Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori 1/12 Newtonovamehanika 1. Določiravninogibanjatočkevpoljucentralnesile. Ravninagibanjagreskozicentersileinimanormalovsmerivrtilne količine 2. Zapišiperiodogibanjapremočrtnegagibanjapodvplivompotenciala U(x). b dx T = 2m,ainbtočki,vkaterihjepotencialenakenergiji. a E 0 U(x) 3. Kajjevektorkotnehitrosti? Tenzor Q T Q jeantisimetričen,zatoobstajaosnivektor ω,daje Q T Q a = ω a.vektorkotnehitrostije ω = Qω. 4. ZapišiEulerjevedinamičneenačbezaprostoosnosimetričnovrtavko. 0 = Jω 1 ω 2 ω 3 (J J 3 ) 0 = Jω 2 ω 3 ω 1 (J 3 J) 0 = J 3 ω 3 J := J 1 = J 2 5. Naštejtrinetrivialneprimereredukcijegibanjanapremočrtnogibanje. Kajsointegraligibanjavvsakemprimeruposebej? Gibanjepokrivulji(gledenaločnodolžino),gibanjevpoljucentralnesile (gledenaradij),gibanjeosnosimetričnevrtavke(gledenakotnutacije). Integraligibanja:energija(vsitrijeprimeri),vrtilnakoličina(drugadva primera). 6. Kdajnatankodverotacijikomutirata? Natankotedaj,kostarotacijiokoliisteosi. 7. Opišigibanjeprosteosnosimetričnevrtavke. Težiščesegibljepremočrtno,osnivektorrotacije ω paenakomerno precesiraokrogosi k. 8. KolikoparametrovimagrupaGalilejevihtransformacij? 10. 9. Zapišienergijskoenačbogibanjamaterialnetočkevpoljukonzervativne sile. 1 2 m x 2 + U(x) = E 0, E 0 = konst. 10. Zapišienačbegibanjatogegatelesaokrogstalnetočke. Newtonovzakon: m P * = F,Eulerjevadinamičnaenačba: ω Jω + Jω = N 11. ZapišiGalilejevotransformacijomeddvemanaravnimaGalilejevima strukturamana R E Transformacijamorabitiafina,veljatimora: t'= t + t 0 ' P'= c t + c'+q(p P 0 ) 12. Kdajpravimo,dajepremočrtnogibanjeizokronično? Premočrtnogibanjejeizokronično,čejeperiodagibanjaneodvisnaod energije. 13. Kakozapišemorotacijoskvaternionom? 23/06/08 20:29
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori 2/12 R( e,ϕ) r = q r q *, r = cos ϕ 2 + e sin ϕ 2, e =1 14. Zapišisplošnooblikofunkcijeinterakcijemeddvemamaterialnima točkama SplošnaoblikafunkcijeinterakcijemedmaterialnimatočkamaP1inP2je: f (P 1 P 2, dp 1 dt dp 2 dt ),kjerjefizotropičnavektorskafunkcija. 15. Kolikoprostorskihstopenjimatogotelo,kisekotalipoploskvi? Konfiguracijskiprostorzakotaljenjetelesapoploskvije5 dimenzionalen, 2koordinatizadotikališčeter3zaorientacijo.Obstajata2neholonomni vezi,kiposkrbita,dasetelokotali.torejješteviloprostostnihstopenj5 2=3. 23/06/08 20:29
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori 3/12 Lagrangevamehanika 1. Alijevezpremočrtnegakotaljenjaholonomnaalineholonomnavez? Vezjeholonomna. 2. Kajjekonstantagibanjaavtonomnegasistema? KonstantagibanaavtonomnegasistemajeJacobijevaenergijska funkcijaε(q, q,t) = p q L(q, q,t). 3. Kakodobišfrekvencemajhneganihanjaokrogravnovesnelege? Lagrangevofunkcijozapišemokot L = 1 2 q T(q ) q 1 0 2 (q q ) V(q q )in 0 0 rešujemoposplošenisistemlastnihvrednostitako,daiščemotak omega,daje det(v ω 2 T) = 0. 4. Najbosistemmaterialnihtočkinvariantenzarotacijeokrogdaneosi. Kajjepripadajočakonstantagibanja? Konstantagibanjaje e L (P 0 ),kjerjeeosrotacijeinp0točka,kiležina osi. 5. ZapišiHamiltonovvariacijskiprincip. Stacionarnatočkaakcijskegafunkcionalanadafinimprostorom trajektorijspredpisanimivrednostminakrajiščihjenatankorešitev Lagrangevihenačbspredpisanimivrednostminakrajiščih. 6. KdajjeEulerjevaenergijskafunkcijaenakavsotikinetičneinpotencialne energije? Kadarjesistemskleronomen,t.j.kovezinisoodvisneodčasa. 7. Najbosisteminvariantenzatranslacijevsmeridanegavektorja.Kajje pripadajočakonstantagibanja? Konstantagibanjajeprojekcijagibalnekoličinenadanivektor. 8. Kajjeposplošenipotencialinkjenastopa? Tojepotencial,odvisentudiodhitrosti(V = V (q, q,t)).primer posplošenegapotencialajepotenciallorentzovesilealigibanjav relativnemkoordinatnemsistemu. 9. Zapišiprimervezi,prikaterimožniinvirtualnipomikisovpadajo. Možniinvirtualnipomikisovpadajovprimeru,kojevezgeometrično skleronomna. 10. Kdajmožniinvirtualnipomikisovpadajo? Česogeometričneveziskleronomne(npr. dx dt + dy dt = 0)aličejesistem katastatičen. 11. ZapišiosnovnooblikoLagrangevihenačb. d dt ( L q ) L q = 0 12. Kakopriteorijimajhnihnihanjvokoliciravnovesnelegepridemodo osnovnihfrekvenc? Tako,darešimoposplošenproblemlastnihvrednosti rešujemo det(v ωt) = 0 13. KakorazširimoLagrangevomehanikonaprimere,kojepotencial odvisenodgeneraliziranihhitrosti? Sposplošenimpotencialom,t.j.V = V (q, q,t) 23/06/08 20:29
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori 4/12 14. Kakšneoblikemorebitigeneraliziranasila,dajolahkozapišemos posplošenimpotencialom? NajboQgeneraliziranasila.Sposplošenimpotencialom V = V (q, q,t) jo lahkozapišemo,čejeoblike: Q = V + d q dt (V ) q. 15. VkateremprimeruLagrangevafunkcijamajhneganihanjaokoli ravnovesnelegesovpadasprvotnolagrangevofunkcijo? Vprimeru,dajemetričnitenzorkinetičneenergijekonstanten(tonpr. veljavkartezičnihkoordinatah)injepotencialkvadratnafunkcija koordinat. 16. NajboLagrangevafunkcijainvariantnazatranslacijevsmeridanega vektorja.kajjepripadajočakonstantagibanja? Pripadajočakonstantagibanjajeprojekcijagibalnekoličinenadani vektor. 17. KakodaniLagrangevifunkcijipriredimoekvivalentnoLagrangevo funkcijo? Najbo L(x, x,t) Lagrangevafunkcija.Najbof(x,t)poljubnafunkcija.ČeL dodamototalniodvodfunkcijefpočasu,bodobljenanova L = L + df dt Lagrangevafunkcijaekvivalentnaprvotni. 18. Najbosisteminvariantenzatranslacijevsmeridanegavektorja.Kajje pripadajočakonstantagibanja? Čejesisteminvariantenzatranslacijevsmerivektorjaa,jepripadajoča konstantagibanja a L q = a p.vposebnem,čejesisteminvariantenza translacijevsmeriqi(qijecikličnaspremenljivka),jepikonstanta gibanja. 23/06/08 20:29
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori 5/12 Hamiltonovamehanika 1. KakodobimoHamiltonovofunkcijoizdaneLagrangevefunkcije? HamiltonovafunkcijajeLegendrovatransformirankaLagrangeve funkcije.pišemojo H = p q L(q, q,t),kjerje p = L q in q izrazimoz pin q 2. Zapišikanonskisistemspomočjosimplektičnematrike. x = J H x 3. Zapišidefinicijočasovnoneodvisnekanonsketransformacije. Tojetakakanonskatransformacija,kjernovespremenljivkenisoodvisne odčasa,t.j.transformacija(p,q)=f(p,q),kiohranjakanonskisistem, Poissonovoklepajinzadoščasimplektičnemupogoju. 4. Kakoseglasikanonskisistemgibanjavpoljucentralnesile? r = 1 m p r ϑ = 1 mr p 2 ϑ p r = p 2 ϑ mr dv 3 dr p ϑ = 0 5. ZapišiHamilton Jacobijevoenačbozaharmoničnioscillator. S t + 1 2m (( S q )2 + (mwq) 2 ) = 0 6. Določinekonstantifunkcijifingtako,dabonjunPoissonovoklepajenak nič. Čejef=g=f(p,q)nekonstantna,je[f,g]=0.Polegtegaje[q i,q j ] = [ p i, p j ] = 0 in[q i, p j ] = δ i, j. 7. Kdajnatankojetransformacijafaznegaprostora,kipripadagibanjuz enoprostorskostopnjo,kanonska? Natankotedaj,kadarohranjavolumenfaznegaprostora,karjezaeno prostorskostopnjonatankotedaj,kadarje det( ξ x ) =1,pričemersoksi transformiranekoordinate. 8. Kakoseglasikanonskisistemenačbmajhnegagibanjaokoli ravnovesnelege? Hamiltonovafunkcijajezamajhnagibanjaokoliravnovesnelegeenaka H = 1 2 p T 1 p + 1 2 (q q 0 ) V(q q 0 ),zatojekanonskisistem q = T 1 p, p = V (q q 0 ). 9. ČemujeenakaLegendrovatransformacijaHamiltonovefunkcije? LegendrovatransformacijaHamiltonovefunkcijejeenakaLagrangevi funkciji,sajjelegendrovatransformacijainvolutivna. 10. Zapišikanonskisistemzaharmoničnioscilator. 23/06/08 20:29
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori 6/12 Zaharmoničnioscilatorje L = 1 2 m q 2 1 2 kq2 in H = 1 2m p2 + 1 2 kq2,zatoje kanonskisistem q = 1 m, p = kq 11. Zapišiodvodfunkcijef=f(p,q,t)vzdolžrešitvekanonskegasistema df dt = f t + [ f,h] 12. NaštejosnovnelastnostiPoissonovegaoklepaja [f,g]= [g,f] [f+g,h]=[f,h]+[g,h] [af,g]=a[f,g] [ f,g] = [ f,g] + [ f, g t t t ] [f,[g,h]]+[g,[h,f]]+[h,[f,g]]=0 13. PriredidaniHamiltonovifunkcijiHamilton Jacobijevoenačbo S t + H(t,q,( S q )T ) = 0 14. KajpovezujeLagrangevoinHamiltonovomehaniko? Legendrovatransformacija(glej1.Točko) 1 15. PrirediLagrangevifunkciji 2 q Π q V (q) Hamiltonovofunkcijo. L = 1 2 q Π q V (q) p = L q = Π q q = Π 1 p H = Π 1 p p 1 2 Π 1 pππ 1 p + V (q) = 1 2 Π 1 p p + V (q) 16. Določinetrivialnifunkcijif=f(q,p)ing=g(q,p)tako,dabonjunPoissonov oklepajenak1. [x, p x ] =1 17. Kdajjetransformacijafaznegaprostorakanonska? Kozadoščasimplektičnemupogoju: ( ξ x )J( ξ x )T = J = ( ξ x )T J( ξ x ),ξ(x) transformacija 23/06/08 20:29
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori 7/12 Kinematikamehanikekontinuuma 1. Kdajnatankojetenzordeformacijetrivialen? Natankotedaj,kojedeformacijatoga. 2. ZapišizvezoprideformacijimeddpindP. dp = FdP 3. Zapišimaterialniodvodhitrostnegapolja.Kajpredstavlja? Dv Dt = v t + grad( v ) v.predstavljaprostorskopoljepospeškov. 4. Izračunajodvodprostorskegavolumenskegaelementapočasu. D dv = div( v )dv Dt 5. Kajjeosnivektorpoševnosimetričnegadelaprostorskegagradienta hitrostnegapolja? 1 2 rot( v ) 6. Kakšnajezvezamedprostorskiminreferenčnimvolumenskim elementom? dv = det(f)dv 7. Kajjesledtenzorjadeformacijskihhitrosti? sl(d) = sl( 1 2 (grad( v ) + (grad( v )) T ) = sl(grad( v )) = div( v ) 8. Alilahkopriravninskemhitrostnempoljutokovniceinvrtinčnice sovpadajo? Ne,tokovnicetečejovzdolžpoljav,vrtinčnicepavzdolžpoljarot(v),tidve poljipastapravokotni( rot( v ) = v ) 9. Zapišitenzordeformacijeinnjengeometrijskipomen. E = 1 2 (F T F I).Primajhnihdeformacijahdiagonalnielementipovejo relativnospremembodolžinvsmerikoordinatnihosi,izvendiagonalni elementipapolovicokotadeformacije. 10. Kakšnajezvezamedprostorskiminreferenčnimločnimelementom? ds 2 = ( A 2E A +1)dS 2,kjerje A = dp dp. 11. Čemujeenakosnivektorpoševnosimetričnegadelatenzorja deformacijskihhitrosti? ω = 1 2 rot( v ) 12. Kajsotokovniceinkajsotirnice? Najbo F( p 0,t o,t) = p(t)rešitevdiferencialneenačbe dp dt = v ( p,t), p(t 0 ) = p 0. Tokovnicavčasut0jekrivulja,kisedotikahitrostnegapoljav(p,t0). Tirnica,kigreskozitočkop0včasut0jekrivulja F( p 0,t o,t) = p(t) 13. Zakateravektorskapoljapomikovjeinfinitezimalendeformacijski tenzortrivialen? ČejeUpoljeinfitezimalnihtogihpremikov,tojenatankotedaj,koje grad(u)poševnosimetričentenzor. 14. Kajsotirnice? 23/06/08 20:29
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori 8/12 Tirnica,kigrevčasut0skozitočkop0jerešitevdiferencialneenačbe dp = v( p,t) dt 15. Zapišitransportniizrekzavolumenskiintegral. D f dv = ( D f Dt b(t ) Dt + f div( v ))dv b(t ) 16. Napišiprimernestacionarnegahitrostnegapolja,prikateremtokovnicein tirnicesovpadajo. Takšenprimerjenpr.polje: V (x, y,z,t) = (1+ t 2 ) *(x,0,0) 17. Zapišipogoj,datokovniceinvrtinčnicesovpadajo. Pogojje,daobstajagladkafunkcijaf=f(x,y,z),zakateroveljaV=f*rot(V), oziroma poljistavzporedni. 23/06/08 20:29
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori 9/12 Fizikalniprincipmehanikekontinuuma 1. Zapišizakonoohranitvimasevintegralskiobliki. D ρdv = 0 Dt b(t ),zavsakitelovpodtelesomb 2. Kakojedefinirantenzornapetosti? PoCauchyjevihipotezijegostotapovršinskesilefunkcija t ( p,t, n ).Čeza vektor,kinienotski,definiramo t ( p,t, a ) = a a t ( p,t, a ),jetafunkcijav zadnjemargumentulinearna,zatolahkodefiniramonapetostnitenzorts predpisom t ( p,t, n ) = t(p,t) n 3. ZapišiCauchyjevomomentnoenačbo. ρ D v Dt = ρ f + div(t) 4. Kolikoenačbnamdajoprincipioohranitvimase,ogibalniinvrtilni količiniinkolikoneznanknastopavtehenačbah? Enačbje7:1oohranitvimase,3ogibalniin3ovrtilnikoličini.Neznanke so ρ, p, v,t,torejzanepolarnasredstva13neznank(takratjenapetostni tenzorsimetričen),sicer16.(alternativa:10neznank preveri!) 5. Vkaterismerijenormalnanapetostmaksimalna? Normalnanapetostjemaksimalnavsmerilastnegavektorjamatriket,ki pripadanajvečjilastnivrednosti. 6. Zapišizakonoohranitvimasevlokalniobliki. Dρ Dt + ρdiv( v ) = 0 7. Kjeležismermaksimalnestrižnenapetosti? Smermaksimalnestrižnenapetostileživsmerivsotelastnihvektorjev matriket,kipripadatanajvečjiinnajmanjšilastnivrednosti. 8. Zapišikontinuitetnoenačbo. Dρ Dt + ρdiv( v ) = 0 9. Kajjenormalnanapetostinkajjestrižnanapetost? Normalnanapetost: t n = (t n ) n. = Strižnanapetost: t s = t 2 t 2 n 10. Kdajjetenzornapetostisimetričeninzakaj? Čejesredstvonepolarno,jetenzornapetostisimetričen.Vtemprimeru namrečizprincipaovrtilnikoličinizavsakohelikoidalnopolje ω sledi D v ω dm + t ω da,odkoderizgaussovegaizrekaincauchyjeve Dt b b momentneenačbesledi t :W = 0zavsakpoševnosimetričnitenzorW. 11. Kakšajezvezamedvektorjemnapetostiintenzorjemnapetosti? t = tn 12. Kdajnatankojetenzornapetostisimetričen? Tenzornapetostijesimetričenčejesredstvonepolarno. 13. Alijelahkomaksimalnastrižnanapetostvečjaodmaksimalne normalnenapetosti?čeda,kdaj? 23/06/08 20:29
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori 10/12 Velja,dajemaksimalnastrižnavrednostenakapolovicirazlikemed maksimalnoinminimalnonormalnonapetostjo.zatojepoabsolutni vrednostimanjšaodmaksimalnenormanenapetosti,vendarpajelahko večjačesovsenormalnenapetostimanjšeodnič,maksimalnastrižnapa večjaodnič. 14. Nakateremprincipuinpredpostavkitemeljisimetričnosttenzorja napetosti? Simetričnostnapetostnegatenzorjatemeljinaprincipihogibalniinvrtilni količiniternapredpostavkinepolarnegakontinuuma. 15. ZapišiCauchyjevomomentnoenačbozaravnovesnipoložajbrez upoštevanjavolumenskihsil. div(t) = 0,tnapetostnitenzor. 16. Napišiprimernapetostnegatenzorja,kiimaničelnonormalnonapetostv smerikoordinatneosiinneničelnostrižnonapetost. t : t 1,2 = t 2,1 =1,ostalo0. 23/06/08 20:29
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori 11/12 Mehanikafluidov 1. Zapišimatematičnodefinicijofluida Fluidjekontinuum,vkateremjerazlikamednapetostjovdanismeriin hidrostatskimtlakomodvisnaleodlokalnegadeformacijskegagibanja. Alternativno:Kontinuumjefluid,čejenapetostnitenzorizotropična funkcijatenzorjadeformacijskihhitrosti(t=f(d)).pritemmoraveljati f(0)= pi. 2. ZaNewtonovfluidzapišinapetostnitenzor. t = ( p + λdiv( v ))I + 2µd,dtenzordeformacijskehitrosti. 3. Zapišikonstituivnozvezomednapetostjointenzorjemdeformacijskih hitrosti. Glej2. 4. Zakajjevizkoznostnikoeficient µpozitiven? Iz2.zakonatermodinamikeslediV : d = λ(div( v )) 2 + 2µd : d 0.Vbazi,v katerije ddiagonalen,topomeni λ(d 1 + d 2 + d 3 ) 2 + 2µ(d 2 1 + d 2 2 + d 2 3 ) 0,kar jezagotovole,čeje µ 0 5. KakšenjehitrostniprofilpriPoiseulliejevemutokuskozicevskrožnim presekom? v = A 4µ (R2 x 2 y 2 ),hitrostkvadratnopadazoddaljenostjoodsredišča. 6. NapišipogojeveljavnostiBernoullijevegaizreka Idealenfluid,izenotropičenalihomogeninnestisljiv,potencialno volumenskasila,stacionarnohitrostnopolje. 7. Kajje Δv? Δv = div(grad( v )) 8. Kolikšnajecirkulacijaizvoraokrogkrivulje,kiobkrožaizvor? Q Γ = v dp = (logr + iϑ )dz = Q 2π,cirkulacijajeenakaizvoru. c c 9. Zapišikompleksnipotencialtoka,sestavljenegaizenakomernegatokav smeriosix,dipolackoodrinatnemizhodiščuinvrtincaspolomv koordinatnemizhodišču.kajpredstavljatatok?kolikšnajerezultanta napetostinaobtekajočetelo? 1 F(z) = Uz + UR 2 z + Γ 2πi logz.predstavljaobtekanjevaljaspolmeromr. D = iρ ( df Silanaobtekajočetelo: 2 dz )2 dz = iγρ 10. Zapišienačbohidrostatike grad(p) + ρf = 0 11. NapišiNavier Stokesovoenačboinobkrožinjennelinearendel. ρ D v Dt = ρ f grad( p) + (λ + µ)grad(div( v )) + µδv. c 23/06/08 20:29
Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori 12/12 12. Kakšenjehitrostniprofiltokaviskoznegafluidameddvemavzporednima stenama,kigapoganjagibanjeenestene? Profiltokajelinearen: v = V h y 13. Zapišisplošnooblikoizotropičnetenzorskefunkcijedefiniranena prostorusimetričnihtenzorjev. t(ψ) = a 0 (ψ) + a 1 (ψ) + a 2 (ψ) tunekimanjka! 14. NapišiNavier Stokesovoenačbozanestisljivfluid R D V Dt = grad(p) + R F + µδv 15. AlijeEulerjevaenačbanelinearna?Čeje,kajjenjennelinearnidel? Eulerjevaenačbajenelinearna.Nelinearenčlenprideizmaterialnega Dv odvoda Dt = v t + x,x konvektivenčlen,kijenelinearen. 16. SkicirajtokovnicepriTaylor Couettovemutokumeddvemavaljema Tokovnicesokoncentričnekrožnicessrediščinaosiobehvaljev. 23/06/08 20:29