Đường thẳng Simson- Đường thẳng Steiner của tam giác Nguyễn Văn Linh Năm 2014 1 Đường thẳng Simson Đường thẳng Simson lần đầu tiên được đặt tên bởi oncelet, tuy nhiên một số nhà hình học cho rằng nó không thực sự nằm trong công trình nào của Robert Simson. Vì vậy ngày nay nó thường được biết đến với tên gọi đường thẳng Wallace-Simson. ài toán phát biểu như sau. ho tam giác nội tiếp đường tròn (). là điểm bất kì trong mặt phẳng. Khi đó hình chiếu vuông góc của trên các cạnh của tam giác thẳng hàng khi và chỉ khi nằm trên (). 1 1 1 hứng minh. Gọi 1, 1, 1 lần lượt là hình chiếu của trên,,. Ta có 1, 1, 1 thẳng hàng khi và chỉ khi 1 1 = 1 1. Do các tứ giác 1 1, 1 1 nội tiếp nên 1 1 = 1, 1 1 = 1. Vậy 1 1 = 1 1 khi và chỉ khi 1 = 1 hay = 1 1 = 180. Điều này tương đương nằm trên (). 2 Đường thẳng Steiner của tam giác Đường thẳng Steiner của tam giác được phát biểu như sau. ho tam giác nội tiếp đường tròn (). là điểm bất kì nằm trên (). Khi đó các điểm đối xứng với qua ba cạnh của tam giác cùng nằm trên một đường thẳng, đồng thời đường thẳng đó đi qua trực tâm của tam giác. 1
3 2 3 2 1 2 1 1 hứng minh. Gọi 2, 2, 2 lần lượt là điểm đối xứng với qua,, ; là trực tâm tam giác ; 3, 3 lần lượt là giao điểm thứ hai của, với (). Dễ thấy 3, 3 lần lượt là điểm đối xứng với qua,. Do đó 3 2, 3 2 là các hình thang cân. Ta có 3 2 + 3 3 + 3 2 = 3 + 180 + 3 = + + 180 = 180. Vậy 2,, 2 thẳng hàng. hứng minh tương tự ta có đpcm. Dựa theo chứng minh đường thẳng Simson, ta nhận thấy chiều đảo của đường thẳng Steiner cũng đúng: Nếu các điểm đối xứng của qua,, thẳng hàng thì nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. húng ta đến với một định lý quan trọng khác. (Định lý ollings). ho tam giác có trực tâm. Gọi d là đường thẳng bất kì đi qua. Khi đó các đường thẳng đối xứng với d qua,, đồng quy tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. 2 2 1 1 hứng minh. Gọi 1, 1, 1 lần lượt là giao của d với,, ; 2, 2, 2 là giao điểm thứ hai của,, với (); 1 2 giao 1 2 tại. hú ý rằng 2, 2 lần lượt đối xứng với qua,. Ta có 1 1 = 180 1 1 1 1 = 180 (360 2 1 1 2 1 1 ) = 180 2 = 2 + 2. Suy ra nằm trên (). hứng minh tương tự ta thu được 1 2, 1 2, 1 2 đồng quy. 2
Nhận xét. Điểm được gọi là điểm nti-steiner của đường thẳng d. 3 Tính chất và ứng dụng Trong mục này chúng ta tìm hiểu một số tính chất và các bài toán sử dụng đến hai đường thẳng Simson và Steiner. Một số ứng dụng khác sẽ được đề cập ở mục Tứ giác toàn phần. Tính chất 1. Đường thẳng Simson của đi qua trung điểm đoạn nối với trực tâm. hứng minh. Tính chất này hiển nhiên dựa theo đường thẳng Steiner của tam giác. Tính chất 2. Đường thẳng qua vuông góc với cắt () lần thứ hai tại. hứng minh rằng song song với đường thẳng Simson của. ' 1 1 hứng minh. Do tứ giác 1 1 nội tiếp nên 1 1 = =. Từ đó 1 1. Tính chất 3. ho tam giác nội tiếp đường tròn (). Khi đó góc giữa hai đường thẳng Simson của hai điểm và trên () ứng với tam giác bằng một nửa số đo cung. hứng minh. Gọi là giao của đường thẳng qua vuông góc với với (). Theo tính chất 2 thì song song với đường thẳng Simson của. Như vậy góc giữa hai đường thẳng Simson của và bằng. Do là hình thang cân nên hai cung và bằng nhau. Từ đó suy ra đpcm. Nhận xét. ó thể nói ba bài toán trên là ba tính chất cơ bản nhất của đường thẳng Simson. Rất nhiều ứng dụng tập trung xoay quanh ba tính chất này. ài 1. ho tứ giác D nội tiếp đường tròn (). hứng minh rằng các đường thẳng Simson của,,, D ứng với tam giác D, D, D, đồng quy. 3
a b D M hứng minh. Gọi a, b, c, d lần lượt là trực tâm các tam giác D, D, D,. M là trung điểm D. Ta có a = 2M = b nên a b là hình bình hành. Như vậy a, b cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. hứng minh tương tự suy ra a, b, c, D d cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Theo tính chất 1 thì các đường thẳng Simson của,,, D ứng với tam giác đối diện lần lượt đi qua trung điểm của đoạn nối điểm đó với trực tâm. Vậy bốn đường thẳng Simson phải đồng quy. ài 2. ho hai tam giác và cùng nội tiếp đường tròn (). là một điểm chuyển động trên (). hứng minh rằng góc tạo bởi đường thẳng Simson của ứng với hai tam giác và không phụ thuộc vào vị trí của. K L ' ' ' hứng minh. Qua kẻ đường thẳng vuông góc với và, cắt () lần thứ hai lần lượt tại K, L. Theo tính chất 2 thì K, L lần lượt song song với đường thẳng Simson của ứng với hai tam giác và. Do đó ta cần tính (K, L ). Ta có (K, L ) (K, K ) + (K, L ) 1 2 (, ) + (K, L ) 1 2 (, ) + (, ) (mod π). Như vậy (K, L ) không đổi. 4
ài 3. ho tam giác nội tiếp đường tròn (). và là hai điểm nằm trên () và đối xứng với nhau qua. hứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng Simson của và ứng với tam giác nằm trên một đường tròn cố định khi và chuyển động. ' K E L J hứng minh. Gọi L là giao điểm của hai đường thẳng Simson, là trực tâm tam giác, E là tâm đường tròn Euler; J, K lần lượt là trung điểm của,. Theo tính chất 1, J nằm trên đường thẳng Simson của, K nằm trên đường thẳng Simson của. Do và đối xứng nhau qua nên theo tính chất 3, KLJ = 90. Xét phép vị tự 1 2 : J, K, E nên JK là đường kính của đường tròn Euler. Vậy L nằm trên đường tròn Euler. ài 4. hứng minh rằng khoảng cách từ tới đường thẳng Simson của ứng với tam giác.. bằng 4R 2, với R là bán kính của (). ' ' ' hứng minh. Gọi,, là hình chiếu của trên,, ; là hình chiếu của trên đường thẳng Simson. Ta có = nên =. sin =. 2R. Mặt khác,. =.. sin nên =.. Vậy = 4R 2. 5.. sin =. 2R.
ài 5. (IM 2003). ho tứ giác nội tiếp D. Gọi, Q, R lần lượt là hình chiếu của D trên,,. hứng minh rằng Q = QR khi và chỉ khi phân giác các góc và D cắt nhau trên. R D Q hứng minh. Dễ thấy D DQ, D DRQ. Do đó D DQ = Q, RQ = D DQ. Suy ra Q = QR khi và chỉ khi D = D, điều này tương đương phân giác các góc và D cắt nhau trên. ài 6. (Mongolia 1996). ho tam giác nội tiếp đường tròn (). M là điểm bất kì trên (). Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu của M trên,,. hứng minh rằng đường thẳng Simson của M ứng với tam giác đi qua tâm nội tiếp tam giác XY Z. c Y M Q T X I Z a hứng minh. Gọi a, c lần lượt là hình chiếu của M trên, ;, Q lần lượt là giao của Mc, Ma và đường tròn đường kính M. hú ý rằng X, Y, Z,, M đồng viên. Do Y M = = = MX nên là trung điểm của cung Y X. Tương tự, Q là trung điểm của cung Y Z. Gọi T là giao của cx và az. Ta có: (T X, T Z) (T X, cm) + (cm, am) + (am, T Z) (, M) + (, ) + (M, ) (, ) + (, ) + (M, M) (, ) + (X, Z) + (, ) (X, Z) (mod π) Suy ra T (M). Áp dụng định lý ascal cho 6 điểm, M, Q, Z, X, T ta thu được c, I, a thẳng hàng. 6
ài 7. (Romania TST 2009) hứng minh rằng tồn tại 3 điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác sao cho đường thẳng Simson của 3 điểm này tiếp xúc với đường tròn Euler của tam giác, đồng thời 3 điểm này là các đỉnh của một tam giác đều. hứng minh. (Luis González). Kí hiệu G(, v) là phép biến hình biến tam giác thành tam giác cùng nội tiếp đường tròn () sao cho đường thẳng là ảnh của qua phép tịnh tiến theo vector v. Ta có một số nhận xét sau. 1) đường thẳng Simson d của ứng với tam giác là ảnh của đường thẳng Simson d của ứng với tam giác qua phép tịnh tiến v. hứng minh. Qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt,, () lần lượt tại 1, 2, 3. Suy ra 3 song song với đường thẳng Simson của ứng với hai tam giác và. Lại có 1 2 = v nên d là ảnh của d qua phép tịnh tiến v. 2) Đường tròn Euler của tam giác là ảnh của đường tròn Euler của tam giác qua phép tịnh tiến v. hứng minh. Gọi M, M lần lượt là trung điểm, ;, lần lượt là chân đường cao kẻ từ tới,. Ta có MM = = v. Do bán kính của hai đường tròn Euler đều bằng 1/2R và cùng nằm trên trung trực của M và M suy ra khẳng định 2 đúng. 3) Tam giác có thể biến thành một tam giác đều qua 2 phép G. Thật vậy, tồn tại v sao cho G(, v) biến tam giác thành tam giác cân tại. Dễ dàng suy ra G(, u) : sao cho tam giác đều. Như vậy qua 2 phép biến hình G, ta biến tam giác thành tam giác đều. Khi đó đường tròn nội tiếp (E) (đồng thời là đường tròn Euler) tam giác là ảnh của đường tròn Euler (E) của tam giác qua 2 phép vị tự v và u, đường thẳng Simson d của ứng với tam giác biến thành đường thẳng Simson d của ứng với tam giác. Như vậy d tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi d tiếp xúc với (E ). Dễ chứng minh d tiếp xúc với (E ) khi và chỉ khi là điểm chính giữa của một trong các cung,,. a vị trí này lập thành một tam giác đều. Như vậy tồn tại 3 điểm là đỉnh của một tam giác đều trên đường tròn ngoại tiếp tam giác sao cho đường thẳng Simson của 3 điểm này tiếp xúc với đường tròn Euler của tam giác. ài 8. ho tam giác nhọn nội tiếp (). Kí hiệu l, l, l lần lượt là tiếp tuyến tại,, của (). Một đường thẳng l qua trực tâm sao cho l. 1 = l l. 2 là điểm đối xứng của 1 qua, Tương tự xác định được 2, 2. hứng minh rằng 2, 2, 2 thẳng hàng. 2 1 L ' 2 1 7
hứng minh. Gọi L là điểm nti-steiner của l ứng với tam giác. Kí hiệu là điểm đối xứng với qua. Ta sẽ chứng minh 2 L là tiếp tuyến của (). Điều này tương đương 2 L 2 = 1 2 L = L(1) Do 1 là tứ giác nội tiếp nên 2 = 1 = 1 = 1 = L. Vậy (1) đúng. Tương tự suy ra 2, 2, 2 nằm trên tiếp tuyến kẻ từ L của (). ài 9. (RM 2011) ho hình bình hành D có góc nhọn. Trên cạnh lấy điểm T sao cho tam giác T D nhọn. Gọi 1, 2, 3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác T, DT, DT. hứng minh rằng trực tâm của tam giác 1 2 3 nằm trên D. 2 T 1 D 3 hứng minh. Gọi là giao của ( 1 ) và D. Ta có D T = 180 T = DT nên ( 3 ), suy ra đối xứng với T qua 1 3. Mặt khác, D lần lượt là điểm đối xứng với T qua 1 2, 1 3 và, D, thẳng hàng nên T ( 1 2 3 ) và đường thẳng qua, D, là đường thẳng Steiner của T ứng với tam giác 1 2 3, hay trực tâm của tam giác 1 2 3 nằm trên D. ài 10. (IM Shortlist 2009). ho tứ giác ngoại tiếp D. Một đường thẳng qua cắt đoạn thẳng tại M và đường thẳng D tại N. Gọi I 1, I 2, I 3 lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác M, MN, ND. hứng minh rằng trực tâm tam giác I 1 I 2 I 3 nằm trên MN. I 1 K I 3 I M D I 2 N 8
hứng minh. Ta có I 1 I 2 I 3 = 1 2 ( MN + MN) = 1 2 D. Gọi K là giao điểm thứ hai của tiếp tuyến kẻ từ tới (I 3 ) với M. Do tứ giác KD ngoại tiếp nên K + D = D + K hay K K = D D =. Suy ra + K = + K hay tứ giác K ngoại tiếp. Vậy I 1 I 3 = I 1 K + I 3 K = 1 2 ( K + DK) = 1 2 D. Ta thu được I 1 I 2 I 3 = I 1 I 3 hay I 1, I 2, I 3, nằm trên một đường tròn. Dễ thấy điểm đối xứng với qua I 1 I 2, I 3 I 2 nằm trên MN nên MN là đường thẳng Steiner của ứng với tam giác I 1 I 2 I 3. Điều đó nghĩa là trực tâm tam giác I 1 I 2 I 3 nằm trên MN. ài 11. ho tam giác nội tiếp đường tròn (), trực tâm. là điểm bất kì trên () và một đường thẳng l bất kì qua. Gọi là tam giác tạo bởi giao điểm của các đường thẳng đối xứng với l qua,,. hứng minh rằng điểm nti-steiner L của ứng với tam giác nằm trên ( ). 1 ' 2 L 1 1 X ' Y Z 2 ' hứng minh. Gọi X, Y, Z lần lượt là giao của l với,, ; 1, 1, 1 là các điểm đối xứng với qua,,. Theo phép đối xứng ta có 1, 1, 1 lần lượt nằm trên các cạnh của tam giác. Do X, Z lần lượt là phân giác XZ, ZX nên là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ZX. Suy ra Z X = 2 ZX 180 = 180 2. Mặt khác, gọi 2, 2 lần lượt là giao của, với (). L là điểm nti-steiner của. Suy ra L, 1, 2 thẳng hàng, L, 1, 2 thẳng hàng. Từ đó 1 L 1 = 2 L 2 = + = 180 2 = Z X. Suy ra L nằm trên ( 1 1 ). hứng minh tương tự, L nằm trên ( 1 1 ) hay L là điểm Miquel của tứ giác toàn phần 1 1 1. Ta thu được L nằm trên ( ). Nhận xét. Khi l tiếp xúc với () ta thu được bài toán 6 IM 2011. 9
4 ài tập áp dụng ài 12. ho tứ giác D nội tiếp đường tròn (). là một điểm thuộc (). Gọi X, Y, Z, T, U, V lần lượt là hình chiếu của trên,, D, D,, D. hứng minh rằng trung điểm của XZ, Y T, UV thẳng hàng. ài 13. ho tam giác với trung tuyến M, phân giác N. Gọi Q, là giao của đường thẳng qua N và vuông góc N với M,. là giao của đường thẳng qua vuông góc với N. hứng minh rằng Q vuông góc với. ài 14. ho tam giác nội tiếp đường tròn (), trực tâm. Một đường thẳng bất kì qua giao () tại hai điểm D, E. Gọi F là điểm đối xứng với qua. D, E cắt tại hai điểm M, N. hứng minh rằng, M, N, F cùng thuộc một đường tròn. ài 15. (Nguyễn Văn Linh). ho tam giác nội tiếp đường tròn (), trực tâm. Một đường thẳng bất kì qua giao () tại hai điểm M, N. Gọi 1, 1, 1 lần lượt là điểm đối xứng với,, qua. M 1, N 1 giao tại 2, 3. Tương tự xác định 2, 3, 2, 3. hứng minh rằng ( 1 2 3 ), ( 1 2 3 ), ( 1 2 3 ) đồng trục. ài 16. (IM Shortlist 1991). ho lục giác DEF nội tiếp. hứng mịnh rằng các đường thẳng Simson của,, D, E lần lượt ứng với các tam giác DF, E, F, đồng quy khi và chỉ khi DEF là hình chữ nhật. ài 17. ho tam giác nội tiếp đường tròn (). là điểm bất kì trên mặt phẳng.,, cắt () lần thứ hai tại 1, 1, 1. Gọi 2, 2, 2 lần lượt là điểm đối xứng với qua,,. hứng minh rằng ( 1 2 ), ( 1 2 ), ( 1 2 ) đồng quy tại một điểm nằm trên (). ài 18. ho tứ giác ngoại tiếp D. E là điểm bất kì nằm trên D. Gọi (I 1 ), (I 2 ), (I 3 ) lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác ED, E, E. hứng minh rằng trực tâm tam giác I 1 I 2 I 3 nằm trên tiếp tuyến chung ngoài khác D của (I 1 ) và (I 2 ). Tài liệu [1] Simson line, from Wolfram Mathworld. http://mathworld.wolfram.com/simsonline.html [2] omplete Quadrilateral, from Wolfram Mathworld. http://mathworld.wolfram.com/ompletequadrilateral.html [3] Simson lines and Euler circle, os topic. http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h277289p1500641 [4] Incenter on Simson Line, os topic. http://www.artofproblemsolving.com/community/q2h483978p2711717 [5] arallelogram, os topic. http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h406967p2272760 [6] IM Shortlist 2009, available at https://www.imo-official.org/problems/im2009sl.pdf Email: Lovemathforever@gmail.com 10