7. CONVOLUŢIA SEMNALELOR ANALOGICE S numş funcţi (prous) convoluţi în imp smnllor şi ingrl: f ( ) Noţi conscră prousului convoluţi în imp s urmăor: no Convoluţi unui smnl cu (7.) (7.) δ su u conuc l rzul uil nlizi numric smnllor. Prousul convoluţi s po inrpr prinr-o ilusrr grfică. În figur 7. sun przn spr mplificr funcţiil: u şi,, l căror prous convoluţi s consrui p p. Ari hşură rprzină prousul convoluţi, cr, ş cum rzulă in (7.) s o funcţi. Din rprznr grfică rzulă că pnru fcu s rlizză simricul cli ou funcţii fţă oronă, ( ), s plsză p cu scun,, c poi să s înmulţscă cu. rzulân Fig. 7.: Ilusrr grfică prousului convoluţi 7.. TEOREMA INTEGRALEI DE CONVOLUŢIE ÎN TIMP. Trnsform Fourir prousului convoluţi s prousul lgric l rnsformlor Fourir l smnllor in prous. X( jω) X ( jω) X ( jω) (7.) un X ( jω ) F{ }; X ( jω) F{ } şi Dmonsrţi: Aplicân rnsform Fourir smnlului, fini conform (7.) rzulă că: (.8) jω jω X( jω) ( ) (7.4) 7.
Invrsân orin ingrr s oţin: ( 6.) jω X( jω) ( ) X jω ( jω) X ( jω) X ( jω) Propriăţil convoluţii în imp smnllor. ) Prousul convoluţi s comuiv. ( ) ( ) 7. X ( jω) jω (7.5) ) În inriorul prousului convoluţi s po plic ingrr, rspciv rivr (7.6) Propri (7.6) s monsrză uşor ţinân con că: X [ ] ( jω) X jω jωx jω jω În mo nlog prousului convoluţi în imp s finş prousul convoluţi în frcvnţă sfl: f X ( jω) X ( jλ) X ( j( ω λ) ) Noţi conscră prousului convoluţi în frcvnţă s urmăor: no X ( jω) X ( jω) X ( jω) 7.. TEOREMA INTEGRALEI DE CONVOLUŢIE ÎN FRECVENŢĂ λ (7.7) (7.8) Trnsform Fourir invrsă prousului convoluţi în frcvnţă s prousul lgric l smnllor, ponr cu o consnă. F { X( jω) X ( jω) } π (7.9) Propriăţil comuivi, ingrr şi rivr sun vlil şi în czul convoluţii în frcvnţă. X X 7.. EXEMPLE ( jω) X ( jλ) X ( j( ω λ) ) λ X ( j( ω λ) ) X ( jλ) λ (7.) ω ω (7.) ( jω) X ( jω) X ( jλ) λ X ( jλ) λ X ( jω) În coninur s przină ouă mpl l convoluţii unui smnl cu funcţi Dirc δ, rspciv funcţi rpă uni u. 7... Convoluţi cu impulsul Dirc δ Conform propriăţilor funcţii δ, rzulă că: + ( δ ) (7.) Rlţi (7.) s po scri simolic sfl: δ (7.)
Conform ormi ingrli convoluţi în imp, rzulă că: F{ δ } X( jω) (7.4) Concluzi: Prousul convoluţi înr un smnl şi funcţi Dirc conuc l clşi smnl. Acsă concluzi po fi inrpră grfic. D smn csă rprznr grfică ofră posiili monsr rlţi (7.). Fi smnlul przn în figur 7.. Ari suprfţi su cur po fi proimă prinr-o sumă impulsuri suprfţă ( kδ ) Δ. Spr mplu, impulsul nhşur in figur 7., po fi crcriz rlţi ( kδ ) δ( kδ) Δ, fiin locliz p impului l momnul kδ. Smnlul przn în figur 7. po fi proim prin rlţi: ( kδ) δ( kδ) Δ (7.5) n k Aproimr (7.5) s cu â mi că cu câ inrvlul imp Δ l şnionului s mi mic. L limiă, Δ,kΔ, rlţi (7.5) s rnsformă în ingrlă. Pnru un smnl cări ură s infiniă, conform (7.5) şi osrvţiilor nrior rzulă + că ( δ ), ică rlţi (7.). Fig. 7.: Dscompunr unui smnl în şnion lăţim: ) Δ ) Convoluţi unui smnl cu impulsul Dirc ofră unl fciliăţi în crul nlizi smnllor, cum r fi: Dscompunr smnllor în funcţii ip impuls-uni + ( δ ) (7.6) Rprznr smnllor prin şnion ipul (7.6), proporţionl cu impulsul Dirc prmi rminr (conform 7.4) rnsfomi X( jω) smnlului, c c consiui o moă nliză numrică smnllor. Scrir smnllor su form şnion s uiliză l nliz sismlor linir. Cunoscân răspunsul sismului l un şnion form (7.6), s oţin prin suprpoziţi răspunsul l o şnionl, ică l smnlul scris conform (7.5) su (7.). Convoluţi cu impulsul Dirc po fi uiliză l clculul unor rnsform Fourir. 7... Convoluţi cu impulsul rpă uni u Conform (7.) prousul convoluţi l unui smnl cu funcţi Dirc r prsi: δ. Conform (7.6) în inriorul prousului convoluţi s po plic ingrr, rspciv rivr, oţinânu-s rlţi δ (7.7) 7.
( ) u Aplicân supr (7.7) osrvţi că, δ s funcţi Dirc, rzulă că: u su u( ) u, riv funcţii rpă uni (7.8) (7.9) Concluzi: Prousul convoluţi înr riv unui smnl şi funcţi rpă uni conuc l clşi smnl. Acsă concluzi po fi inrpră grfic. D smn csă rprznr grfică ofră posiili monsr rlţi (7.9). Fi smnlul przn în figur 7.. c po fi proim prinr-o sumă rp pls p impului l momnl kδ. Acs smnl rpă u mpliuin glă cu Δ ( kδ). Acsă mpliuin s sfl lsă încâ să fi proimiv glă cu prousul inr riv smnlului (pn funcţii ) l momnul kδ şi ură Δ. Δ kδ kδ Δ (7.) Fig. 7.: Dscompunr unui smnl în smnl rpă mpliuin: ) Δ ( kδ) ) Smnlul przn în figur 7. po fi proim prin rlţi: n ( kδ) u( kδ) Δ (7.) k Aproimr (7.) s cu â mi că cu câ inrvlul imp Δ s mi mic. L limiă, Δ,kΔ, rlţi (7.) s rnsformă în ingrlă. Pnru un smnl conform (7.) şi osrvţiilor nrior rzulă că u( ), ică rlţi (7.9). Convoluţi smnlului cu funcţi rpă uni ofră fciliăţi în czul nlizi smnllor su sismlor linir. 7.4
7.5 7.4. APLICAŢII 7.4.. Să s rmin prousul convoluţi smnllor urmăor: pnru pnru ; pnru pnru. Rzolvr : Dcă, unci (s convoluză cu însăşi): : În finl rzulă: pnru pnru 7.4.. Să s rmin prousul convoluţi smnllor urmăor: lfl, că 8 4 ; că că Rzolvr 8 4 Dr Dcă ;, Dcă ;, Dcă ;, Rzulă că:... că că că