7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo"

Transcript

1 7 Odreženi integrli 63 7 Odreženi integrli Nek je funkcij f(x) definisn n intervlu [, ]. Ako ovj intervl podeo n n delov tčkm = x < x < x <... < x n = doijmo (pod)intervle [x, x ], [x, x ],...,[x n, x n ]. Oeležimo s x i dužinu intervl [x i, x i ], odnosno x i = x i x i. Izerimo u svkom otvorenom intervlu (x i, x i ) neku tčku ξ i (x i, x i ). Ako sd, polzeći od vrednosti x i i vrednosti funkcije f(ξ i ) u tčki ξ i formirmo sumu f(ξ i ) x i doićemo integrlnu sumu funkcije f(x) n odsečku [, ] koj odgovr odrnoj podeli intervl. Ako postoji grničn vrednost integrlne sume kd roj podintervl teži eskončnosti, dužin njvećeg od njih teži nuli, odnosno grničn vrednost mx x i f(ξ i ) x i i ko je on končn i jednk z m kkvu podelu intervl [, ] i m kkv izor tčk ξ i ond kžemo d je funkcij f(x) integriln (u Rimnovom smislu) n odsečku [, ], nvedenu grničnu vrednost nzivmo odreženim integrlom (u Rimnovom smislu) funkcije f(x) n odsečku [, ] i oznčvmo s mx x i f(ξ i ) x i Funkcij f(x) je integrnd, odsečk [, ] olst integrcije, je donj grnic je gornj grnic integrl. Svk neprekidn funkcij ili funkcij s končno mnogo prekid I red n intervlu [, ] je integriln. Geometrijski interpretirn, integrln sum predstvlj sumu površin prvougonik čij je jedn strn jednk f(ξ i ), drug x i. Površin svkog od tih prvougonik f(ξ i ) x i je priližno jednk površini krivolinijskog trpez ogrničenog x-osom, krivom f(x) i prvm x = x i i x = x i.

2 7. Osoine odreženih integrl Osoine odreženih integrl ) Pri definiciji odreženog integrl smo pretpostvili d je <. Ako je > ond se uzim po definiciji ) Uzim se po definiciji d je f(x)dx.. 3) Ako je funkcij neprekidn i nenegtivn n [, ] ond je u skldu s geometrijskom intrpretcijom integrlne sume i u skldu s onim što intuitivno podrzumevmo pod površinom krivolinijskog trpez ogrničenog x-osom, krivom f(x) i prvm x = i x =, t površin P = f(x)dx. 7. Osnovn teorem o srednjoj vrednosti integrlnog rčun Ako je funkcij f(x) neprekidn n odsečku [, ] td postoji c [, ] tkvo d je f(c). Dokz 8 Nek je m = min x [,] f(x), M = mx x [,] f(x) td je odnosno p kko je m x i f(ξ i ) x i M x i m x i f(ξ i ) x i M x i x i =

3 7. Osnovn teorem o srednjoj vrednosti integrlnog rčun65 sledi Prem tome je i m( ) f(ξ i ) x i M( ). m( ) mx x i f(ξ i ) x i M( ) odnosno ili m( ) f(x)dx M( ) m f(x)dx M. Kko je f(x) neprekidn, on uzim sve vrednosti izmežu m i M p prem tome i vrednost f(x)dx odnosno postoji neko c tkvo d je f(c) = f(x)dx. Teorem Ako je funkcij f(x) neprekidn n [, ] td je z svko c [, ] f(x)dx + Dokz 9 Pošto vrednost integrlne sume f(ξ i ) x i c f(x)dx. ne zvisi od podele odsečk [, ], odrćemo tkvu podelu u kojoj je c uvek jedn deon tčk. Td je f(ξ i ) x i = c f(ξ i ) x i + f(ξ i ) x i c p kd prežemo n grnične vrednosti, doijmo (uz uslov mx x i ) f(x)dx + c f(x)dx.

4 7.3 Izvod integrl po gornjoj grnici 66 Rezultt vži i z ilo koji rspored tčk, i c, n primer < < c. Nime, u tom slučju, ko što smo videli, vži p je kko je to je, končno f(x)dx + f(x)dx f(x)dx c f(x)dx + c f(x)dx f(x)dx f(x)dx. 7.3 Izvod integrl po gornjoj grnici Nek je f(x) neprekidn funkcij n [, ]. Sd ćemo, koristeći ovu funkciju, z x [, ] definisti novu funkciju Φ(x) = x f(t)dt tko d je nezvisno promenljiv x gornj grnic integrl. Pokzćemo d Φ(x) predstvlj primitivnu funkciju funkcije f(x) n [, ], odnosno d z svko x [, ] vži Φ (x) = f(x). Dokz Potržimo Φ(x) x x Φ = Φ(x + x) Φ(x) = x f(t)dt + x+ x x f(t)dt x+ x x x+ x f(t)dt f(t)dt = x x+ x x f(t)dt = f(t)dt Φ(x) = f(t)dt. x x x N osnovu osnovne teoreme o srednjoj vrednosti integrlnog rčun vži d je x+ x f(t)dt = f(c) x x

5 7.4 Njutn-Ljnicov formul 67 gde je c [x, x + x], p je, imjući u vidu neprekidnost funkcije f(x) Φ(x) x x odnosno, prem definiciji izvod funkcije, = f(c) = f( c) = f(x) x x Φ (x) = f(x). 7.4 Njutn-Ljnicov formul Ako je F (x) ilo koj primitivn funkcij neprekidne funkcije f(x) n [, ] td je F () F (). Dokz N osnovu prethodnog stv Φ(x) = x f(t)dt je primitivn funkcij funkcije f(x) p kko se sve primitivne funkcije jedne funkcije rzlikuju z konstntu to z svku primitivnu funkciju funkcije f(x) vži x F (x) + C = f(t)dt. Ako sd izeremo d je x = doijmo F () + C = odkle je C = F (), p je x f(t)dt = f(t)dt = F (x) F (). Ako, dlje, izeremo d je x = doijmo f(t)dt = F () F () što nm, kd zmenimo promenljivu t s x, dje Njutn-Ljnicovu formulu.

6 7.5 Još neke osoine odreženog integrl 68 Prem tome, odreženi integrl funkcije f(x) u intervlu [, ] može d se izrčun tko što se nže njen primitivn funkcij F (x), odnosno neodreženi integrl, i ond izrčun rzlik funkcije F (x) u krjnjim tčkm intervl integrcije. Uoičjeno je d se uvede oznk tko d je F () F () = F (x) F (x) = F () F (). Primer 6 cxdx = c x ( = c ) = c e x dx = e x dx + x = rctgx = e e = rctg rctg = π Još neke osoine odreženog integrl ) Ako su f(x) i g(x) neprekidne funkcije n [, ] ond je [c f(x) + c g(x)]dx = c f(x)dx + c g(x)dx. Dokz Nek su F (x) i G(x) primitivne funkcije redom funkcij f(x) i g(x). Td je H(x) = c F (x) + c G(x) primitivn funkcij funkcije c f(x) + c g(x) jer je Stog je H (x) = [c F (x) + c G(x)] = c F (x) + c G (x) = c f(x) + c g(x). [c f(x) + c g(x)]dx = H(x) = H() H() = c F () + c G() c F () c G() = c (F () F ()) + c (G() G()) = c f(x)dx + c g(x)dx.

7 7.5 Još neke osoine odreženog integrl 69 ) Ako su u = u(x) i v = v(x) diferencijilne funkcije n odsečku [, ] td je udv = u v vdu. Dokz 3 Sem tog p je odnosno (uv) dx = uv u vdx + uv dx = (uv) dx = uv = udv = uv vdu + udv vdu. vdu + Primer 6 x rcsin xdx = x rcsin x dx = π x + x = π 3) Nek funkcij ϕ(t) im neprekidn izvod n [α, β] i nek je = ϕ(α) i = ϕ(β). Nek je f(x) neprekidn funkcij n [, ]. Td vži β α f[ϕ(t)] ϕ (t)dt. udv Dokz 4 Nek je F (x) primitivn funkcij funkcije f(x) n [, ] i nek je G(t) primitivn funkcij funkcije f[ϕ(t)] ϕ (t) n [α, β]. Kko je izvod funkcije F [ϕ(t)], ko složene funkcije, jednk f[ϕ(t)] ϕ (t), to je i F [ϕ(t)] primitivn funkcij funkcije f[ϕ(t)] p je F [ϕ(t)] = G(t) + C. Odvde sledi F () F () = F [ϕ(β)] F [ϕ(α)] = G(β) G(α) = β α f[ϕ(t)] ϕ (t)dt.

8 7.6 Primen odreženog integrl u geometriji 7 Primer 63 Izrčunćemo r r x dx tko što ćemo uvesti smenu x = r cos t, odkle je dx = r sin tdt. Nove grnice su x = r cos t = cos t = t = π, i x = r r cos t = r r cos t = t =, tko d doijmo r r x dx = r r π π r r cos t sin tdt = r π [ cos t t dt = r ] π sin t 4 = r π 4. sin tdt = Npomen: Ovj integrl predstvlj površinu četvrtine krug x + y = r. 7.6 Primen odreženog integrl u geometriji 7.6. Izrčunvnje površine rvnih likov Ako je f(x) neprekidn, nenegtivn funkcij n odsečku [, ] td je, ko što smo videli, površin krivolinijskog trpez ogrničenog odozdo odsečkom [, ], odozgo lukom krive f(x) s strne prvm x = i x = jednk P = f(x)dx. Ov formul se može prilgoditi i drugim slučjevim, kd je f(x) negtivn funkcij n odsečku [, ], p je krivolinijski trpez ispod x-ose. Td je površin ovog trpez P = f(x)dx. Končno pomoću odreženog integrl može se doiti i površin izmežu dv grfik y = f(x) i y = g(x), koji se seku u tčkm z koje je x =, odnosno x =. T je površin, nime, jednk P = f(x)dx g(x)dx. Primer 64 Izrčunćemo površinu figure koju ogrničv elips x + y =. S ozirom n to d je ov elips simetričn u odnosu n koordintne ose dovoljno je izrčunti površinu u I kvdrntu i pomnožiti je s 4. Iz jednčine

9 7.6 Primen odreženog integrl u geometriji 7 elipse se z I kvdrnt doij y = x, dok su grnice integrcije od x = do x = p je P = 4 ydx = 4 x dx = 4 π 4 = π. Primer 65 Sd ćemo pokzti kko se mož nći površin koju formir jedn prmetrski zdt kriv. Ko primer ćemo koristiti cikloidu, koj je zdt prmetrskim jednčinm x = (t sin t), y = ( cos t) i to njen prvi svod iznd x-ose, od tčke x = to tčke x = π. Odgovrjuće vrednosti z prmetr t iće t = i t = π, p je, imjući u vidu d je dx = ( cos t)dt, P = π π ( cos t)( cos t)dt = ( cos t + cos t)dt = π ( cos t + ( t sin t + t + sin t 4 ) + cos t dt = ) π = 3 3π. I u polrnom koordintnom sistemu odreženi integrl se može koristiti z izrčunvnje površine rvnih likov. Ako je luk ÂB definisn neprekidnom funkcijom ρ = f(θ) n [α, β] tko d nezvisno promenljivoj ρ = α odgovr tčk A nezvisno promenljivoj ρ = β tčk B, td je površin krivolinijskog trougl OAB orgrničenog lukom ÂB i poluprvm ρ = α i ρ = β dt s β P = [f(θ)] dθ. α D ismo to pokzli, podeo nvedeni krivolinijski trougo n n delov poluprvm θ = θ = α, θ = θ,...,θ = θ n = β. Površin kružnog isečk s centrlnim uglom θ k = θ k+ θ k čiji je poluprečnik ρ k = f(θ k ) gde je θ k (θ k, θ k+ ) je P k = ρ k θ k i on je jednk priližnoj vrednosti krivolinijskog troulg ogrničenog poluprvm θ = θ k i θ = θ k+. Stog je površin celog trougl priližno jednk P = P k = k= k= f (θ k ) θ k.

10 7.6 Primen odreženog integrl u geometriji 7 Ako sd i mx θ k ond je površin krivolinijskog trougl P = mx θ k k= P k = mx θ k n f (θ k ) θ k = β [f(θ)] dθ. k= α Primer 66 Nći ćemo površinu figure ogrničene lemnisktom, krivom zdtom polrnom jednčinom ρ = cos θ. Kko je lemniskt simetričn u odnosu n oe koordintne ose dovoljno je izrčunti jednu četvrtinu (z θ [, π 4 ]) P = 4 π 4 cos θdθ = sin θ π 4 = Dužin luk krive Posmtrćemo njpre krivu zdtu prmetrskim jednčinm. Nek je C kriv definisn funkcijm x = ϕ(t) i y = ψ(t), gde su ϕ(t) i ψ(t) neprekidne funkcije n odsečku [α, β]. N toj krivoj uočićemo jedn luk l = ÂB, z t [α, β], ztim ćemo g podeliti n n delov tčkm M, M, M,..., M n, koje odgovrju vrednostim prmetr t: α = t < t < t <... < t n = β. Ako s p k oznčimo dužinu duži M k M k+, ond je p k = (x k+ x k ) + (y k+ y k ) odkle je dužin cele poligonlne linije M M... M n jednk p = k= k= p k = k= (x k+ x k ) + (y k+ y k ) = [ϕ(t k+ ) ϕ(t k )] + [ψ(t k+ ) ψ(t k )]. Ako su funkcije ϕ (t) i ψ (t) neprekidne ond je n osnovu Lgrnžove teoreme ϕ(t k+ ) ϕ(t k ) = (t k+ t k ) ϕ (τ k ), τ k (t k, t k+ ) Sledi d je ψ(t k+ ) ψ(t k ) = (t k+ t k ) ψ (τ k ), τ k (t k, t k+ ). p = (t k+ t k ) [ϕ (τ k )] + [ψ (τ k )]. k=

11 7.6 Primen odreženog integrl u geometriji 73 Ako sd uvedemo funkciju f(t) = [ϕ (t)] + [ψ(t)] n [α, β], i oznku t k = t k+ t k, ond je, po definiciji odreženog integrl mx t k k= f(τ k ) t k = β α f(t)dt = β α [ϕ (t)] + [ψ(t)] dt. S druge strne kd i mx t k, dužin poligonlne linije teži dužini luk, p je stog dužin luk dt s s = mx t k mx t k k= k= f(τ k ) t k = [ϕ (τ k )] + [ψ (τ k )] = β α [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt. Primer 67 Nći dužinu luk krive x = t6, y = t4 izmežu presečnih 6 4 tčk s koordintnim osm x = t = i y = t = 4 8. s = 4 8 (t 5 ) + (t 3 ) dt = 4 8 t 3 t 4 + dt = 4 6 (t4 + ) 3 8 = 6 (9 3 3 ) = 6 = 6 3. Posmtrjmo sd krivu C definisnu jednčinom y = f(x) gde su f(x) i f (x) neprekidne funkcije. Dužinu luk z x [, ] izrčunćemo tko što ćemo iskoristiti prethodno doijeni rezultt z prmetrski zdtu krivu. Nime, ko uzmemo d je x = t y = f(x) = f(t), ond se, n osnovu prethodnog rezultt može doiti s = + [f (x)] dx. β Ako je kriv definisn polrnom jednčinom ρ = f(θ), gde je f (θ) neprekidn funkcij, ond je dužin luk z θ [α, β] jednk α α s = ρ + ρ dθ = [f(θ)] + [f (θ)] dθ Ovu formulu ovde nećemo dokzivti. β Primer 68 Izrčunti dužinu kružnog luk poluprečnik r s centrlnim uglom ϕ. Ako u jednčini krug ρ = f(θ) = r uzmemo α = i β = ϕ doijmo ϕ ϕ ϕ s = ρ + ρ dθ = r + dθ = r dθ = rϕ. Specijlno, z ϕ = π doijmo oim krug O = r π.

12 7.6 Primen odreženog integrl u geometriji Površin rotcione površi Nek je dt nek kriv funkcijom y = f(x) koj je neprekidn, zjedno s svojim izvodom, n odsečku [, ]. Ako luk koji ov kriv formir nd odsečkom [, ] rotir oko x-ose, ond će on opisivti jednu (rotcionu) površ. Površinu P ove površi ćemo sd odrediti pomoću odreženog integrl. Podeo njpre luk ÂB krive, gde je A(, f()), B(, f()) n n delov tčkm A = M, M,..., M k, M k+..., M n = B. Ako se ove tčke sd povežu dužim M k M k+ doiće se jedn poligonln linij AM M... M n B, koj im n zjedničkih tčk s lukom ÂB. Oznčićemo dužinu duži M km k+ s s k, (k =,,..., n ). Svk od ovih duži M k M k+ pri rotciji oko x-ose opisuje omotč jedne zruljene kupe čij je površin P k. Ako s x k oznčimo pscise s y k = f(x k ) ordinte tčk M k z (k =,,..., n), ond su y k i y k+ poluprečnici osnov kupe koj nstje rotcijom duži M k M k+, dok je ov duž njen izvodnic. Kko je površin omotč zruljene kupe čiji je poluprečnik mnje osnove r poluprečnik veće osnove R i čij je izvodnic s jednk P = s π(r + R) to je P k = s k π(y k + y k+ ). Nek je x k = x k+ x k, y k = y k+ y k. Kko je s k = i kko je, po Lgrnžovoj teoremi y k x k ( x k ) + ( y k ) = x k + ( y k x k ) = f (t k ), t k (x k, x k+ ) to je P k = π[f(x k ) + f(x k+ )] + [f (t k )] x k Cel površin koju opisuje poligonln linij AM M... M n B iće, prem tome, P n = k= P k = π k= [f(x k ) + f(x k+ )] + [f (t k )] x k. Kko roj deonih tčk luk ÂB time i tčk n poligonlnoj liniji AM M... M n B rste, njihovo njveće mežusono rstojnje mx s k time i mksimlno rstojnje izmežu njihovih pscis mx x k se smnjuje, to će se smnjivti i rzlik izmežu površine P površi koju opisuje luk

13 7.6 Primen odreženog integrl u geometriji 75 i površine P n koju opisuje poligonln linij. Drugim rečim, P predstvlj grničnu vrednost površine P n kd mx x k. P = mx x k P n = π mx x k k= [f(x k ) + f(x k+ )] + [f (t k )] x k. Kko x k t k i x k+ t k kd to se ove dve vrednosti u grničnom procesu mogu zmeniti s t k p gornj grničn vrednost postje P = π mx x k k= f(t k ) + [f (t k )] x k = π f(x) + [f (x)] dx. Primer 69 Dt je sfer poluprečnik r. Nći površinu sferne klote čij je visin h. Ako zmiso d je sfer nstl rotcijom gornje polovine krug x + y = r od tčke A( r, ) do tčke B(r, ) oko x-ose, ond je klot nstl rotcijom kružnog luk ĈB koji pripd ovoj polovini krug oko x-ose, tkvog d je C (r h, ) projekcij tčke C n x-osu, odnosno dužin C B je jednk h. Jednčin luk je y = r x odkle je y = x r p je površin x klote r P = π r x + x r r h r x dx = πr r h Specijlno, z h = r doijmo površinu sfere P = 4πr Zpremin rotcionog tel dx = πrx r r h = πrh. Posmtrćemo njpre neko telo V koje se nlzi izmežu dve rvni x = i x = normlne n x-osu. Površinu presek tog tel i ilo koje rvni normlne n x-osu izmežu rvni x = i x = oznčićemo s Q = Q(x). N ovj nčin definisli smo jednu funkciju Q(x) z x [, ]. Pretpostvićemo d je telo tkvo d je funkcij Q(x) neprekidn z x [, ]. Ztim ćemo telo V preseći s n rvni normlnih n x-osu x = x =, x = x,..., x = x n =, x k < x k+. N tj nčin telo je rzijeno n n neprvilnih zruljenih kup. Izrčunjmo zpremine ovih kup V k. Z svku zruljenu kupu, izmežu rvni x = x k i x = x k+ moguće je izrti tčku t k (x k, x k+ ) tko d zpremin V k ude jednk zpremini cilindr čij je osnov presek tel V s rvni x = t k čij je visin x k = x k+ x k. Stog je V k = Q(t k ) x k

14 7.7 Nesvojstveni integrli 76 dok je ukupn zpremin svih cilindr jednk V n = k= Q(t k ) x k. Kko roj presek tel V i rvni prlelnih x-osi rste, njveće rstojnje izmežu rvni x k se smnjuje, to ukupn zpremin cilindr V n teži zpremini tel V odnosno V = mx x k V n = mx x k Q(t k ) x k = Q(x)dx. k= Poseno, ko se rdi o telu nstlom rotcijom luk ÂB krive f(x) oko x-ose i ko je t kriv neprekidn n [, ], ond poprečni presek tel s rvnim prlelnim x-osi predstvlj krugove poluprečnik f(x) koji imju površinu Q(x) = πf (x). Sledi d je zpremin rotcionog tel V = π f (x)dx. Primer 7 Izrčunti zpreminu lopte poluprečnik r. Lopt nstje rotcijom polovine krug x + y = r tko d je y = r x. r V = π ( r r x ) dx = π (r x )dx = πr r x r r r π x3 3 r = r πr r π 3 (r3 + r 3 ) = πr 3 3 πr3 = 4 3 πr3 7.7 Nesvojstveni integrli Do sd je ilo reči o odreženim integr funkcij koj su neprekidne i ogrničene n končnom segmentu [, ]. No može se definisti i integrl kd funkcij nije definisn n segmentu, nego n poluodsečku [, ) ili (, ], ili n intervlu (, ), pri čemu krjnj tčk intervl u kojoj funkcij nije definisn može iti eskončn, sm funkcij u okolini te tčke neogrničen. Ako je funkcij f(x) integriln n svkom odsečku [, B], gde je B < +, i ko postoji končni B f(x)dx B

15 7.7 Nesvojstveni integrli 77 ond se t grničn vrednost nziv nesvojstvenim ili neprvim integrlom funkcije f(x) n poluodsečku [, ) oznčv se s f(x)dx gde može iti jednko i +. Dkle Φ(B) = B B B f(x)dx. Ako funkcij Φ(B) odreženo divergir k + ( ) kžemo d i integrl divergir k + ( ). Ako grničn vrednost uopšte ne postoji, kžemo jednostvno d integrl divergir. Anlogno se definiše integrl n (, ] A A > A f(x)dx z funkciju koj je integriln z svki odsečk [A, ] (, ]. Končno, ko žeo d definišemo integrl funkcije n otvorenom intervlu (, ), pri čemu je funkcij integriln z [A, B] (, ), td oderemo neku tčku c tkvu d je A < c < B p je f(x) = A A > f(x) + I z nesvojstvene integrle vži d je [c f (x) + c f (x)]dx = c B B < f(x). f (x)dx + c f (x)]dx. Primer 7 dx = dx = x x A + A x = ( A) = A + A A + + B e x dx = e x B dx = B + B + e x = ( B + e B ) = + + x dx = + + x dx + + x dx = B dx+ dx = A A + x B + + x rctgx + rctgx B = A A B + A dx = x A + ( rctga) + A rctgb = π B + + π = π dx = x ln x = ( ln A) = + A + A A +

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki

Διαβάστε περισσότερα

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n

Διαβάστε περισσότερα

Integralni raqun. F (x) = f(x)

Integralni raqun. F (x) = f(x) Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F

SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost

Διαβάστε περισσότερα

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk

Διαβάστε περισσότερα

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00 Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri

Διαβάστε περισσότερα

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 4

Matematička analiza 4 Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n..................

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija

MATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija MATEMATIKA seminri studij: Prehrmben tehnologij i Biotehnologij Sdržj Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod................................. Odredeni (Riemnnov) integrl. Problem površine........

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE

SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE Do sd smo već definisli skup Ω elementrnih dogđj Ako se elementrni dogđji ω mogu predstviti ko relni brojevi, ond se eksperiment može zmisliti ko izbor jedne promenljive

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5 Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

Integracija funkcija više promenljivih

Integracija funkcija više promenljivih Integrcij funkcij više promenljivih Drgn S. Djordjević Univerzitet u Nišu, Prirodno-mtemtički fkultet Niš, Srbij Februry 18, 216 ii Predgovor Predvnj su nmenjen studentim, koji polžu ispit iz predmet Mtemtičk

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Neodre deni integral

1.1 Neodre deni integral . Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn

Διαβάστε περισσότερα

Krivolinijski integral

Krivolinijski integral Poglvlje 4 Krivolinijski integrl 4.1 Vektorsko polje U ovom i nrednom poglvlju, osim sklrnih, rdićemo i s vektorskim funkcijm više promenljivih, F : R n R m, F = (F1,...,F m ), F i : R n R, i = 1,...,m,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Zenici Mašinski fakultet Akademska 2012/13.

Univerzitet u Zenici Mašinski fakultet Akademska 2012/13. Univerzitet u Zenici Mšinski fkultet Akdemsk /. Svesk s vježbi iz Mtemtike II (II dio) Odsjeci: Inžinjerski dizjn proizvod, Inžinjersk ekologij, Mendžment proizvodnim tehnologijm, Održvnje Zbirke zdtk

Διαβάστε περισσότερα

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote

Διαβάστε περισσότερα

TROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β

TROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064)

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064) Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD DEO RELACIJE I FUNKCIJE DEO ALGEBRA 6 DEO NIZOVI I REDOVI DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE 7 5 DEO LIMESI I IZVODI 9 6 DEO

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.

Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između

Διαβάστε περισσότερα

( ) p a. poklopac. Rješenje:

( ) p a. poklopac. Rješenje: 5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni

Διαβάστε περισσότερα

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

PRIMENA INTEGRALA

PRIMENA INTEGRALA www.mtmtinj.com PRIMENA INTEGRALA P ngo što knmo s izčunvnjm povšin, dužin luk, zpmin ili povšin otcion povši momo odditi: - pomoću p tčk ispitmo tok i nctmo kivu kivko j to nophodno - gnic intgl nđmo

Διαβάστε περισσότερα

Relativno mirovanje tečnosti. Translatorno kretanje suda sa tečnošću

Relativno mirovanje tečnosti. Translatorno kretanje suda sa tečnošću Reltivno irovnje tečnosti Trnsltorno kretnje sud s tečnošću Zdtk Cistern čiji je orečni resek elis oluos i b nunjen je tečnošću ustine i kreće se rvolinijski jednklo ubrzno ubrznje w o orizontlnoj rvni

Διαβάστε περισσότερα

M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A

M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Miloš Miličić M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Akdemsk miso Beogrd, 2012 Dr Miloš Miličić redovni profesor Držvnog univerzitet u Novom Pzru MATEMATIČKA ANALIZA Recenzenti Dr Ćeml Dolićnin redovni profesor

Διαβάστε περισσότερα

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Mster rd LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Snježn Mksimović Mentor: Akdemik dr Stevn Pilipović Novi Sd, pril 211. iii Sdržj Predgovor vi 1. Osnovn Lplce-ov trnsformcij 1 1.1. Egzistencij Lplce-ove trnsformcije...............

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

Dodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x)

Dodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x) Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S.

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

4. Relacije. Teorijski uvod

4. Relacije. Teorijski uvod VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

1. NEODREÐENI INTEGRAL

1. NEODREÐENI INTEGRAL . NEODREÐENI INTEGRAL Pitnj: Je li dn reln funkcij f : A! R, A R, derivcij neke relne funkcije g : A! R? Riješiti jedndbu g = f, pri cemu se z dni f tri g. T jedndb ili nem rješenj ili ih im beskoncno

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Izvodi i integrali necelog reda

Izvodi i integrali necelog reda UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ntš Durković Izvodi i integrli necelog red -mster rd- Mentor: Docent dr Snj Konjik Novi Sd, 2. Predgovor Frkcioni

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Primjene odreženog integrala

Primjene odreženog integrala VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivn Brnović Miroslv Jerković Lekcij 5 Primjen određenog integrl Poglvlje Primjene odreženog integrl. Povr²in rvninskog lik Z dni rvninski lik omežen krivuljm y = f(x) i y = g(x) te

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Boris Širola

Matematika 2. Boris Širola Mtemtik 2 (. Riemnnov integrl) Boris Širol predvnj . Riemnnov integrl 3 Pretpostvimo d immo neku neprekidnu relnu funkciju f, definirnu n nekom segmentu; tj., nek je dn neprekidn funkcij f : [, b] R.

Διαβάστε περισσότερα

PRIJEMNI ISPIT MATEMATIKA

PRIJEMNI ISPIT MATEMATIKA PRIJEMNI ISPIT MATEMATIKA Skupovi Brojevi Osnovni zkoni Opercije Rcionlizcij Proporcije Polinoi Množenje, deljenje, rstvljnje n činioce, njnji zjednički sdržilc, njveći zjednički delilc Ekvivlentne trnsforcije

Διαβάστε περισσότερα

Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću redova. Specijalne funkcije. Ortogonalne funkcije

Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću redova. Specijalne funkcije. Ortogonalne funkcije Glv 1 Rešvnje diferencijlnih jednčin pomoću redov. Specijlne funkcije. Ortogonlne funkcije 1.1 Neke druge specijlne funkcije Skoro bez izuzetk, njčešće korišćene specijlne funkcije su trigonometrijske

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nstvni mterijli nmijenjeni su studentim u svrhu lkšeg prćenj i boljeg rzumijevnj predvnj iz kolegij mtemtik. Ovi mterijli čine suštinu nstvnog grdiv p, uz obveznu literturu, mogu poslužiti studentim

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

U n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE

U n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE U n i v e r z i t e t u B e o g r d u Mtemtički fkultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE M s t e r r d Mentor: dr Jelen Jocković Student: Jelen R. Suzić B e o g r d, 2015 S d r ž j Predgovor 1 1 Integrlni

Διαβάστε περισσότερα

0 = x 0 < x 1 <... < x n = 1, x k = k n, x = 1 0 n. f(x k ) x =

0 = x 0 < x 1 <... < x n = 1, x k = k n, x = 1 0 n. f(x k ) x = Chpter Odredjen ntegrl Problem Nek je zdn funkcje f : [,b] R, f(x). Kko odredt površnu omedjenu grfom funkcje f(x) x-os? Površn prvokutnk: S = b Površn trokut: S = 1 v Kko defnrt površnu lk čje su strnce

Διαβάστε περισσότερα

4 Izvodi i diferencijali

4 Izvodi i diferencijali 4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Mera, integral i izvod

Mera, integral i izvod Mer, integrl i izvod Drgn S. Dor dević 3.1.2014. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Uvod 7 1.1 Osnovni pojmovi......................... 7 1.2 Topološki prostori......................... 8 1.3 Metrički prostori.........................

Διαβάστε περισσότερα

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji. Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine.

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine. KONSRUKIVNI ZI (ROUGO) Rešvje kotruktivih zdtk je jed od jtežih olti koj v ček ove godie. Zhtev doro predzje, pozvje odgovrjuće teorije. Zto vm mi preporučujemo d e jpre podetite teorije veze z trougo

Διαβάστε περισσότερα

Ako je f neprekinuta funkcija, definirana na intervalu [a,b], tad postoji barem jedna točka ξ [a,b] za koju je

Ako je f neprekinuta funkcija, definirana na intervalu [a,b], tad postoji barem jedna točka ξ [a,b] za koju je Jednostvno, ili ne? Trpezn formul Neven Elezović, Zgreb Problem površine Teorem srednje vrijednosti Površin ispod grf pozitivne funkcije f jednk je odredenom - integrlu te funkcije, rčun se obično Newton-Leibnitzovom

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNE JEDNAČINE. za koji važi: a x b

LINEARNE JEDNAČINE. za koji važi: a x b LINERNE JEDNČINE Pod linernom jednčinom po x podrzumevmo svku jednčinu s nepozntom x koj se ekvivlentnim trnsformijm svodi n jednčinu olik: gde su i dti relni rojevi. x Rešenje ove jednčine je svki reln

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Matematički osnovi Z transformacije

Matematički osnovi Z transformacije Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno

Διαβάστε περισσότερα

Savijanje elastične linije

Savijanje elastične linije //00 Svijnje estične inije Anitičk metod odreďivnj estične inije Irčunvnje ugi i ngi u pomoć tic Prv jednčin svijnj Normni npon u nekoj tčki poprečnog presek s M moment spreg s M I x I x ksijni moment

Διαβάστε περισσότερα

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata] Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

d(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ]

d(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ] -- 71 -- 7.2. KOORDINATNI SISTEM-KOORDINATIZACIJA Podsjetimo se pojmov dimenzij i bz prostor: ''Njveći'' broj linerno nezvisnih vektor u nekom vektorskom prostoru zovemo dimenzijom tog prostor. Ako je

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa, Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište

Διαβάστε περισσότερα

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi: tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene

Διαβάστε περισσότερα

Rešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.

Rešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006. šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα