MATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija
|
|
- Ήρα Ρόκας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MATEMATIKA seminri studij: Prehrmben tehnologij i Biotehnologij
2 Sdržj Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod Odredeni (Riemnnov) integrl. Problem površine Osnovn svojstv odredenog integrl Pojm primitivne funkcije i neodredenog integrl. Neposredno integrirnje.. Osnovni pojmovi, definicije i primjeri Osnovn svojstv neodredenog integrl. Neposredn integrcij. Metod supstitucije Metod prcijlne integrcije Integrirnje nekih kls funkcij Integrirnje rcionlnih funkcij Integrirnje trigonometrijskih izrz Integrirnje korijenskih izrz Newton-Leibnizov formul i njezin primjen 8. Integrlni teorem srednje vrijednosti Newton-Leibnizov formul Supstitucij u odredenom integrlu Prcijln integrcij u odredenom integrlu Primjen odredenog integrl 5. Kvdrtur (površin rvninskih likov) Rektifikcij (duljin luk krivulje) Kubtur (volumen tijel) Kubtur rotcijskih tijel
3 I Integrlni rčun Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod Rzmotrimo odmh n početku pitnje čemu služi integrl i gdje se upotrebljv:. Mjerni problemi ko što su: izrčunvnje površine, duljine luk (opseg), volumen, oplošj. Primjeri iz fizike: s(t) d dt v(t) d dt (t)??. Rješvnje diferencijlnih jedndžbi: Znmo iz f izrčunti f, sd je pitnje kko iz f doći do f, tj. potrebno je odrediti y() koji zdovoljv y () = f().. Odredeni(Riemnnov )integrl. Problem površine. U osnovnoj i srednjoj školi nučili smo kko izrčunti površinu prvokutnik, trokut, kružnice itd. Sd se postvlj pitnje kko odrediti površinu likov koji nisu tko prvilni ko npr. ovj: Kko bi rzvili svoju intuiciju i rzmišljnje promotrimo već poznte primjere n nčin koji će nm biti koristn pri rzmišljnju o površini likov ko n prethodnoj slici. Georg Friedrich Bernhrd Riemnn(86-866), slvni njemčki mtemtičr
4 y b. Površin: [,b], f() = C y C b Od prije nm je već poznto d je površin ovog lik P = C(b ). Rd: s [s,s ], F(s) = F F F W s s s Znmo d je rd jednk umnošku sile i put tj. W = F (s s )
5 . Put koji smo prešli u vremenskom periodu t t brzinom v jednk je s = v (t t ) v v s t t t Pretpostvimo d immo ogrničenu nenegtivnu funkciju f : [, b] R te pogledjmo skup Ω = {(,y) : b, y f()}. Skup Ω zovemo još i krivocrtni trpez ili pseudotrpez. Želimo tom skupu Ω izrčunti površinu. Idej: Metod iscrpljivnj Podijelit ćemo zdni intervl [, b] n mnje intervle. Tu podijelu intervl [, b] nzivmo subdivizijom i oznčiti ćemo ju s D. Dkle, immo sljedeće: D... = < <... < i < i <... < n = b Nkon podijele intervl [,b] n mnje intervle [ i, i ],i =,...,n, iz svkog od podintervl izberemo medutočke i [ i, i ]. Sd pomoću izbrnih podintervl i medutočk definirmo intergrlnu ili Riemnnovu sumu koju ćemo oznčiti s S(D) n sljedeći nčin: n S(D) = f( i )( i i ) i= Sljedeć slik ilustrir što smo nprvili n rzini smo jednog podintervl subdivizije D. Prije prve definicije potrebno je uvesti pojm očice subdivizije koju ćemo oznčvti s m(d) i definirti n sljedeći nčin: m(d) = m{ i i : i =,...,n} 5
6 y i i i b Intuitivno, očic subdivizije je širin njvećeg podintervl u izbrnoj subdiviziji D. Definicij Kžemo d je funkcij f : [,b] R integrbiln ko postoji lim S(D) = lim m(d) m(d) n f( i )( i i ) i= Nvedeni limes (ko postoji!) oznčvmo s: b f() = lim S(D) m(d) i nzivmo odredeni integrl funkcije f n intervlu [, b]. Funkciju f zovemo podintegrlnom funkcijom, f() podintegrlnim izrzom, intervl [, b] područjem integrcije. Primjer ) Odredite približnuvrijednost koristećiekvidistntnu subdiviziju z n =. Z medutočke koristite polovišt intervl subdivizije. b) Odredite donju i gornju ogrdu (ocjenu) z koristeći subdiviziju pod ) 6
7 y ) Ekvidistntn subdivizij znči d će svi podintervli biti jednko dugčki i to uprvo duljine h = = p vrijedi i = + i h. Stog će subdivizij izgledti: D... = < = < = < = < = Medutočke su sredine podintervl p immo: Sd immo: S(D) = b) Ocjen odozdo (donj ogrd): = 8, = 8, = 5 8, = 7 8 ( ) 8 = 8 = 8 6 Z ocjenu odozdo mormo n svkom podintervlu pronći minimum funkcije f (koji sigurno postoji jer je f neprekidn funkcij, podintervli su segmenti). S obzirom d je zdn podintegrln funkcij f() = n cijelom području integrcije [,] rstuć funkcij, slijedi d se minimum postiže uvijek u lijevom rubu intervl tj. n intervlu [ i, i ] minimum se postiže u i i iznosi f( i ) = i. Slijedi: S(D) = ( ) = 6 6 7
8 Ocjen odozgo (gornj ogrd): Anlogno ko z ocjenu odozdo, ovdje mormo pronći mksimum funkcije f n svim podintervlim. Mksimum opet sigurno u ovom slučju postoji i n intervlu [ i, i ] postiže se u i i iznosi f( i ) = i. Slijedi: S(D) = ( ) 6 + = 6 Primjer ) Odredite približnu vrijednost koristeći ekvidistntnu subdiviziju z n = 6. Z medutočke koristite polovišt intervl subdivizije. b) Odredite donju i gornju ogrdu (ocjenu) ) y koristeći subdiviziju pod ) Anlogno ko u Primjeru. duljin svkog od podintervl će biti h = 6 = p je subdivizij: D... = < = < = 5 < = < = 7 < 5 = 8 < 6 = 8
9 Medutočke: Slijedi: = 7 6, = 9 6, = 6, = 6, 5 = 5 6, 6 = 7 6 S(D) = ( ) = =.958 b) Anlogno ko u Primjeru. potrebno je iskoristiti znnje d funkcij f() = čittelju. pd n svojoj prirodnoj domeni. Detlje prepuštmo Primjeri rčunnj odredenih integrl po definiciji Primjer b c = lim S(D) = lim m(d) m(d) n c( i i ) = = lim c(( )+( )+...+( n n )) = c(b ) m(d) Primjer b =?, medutočke su polovišt podintervl, tj. i = i + i b = lim m(d) n i= i= i + i ( i i ) = lim m(d) n i= ( i i ) = b Primjer 5 b e =?, uzimmo ekvidistntnu subdiviziju s n točk, dkle, h = b n, i = +ih b e = lim n n i= e +ih (+ih (+(i )h)) = lim n n he +ih = i= = e lim n h n i= ( ) e h i = e b lim eb n n n e (b ) e b n = {čittelju ostvljmo d izrčun sljedeće limese: lim n e b b n n =,lim n e b n = } = e b e b = (e e b ) lim e b n n n e b n = 9
10 Primjer 6 =?, gdje je >. Uzimmo geometrijsku subdiviziju gdje je i = q i = (n) i = i n = i = lim S(D) = lim m(d) n = lim n (n n n ) = lim n i= n n i n ( i n i n ) = lim n n n ( n ) = i= = {L n ln n H} = lim = ln n Primjer 7 α =?, gdje je >. Ponovno ko i u (d) uzimmo geometrijsku subdiviziju z q = n, i = q i = i α = lim n n i= n = lim ( n ) n i= = ( α+ n ) lim n α i n ( i n i n ) = lim n n n (α+) i n ( n ) = i= ( α+ n ) i = lim ( α+ n ) n n α+ n ( α+ n ) n α+ n = {L H} = α+ (α+) = α+ α+. Osnovn svojstv odredenog integrl. b (λf()+µg()) = λ b f()+µ b g() (ditivnost i homogenost integrl). b f() = c f() + b f(), c (,b) (ditivnost po području c integrcije). f() = ; b f() = b f(). f() g(), [,b] b f() b g() 5. f() >, [,b] b f() > Koristeći nveden svojstv sd možemo po definiciji izvesti odredeni integrl b b gdje je < < < b : = + b = b + = lnb ln =
11 Isto tko z < < < b možemo izvesti odredeni integrl b α = α + b Primjer 8 Nek je f() = b α = α + α = bα+ α+ α+ : [,5] : / [,5] F( ),F(),F(),F(),F(),Γ(f),Γ(F). F( ) = F() = F() = F() = f(t)dt = f(t)dt = f(t)dt = f(t)dt = dt = dt = f(t)dt+ dt+ 5 f(t)dt = dt+ Sd ćemo odrediti F() z općeniti : < : F() = f(t)dt = dt = te F() = f(t)dt. Odredite 5 dt+ dt = +( ) = dt = +(5 )+ = 5 : F() = f(t)dt = f(t)dt+ f(t)dt = dt+ dt = > 5 : F() = f(t)dt = dt+ 5 dt+ dt = +(5 )+ = 5 Pogledjmo kko izgled grf funkcije f i funkcije F: y y f F : [,] Primjer 9 Nek je f() = : / [,] F( ),F(),F(),F(),F(),Γ(f),Γ(F). te F() = f(t)dt. Odredite
12 F( ) = F() = F() = F() = f(t)dt = f(t)dt = f(t)dt = f(t)dt = tdt+ tdt = = tdt+ dt = + = dt = + = Sd ćemo odrediti F() z općeniti : : F() = f(t)dt = tdt+ dt = < : F() = f(t)dt = tdt = > : F() = f(t)dt = tdt+ dt = Pripdni grfovi funkcij f i F su: y f 5 y F 5
13 Pojm primitivne funkcije i neodredenog integrl. Neposredno integrirnje.. Osnovni pojmovi, definicije i primjeri Definicij Z funkciju F :,b R kžemo d je primitivn funkcij (ntiderivcij) funkcije f :,b R ko je F () = f() z svki,b. Primjer () f() = = F () =,F () = + ln,f () = +6,... (b) f() = = F () =,F () = +,... (c) f() = = F () = ln,... (d) f() = e = F () = e,... (e) f() = sin = F () = cos,... Primjer () Nek je f() =. Provjerite d suf () =, F () = +, F () = + π primitivne funkcije funkcije f. (b) Nek je f() =. Pokžite d je funkcij F() = ln(c ) primitivn funkcij funkcije f z svki C >. ( ) (c) Pokžite d je funkcij F() = rctg tg primitivn funkcij funkcije f() = z π +kπ, k Z. +cos Problem jedinstvenosti primitivne funkcije Teorem Nek su F,G :,b R primitivne funkcije funkcije f : [,b] R. Td postoji C R tko d je G() = F()+C.
14 Dokz: Definirmo funkciju H() = G() F() d = H () = G () F () =,,b. Iz Lgrngeovog teorem srednje vrijednosti slijedi d je H() = C z neki C R i z svki,b tj. G() = F()+C,,b Definicij Skup svih primitivnih funkcij funkcije f zovemo neodredenim integrlom i oznčvmo s: f() = F()+C, pri čemu je F bilo koj primitivn funkcij funkcije f. Kžemo d je f() podintegrln funkcij, f() podintegrlni izrz, vrijbl integrcije i C konstnt integrcije. Primjer () = +C,C R (b) + = ln + +C, R (c) = ln +C,C R. Osnovn svojstv neodredenog integrl. Neposredn integrcij Osnovn svojstv neodredenog integrl su:. d f() = f() ( f() ) = f() pr. d ln = ln.. df() = F()+C F () = F()+C pr. d(sin) = sin+c. kf() = k f(), k R pr. = = ln +C
15 . (f ()+f ()) = f ()+ f () pr. ( + ) = + = + ln +C 5. f(φ())φ () = F(φ())+C () pri čemu je F () = f(). Metod neposredne integrcije sstoji se u tome d korištenjem gornjih osnovnih svojstv neodredenog integrl neke neodredene integrle svedemo n tblične. Tblični integrli:. = +C α = α+ +C, α α+ = ln +C + = rctg +C, = rcsin +C, ( + = ln + + )+C, = ln + +C, = ln +C sin = cos+c cos = sin+c 5
16 .. cos = tg+c sin = ctg+c Zdtk Odredite neodredene integrle ) 6 b) c) sin(). Derivirnjem desne strne jednkosti lko se provjeri d je ) 6 = 7 7 +C. b) = +C. c) sin() = cos()+c. Zdtk Odredite neodredene integrle ) e b) e 5+ c) + d) 7. ) b) c) d) e = e d() = e +C e 5+ = e 5+ d(5+) = 5 5 e5+ +C + = d(+) = ln + +C + 7 = 7 7 d(7 ) = 7 ln 7 +C Zdtk ( ) = Zdtk +5 = + t = +5 dt = ( ) Je li potrebn psolutn vrijednost? Zdtk 5 cos (+sin) = t = +sin dt = cos = = = + +C. dt t = ln t +C = ln +5 +C. dt t = t +C = (+sin) +C. 6
17 Zdtk 6 (DZ) cos sin cos = Zdtk 7 + = + = + Zdtk 8 5+ = 5 = 5 ( ) = cos sin cos sin sin cos sin cos = ctg tg+c. ( ) d 5 ( + + = rctg+c. 5 ) = 5 rctg 5 +C. Zdtk 9 (DZ) + 6 = t = dt = = dt (+t ) = rctgt+c = rctg( )+C. Zdtk 5 = = Zdtk t = + + = dt = Zdtk = ( 5 ) d( ) = 5 t 5 t dt = ln5 +C = = rcsin+ rcsin = + rcsindrcsin t = dt = 5 ln5 +C. t dt = t t+c = (+ ) + +C. ( ) d( ) = rcsin +C. 7
18 Zdtk sin = = sin cos = tg cos ( d lntg ) = lntg +C. = d(tg ) tg Zdtk (DZ) Anlognim trnsformcijm ko u prethodnom zdtku odredite ) cos b) +sin c) +cos. 8
19 . Metod supstitucije Korištenjem formule z derivciju kompozicije funkcij i formule z derivciju inverzne funkcije dobije se: = ϕ(t) f() = = ϕ (t)dt = f(ϕ(t))ϕ (t) dt. Ili preciznije: Ako je F(t) primitivn funkcij funkcije f(ϕ(t))ϕ (t), ond je F(ϕ ())primitivnfunkcijfunkcijef(),odnosno f() = F(ϕ ())+ C pri čemu je F (t) = f(ϕ(t))ϕ (t). Npomen: Usporedi formulu u metodi supstitucije s (5) u osnovnim svojstvim neodredenog integrl. Zdtk 5 Riješite + supstitucijom ) = t ) b) = + = = t = t dt = = ln (t+ ( ) +t +C = ln + + = dt sint = ( ) d tg t tg t t = tgt t = rctg = dt cos t tg t = ln b) = tgt. dt t + = t + ) = +C = ln tg rctg +C. dt +t dt cos t tgt +tg t +C. Usporedite oblike primitivnih funkcij u prethodnom zdtku pod ) i b). S obzirom n Teorem n str. 9. što zključujete? Zdtk 6 Riješite korištenjem trig. supstitucije oblik = sint ) b) (DZ) 5. 9
20 ) = = = sint t = rcsin = costdt = cos t dt = (+cost)dt = t+ sint+c sin t cost dt = t+sint sin t+c = rcsin + +C = rcsin + +C. 5 = 5sint t = rcsin b) = 5 = 5costdt = 5 5sin t 5cost dt +cost = 5 cos t dt = 5 dt = 5 (t+ ) sint +C = 5 (t+sint sin t)+c = (rcsin ) 5 +C. 5. Metod prcijlne integrcije Integrirjući formulu z derivirnje produkt funkcij dobije se formul prcijlne integrcije izržen u sljedećem teoremu. Teorem Nek su f i g neprekidno derivbilne n,b. Td vrijedi sljedeć jednkost neodredenih integrl f()g () = f()g() g()f (). Pokrt: U primjeni formul prcijlne integrcije se njčešće zpisuje u diferencijlnom obliku: udv = uv vdu.
21 OBLICI: e Pn () sinα cosβ. Zdtk 7 Odredite ) sin(π) b) e. b) = ) u = du = sin(π) = dv = sin(π) v = cos(π) π = π cos(π)+ cos(π) = π π cos(π)+ π sin(π)+c. u = du = e = dv = e v = e = e + e u = du = dv = e v = e = e + = e 9 e 7 e +C = e [ e + [ + + ] +C. 9 ] e Zdtk 8 (DZ)Odredite +5 e (... = (8 +5)e +C ). OBLICI: ln() Pn () rcsin(α) rctg(β). Zdtk 9 Odredite ) ln b) rcsin.
22 u = ln() du = ) ln() = dv = v = = ln() u = rcsin du = b) rcsin = dv = v = = rcsin = rcsin+ ( ) d( ) = rcsin+ +C. = ln() +C. CIKLIČKA PARCIJALNA INTEGRACIJA Zdtk Koristeći cikličku integrciju odredite ) b) + c).
23 ) I = = = = u = dv = du = v = d( ) = ( ) / = ln + I = ln + +C I = ln + +C = b) I = = + = u = du = v = + + = dv = + d( +) + = = + + +ln(+ +) I = ++ln(+ +)+C I = ++ ln(+ +)+C c) I = = = u = = dv = du = v = = rcsin d( ) = ) ( + + I = rcsin+ +C I = + rcsin+c NAPOMENA: zdtk pod c) njbolje je riješiti metodom iz Zdtk 6 Zdtk (DZ) Odredite ) e sin b) +.
24 ) I = u = sin du = cos e sin = dv = e v = e = e sin u = cos du = sin = dv = e v = e = e sin = e [sin cos] I. [ e cos+ e cos ] e sin Dobije se I = e (sin cos) I, što dje I = e (sin cos)+c. b) I = = + = + = + + = + u = du = dv = + v = + + +, dobije se I = + ln(+ + ) I, što dje I = ( + ln(+ + ))+C.
25 .5 Integrirnje nekih kls funkcij.5. Integrirnje rcionlnih funkcij U ovom poglvlju ćemo rzmotriti integrirnje funkcij oblik f() = P n() Q m () gdje su P n () i Q m () polinomi stupnj n i m respektivno. Ako je n < m, ond f zovemo prvom rcionlnom funkcijom. Postupk integrirnj:. Svodenje rcionlnih funkcij n zbroj polinom i prve rcionlne funkcije (dijeljenje). Rstv prve rcionlne funkcije n zbroj prcijlnih rzlomk oblik A ( ) i B+C gdje je p q <. (vidi postupk u zdcim) k ( +p+q) l. Integrirnje prcijlnih rzlomk Zdtk Odredite: ) + b) (+) 5 ) + = ln + +C, C R b) (+) = 5 (+) +C, C R Zdtk Odredite: ) ) +6+ = b) ( +6+) = rctg t I I = t (t +) dt = t t (t +) dt = b) +6+ ( +6+) (+) + = + rctg +C,, C R ((+) +) = dt (t +) = u = t du = dt dv = tdt (t +) v = t + 5 t + t (t +) dt = =
26 t + rctg t +C t + Sd slijedi ( +6+) = 8 rctg t C [ t t + + rctg t Zdtk Odredite: ) +, b), c) ( ) + ( )+ ) = = b) = + = c) Dijeljenje polinom: ( + ] +C = + rctg 6 + = +ln +C. (++ ) = ++ln +C. ( ) ) + = Rstv n prcijlne rzlomke: ( ) = + ( ). (++ + = + ) ( ) = ++ln ( ) +C. Zdtk 5 Odredite: ) (+)( )( ) b) (+)( ) 6
27 c) (+)( ) ( ) ) ( (+)( )( ) = ) = = 5 ln + 6 ln + ln +C. b) Rstv n prcijlne rzlomke: (+)( ) = A + + B + C ( ) / (+)( ) = A( ) +B(+)( )+C(+) ( ) I. nčin: uvrštvnje rznih vrijednosti z u ( ) = = = 9A = A = 9 = = = C = C = = = = A B +C = B = 9 II. nčin: izjednčvnje koeficijent polinom s lijeve i desne strne od ( ) = (A+B)+( A B +C)+A B +C. Rješvnje sustv = A + B = A B + C = A B + C dje A =, B = 9 i C =. Končno, 9 ( (+)( ) = ) 9 + ( ) = 9 ln + 9 ln ( ) +C. 7
28 Zdtk 6 Odredite: ) + ++ b) + + c) + ( ++) d) + ( + ) ) = + ++ = t dt 5 + (+ ) + = d(t + ) dt t + t + = ln t + 5 rctg = t + t = + dt = = 5 rctg / (t )+ t + dt t / t +C = / ln( ++) 5 rctg + +C. b) c) I = + + = + ( ++) = I = + ( (+5)( ) = 7(+5) + 8 ) 7( ) = 7 ln ln +C. (+ ) 5 ( ) (+ ) + = t = (t + dt 5 ) (t + } {{ } I t (t + dt = d(t + ) ) (t + = ) t = + dt = ) dt } {{ } I t + (t + dt = [ (t + t ) ) (t + dt = dt ) t + = ( ) ] t dt (t + }{{ ) } I 8
29 I = Sd slijedi, I = t u = t du = dt t (t + dt = ) t dv = dt v = (vidi I (t + ) = ) = t t + + t + dt [ dt t + I ] [ = = t t + + ] dt t + t t + + rctg / t / t + ( ) = I 5 I = (t + ) 5t (t + ) rctg t +C / 5 5 = ( ++) + rctg +C. d) Rstv n prcijlne rzlomke: + ( ) (+5) = A +5 + B (+5) + C + D ( ) A = 5, B = 9, C = 5, D = ( + ) = 5 ln (+5) + 5 ln 8 9( ) +C. Zdtk 7 (DZ) Odredite: ) + ++ b) + ( ++) 9
30 Zdtk 8 (DZ) Odredite rstve n prcijlne rzlomke z: ) f() = ( )( ++) b) f() = ( ) ( ++) c) f() = ( )( ++) b) ( ) ( ++) = A + B ( ) + C+D ++ c) A =, B =, C =, D =. ( )( ++) = A + B+C ++ + D+E ( ++) A = 9, B = 9, C = 9, D =, E =..5. Integrirnje trigonometrijskih izrz Zdtk 9 Odredite: ) ) 5+sin+cos = = dt +t 5+ t +t + t +t = 5+sin+cos b) sin 5+cos t = tg = rctg t+ /9 = rctgt = dt sin = t cos = t +t +t +t dt d(t+ ) t + t+ 7 = (t+ ) + 9 +C = rctg tg + / C. b) sin 5+cos = t = cos dt = sin = 5+t dt = ln 5+t +C = ln(5+cos)+c.
31 Zdtk Odredite: ) ) 5sin +sincos+cos = t = tg = dt = cos = b) tg n c) ctg n 5sin +sincos+cos (5tg +tg+) cos d(t+ ) 5t +t+ dt = 5 (t+ ) + 9 = t+ rctg +C = rctg tg+ +C. 5 9/ 9/ 9 9 b) Z n = : t = dt = t cos tg t = cos = sin = cos dt = sin dt t dt+ t = t +ln t +C = cos +ln cos +C. Zdtk Odredite: ) cos b) sin c) cos d) cos sin ( cos() ) b) sin ( cos()+cos = = () ) = +cos() sin()+ = 8 sin()+ sin()+c. d) cos sin = = cos ( cos ) t = cos sin = dt = sin t ( t )dt = 5 t5 + 7 t7 +C = 5 cos5 + 7 cos7 +C. Zdtk Odredite: ) sin()cos(5) b) cos()cos(5) c) sin()sin(5)
32 ( ) ) sin()cos(5) = sin(+5)+sin( 5) = (sin(7) sin() ) = cos(7)+ 6 cos()+c. Zdtk (DZ) Odredite: cos +5sin Zdtk (DZ) Odredite: sin 5 cos.5. Integrirnje korijenskih izrz + Zdtk 5 Odredite: ) b) b) ++ + = + = t 6 = t 5 dt t +t = 6 t t+ dt = 6t 5 dt ( = 6 t t+ ) dt = t t +6t ln t+ +C t+ = ln C. Zdtk 6 Odredite: + = t 6 (t = + = 6t 5 dt = 6 )t 5 dt = t + ( = 6 t 6 t t +t + t+ ) dt = = 6 t ln + +6rctg( )+C.
33 Zdtk 7 Odredite: + + = +t = t t t ( t ) = Rstv n prcijlne rzlomke: t = + = + = t = +t t = t dt ( t ) t +t ( t ) dt = t +t ( t) (+t) dt = ( ) t +t ( t) (+t) = 8 t + 8 ( t) + ( t) + 8 +t + 8 (+t) + (+t) [ ( ) = 8 ln t 8 t ( t) + 8 ln +t + 8+t ] (+t) = ln + ( ) + ln ( ) + Binomni integrli - integrli oblik rcionlni brojevi. Zdtk 8 Odredite: (+ ) m (+b n ) p gdje su m,n i p
34 = = (+ ) = t(+t) dt = = + + t = = t = t dt u = +t t = u dt = udu = t (+t) t dt = u u udu ( u )du = u+ u +C = +t+ +t +C + +C Zdtk 9 Odredite: (+ ) 5 t = dt = = (+ ) 5 (+ ) 5 = = t = = ( ) 5 t (+t) 5 dt = t t 5 (+t) 5 +t dt = t dt = t u = +t u du = dt t t u = t = = u du = u du = u = u 8 u = +t ( ) +t + = ( ) t 8 t 8 + Zdtk Promotrite: ) b) + c) + + Integrli pod ) i c) su eliptički integrli, pod b) je krvv ruž. Zdtk Odredite: ) +5 b)
35 ) b) d( +5 = +5) = +5+5 ( ) + = ( +5+5ln + ) +5 +C d( = ) ( ) = 5 (+ ) = rcsin + 5 +C Zdtk Odredite: ) 5 b) ) = 5 = t d( t t ) ( ) t t 5 t = {t = +} = t+8 dt (+) t +8 dt t = prcijln integrcij n prvom integrlu = t t t + dt+ t +8rcsin t = t t +rcsin t +t t + t +8rcsin t = (+) (+) +rcsin + +t (+) + (+) +8rcsin + 5
36 Čittelju ostvljmo z riješiti t dt. Zdtk Odredite: ) + b) ( ) ++ ) = + = dt +t t t = = +t t = t = = t dt = + rcsin +C = dt + t t t d(+t t dt = ) ( )+ 8 dt +t t +t t dt = +t t t rcsin +C (t ) Zdtk Odredite: ) b) c) ++ ) Rcionlizcijom svodimo n integrl oblik ko u zdtku. = = = = ( ) ( ) t = = t+ dt = = t t dt = t t t dt dt t u = t du = dt t v = d(t ) t = t = t t dt ln t+ t 6
37 t Ako oznčimo s I = dt = ond immo I = t t lnt+ t I = t t lnt+ t +C I = ( ) ln + +C b) 5 (+) 5 t = = {t = +} = dt =... c) = (+) t ++ = + = {t = +} = +dt t + t + dt = t t t + dt+ dt t + =... = = (+) +++ (++ ln ) ++ +C Zdtk 5 Odredite: ) (+ ) b) ( ) + c) (+ ) 7
38 Newton-Leibnizov formul i njezin primjen. Integrlni teorem srednje vrijednosti Nek je f : [,b] R integrbiln funkcij i nek je m f() M z svki [,b]. Td immo: b b b b m f() M = m f() M b m(b ) f() M(b ) m b f() M b Broj µ = b f() b nzivmo prosječn vrijednost (ili ritmetičk sredin) funkcije f n [,b]. Ako je f neprekidn n [,b], ond postoji c [,b] tko d je f(c) = µ = b b f() f(c)(b ) = f() b y M Μ m bf f c b c c b 8
39 Primjer Koristeći teorem srednje vrijednosti ocjenite integrle: () (b) (c) e () S obzirom d je podintegrln fukncij f() = pdjuć, minimum + se postiže u desnom rubu intervl tj. m = f() =, mksimum u 6 lijevom rubu tj. M = f() =. Slijedi: 6 + y y 6 (b) Tržimo minimum i mksimum podintegrlne funkcije f() = + +. S obzirom d je f () = (+) > slijedi d je f rstuć iz čeg zključujemo d se minimum postiže u lijevom rubu, mksimum u desnom tj. m = f() =, M = f() = 7. Slijedi: + + 9
40 y 6 y 5 5 (c) Tržimo minimum i mksimum podintegrlne funkcije f() = e. S obzirom d je f () = ( )e slijedi d je stcionrn točk =. Usporedujemo vrijednost funkcije n rubovim i u stcionrnoj točki kko bi nsli minimum i mksimum: ( ) f() =, f = e, f() = e m = e, M = e Dkle, immo: e e e y.. y e Primjer Odredite prosječnu vrijednost µ funkcije f n [, b] te odredite c [,b] tko d je f(c) = µ. Ncrtjte pripdne grfove. () f() = n [,]
41 (b) f() = n [,] (c) f() = n [,] (d) f() = e n [,] (e) f() = n [,] (f) f() = n [,] () Koristimo relciju b α = bα+ α+ i definiciju prosječne vrijednosti α+ µ = b f() b µ = = Sd tržimo c [,] tkv d je f(c) = µ =. Slijedi c = c = y 9 y Μ
42 (b) µ = = =.987 Tržimo c [,] tkv d je f(c) = µ c =.987 c =.956 y Μ y c 8 9 (c) µ = = ln, c = =.88 ln y Μ ln c ln y (d) µ = e = e, c = lnµ =.6 y e y e Μ e c ln e
43 (e) µ = = c = y y ( (f) µ = ( ) = ) = Preostje još odrediti c [,] tkv d je f(c) = µ c c = c, = ± 6 c = + 6 =.676 y y Μ c 7
44 . Newton-Leibnizov formul y = f() + b P() = f(t)dt, [,b] Teorem Nek je f : [,b] R neprekidn funkcij. Td je P() = f(t)dt primitivn funkcij funkcije f tj. P () = f(). Ako je F bilo koj primitivn funkcij funkcije f, ond vrijedi Dokz: b P P(+ ) P() () = lim f() = F(b) F() ozn. = F() = lim + b f(t)dt f(t)dt = = lim f(t)dt+ + f(t)dt f(t)dt = lim Sd koristimo integrlni teorem srednje vrijednosti: b f() = f(+γ (b ))(b ) z γ,. + f(t)dt = f(+γ ) = lim = f(), Iz tog d su P() i F() dvije primitivne funkcije i po teoremu o vezi izmedu primitivnih funkcij (Teorem., str.9.) postoji C R t.d. je P() = F()+C tj. f(t)dt = F()+C. Uvrštvnjem d je = slijedi = f(t)dt = F()+C p smo dobili d
45 je konstnt C = F(). Sd immo f(t)dt = F() F() p specijlno z = b dobijemo b f(t)dt = F(b) F(). Iz prethodnog teorem znmo ( f(t)dt) = f(), tj. funkcij F() = f(t)dt je primitivn funkcij funkcije f. Anlogno, ( ϕ() d ϕ() F(ϕ()) = f(t)dt = f(t)dt) = (F(ϕ())) = f(ϕ()) ϕ (). Isto tko, G() = d f(t)dt = G () = f() te ( d G(ψ()) = f(t)dt = f(t)dt) = f(ψ()) ψ (). ψ() ψ() Sd iz prethodn dv izvod zključujemo: H() = ϕ() ψ() f(t)dt = ψ() f(t)dt+ ϕ() f(t)dt d = ( ϕ() f(t)dt) = f(ϕ()) ϕ () f(ψ()) ψ () ψ() Primjer 5 Pokžite d je F() = rctg tg primitivn funkcij funkcije f() = +cos te izrčunjte π +cos F () = + tg cos = cos +sin = +cos Sd kd znmo kko izgled primitivn funkcij možemo lgno izrčunti zdni integrl: π = F() +cos π = Primijetimo d je f() = +cos >, R, ipk smo dobili ko rezultt u prethodnom integrlu nul. Rzlog tome je što se unutr područj integrcije nlzi točk koj nije u domeni funkcije F. Točnije, D(F) = R\{ π +kπ : k Z}, π [,π]. 5
46 Primjer 6 Pokžite d je F() = rctg + primitivn funkcij funkcije f() = ++ () ++ (b) f () (c) F () te izrčunjte: (d) ( f(t)dt) ( ) (e) d f() ( ) (f) d t f() ( (g) d f(t)dt) z =. F () = + (+) () = F() ++ (b) f () = f() (c) = +(+) = ++ = rctg rctg = 6 = 6 F () = f () = 6 (d) ( f(t)dt) ++ = F () F () = 6 ( ) = F(t) = (F() F()) = F () = f() = ( d ) (e) f() = d (F() F()) = 6
47 ( d ) t (f) f() = d (F(t) F()) = ( d (g) f(t)dt) = d (F() F()) = f() p z = immo f() =. Primjer 7 Izrčunjte: () (b) b α, α,,b > () = = Usporedite dobiveni rezultt s proksimcijom u Primjeru n str. 7. (b) b b α = α+ α+ = bα+ α+ α+ Primjer 8 () Izrčunjte: π sin (b) Izrčunjte površinu lik odredenog s y = sin, y =, =, = π () π sin = cos π = + = (b) Površinu dnog lik dobiti ćemo integrirjući funkciju sin u grnicm od do π tj. π π π ( π sin = sin sin = cos cos π Primjer 9 Izrčunjte: () (b) 7 π π ) =
48 () = (b) = = + = = = Primijetimo d smo dobili rezultt koji nem smisl jer znmo d je f() = > p bi i integrl te funkcije n [,] trebo biti veći od nule. Rzlog zbog kojeg smo dobili psurdn rezultt je tj što se unutr područj integrcije nlzi točk koj nije u domeni podintegrlne funkcije. Nime, D(f) = R\{}, [,]. Primjer Izrčunjte π π (5 +)cos π π (5 +)cos = π π 5 cos + π π cos = U prvom integrlu immo neprnu podintegrlnu funkciju 5 cos koju integrirmo n području simetričnom oko nule p znmo d je tj integrl jednk nuli. U drugom integrlu immo prnu podintegrlnu funkciju cos (dkle, simetričnu s obzirom n y-os) koju integrirmo n području simetričnom oko nule p je dovoljno izrčunti integrl smo z pol tog područj i rezultt pomnožiti s dv. = + π cos = π (+cos) = π Zdtk 6 ( ) ( ) = = ( ) ( ) = Zdtk 7 + = rctg = rctg rctg( ) = π ( π ) = π 8
49 Zdtk 8 π/ sin = cos π/ π/ π/ = cos π +cos π = + = Zdtk (+) / + = + d(+) = Zdtk 5 ++ = = rctg + Zdtk = = 5ln + (+) + = 5 = ( ) = (6 5 5) ( + ) + = d( + ) ( + ) + = ( rctg rctg ) = ( rctg π ) 6 (+) 5 + = 5 + = ( ( )) 5(ln5 ln) = 8 5ln5 Zdtk 5 π π cos = sin = = π sin = π cos = Zdtk 5 Nek je F() = Zdtk 5 Nek je F() = D(F) z koje je F() > i F() < d) F () Zdtk 55 Izrčunjte: ( ) d + dt ) t+5 π sin dt t+. Odredite: ) F() b) F() c) F () +t dt. Odredite: ) D(F) b) N(f) c) 9
50 b) c) d) e) f) ( d sint t ( d ) dt cos(t)dt ( d ) sin ( d d ( t ) ) ( +t)dt ) sin Zdtk 56 Izrčunjte: lim +t dt. Zdtk 57 Odredite stcionrne točke funkcije F() = Zdtk 58 Odredite F () ko je F() = + t dt.. Supstitucij u odredenom integrlu t +t dt. Jednostvn posljedic Newton-Leibnizove formule i formule z derivciju kompozicije funkcij je sljedeći teorem koji dje uvjete z supstituciju u odredenom integrlu. Teorem Nek je f : [,b] R neprekidn funkcij i nek je ϕ : [α,β] R funkcij s neprekidnom prvom derivcijom tko d je ϕ(α) = i ϕ(β) = b. Td je Zdtk 59 π b 5+cos = f() = β α f(ϕ(t))ϕ (t)dt. t = tg t( π ) = t() = = dt cos = t +t +t 5 =
51 Zdtk 6 π dt +t dt = 5+ t +t 9+t = rctg t π +cos = 5 π = cos = +cos = = π t = tg, = dt dt = +t +t = 5 = rctg t 5 5 = Zdtk 6 = = π cos π t = dt = cos t = cost sint dt cos t = cos t dt +t = +π = π 6 = π 9 = dt +5t = π = π π 5π cos t cost dt = tgt π = 5 t.nčin = = t = t = = dt = t = / = t t t = siny t = / y = π/6 = dt = / t dt = cosydy t = y = π/ π/ sin y π/ cos y π/ = cosy dy = = π/6 π/ π/6 sin y dy sin y π/ π/6 π/6 dy = ctgy π π cos dt +t t +t dt 5 +t π sint dt cos t = π = π / sin t cos t dt t sin y dy = sin y π/6 sin dy y π/ y = ctg π π/6 +ctg π 6 π + π 6 = π π/ π/6 t dt t 5
52 Zdtk = t = t(9) = tdt = t() = ( = ( t +t) : (t+) = t+ t+ = tdt+ dt = ) dt +t = t = ln +ln = +ln t +t tdt = t t +t dt +t ln +t =. Prcijln integrcij u odredenom integrlu Kkojef()g()primitivnfunkcijfunkcijef()g ()+f ()g()tokorištenjem Newton-Leibnizove formule slijedi sljedeći teorem. Teorem 5 Nek su f,g : [,b] R funkcije s neprekidnom prvom derivcijom. Td je b f()g () = f(b)g(b) f()g() b g()f (). Prethodni teorem tkoder možemo zpisti u diferencijlnom obliku: b udv = u v b b vdu Zdtk 6 π π 6 = sin = u = dv = sin du = v = ctg t = sin t( π 6 ) = dt = cos t( π ) = = π +π 6 = π π = ctg + +ln π π 6 + π π 6 cos sin = π t dt = π + 6 +ln t = 5
53 Zdtk 6 π π ( +)sin = π π sin+ π π sin = u = dv = sin = du = v = cos = ( π ) ( π = cos + cos = +sin Zdtk 65 (DZ) rcsin = (vidi Zd.9b) =... = π π/ π ) = sin Zdtk 66 (DZ) e ln =... = +e Zdtk 67 (DZ) ) b) + = (vidi Zd.b) =... = 5+ ln(+ 5) = (vidi Zd.) =... = ln(+ ) 5
54 Primjen odredenog integrl. Kvdrtur (površin rvninskih likov) Krtezijeve koordinte Ako je krivocrtni trpez u rvnini zdn s D = {(,y) R : b,f () y f ()} ond je površin od D dn s P = b (f () f ()). Prmetrski oblik: Ako je krivulj y = f() zdn prmetrski s = ϕ(t), y = ψ(t) (ϕ je strogo monoton funkcij) ond je površin od D = {(,y) R : b, y f()} dn s P = t t ψ(t)ϕ (t)dt. Polrne koordinte Ako je krivocrtni isječk u rvnini zdn u polrnim koordintm s D = {(ϕ,r) R [, ; ϕ β, r (ϕ) r r (ϕ)} ond je površin od D dn s P = β α (r (ϕ) r (ϕ) )dϕ. Zdtk 68 Izrčunjtepovršinu lik omedenog s y = 6 +8, y =. 5
55 P = = ( 6 +8) ( ) + + ( 6 +8) ( + ) = 8. Zdtk 69 Izrčunjtepovršinu lik omedenog s y = 6, y =. 8 6 P = [6 ( )] = (8 ) = ( ) 55 = 6.
56 Zdtk 7 Izrčunjte površinu lik omedenog s y = ( + )( ), y = ( ). Zdtk 7 Izrčunjte površinu lik omedenog s: ) y =, y =, y = b) y =, y =, y = Zdtk 7 Izrčunjte površinu lik omedenog s (y ) =, (y ) = P = [ (y ) ( (y ) )]dy = ( y +y)dy = y +y =. Zdtk 7 Izrčunjte površinu lik omedenog s +y 5, ) u krtezijevim koordintm b) u polrnim koordintm. ) 56
57 5 = 5sint, t = rcsin 5 P = 5 = = 5costdt π/ π/ = 5 cos tdt = 5 (+cost)dt = 5t rcsin(/5) π/ rcsin(/5) rcsin(/5) +5sint sin t π/ rcsin(/5) = 5π 5rcsin 5. Zdtk 7 Izrčunjte površinu lik omedenog prvim svodom cikloide = (t sint), y = ( cost) i osi pscise P = π π = 9t π ( cost) ( cost)dt = 9 ( cost+cos t)dt π 8sint + 9 π (+cost)dt = 8π + 9 π t + 9 π sint = 7π. 57
58 Zdtk 75 Izrčunjtepovršinulik omedenogs r = cosϕ, ϕ = π 6, ϕ = π. P = π/ π/6.5.5 dϕ = tgϕ cos ϕ π/ π/6 =. Zdtk 76 Izrčunjte površinu lik omedenog s +y y, + y P = = π/6 π/6 = ϕ π/6 sin ϕdϕ+ ( cosϕ)dϕ+ sinϕ π/6 π/ +ϕ π/6 π/ π/6 π/ π/6 cos ϕdϕ (+cosϕ)dϕ + sinϕ π/ π/6 = 5π 6. 58
59 Zdtk 77 Izrčunjte površinu lik omedenog s r = sin ϕ P = π/ π/ (sinϕ) dϕ = cos6ϕ dϕ = ϕ π/ sin6ϕ π/ = π.. Rektifikcij (duljin luk krivulje) Krtezijeve koordinte Ako je krivulj zdn s y = f(), [,b] ond je njezin duljin dn s s = b +y (). Prmetrski oblik: Ako je krivulj zdn prmetrski s = ϕ(t),y = ψ(t) ond je njezin duljin dn s s = Polrne koordinte t t ϕ (t) +ψ (t) dt. Ako je krivulj zdn s r = r(ϕ),ϕ [α,β] ond je njezin krivulj dn s s = β α r(ϕ) +r (ϕ) dϕ. 59
60 Zdtk 78 Izrčunjte duljinu luk krivulje y = / od = do = 5. s = 5 + ( ) / = 5 +9 = 8 (+9) +9 5 = 5 7. Zdtk 79 Izrčunjte duljinu luk krivulje y = / od = do = 8. s = + ( ) y/ dy = +9ydy = 8 (+9y) +9y = 8 7 ( ). Zdtk 8 Koji put prevli čestic koj se kreće po krivulji = cos t, y = sin t u vremenu od t = do t = π. s = π = cos tsin t+sin tcos tdt = π π = cost sint dt = π/ π/ + cost π π/ sintdt =. π π/ costsint dt sin tdt Zdtk 8 Izrčunjte duljinu prvog luk logritmske zvojnice r = e ϕ od ϕ = do ϕ = π. π ( ) 5 π 5 π s = e ϕ + e ϕ dϕ = eϕ dϕ = e ϕ dϕ = π 5e ϕ = 5e π 5. 6
61 Zdtk 8 Izrčunjte opseg krdioide r = ( cos ϕ) s = = π π ( cosϕ) +sin ϕdϕ = π sin ϕ dϕ = π sin ϕ dϕ = 8cos ϕ cosϕdϕ π = 6.. Kubtur (volumen tijel).. Kubtur rotcijskih tijel Rotcij oko osi prlelnih s osi pscis: Ako područje D = {(,y) : b, y y f() ili f() y y } 6
62 (područje D je omedeno s krivuljom y = f() i prvcim =, = b, y = y ) rotir oko prvc y = y dobije se tijelo volumen V y=y = π b [f() y ] = π b [y y ]. Specijlno ko je y = (rotcij oko osi) formul glsi Ako područje b b V y= = π f () = π y. D = {(,y) : b, f() y g() ili g() y f() } (područje D je omedeno krivuljm y = f(), y = g() i prvcim =, = b i cijelo se nlzi ili ispod ili iznd osi pscis pri čemu je krivulj y = g() udljenij od osi pscis) rotir oko osi pscis dobije se tijelo volumen V y= = π b [g () f ()]. Rotcij oko osi prlelne s osi ordint: Ako je područje D omedeno krivuljom y = f(), prvcim =, = b i y = i cijelo se nlzi ili s desne ili s lijeve strne prvc =, ond njegovom rotcijom oko prvc = nstje tijelo volumen V = = π b f() = π b y. Specijlno, ko je = (rotcij oko y osi) formul glsi b V = = π y. Njjednostvniji slučj je kd se cijelo područje nlzi iznd osi pscis (y ) i desno od osi ordint ( ). U tom slučju volumen tijel nstlog rotcijom područj D = {(,y) : b, y f()} 6
63 oko osi ordint glsi V = = π b f(). Zdtk 8 Površin omeden s y = 6, y =, = 8 rotir oko -osi. Odredite volumen nstlog rotcionog tijel V y= = π 8 ( 6) = π [ 8 ] 8 6 = 56π. 6
64 Zdtk 8 Površin omeden s y =, y = Odredite volumen nstlog rotcionog tijel. 8 6 rotir oko -osi [ ( ) V y= = π ( [ ] 9 = π + 5 ) ] ( ) 9 = π + = 89π 5. Zdtk 85 Površin omeden s y = e, y = e, = rotir oko y-osi. Odredite volumen nstlog rotcionog tijel. Prvi nčin: e e V = = π ( lny) dy = π ln ydy = e e = πyln y π lnydy = e e = eπ πylny +π u = ln y du = lny y dy dv = dy v = y u = lny du = dy y dv = dy v = y e dy = eπ eπ +πy = π(e ). 6
65 Drugi nčin: V = = π [ (e e ) = π e e [ u = du = = dv = e v = e = π e [ ] = π e e + e = π(e ). ] + e e ] Zdtk 86 Površin omeden s y = sin, y =, π rotir oko y-osi. Odredite volumen nstlog rotcionog tijel. [ π π ] V = = π sin+ ( sin) = π [ π π π = π cos + cos+cos π u = du = dv = sin v = cos ] π π cos = 8π. Zdtk 87 Površin omeden s y =, y = rotir oko prvc ) y = 6, b) y = 6. Odredite volumen nstlog rotcionog tijel. 65
66 .5 Π Π Π Π Π Π ) V y=6 = π = π [( 6) ( 6) ] = π ] [ = 8 5 π ( ) b) V y= 6 = π [( +6) 6 ] =... = 5 π. 66
67 Zdtk 88 Površin omeden s y = 8, = rotir oko prvc ) =, b) =. Odredite volumen nstlog rotcionog tijel. ) ( ) y V = = π 8 dy = π [ ] y y +56y = 56 5 π. 67
68 b) [ ( ) ] y V = = π 8 + dy =... = 5 π. Zdtk 89 Površin omeden s y =, y = rotir oko -osi. Odredite volumen nstlog rotcionog tijel V y= = π 9 π [ 5 = 6π π 5 + ( ) = 8π ] = 6π 5 π ( +) 68
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραNeodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
Διαβάστε περισσότεραOdredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n
Διαβάστε περισσότεραUvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler
Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk
Διαβάστε περισσότεραFormule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov
Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e
Διαβάστε περισσότερα= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραPrimjene odreženog integrala
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivn Brnović Miroslv Jerković Lekcij 5 Primjen određenog integrl Poglvlje Primjene odreženog integrl. Povr²in rvninskog lik Z dni rvninski lik omežen krivuljm y = f(x) i y = g(x) te
Διαβάστε περισσότεραA MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Διαβάστε περισσότεραc = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Boris Širola
Mtemtik 2 (. Riemnnov integrl) Boris Širol predvnj . Riemnnov integrl 3 Pretpostvimo d immo neku neprekidnu relnu funkciju f, definirnu n nekom segmentu; tj., nek je dn neprekidn funkcij f : [, b] R.
Διαβάστε περισσότεραIntegralni raqun. F (x) = f(x)
Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek
Διαβάστε περισσότερα1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
Διαβάστε περισσότεραIntegrali Materijali za nastavu iz Matematike 1
Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija)
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
Διαβάστε περισσότεραUVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima
UVOD Ovi nstvni mterijli nmijenjeni su studentim u svrhu lkšeg prćenj i boljeg rzumijevnj predvnj iz kolegij mtemtik. Ovi mterijli čine suštinu nstvnog grdiv p, uz obveznu literturu, mogu poslužiti studentim
Διαβάστε περισσότεραIZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Διαβάστε περισσότερα1. NEODREÐENI INTEGRAL
. NEODREÐENI INTEGRAL Pitnj: Je li dn reln funkcij f : A! R, A R, derivcij neke relne funkcije g : A! R? Riješiti jedndbu g = f, pri cemu se z dni f tri g. T jedndb ili nem rješenj ili ih im beskoncno
Διαβάστε περισσότεραR A D N I M A T E R I J A L I
Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότερα( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Διαβάστε περισσότερα7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo
7 Odreženi integrli 63 7 Odreženi integrli Nek je funkcij f(x) definisn n intervlu [, ]. Ako ovj intervl podeo n n delov tčkm = x < x < x
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Διαβάστε περισσότερα1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije
Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα1.1 Neodre deni integral
. Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.
Ivn Slpničr Mrko Mtić Mtemtik 2 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mt2 Fkultet elektrotehnike, strojrstv i brodogrdnje Split, 2003. Sdržj 1 Neodredeni integrl 3 2 Odredeni integrl 5 3 Funkcije više
Διαβάστε περισσότεραIvan Slapničar. Matematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2012.
Ivn Slpničr Mtemtik 2 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mt2 Fkultet elektrotehnike, strojrstv i brodogrdnje Split, 2012. Sdržj 1 Neodredeni integrl 3 2 Odredeni integrl 5 3 Funkcije više vrijbli
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραAko je f neprekinuta funkcija, definirana na intervalu [a,b], tad postoji barem jedna točka ξ [a,b] za koju je
Jednostvno, ili ne? Trpezn formul Neven Elezović, Zgreb Problem površine Teorem srednje vrijednosti Površin ispod grf pozitivne funkcije f jednk je odredenom - integrlu te funkcije, rčun se obično Newton-Leibnitzovom
Διαβάστε περισσότεραFORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA
FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA Vrijednoti inu i koinu π π π π ϕ 6 4 3 in ϕ 3 co ϕ 3 Trigonometrijke funkcije polovičnih rgument in x = co x co x = + co x Trigonometrijke
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραSLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1
PISMENI ISPIT IZ KLASIČNE MEHANIKE I 3.. 9. Zdtk Čestic mse m izbčen je s površine Zemlje pod kutem α brzinom v. Ako je otpor zrk proporcionln trenutnoj brzini konstnt proporcionlnosti je ), izrčunjte
Διαβάστε περισσότερα3. Rubni problem za obične diferencijalne jednadžbe Egizstencija i jedinstvenost rješenja... 64
Sdržj 1. Numeričk integrcij.......................... 1 1.1. Općenito o integrcijskim formulm................ 1 1.. Newton Cotesove formule...................... 3 1..1. Trpezn formul.......................
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραVALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Διαβάστε περισσότερα0 = x 0 < x 1 <... < x n = 1, x k = k n, x = 1 0 n. f(x k ) x =
Chpter Odredjen ntegrl Problem Nek je zdn funkcje f : [,b] R, f(x). Kko odredt površnu omedjenu grfom funkcje f(x) x-os? Površn prvokutnk: S = b Površn trokut: S = 1 v Kko defnrt površnu lk čje su strnce
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραFURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Διαβάστε περισσότεραγ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2
Zdtk (Slvi, gimnzij) Duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom Jedn kut iznosi Koliki je opseg trokut? Rješenje inči udući d duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom,
Διαβάστε περισσότερα!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
Διαβάστε περισσότεραα =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραPRIMENA INTEGRALA
www.mtmtinj.com PRIMENA INTEGRALA P ngo što knmo s izčunvnjm povšin, dužin luk, zpmin ili povšin otcion povši momo odditi: - pomoću p tčk ispitmo tok i nctmo kivu kivko j to nophodno - gnic intgl nđmo
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραKUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Διαβάστε περισσότεραKatedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore
MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραRješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.
Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Διαβάστε περισσότεραPriprema za ispit - RJEŠENJA
Priprem z ispit - RJEŠENJA 1. Odredi duljinu strnie i kutove trokut ABC ko je = 16 m, = 11.2 m te + = 93⁰. = 16 m = 11.2 m + = 93⁰,,, =? Njprije ćemo izrčunti kut jer je = 180⁰ - ( + ) = 87⁰ No, sd znmo
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα( ) ( )
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnj 05. 4. rzred-rješenj OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραSpecijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.
Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραPIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραLAPLASOVA TRANSFORMACIJA
Mster rd LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Snježn Mksimović Mentor: Akdemik dr Stevn Pilipović Novi Sd, pril 211. iii Sdržj Predgovor vi 1. Osnovn Lplce-ov trnsformcij 1 1.1. Egzistencij Lplce-ove trnsformcije...............
Διαβάστε περισσότεραx y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka?
MATEMATIKA Zdci s držvne mture viš rzin Brojevi i lgebr Funkcije Jedndžbe i nejedndžbe Geometrij Trigonometrij LINEARNA FUNKCIJA 1. Uz koji uvjet jedndžb A+By+C=0 predstvlj prvc?. Koje je znčenje broj
Διαβάστε περισσότεραDIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00
Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραPolinomijalna aproksimacija
1 Polinomijln proksimcij 1.1 Problem njbolje proksimcije Rzmotrimo ponovo problem u kojem je zdn tblic brojev x x 0 x 1 x x 3 x 4 x n y y 0 y 1 y y 3 y 4 y n (1.1) z koju treb nći funkciju f koju t tblic
Διαβάστε περισσότεραNeprekinute slu cajne varijable
5 Neprekinute slu cjne vrijble Slu cjnevrijbleirzdiobe Funkcije neprekinutih slu cjnihvrijbli6 Rije senizdtci Zdtci z vje zbu 8 5 Slu cjne vrijble i rzdiobe U ovom ćemo poglvlju prou cvti slu cjne vrijble
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 4
Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n..................
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραKoliko sati toga dana je razina vode bila iznad 30 cm? A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 13 Rješenje: E. Rješenje: A A) 1 B) 2 C) 6 4 D) 3 4 E) 2.
MATEMATIČKI KLOKAN S 6 700 000 sudionik u zemlji Europe, Amerike, Afrike i Azije Četvrtk,. ožujk 0. Trjnje 7 minut Ntjecnje z Student (IV. rzred SŠ) * Ntjecnje je pojedinčno. Rčunl su zbrnjen. * Svki zdtk
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραZI. NEODREðENI INTEGRALI
ZI. Nodrđni intgrali 7 ZI. NEODREðENI INTEGRALI. Antidrvacij. Pronañi tri antidrivacij funkcij.. Odrdi sv antidrivacij funkcij.. Pronañi dvij antidrivacij funkcij.. Pronañi antidrivaciju funkcij za koju
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραd(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ]
-- 71 -- 7.2. KOORDINATNI SISTEM-KOORDINATIZACIJA Podsjetimo se pojmov dimenzij i bz prostor: ''Njveći'' broj linerno nezvisnih vektor u nekom vektorskom prostoru zovemo dimenzijom tog prostor. Ako je
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραIstosmjerni krugovi. 1. zadatak. Na trošilu će se trošiti maksimalna snaga u slučaju kada je otpor čitavog trošila jednak unutrašnjem otporu izvora.
Strnic: X stosmjerni krugovi Prilgođenje n mksimlnu sngu. Rješvnje linernih mrež: Strnic: X. zdtk Otpor u kominciji prem slici nlzi se u posudi u kojoj vld promjenjiv tempertur. Pri temperturi ϑ = 0 C,
Διαβάστε περισσότερα