1 Taburan Normal
Ciri-ciri Taburan Normal Ia adalah taburan selanjar Ia adalah taburan simetri Ia adalah asimtot kepada paksi Ia adalah uni-modal Ia adalah keluarga kepada keluk Keluasan di bawah keluk ialah 1. Keluasan disebelah kanan min ialah 1/2. Keluasan disebelah kiri min ialah 1/2. 2
Keluasan di bawah lengkung taburan normal
4 Keluk Normal dengan Min dan Sisihan Piawai yang Berbeza
Taburan Normal Piawai Taburan normal dengan Formula Z Min sifar, dan Sisihan piawai 1 mempiawaikan sebarang taburan normal 5 Z - x Skor Z dikira dengan formula Z nombor sisihan piawai dimana nilainya adalah menyisih dari min
Taburan Normal Piawai x 6 Formula Z mempiawaikan sebarang taburan normal Z x Z = jarak antara x dan µ dalam unit σ x = nilai min sampel µ = nilai min populasi σ = sisihan piawai populasi
Jadual Z 7 Second Decimal Place in Z Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.00 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.10 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.20 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.30 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.90 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.00 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.10 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.20 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 2.00 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 3.00 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 3.40 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998 3.50 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 Note: terdapat beberapa bentuk Jadual Z, pengguna perlu tahu bentuk jadual yang digunakan dan cara untuk membacanya.
8 Jadual Z yang lain
9 Jadual Z yang lain
Jadual Kebarangkalian Normal Piawai P( 0 Z 1) 0. 3413 Z 0.00 0.01 0.02 0.00 0.0000 0.0040 0.0080 0.10 0.0398 0.0438 0.0478 0.20 0.0793 0.0832 0.0871 1.00 0.3413 0.3438 0.3461 10 1.10 0.3643 0.3665 0.3686 1.20 0.3849 0.3869 0.3888
Contoh 1 Graduate Management Aptitude Test (GMAT) banyak digunakan untuk keperluan memasuki sekolah siswazah pengurusan di USA. Andaikan skor GMAT adalah bertaburan normal, kebarangkalian mencapai skor melebihi berbagai jeda GMAT boleh ditentukan. Di dalam beberapa tahun kebelakangan, min skor GMAT ialah 494 dan sisihan piawai lebih kurang. Apakah kebarangkalian skor yang dipilih secara rawak daripada ujian GMAT ini di antara 600 dan nilai min? Iaitu, 11
Contoh P(494 X 600) = 494 dan = ) =? Z X - 600-494 106 1.06 12 = 494 = X=600
Z 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.4 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.5 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.6 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.7 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.8 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.9 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 1.0 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 1.1 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 1.2 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 1.3 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.3554 Z X - 600-494 106 1.06 P(485 X 600) = P(0 Z 1.06) = 0.3554 13 Z=0 Z=1.06
Contoh 2 Apakah kebarangkalian memperolehi skor lebih besar daripada 700 pada ujian GMAT jika min ialah 494 dan sisihan piawai? P(X > 700) = 494 dan = ) =? X > 700 Z X - 700-494 206 2.06 = 494 = X = 700 0.4803 0.500 0.0197 Dari jadual Z: Z=2.06 -> 0.4803 P(Z>2.06) = 0.5000-0.4803 = 0.0197 14 Z=0 Z=2.06
Contoh 3 Bagi ujian GMAT yang sama, apakah kebarangkalian skor kurang daripada 550? P(X <550) = 494 dan = ) =? Z X - 550-494 56 0.56 = 494 = X=550 Keluasan di bawah keluk bagi Z = 0.56 ialah 0.2123 15 0.500 0.2123 P(X <550) = P(Z < 0.2123) = 0.5000 + 0.2123 = 0.7123 Z=0 Z=0.56
Contoh 4 Apakah kebarangkalian memperolehi skor kurang daripada 400 di dalam ujian GMAT? X=400 = 494 = P(X <400) = 494 dan = ) =? X - 400-494 - 94 Z - 0.94 P(Z<-0.94)=P(Z>0.94) = 0.5000 0.3264 = 0.1735 0.5000 0.5000 0.1735 0.3264 0.3264 0.1735 16 Z=-0.94 Z=-0.94
Contoh 5 Apakah kebarangkalian memperolehi skor di antara 300 dan 600 untuk ujian GMAT yang sama? P(300 X < 600 = 494 dan ) =? X = 300 = 494 X = 600 = Z Z X - X - 600-494 300-494 106-194 1.06 1.94 P(-1.94 < Z < 1.06) = 0.3554 + 0.4738 = 0.8289 0.4738 0.3554 Z=-1.94 Z=0 Z=1.06 17
Contoh 6 Apakah kebarangkalian untuk mem-perolehi skor di antara 350 dan 450 bagi ujian GMAT yang sama? X = 350 X=430 = 494 = P(X 350 < X < 450 = 494 dan = ) =? Z X - 350-494 -144-1.44 Z X - 450-494 - 44-0.44 0.1700 0.2551 P(-1.44 < Z < -0.44) = 0.4251-0.1700 = 0.2551 0.4251 Z=-1.44 Z= -0.44 18
Contoh 7 Kementerian Kebudayaan dan Pelancongan menerbitkan kos perjalanan untuk beberapa bandar di Malaysia. Khususnya, mereka menerbitkan kos perbelanjaan hotel. Jika 86.65% daripada kos hotel di Johor Baharu adalah kurang daripada RM449 dan jika sisihan piawan kos hotel ialah RM36, apakah purata kos hotel di Johor Baharu? Andaikan kos hotel adalah bertaburan normal. P(Z < z) = 0.3665 86.65% z =??????? 0.3665 19 =? = RM36 X = RM449
Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 P(Z < z) = 0.3665 20 z = 1.11 X - Z RM 449-1.11 RM36 = RM449 (RM36)(1.11) = RM449 RM39.96 = RM409.04
Pengujian Hipotesis dalam Taburan Normal z Kawan tolak Ho: Contoh 1: Z = 1.645 atau α = 0.05 Ho: µ = 72 da Ha: : µ > 72 pada aras α = 0.05 dengan nilai x = 73 dan sisihan piawai = 2.373 Untuk menentukan samada nilai x (73) adalah besar dari 72 adalah mengguna skor z. Langkah 1: Cari kawasan tolak Ho, iaitu α = 0.05. Rujuk Jadual Taburan Normal Z, 0.05 = 1.645 (nilai z sifir) Langkah 2 : Dapatkan z kiraan Z X - 73-72 2.373 1 2.373 0.4214 21 Keputusan: z kiraan<z sifir, maka gagal tolak Ho
Pengujian Hipotesis dalam Taburan Normal z Kawan tolak Ho: Contoh 2: Z = -2.33 atau α = 0.01 Ho: µ = 0.5 da Ha: : µ < 0.5 pada aras α = 0.01 dengan nilai x = 0.46 dan sisihan piawai = 0.011 Untuk menentukan samada nilai x (0.46) adalah kecil dari 0.5 adalah mengguna skor z. Langkah 1: Cari kawasan tolak Ho, iaitu α = 0.01. Rujuk Jadual Taburan Normal Z, 0.01 = -2.33 (nilai z sifir) Langkah 2 : Dapatkan z kiraan Z X - 0.46-0.5 0.011-0.04 0.011-3.636 22 Keputusan: z kiraan>z sifir, maka tolak Ho
Pengujian Hipotesis dalam Taburan Normal z Kawan tolak Ho: Contoh 3: Z = ± 1.96 atau α = 0.05/2 Ho: µ = 72 da Ha: : µ 72 pada aras α = 0.05 dengan nilai x = 73 dan sisihan piawai = 2.373 Untuk menentukan samada nilai x (73) adalah besar dari 72 adalah mengguna skor z. Langkah 1: Cari kawasan tolak Ho, iaitu α = 0.05. Rujuk Jadual Taburan Normal Z, 0.05/2 = ± 1.96 (nilai z sifir) Langkah 2 : Dapatkan z kiraan Z X - 73-72 2.373 1 2.373 0.4214 23 Keputusan: z sifir -ve <z kiraan<z sifir +ve, maka gagal tolak Ho
Skor z untuk ujian hipotesis 1 hujung & 2 hujung alfa 2 hujung Upper tail (+ve) 1 hujung Lower tail (-ve) 0.10 ±1.65 1.29-1.29 0.05 ±1.96 1.65-1.65 0.01 ±2.58 2.33-2.33 0.001 ±3.29 3.10-3.10 24