MATEMATIKA III Zapiski za ustni izpit

Transcript

1 MATEMATIKA III Zpiski z ustni izpit 2 UNI Šolsko leto 2011/2012 Izvjlec Gregor olinr Avtor dokument Jernej Podlipnik mjn Sirnik UREJANJE OKUMENTA VERZIJA ATUM OPOMBE

2 Priprv n ustni izpit iz Mtemtike III Jernej Podlipnik, mjn Sirnik 12. februr Ločn dolžin krivulje v prostoru Izrčunti mormo ločno dolžino krivulje r(t k ) = (x(t k ), y(t k ), z(t k )) r(t 0 ) = (x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 )) Slik 1: Skic k ločni dolžini krivulje n (x(tk ) x(t k 1 )) 2 + (y(t k ) y(t k 1 )) 2 + (z(t k ) z(t k 1 )) 2 k=1 Uporbimo Lgrngeov izrek n 1 = (x (ξ k )) 2 (t k+1 t k ) 2 + (y (ξ k )) 2 (t k+1 t k ) 2 + (z (ξ k )) 2 (t k+1 t k ) 2 k=0 in v limiti n 1 = (x (ξ k )) 2 + (y (ξ k )) 2 ) + (z (ξ k )) 2 (t k+1 t k ) k=0 = β α (x (t)) 2 + (z (t)) 2 + (y (t)) 2 dt Linux Verzij 0.1, neprečiščeno besedilo. To delo je oblikovno s progrmskim pketom L A TEXv opercijskem sistemu 1

3 Se prvi, seštejemo mjhne delčke, s kterimi proksimirmo nšo krivuljo v prostoru. Pomgmo si lhko tudi z nrvno prmetrizcijo krivulje v prostoru. Nrvni prmeter s je tk prmeter, d je dolžin krivulje od zčetne točke 0 do točke T (x(s), y(s), z(s)) enk vrednosti s. 2. Tngent n krivuljo v prostoru Tngent je premic, ki njbolje proksimir krivuljo v dni točki. Z opis premice potrebujemo točko in smerni vektor. Točko že immo r(t 0 ). oločiti mormo še smerni vektor. 3. Ploskve v prostoru r(t) r(t 0 ) k t = lim = t t0 t t r(t) = (ẋ(t), ẏ(t), ż(t)) 0 Ploskve v prostoru lhko opišemo n več rzličnih nčinov () Eksplicitni zpis Ploskev je predstvljen z grfom funkcije z = f(x, y). Nprimer: z = 1 x 2 y 2 (b) Implicitni zpis ploskve Nj bo F funkcij treh spremenljivk x, y in z. Enčb F (x, y, z) = 0 potem določ ploskev v prostoru. Nprimer: F (x, y, z) = 1 x 2 y 2 z 2, to je enčb sfere. (c) Prmetrični zpis Vsko koordinto točke n ploskvi opišemo s funkcijo odvisno od dveh prmetrov, x = x(u, v), y = y(u, v) in z = z(u, v). x = cos ϕ cos ϑ 0 ϕ 2π Nprimer: y = sin ϕ cos ϑ π ϑ π z = sin ϑ ϕ, ϑ prmetr Če je z nekim prmetričnim zpisom res podn ploskev, preverimo tko, d izrčunmo nslednji izrz r u r v pri čemer je r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), r u in r v p st ustrezn prciln odvod. Če je r u r v 0, potem je z r = r(u, v) podn ploskev v prostoru. 4. Norml n ploskev Nj bo ploskev podn v prmetrični ozirom vektorski obliki r = r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) Če fiksirmo eneg izmed prmetrov, drugi p se spreminj nm tk zpis določ krivuljo n ploskvi. Nprimer: r 1 (u) = r(u, v 0 ), r 2 (v) = r(u 0, v) Omenjene krivulje, kjer je eden izmed prmetrov fiksen, drugi p se spreminj imenujemo koordintne krivulje. Koordintn krivulj leži n ploskvi (slik 2). Če zpišemo prmeter u kot funkcijo prmetr t in prmeter v prv tko kot funkcijo t, dobimo r(t) = r(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))) 2

4 t 1 t 2 Slik 2: Skic koordintne kirvulje in njene tngente to p je enčb krivulje (sj immo smo en prmeter), ki leži n ploskvi r(u, v). oločimo smer tngente z to krivuljo d r dt = r = r u du dt + r v dv dt = r u u + r v v Ugotovili smo, d vse tngente n krivuljo, (ki ležijo n ploskvi in grejo skozi isto točko) ležijo v isti rvnini, določeni z vektorjem r u in r v. To rvnino imenujemo tngnetn rvnin ploskve v dni točki in t rvnin njbolje proksimir ploskev v dni točki. oločen je s točko in normlo n = r u r v. () Če je ploskev podn v prmetrični obliki, je norml n tngentno rvnino n = r u r v. (b) (c) Če je ploskev podn eksplicitno z = f(x, y), potem to pomeni, d z prmetr izberemo kr x in y. Potem je r(x, y) = (x, y, f(x, y)) r x (x, y) = (1, 0, f x (x, y)) = ( f x, f y, 1) r y (x, y) = (0, 1, f y (x, y)) i j k n = r x r y = 1 0 f x 0 1 f y Uvedemo novo oznko f x = z x = p, f y = z y = q. Torej je n = ( p, q, 1) Če je ploskev podn implicitno F (x, y, z) = 0. Če izrzimo spremenljivko z s pomočjo x in y, torej z = z(x, y), potem dobimo F (x, y, z(x, y)) = 0. Prcilno odvjmo po x in y, ter dobimo p = F x F z Norml je potem, ko jo pomnožimo z F z q = F y F z n = (F x, F y, F z ) 3

5 Vpeljimo še nslednje oznke z prmetrično podno ploskev r(u, v): E F G = r u r u = r u r v = r v r v Hitro se lhko prepričmo d je r u r v = EG F 2 Torej je enotsk norml n ploskev dn z enčbo 5. Integrli odvisni od prmetr ν = r u r v r u r v = r u r v EG F 2 Nj bo f zvezn funkcij dveh spremenljivk x in y, spremenljivk x leži n intervlu [, b], spremenljivk y p n intervlu [c, d]. oločeni integrl b f(x, y) dx (1) je potem odvisen smo od spremenljivke y, torej je funkcij spremenljivke y. F (y) = b f(x, y) dx (2) Integrl (enčb 1) imenujemo integrl s prmetrom, spremenljivko y p prmeter teg integrl. Oglejmo si kkšne lstnosti im integrl s prmetrom, torej funkcij (enčb 2). Izrek Nj bo f zvezn funkcij dveh spremenljivk, potem je funkcij F (enčb 2) zvezn funkcij. okz Oglejmo si, koliko se spremeni vrednost funkcije F, če se vrednost prmetr spremeni z mlo (z h): = b Torej je F zvezn funkcij. F (y + h) F (y) = b (f(x, y + h) f(x, y)) dx f(x, y + h) dx b b f(x, y) dx f(x, y + h) f(x, y) dx = h 0 0 4

6 6. Odvod integrl s prmetrom Izrek Če je funkcij f y zvezn n intervlu [, b] in intervlu [c, d] kot funkcij prmetr y. Potem je integrl s prmetrom (enčb 2) odvedljiv funkcij in velj okz df b dy (y) = f (x, y) dx y F (y + h) F (y) h b = 1 ( b ) f(x, y + h) dx f(x, y) dx h = 1 b ( ) f(x, y + h) f(x, y) dx h = b f(x, y + h) f(x, y) h dx h 0 b f y (x, y) dx Izrek Nj bo F (y) = v(y) u(y) f y zvezn funkcij, u, v zvezno odvedljivi. Sledi Skic dokz F (y) = v(y) u(y) f(x, y) dx, f y (x, y) dx + f(v(y), y)v (y) f(u(y), y)u (y) F (y) = G(y, v(y), u(y)) df dy = dg dy + G v dv dy + G u V drugem in tretjem členu n desni strni nstopd odvod integrl od zgornje meje ter odvod integrl od spodnje meje. Pri odvodu integrl od spodnje meje dobimo minus. 7. vojni integrl F (y) = v(y) u(y) du dy f y (x, y) dx + f(v, y)v f(u, y)u vojni integrl je dvodimenzionln posplošitev določeneg integrl funkcije ene spremenljivke. 5

7 z f(x, y) y (x, y) x Slik 3: vojni integrl Nj bo f : R, R 2 zvezn funkcij spremenljivk x in y n območju. f : (x, y) f(x, y) Torej: Grf funkcije f je ploskev v prostoru, prostornino med območjem in grfom funkcije f lhko izrčunmo n nslednji nčin: Območje rzdelimo n mnjš disjunktn podobmočj i. N vskem izmed podobmočij si izberemo neko točko(x i, y i ). efinirmo integrlsko vsoto lim n pl( i ) 0 n f(x i, y i ) pl( i ) i=1 Če obstj limit integrlskih vsot, ko gre n in gre ploščin vseh podobmočji proti nič, potem to limito imenujemo dvojni integrl funkcje f in pišemo n f(x i, y i ) pl( i ) = f(x, y) dxdy i=1 8. Prevedb dvojneg integrl n dvkrtneg vojni integrl rčunmo tko, d g prevedemo n dvkrtni integrl. Oglejmo si idejo, kko izepljemo prevedbo dvojneg integrl n dvkrtni integrl v posebnem primeru lepeg območj (slik 4). Funkcij f : R, R 2. Npišemo integrlsko vsoto Ko gre x 0 n f(x i, y i ) pl( i ) = i=1 = n f( x, ỹ)(x i+1 x i )(h(ξ i ) g(ξ i )) i=1 h(ξi ) n i=1 g(ξ i ) f( x, y) dy(x i+1 x i ) 6

8 y h(x) g(x) b x Slik 4: K prevedbi dvojneg integrl b ( h(x) g(x) 9. Zmenjv vrstneg red integrirnj Izrek c ) f(x, y) dy dx Nj bo f zvezn funkcij dveh spremenljivk x [, b], y [c, d]. Potem obstj integrl funkcije F (y) = b f(x, y) dx in velj d ( b ) b ( d ) f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx Torej lhko zmenjmo vrstni red integrirnj funkcije dveh spremenljivk. Če immo pri tem integrlu meji konstntni pri prvem p odvisne od prmtr, potem lhko mejo u = u(x) opišemo kot funkcijo v = v(y), pri tem p drug mej postne konstnt. Primer: b Velikokrt tudi pišemo ( u2 (x) u 1 (x) d c ( b ) f(x, y) dy dx = d ) d f(x, y) dx dy = c 10. Uvedb novih spremenljivk v dvojni integrl c c ( v2 (y) dy v 1 (y) b ) f(x, y) dx dy f(x, y) dx Nj bo območje n rvnini (x, y). Opisli bi g rdi s pomočjo novih koordint u in v. Torej: x = x(u, v) in y = y(u, v). bo opis v novih koordinth imel smisel, mor en točk iz območj opisneg z x in y pripdti ntnko eni točki omočj opisneg z u in v. Z drugimi besedmi, preslikv med obem območjem mor biti bijektivn. 7

9 Kko vemo, d je preslikv, to je trnsformcij koordint v redu, torej bijektivn? Izrek Trnsformcij koordint je v redu, torej preslikv med območjem je bijektivn, če Jcobijev determinnt rzličn od nič okz opustimo J = x u Vpeljv novih spremenljivk se pozn v integrlu n nslednji nčin f(x, y) dxdy = f(u, v) J dudv S y u V nekterih primerih lhko dno območje v rvnini opišemo z drugimi spremenljivkmi n preprostejši nčin. Nprimer s polrnimi spremenljikmi, z ktere velj x = r cos ϕ in y = r sin ϕ, Jcobijev deterimnnt p je J = r. T uvedb nm pride prv pri okroglih definicijskih območjih. 11. Uporb dvojneg integrl v geometriji () Prostornin med grfom funkcije in rvnino Prostornin območj med rvnino (x, y) in ploskvijo, dno s predpisom z = f(x, y) nd območjem je enk: prostornin = f(x, y) dxdy Prostornin območj med ploskvm z = f 1 (x, y) in z = f 2 (x, y), z ktere velj f 1 f 2 prostornin = (f 1 (x, y) f 2 (x, y)) dxdy x v y v (b) Ploščin rvninskeg območj ploščin = (c) Površin ploskve dxdy pl S }{{} = pl ω }{{} površin mjhneg delčk n ploskvi površin ploskve = lim n pl ω k 0 projekcij teg delčk n rvnino (x, y) n p 2 + q pl ω k = k=1 p 2 + q }{{} dolžin normle p 2 + q dxdy Površin ploskve, z ploskev dno v prmetrični obliki r = r(u, v), je dn z enčbo površin = EG F 2 dudv kjer so: E = r u r u, F = r u r v in G = r v r v. ω 8

10 12. Posplošeni dvojni integrl () Integrcijsko območje neomejeno V prvem primeru si oglejmo dvojni integrl n omejenem podobmočju r in če obstj limit dvojnih integrlov r f(x, y) dxdy, ko gre ploščin \ r 0, potem to limito imenujemo posplošeni integrl n območju in pišemo lim f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy \ r 0 r (b) Funkcij je neomejen Ko funkcij v neki točki ni definirn (ni omejen) to točko izrežemo iz območj skupj z neko okolico ε. Če obstj limit dvojnih integrlov, potem to limito imenujemo posplošeni integrl n območju in pišemo lim f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy ε 0 \ ε 13. Trojni integrl Nj bo dn funkcij f : V R, V R 3. Trojni integrl funkcije f n območju V definirmo n podoben nčin kot dvojni integrl. Območje V rzdelimo n mjhn disjunktn podobmočj, n vskem podobmočju izrčunmo vrednost funkcije v eni točki in nto definirmo integrlsko vsoto f(x i, y i, z i ) prostornin V i i Če obstj limit integrlskih vsot jo imenujemo trojni integrl in pišemo V i f(x, y, z) dxdydz Trojni integrl lhko izrčunmo tko, d g prevedemo n trikrtneg. b y2 (x) z2 (x,y) f(x, y, z) dxdydz = dx dy f(x, y, z) dz V y 1 (x) z 1 (x,y) Pri pretvorbi trojneg integrl n trikrtneg lhko izberemo šest rzličnih vrstnih redov integrirnj pri trikrtnemu. 14. Uvedb novih koordint v trojni integrl V veliko primerih integrirnj integrl ni lep. V tkih primerih je smiselno uvesti nove koordinte. V trojni integrl uvedemo nove koordinte n podoben nčin kot v dvojni integrl. Preslikv med območjem izržen v enih in v drugih koordinth mor biti bijektivn, v tem primeru je Jcobijev determinnt rzličn od nič, integrl v novih koordinth p je f(x, y, z) dxdydz = f(u, v, w) J dudvdw V 9 W

11 Pri čemer Jcobijevo determinno izrčunmo n nslednji nčin J = x u x v x w y u y v y w z u z v z w Velikokrt uporbljmo: Sferične koordinte x = r cos ϕ cos ϑ y = r sin ϕ cos ϑ z = r sin ϑ J = r 2 cos ϑ ilindrične koordinte x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z J = r 15. Uporb trojneg integrl v mehniki () Ms območj V, ki im gostoto podno s funkcijo ρ : V R ; ρ = ρ(x, y, z) m = ρ dxdydz (b) Nj im območje V gostoto ρ. Potem lhko zpišemo integrlsko vsoto z težišče in v limiti 1 m n x i m i = 1 m i=1 n i=1 Podobno določimo še koordinte z y in z: i=1 y 0 = V x i ρ(x i, y i, z i ) x i y i z i }{{} V i V xρ(x, y, z) dxdydz x 0 = ρ(x, y, z) dxdydz V V yρ(x,y,z) dxdydz V ρ(x,y,z) dxdydz z 0 = V zρ(x,y,z) dxdydz V ρ(x,y,z) dxdydz (c) Vztrjnostni moment. Immo msno točko z mso m in kotno hitrostjo ω. Želimo izrčunti kinetično energijo teles, ki se vrti okrog osi z. n 1 n 2 m iv1 2 1 = 2 ρ iω 2 (x 2 i + yi 2 1 ) x i y i z i = 2 ρ(x, y, z)ω2 (x 2 + y 2 ) dxdydz i=1 10 V

12 16. Opertor nbl = 1 2 ω2 ρ(x, y, z)(x 2 + y 2 ) dxdydz V }{{} vztrjnostni moment pri vrtenju okoli osi z Opertor nbl oznčujemo z in je definirn s predpisom = ( x, y, z ) Torej je grdient sklrneg polj: f = ( f x, f y, f z ) = ( x, y, z ) f. ivergenc vektorskeg polj: v. Rotor vektorskeg polj: rot v = v. 17. Grdient sklrneg polj Grdient je preslikv, ki nekemu sklrnemu polju priredi vektorsko polje. Ntnčneje. Nj bo f : V R, V R 3, odvedljiv sklrn funkcij. Potem je grdient te funkcije vektorsko polje definirno s predpisom grd f = V R 3 grd f = ( f x, f y, f z ) Pri vektorski nlizi večkrt uporbljmo zpis z opertorjem nbl ( ). f = grd f Norml tngentne rvnine n ploskev je enk grdientu te ploskve. okz n = grd f Implicitno podno ploskev f(x, y, z) = 0. Krivulj n ploskvi Odvjmo enčbo ( ) n t in dobimo r(t) f(x(t), y(t), z(t)) = 0 ( ) f x x t + f y y t + f z ( f z t = x, f y, f )( x z t, y t, z ) = 0 t grd f r = 0 Grdient ploskve je prvokotnen n smerni vektor tngente poljubne krivulje n ploskvi. Torej je grd f enk normli tngentne rvnine. 11

13 18. Smerni odvod sklrneg polj Znim ns, kj se dogj z vrednostjo sklrne funkcije v določeni smeri. Oglejmo si izrz f(x + sb 1, y + sb 2, z + sb 3 ) f(x, y, z) lim = ( f s 0 s x dx ds, f y dy ds, f z dz ds ) ( f x, f y, f z ) (b 1, b 2, b 3 ) = f b = grd f b Sklrno polje f se v točki T njhitreje spreminj v smeri grdf T 19. Potencil - potenciln funkcij vektorskeg polj Nekter vektorsk polj lhko zpišemo kot grdient nekeg sklrneg polj, torej v = grdf Tk polj potem imenujemo potencilno vektorsko polje, sklrno funkcijo f p potencil. Vektorsko polje je potencilno, če je rotor vektorskeg polj enk nič 20. ivergenc vektorskeg polj rot v = 0 ivergenc je opertor, ki vektorskemu polju priredi sklrno polje s predpisom div v = v 1 x + v 2 y + v 3 z ivergenco zpišemo z opertorjem nbl kot v. Trditev Izrčunjmo sedj divergenco grvitcijskeg vektorskeg polj p = c r r 3 Vemo d je p = grd f = grd c 1 r, torej je div p = c 1 r. ( = Lplce). Rčunmo ( x ) c x (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 = c (x2 + y 2 + z 2 ) 3/2 x 3 2 (x2 + y 2 + z 2 ) 1/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 = c r3 3x 2 r r 6 = v r3 3x 2 r 5 Sledi: div p = c r 5 (r2 3x 2 + r 2 3y 2 + r 2 3z 2 ) = c r 5 (3r2 3(x 2 + y 2 + z 2 )) = 0 obimo div v = 0 ozirom c 1 r = 0. efinicij Če z vektorsko polje v velj, d je div v = 0, potem prvimo d je v solenoidlno. 12

14 21. Rotor vektorskeg polj Nj bo v lepo vektorsko polje v = (v 1, v 2, v 3 ) : R 3, R 3. Potem je rotor preslikv, ki vektorsko polje preslik v neko drugo vektorsko polje dno s predpisom rot v = i j k x y z v 1 v 2 v 3 Z opertorjem nbl se rotor zpiše rot v = v. Trditev 22. Lplceov opertor ( ) rot grd f = 0 Lplceov opertor sklrno funkcijo f preslik v sklrno funkcijo f = f xx + f yy + f zz Prcilno diferencilno enčbo f = 0 imenujemo Lplceov diferenciln enčb. Lplceov opertor lhko zpišemo z opertorjem nbl kot =. 23. Krivuljni integrl prve vrste Nj bo r = r(s) krivulj v prostoru R dn v prmetrični obliki in prmetrizirn z nrvnim prmetrom. n nj bo še sklrn funkcij f : R, R 3, pri čemer je lhko kr enko krivulji. (x 1, y 1, z 1 ) s n = β s 0 = α Slik 5: Skic k krivuljnem integrlu 1. vrste Krivuljo r(s) rzdelimo n mnjše dele, n vskem delu si izberemo neko vrednost. efinirmo integrlsko vsoto n f(x k, y k, z k ) (s k s k 1 ) }{{} k=1 s nrvni prmeter, ( r(s k )) r(s k 1 )) dr Če obstj limit integrlskih vsot, ko gre n in s k s k 1 0 z vsk k, potem to limito imenujemo krivuljni integrl prve vrste in pišemo f(x, y, z) ds = lim n s 0 k=1 n f(x k, y k, z k )(s k s k 1 ) 13

15 Neposredno iz definicije sledi, d z krivuljni integrl veljjo podobne lstnosti kot z ostle integrle f ds + g ds = (f + g) ds = c f ds = c f ds f ds = f ds + 1 f ds 2 Če je krivulj izržen z nekim prmetrom t, torej x = x(t) y = y(t) z = z(t) ẋ = dx dt dx = ẋdt Potem dobimo: ds = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 dt. Sledi Opomb β α f(x(s), y(s), z(s)) ds = b f(x(t), y(t), z(t)) ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 dt Smer integrirnj je določen z izbiro prmetr, s kterim je prmetrizirn krivulj. Po krivulji se premikmo v smeri nrščujočeg prmetr. 24. Krivuljni integrl druge vrste Nj bo krivulj r dn v prmetrični obliki, torej r = r(t) in nj bo v = (v 1, v 2, v 3 ) vektorsko polje, definirno vsj n krivulji r = r(t). Krivuljni integrl druge vrste je potem definirn kot b r(t) v d s = (v 1 (t), v 2 (t), v 3 (t)) ẋ2 ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt + ẏ 2 + ż 2 = b 25. Greenov formul (v 1 (t), v 2 (t), v 3 (t)) (ẋ(t), ẏ(t), ż(t)) dt = (v 1 (t)ẋ(t) + v 2 (t)ẏ(t) + v 3 (t)ż(t)) dt }{{} sklrni produkt vektorskeg polj s tngento Nj bo odsekom gldk sklenjen krivulj v rvnini (x, y). Nj bost f in g prcilno zvezno odvedljivi funkciji n omejenem območju, ktereg rob je krivulj. Potem velj f dx + g dy = ( g x f y ) dxdy Integrirmo v pozitivni smeri. Torej Greenov formul povezuje integrl druge vrste in dvojni integrl. Krivulj je sklenjen in je rob območj. Skic dokz Greenove formule smo z lep območj, ki jih lhko preprosto opišemo z dvem funkcijm 14 b

16 y f y v(x) p(y) q(y) u(x) e b x x Slik 6: Greenov formul Izrčunjmo integrl f b y dxdy = v(x) f dx u(x) y dy = b r 1 (t) = (t, u(t))... spodnji del območj prmetrizirn s t r 2 (t) = (t, v(t))... zgornji del območj prmetrizirn s t b b (f(x, v(x)) f(x, u(x))) dx = = f(x, v(x)) dx f(x, u(x)) dx = ( f(x, u(x)) dx f(x, v(x)) dx) = ( f dx + f dx) = f dx (3) 1 2 Podobno izpeljemo, d je b b g x dxdy = g dy (4) c Steštejemo enčbo(3) in enčbo (4) ter dobimo Greenovo formulo. 26. Neodvisnost krivuljneg integrl od poti Krivuljni integrl druge vrste v d r = v 1 dx + v 2 dy + v 3 dz je neodvisen od poti, če je njegov vrednost enk ne glede n to po kteri (poti) krivulji pridemo iz zčtne v končno točko Izrek Nj bo v zvezno vektorsko polje n območju. Potem je integrl v d r neodvisen od poti n območju ntnko tedj, ko je v n potencilno vektorsko polje. Torej v = grd u, z neko sklrno polje u. Opomb Izrz v 1 dx+v 2 dy +v 3 dz je ekskten, če obstj sklrno polje u, d je du = v 1 dx+v 2 dy + v 3 dz, tko sklrno polje p obstj, če je u potencil vektorskeg polje v. Sledi, d je grd u d r = du = u T k T z 15

17 Izrek Krivuljni integrl v d r je n območju neodvisen od poti ntnko tedj, ko je krivuljni integrl v d r po zključeni krivulji 1 z območj enk 0 z vsko sklenjeno krivuljo 1 iz. okz - je preprost 1 T 2 T 1 2 Slik 7: K neodvisnosti krivuljneg integrl od poti Sledi v d r = 1 v d r 2 v d r 1 v d r = 0 2 v d r v d r = 0 v d r = c 27. Ploskovni integrl 1. vrste Nj bo S gldk ploskev in nj bo v vski točki definirn tngentn rvnin. Nj bo S tudi orientirn ploskev (ploskev im dve strni, n drugo strn pridemo smo čez rob). Nj bo u sklrno polje definirno n S. Potem S rzdelimo n mnjše prcele in definirmo integrlsko vsoto n u(x i, y i, z i ) pl(s i ) i=1 Če obstj limit integrlskih vsot, ko gre n in površin prcel proti nič, potem to limito imenujemo ploskovni integrl 1. vrste in pišemo Izrčun ploskovneg integrl: s u ds = lim n pl(s i ) 0 n u(x i, y i, z i ) pl(s i ) Ploskev S njprej prmetrizirmo in upoštevmo, d izrčunmo površino po formuli pl S = EG F 2 dudv i=1 16

18 Torej je ds = EG F 2 dudv Ploskovni integrl 1. vrste, p s pomočjo dvojneg integrl izrčunmo po formuli f ds = f EG F 2 dudv 28. Ploskovni integrl 2. vrste S Pri rčunnju teg integrl, ki g imenujemo tudi pretok vektorskeg polj skozi ploskev S, n pretok vpliv smo tisti del vektorskeg polj, k je v smeri normle n ploskev, torej prvokotn projekcij vektorskeg polj n normlo. Ploskovni inegrl druge vrste je potem v ds = S S v ν ds ν je enotsk norml n ploskev. Ko ploskev S prmetrizirmo dobimo r u r v v EG F 2 dudv = EG F 2 v( r u r v ) dudv = v 1 v 2 v 3 x u y u z u dudv x v y v z v V posebnem primeru, ko ploskev S prmetrizirmo s spremenljivkm x in y, dobimo v ds (p, q, 1) = v p p 2 + q q dxdy = v(p, q, 1) dxdy S 29. Gussov izrek Nj bo S gldk zključen ploskev in nj bo V območje v prostoru, ki g t ploskev omejuje. Nj bo v odvedljivo vektorsko polje, definirno n območju V z robom S. Potem velj div v dxdydz = v ds V Idej dokz Gussoveg izrek, ko je S še posebj lep ploskev, to pomeni, d vsk premic vzporedn z eno izmed koordintnih osi, sek ploskev S njveč dvkrt (krogl). Oglejmo si izrz V v 3 z dxdydz = = S z2 (x,y) ( z 1 (x,y) v 3 z S 2 v 3 n 3 ds }{{} zgornji del ploskve S S dz) dxdy = (v 3 (x, y, z 2 (x, y)) v 3 (x, y, z 1 (x, y))) dxdy S 1 v 3 n 3 ds }{{} spodnji del ploskve Podobno dobimo v 1 V x dxdydz = v 2 V y dxdydz = Izrze seštejemo in dobimo Gussovo formulo. 17 S S = S v 1 n 1 ds v 2 n 2 ds v 3 n 3 ds

19 30. Stoeksov izrek Nj bo gldk sklenjen krivulj, ki omejuje neko ploskev S v prostoru. Nj bo v odvedljivo vektorsko polje. Potem je rot v ds = v d r Krivulj je rob ploskve S. S Ploskev S projecirmo n rvnino (x, y) in dobimo neko območje v rvnini. Z to območje lhko uporbimo Greenovo formulo. Podobno nredimo projekciji n (x, z) in (y, z) rvnini in uporbimo Greenovo formulo tudi n teh projekcijh. Te Tri Greenove formule seštejemo in dobimo Stoeksovo formulo. 31. Zvez med Stokesovim izrekom in Greenovo formulo Greenov formul je poseben primer Stoeksove formule. Nj bo v = (f(x, y), g(x, y), 0). Ploskev S nj bo območje v rvnini (x, y). Oglejmo si, kj prvi Stokesov izrek v tem primeru rot v }{{} ds = v d r = f(x, y) dx + g(x, y) dy S c ν ds Sledi 32. Anlitičn funkcij rot v = S i j k x y z f(x, y) g(x, y) 0 = ( g x f y ) ( g x f y ) dxdy = f(x, y) dx + g(x, y) dy c Funkcij f :,, je nlitičn v z 0, če je v z 0 odvedljiv, hkrti p obstj še nek okolic z 0, tko d je f odvedljiv tudi v vski točki iz te okolice. enimo, d je funkcij f odvedljiv v točki z 0. Torej v z 0 obstj limit diferenčneg kvocient f(z + z) f(z) lim z 0 z Ker obstj limit, mormo dobiti isto vrednost, neglede n to, po kteri poti se bližmo z 0. Oglejmo si, kj dobimo če gremo proti z 0 po dveh poteh. (z leve in desne ter od zgorj in spodj) () Sprehodimo se vodorvno. Vemo, d je z = x + iy, z = x + i y. Pri vodorvni poti je z = x. 18

20 Nj bo f(z) = u(x, y) + iv(x, y) in z 0 = x 0 + iy 0. Sledi = lim x 0 f(z 0 + z) f(z 0 ) lim z 0 z u(x 0 + x, y 0 ) + iv(x 0 + x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) iv(x 0, y 0 ) x = lim (u(x 0 + x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) + i v(x 0 + x, y 0 ) v(x 0, y 0 ) = x 0 x x = = = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ) (b) Sprehodimo se nto z = x + i y, pri nvpični z = i y. Sledi f(z 0 + z) f(z 0 ) u(x 0, y 0 + y) + iv(x 0, y 0 + y) u(x 0, y 0 ) iv(x 0, y 0 ) lim = lim z 0 z y 0 i y = 1 i ( u y (x 0, y 0 ) + i v y (x 0, y 0 )) = v y (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ) Ker mormo v obeh primerih dobiti enk rezultt (sj obstjjo limite diferenčneg kvocient), je u x + iv x = v y iu y Sledi u x = v y in v x = u y Ti dve enčbi imenujemo uchy-riemnnov pogoj. 33. uchy-riemnnovi enčbi Izrek Nj bo f(z) = u(x, y) + iv(x, y) funkcij kompleksne spremenljivke. Potem je f nlitičn funkcij v z 0 ntnko tedj, ko v točki z 0 = x 0 + iy 0 velj uchy-riemnov pogoj (glej še obrzložitev pri prejšni točki) 34. Hrmoničn funkcij Tisti pogoj. 35. Konstrukcij funkcije e z u x = v y in v x = u y u xx + u yy = 0 in v xx + v yy = 0 Zhteve funkcije: f(z) = e z = e x (cos x + i sin x) e z = e x z vs kompleksn števil z, ki imjo imginrni del enk 0 (torej se kompleksn in eksponentn funkcij ujem z eksponentno funkcijo relnih števil) 19

21 d dz ez = e z e z je nlitičn funkcij Zpišimo e z = u(x, y) + iv(x, y) Odvjmo in dobimo (kr sledi iz druge zhteve) u x (x, y) + iv x (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) Sledi u x = u in v x = v = u(x, y) = G(y)e x Sedj upoštevmo tretjo zhtevo, torej z u in v velj uchy-riemnov pogoj u x = v y in u y = v x v = v x = u y = G (y)e x v = ( )v x = u y = G (y)e x v y = v xy = G (y)e x v y = ( )u x = ( )u = G(y)e x Sledi: G(y)e x = G (y)e x, torej G (y) + G(y) = 0 G = A sin y + B cos y Sledi, d je: e z = e x (A sin y + B cos y) + ie x ( A cos y + B sin y) Upoštevmo še, d je e z = e x z y = 0, torej e z = e x (A 0 + B 1) + ie x ( A cos y + B sin y) Sledi: Velj: Opzimo d je Torej f(z) = e z ni injektivn. 1 = B ia = A = 0, B = 1 e z = e x (cos y + i sin y) e iy = cos y + i sin y e iy = cos 2 y + sin 2 y = 1 e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ e iϕ = e iϕ+2kπ 20

22 36. Funkcije cos z, sin z, coshz, sinhz in log z Kj je z inverzom f(z) = e z?? Kj bi bil logritem kompleksne spremenljivke? Zpišemo Potem mor veljti e w = z Sledi () e u = z in zto u = log z (b) e iv = e iϕ in zto v = ϕ + 2kπ Sledi w = log z log z = log z + i(ϕ + 2kπ) To ni funkcij, sj je k poljuben, torej ni enolično določen. Če vzmemo k = 0, dobimo glvno vrednost logritm. To je inverzn funkcij funkcije e z zožene n območje, kjer je e z injektivn. efinirmo potenco kompleksneg števil z w, pri čemer z, w. Potem je definrn s pomočjo eksponentne funkcije Veljjo vse običjne zveze med temi funkcijmi. z w = e w log z sin z = eiz e iz 2i cos z = eiz + e iz 2 tn z = sin z cos z sinh z = ez e z 2 cosh z = ez + e z 37. Integrcij v kompleksni rvnini ne nujno nlitičnih funkcij Nj bo gldk, lep krivulj v kompleksni rvnini. Nj bo f funkcij kompleksne spremenljivke. Njen integrl po krivulji definirmo s pomočjo integrlskih vsot n f(ξ k ) z k k=1 2 21

23 Če obstj limit integrlskih vsot, ko gre z k 0 in n, potem jo imenujemo integrl funkcije kompleksne spremenljivke po krivulji in pišemo f(z) dz Kko izrčunti integrl f(z) dz? Zpišimo z = x + iy dz = dx + idy f(z) = u(x, y) + iv(x, y) Sledi f(z) dz = = = (u(x, y) + iv(x, y))(dx + idy) u(x, y) dx + iv(x, y)dy + i v(x, y) dx + u(x, y) dy (u(x, y) v(x, y)) d r + i (v(x, y) u(x, y)) d r obimo dv krivuljn integrl druge vrste, ki g rešimo tko, d krivuljo prmetrizirmo, se prvi x = x(t), y = y(t), upoštevmo dx = ẋ dt, dy = ẏ dt in dobimo običjni integrl β α (u(x(t), y(t))ẋ v(x(t), y(t))ẏ) dt + i β α (v(x(t), y(t))ẋ + u(x(t), y(t))ẏ) dt N tk nčin znmo izrčunti integrl funkcije kompleksne spremenljivke. V tem primeru ni nujno, d je funkcij zelo lep (t.j. nlitičn). Nprimer n tk nčin zmo izrčunti z dz po neki krivulji. Velj: f(z) dz = g(z) dz = α f ds = α (f(z) + g(z)) dz f ds f(z) dz = f(z) dz + 1 f(z) dz Integrl funkcije (5) 1 (z z 0 ) n (5) Izrčunjmo, pri tem bomo uporbili formulo z z 0 = re iϕ, kjer je krožnic s polmerom r in središčem v z 0 in dz = re iϕ i dϕ 1 2π ( 1 ) n+1 dz = 0 (z z 0 ) n+1 re iϕ 0 re iϕ i dϕ = 1 2 r n i 2πe inϕ dϕ = i 2π 0 r n (cos nϕ i sin nϕ) dϕ 0 22

24 Če je n 0, dobimo kot rezultt integrl sinus in kosinus, ki st periodični funkciji s periodo 2π. Torej je v tem primeru integrl enk 0. Če je n = 0, dobimo i 2π r 0 1 dϕ = 2πi. Torej je integrl, sedj npisno tko kkor v vpršnju enk { 1 2πi če n = 1 0 (z z 0 ) n = 0 če n 1 Območje je enostvno povezno, če lhko sklenjeno krivuljo skrčimo v točko. sklenjen krivulj sm sebe ne sek. Enostvn 39. uchy-jev integrlsk formul Izrek Nj bo f nlitičn funkcij n območju in nj bo f zvezn n robu območj, ki nj bo sklenjen krivulj. Nj bo z 0. Potem je f(z 0 ) = 1 f(z) dz 2πi z z 0 Opomb Izrek pove, d je kterkoli vrednost nlitične funkcije f n območju ntnko določen z vrednostmi funkcije n robu območj. okz Ker je funkcij c f(z) z z 0 nlitičn povsod n območju med krivuljo in krožnico 0 s središčem v z 0, hitro sledi, d je Vemo, d je Sledi 0 f(z) dz = z z 0 0 f(z) z z 0 dz 0 1 z z 0 dz = 2πi f(z) f(z 0 ) + f(z) f(z 0 ) f(z 0 ) dz = dz = z z 0 0 z z 0 0 dz z z 0 }{{} f(z 0 )2πi f(z) f(z 0 ) + dz (6) 0 z z 0 Pokžimo, d je integrl 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 dz = 0 23

25 Ocenimo, in pri drugem upoštevmo d je f nlitičn, torej zvezn, če krogec f(z) f(z 0 ) ε in 0 dovolj mjhen f(z) f(z 0 ) f(z) f(z 0 ) ε dz dz dz = ε dz = ε2π 0 z z 0 0 z z 0 z z 0 r 0 Če je polmer r krožnice 0 dovolj mjhen potem lhko ocenimo, d je f(z) f(z 0 ) dz ε2π 0 z z 0 Z pojubno mjhen ε, torej Sledi po enčb (6), d je torej, je končn formul enk 40. Integrcijsk formul z f (n) (z 0 ) 0 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 dz = 0 f(z) z z 0 dz = f(z 0 ) 2πi f(z 0 ) = 1 2πi Izrek(uchyjev integrlsk formul, posplošen) f(z) z z 0 dz Če je f nlitičn funkcij n lepem območju z robom, potem z poljubno notrnjo točko z 0 velj f (n) (z 0 ) = n! f(z) dz 2πi (z z 0 ) n+1 Torej so z nlitično funkcijo f nlitične tudi vse funkcije f (n). Torej je nlitčn funkcij, torej odvedljiv, je vtomtično neskončnokrt odvedljiv. Skic dokz Rčunmo f f(z 0 + z) f(z 0 ) (z) = lim z 0 z = lim z 0 = lim z 0 1 2πi z 1 2πi z 1 ( 1 f(z) = lim z 0 z 2πi z (z 0 + z) dz 1 2πi f(z) (z z 0 ) f(z) (z z 0 z) dz (z (z 0 + z))(z z 0 ) f(z) z (z (z 0 + z))(z z 0 ) dz = 1 f(z) 2πi (z z 0 ) 2 dz = f (z 0 ) f(z) ) dz z z 0 N enk nčin izpeljemo formulo z višje odvode. 41. Lurentov vrst 24

26 () Funkcijsk vst funkcije kompleksne spremenljivke je oblike Konvergenčni rdij f(z) = f 1 (z) + f 2 (z) + f 3 (z) +... r = lim f n+1 n f n (b) Tylorjev vrst funkcije kompleksne spremenljivke f(z) = n=0 f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n f(z)...nlitičn n! (c) Lurentov vrst Nj bo f nlitičn n dveh koncentričnih krožnich 1 in 2 ter n kolobrju med njim. Potem se d funkcij f zpisti v obliki Lurentove vrste Pri čemer so f(z) = n (z z 0 ) n + n=0 } {{ } n = 1 2πi c n = 1 2πi n=1 c n (z z 0 ) n } {{ } f(w) dw (w z 0 ) n+1 f(w)(w z 0 ) n 1 dw krivulj p je skelnjen krivulj, znotrj kolobrj, ki objem singulrnost z 0. Prvi del Lurentove vrste ( ) imenujemo regulrni del, drugi del ( ) p glvni del Lurentove vrste. Člen c 1 v Lurentovi vrsti imenujemo residiuum funkcije f v točki z 0 okrog ktere smo rzvili Lurentovo vrsto. Lurentovo vrsto lhko zpišemo tudi v obliki Pri čemer je n = c n, torej f(z) = n= n = 1 2πi 25 n (z z 0 ) n f(w) dw (w z 0 ) n+1

27 42. Residdum, singulrnosti vrste Residuum funkcije f v točki z 0 je koeficient 1 pri členu (z z 0 ) 1 pri rzvoju funkcije v Lurentovo vrsto okrog točke z 0. Res z=z0 f(z) = 1 = 1 f(z) dz 2πi Pogoj: nlitičnost funkcije f n koncentričnih krogih. f(z) dz = 2πi 1 enimo d im funkcij f v točki z 0 singulrnost, potem ločimo tri vrste singulrnosti. () Če so vsi členi c n, n = 1, 2, 3,... pri rzvoju funkcije f v Lurentovo vrsto v okolici z 0, enki nič, potem je z 0 odprvljiv singulrnost. (b) Če so vsi členi c n, n = n 0, n 1,.. enki nič, c n1 0, je v z 0 pol n-teg red. (c) Če je neskončno členov c n rzličnih od 0, je v z 0 bistven singulrnost. Rčunnje residuov: () Če im funkcij f v točki z 0 pol prve stopnje, rčunmo Res z=z0 f(z) = lim z z0 (z z 0 )f(z) (b) Če im funkcij f v točki z 0 pol m-te stopnje, rčunmo 43. Izrek o residuih Res z=z0 f(z) = 1 (m 1)! lim d m 1 ( (z z0 z z 0 dz m 1 ) m f(z) ) Nj bo f nlitičn n območju rzen v končno monogo singulrnih točkh znotrj območj. Potem je n f(z) dz = 2πi Res z=zi f(z) = z i...singulrnost znotrj krivulje 44. Rčunnje relnih integrlov s pomočjo integrcije v kompleksnem () Integrl rcionlne funcije izrzov cos ϕ, sin ϕ n intervlu [0, 2π]. 2π Pri čemer je R rcionln funkcij, nprimer 0 i=1 R(cos ϕ, sin ϕ) dϕ 2π 0 cos 2 ϕ sin ϕ dϕ (7) 26

28 Tke integrle lhko izrčunmo s pomočjo izrek o residuumih. Uvedemo novo spremenljivko z = e iϕ dz = e iϕ i dϕ in zto cos ϕ = eiϕ + e iϕ 2 sin ϕ = eiϕ e iϕ 2i = z + z 1 2 = z z 1 2i Pomenbno, ker integrirmo od 0 do 2π, v kompleksnem integrirmo e iϕ od 0 do 2π, to p je rvno krožnic s polmerom 1, torej zključen krivulj. V konkretnem primeru (enčb 7) dobimo 2π 0 cos 2 ϕ sin ϕ dϕ = ( z+z 1 2 ) ( z+z 1 2i ) (b) Rčunnje integrlov rcionlne funkcije, pri čemer je stopnj v imenovlcu vsj z 2 večj od stopnje v števcu, n intervlu [, ]. Nprimer x 2 1 x 4 + 2x dz Pišemo z = x in definirmo krivuljo n n nslednji nčin (slik 8). dz iz 2n n 1n n Slik 8: Skic k ločni dolžini krivulje n je zključen krivulj, torej je integrl n f(z) dz enk vsoti residuumov znotrj krivulje. Rzdelimo krivuljo n n dv del 1n in 2n. Potem je 45. Konformne preslikve f(z) dz = f(z) dz } n {{}} 1n {{} Res zgornje polrvnine f(x)dx + f(z) dz } 2n {{} 0 Konformn preslikv je preslikv f :, ki ohrnj kote in orientcijo. 27

29 f f( 1) α 1 f( 2) α 2 Slik 9: Konformn preslikv Nj bo f nlitičn funkcij. f (z) = 0. Primeri konforminh preslikv: Potem je f konformn preslikv, rzen v točkh, kjer je f(z) = w 0 + z, trnslcij f(z) = ze iϕ, rotcij f(z) = r z, rzteg f(z) = 1 z, inverzij 46. Lomljen linern trnsformcij Möbesuv li lomljen linern trnsformcij je preslikv oblike pri čemer, b, c, d. Izrek f(z) = z + b cz + d Möbisov preslikv je kompozitum trnslcij, rotcije, rzteg in inverzije. Möbisuv preslikv preslik množico krožnic in premic v množico krožnic in premic. 28