Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1
Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije f n intervlu [, b]. Potem obstj tko število P, d je m P M in P = 1 b f(x)dx. Če je funkcij f tudi zvezn n intervlu [,b], potem obstj vsj en tk točk ξ [,b], d je f(ξ) = 1 f(x)dx. b Gregor Dolinr Mtemtik 1
Dokz Ker je m f(x) M z vsk x [,b], velj torej je mdx m(b ) f(x)dx Mdx, f(x)dx M(b ). Definirmo P = 1 f(x)dx b in potem je m P M. Gregor Dolinr Mtemtik 1
Če je f zvezn, potem zvzme vse vrednosti med m in M, torej obstj ξ [,b], tko d je f(ξ) = P in zto f(ξ) = 1 f(x)dx. b Gregor Dolinr Mtemtik 1
Opomb Nj bo f pozitivn funkcij. Ploščin območj pod grfom funkcije f nd intervlom [,b] je: večj od ploščine prvokotnik z osnovnico [,b] in višino, ki je enk minimlni vrednosti funkcije f, mnjš od ploščine prvokotnik z osnovnico [, b] in višino, ki je enk mksimlni vrednosti funkcije f. Gregor Dolinr Mtemtik 1
Torej je ploščin območj pod grfom funkcije f nd intervlom [,b] enk ploščini prvokotnik z osnovnico [,b] in višino, ki je med minimlno in mksimlno vrednostjo funkcije f. y M f(ξ) m ξ b x Gregor Dolinr Mtemtik 1
Izrek Nj bo funkcij f integrbiln n intervlu [,b]. Potem je f(x)dx f(x) dx. Torej je bsolutn vrednost integrl mnjš li enk integrlu bsolutne vrednosti. Gregor Dolinr Mtemtik 1
Dokz Z vsko integrlsko vsoto po trikotniški neenkosti velj n f(ξ k )(x k x k 1 ) k=1 n f(ξ k ) (x k x k 1 ) k=1 pri čemer smo upoštevli, d je x k x k 1 = x k x k 1. V limiti je desn strn neenkosti enk f(x) dx. Gregor Dolinr Mtemtik 1
Primer y f + c b x Gregor Dolinr Mtemtik 1
y f + + c b x Gregor Dolinr Mtemtik 1
Zvez med določenim in nedoločenim integrlom Definicij Nj bo f : [,b] R zvezn in zto integrbiln funkcij. Potem z vsk x [,b] obstj integrl x f(t)dt, zto lhko definirmo funkcijo F: [,b] R s predpisom F(x) = x f(t)dt. y f F(x) x b x Gregor Dolinr Mtemtik 1
Oglejmo si, kj velj z funkcijo F. Izrek (Osnovni izrek nlize.) Nj bo f : [,b] R zvezn funkcij. Potem je funkcij F(x) = odvedljiv, zto tudi zvezn, in x f(t)dt F (x) = d dx x f(t)dt = f(x). Opomb Funkcij F je zvezn, sj je vsk odvedljiv funkcij tudi zvezn. Gregor Dolinr Mtemtik 1
Dokz Zpišemo F(x +h) F(x) = x+h x f(t)dt f(t)dt = x+h x f(t)dt. Po izreku o povprečni vrednosti obstj ξ [x,x +h], tko d je f(ξ) = in zto 1 x +h x x+h x f(t)dt, torej je f(ξ)h = F(x +h) F(x) h = f(ξ). x+h x f(t)dt Gregor Dolinr Mtemtik 1
y f(ξ) f F(x) x ξ x +h b x Sledi F F(x +h) F(x) (x) = lim = lim f(ξ) = f(x). h 0 h h 0 Gregor Dolinr Mtemtik 1
Pokzli smo, d je odvod funkcije F enk funkciji f, d dx x f(t)dt = f(x), torej je funkcij F nedoločeni integrl funkcije f, x f(x)dx = f(t)dt. V ndljevnju si oglejmo, kko lhko izrčunmo določeni integrl s pomočjo nedoločeneg integrl. Gregor Dolinr Mtemtik 1
Izrek (Newton - Leibnitzev formul) Nj bo f : [,b] R zvezn funkcij in nj bo G poljuben nedoločeni integrl funkcije f, torej G(x) = f(x)dx. Potem je f(x)dx = G(b) G(). Gregor Dolinr Mtemtik 1
Dokz Nj bo G poljuben nedoločeni integrl funkcije f, torej G(x) = f(x)dx. V prejšnjem izreku smo pokzli, d je funkcij F(x) = x f(t)dt vedno nedoločeni integrl funkcije f, vsi nedoločeni integrli funkcije f p se med sbo rzlikujejo smo z konstnto, zto je G(x) = x f(t)dt +C. Gregor Dolinr Mtemtik 1
Izrčunjmo, koliko je G(b) G(). Velj G(b) G() = = = ( f(t)dt +C f(t)dt f(t)dt f(t)dt = ) f(t)dt +C f(t)dt 0 Gregor Dolinr Mtemtik 1
Opomb Newton-Leibnitzev formul pove, kko lhko izrčunmo določeni integrl f(x)dx funkcije f n intervlu [,b]. Njprej poiščemo nedoločeni integrl G funkcije f in nto izrčunmo rzliko funkcijskih vrednosti G(x) b = G(b) G(). Gregor Dolinr Mtemtik 1