Matematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Matematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić."

Πάν Αργυριάδης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ivn Slpničr Mrko Mtić Mtemtik 2 PODSJETNIK ZA UČENJE Fkultet elektrotehnike, strojrstv i brodogrdnje Split, 2003.

2 Sdržj 1 Neodredeni integrl 3 2 Odredeni integrl 5 3 Funkcije više vrijbli 7 4 Višestruki integrli 8 5 Vektorsk nliz 9 6 Krivuljni i plošni integrli 9 Ov skript nstl su n osnovi surdnje Ministrstv znnosti i tehnologije Republike Hrvtske i Fkultet elektrotehnike, strojrstv i brodogrdnje u Splitu n I-projektu Ministrstv Mtemtik 2 digitlni udžbenik s interktivnim nimcijm i interktivnom provjerom znnj ( Copyright c , Ivn Slpničr i Mrko Mtić. Sv prv pridržn.

3 1 Neodredeni integrl 1. Definirjte primitivnu funkciju i neodredeni integrl. Primjer. Dokžite d se primitivne funkcije rzlikuju do n konstntu. 2. Dokžite svojstv neodredenog integrl ) linernost, b) ( f(x)dx) = f(x), c) d( f(x)dx) = f(x)dx, d) df(x) = F(x) + C. 3. Kko glsi tblic osnovnih integrl? 4. Opišite metode integrirnj i djte primjere: ) metode supstitucije: (i) ko je x = φ(t), i φ bijekcij, td je f(x)dx = f(φ(t))φ (t)dt; (ii) ko je I = f(x)dx oblik f(x)dx = f(φ(x))φ (x)dx, td uz supstituciju φ(x) = t immo I = f(t)dt; b) prcijln integrcij (dokžite formulu): u dv = u v v du; c) rekurzivne formule: izvedite, n primjer, formulu I n = dx (1 + x 2 ) n = x 2n 3 2(n 1)(1 + x 2 + ) n 1 2(n 1) I n 1 d) integrirnje rcionlnih funkcij: elimincij zjedničkih nul-točk brojnik i nzivnik; svodenje n prvu rcionlnu funkciju; rstv n prcijlne rzlomke; rješvnje tri osnovn tip integrl; 3

4 e) integrirnje trigonometrijskih funkcij: izvedite univerzlnu trigonometrijsku supstituciju: t = tn x 2, x = 2rctn t, dx = t 2dt, sin x = 2t 1 + t 2, cos x = 1 t2 1 + t 2, tn x = 2t 1 t 2. Z koje x vrijede gornje formule? Primjer. Izvedite supstituciju t = tn x. f) integrirnje hiperbolnih funkcij; g) integrirnje ircionlnih funckij: (i) integrl R ( x, ( ) x + b m 1 cx + d se riješv pomoću supstitucije n 1,..., ( x + b cx + d x + b cx + d = tn ) m k n k ) dx pri čemu je n njmnji zjednički nzivnik od n 1,...,n k, (ii) integrl: R(x, x 2 + bx + c)dx se rješv pomoću supstitucije 2x + b 4c b 2 = t nkon čeg dobijemo jedn od tri slučj R(t, 1 t 2 dt = {t = sin z ili 1 t 2 = z(1 t)} = R(t, t 2 1dt = {t = 1 sin z ili t 2 1 = t + z} = R(t, t 2 + 1dt = {t = tn z ili t = t + z} = 4

5 (iii) metod neodredenih koeficijent; h) binomni integrl: x m ( + bx n ) p dx = (m,n,p Q) = {x n = t} = 1 ( ) + bt p t m+1 n +p 1 dt = n t 5. Kko se provodi i čemu služi postupk integrirnj pomoću rzvoj u red? 2 Odredeni integrl 1. Definirjte odredeni (Riemnnov) integrl. 2. Objsnite osnovn svojstv odredenog integrl: ) ko je f(x) 0 z svki x [,b], td 3. b f(x)dx dje površinu izmedu f(x) i x-osi od do b, b) vrijedi c) vrijedi d) vrijedi b b f(x)dx = f(x)dx = 0, f(x)dx = Što je odredeni, što neodredeni integrl? c b f(x)dx, b f(x)dx + c f(x)dx. 4. Dokžite Newton-Leibnitzovu formulu. 5. Ako je funkcij f(x) integrbiln n intervlu [,b], td je jedn primitivn funkcij dn s F(x) = x f(x)dx, x [,b], F() = 0. 5

6 Dokžite! 6. Dokžite teorem srednje vrijednosti z odredeni integrl: ko je f neprekidn n [,b], td postoji c [,b] tko d je f(c) = 1 b f(x)dx b Koj je grfičk interpretcij tog teorem? 7. Dokžite ) monotonost: b) nejednkost trokut: f(x) g(x) b b f(x)dx f(x)dx b b f(x) dx. g(x)dx, 8. Što je neprvi integrl? Dokžite: 0 1 e x = 1, dx x α = 1, z α > 0, α 1 divergir, z α Opišite kriterije konvergencije z neprvi integrl (mjornt, minornt, psolutn konvergencij). 10. Kko rčunmo površinu rvninskih likov? Izvedite dp u Krtezijevim koordintm, dp = dxdy, i polrnim koordintm, dp = 1 2 r2 dφ. Izvedite dp z prmetrski zdne krivulje. Djte primjere. 6

7 11. Kko rčunmo duljinu luk rvninskih krivulj? Izvedite ds u Krtezijevim koordintm, ds = dx 2 + dy 2 = 1 + y 2 dx, i polrnim koordintm, ds = r 2 + r 2 dφ. Izvedite ds z prmetrski zdne krivulje. Djte primjere. 12. Slično pitnje z obujm rotcionih tijel. 13. Slično pitnje z oplošje rotcionih ploh (komplncij). 14. Objsnite postupk numeričkog integrirnj ( trpezn formul, Simpsonov formul, Richrdsonov ekstrpolcij)? 3 Funkcije više vrijbli 1. Definirjte n-dimenzionlni prostor R n. N koje sve nčine možemo zdti funkciju f : R n R? Što su nivo-plohe? 2. Kko definirmo udljenost? Što je otvoren kugl K(T,δ)? 3. Definicij limes funkcije više vrijbli: ko tko d lim F(T) = T T 0 ( ε > 0) ( δ > 0) T K(T 0,δ) f(t) < ε. Kko možemo limes definirti pomoću nizov? 4. Definirjte neprekidnost funkcije više vrijbli. 5. Neprekidn funkcij poprim n ztvorenom skupu svoj mksimum i minimum. 6. Definicij prcijlnih derivcij. 7. Schwrtzov teorem. 8. Definicij totlnog diferencijl. 9. D li je svk neprekidno derivbiln funkcij i diferencijbiln? 7

8 10. Definirjte tngencijlnu rvninu i normlu n plohu. 11. Prcijlno derivirnje složene funkcije. 12. Totlni diferencijl višeg red. 13. Tylorov formul z funkcije više vrijbli: f(t) = f(t 0 ) + m r=1 d r (f(t 0 )) r! + d(m+1) (f(t ν )) (1 ν) m+1 p p m! Rzvijte funkciju e x+y u Tylorov red u okolini točke (1, 1). 14. Nuždn uvjet ekstrem. 15. Dovoljn uvjet ekstrem pomoću totlnog diferencijl. 16. Dovoljn uvjet ekstrem pomoću pod-determinnti mtrice drugih prcijlnih derivcij. 17. Teorem o implicitnoj funkciji. 18. Izvedite nužne uvjete z uvjetni ekstrem funkcije dvije vrijble. 4 Višestruki integrli 1. Kko definirmo višestruki integrl? 2. Svojstv: linernost, homogenost, integrl ne ovisi o redoslijedu integrcije. 3. Primjene dvostrukog integrl: obujm, površin ko je f(x,y) = Prebcivnje dvostrukog integrl iz Krtezijevih u polrne koordinte. Primjer. 5. Primjer neprvog dvostrukog integrl: 6. Primjene trostrukog integrl. e x2 dx = π 7. Prebcivnje trostrukog integrl iz Krtezijevih u cilindrične i sferne koordinte. Primjeri. 8. Kko glse općenite formule z zmjenu vrijbli kod višesestrukih integrl? 8

9 5 Vektorsk nliz 1. Kko definirmo vektorsku funkciju sklrne vrijble w(t)? 2. Kko definirmo limes, neprekidnost, derivciju i integrl vektorske funkcije w(t) u slučju kd je t D R? 3. Ako je s(t) položj mterijlne točke u trenutku t, kko ćemo izrčunti brzinu v(t) i ubrznje (t) u trenutku t? Ako je zdno ubrznje (t), kko ćemo izrčunti brzinu i položj? 4. Što je sklrno polje? Što su ekvipotencijlne plohe? Što je vektorsko polje? Što su silnice? D li ov polj ovise o odbrnom koordintnom sustvu? 5. Kko definirmo grdijent, divergenciju i rotciju? Kko možemo ov tri opertor prikzti pomoću Hmiltonovog diferencijlnog opertor? 6. Dokžite nek od svojstv grdijent, divergencije i rotcije pomoću. 7. Kd je vektorsko polje potencijlno (konzervtivno, bezvrtložno)? Kko rčunmo potencijl? 8. Definirjte usmjerene derivcije sklrnog i vektorskog polj. 9. Kko vidimo d sklrno polje njbrže rste u smjeru grdijent? 6 Krivuljni i plošni integrli 1. Što je gltk krivulj i kko je sve možemo zdti? 2. Kko definirmo krivuljni integrl sklrnog polj (krivuljni integrl prve vrste)? Nvedite jednu fiziklnu interpretciju? Primjer. 3. Kko definirmo krivuljni integrl vektorskog polj (krivuljni integrl druge vrste)? Nvedite jednu fiziklnu interpretciju? Primjer. 4. Koj je vez izmedu krivuljnog integrl sklrnog polj i krivuljnog integrl vektorskog polj? 5. Što je cirkulcij vektorskog polj? 6. Kko se ponš krivuljni integrl potencijlnog vektorskog polj? Primjer. 7. Kko glsi Greenov teorem? Primjer. Kko možemo Greenov teorem koristiti z rčunnje površine? ( Q x P ) dxdy = Pdx + Qdy y D C 9

10 8. Kko definirmo gltku plohu? Kko sve možemo zdti gltku plohu? Što je po djelovim gltk ploh? 9. Kko glsi i kko se dobije formul z element površine plohe ds? Kko glsi formul z površinu plohe? 10. Kko glsi formul z plošni integrl sklrnog polj (plošni integrl prve vrste), koj su mu svojstv i kko g rčunmo? Nvedite jednu fiziklnu primjenu. Primjer. 11. Kko glsi formul z plošni integrl vektorskog polj (plošni integrl druge vrste), koj su mu svojstv i kko g rčunmo? Primjer. 12. Kko možemo plošni integrl vektorskog polj izrziti ko plošni integrl sklrnog polj? 13. Kko glsi teorem o divergenciji (Guss-Ostrogrdsky formul)? Primjer. div wdv = wd S w n 0 ds V Kko glsi teorem u sklrnom obliku? S 14. Kko glsi teorem o grdijentu? Primjer. grd f dv = f n 0 ds = f ds V = i cos αfds + j cos βfds + k cos γfds 15. Kko glsi teorem o rotciji? Primjer. rot w dv = V ( n 0 w)ds. 16. Kko glsi Stokesov teorem? Primjer. rot wd S = S S Kko glsi teorem u sklrnom obliku? wd r = S w t 0 ds 10

Σχετικά έγγραφα

Ivan Slapničar. Matematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2012.

Ivan Slapničar. Matematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2012. Ivn Slpničr Mtemtik 2 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mt2 Fkultet elektrotehnike, strojrstv i brodogrdnje Split, 2012. Sdržj 1 Neodredeni integrl 3 2 Odredeni integrl 5 3 Funkcije više vrijbli