CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2016 Clasa a V-a 1. Fie a, b și c cifre nenule nu neapărat distincte. Aflați cel mai mic și cel mai mare număr natural abc cu proprietatea că media aritmetică a numerelor abc, acb, bac, bca, cab și cba are cifra unităților egală cu 5. 2. Conform legendei șahului, înțeleptul care a inventat jocul de șah i-a cerut împăratului Indiei drept răsplată un bob de grâu pentru primul pătrat al tablei, două pentru al doilea, patru pentru al treilea,..., 2 63 pentru ultimul pătrat al tablei. Constatând că hambarele Indiei nu vor avea nici în 100 de ani atât grâu, sfetnicii împăratului l-au rugat pe înțelept să-și schimbe cererea. Acesta a cerut atunci ca în fiecare pătrat al tablei să fie scris un număr natural, iar el să primească atâți elefanți, cât este suma tuturor numerelor scrise pe tablă. Care este numărul minim de elefanți în fiecare din următoarele cazuri: a) dacă toate numerele de pe tablă trebuie să fie diferite? b) dacă pe fiecare linie și pe fiecare coloană a tablei numerele trebuie să fie diferite? c) dacă numerele scrise în oricare două pătrate vecine (două pătrate se consideră vecine dacă au o latură comună) trebuie să fie diferite? 3. Spunem că un an este foarte par dacă în scrierea sa apar patru cifre și toate aceste cifre sunt pare (spre exemplu, 2000, 2002, 2004, 2006, 2008 sunt foarte pari, iar 2010 nu este foarte par). a) Determinați cea mai mare distanță posibilă între doi ani foarte pari succesivi și dați exemplu de pereche de ani pentru care această distanță poate fi obținută. b) Este ușor de observat că distanța minimă între doi ani foarte pari succesivi este 2. Care este a doua cea mai mică distanță posibilă între doi ani foarte pari succesivi? Justificați și găsiți un exemplu. 4. Alin, Bogdan și Cosmin joacă un turneu de tenis de masă. La fiecare partidă iau parte doi jucători, în timp ce al treilea se odihnește. În partida următoare, cel care s-a odihnit până atunci joacă împotriva câștigătorului (nu există jocuri finalizate cu egalitate). La finalul turneului se constată că Alin a jucat în total 10 partide, Bogdan a jucat 17 și Cosmin 15 partide. a) Câte partide s-au disputat în total? b) Cine a pierdut a doua partidă? 1
Clasa a VI-a 1. În triunghiul ABC, bisectoarele unghiurilor  și Ĉ se intersectează într-un punct M situat pe mediatoarea laturii (AC). Știind că m(âmc) = 2 m( BAC), aflați măsurile unghiurilor triunghiului ABC. 2. a) Arătați că împărțind un număr prim la 30, restul este întotdeauna fie 1, fie un număr prim. b) Dați exemplu de un număr prim al cărui rest la împărțirea la 60 nu este nici 1, nici număr prim. 3. Spunem că o mulțme A de numere naturale este biconvexă dacă pentru orice x A cel puțin unul dintre numerele x 1, x+1 aparține lui A. Astfel, mulțimea A = {2016, 2017, 2018} este biconvexă, deoarece toate elementele sale au vecini în A: 2016+1 A, 2007 1 A, 2018 1 A. În schimb, mulțimea B = {1, 2, 4, 6, 7} nu este biconvexă, deoarece elementul 4 B este izolat în B: 4 1 / B și 4+1 / B. a) Câte submulțimi biconvexe de 4 elemente are mulțimea M = {1, 2, 3,..., 20}? b) Câte submulțimi biconvexe de 18 elemente are mulțimea M = {1, 2, 3,..., 20}? 4. Alina și Bogdan joacă următorul joc. La început, pe tablă este scris numărul 2015 2017. O mutare constă din înlocuirea numărului m scris pe tablă (m, n N, n > 1) cu unul n dintre numerele m 1 m sau. Ceidoi jucători mută alternativ. Prima mutare o face n n 1 Alina. Cine obține primul pe tablă un număr natural, câștigă. a) Arătați că jocul se termină după cel mult 4030 de mutări. b) Demonstrați că, dacă ambii jucători joacă bine, Bogdan poate întotdeauna câștiga. Cum trebuie să joace Bogdan pentru a câștiga? 2
Clasa a VII-a 1. Spunem că o mulțme A de numere naturale este biconvexă dacă pentru orice x A cel puțin unul dintre numerele x 1, x+1 aparține lui A. Astfel, mulțimea A = {2016, 2017, 2018} este biconvexă, deoarece toate elementele sale au vecini în A: 2016+1 A, 2007 1 A, 2018 1 A. În schimb, mulțimea B = {1, 2, 4, 6, 7} nu este biconvexă, deoarece elementul 4 B este izolat în B: 4 1 / B și 4+1 / B. a) Scrieți toate submulțimile biconvexe de 4 elemente ale mulțimii {1, 2, 3, 4, 5, 6}. b) Câte submulțimi biconvexe de 4 elemente are mulțimea M = {1, 2, 3,..., 2016}? c) Câte submulțimi biconvexe de 18 elemente are mulțimea M = {1, 2, 3,..., 2016}? 2. Se consideră trapezul dreptunghic ABCD cu AD AB și BC AB, în care AB = AD + BC. Fie M mijlocul lui [DC], iar X un punct variabil pe latura [AB]. Demonstrați că: a) AMB este dreptunghic isoscel; b) m(ĉxd) = 90 dacă și numai dacă AX = BC sau AX = AD. 3. Se dă triunghiul ABC. Pe paralela prin B la AC se consideră punctul D astfel încât D și A sunt de aceeași parte a dreptei BC și BD = AB, iar pe paralela prin C la AB se consideră punctul E astfel încât E și A sunt de aceeași parte a dreptei BC și CE = AC. Dacă CD AB = {Q}, BE AC = {R}, CD BE = {P}, iar L este piciorul bisectoarei din A a triunghiului ABC, demonstrați că: a) AQLR este romb. b) A AQPR = A PBC. { 4. Fie M = x Q x+ 1 }. 4 0 Un calculator a fost programat astfel încât, pentru orice număr x ales din mulțimea M, să se calculeze succesiv numerele E 0 = x+ 1 x+ 2 + 1 4, E 1 = x+ E 0, E 2 = x+ E 1,..., E 10 = x+ E 9 și să se afișeze pe ecran numerele a = x+ 1 4 și b = E 10. Demonstrați că: a) Dacă x = r 2 + r, unde r este un număr rațional cu r + 1 2 numere afișate sunt numere raționale. b) Numărul a b este rațional, pentru orice x M. < 0, atunci cele două 3
Clasa a VIII-a 1. Pentru orice număr real x se notează E(x) = 2x 1. ( ) 1 a) Arătați că dacă x, y 2, + și x+y = 3, atunci E(x)+ E(y) < 3. b) Determinați mulțimea valorilor lui M > 0 astfel încât inegalitatea 10E 2 (x) 60E(x)+89 < 0 să fie adevărată pentru orice x R cu proprietatea că x 2 < M. 2. Considerăm mulțimea Z[ 2] = {a+b 2 a, b Z}. a) Arătați că dacă a+b 2, c+d 2 Z[ 2], atunci a+b 2 = c+d 2 dacă și numai dacă a = c și b = d. b) Determinați patru elemente ale mulțimii Z[ [ 2] 0, 1 ]. 2 c) Arătați că mulțimea Z[ [ 2] 0, 1 ] este infinită. 2 3. Fie a > 0. Dintre toate piramidele triunghiulare regulate cu muchiile laterale de lungime egală cu a, arătați că există una de volum maxim. Determinați această piramidă și volumul maxim. 4. În cubul ABCDA B C D cu BD = 3, fie M și N mijloacele muchiilor [B C ], respectiv [C D ]. a) DacăMN A D = {T}, determinați raportul în care punctul de intersecție a dreptei AT cu dreapta CD împarte muchia [CD]. b) Determinați perimetrul poligonului obținut prin secționarea cubului cu planul(amn). c) Arătați că oricum am alege217 puncte în interiorul cubului, există două la o distanță unul față de celălalt mai mică decât 1 3. 4
Clasa a IX-a 1. Fie (x n ) n 1 un șir de numere naturale definit prin x 1 = 1, x 2 = 30 și Arătați că: x n+2 = restul împărțirii numărului 26x n+1 +3x n prin 2016. a) x n este multiplu de 3 pentru orice n 2; b) există două numere naturale nenule k și p astfel încât x n = x n+p pentru orice n k. c) numerele k și p satisfac condițiile: k 1, iar p este par. 2. Se consideră expresia E(u, v, w) = u 4 +v 4 +w 4 2u 2 v 2 2u 2 w 2 2v 2 w 2 +4uvw(u+v+w), un număr real pozitiv a > 0 fixat și mulțimea A = {(u, v, w) R R R u 2 +v 2 +w 2 = a 2 }. Determinați numărul M = max{e(u, v, w) (u, v, w) A}, precum și toate tripletele (u, v, w) A pentru care E(u, v, w) = M. 3. Fie ABC un triunghi, G centrul său de greutate, I centrul cercului său înscris, O centrul cercului său circumscris, iar D (BC), E (CA) și F (AB) punctele de contact cu laturile triunghiului ale cercurilor exînscrise. a) Arătați că dreptele AD, BE și CF sunt concurente într-un punct N. b) Arătați că (a+b+c) #» PN = ( a+b+c) #» PA+(a b+c) #» PB +(a+b c) #» PC, pentru orice punct P din planul triunghiului. c) Arătați că punctele G, I și N sunt coliniare. d) Determinați distanța dintre punctele O și N. 4. Într-un triunghi ascuțitunghicabc se consideră picioarele înălțimilora 1 BC,B 1 CA și C 1 AB. Prin vârfurile triunghiului se duc dreptele l, m, n, astfel încât A l, B m, C n și l B 1 C 1, m C 1 A 1, n A 1 B 1. Arătați că dreptele l, m, n sunt concurente. 5
Clasa a X-a 1. Fie U o mulțime nevidă de numere complexe nenule cu proprietatea că dacă x, y U, atunci x y U. a) Arătați că dacă x, y U, atunci xy U. b) Arătați că dacă U are 2016 elemente, atunci U este mulțimea rădăcinilor de ordinul 2016 ale unității. 2. Arătați că dacă pentru orice punct M din planul unui patrulater convex ABCD are loc inegalitatea MA 2 +MC 2 MB 2 +MD 2, atunci patrulaterul ABCD este paralelogram și AC BD. 3. Arătați că: a) Funcția cosinus hiperbolic pozitiv cosh + : [0, + ) [0, + ), cosh + (x) = ex +e x, 2 x [0, + ) este strict crescătoare, inversabilă și că inversa acesteia este funcția notată arccosh + : [1, + ) [0, + ), arccosh + (y) = ln(y+ y 2 1), y [1, + ). b) Pentru orice y 1 avem 16y 5 20y 3 +5y 1 și are loc inegalitatea 5arccosh + (y) = arccosh + (16y 5 20y 3 +5y). 4. Fie I și J două intervale, iar f : I R o funcție. Spunem că funcția f este convexă (respectiv concavă) pe intervalul I dacă pentru orice x, y I, x y și pentru orice t (0, 1) are loc inegalitatea f(tx+(1 t)y) tf(x)+(1 t)f(y)(respectiv f(tx+(1 t)y) tf(x)+(1 t)f(y)). Dacă în definiția de mai sus inegalitățile sunt stricte, atunci funcția f se numește strict convexă (respectiv strict concavă). a) Utilizând eventual inegalitatea lui Bernoulli: Pentru orice s 1 și pentru orice 0 < r < 1 are loc (1+s) r 1+rs, cu egalitate dacă și numai dacă s = 0, arătați că funcția logaritm ln : (0, + ) R este strict concavă. b) Arătați că dacă o funcție f : I J este strict concavă (respectiv strict convexă), strict crescătoare și inversabilă, atunci inversa lui f este o funcție strict convexă (respectiv strict concavă). Demonstrați că funcția exponențială e x, respectiv funcția cosh + sunt strict convexe pe R și respectiv pe [0, + ). c) Arătați că dacă a, b R și dacă funcția f : I R este strict concavă (sau strict convexă) pe I, atunci ecuația f(x) = ax+b are cel mult două soluții în intervalul I. d) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+ x 2 1 = ( 2+ 3) x 1. 6
Clasa a XI-a 1. Fie A, B M n (R) cu proprietatea că AB = BA. Să se arate că det(2a 2 +2B 2 2A 2B +I n ) 0. 2. Fie A, B M 2 (C) cu proprietățile Tr(A) = Tr(B) = 0 și A 2 + B 2 = AB + BA. Fie ε C\R astfel încât ε 3 = 1. Arătați că: 3. Se consideră șirul (x n ) n 1 dat de det(a+b) = 2 [ ε 2 det(a+εb)+εdet(a+ε 2 B) ]. x 1 = 1 și x n+1 = 2+ 1 x n, n N, n 1. Studiați convergența șirului (x n ) n 1 și determinați lim n x n. 4. Se consideră șirul definit prin x 1 = 24 și x n+1 = 3 xn (n+2)!, n N, n 1. a) Să se arate că șirul (x n ) n 1 este convergent și să se calculeze lim n x n. b) Să se calculeze lim x n (n+1)! și lim(n+1)!(x n 1). n n 7
Clasa a XII-a 1. a) Arătați că funcția f : [0, 2π] R, f(x) = primitivă a sa este strict crescătoare. b) Calculați 2π 0 f(x)dx. 2. Fie (A, +, ) un inel pe care definim operația prin: 1 2+sinx admite primitive și orice a b = a+b ab, a, b A, și mulțimea G = {a A x A astfel încât a x = x a = 0}. Arătați că (G, ) este un grup. 3. a) Demonstrați că există o unică funcție f : [0, + ) R cu proprietatea b) Arătați că funcția f este continuă. c) Arătați că funcția f este derivabilă. d) Calculați e 0 f(x)dx. x = f(x)e f(x), x 0. 4. Pe mulțimea G = R R se definește legea de compoziție prin: (a, b) (c, d) = (ac, bc+d). a) Demonstrați că (G, ) este grup necomutativ. b) Arătați că în G există o infinitate de elemente de ordinul 2. Există în G elemente de ordinul 3? 8