z να βρεθεί που κινούνται οι εικόνες των z. τότε z και e e z z 2Rez ΣΤ) Να δειχθεί ότι η f είναι κυρτή και ότι f() z. Ζ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του wz, όταν η εξίσωση z f() = 0 έχει μοναδική λύση.

ΘΕΜΑ 95 ο Δίνεται η συνάρτηση t 2 2t 2 2 f() e dt, є. Α) Να δείξετε ότι : f() 0, για κάθε є. Β) Να δείξετε ότι : f()d f 2 (0). 0 Γ) Να βρείτε ο є, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ( o,f( o )), να περνά από την αρχή των αξόνων. Δ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση g() f(t)dt, є.

ΘΕΜΑ 96 ο Α) Δίνεται η συνάρτηση g() 3,. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία, ακρότατα, κοίλα και σημεία καμπής. Β) Έστω συνάρτηση f : ώστε να ισχύει 3 f f,. ) Να δείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο, και να βρεθεί το πρόσημο των τιμών της. 2) Να δείξετε ότι είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφη της. 3) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο. 4) Να μελετηθεί η f ως προς τα κοίλα και σημεία καμπής. 5) Να δείξετε ότι f() f f 0,. 4 4 f() 2f() 6) Να δείξετε ότι,,. 7) Να δείξετε ότι 2 f()d. 0. 8) Να δείξετε ότι 3 f()d f ()d 3 9) Αν h 0 f(t)dt, να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό ξ є(, 3) ώστε 4 f t dt 4. 3f 2(t) Γ) Αν τώρα f : 0, και z, w μιγαδικοί ώστε να ισχύει f z 3i 2 f w 2i 2. α) Να βρείτε το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών z, w. β) Να αποδειχθεί ότι zw 8.

ΘΕΜΑ 97 ο Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g :, με την f γνησίως φθίνουσα και την g γνησίως αύξουσα. Θεωρούμε τις συναρτήσεις, με є. F() f(t)dt G() g(t)dt 0 0 Υποθέτουμε ότι υπάρχει α > 0 τέτοιο, ώστε f(t)dt g(t)dt. 0 0 Να αποδειχθεί ότι : α) η συνάρτηση F είναι κοίλη και η G είναι κυρτή. β) υπάρχει ξ є(0,α) τέτοιο, ώστε f(ξ) = g(ξ). γ) η συνάρτηση h() F() είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (0, + ) και (-, 0). δ) για κάθε, y є ισχύει ότι y G() G(y) G. 2 2 ε) ισχύει y f(t)dt g(t)dt y, για κάθε, y є(0, α). 0 0

ΘΕΜΑ 98 ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, με f() = 6 και f(3)=0, για την οποία ισχύει: με α πραγματική σταθερά. α) Να αποδείξετε ότι f(α) = 0. 0 t f(t) f 2 f( ) e dt για κάθε є, β) Να βρείτε τη συνάρτηση f και την τιμή της σταθεράς α. γ) Αν για την συνάρτηση g ισχύει fog () gof () για κάθε є, να αποδείξετε ότι η εξίσωση g() = έχει μια τουλάχιστον λύση. δ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f εφάπτεται με την γραφική παράσταση της h όπου h 2 2. ε) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζουν οι γραφικές παραστάσεις των f, h και ο άξονας y'y.

ΘΕΜΑ 99 ο Για την παραγωγίσιμη, με συνεχή παράγωγο συνάρτηση f : 0,, e 2f()e d f()e f(0) και f 5 0f f 2. 4 ισχύει f () 2 2 0 i. Να δείξετε ότι f() 2 ά 0,. ii. Να βρεθεί το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον y'y και την y =. iii. Να βρείτε την τιμή του α є(0, ), ώστε η ευθεία (ε): y = α 2, να χωρίζει το χωρίο Ω σε δύο ισεμβαδικά χωρία. iv. Να δείξετε ότι f() f() 4 e e 2, για κάθε є[0,].

ΘΕΜΑ 200 ο Δίνονται δύο συνεχείς συναρτήσεις f, g :[0,+ ) για τις οποίες για κάθε є [0,+ ) ισχύουν οι σχέσεις : 4 e f() 2 g t dt () 2 0 e 4 e g() 2 f t dt (2) 2 0 e A) Να αποδείξετε ότι f(),g() > 0 και ότι f() = g() για κάθε є[0,+ ) B) Να βρείτε τον τύπο της f και να την μελετήσετε ως προς τη μονοτονία. Γ) Να αποδείξετε ότι οι f, g είναι αντιστρέψιμες και να βρείτε τις τετράδες των α, β, γ, δ που ικανοποιούν την εξίσωση: f f g g 2 Δ) Αν Ε(Ω) είναι το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις των f, f να δείξετε ότι: 2 E 2 e, όπου λ η τετμημένη του σημείου τομής των δύο γραφικών παραστάσεων.