DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00
|
|
- Ἀλέξανδρος Αλεξιάδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,.
2 Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri i osobine Kriterijumi z konvergeniju Nesvojstveni integrl s više singulritet Glvn vrednost integrl Nesvojstveni višestruki integrl 4.. Nesvojstveni integrl nenegtivnih funkij Nesvojstveni integrl funkij promenljivog znk Nesvojstveni prmetrski integrl 3.. Rvnomern konvergenij Funkionln svojstv Grničn vrednost i neprekidnost iferenirnje nesvojstvenog integrl Integrij nesvojstvenog integrl Ojlerovi integrli Gm funkij Bet funkij Litertur 37
3 . Nesvojstveni jednostruki integrl U definiiji odred enog integrl f() uzimli smo d je oblst integrisnj končn, podintegrln funkij f() definisn i ogrničen n končnom intervlu [, b]. Ukoliko jedn od ovih uslov nije ispunjen, definiij odred enog integrl gubi smiso, jer integrlne sume neogrničenih funkij nemju končn es, beskončne intervle ne možemo podeliti n n končnih intervl. bismo obuhvtili ovkve slučjeve (kod kojih grnie integrije nisu končne ili podintegrln funkij nije končn), uvodimo pojm nesvojstvenog integrl... efiniij, primeri i osobine efiniij. Nek je funkij f definisn u intervlu [, b) i integrbiln n svkom segmentu [, β] [, b). Ako postoji es β f() β b on se nziv nesvojstvenim integrlom funkije f n intervlu [, b) i oznčv s Često se simbol ukoliko β b f(). f() nziv nesvojstvenim integrlom s singulritetom u tčki b i β f() postoji i končn je, kže se d nesvojstveni integrl f() konvergir, u suprotnom slučju se kže d f() divergir. Inče, nije teško pokzti d u slučju d je funkij f definisn n segmentu [, b] i d je integrbiln u Rimnovom β smislu n njemu, vži f() = f(), p zto ne može doći do zbune zbog β b ovog dvostrukog korišćenj simbol Slično se definiše nesvojstveni integrl f(). f() s singulritetom u tčki. 3
4 Primer. Ispitti konvergeniju integrl, koji z α > im singulritet u tčki. α Njpre, z α odredimo Prelskom n es immo lje je ε = α α = α ε α ( ε α ) ε + kle, nesvojstveni integrl { α ( e ε ) =, α <, α, α >. ε + = ( ln ε) =. ε + konvergir z α < i divergir z α. α efiniij. Nek je funkij f definisn u intervlu [, ) i nek je integrbiln n svkom segmentu [, β] [, ). Ako postoji es β f(), β on se nziv nesvojstvenim integrlom funkije f n intervlu [, ) i oznčv s Često se simbol β f(). f() nziv nesvojstvenim integrlom s singulritetom. Ako β f() postoji i končn je, kže se d tj nesvojstveni integrl konvergir, u suprotnom slučju divergir. Slično se definiše i nesvojstveni integrl Primer. Ispitti konvergeniju integrl Nek je α. Td je Kko je β α = divergir z α. β β β = α β f()., α R. α { α (β α ) =, α >, α, α <. = ln β =, to možemo reći d β α konvergir z α >, 4
5 Ubuduće ćemo z ob nesvojstven integrl, iz efiniije i efiniije, koristiti simbol f() i govoriti d tj integrl im singulritet u tčki b, ko je funkij neogrničen n intervlu [, b), ili b =. rugim rečim, ko je funkij f definisn n končnom ili beskončnom intervlu [, b) i integrbiln n svkom segmentu [, β] [, b) ond nesvojstveni integrl β b β f() konvergir ko postoji končn f(), u suprotnom slučju nesvojstveni integrl divergir. Umesto β b β (ko je b končn broj), odnosno β b β f(). β Sve ovo vži i z integrle čiji je singulritet donj grni. Sledeći stv opisuje osobine nesvojstvenog integrl: Stv. Nek su f() i Td: Ako ti integrli konvergirju, vži jednkost (λf() + µg()) = λ β f() f() (ko je b = ), pisćemo krtko g() nesvojstveni integrli s singulritetom u tčki b. f() + µ g(), z λ, µ R. Ako je < < b, td f() = f() + f() konvergir ko i smo ko konvergir f(). 3 Ako su f i g gltke funkije i postoji končn es b (f g)(), ond konvergir ko i smo ko konvergir gde (fg)() b (f g )() = (fg)() b znči b f()g() f()g(). okz. Tvrd enje se dobij iz jednkosti β β (λf() + µg()) = λ f() i vži (f g)(). U tom slučju vži jednkost (f g)(), β f() + µ g() (f g )() 5
6 prelskom n es kd β b. Uzmimo β tko d je < < β < b. Td je β f() = f() + p tvrd enje ponovo sledi prelskom n. β b 3 Iz jednkosti β (f g )() = (fg)() β sledi β b β β β f() (f g)() (f g )() = β b (fg)(β) (fg)() β b β (f g)(). β Kko (fg)(β) postoji, to postoji i (f g )() ko i smo ko postoji β b β b β (f g)(). β b Primer 3. Integrl e konvergir, jer možemo npisti e = e + e ob nesvojstven integrl s desne strne konvergirju. Integrl, α R, divergir. Nime, npišimo α α = α + Z α divergir prvi, z α divergir drugi integrl n desnoj strni jednkosti. 3 Z nesvojstveni integrl = immo + α. = π + π = π. Npomenimo jos i sledeće: Ako je funkij f integrbiln n svkom segmentu oblik [, α] [, ) i n svkom segmentu oblik [β, b] (, b], < < b, definisćemo f() = f() + f(), ukoliko integrli s desne strne konvergirju. 6
7 .. Kriterijumi z konvergeniju U ilju utvd ivnj d li dti nesvojstveni integrl konvergir ili ne, koriste se rzni kriterijumi. Teorem. (Košijev kriterijum konvergenije integrl) bi nesvojstveni integrl f() konvergiro, neophodno je i dovoljno d z svko ε > postoji β, < β < b, tko d z svki pr β, β, β < β < β < b, vži β f() < ε. okz. Posmtrjmo funkiju ϕ() = β f(t)dt, < b. Integrl f() konvergir ko i smo ko postoji končn b ϕ(). To je ispunjeno ko i smo ko je ispunjen Košijev uslov ( ε > )( β )( β, β )(β < β < β < b ϕ(β ) ϕ(β ) < ε). No, ϕ(β ) ϕ(β ) = β f(). Jedn dovoljn uslov z konvergeniju dje: β Stv. Nek je f() g(), [, b). Ako konvergir. g() konvergir, ond i f() okz. Nek je ε proizvoljn pozitivn broj. Kko integrl g() konvergir, to β postoji β, tko d z β < β < β < b vži g() < ε. Iz pretpostvke stv sledi β β β f() efiniij 3. Nesvojstveni integrl f(). β β f() g() < ε. β β A. L. Cuhy ( ), frnuski mtemtičr f() psolutno konvergir ko konvergir integrl 7
8 Iz Stv neposredno sledi: Posledi. Ako f() psolutno konvergir, ond on i konvergir. Primer 4. Nek je f() k, k = onst, α >, z [, ), >. Td α k integrl f() konvergir. Nime, integrl = k konvergir. α α Integrl konvergir. os konvergir. Ovo sledi iz nejednkosti os i činjenie d Pitnje psolutne konvergenije svodi se n pitnje konvergenije nesvojstvenih integrl nenegtivnih funkij. Sledi nekoliko kriterijum z konvergeniju integrl tkvih funkij. Stv 3. Z konvergeniju nesvojstvenog integrl potrebno je i dovoljno d postoji broj k, tko d je f(), f() z [, b), β f() k, β < b. okz. Zbog f() z [, b), funkij ϕ(β) = es β b ϕ(β) postoji ko i smo ko je on ogrničen. Stv 4. Nek je f() g() z < b i nek su β f() je rstuć. Končn () f() () g() nesvojstveni integrli s singulritetom b. Td iz konvergenije integrl () sledi konvergenij integrl (), iz divergenije integrl () sledi divergenij integrl (). okz. Oznčimo ϕ(β) = β f(), ψ(β) = β g(), β < b. Ako integrl () konvergir, ond postoji broj k tko d je ϕ(β) ψ(β) k, p integrl () konvergir. rugo tvrd enje stv je kontrpoziij prvog. 8
9 Primetimo d se, n osnovu Stv., u Stvu 4 uslov < b f() g() može zmeniti uslovom z neki broj, < < b. < b f() g() Stv 5. ti su nesvojstveni integrli () i (), pri čemu je g() >, z [, b). Ako f() postoji =,, ond iz konvergenije integrl (), pri <, sledi b g() konvergenij integrl (), iz divergenije integrl (), pri >, sledi divergenij integrl (). Speijlno, ko je < <, ond integrli () i () konvergirju, odnosno divergirju, istovremeno. okz. Nek integrl () konvergir i pri tome je <. Kko je b f() g() =, to z ε > postoji β < b, tko d je Odvde je p iz konvergenije integrl konvergenij integrl ε < f() g() < + ε, z β < < b f() < ( + ε)g(), β < < b, f(). g() ( smim tim i integrl ( + ε)g()) sledi i Nek integrl () divergir i pri tom je <. Td divergir i integrl (). Nime, pretpostvimo d integrl () konvergir. Iz pretpostvke sledi g() b f() =, <. Prem gore dokznom, zbog konvergenije integrl (), konvergiro bi i integrl (), što je kontrdikij. Primer 5. Nesvojstveni integrl <, integrl e konvergir. Ispitti konvergeniju nesvojstvenog integrl Kko je + =, integrl e konvergir, jer je e e, z. + konvergir, to i dti integrl konvergir. Videli smo d iz psolutne konvergenije sledi konvergenij nesvojstvenog integrl. obrnuto ne vži pokzuje sledeći primer: 9
10 Primer 6. Pokzti d integrl Integrl π π sin = [ π sin konvergir. U tom ilju npišimo os ] π π os = π os os konvergir (primer 4. ), odkle sledi d dti integrl konvergir. No, dti integrl ne konvergir psolutno. Nime, vži β π β sin π sin = β π β π os. Integrl π β π nije ogrničen, dok je integrl β os dokzuje se slično ko i konvergenij integrl divergir. π os ogrničen (konvergenij integrl π ). kle, Z nesvojstveni integrl koji konvergir, li ne konvergir psolutno, često se kže d konvergir uslovno. Jedn kriterijum z ispitivnje (ne psolutne) konvergenije je: Teorem. (Abel - irihle ) Nek su funkije f i g definisne n [, b) i integrbilne n svkom segmentu [, β] [, b). Z konvergeniju nesvojstvenog integrl dovoljno je d budu ispunjeni uslovi f()g() () f je neprekidn n [, b) i im ogrničenu primitivnu funkiju; () g je gltk n [, b) i monotono teži nuli z b; ili (A) f je neprekidn n [, b) i nesvojstveni integrl (A) g je gltk, monoton i ogrničen n [, b). sin f() konvergir; okz. Pretpostvimo d su ispunjeni uslovi ()i (). Nek je ε > proizvoljno. β Kko f im ogrničenu primitivnu funkiju, to postoji broj M, tko d je f() β < M z β < β < b. Funkij g() monotono teži nuli z b, p postoji β [, b) N. H. Abel (8 89), norveški mtemtičr P. L. irihlet (85 859), nemčki mtemtičr π sin
11 tko d je g() < ε z > β M. Prem drugoj teoremi 3 o srednjoj vrednosti integrl z β < β < β < b postoji ξ (β, β ) tko d vži jednkost Odvde je β β f()g() = g(β ) β β ξ β f() + g(β ) β ξ f(). f()g() < g(β ) M + g(β ) M < ε. Prem Teoremi, tvrd enje je dokzno. Slično se dokzuje tvrd enje teoreme u slučju kd su ispunjeni uslovi (A) i (A). Teorem se može dokzti i uz slbije uslove. Nime, pretpostvke o neprekidnosti funkije f, odnosno gltkosti funkije g, mogu se izostviti. Primer 7. Nesvojstveni integrl sin, R, n >, konvergir, jer funkij sin + n (z ) im ogrničenu primitivnu funkiju, monotono teži nuli z. + n.3. Nesvojstveni integrl s više singulritet U prethodnom odeljku je bilo reči o nesvojstvenim integr s jednim singulritetom, tj. s integrlom oblik f(), gde b R i funkij f je neogrničen u okolini tčke b ili b =. U ob slučj se kže d je singulritet u b. Nesvojstveni integrl oblik nčin: f() s singulritetim u i b (dkle s dv singulritet) se definiše n sledeći f() = f() + f() gde < < b i on po definiiji konvergir ko konvergirju ob integrl s desne strne. Prem Stvu. njegov konvergenij ne zvisi od tčke (, b). U slučju d je podintegrln funkij neogrničen u okolini jedne od unutršnjih tčk segment [, b], stvljmo f() = f() + f() 3 Teorem: Nek je f neprekidn, g monoton i gltk funkij n segmentu [, b]. Td postoji ξ [, b], tko d vži ξ f()g() = g() f() + g(b) ξ f().
12 zhtevjući d svki od integrl s desne strne konvergir. Primer 8. Integrl e = e + divergir, jer prvi integrl n desnoj strni divergir. e.4. Glvn vrednost integrl o sd smo rzmtrli nesvojstvene integrle ko uopštenje Rimnovog integrl, vezujući njihovu egzisteniju s egzistenijom odgovrjućih grničnih vrednosti. U slučjevim kd ove grnične vrednosti ne postoje ko končne, tj. kd nesvojstveni integrli ne egzistirju, moguće je ponekd postojnje tzv. glvne vrednosti nesvojstvenih integrl. Posmtrjmo njpre slučj nesvojstvenog integrl s jednim singulritetom u tčki (, b). Ako grnične vrednosti ε + ε f() i ε + +ε f() ne postoje z ε ε, li postoje z ε = ε = ε, tj. ko postoji ε f() + f() ε + td kžemo d nesvojstveni integrl i to oznčvmo s v.p. +ε f() postoji u smislu Košijeve glvne vrednosti f(). Slično ko funkij nije ogrničen smo u tčkm i b, ond se, ukoliko postoji grničn vrednost b ε f(), definiše Ako integrl v.p. ε + +ε f() = b ε ε + +ε f(). f() postoji ko nesvojstven, td postoji i odgovrjući v.p. dok obrnuto, u opštem slučju ne vži. f(),
13 Primer 9. Integrl ne postoji ko Rimnov integrl jer, kd. Tkod e, ovj integrl ne postoji ni ko nesvojstven jer ε + ε = (log ) ε + (log ) = log ε ε nem grničnu vrednost kd ε i ε nezvisno teže nuli. Med utim, ko je ε = ε = ε immo Odredimo v.p. I = v.p. = Kko kvdrtni trinom 3 + im relne nule = i =, korišćenjem ditivnog svojstv integrl u odnosu n oblst integrije, dti integrl se može npisti ko zbir tri integrl I = I + I + I 3, gde su ε I = v.p , 3 I = v.p , Sd immo ( I = log ε + Slično, ( I = log ε + ε ε 3 I 3 = v.p. 3 + log + log ε 3 +ε ) ) ( = log + ε ) ε + ε log = log. ( = log + ε ) ε + ε log = log. Njzd, p je I = log. I 3 = log 3 = log log = log, 3
14 . Nesvojstveni višestruki integrl Ko i u slučju funkij jedne promenljive, i ovde je ilj d proširimo pojm Rimnovog integrl kko u slučju kd je oblst integrije neogrničen, tko i u slučju neogrničenih funkij. Ob slučj posmtrćemo istovremeno. Njpre ćemo dti pojm monotonog pokrivč neke oblsti u prostoru R n. efiniij 4. Nek je R n dt oblst. Fmilij = { k k =,,...} otvorenih skupov monotono pokriv oblst ko su ispunjeni uslovi k = ; k= k k+ z k =,,... Fmiliju ćemo nzivti monotonim pokrivčem. efiniij 5. Nek je reln funkij f() definisn n oblsti R n i integrbiln n svkom merljivom podskupu skup. Posmtrjmo sve monotone pokrivče = { k k =,,...} koji imju svojstvo d je svki k merljiv skup. Ako z svku fmiliju postoji f() k k i ovj es ne zvisi od izbor fmilije, ond se on nziv nesvojstvenim višestrukim (ili n-) integrlom funkije f n skupu i oznčv s f() ili f(,..., n ) n. Često se simbol f() (ko je f ili neogrničeno) nziv nesvojstvenim integrlom, p se kže d tj nesvojstveni integrl konvergir, odnosno divergir, ko gore pomenuti es postoji (ko končn), odnosno ne postoji ili je beskončn... Nesvojstveni integrl nenegtivnih funkij Teorem 3. Nek je f : R, R n i f(),. bi nesvojstveni integrl f() konvergiro, potrebno je i dovoljno d br z jednu fmiliju = { k k =,,...} koj monotono pokriv oblst i gde su k merljivi skupovi, niz ( k ) k=, k = f(), bude ogrničen. k 4
15 okz. Ako f() konvergir, niz ( k ) k je konvergentn, dkle i ogrničen. Pretpostvimo d je niz ( k ) k ogrničen. Kko iz k k+ i f(), sledi f() f(), to je tj niz rstući, p postoji končn k = I. k k k+ Uočimo neku drugu fmiliju {E k k =,,...} koj monotono pokriv oblst i oznčimo b k = f(). E k Nek je k N proizvoljno. Nd imo k tko d je E k k. Td je i b k k I. kle (b k ) k je ogrničen niz. Ko rstući, ovj niz im es; nek je b k = I. k Iz prethodnog sledi d je I I. Zmenjujući uloge nizovim ( k ) i (b k ) dobijmo nejednkost I I, odkle sledi I = I. Primer. Z izrčunvnje integrl e y dy R uočimo fmiliju { k k =,,...}, k = {(, y) R + y < k }. Td je k = e y dy. Posle prelsk n polrne koordinte immo k = π k dθ k re r dr = π( e k ). Očigledno k = π. k Primetimo d se dti nesvojstveni integrl može izrčunti i ko k E k ( e +y ) dy gde je E k = {(, y) R k < < k, k < y < k }, k =,,... Iz k e y dy = k e e y dy = k e E k k k k sledi π = k k e = k e 5
16 i ztim e = π Ovj integrl se obično nziv Ojler-Posonovim 4 integrlom. Nvedimo sd neke kriterijume pored enj z ispitivnje konvergenije nesvojstvenih integrl. Teorem 4. Nek su f i g dve nenegtivne funkije definisne u oblsti R n, integrli f() i g() su nesvojstveni i vži nejednkost f() g(),. Ako g() konvergir, ond konvergir i f(). konve- okz. Z monotoni pokrivč { k k =,,...} skup, niz rgir. Kko je f() g(), ( k g() ) k to je niz ( k f() ) k k k ogrničen, p kko je i monoton, on je i konvergentn. Posledi. Ako funkije f i g zdovoljvju uslove Teoreme 4 i f() divergir, ond i g() divergir. Stv 6. Ako je f(), R n, f() konvergir i E im monoton pokrivč, ond i E f() konvergir i vži nejednkost E f() f(). okz. Konstruišimo funkiju ϕ : R formulom { f(), E, ϕ() =, \E. Očigledno je ϕ() f() z, odkle sledi ϕ() f(). 4 L. Euler (77 783), švjrski fizičr i mtemtičr S.. Poisson (78 84), frnuski fizičr i mtemtičr 6
17 S druge strne, z proizvoljn monoton pokrivč { k k =,,...} skup vži ϕ() ϕ(). k E Prelskom n es z k immo f() k f(). E.. Nesvojstveni integrl funkij promenljivog znk efiniij f(). 6. Nesvojstveni integrl f() psolutno konvergir ko konvergir Teorem 5. Nesvojstveni integrl konvergir psolutno ko i smo ko konvergir u običnom smislu. okz. Pretpostvimo d je reln funkij f definisn u oblsti R n. S f + i f oznčimo funkije definisne formulm f + () = f() + f(), f () = ili, zpisno u drugčijem obliku { { f(), z f() f + () =, z f() <, f () = Sledeće nejednkosti f() f(),,, z f() f(), z f() <,. (3) f + () f(), f () f(),, ko i jednkosti (4) f() = f + () f (), f() = f + () + f (),, očigledne su. Ako f() psolutno konvergir, tj. ko f() konvergir, ond prem (3) i Teoremi 4 konvergirju f + () i f (). N osnovu jednkosti (4) lko se vidi d konvergir i f(). Obrtno, nek konvergir f(). Pretpostvimo suprotno, d f() divergir. 7
18 Kko je f(), to f() divergir k beskončnosti i možemo nći monotoni pokrivč { k k =,,...} skup, tko d je (5) f() > 3 f() + k, k =,,... k+ k Oznčimo k+ \ k = E k. Iz (5) sledi (6) f() > E k Koristeći (4) immo k f() + k. E k E k f() = f + () + E k f (). Od dv integrl n desnoj strni poslednje jednkosti, jedn je veći ili jednk drugom. Odred enosti rdi, pretpostvimo d je f + () f (). E k E k Iz ove nejednkosti i (6) sledi f + () > E k k f() + k. Izberimo tkvu podelu T = {V i } i skup E k d bude mi µv i > f() + k, m i = inf f +(). V i k Oznčimo s P k = j {V j T m j > }, k P k = Q k. Td je (7) f() = f + () > f() + k. P k P k k Iz (7) i očigledne nejednkosti f() > f() sbirnjem sledi k k Q k f() > k. 8
19 { (Q k Po konstrukiji je ) } k N monoton pokrivč skup, te n osnovu poslednje nejednkosti sledi d je f() divergentn, što je kontrdikij. Primetimo d dokzn teorem o psolutnoj konvergeniji nesvojstvenog višestrukog integrl nije u kontrdikiji s pozntom činjeniom d postoje obični (jednostruki) nesvojstveni integrli koji konvergirju uslovno (primer 6). Nime, definiij (jednostrukog) nesvojstvenog integrl (dt u prvom delu), ne dobij se ko speijln slučj efiniije 5 nesvojstvenog n-integrl z n =. 9
20 3. Nesvojstveni prmetrski integrl Posmtrjmo prmetrske integrle oblik (8) I(y) = f(, y) koji su (br z neke y) nesvojstveni s singulritetom b, tj. tkve d ili je b =, ili je b končno, li je funkij f(, y) neogrničen u okolini tčke = b. Sv rzmtrnj mogu se nlogno preneti n slučj nesvojstvenih integrl čiji je singulritet donj grni, ko i one kod kojih su singulriteti obe grnie, ili je, pk, singulritet u unutršnjosti intervl integrije. Nesvojstveni integrl (8) konvergir z neko y ko z tu vrednost prmetr postoji končn grničn vrednost β b F (β, y) gde je F (β, y) = β f(, y). 3.. Rvnomern konvergenij efinisćemo sd pojm rvnomerne konvergenije nesvojstvenog prmetrskog integrl. efiniij 7. Z integrl (8) kžemo d rvnomerno konvergir po y Y (gde Y R) ko F (β, y) I(y) (β b) po y Y, tj. ko z svko ε > postoji β [, b) tko d z svko y Y i svko β, β < β < b, vži I(y) F (β, y) = f(, y) < ε. Primer. Integrl y rvnomerno konvergir po y Y, jer z y : β β konvergir z y >. Ako Y = [, ), ond tj integrl y = (y )β y β (β )
21 Med utim, ko je Y = (, ), dti integrl ne konvergir rvnomerno n Y. Zist, z dto β (, ) vži β = (y + ) y (y )βy p se z dto ε > ne može izbrti β (, ), tko d nejednkost z β > β, istovremeno z sve y Y. β y < ε vži Opšti Košijev prinip konvergenije dje sledeći neophodn i dovoljn uslov rvnomerne konvergenije nesvojstvenog prmetrskog integrl. Teorem 6. Integrl (8) rvnomerno konvergir po y Y R ko i smo ko z svko ε > postoji β [, b) tkvo d z sve β, β z koje je β < β < β < b i z svko β y Y vži f(, y) β < ε. Posledi 3. Ako je podintegrln funkij f integrl (8) neprekidn n [, b) [, d] i tj integrl konvergir z y (, d), li divergir z y = (odnosno y = d), ond on nervnomerno konvergir n (, d). okz. Pretpostvimo d integrl (8) divergir, n primer, z y =. Td postoji ε >, tko d se z svko β [, b) mogu se nći β, β (β, b) z koje je β β f(, ) β > ε. Integrl f(, y) je (svojstveni) prmetrski integrl koji je β neprekidn funkij od y (, d) (n osnovu stv 5 koji dje dovoljn uslov neprekidnosti funkije (8)). Znči, z vrednosti y dovoljno bliske, vžiće i nejednkost β f(, ) > ε. kle, nisu ispunjeni uslovi prethodne teoreme z rvnomernu konvergeniju integrl (8) n (, d). β Primetimo d n osnovu ove posledie neposredno dobijmo zključk o nervnomernoj konvergeniji integrl n (, ). y Nvedimo sd neke dovoljne uslove rvnomerne konvergenije nesvojstvenog integrl. Stv 7. (Vjerštrsov 6 kriterijum) Nek je ϕ : [, b) R integrbiln funkij (tj. nek konvergir ϕ()), tkv d je f(, y) ϕ() z sve [, b), y Y R. Td integrl (8) rvnomerno konvergir po y Y. 5 Stv: Nek je P prvougonik [, b] [, d] i nek je f(, y) neprekidn funkij n P. Td je I(y) neprekidn funkij n [, d]. 6 K. Weierstrss (85 897), nemčki mtemtičr
22 okz. Iz konvergenije integrl β ϕ() sledi d z svko ε > postoji β [, b), tkvo d z sve β, β (β, b) vži ϕ() < ε. Td je, z sve y Y, β β β β f(, y) f(, y) ϕ() < ε, β β β što n osnovu Teoreme 6 znči d integrl (8) rvnomerno konvergir n Y. Primer. Integrl ispunjeno os y +, + Integrl os y + rvnomerno konvergir po y R jer je z svko y R konvergir. + α ( ) β im singulritete u = (z α < ) i u = (z β < ). On konvergir rvnomerno po α z α α > (z fiksirno β > ), ko i po β z β β > (z fiksirno α > ). Zist, z < <, β > i α α je integrl α ( ) β α ( ) β, α ( ) β konvergir. Slično se dokzuje drugo tvrd enje. Vjerštrsovim kriterijumom ne može se dokzti rvnomern konvergenij nepsolutno konvergentnog integrl. U tkvim slučjevim koristimo sledeći stv: Stv 8. (Abel - irihleov kriterijum) Nek su funkije f(, y) i g(, y) definisne z [, b) i y Y R i nek su z svko y Y integrbilne po n svkom segmentu [, β] [, b). Z rvnomernu konvergeniju nesvojstvenog integrl (9) f(, y)g(, y) po y Y dovoljno je d budu ispunjeni uslovi: () z svko y Y funkij f(, y) je neprekidn po [, b) i im rvnomerno β ogrničenu primitivnu funkiju, tj. postoji konstnt M, tkv d je f(, y) M z sve y Y i sve β [, b); () z svko y Y funkij g(, y) je neprekidno diferenijbiln i monoton po [, b) i g(, y) ( b) po y Y ; ili (A) z svko y Y funkij f(, y) je neprekidn po [, b) i nesvojstveni integrl f(, y) rvnomerno konvergir po y Y ; (A) z svko y Y funkij g(, y) je neprekidno diferenijbiln i monoton po [, b); tkod e, g je rvnomerno ogrničen po [, b) i y Y.
23 okz. okzćemo d su uslovi () i () dovoljni z rvnomernu konvergeniju integrl (9). Slično se dokzuje i z uslove (A) i (A). Nek su β, β [, b), β < β i nek je ε > proizvoljno. N osnovu druge teoreme o srednjoj vrednosti integrl vži β β f(, y)g(, y) = g(β, y) ξ β f(, y) + g(β, y) β ξ f(, y) z neko ξ [β, β ]. N osnovu pretpostvke () integrli n desnoj strni ove jednkosti mogu se po psolutnoj vrednosti ogrničiti nekom konstntom k (uniformno po y Y ). Iz pretpostvke () sledi d se može nći β [, b) tko d ko je β, β > β vži g(β, y) < ε i g(β k, y) < ε, istovremeno z sve y Y. Iz prethodne jednkosti k β sledi d je z tkve β, β ispunjeno f(, y)g(, y) < ε, što n osnovu Teoreme 6 β znči d je integrl (9) rvnomerno konvergentn po y Y. Ovj stv vži i pod nešto slbijim pretpostvkm - uslovi d je f neprekidn, g gltk funkij mogu se izostviti. Primer 3. Integrl integrl primer, integrl e y f() rvnomerno konvergir po y ko konvergir f(). To sledi jer su ispunjeni uslovi (A), (A) prethodnog stv. N sin e y rvnomerno konvergir po y. sin Integrl rvnomerno konvergir po y y y >, jer su ispunjeni uslovi (), (). Primetimo d n osnovu Posledie 3, on ne konvergir rvnomerno po y >, jer ne konvergir z y =. 3 sin y Integrl konvergir z svko y R. N skupu Y = {y R y }, z neko >, tj integrl konvergir rvnomerno. Zist, kko nije singulritet tog integrl, možemo posmtrti smo njegovo ponšnje kd. No, td tvrd enje lko sledi iz irihleovog kriterijum. Med utim, ovj integrl nije rvnomerno konvergentn n R. Zist, z β > vži sup y R β sin y = sup α> α sin sin >. 3
24 3.. Funkionln svojstv Ispitivnje osobin funkij definisnih nesvojstvenim prmetrskim integr po prvilu je komplikovnije od odgovrjućeg problem u slučju svojstvenih integrl. Nime, kod nesvojstvenih integrl pojvljuje se još jedn (treći) grnični prelz o kojem treb voditi rčun prilikom potrebne promene poretk Grničn vrednost i neprekidnost Teorem 7. Nek je funkij f(, y), z svko y iz neke okoline V tčke y R, integrbiln po [, β] z svko β z koje je < β < b. Ako: z svko tkvo β vži f(, y) ϕ() (y y ) n [, β] nesvojstveni integrl td ϕ() konvergir i vži f(, y) rvnomerno konvergir n V, () f(, y) = ϕ(). y y okz. Oznčimo F (β, y) = sledi d je y y F (β, y) = F (β, y) β f(, y). Iz pretpostvke i odgovrjućeg stv 7 β ϕ(). S druge strne, uslov znči d f(, y) (β b) po y V. N osnovu opšte teoreme 8 o promeni poretk grničnih prelz zključujemo d postoji β b je f(, y). y y β ϕ() = ϕ() i jednk 7 Stv: Ako je funkij f(, y) integrbiln po n segmentu [, b] z svko y iz neke okoline V tčke y R i ko f(, y) ϕ() (y y ) po [, b], ond je I(y) = y y ( ) f(, y) = y y ϕ(). 8 Teorem: Nek je f t : A R (t T R, A R) fmilij relnih funkij, t R tčk ngomilvnj skup T i R tčk ngomilvnj skup A. Ako f t f (t t ) n A, z svko t T postoji f t () = b t, td postoje f() i b t i vži f() = b t, tj. t t t t f t () = f t () t t t t 4
25 Prover uslov nvedene teoreme nekd se može izvesti korišćenjem inijevog 9 kriterijum. Posledi 4. Nek je, z svko y < y (y > y ) iz neke okoline V tčke y, f(, y) nenegtivn i neprekidn funkij od [, b) koj, kd y rstući (opdjući) teži y, rstući (po y) teži funkiji ϕ(), neprekidnoj n [, b). Ako integrl td vži jednkost (). ϕ() konvergir, okz. Monotonost konvergenije f(, y) ϕ() (y y ) obezbed uje, prem inijevom stvu, d je t konvergenij rvnomern n svkom segmentu [, β] [, b). S druge strne, nejednkost f(, y) ϕ(), koj vži z sve [, b) i sve y V, i konvergenij integrl ϕ() povlče d f(, y) rvnomerno konvergir po y V. N tj nčin ispunjeni su uslovi Teoreme 7, p vži jednkost (). Izveden tvrd enj omogućvju i nek jednostvn prvil o nesvojstvenoj integriji redov čln-po-čln. Posledi 5. Nek su člnovi red n () nenegtivne i neprekidne funkije n [, b) i n= nek je njegov zbir f() n [, b) neprekidn i integbiln funkij. Td se tj red može integristi čln-po-čln n [, b), tj. vži ( ) n () = n= n= n (). Neposredn posledi Teoreme 7 je i sledeć teorem o neprekidnosti funkije definisne nesvojstvenim prmetrskim integrlom. Teorem 8. Nek je funkij f neprekidn n [, b) [, d] i nek je (nesvojstveni) integrl I(y) = funkij n [, d]. f(, y) rvnomerno konvergentn po y [, d]. Primer 4. Izrčunti integrl ln( ), Td je I(y) neprekidn rzvijjući podintegrlnu funkiju u red. odefinišimo tu funkiju njenim esom u tčki =. Z < je td ln( ) = n n n= 9 Stv: nek je K R kompktn (dkle, ztvoren i ogrničen) skup i nek je ( n ()) n N monoton (po n) niz funkij neprekidnih n K. Ako n () () (n ) n K i ko je : K R neprekidn funkij, td n (n ) n K. 5
26 Tj red ne konvergir rvnomerno n [, ) (jer ne konvergir z = ). ispunjeni su uslovi Posledie 5, p vži Med utim, Pokzli smo d je integrl ln( ) = n = n n = π 6 n= n= I(y) = sin e y rvnomerno konvergentn po y [, ). Kko je njegov podintegrln funkij (dodefinisn jediniom z = ) neprekidn n [, ) [, d] z sve d >, to n osnovu Teoreme 8 zključujemo d je i funkij I(y) neprekidn n [, d] dkle i n [, ). Speijlno, vži I(y) = y y sin e y = sin iferenirnje nesvojstvenog integrl U sledećoj teoremi nvodimo dovoljne uslove z mogućnost primene Ljbniovog prvil n nesvojstvene prmetrske integrle. Teorem 9. Nek su ispunjeni sledeći uslovi: funkij f : [, b) [, d] R je neprekidn po [, b) z svko y [, d], funkij je definisn i neprekidn n [, b) [, d]; f y integrl I(y) = 3 integrl f(, y) konvergir z neko y = y [, d]; f (, y) rvnomerno konvergir n [, d]. y Td je funkij I(y) diferenijbiln n [, d] i vži () I (y) = f (, y). y Stv: Nek je P = [, b] [, d] i funkij f : P R zdovoljv sledeće uslove: f je neprekidn po [, b] z svko y [, d]; f im prijlni izvod f y koji je neprekidn funkij n P. Td je funkij definisn relijom f(, y) neprekidno diferenijbiln n [, d] i vži I (y) = f (, y). y 6
27 okz. Oznčimo F (β, y) = β f(, y) z < β < b. Uslov, n osnovu Ljbniovog kriterijum, obezbed uje d funkij F im prijlni izvod po y n [, d] i d vži N osnovu 3 vži F β (β, y) = y f (, y). y F b (β, y) y f (, y) y (β b) n [, d]. Njzd, iz sledi d funkij F (β, y) im z y = y grničnu vrednost kd β b. N tj nčin ispunjeni su svi uslovi teoreme o diferenijbilnosti grnične funkije fmilije diferenijbilnih funkij, p n osnovu nje zključujemo d F (β, y) I(y) (β b) n [, d] i vži formul (). Primer 5. Ko primer primene prethodne teoreme izrčunjmo irihleov integrl (y) = sin y, y R. Neposredn primen Ljbniovog prvil je nemoguć, jer bi se formlnim diferenirnjem dobio divergentn integrl os y. Posmtrjmo zto, z fiksirno α >, prmetrski integrl I(y) = sin y e α, y. Tj integrl zdovoljv sve uslove Teoreme 9: podintegrln funkij je neprekidn zjedno s svojim prijlnim izvodom po y (kd se pogodno dodefiniše z = ), integrl dobijen diferenirnjem e α os y = α y + α Teorem: Nek su f t : [, b] R diferenijbilne funkije z t T R i nek je t R tčk ngomilvnj skup T. Ako fmilij {f t t T } konvergir z neko [, b] kd t t ; fmilij izvodnih funkij {f t t T } konvergir rvnomerno n [, b] kd t t, ond fmilij {f t t T } tkod e rvnomerno konvergir n [, b] nekoj funkiji f koj je diferenijbiln i vži f () = f t t t(). 7
28 rvnomerno konvergir po y, jer se mjorir konvergentnim integrlom e α koji ne zvisi od y. Iz I (y) = α dobijmo I(y) = rtg y +. Zmenom y = dobijmo = I() =, p y +α α je () I(y) = rtg y α, α >. Ko u primeru 4., vži I(y) = α α sin y e α = sin y = (y), p iz () dobijmo (y) = π z y >. Kko je, očigledno, () = i (y) je neprn funkij od y, to je končno (y) = π sgny, y R Integrij nesvojstvenog integrl Kod integrije funkij definisnih nesvojstvenim prmetrskim integr rzlikujemo dv slučj: kd je tj novi integrl svojstven, odnosno nesvojstven. U prvom slučju ko žeo d promenimo redosled integrije mormo d vodimo rčun o tri grničn prelz, u drugom o četiri. Teorem. Ako vže pretpostvke Teoreme 8, tj. [, b) [, d] i (nesvojstveni) integrl I(y) = ond je funkij I(y) integrbiln n [, d] i vži ko je funkij f neprekidn n f(, y) rvnomerno konvergir n [, d], (3) d I(y)dy = d dy f(, y) = d f(, y)dy. okz. Iz neprekidnosti funkije f, n osnovu odgovrjućeg stv, sledi d z svko β [, b) vži (4) d β dy f(, y) = β d f(, y)dy. Stv: Nek je funkij f : P R neprekidn n prvougoniku P = [, b] [, d]. Td je funkij I : [, d] R definisn integrlom I(y) = d I(y)dy = d dy f(, y) integrbiln i vži f(, y) = d f(, y)dy. 8
29 β Kko fmilij funkij F (β, y) = f(, y), kd β b, konvergir integrlu f(, y), rvnomerno po y [, d], to iz odgovrjuće teoreme 3 sledi d lev strn jednkosti (4) teži d dy f(, y), kd β b. No, ond i desn strn im grničnu vrednost d kd β b i t grničn vrednost je f(, y)dy. U slučju nenegtivnosti podintegrlne funkije inijev kriterijum omogućv d se uslovi prethodne teoreme oslbe. Posledi 6. Ako je f neprekidn i nenegtivn reln funkij n [, b) [, d] i ko je I(y) = f(, y) neprekidn funkij n [, d], td vži formul (3). Kd je potrebno promeniti poredk dv nesvojstven integrl, uslovi koji to obezbed uju se dlje komplikuju. okzćemo smo jedno tvrd enje koje se odnosi n slučj nenegtivne podintegrlne funkije. Teorem. Nek je funkij f : [, b) [, d) R neprekidn i nenegtivn i nek ob (nesvojstven) integrl (5) I(y) = f(, y), J() = d f(, y)dy definišu neprekidne funkije (od y [, d), odnosno od [, b) ). Td vži jednkost (6) d dy f(, y) = d f(, y)dy pod pretpostvkom d br jedn od tih uzstopnih integrl konvergir. okz. Pretpostvimo, n primer, d konvergir integrl n levoj strni relije (6). Nek je β [, b). Td iz Posledie 6 dobijmo d je β d f(, y)dy = d β dy f(, y). S druge strne, zbog f(, y) je d β dy f(, y) d dy f(, y). 3 Teorem: Nek su f t : [, b] R integrbilne funkije z svko t T R i nek je t tčk ngomilvnj skup T. Ako f t f (t t ) n [, b], td je i f integrbiln funkij n [, b] i vži f() = f t (). t t 9
30 Iz poslednje dve relije sledi d i integrl n desnoj strni relije (6) konvergir i d vži d d f(, y)dy dy f(, y). N sličn nčin se dokzuje i obrnut nejednkost. Ov teorem ne vži bez pretpostvke o nenegtivnosti funkije f. Sledeć teorem dje dovoljne uslove promene poretk integrije z funkije promenljivog znk. Teorem. Ako vže sledeći uslovi: funkij f je neprekidn n [, b) [, d); ob nesvojstven integrl (5) rvnomerno konvergirju, prvi po y [, δ], z svko δ [, d), drugi po [, β], z svko β [, b); 3 konvergir br jedn od integrl d dy f(, y), d f(, y) dy td vži formul (6). Primer 6. Nek je f : [, ) R neprekidno diferenijbiln funkij, pri čemu je f monoton funkij i postoji f() = f(). okzćemo d td z sve, b > vži sledeć formul: (7) f(b) f() = [f() f()] ln b. Zist, nek je, n primer, < b. Nije ogrničenje opštosti ko pretpostvimo d je f rstuć i pozitivn funkij. Integrl f (y) rvnomerno konvergir po y [, b], jer se f (y) mjorir s f (b), integrl f() f() b ). Zto se n integrl dobij [f() f()] ln b = = dy Ko speijln slučj formule (7) dobij se, n primer, e b e f (b) konvergir (vrednost mu je f (y) može primeniti Teorem, p se f() f() b dy = dy f (y) = y f f(b) f() (y)dy =. = ln b, rtgb rtg = π ln b. 3
31 Polzeći od irihleovog integrl sin y = π, y > (primer 5)koji rvnomerno konvergir n svkom segmentu [, b] z b > dobijmo os os b = sin y b dy = dy 3 irektnim rčunom se dobij d je z funkiju f(, y) = y ( +y ) : dy f(, y) = π 4 π 4 = sin y = π (b ) f(, y)dy Pri tom integrli f(, y), f(, y)dy konvergirju rvnomerno (prvi po y [, ), drugi po [, ) ). Iz ovog primer zključujemo sledeće: () uslovi ko u Teoremi nisu dovoljni d bi vžil formul (3) u slučju d su ob integrl u njoj nesvojstveni; (b) uslovi Teoreme nisu dovoljni d bi vžil formul (6) ko podintegrln funkij f nije stlnog znk; () u dtom slučju nije ispunjen uslov 3 teoreme. 4 Primenom Teoreme izrčunćemo Frenelove 4 integrle sin, os Prvi od tih integrl se smenom = t trnsformiše u sin t t dt i konvergir prem irihleovom kriterijumu. Koristeći poznti rezultt dobijmo d z t > vži = e tu du, t π e u du = π, 4 A. J. Fresnel (788 87), frnuski fizičr i mtemtičr 3
32 p je sin = sin tdt π e tu du. irektn primen Teoreme n promenu redosled dobijenih integrl nije moguć. Zto ćemo, slično ko kod irihleovog integrl (primer 5) posmtrti, z neko fiksirno α >, integrl I(α) = sin t t e αt dt = e αt sin tdt π e tu du. Sd su uslovi Teoreme ispunjeni, jer je e αt e tu sin t e αt z sve t >, u >, integrl e αt dt konvergir. Tko dobijmo: I(α) = du π e (α+u )t sin tdt = du π + (α + u ). Kko integrl I(α) rvnomerno konvergir po α > (n primer, n osnovu irihleovog kriterijum), dobijeni integrl rvnomerno konvergir po α > (n osnovu Vjerštrsovog kriterijum), to prelskom n es kd α + dobijmo sin = I(α) = α + π du + u = 4 π N sličn nčin se izvodi d i integrl os im istu vrednost. 3
33 3.3. Ojlerovi integrli Med u njvžnije (neelementrne) funkije koje se definišu prmetrskim nesvojstvenim integr spdju bet i gm funkij koje se uvode Ojlerovim integr Gm funkij Prmetrski integrl (8) Γ(α) = α e nzivmo gm funkijom ili Ojlerovim integrlom prvog red (ko što je to predložio Ležndr 5 ). Ovj integrl im singulritete = i (ko je α < ) =. Kd je =, jsno je d integrl konvergir z svko α R. Med utim, kd +, vži α e α, p zključujemo d integrl (8) konvergir ko i smo ko je α >. kle, domen funkije Γ je (, ). Nvedimo neke njene njvžnije osobine. Z svko α > vži (9) Γ(α + ) = αγ(α). Speijlno, z α = n N dobijmo () Γ(n + ) = nγ(n) = n(n )Γ(n ) = = n!, s obzirom d je Γ() = e =. N tj nčin, gm funkij se može shvtiti ko produženje fktorijel s skup prirodnih n skup pozitivnih relnih brojev. Još jedn posledi formule (9) je d pomoću nje možemo definisti Γ(α) i z neke negtivne vrednosti rgument. Nime, z < α < možemo po definiiji stviti Γ(α) = Γ(α+). Nstvljjui ovj postupk, funkij Γ se definiše z sve relne vrednosti α α, rzličite od i od negtivnih elih brojev. Funkij Γ je n svom (osnovnom) domenu (, ) beskončno diferenijbiln. 3 Osim što je funkij Γ : (, ) R konveksn, on je i logritmski konveksn, tj. funkij ln Γ je konveksn. 4 Vži sledeć Ojler-Gusov formul z gm funkiju Γ(α) = 5 A. Legendre (75-83), frnuski mtemtičr (n )! n nα α(α + ) (α + n ). 33
34 5 Jedn od vžnih gm funkij dt je sledećom formulom dopunjvnj () Γ(α)Γ( α) = π sin πα, < α <. 6 Stirlingov 6 formul opisuje simptotsko ponšnje funkije Γ ( smim tim i fktorijel) z velike vrednosti rgument: gde je < θ(α) <. Γ(α) = π α α e α+ θ(α) α, α >, Bet funkij Funkiju () B(α, β) = α ( ) β nzivmo bet funkijom ili Ojlerovim integrlom drugog red. Ovj integrl konvergir ko je α > i β >, p je funkij B(α, β) definisn z te vrednosti promenljivih. On je i neprekidn po obe promenljive n svom domenu. Nvedimo neke njene njvžnije osobine. Funkij B je simetričn, tj. z sve α, β > vži B(α, β) = B(β, α). Z α > i β > vži B(α, β) = α B(α, β). α + β B, 3 Smenom = t u integrlu () dobijmo drugu integrlnu reprezentiju funkije +t B(α, β) = t α dt. ( + t) α+β 4 Izmed u B i Γ funkije postoji vez (3) B(α, β) = Γ(α)Γ(β) Γ(α + β) z α >, β >. 6 J. Stirling (696-77), škotski mtemtičr 34
35 okžimo ovu vezu. Pretpostvimo njpre d α > i β > i npišimo proizvod Γ(α)Γ(β) u obliku (4) Γ(α)Γ(β) = = α e α e z β e z dz = β y β e y dy (u drugom integrlu uveli smo smenu z = y). bismo mogli d promenimo redosled integrl, proverimo d li su ispunjeni uslovi Teoreme. Funkij f(, y) = α+β y β e (+y) je neprekidn i nenegtivn n [, ) [, ). Integrli f(, y) = y β Γ(α + β), ( + y) α+β f(, y)dy = α e Γ(β) definišu neprekidne funkije od y [, ), odnosno [, ), iz (4) sledi d postoji uzstopni integrl f(, y)dy. kle, vži Γ(α)Γ(β) = dy = Γ(α + β)b(α, β), f(, y) = Γ(α + β) y β dy = ( + y) α+β z α >, β >. bismo dokzli d formul vži z sve α, β >, dovoljno je d primenimo formulu (9), ko i formule B(α, β) = α β B(α, β) i B(α, β) = B(α, β ). α + β α + β Ko poslediu formule (3), mogu se nvesti još nek svojstv funkije B iz odgovrjućih svojstv funkije Γ. N primer, iz osobine () dobij se B(m, n) = (m )!(n )!, m, n N, (m + n )! iz osobine (), Speijlno, B (, ) = π. B(α, α) = π sin πα, < α <. 35
36 Primer 7. Z α, β >, smenom sin α = t, dobijmo π sin α os β = t α ( t) β dt = = ( α + B, β + ) = Γ ( ) ( α+ Γ β+ ) Γ ( α+β + ). 36
37 Litertur [] Blgot Lučić, Mtemtik, Ekonomski fkultet, Srjevo, 5. [] rko Milinković, Mtemtičk nliz I - skript, Beogrd,. [3] obrivoje Mihilović, obrilo -. Tošić, Elementi mtemtičke nlize II, Nučn knjig, Beogrd, 979. [4] ušn Adnd ević, Zorn Kdelburg, Mtemtičk nliz I, Nuk, Beogrd, 995. [5] ušn Adnd ević, Zorn Kdelburg, Mtemtičk nliz II, Zvod z udžbenike i nstvn sredstv, Beogrd, 99. [6] Grdimir V. Milovnović, Rdosv Ž. -ord ević, Mtemtičk nliz I, Elektronski fkultet, Niš, 5. [7] Milosv Mrjnović, Mtemtičk nliz I, Nučn knjig, Beogrd, 979. [8] Rdoslv imitrijević, Anliz relnih funkij više promenljivih, Niš,. [9] Stojn N. Rdenović, Mtemtičk nliz I, Beogrd i Krgujev,. 37
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραIZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Διαβάστε περισσότεραSLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Διαβάστε περισσότεραIntegralni raqun. F (x) = f(x)
Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 4
Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n..................
Διαβάστε περισσότερα1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije
Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki
Διαβάστε περισσότερα= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Διαβάστε περισσότεραIntegracija funkcija više promenljivih
Integrcij funkcij više promenljivih Drgn S. Djordjević Univerzitet u Nišu, Prirodno-mtemtički fkultet Niš, Srbij Februry 18, 216 ii Predgovor Predvnj su nmenjen studentim, koji polžu ispit iz predmet Mtemtičk
Διαβάστε περισσότεραMera, integral i izvod
Mer, integrl i izvod Drgn S. Dor dević 3.1.2014. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Uvod 7 1.1 Osnovni pojmovi......................... 7 1.2 Topološki prostori......................... 8 1.3 Metrički prostori.........................
Διαβάστε περισσότερα4. Relacije. Teorijski uvod
VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:
Διαβάστε περισσότερα7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo
7 Odreženi integrli 63 7 Odreženi integrli Nek je funkcij f(x) definisn n intervlu [, ]. Ako ovj intervl podeo n n delov tčkm = x < x < x
Διαβάστε περισσότεραM A T E M A T I Č K A A N A L I Z A
Miloš Miličić M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Akdemsk miso Beogrd, 2012 Dr Miloš Miličić redovni profesor Držvnog univerzitet u Novom Pzru MATEMATIČKA ANALIZA Recenzenti Dr Ćeml Dolićnin redovni profesor
Διαβάστε περισσότεραMatematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064)
Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD DEO RELACIJE I FUNKCIJE DEO ALGEBRA 6 DEO NIZOVI I REDOVI DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE 7 5 DEO LIMESI I IZVODI 9 6 DEO
Διαβάστε περισσότεραSLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE
SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE Do sd smo već definisli skup Ω elementrnih dogđj Ako se elementrni dogđji ω mogu predstviti ko relni brojevi, ond se eksperiment može zmisliti ko izbor jedne promenljive
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραIzvodi i integrali necelog reda
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ntš Durković Izvodi i integrli necelog red -mster rd- Mentor: Docent dr Snj Konjik Novi Sd, 2. Predgovor Frkcioni
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραMatematički osnovi Z transformacije
Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno
Διαβάστε περισσότεραU n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE
U n i v e r z i t e t u B e o g r d u Mtemtički fkultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE M s t e r r d Mentor: dr Jelen Jocković Student: Jelen R. Suzić B e o g r d, 2015 S d r ž j Predgovor 1 1 Integrlni
Διαβάστε περισσότεραA MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραLAPLASOVA TRANSFORMACIJA
Mster rd LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Snježn Mksimović Mentor: Akdemik dr Stevn Pilipović Novi Sd, pril 211. iii Sdržj Predgovor vi 1. Osnovn Lplce-ov trnsformcij 1 1.1. Egzistencij Lplce-ove trnsformcije...............
Διαβάστε περισσότεραNeodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
Διαβάστε περισσότεραKUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Διαβάστε περισσότεραVALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραRešavanje diferencijalnih jednačina pomoću redova. Specijalne funkcije. Ortogonalne funkcije
Glv 1 Rešvnje diferencijlnih jednčin pomoću redov. Specijlne funkcije. Ortogonlne funkcije 1.1 Neke druge specijlne funkcije Skoro bez izuzetk, njčešće korišćene specijlne funkcije su trigonometrijske
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραKrivolinijski integral
Poglvlje 4 Krivolinijski integrl 4.1 Vektorsko polje U ovom i nrednom poglvlju, osim sklrnih, rdićemo i s vektorskim funkcijm više promenljivih, F : R n R m, F = (F1,...,F m ), F i : R n R, i = 1,...,m,
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα1.1 Neodre deni integral
. Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn
Διαβάστε περισσότεραSINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
Διαβάστε περισσότεραNEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi
NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
Διαβάστε περισσότεραB I O M A T E M A T I K A
Mterijli z predmet B I O M A T E M A T I K A Biologij Zorn Rkić Beogrd, 03. godine i S A D R Ž A J. UVOD. Skupovi. Funkcije 4.3 Relcije 6.4 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8.5 Kompleksni brojevi 7.6 Elementi
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραM A T E M A T I K A 1
Mterijli z predmet M A T E M A T I K A 1 Fizičk hemij Zorn Rkić Beogrd, 010 godine i S A D R Ž A J 1 UVOD 1 11 Skupovi 1 1 Funkcije 4 13 Relcije 6 14 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8 15 Kompleksni brojevi
Διαβάστε περισσότεραNEJEDNAKOSTI I PRIMENE
NEJEDNAKOSTI I PRIMENE dr Jele Mojlović Prirodo-mtemtički fkultet Niš SADRŽAJ Nejedkosti izmed u brojih sredi Prime ejedkosti izmed u brojih sredi 6 Geometrijske ejedkosti Nejedkosti z elemete trougl Stereometrijske
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραUvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler
Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραFURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Boris Širola
Mtemtik 2 (. Riemnnov integrl) Boris Širol predvnj . Riemnnov integrl 3 Pretpostvimo d immo neku neprekidnu relnu funkciju f, definirnu n nekom segmentu; tj., nek je dn neprekidn funkcij f : [, b] R.
Διαβάστε περισσότεραТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Διαβάστε περισσότεραPIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Διαβάστε περισσότεραc = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραR A D N I M A T E R I J A L I
Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija
MATEMATIKA seminri studij: Prehrmben tehnologij i Biotehnologij Sdržj Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod................................. Odredeni (Riemnnov) integrl. Problem površine........
Διαβάστε περισσότεραOdredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραd(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ]
-- 71 -- 7.2. KOORDINATNI SISTEM-KOORDINATIZACIJA Podsjetimo se pojmov dimenzij i bz prostor: ''Njveći'' broj linerno nezvisnih vektor u nekom vektorskom prostoru zovemo dimenzijom tog prostor. Ako je
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραskupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom.
Nizovi. Osovi pojmovi kod izov.. Defiicij i osovi pojmovi Defiicij... Svko preslikvje f : N R, skup prirodih brojev u skup relih brojev, zivmo re izom. Broj koji se ovim preslikvjem dodeljuje prirodom
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραDodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x)
Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S.
Διαβάστε περισσότεραČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
Διαβάστε περισσότεραFORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA
FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA Vrijednoti inu i koinu π π π π ϕ 6 4 3 in ϕ 3 co ϕ 3 Trigonometrijke funkcije polovičnih rgument in x = co x co x = + co x Trigonometrijke
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραDiferencijabilnost funkcije više promenljivih
Matematiči faultet Beograd novembar 005 godine Diferencijabilnost funcije više promenljivih 1 Osnovne definicije i teoreme, primeri Diferencijabilnost je jedan od centralnih pojmova u matematičoj analizi
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost
Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1
PISMENI ISPIT IZ KLASIČNE MEHANIKE I 3.. 9. Zdtk Čestic mse m izbčen je s površine Zemlje pod kutem α brzinom v. Ako je otpor zrk proporcionln trenutnoj brzini konstnt proporcionlnosti je ), izrčunjte
Διαβάστε περισσότερα3. Rubni problem za obične diferencijalne jednadžbe Egizstencija i jedinstvenost rješenja... 64
Sdržj 1. Numeričk integrcij.......................... 1 1.1. Općenito o integrcijskim formulm................ 1 1.. Newton Cotesove formule...................... 3 1..1. Trpezn formul.......................
Διαβάστε περισσότεραDru{tvo matemati~ara Srbije. Republi~ki seminar 2011, Novi Sad, Srbija. Pripremawe u~enika osnovnih {kola za takmi~ewa iz matematike
Dru{tvo mtemti~r Srije Repuli~ki seminr 0, Novi Sd, Srij Pripremwe u~enik osnovnih {kol z tkmi~ew iz mtemtike \or e Brli}, Mtemti~ki institut SANU, Beogrd, Srij Zdrvko Cvetkovski, Evropski univerzitet,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα1. NEODREÐENI INTEGRAL
. NEODREÐENI INTEGRAL Pitnj: Je li dn reln funkcij f : A! R, A R, derivcij neke relne funkcije g : A! R? Riješiti jedndbu g = f, pri cemu se z dni f tri g. T jedndb ili nem rješenj ili ih im beskoncno
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραTROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β
TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α
Διαβάστε περισσότερα