ECUAłIILE DE MIŞCARE ÎN FORMĂ GENERALĂ. TIPURI DE ANALIZE ÎN MEF

4. ECUAłIILE DE MIŞCARE ÎN FORMĂ GENERALĂ. TIPURI DE ANALIZE ÎN MEF Introducere Metoda elementelor finite (MEF) s-a dezvoltat rapid, începând din anii 60, odată cu dezvoltarea sistemelor de calcul. Deşi, teoretic, MEF este aproximativă, din punct de vedere ingineresc rezultatele obńinute prin folosirea acestei metode sunt satisfăcătoare şi metoda s-a extins cu repeziciune şi în analiza dinamică. MEF se bazează pe conceptul de discretizare, adică de divizare a domeniului de studiu în elemente finite. În lucrarea de fańă se folosesc numai elemente finite de tip grindă şi bară articulată în combinańie cu elemente finite de tip masă concentrată şi elemente elastice discrete cu amortizare. Modelul cu elemente finite este o idealizare a unei structuri reale de calcul şi se concretizează într-un număr finit de matrice şi vectori între care există relańii matematice care descriu fenomene fizice. Modelul cu elemente finite este un produs dependent de analistul care abordează o anumită problemă. Din acest motiv, în ultimul timp, pentru anumite structuri şi tipuri de probleme, există recomandări clare, în general bazate pe experienńă, privind dezvoltarea modelelor de calcul cu elemente finite. Modelul matematic este cel care dictează calitatea soluńiilor unor probleme şi deci generarea acestuia trebuie realizată de persoane cu experienńă în utilizarea MEF. Validarea unui model cu elemente finite pentru o structură reală se face de regulă pe baza rezultatelor experimentale. În general, modelul de calcul inińial, oricât de fidel ar fi realizat, nu corespunde în totalitate cu rezultatele obńinute experimental şi este supus unui proces de corecńie ( updating ), care însă nu face obiectul lucrării de fańă. Mare parte din aplicańiile prezentate în acestă lucrare prezintă soluńii analitice care sunt folosite la comentarea şi interpretarea rezultatelor obńinute numeric. Deşi în lucrare se punctează câteva aspecte generale în legătură cu dezvoltarea modelelor de calcul, obiectivul principal al acestei lucrări este de a parcurge principalele tipuri de analiză dinamică folosite în practică, de a identifica metodele cele mai eficiente de rezolvare şi a fi în măsură a interpreta corect rezultatele obńinute. AplicaŃiile propuse şi rezolvate sunt alese astfel încât anumite aspecte, legate în special de reducerea modelelor de calcul, să nu fie necesare pentru a simplifica aparatul matematic şi a insista pe fenomenele fizice. Impunerea condińiilor la limită, în deplasări şi forńe, este o altă problemă importantă care trebuie avută în vedere nu numai pentru obńinerea de rezultate corecte, ci şi în faza de alegere a tipurilor de elemente şi discretizare a modelului. Astfel, dacă modelul de calcul reprezintă o substructură, o atenńie deosebită se acordă zonelor de interfańă cu alte substructuri. Se cunoaşte că, discretizarea unui domeniu are implicańii asupra rezultatelor finale, şi, funcńie de scopul calculului, de obicei în analiza statică, se adoptă o discretizare mai fină în zonele de interes, şi o discretizare mai puńin fină în rest. În analiza dinamică se preferă, pentru

început, utilizarea discretizărilor uniforme, în special în problemele de propagare. Dacă se justifică practic, unele discretizări pot şi neuniforme. EcuaŃia generală de mişcare a unei (sub)structuri Folosind metoda elementelor finite pentru a modela o (sub)structură care urmează să fie analizată dinamic, în general, se parcurg următoarele etape: se aleg tipurile de elemente finite; se descrie geometria şi proprietăńile materialelor; se discretizează modelul; se pun condińiile la limită; se calculează şi apoi se asamblează matricele de masă, rigiditate, amortizare (şi altele dacă e cazul), precum şi vectorul încărcărilor. În urma acestui proces rezultă ecuańiile de mişcare a (sub)structurii în coordonate fizice. FuncŃie de sistemele modelate cu elemente finite şi de sistemele de referinńă la care se raportează, ecuańiile de mişcare au forme diferite. Astfel, ecuańiile pentru structuri cu elemente în mişcare sunt dependente de sistemul de referinńă, considerat fix sau mobil. Pentru un sistem, cu n grade de libertate, ecuańia de mişcare raportată la un sistem de referinńă global fix este [ M ]{ u} + ([ C] + [ G] ){ u} + ([ K ] + [ Kσ ] + [ Ci ]){ u} = { F} ɺɺ ɺ, (1.1) în care [ M ] este matricea de masă, [ C ] este matricea de amortizare vâscoasă, [ ] matricea giroscopică, [ K ] este matricea de rigiditate, [ ] geometrică, [ C i ] este matricea de amortizare structurală, { } nodale; { uɺ } este vectorul vitezelor nodale; { uɺɺ } este vectorul accelerańiilor nodale iar { } G este K σ este matricea de rigiditate u este vectorul deplasărilor F este vectorul încărcărilor nodale exterioare. Matricele din (1.1) pot fi constante sau dependente frecvenńă, de vectorul deplasărilor nodale (răspuns) şi derivatele acestuia. Considerând ecuańia (1.1), un sistem se clasifică conform schemei prezentate în Tabelul 1.1. Tabelul 1.1: Clasificarea sistemelor mecanice. Sisteme Conservative Negiroscopice [ G ] = [ 0] [ C] = [ C i ] = [ 0] Neconservative Giroscopice [ G] [ 0] Negiroscopice [ G ] = [ 0] [ C] [ 0] ; [ ] i [ 0] Giroscopice [ G ] [ 0 ] Tipuri de aplicańii în analiza dinamică Analiza dinamică uzuală se face în ipoteza deplasărilor mici (vibrańii liniar elastice), dar şi în domeniul deplasărilor de corp rigid. În MEF se disting două categorii esenńiale de probleme în calculul dinamic: -analiza modală; -raspunsul dinamic.

Analiza modală este de obicei prima etapă de calcul a unei structuri şi poate conduce la informańii esenńiale de comportare dinamică a structurii. Uneori aceasta analiză este o fază premergătoare a unei analize dinamice complexe. Raspunsul dinamic la perturbańii cu deplasări inińiale, viteze inińiale sau forńe perturbatoare, poate fi tratat, funcńie de forma perturbańiei, în probleme de: -analiză armonică; -analiză tranzitorie; -analiză spectrală. Uneori, pentru a putea efectua o analiză dinamică, se impune şi efectuarea în prealabil a unei analize statice. Este cazul structurilor care lucrează pretensionat sau a căror geometrie inińială se modifică din cauza încărcărilor statice şi aceasta trebuie corectată. Analiza statică este folosită pentru determinarea deplasărilor, tensiunilor, deformańiilor specifice, a eforturilor, etc, pentru modele de structuri în care se poate neglija efectul masei, altul decât forńele de greutate sau de inerńie stańionară. Încărcările pot fi forńe, presiuni, forte inerńiale în regim stationar, deplasări impuse, deformańii generate de încărcări termice cunoscute. Analiza statică poate fi liniară sau neliniară. Analiza statică liniară constă în cel mai simplu calcul, din punct de vedere numeric se rezolvă un sistem de ecuańii algebrice liniare. Analizele neliniare se tratează folosind metode de rezolvare incrementale şi iterative (Newton-Raphson). Analiza modală, în limbajul MEF, este folosită pentru determinarea frecvenńelor şi formei modurilor proprii de vibrańie pentru structuri sau componente de structuri. FrecvenŃele proprii şi modurile proprii sunt mărimi importante pentru proiectarea structurilor care lucrează în regim dinamic. Analiza modală este o faza obligatorie de calcul pentru analiza spectrală şi analiza armonică sau tranzitorie prin suprapunere de efecte. Analiza modală este considerată o analiză liniară, deşi problema de valori şi vectori proprii care trebuie rezolvată implică metode numerice iterative. Metodele de rezolvare a problemelor de valori şi vectori proprii care s-au impus în mod deosebit sunt: metoda Jacobi, metoda iterańiilor pe subspańii, metoda QR şi metoda vectorilor Lanczos. Efortul de calcul pentru rezolvarea unei probleme de valori şi vectori proprii este mult mai mare decât cel necesar unei analize statice liniare. Pentru modele cu multe grade de libertate, rezolvarea completă a problemei de valori şi vectori proprii nu este justificată practic deoarece informańia necesară în analiza structurală corespunde de regulă frecvenńelor proprii de valori mici. Uneori, înainte de rezolvarea numerică efectivă, dimensiunea problemei inińiale se reduce la o dimensiune mult mai mică, care poate fi rezolvată cu uşurinńă. Pentru reducerea dimensiunii se folosesc metode speciale de condensare dinamică (Irons-Guyan), sau metode de substructurare dinamică (Craig-Bampton sau Mac Neal). Analiza armonică este o tehnică utilizată pentru determinarea răspunsului dinamic stańionar al unei structuri cu comportare liniară, supusă unei încărcări particulare constând dintrun set de forńe (sau deplasări, viteze, accelerańii) cu variańie sinusoidală în timp, de aplitudine şi frecvenńă cunoscute. Această tehnică permite calculul răspunsului stańionar al unor vibrańii întreńinute (forńate). Efectul tranzitoriu nu este luat în considerare şi toate încărcările trebuie să aibă aceeaşi frecvenńă. Analiza tranzitorie este utilizată pentru determinarea răspunsului dinamic al unei structuri încărcată cu orice sistem de forńe dependent de timp. Acest tip de analiză poate fi utilizat pentru determinarea variańiei deplasărilor, tensiunilor, deformańiilor şi reacńiunilor într-o structură ca urmare a unei încărcări oarecare ce poate fi descrisă cu uşurinńă. Analiza se efectuează prin integrare numerică în timp, pas cu pas. Se pot include toate tipurile de neliniarităńi (inclusiv amortizare) şi pentru un pas de calcul se ajunge la rezolvarea unui sistem de ecuańii liniare. Cele

mai folosite tehnici de integrare a ecuańiilor diferenńiale ordinare sunt metodele de integrare implicite Wilson θ, Houboult, Newmark β [2]. Analiza spectrală, în MEF, este utilizată pentru determinarea deplasărilor, deformańiilor, reacńiunilor şi tensiunilor întru-un model pentru care încărcarea se impune sub forma unui spectru cunoscut. Această analiză este liniară şi se bazează pe compunerea răspunsului modal obńinut din analiza modală. Calculul spectral este o variantă simplificată de obńinere a răspunsului maxim tranzitoriu pentru o încărcare aleatorie de genul şocurilor şi vibrańiilor produse de cutremure, forńa vîntului, valurile oceanelor, vibrańia motoarelor etc. Din punctul de vedere al utilizatorului un spectru este o reprezentare grafică (de regulă obńinută din prelucrări de înregistrări experimentale), a deplasărilor, vitezei, accelerańiei sau a forńelor funcńie de frecvenńă. Analiza suportă diverse formulări spectrale: răspuns spectral pentru excitańie într-un punct, răspuns spectral pentru excitańie multipunct, răspuns spectral al densităńii de putere şi altele. ExcitaŃiile pot fi pe una, două sau pe cele trei direcńii ale sistemului de coordonate global. Se permit şi excitańii de rotire. Analiza sistemelor rotor-lagăre este o extindere a calculului dinamic de la sistemele negiroscopice la sistemele giroscopice, în care mişcarea de rotańie corespunde unei singure axe. Programele consacrate, cum ar fi NASTRAN şi ANSYS, pot fi folosite şi în analiza dinamică a rotorilor grańie unor programe de interfańă special concepute. Utilizând metoda elementelor finite, analiza dinamică a rotorilor se simplifică esenńial, în comparańie cu abordarea clasică. Un rotor, izolat de stator, se consideră un ansamblu de arbori, discuri şi lagăre. Se consideră că rotorul în ansamblu se roteşte cu viteza unghiulară Ω. Programul prezentat în această carte a fost conceput să folosească la analize modale şi analize de răspuns la dezechilibre şi/sau forńe exterioare armonice. CunoştinŃe necesare unui utilizator al MEF Un utilizator este pus în situańia rezolvării unei anumite probleme. El trebuie să afle dacă problema se pretează rezolvării cu MEF şi să folosească un program adecvat problemei respective. Pentru analiza aplicańiilor din această lucrare se pot folosi programele dezvoltate de autor sau oricare alte programe care se încadrează în categoria celor prezentate la fiecare capitol. Programele consacrate cum ar fi NASTRAN, ANSYS, ADINA, etc. pot fi utilizate fără probleme dar necesită o documentare suplimentară. Odată stabilit programul de calcul este necesar a se face o informare asupra posibilitańii programului. Dacă performanńele programului convin, după o documentare legată de modul de lucru al programului, se trece la pregătirea problemei pentru analiza cu MEF. Trebuie menńionat că programele de calcul folosite pentru analiza problemei nu abordează structura reală, ci doar un MODEL al ei pe care în general îl concepe utilizatorul. Rezultatele pot fi confirmate sau nu, funcńie de cum a fost ales modelul de calcul. În lucrarea de fańă, modelarea este o activitate de simplificare a structurii prin încadrarea diverselor porńiuni ale structurii în categoria barelor, blocurilor rigide şi elementelor elastice tip arc, prin considerarea încărcărilor şi a rezemărilor etc. Modelarea corectă, cât mai aproape de realitate, este o problemă de experienńă, inspirańie şi nu mai puńin de cunoaştere a bazelor teoretice ale metodei elementelor finite precum şi a posibilităńilor programelor de calcul. Scopul acestei lucrări este de a scoate în evidenńă unele aspecte practice ale modelării şi a nońiunilor generale de lucru cu MEF astfel încât după parcurgerea acestei lucrări utilizatorul să poată utiliza orice program cu elemente finite care permite analize în regim dinamic.

CunoştinŃele necesare se dobândesc pe măsură ce utilizatorul rezolvă diverse probleme. Nu trebuie uitat faptul că pentru a rezolva corect o problemă este absolut necesar, nu şi suficient, de a introduce toate datele de intrare care definesc problema. Programele concepute şi discutate în această lucrare permit introducerea datelor în mod interactiv ( programul întreabă - utilizatorul răspunde ) dar şi direct, în mod fişier, pentru reluarea unei probleme sau pentru cei care editează mai uşor un fişier pentru care se cunoaşte formatul datelor de intrare. Programele de firmă respectă anumite reguli generale de introducere a datelor (notańii unificate, ordonarea comenzilor de pregătire a datelor, etc), ceea ce facilitează lucrul la programe diferite pentru utilizatori experimentańi. Pentru începători este indicat a se folosi un singur program de lucru. În continuare se prezintă câteva aspecte comune tuturor programelor, în special a celor dezvoltate de autor, urmând a se reveni asupra nońiunilor de bază pe care trebuie să le stăpânească un utilizator, în cadrul fiecărui capitol. UnitaŃi de măsură De obicei utilizatorul hotărăşte cu ce unităńi de măsură lucrează dar trebuie avut în vedere că orice abatere de la SI (Sistemul InternaŃional al unităńilor de măsură), atrage o atenńie deosebită asupra unităńilor de măsură adoptate. În acest sens trebuie respectate unităńile de măsură inińial stabilite pentru absolut toate datele de intrare ale problemei. Rezultatele finale se vor regăsi în unităńile stabilite de utilizator. Unele programe de calcul permit alegerea unitańilor de măsură atât pentru introducerea datelor cât şi pentru prezentarea rezultatelor. Cele mai utilizate sisteme de unităńi de măsură în modelarea sistemelor dinamice sunt prezentate în Tabelul 1.2. În Ńara noastră se folosesc cu precădere sistemele SI (MKS) şi MPA pentru care se precizează şi unităńile de măsură derivate în Tabelul 1.3. Sistemul µmks se foloseşte de regulă în micro-electro-mecanică (MEMS). Uneori se pot folosi şi alte sisteme de măsură derivate din SI, în care timpul se măsoară în ms sau µs, aceste sisteme pentru unităńile de măsură trebuie judicios verificate deoarece frevenńele se obńin în khz sau MHz. Unele programe permit selectarea şi afişarea unităńilor de măsură atât la introducerea datelor cât şi la prezentarea rezultatelor. Tabelul 1.2: UnităŃi de măsură folosite în analiza dinamică. Sistemul Denumirea şi unităńile de măsură fundamentale SI Sistemul internańional (m, kg, s, K) MKS Sistemul MKS (m, kg, s, C) umks Sistemul µmks (µm, kg, s, C) CGS Sistemul CGS (cm, g, s, C) MPA Sistemul MPA (mm, Mg, s, C) BFT Sistemul britanic cu lungimea în picioare (ft, slug, s, F)

BIN Sistemul britanic cu lungimea în Ńoli (in, lbf s 2 /in, s, F) Tabelul 1.3: Sisteme de unińăńi de măsură coerente utilizate în ingineria mecanică. Mărime mecanică SI (MKS) MPA µmks Lungime m mm µm Unghi rad rad rad Fortă N N µn Timp s s s FrecvenŃă Hz Hz Hz Masă kg Mg = t (tonă) kg Presiune Pa MPa MPa Viteză m/s mm/s µm/s Viteză unghiulară rad/s rad/s rad/s AcceleraŃie m/s 2 mm/s 2 µm/s 2 AcceleraŃie unghiulară rad/s 2 rad/s 2 rad/s 2 Densitate kg/m 3 t/mm 3 kg/µm 3 Tensiune Pa MPa MPa Modul de elasticitate Pa MPa MPa Putere W mw pw Sisteme de axe Se menńionează că toate programele cu elemente finite tratează modelul într-un sistem de axe global (OXYZ). Acest sistem de axe este un sistem cartezian drept şi în general modelul se pozińionează în sistemul global de axe conform dorinńelor utilizatorului cu excepńia cazului în care programul este conceput într-un sistem de axe particular cum ar fi cele de analiză a rotorilor şi a probleme plane, când sistemul de axe este plan (XOY). NotaŃii uzuale Pe măsură ce s-au dezvoltat noi programe cu elemente finite, au apărut nońiuni noi de lucru dar o parte a denumirilor şi notańiilor nu s-au modificat. NotaŃiile utilizate în această carte sunt inspirate dintr-o serie de programe consacrate cum ar fi SAP, ANSYS, NASTRAN. Lista notańiilor din programele prezentate în capitolele următoare este prezentată la începutul cărńii, într-un paragraf separat. Pentru un model de structură 3D, un nod are şase grade de libertate, adică trei translańii în lungul axelor X, Y, Z şi trei rotańii în jurul aceloraşi axe. Gradele de libertate translańii se notează de obicei cu UX, UY, UZ iar gradele de libertate rotańii se notează cu RX, RY, RZ. Dacă unele grade de libertate sunt fixate, adică prezintă deplasări sau rotiri nule, atunci acestea se numesc blocaje. În această situańie pot exista blocaje la translańie pe cele trei direcńii: BX, BY, BZ şi

blocaje la rotańie: BXX, BYY, BZZ. ConvenŃional se atribuie unui grad de libertate valoarea 0 dacă este liber şi valoarea 1 dacă este blocat. Ordonând gradele de libertate, adică UX, UY, UZ, RX, RY, RZ, o referire la blocaje, sau la componentele forńelor, etc, se poate face cu un cod numeric, din componenńa căruia fac parte cifrele de la 1 la 6. Varianta completă nu poate depăşi şase caractere, adică 123456. Pentru blocaje, aparińia în cod a unei cifre de la 1 la 6 precizează blocaj pe direcńia respectivă, de exemplu 134 semnifică BX=1; BZ=1 şi BXX=1. Declararea elementelor se face notând nodurile sale începând cu: I, J şi K, depinde de câte noduri defineşte elementul. Tipuri de materiale Toate programele prezentate în această lucrare utilizează modele de materiale liniar elastice izotrope. Materialele izotrope se caracterizează prin trei constante de material E, G, ν între care există relańia de legătură: E G =. (1.2) 2(1 + ν ) De obicei în practică se declară E -modulul de elasticitate longitudinal şi ν -coeficientul de contracńie transversală. Pentru analiza în regim dinamic pentru fiecare material utilizat trebuie să se precizeze şi ρ -densitatea. Se precizează că densitatea trebuie introdusă în unităńi de măsură coerente, conform Tabelului 1.3, altfel se pot produce greşeli, în special de cei care lucrează de regulă aplicańii în regim static pentru care se folosesc unităńi de măsură MPA. Analiza modală Prin neglijarea amortizărilor, a efectului giroscopic şi a forńelor aplicate structurii, altele decât cele statice de pretensionare, care se includ prin matricea de rigiditate geometrică, ecuańia de mişcare (1.1) se transformă în ecuańia de mişcare a vibrańiilor libere [ ] K σ [ M ]{ u} + ([ K] + [ Kσ ]){ u} = { 0} ɺɺ. (2.1) Matricea de rigiditate geometrică [ K σ ] este inclusă în ecuańia de mai sus în urma unei analize statice, deoarece această matrice depinde de eforturile axiale din barele structurii [7] şi contribuie la modificarea frecvenńelor de vibrańie. Exemplul cel mai simplu, care poate introduce acest efect, este modificarea frecvenńelor de vibrańie a corzilor de chitară, atunci când acestea sunt întinse sau slăbite. Pentru structurile neîncărcate static, această matrice este nulă. Matricele de masă [ M ] şi rigiditate [ ] K sunt simetrice şi constante. În ecuańia (2.1) se consideră condińiile la limită în deplasări nule impuse, iar dimensiunea matricelor este n n. SoluŃia ecuańiei (2.1) se alege de forma { u} { φ} e iωt =, (2.2) în care { } φ este vectorul modal care defineşte forma modală, independent de timp, ω este pulsańia proprie, iar t variabila timp. Prin derivarea ecuańiei (2.2) se obńine expresia vitezei

{ u} = iω { φ} e iωt care printr-o nouă derivare conduce la expresia accelerańiei ɺ, (2.3) { u} = ω { φ} ɺɺ 2 e iωt. (2.4) Prin introducerea ecuańiilor (2.2) şi (2.4) în (2.1), rezultă problema generalizată de valori şi vectori proprii 2 ([ K] [ K σ ]){ φ} = ω [ M ]{ φ} +. (2.5) Se precizează că matricea de masă a structurii [ M ], funcńie de formularea la nivelul elementelor finite, poate să fie coerentă, adică matricea de masă se determină utilizând funcńiile de interpolare statice, sau diagonală, adică matricea de masă se formează intuitiv sau se diagonalizează conform unor proceduri [7]. Problema generalizată de valori şi vectori proprii de mai sus, prezintă n perechi de 2 valori ( λ ω φ. Vectorii proprii sunt definińi doar ca formă, raportul j = j ) şi vectori proprii { j } componentelor unui vector propriu este constant şi de cele mai multe ori ei se normează în raport cu matricea de masă astfel încât T { j} [ M ]{ j} 1 φ φ = ; j = 1,, n. (2.6) Uneori vectorii proprii se normează fără a Ńine seama de matricea de masă. Programul de fańă permite, prin utilizarea variabilei TipNorm, normarea modurilor de vibrańie în normă euclidiană unitate, adică pentru fiecare mod propriu j, componentele acestuia φ satisfac relańia n 2 φij = 1, (2.7) i= 1 sau valoarea absolută maximă a componentelor vectorului modal j să fie egală cu unitatea, adică i= 1,, n ( φij ) max = 1. (2.8) Problema de valori şi vectori proprii (2.5) se poate rezolva folosind o serie de algoritmi K + este pozitiv definită, adică consacrańi cum ar fi metoda Jacobi dacă matricea ([ ] [ K σ ]) structura nu prezintă mişcari de corp rigid sau mecanism şi eforturile de compresiune, dacă există, nu produc pierderea stabilităńii elastice a structurii. O posibilitate de a înlătura aceste limitări se poate obńine prin transformarea problemei generalizate de valori şi vectori proprii într- A x = λ x, care se poate o problemă simplă de valori şi vectori proprii, adică de forma [ ]{ } { } rezolva folosind algoritmul QR. Acesta nu prezintă restricńii la matricea cu numere reale [ A ], mai mult, soluńiile pot fi complexe dacă e cazul. Deoarece matricea de masă este întotdeauna nesingulară, relańia (2.5) se poate rescrie în forma echivalentă 1 2 [ ] ([ K] + [ K ]){ φ} = ω { φ} M. (2.9) După rezolvarea problemei de valori şi vectori proprii (2.9), pulsańiile şi vectorii proprii corespunzători se ordonează astfel încât 2 2 2 2 1 2 3 n σ ω ω ω ω. (2.10) ij

FrecvenŃele proprii, măsurate în Hertz, rezultă din ωi f i =. (2.11) 2π Se insistă a preciza că modul propriu de vibrańie este definit de pulsańia proprie (sau frecvenńa proprie) şi vectorul modal corespunzător. Vectorul modal este descris de mărimi relative care definesc forma modului propriu, nu şi valoarea amplitudinii de vibrańie care este o mărime care depinde de excitańie. FuncŃie de tipul de normare, valorile vectorilor proprii diferă numai printr-un factor de scalare, adică, din punct de vedere matematic, există o singură constantă nedeterminată pentru fiecare mod propriu. O structură care prezintă mişcări de corp rigid sau mecanism are un număr de frecvenńe proprii nule corespunzătoare acestor forme modale. Pentru aceste situańii, din considerente numerice, frecvenńele modurilor de corp rigid şi mecanism rezultă foarte apropiate de zero, uneori chiar negative, dar aproape niciodată nule. Valori negative se pot obńine şi pentru structuri fără mişcări de corp rigid sau mecanism atunci când structura este solicitată la compresiune peste limita de stabilitate structurală. ConvenŃional, pentru această situańie, programul listează frecvenńa proprie definită de (2.11), negativă. Efortul de calcul pentru a rezolva complet o problemă de valori şi vectori proprii creşte considerabil cu numărul de grade de libertate active n. Deoarece în practică interesează de regulă numai modurile proprii corespunzătoare frecvenńelor proprii joase (de valori mici), programele cu elemente finite consacrate rezolvă problema de valori şi vectori proprii numai pentru cele mai mici valori proprii, sau dintr-o bandă precizată, folosind metoda iterańiilor pe subspańii sau metoda vectorilor Lanczos [2, 15]. Cea mai mică frecvenńă proprie pozitivă este numită fundamentală. Dacă structura prezintă simetrii, este posibil a se obńine o serie de frecvenńe proprii coincidente. Se poate arăta, că pentru frecvenńe proprii coincidente, formele vectorilor proprii corespunzători sunt combinańii liniare ale unor forme modale considerate pure şi care practic sunt foarte greu de extras pe cale numerică.