SPEKTRALNA TEORIJA V HILBERTOVIH PROSTORIH

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in ra unalni²tvo Diplomsko delo SPEKTRALNA TEORIJA V HILBERTOVIH PROSTORIH Mentor: dr. Matej Bre²ar Kandidatka: Brigita Fer ec Maribor, 2009

"Tako kot rastlina poºene iz semena in tudi ne more biti brez njega, tako vsako moje dejanje poºene iz skritih semen mojih misli in se ne bi moglo pojaviti brez njih." (Og Mandino) Zahvala Iskreno se zahvaljujem mentorju dr. Mateju Bre²arju za vso strokovno pomo, nasvete in trud ob nastajanju diplomskega dela. Hvala moji druºini za potrpeºljivost, razumevanje in vzpodbudo in Norbiju, ki mi je ves as ²tudija stal ob strani.

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO IZJAVA Podpisana Brigita Fer ec, roj. 25. 05. 1985, ²tudentka Fakultete za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, ²tudijskega programa enopredmetna pedago²ka matematika, izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom Spektralna teorija v Hilbertovih prostorih pri mentorju dr. Mateju Bre²arju avtorsko delo. V diplomskem delu so uporabljeni viri in literatura korektno navedeni; teksti in druge oblike zapisov niso uporabljeni brez navedbe avtorjev. Maribor, 2009

Program diplomskega dela Diplomsko delo naj obravnava omejene linearne operatorje na Hilbertovih prostorih. Glavni cilj je predstavitev spektralne teorije sebi-adjungiranih omejenih linearnih operatorjev. Osnovna literatura: A. L. Brown, A. Page, Elements of functional analysis, Van Nonstrand Reinhold Company, London, 1970. prof. dr. Matej Bre²ar

FERƒEC, B.: Spektralna teorija v Hilbertovih prostorih. Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Oddelek za matematiko in ra unalni²tvo, 2009. IZVLEƒEK V tem diplomskem delu je predstavljena osnovna teorija sebi-adjungiranih omejenih linearnih operatorjev na Hilbertovem prostoru. V za etnem delu so zajeti predvsem pojmi in izreki povezani z normiranimi, metri nimi in Banachovimi prostori. Nato so predstavljeni prostori s skalarnim produktom oz. Hilbertovi prostori, na katerih je ve poudarka. Opisani so pojmi, povezani z ortogonalnostjo in vpeljani so adjungirani operatorji. Kasneje so obravnavani sebi-adjungirani omejeni linearni operatorji na Hilbertovih prostorih kot posebej pomembni operatorji na tem podro ju. Navedene so razli ne vrste teh operatorjev in njihove lastnosti, pomembne za dokaz glavnega izreka v zadnjem poglavju diplomskega dela. Spektralni izrek za sebi-adjungirane omejene linearne operatorje je pomembno orodje v funkcionalni analizi, s katerim lahko vpra²anja o sebi-adjungiranih omejenih linearnih operatorjih reduciramo na vpra²anja o ortogonalnih projektorjih. Na njih pa je pogosto laºje odgovoriti. Klju ne besede: Normiran prostor, Banachov prostor, Hilbertov prostor, sebi-adjungirani omejeni linearni operator, spektralni izrek.

FERƒEC, B.: Spectral theory in Hilbert spaces. Graduation Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Sciences and Mathematics, 2009. ABSTRACT The theory of self-adjoint bounded linear operators on Hilbert spaces is presented. At the beginning we survey some basic facts concerning normed, metric and Banach spaces. Then we consider Hilbert spaces, i.e. Banach spaces with an inner product, which are the central topic of this diploma thesis. The notions related to orthogonality are examined, and adjoint operators are introduced. Further, the important class of self-adjoint operators is studied in greater detail. Some special subclasses are considered, and several theorems needed for the proof of the spectral theorem in the last section are established. The spectral theorem for self-adjoint operators is an important tool in functional analysis. It reduces certain questions on such operators to similar questions on projections, which are considerably easier to handle. Keywords: Normed space, Banach space, Hilbert space, self-adjoint bounded linear operator. spectral theorem. Math. Sci. Class.: 46B25 Classical Banach spaces in the general theory, (2000) 46C05 Hilbert spaces, 47B15 Hermitian and normal operators (spectral measures, functional calculus, etc.), 81Q10 Selfadjoint operator theory in quantum theory, including spectral analysis.

Kazalo 1 Uvod 8 2 Normirani prostori 10 2.1 Osnovne denicije in primeri.................... 10 2.2 Metri ni prostori.......................... 13 2.3 Banachovi prostori......................... 14 2.4 Omejeni linearni operatorji..................... 17 3 Hilbertovi prostori 19 3.1 Hermitske simetri ne forme.................... 19 3.2 Ortogonalnost (pravokotnost)................... 23 3.3 Adjungirani linearni operatorji................... 33 4 Sebi-adjungirani linearni operatorji 38 4.1 Sebi-adjungirani omejeni linearni operatorji............ 38 4.2 Sebi-adjungirani kompaktni linearni operatorji.......... 42 4.3 Pozitivni linearni operatorji.................... 46 4.4 Ortogonalni projektorji....................... 50 4.5 Funkcije sebi-adjungiranih omejenih linearnih operatorjev.... 53 5 Spektralni izrek 63 5.1 Spektralni izrek........................... 63 Literatura 67 7

Poglavje 1 Uvod Na razli nih podro jih naravoslovnih znanosti pogosto sre ujemo pojme: vektorski prostor, norma, Banachov prostor, Hilbertov prostor, linearen funkcional, linearen operator, sebi-adjungirani operator, spektralni radij in podobno. To pa so pojmi iz funkcionalne analize, matemati ne veje, ki na najbolj ²irok na in povezuje analizo z linearno algebro. Funkcionalna analiza je nastala na prehodu iz devetnajstega v dvajseto stoletje kot nadgradnja linearne algebre in klasi ne analize, ki obsega integralne in diferencialne ena be, variacijski ra un, razvijanje funkcij v vrste itd. šelja je bila, da bi nastala teorija, ki bi zaobjela posamezna matemati na podro ja imbolj enotno. Sestaviti je bilo treba tako teorijo, ki bi s svojimi aksiomi in iz teh izpeljanimi izreki obsegala enotno ve podro ij. Tukaj gre za neko abstrakcijo, zato v funkcionalni analizi govorimo o abstraktnih prostorih. Ko izberemo konkretne elemente v teh prostorih, dobimo razli ne tipe abstraktnih prostorov. Pomembno vlogo v funkcionalni teoriji imajo tudi operatorji, ki pa so posplo²itev funkcij iz klasi ne analize. Spektralna teorija operatorjev, oziroma spektralna analiza je pomembna veja funkcionalne analize in njene uporabe. V spektralni teoriji se ukvarjamo z inverznimi operatorji, povezavami med njimi, njihovimi originali in tudi z lastnostmi inverznih operatorjev. Osnovne pojme spektralne teorije bomo navedli le za omejene operatorje v normiranih prostorih in prostorih s skalarnim produktom. Torej bomo ²tudirali operatorje denirane na realnih ali kompleksnih Hilbertovih prostorih. Hilbertov prostor je poln (torej Banachov) vektorski prostor skupaj s skalarnim produktom, ki poraja normo tega prostora. Ti prostori so naravna posplo²itev kon no-dimenzionalnih prostorov R n in C n in so v mnogih primerih najpomembnej²i primeri Banachovih prostorov. Spektralna teorija dolo enih razredov linearnih operatorjev v Hilbertovih prostorih je obseºna. Njen utemeljitelj je nem²ki matemetik David Hilbert, ki se je s tem ukvarjal v letih od 1904 do 1910. Ta teorija je zelo uporabna pri prob- 8

lemu klasi ne analize, posebno pri prou evanju diferencialnih ena b. Je tudi nujno potrebna za prou evanje algebre operatorjev na Hilbertovih prostorih. Tak²na algebra je bila uporabljena v poskusu izgradnje matemati ne osnove za kvantno mehaniko. Na² cilj je ilustrirati razvoj spektralne teorije v Hilbertovih prostorih vse do glavnega izreka teorije. Najprej bomo razloºili del teorije o normiranih prostorih, nato pa bomo delno razloºili splo²no teorijo Hilbertovih prostorov, ki jo potrebujemo v na²i diskusiji spektralne teorije. Nadalje bomo pokazali, kako je lahko spektralna teorija kompaktnih operatorjev, ki jih ºe poznamo od prej, uporabna dalje v primeru kompaktnih sebiadjungiranih operatorjev na Hilbertovih prostorih. Sledila bo priprava tehni nih orodij, ki jih bomo uporabili v dokazu glavnega izreka spektralne teorije, kar je tudi na² kon ni cilj. 9

Poglavje 2 Normirani prostori V tem poglavju bomo vpeljali osnovne pojme, ki jih bomo v naslednjih poglavjih ve krat uporabili. Denirali bomo preslikavo, ki se imenuje norma. Tako pridemo do normiranih prostorov, ki so najpomembnej²i prostori v funkcionalni analizi. V nadaljevanju bomo denirali ²e eno preslikavo, ki se imenuje metrika, nato pa bomo spoznali pojem Banachovega prostora in izpeljali ²e nekaj tehni nih podrobnosti, ki veljajo za omejene linearne operatorje. 2.1 Osnovne denicije in primeri Z F bomo ozna evali eno izmed polj R ali C. Denicija 2.1.1. Naj bo X vektorski prostor nad F. Preslikava : X R se imenuje norma, e velja: (i.) x 0 za vse x X, (ii.) x = 0 = x = 0, (iii.) λx = λ x za vse x X in vse λ F, (iv.) x + y x + y za vse x, y X. Primer 2.1.2. Polje F je normiran prostor za (absolutna vrednost). Torej je x = x. Vsi ²tirje aksiomi so o itno izpolnjeni. Primer 2.1.3. Na prostoru n-teric F n je standardna norma denirana tako: (x 1, x 2,..., x n ) = x 1 2 + x 2 2 +... + x n 2. ƒe je F = R in je n = 2 ali n = 3, potem denirana norma sovpada z obi ajnim pomenom dolºine vektorja. 10

2.1 Osnovne denicije in primeri 11 Primer 2.1.4. V F n pa lahko vpeljemo razli ne druge norme. Npr. za vsak p 1 lahko vpeljemo "p-to normo". ƒe je p = 2, potem dobimo normo, ki smo jo denirali v prej²njem primeru. ƒe je p = 1, dobimo (x 1, x 2,..., x n ) 1 = x 1 + x 2 +... + x n. ƒe pa je p =, pa normo deniramo tako: (x 1, x 2,..., x n ) = max { x 1, x 2,..., x n }. Primer 2.1.5. Naj bo S neprazna mnoºica. Ozna imo B(S) = {f : S F/f omejena} f B(S) M > 0 : f(s) M za vsak s S. B(S) je vektorski prostor za obi ajni operaciji: V B(S) vpeljemo normo: (f + g)(s) = f(s) + g(s) (λf)(s) = λf(s). f = f = sup f(s). s S ƒe preverimo vse ²tiri aksiome iz denicije, ugotovimo, da je tudi to norma. Poglejmo dva posebna podprimera tega primera: (i.) S = {1, 2,..., n} nam v bistvu da F n z normo ( seveda je sup = { x 1, x 2,..., x n } = max { x 1, x 2,..., x n } ). (ii.) S = N; omejene funkcije iz N v F so seveda omejena zaporedja. Prostor B(N) ozna ujemo z l. Torej je l prostor vseh omejenih (realnih ali kompleksnih) zaporedij. Norma v l je: (x n ) = (x n ) = sup x n. n N Podprostor normiranega prostora je spet normiran. Posebej pomembna sta naslednja podprostora l : c = {(x n )/(x n ) konvergira} in { } c 0 = (x n )/ lim x n = 0. n

Normirani prostori 12 Na c in c 0 gledamo kot na normirana prostora, opremljena s sup normo, kjer velja c 0 c l. Naj bo sedaj p 1 in p R. Vpeljimo { } n l p = (x n ) \ ( x n p ) 1 p <. i=1 Ni teºko dokazati, da je ta prostor vektorski prostor. Prav tako velja, da je ta prostor normiran prostor z normo (x n ) = (x n ) p = ( x n p ) 1 p. Z izjemo trikotni²ke neenakosti, t.j. etrte to ke iz denicije so o itno izpolnjene vse zahteve, za-to pa ni povsem trivialno. Imenujemo jo neenakost Minkowskega. n=1 Primer 2.1.6. S C b (M) ozna imo prostor vseh omejenih in zveznih funkcij iz M v F : C b (M) = {f : M F/f omejena in zvezna} ; tu je M je metri ni prostor (glej 2.2.1). To je res vektorski prostor, saj je vsota zveznih funkcij zvezna funkcija in produkt zvezne funkcije s skalarjem je spet zvezna funkcija. Norma, ki jo deniramo na tem prostoru, je f = sup f(x). x M ƒe je M = K kompakten metri ni prostor, se stvari poenostavijo. Iz zveznosti omejenost takoj sledi in sup lahko nadomestimo z max, saj vsaka zvezna funkcija na kompaktni mnoºici doseºe minimum in maksimum. Torej je C(K) = {f : K F/f zvezna} normiran prostor z normo: f = max x M f(x). Posebni primer je prostor C[a, b] = {f : [a, b] F/f zvezna}.

2.2 Metri ni prostori 13 2.2 Metri ni prostori Denicija 2.2.1. Naj bo M vektorski prostor. Preslikava d : M M R se imenuje metrika, e zado² a naslednjim pogojem: (i.) d(x, y) 0 za vse x, y M, (ii.) d(x, y) = 0 = x = y, (iii.) d(x, y) = d(y, x) za vse x, y M, (iv.) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) za vse x, y, z M. Prostor M opremljen z metriko d imenujemo metri ni prostor. Spomnimo se nekaterih znanih pojmov v zvezi z metri nimi prostori: Odprta krogla: K r (a) = {x M/d(x, a) < r}. Zaprta krogla: K ( a) = {x M/d(x, a) r}. A M je odprta, e za vsak a A obstaja tak r > 0, da K r (a) A. Unija poljubne druºine odprtih mnoºic je odprta mnoºica. Presek kon ne druºine odprtih mnoºic je odprta mnoºica. A M je zaprta, e je A C = M odprta. Unija kon ne druºine zaprtih mnoºic je zaprta mnoºica. Presek poljubne druºine zaprtih mnoºic je zaprta mnoºica. Zaporedje je konvergentno natanko tedaj, ko ima limito. To je takrat, ko velja: lim a n = a ( ε > 0) ( n 0 N) : n n 0 = d(a n, a) < ε. n (a n ) je Cauchyjevo ( ε > 0) ( n 0 N) : n, m n 0 = d(a n, a m ) < ε. (a n ) je Cauchyjevo = (a n ) je konvergentno. ƒe je vsako Cauchyjevo zaporedje v M konvergentno, potem pravimo, da je M poln metri ni prostor.

Normirani prostori 14 ƒe je A M, sta ekvivalentni naslednji dve trditvi: (i.) A je zaprta. (ii.) A vsebuje limite svojih konvergentnih zaporedij ( e je (a n ) zaporedje v A, ki konvergira k a, potem je tudi a v A). 2.3 Banachovi prostori Izrek 2.3.1. Vsak normiran prostor je metri ni prostor z metriko d(x, y) = x y. Dokaz. Dokazati moramo, da je to res metrika. (i.) d(x, y) 0, torej x y 0. (ii.) d(x, y) = 0 = x = y, torej x y = 0 = x = y. (iii.) d(x, y) = x y = ( 1)(y x) = 1 y x = y x = d(y, x). (iv.) d(x, y) = x y = (x z)+(z y) x z + z y = d(x, z)+d(z, y). Vsak normiran prostor je metri ni prostor, obratno pa ne velja. Denicija 2.3.2. Poln normiran prostor imenujemo Banachov prostor. (torej je Banachov prostor normiran prostor, v katerem je vsako Cauchyjevo zaporedje konvergentno). Poglejmo si nekaj osnovnih primerov Banachovih prostorov. Izrek 2.3.3. Prostor l p je Banachov za vsak p 1. Dokaz. Norma zaporedja (x n ) v l p je (x n ) = (x n ) p = ( x n p ) 1 p. n=1

2.3 Banachovi prostori 15 Naj bo (x n ) cauchyjevo zaporedje v l p ; x n = (x 1n, x 2n, x 3n,...). Dokaºimo, da je (x n ) konvergentno. Ker je (x n ) Cauchyjevo, vemo, da za vsak ε > 0 obstaja tak n 0 N, da za vsaka n, m n 0 velja: x n x m < ε 2, torej je (x 1n x 1m, x 2n x 2m, x 2n x 2m,...) < ε, kar pomeni 2 ( i=1 x in x im p ) 1 p < ε 2 oziroma ( ε ) p x in x im p <. (2.1) 2 i=1 Sedaj ksiramo N N. Iz ( 2.1 ) sledi, da je x in x im p < ( ε 2 )p za vsak i N. Torej je (x i1, x i2, x i3,...) Cauchyjevo zaporedje ²tevil in zato konvergentno (pri zaporedjih realnih ali kompleksnih ²tevil velja, da je zaporedje Cauchyjevo natanko tedaj, ko je konvergentno). Torej obstaja x i = lim n x in. Tako smo dobili kandidata za na²o limito, ki je x = (x 1, x 2, x 3,...). Dokaºimo, da x l p in lim n x n = x. Iz ( 2.1) sledi: N x in x i p = i=1 = N i=1 N i=1 x in lim m x im p ( lim m x in x im p ) = lim ( N x in x im p ) m ( ε 2 )p. i=1 Za vsak N N in vsak n n 0 velja torej, da je N x in x i p ( ε 2 )p. i=1

Normirani prostori 16 To je N-ta delna vsota vrste in je manj²a ali enaka ( ε 2 )p. Zato je tudi x in x i p ( ε 2 )p < ε p (2.2) i=1 Zato je x n x l p in od tod sledi, da je x = x n (x n x) l p, saj je x n l p po predpostavki, x n x l p smo pravkar izra unali, razlika elementov iz l p pa je v l p, ker je l p vektorski prostor. Iz ( 2.2) sledi, da je x n x < ε za vse n n 0. Torej je lim n x n = x. Posledica 2.3.4. Prostor n-teric F n je Banachov za. Dokaz. Enak dokaz, kot za prej²nji izrek, le da imamo namesto vrst kon ne vrste. Izrek 2.3.5. Prostor B(S) je Banachov za. Dokaz. Naj bo (f n ) Cauchyjevo zaporedje. Za vsak ε > 0 obstaja tak n 0 N, da za vsaka n, m n 0 velja, da je f n f m < ε. Od tod takoj sledi, da je 2 sup s S f n (s) f m (s) < ε in zato f 2 n(s) f m (s) < ε za vse s S. Med 2 drugim velja, da je za vsak izbrani s S zaporedje ²tevil (f n (s)) Cauchyjevo in zato konvergentno. Denirajmo preslikavo f : S F, Dokazati moramo, da je f B(S) in f(s) = lim n f n (s). f = lim n f n. Vemo, da f n konvergira k f po to kah, dokazati pa moramo, da konvergira tudi enakomerno. Naj bo n n 0 in s S. Potem je f(s) f n (s) = lim m f m(s) f n (s) = lim m f m(s) f n (s) ε 2 < ε. Zato velja, da je f f n B(S) in zato f = (f f n ) + f n B(S), saj je vsota dveh omejenih funkcij omejena funkcija. Pokazati ²e moramo, da lim n f n = f.

2.4 Omejeni linearni operatorji 17 Ker je f(s) f n (s) ε 2 za vse s S in vse n n 0, je sup s S f(s) f n (s) < ε 2 in zato f f n ε 2 < ε za vse n n 0. Torej je lim f n = f. n Posledica 2.3.6. Prostor n-teric F n je Banachov za. Dokaz. S = {1, 2,..., n}. Posledica 2.3.7. Prostor l je Banachov prostor. Dokaz. l = B(N). Posledica 2.3.8. Prostor C b (M) je Banachov prostor. Dokaz. Sledi iz izreka, ker kot vemo, je enakomerna limita zveznih funkcij spet zvezna funkcija. Posledica 2.3.9. Prostor vseh zveznih funkcij na intervalu [a, b] (C[a, b]) je Banachov prostor ( z "max"normo). 2.4 Omejeni linearni operatorji Naj bosta X in Y normirana prostora. Operator A : X Y je linearni operator, e A(λx + µy) = λax + µay za vsaka x, y X. Vemo, da je preslikava f : M M zvezna v a M, e za vsak ε > 0 obstaja tak δ > 0, da e je d(x, a) < δ, potem je tudi d(f(x), f(a)) < ε. Zapi²imo sedaj denicijo zveznosti v normiranih prostorih. Preslikava f : X Y je zvezna v a X, e za vsak ε > 0 obstaja tak δ > 0, da iz x a < δ sledi f(x) f(a) < ε. Nas zanima primer, ko je f = A linearni operator. Lema 2.4.1. ƒe je linearni operator A : X Y zvezen v eni to ki, je zvezen.

Normirani prostori 18 Dokaz. Naj bo A zvezen v x 0. Naj bo ε > 0. Torej obstaja tak δ > 0, da e x x 0 < δ, potem Ax Ax 0 < ε. Izberimo to ko x 1 X in dokaºimo, da je A zvezen tudi v x 1. Pokazali bomo, da isti δ ustreza ºelenemu pogoju zveznosti. ƒe je x x 1 < δ, potem od tod sledi, da je x 0 (x + x 0 x 1 ) < δ. Ker je A zvezen v x 0, velja da je Ax 0 A(x + x 0 x 1 ) < ε. Operator A je linearni operator. Zato lahko zapi²emo Ax 0 A(x + x 0 x 1 ) = Ax 0 Ax Ax 0 + Ax 1 = Ax Ax 1 < ε. Izrek nam med drugim pove tudi to, da je linearni operator A : X Y zvezen natanko tedaj, ko je zvezen v 0. Naj bo ε > 0, potem obstaja tak δ > 0, da e je x < δ, potem od tod sledi Ax < ε. V nadaljevanju bomo povedali, kdaj je linearni operator A omejen in kako si lahko pri ugotavljanju zveznosti linearnega operatorja pomagamo z omejenostjo le-tega. Denicija 2.4.2. Linearni operator A : X Y je omejen, e obstaja taka konstanta M > 0, da je Ax M x za vse x X. Izrek 2.4.3. Linearni operator A : X Y je omejen natanko tedaj, ko je zvezen Dokaz. Vemo, da je linearni operator A omejen in ºelimo dokazati, da je zvezen. Ker je omejen, velja, da je Ax M x za vse x X in M > 0. Izberimo ε > 0, δ = ε > 0. ƒe je x < δ, potem je Ax M x < Mδ = M M ε = ε. Dokaºimo ²e, da iz zveznosti sledi omejenost linearnega operatorja M A. A je zvezen operator. Naj bo ε > 0. Obstaja δ > 0 tako, da e je x < δ, potem je Ax < ε. Izberimo ε = 1. Naj bo x X razli en od 0. Potem je Ker pa je δ x = 2 x M = 2. δ Ax = 2 x δ δ A( 2 x δ 2 x x = δ 2 x) = 2 x δ δ A( 2 x x) < δ, velja Ax < 2 x δ = 2 x in je zato δ

Poglavje 3 Hilbertovi prostori V normiranih prostorih smo vektorje (elemente) lahko se²tevali in jih mnoºili s skalarji, norma pa je dala tudi moºnost, da dolo imo dolºino vektorja. Vpeljali bomo dodatno operacijo, ki jo imenujemo skalarni produkt, prav ta pojem pa nas pripelje do novega prostora - Hilbertovega prostora. Prostor je imenovan po nem²kem matematiku Davidu Hilbertu (1862-1943), ki je ta prostor uvedel leta 1912. Tako je zgodovinsko gledano prostor s skalarnim produktom starej²i kot normiran prostor. V tem poglavju bomo razloºili splo²no teorijo v Hilbertovih prostorih, ki jo potrebujemo za nadaljnjo diskusijo. Zapisali bomo denicijo hermitske simetri ne forme in denicijo Hilbertovega prostora, dokazali nekaj lastnosti in pokazali primere. Nadalje bomo spoznali, kdaj sta dva vektorja ortogonalna (pravokotna) in kaj je to ortogonalni komplement. V zadnjem razdelku tega poglavja pa bomo izpeljali nekaj elementarnih lastnosti adjungiranega operatorja v Hilbertovem prostoru. 3.1 Hermitske simetri ne forme Skozi celotno poglavje bo X vektorski prostor na poljem F. Denicija 3.1.1. Preslikavi B : X X F re emo hermitska simetri na forma na X, e velja: (i.) B(αx+βy, z) = αb(x, z)+βb(y, z) za vsak x, y, z X in vsak α, β F in (ii.) B(x, y) = B(y, x) za vsak x, y X. 19

Hilbertovi prostori 20 Iz (i.) in iz (ii.) sledi, da je B(x, αy + βz) = αb(x, y) + βb(x, z) za vsak x, y, z X in vsak α, β F. Iz (ii.) sledi tudi, da je B(x, x) realno ²tevilo za vsak x X. Hermitska simetri na forma je nenegativna natanko tedaj, ko velja: (iii.) B(x, x) 0 za vsak x X in je pozitivna natanko tedaj, ko je nenegativna in velja: (iv.) B(x, x) = 0 natanko tedaj, ko je x = 0. Pozitivna hermitska simetri na forma na X se imenuje skalarni produkt na X. Najenostavnej²e primere skalarnega produkta dobimo, e vzamemo za X = F in B(x, y) = xy. Poglejmo si nekaj primerov skalarnega produkta, ki jih bomo v nadaljevanju najpogosteje omenjali. Primer 3.1.2. Preslikava B(x, y) = n x k y k, k=1 kjer sta x = (x 1, x 2,..., x n ) in y = (y 1, y 2,..., y n ) iz F n, denira skalarni produkt na F n. Primer 3.1.3. Predpis B(f, g) = 1 0 f(t)g(t)dt, f, g C[0, 1], ozna uje skalarni produkt na C[0, 1]. Primer 3.1.4. S predpisom B(x, y) = x n y n, x = (x n ) l 2, y = (y n ) l 2, deniramo skalarni produkt na l 2. Hölderjeva neenakost pravi, da e je (x n ) l p in (y n ) l q, potem vsota n=1 x n y n n=1

3.1 Hermitske simetri ne forme 21 absolutno konvergira in velja, da je x n y n ( x n p ) 1 p ( y n q ) 1 q. n=1 n=1 n=1 Ta neenakost nam med drugim pove tudi, da vrsta konvergira. n x k y k k=1 Izrek 3.1.5 (Schwarzova neenakost). Naj bo B nenegativna hermitska simetri na forma na X. Potem velja za vsak x, y X. B(x, y) 2 B(x, x)b(y, y), Dokaz. Za vsa realna ²tevila t in vsak α F, α = 1 imamo od tod pa sledi B(tαx + y, tαx + y) 0, t 2 B(x, x) + 2tRe(αB(x, y)) + B(y, y) 0. Iz te neenakosti najprej drºi, da moramo za vsak pozitivni realni t imeti Re(αB(x, y)) 2 B(x, x)b(y, y), za vsak α F, α = 1. ƒe α izberemo tako, da velja αb(x, y) = B(x, y), dobimo iz zadnje neenakosti B(x, y) 2 B(x, x)b(y, y). Izrek 3.1.6. Naj bo B nenegativna hermitska simetri na forma na X. Potem velja B(x + y, x + y) 1 1 1 2 B(x, x) 2 + B(y, y) 2, za vsak x, y X.

Hilbertovi prostori 22 Dokaz. Z uporabo Schwarzove neenakosti dobimo B(x + y, x + y) = B(x, x) + 2Re(B(x, y)) + B(y, y) B(x, x) + 2 B(x, y) + B(x, y) B(x, x) + 2B(x, x) 1 2 B(y, y) 1 2 + B(y, y) = (B(x, x) 1 2 + B(y, y) 1 2 ) 2. Posledica 3.1.7. Naj bo B skalarni produkt na X. Preslikava x B(x, x) 1 2 je norma na X ( x = B(x, x) 1 2 ). Dokaz. Sledi direktno iz izreka 3.1.6 in denicije skalarnega produkta. Izrek 3.1.8. ƒe norma izhaja iz skalarnega produkta, potem za vse x, y X velja x y 2 + x + y 2 = 2 x 2 + 2 y 2. Dokaz. Naj bo B skalarni produkt na X. Potem velja x y 2 + x + y 2 = B(x y, x y) + B(x + y, x + y) = 2B(x, x) + 2B(y, y) = 2 x 2 + 2 y 2. To enakost pogosto imenujemo paralelogramsko pravilo, saj ko je X = R 2 ali X = C, izraºa znan izrek v geometriji, ki pravi da je vsota kvadratov stranic v paralelogramu enaka vsoti kvadratov diagonal v paralelogramu. To nam dokazuje, da e norma vektorskega prostora X zado² a paralelogramskemu pravilu, potem norma izhaja iz skalarnega produkta. Naslednji dve lemi bomo zapisali in jih ne bomo dokazovali. Pri dokazu prve si pomagamo z denicijo skalarnega produkta, pri dokazu druge pa s Schwarzovo neenakostjo. Lema 3.1.9. Naj bo B skalarni produkt na X in x, y X tak²na, da zanju velja B(x, z) = B(y, z) za vsak z X. Potem x = y.

3.2 Ortogonalnost (pravokotnost) 23 Lema 3.1.10. Naj bo B skalarni produkt na X in naj bo norma na X denirana z x = B(x, x) 1 2. Potem je (x, y) B(x, y) zvezna preslikava iz X X v F. Zadnjo lemo lahko z drugimi besedami povemo, da je skalarni produkt zvezna preslikava iz X X v F. Da bo ozna evanje laºje, bomo skalarni produkt vektorjev x, y na Hilbertovem protoru H namesto z B(x, y) ozna ili z x, y. Denicija 3.1.11. Hilbertov prostor je poln vektorski prostor H nad F skupaj s skalarnim produktom,, ki poraja normo tega prostora. Primer 3.1.12. Skalarni produkt v F n nam da normo (x 1, x 2,..., x n ) 2 = x 1 2 + x 2 2 +... + x n 2. Glede na to normo je F n prostor. Banachov prostor in zato je (F n, 2 ) Hilbertov Primer 3.1.13. Skalarni produkt v l 2 porodi normo (x 1, x 2,...) 2 = x 1 2 + x 2 2 +..., kar je standardna norma prostora l 2. Vemo, da l 2 je Banachov prostor. Ta prostor s standardno normo oziroma standardnim skalarnim produktom bo za nas osnovni model Hilbertovega prostora. Primer 3.1.14. Skalarni produkt v C[a, b] nam porodi normo f = ( b Ta prostor pa ni poln in zato ni Hilbertov. a f(x) 2 dx) 1 2. 3.2 Ortogonalnost (pravokotnost) Denicija 3.2.1. Element x X je ortogonalen na y X, e je x, y = 0. Ker je x, y = y, x, lahko vidimo, da je x ortogonalen na y natanko tedaj, ko je y ortogonalen na x. Tako lahko nedvoumno re emo, da sta x in y ortogonalna. ƒe imamo podano neprazno podmnoºico A prostora H, deniramo A = {x H/ x, y = 0 za vsak y A}.

Hilbertovi prostori 24 A se imenuje ortogonalni komplement mnoºice A v H. Lema 3.2.2. Naj bo A neprazna podmnoºica prostora H. Potem je A zaprt, vektorski podprostor prostora H in velja A (A ). Dokaz. Naj bosta x, y A in α, β F. Dokaºimo, da je αx + βy A. Za vsak z A imamo αx + βy, z = α x, z + β y, z = 0. To pokaºe, da je αx + βy A in zato je A vektorski podprostor od H. Dokaºimo ²e zaprtost A. Zaporedje (x n ) naj bo konvergentno v A z limito x. Potem za vsak y A velja Po lemi 3.1.10 pa je to enako x, y = lim n x n, y. lim x n, y = 0. n Torej je x A in zato je A zaprt vektorski podprostor od H. Da je A (A ), pa je o itno. Primer 3.2.3. ƒe je H = R 2 in S = {e 1 }, potem je S = {(0, y)/ y R}. Denicija 3.2.4. Mnoºica K H je konveksna mnoºica, e iz x, y K sledi za vse 0 < λ < 1. λx + (1 λ)y K Izrek 3.2.5. Naj bo K neprazna, zaprta in konveksna podmnoºica prostora H in naj bo x 0 H. Potem obstaja natanko en k 0 K, da je d(x 0, K) = x 0 k 0. Dokaz. Naj bo δ = d(x 0, K) in izberimo tako zaporedje k n v K, da je lim n k n x 0 = δ. Dokazali bomo, da je zaporedje k n Cauchyjevo zaporedje. ƒe uporabimo paralelogramsko pravilo, dobimo 2 k m x 0 2 + 2 k n x 0 2 = (k m k n ) 2x 0 2 + k m k n 2 (3.1)

3.2 Ortogonalnost (pravokotnost) 25 za m, n = 1, 2,... Ker je K konveksna mnoºica, je 1 2 (k m + k n ) K in je zato (k m k n ) 2x 0 = 2 1 2 (k m + k n ) x 0 2δ (3.2) za m, n = 1, 2,... Nadalje, ker je lim n k n x 0 = δ, za vsak ε > 0 obstaja tako naravno ²tevilo N, da je k n x 0 < (δ 2 + ε2 4 ) 1 2 (3.3) za vsak n N. Iz (3.1), (3.2) in (3.3) sledi, da je k m k n < ε za vsak m, n. torej je zaporedje (k n ) Cauchyjevo zaporedje. Ker pa je H poln prostor, je zaporedje (k n ) konvergentno. Naj bo k 0 = lim n k n. Potem je k 0 K, ker je K zaprta mnoºica in k n K. Torej je k 0 x 0 = lim n k n x 0 = δ. Preostane dokazati, da je k 0 enoli en. Predpostavimo, da je k 0 K in k 0 x 0 = δ. Naj bo (h n ) zaporedje, denirano s h 2n 1 = k 0 in h 2n = k 0 za n = 1, 2,... Potem je h n K in lim n h n x 0 = δ. Torej zaporedje (h n ) konvergira. To pa je moºno samo, ko je k 0 = k 0. Izrek 3.2.6. Naj bo A zaprt vektorski podprostor prostora H. Potem je H = A A. Dokaz. Dokazati moramo, da je H = A + A in A A = {0}. ƒe je y A A, potem je y, y = 0. Od tod pa sledi, da je y = 0. Torej je v preseku res samo 0. Naj bo sedaj x H. H je zaprta, konveksna mnoºica in zato po izreku 3.2.5 obstaja x 1 A, tako da je d(x, A) = x x 1. Zapi²imo vektor x malo druga e in sicer x = x 1 + (x x 1 ). Dokaºimo, da je x x 1 A. Predpostavimo nasprotno, torej, da x x 1 ni iz prostora A. Torej obstaja y A, tako da x x 1, y 0.

Hilbertovi prostori 26 Brez ²kode za splo²nost lahko privzamemo, da x x 1, y R. Za poljubno realno ²tevilo t izra unajmo x x 1 ty 2 = x x 1 ty, x x 1 ty = x x 1 2 t y, x x 1 t x x 1, y + t 2 y 2 = x x 1 2 2t x x 1, y + t 2 y 2. Vstavimo za t = x x 1,y y 2 (to je dobro denirano, saj je y 0). x x 1 2 = x (x 1 + ty) 2 + 2 x x 1, y 2 y 2 x x 1,y 2 y 4 y 2 = x (x 1 + ty) 2 + x x 1, y 2 y 2. Od tod sledi, da je x (x 1 + ty) < x x 1. To pa je protislovje, ker je x 1 + ty A in popredpostavki je x 1 najbliºji vektorju x izmed vseh vektorjev v A. Posledica 3.2.7. Naj bo A zaprt, vektorski podprostor prostora H. Potem A = (A ). Dokaz. Lema 3.2.2 nam pove, da velja A A. Naj bo sedaj x (A ). Po izreku 3.2.6 je x = y + z, y A in z A. Torej je y, z = 0 in od tod sledi z, z = y, z + z, z = y + z, z = x, z = 0. Torej je z = 0 in zato x = y A. S tem smo dokazali (A ) A. Zadnji izrek nam pove, da ima vsak zaprt podprostor Hilbertovega prostora najmanj en ortogonalni komplement, ki je zaprt, vektorski podprostor in nam da eksplicitni opis takega podprostora. Za razliko od Hilbertovih prostorov pa v nekaterih Banachovih prostorih zaprti, vektorski podprostori nimajo komplementarnega zaprtega podprostora. Sedaj bomo povedali nekaj o omejenih linearnih funkcionalih v Hilbertovih

3.2 Ortogonalnost (pravokotnost) 27 prostorih. Za za etek se spomnimo, kaj je to linearni funkcional. Linearni funkcional f je linearna preslikava iz vektorskega prostora X v F. Linearni funkcional je zvezen natanko tedaj, ko je omejen. Torej, ko obstaja tak M > 0,, da velja f(x) M x za vsak x X. Norma linearnega funkcionala f je denirana f(x) f = sup x 0 x. Prostor vseh omejenih linearnih funkcionalov na prostoru X imenujemo dual prostora X in ga ozna imo z X. Torej X = B(X, F). Naj bo H Hilbertov prostor. Iz Schwarzove neenakosti sledi, da je za vsak ksni y H preslikava f(x) = x, y omejen linearni funkcional na H. Naslednji izrek pa nam bo povedal, da velja tudi obratno. Izrek 3.2.8 (Rieszov izrek). Naj bo f omejen linearni funkcional na H. Potem obstaja enoli no dolo en y H, da velja f(x) = x, y za vsak x X. Velja pa tudi f = y. Dokaz. ƒe je f = 0, lahko vzamemo y = 0. Predpostavimo, da f 0 in naj bo N = {x H/f(x) = 0}. Ker je f neni elni, omejeni linearni funkcional, je N zaprt linearni podprostor prostora H in N H. Po izreku 3.2.6 je H = N N in moramo imeti N {0}. Opazimo, da e je x N in f(x) = 0, potem je x N N in zato x = 0. Izberimo tak z N, da z 0 in naj bo λ = f(z). Opazimo, da λ 0, saj e bi bi λ = 0, bi z N, torej bi z N N = {0}. Od tod bi sledilo, da je z = 0, rekli pa smo, da je z 0. Naj bo x H. Po Izreku 3.2.6 lahko x zapi²emo kot x = u + v, kjer je u N in v N. Ker je z N in v N, je tudi njuna linearna kombinacija

Hilbertovi prostori 28 v λ 1 f(v)z N in velja f(v λ 1 f(v)z) = f(v) λ 1 f(v)f(z) = f(v) λ 1 f(v)λ = 0. Zato je v λ 1 f(v)z N in od tod sledi, da je v λ 1 f(v)z N N. Torej je v λ 1 f(v)z = 0 in od tod v = λ 1 f(v)z. Sledi, da je in zato x, z = u + v, z = u, z + v, z = v, z = λ 1 f(v)z, z = λ 1 f(v) z, z f(x) = f(u) + f(v) = 0 + f(v) = λ x, z = λ z, z x, z z 2 ( u, z = 0, saj je u N in z N in f(u) = 0, saj je u N). Torej je f(x) = x, y, kjer je y = λ z 2 z. Enoli nost izhaja iz leme 3.1.9. Iz Schwarzove neenakosti dobimo f(x) = x, y x y za vsak x H. Zatorej f y. Po drugi strani pa je y 2 = y, y = f(y) f y in zato y f. Torej je y = f. Denicija 3.2.9. Neprazna podmnoºica A prostora H je ortonormirana, e velja: (i.) x, y = 0 za vsak x, y A, x y in (ii.) x, x = 1 za vsak x A.

3.2 Ortogonalnost (pravokotnost) 29 Lema 3.2.10. Vsaka ortonormirana podmnoºica prostora H je linearno neodvisna. Dokaz. Naj bo A ortonormirana podmnoºica prostora H in naj bo {x 1, x 2,..., x n } kon na podmnoºica mnoºice A. ƒe λ 1, λ 2,..., λ n F, da velja potem imamo za vsak m = 1, 2,..., n λ 1 x 1 + λ 2 x 2 +... + λ n x n = 0, 0 = λ 1 x 1, x m + λ 2 x 2, x m +... + λ n x n, x m = λ m. Torej je mnoºica {x 1, x 2,..., x n } linearno neodvisna mnoºica. Neskon na mno- ºica je linearno neodvisna, e je vsaka njena kon na podmnoºica linearno neodvisna. Torej je A linearno neodvisna podmnoºica prostora H. Izrek 3.2.11. Naj bo A ²tevna, linearno neodvisna podmnoºica prostora H. Potem obstaja taka ²tevna ortonormirana podmnoºica B prostora H, da ima isto linearno lupino kot mnoºica A. Dokaz. Izrek bomo dokazali za primer, ko je A neskon na. Z malo modikacijo se dokaºe isto za A je kon na podmnoºica prostora H. Naj bo A = {x 1, x 2,...}. Induktivno bomo skonstruirali ²tevno, ortonormirano mnoºico {u 1, u 2,...} v H, da bo za vsak n = 1, 2,... u n = α 1n x 1 + α 2n x 2 +... + α nn x n (3.4) x n = β 1n u 1 + β 2n u 2 +... + β nn u n, (3.5) kjer so α 1n,..., α nn, β 1n,..., β nn F. Naj bo u 1 = x 1 1 x 1. Predpostavimo, da so elementi u 1, u 2,..., u m, ki so elementi H, izbrani tako, da je mnoºica {u 1, u 2,..., u m } ortonormirana in sta pogoja (3.4) in (3.5) izpolnjena za vsak n = 1, 2,..., m. Naj bo y = x m+1 x m+1, u 1 u 1... x m+1, u m u m. Potem je y, u n = 0 za n = 1,..., m. ƒe je mnoºica {x 1, x 2,..., x m+1 } linearno neodvisna, sledi iz (3.4), da je y = 0. Naj bo u m+1 = y 1 y. Jasno je, da je {u 1, u 2,..., u m+1 } ortonormirana mno- ºica in pogoja (3.4) in (3.5) sta izpolnjena za vsak n = 1, 2,..., m + 1. Tako smo induktivno denirali zaporedje (u n ). Zvezi (3.4) in (3.5) pokaºeta, da ima ortonormirana mnoºica B = {u 1, u 2,...} isto linearno lupino kot mnoºica A.

Hilbertovi prostori 30 Proces ortogonalizacije opisan v dokazu izreka 3.2.11 imenujemo Gram-Schmidtov postopek ortogonalizacije. Zapi²imo ²e dve posledici izreka 3.2.11. Dokaz prve je o iten in ga izpustimo. Posledica 3.2.12. Vsak Hilbertov prostor H z dimenzijo n vsebuje kako ortonormirano mnoºico, ki je baza. Velja pa tudi obratno, da je vsaka ortonormirana mnoºica z n elementi baza. Posledica 3.2.13. Naj bo H neskon no dimenzionalen Hilbertov prostor. Potem ima H neskon no ortonormirano podmnoºico. Dokaz. Po izreku 3.2.11 zado² a dokazati, da H vsebuje neskon no linearno neodvisno podmnoºico. Naj bo x 1 0 in x 1 H. Elementi x 1, x 2,..., x n so izbrani tako, da je {x 1, x 2,..., x n } linearno neodvisna. ƒe za vsak y H mno- ºica {x 1, x 2,..., x n, y} ni linearno neodvisna, sledi, da je H n-dimenzionalen. Torej obstaja najmanj en element x n+1 H tako, da je mnoºica {x 1, x 2,..., x n, x n+1 } linearno neodvisna. Tako smo induktivno denirali zaporedje (x n ) v H tako, da je mnoºica {x 1, x 2,...} linearno neodvisna. Denicija 3.2.14. Ortonormirana mnoºica M je ortonormirana baza, e je njen ortogonalni komplement trivialen (M = {0}). Denicija 3.2.15. Ortonormirana podmnoºica prostora H se imenuje maksimalna natanko tedaj, ko ni prava podmnoºica od nobene druge ortonormirane podmnoºice prostora H. Denicijo (3.2.14) lahko povemo tudi tako; ne obstaja neni elni vektor v H, ki je ortogonalen na vse vektorje iz M ali tudi, ne obstaja taka ortonormirana mnoºica M, da bi bilo M M. Torej je ortonormirana baza iso kot maksimalna ortonormirana mnoºica. Standardni dokaz s Zornovo lemo pa nam pokaºe, da vsak Hilbertov prostor vsebuje maksimalno ortonormirano mnoºico, torej ortonormirano bazo. Zapi²imo ²e dve lemi, s pomo jo katerih bomo dokazali izrek, na katerega se bomo v naslednjem poglavju ve krat sklicali. Lema 3.2.16. Naj bo {u 1, u 2,..., u n } kon na ortonormirana podmnoºica od H, x H in naj bo n s = x, u k u k. k=1

3.2 Ortogonalnost (pravokotnost) 31 Potem je in n s 2 = x, u k k=1 x 2 s 2 = x s 2. Dokaz. Ker je s 2 = s, s, sledi da je n s 2 = x, u k x, u j u k, u j = k,j=1 n x, u k 2. k=1 Iz ena be s, x = n x, u k u k, x = n x, u k 2 = s 2. k=1 k=1 pa sledi x s 2 = x s, x s = x, x s, x x, s + s, s = x 2 s 2. Lema 3.2.17. Naj bo f nenegativna realna funkcija na neprazni mnoºici X in predpostavimo, da imamo realno ²tevilo K, da velja n f(x k ) K k=1 za vsako kon no podmnoºico {x 1, x 2,..., x n } mnoºice X. Potem je mnoºica ²tevna. {x X : f(x) 0} Dokaz. Za n = 1, 2,... naj bo X n = { x X : f(x) K n }. O itno je, da lahko ima mnoºica X n najve n elementov in po izreku, ki pravi, da je unija ²tevne druºine ²tevnih mnoºic ²tevna, je mnoºica n=1 X n

Hilbertovi prostori 32 ²tevna. Jasno je, da je {x X : f(x) 0} = X n. n=1 Izrek 3.2.18. Naj bo M maksimalna ortonormirana podmnoºica prostora H in naj bo x H in M x = {u M : x, u 0}. Potem je mnoºica M x ²tevna. Nadalje, e mnoºica M x sestoji iz elementov u 1, u 2,..., potem je in x = x 2 = x, u n u n n=1 x, u n 2. n=1 Dokaz. Iz leme 3.2.16 sledi, da je za vsako kon no podmnoºico {v 1, v 2,..., v n } mnoºice M n x, v k 2 x 2. k=1 Zato je po lemi 3.2.17 mnoºica M x ²tevna. Naj bodo u 1, u 2,... elementi mnoºice M x in naj bo n s n = x, u k u k k=1 za n = 1, 2,... Naj bosta m, n N in m > n. Potem je in iz leme 3.2.16 dobimo s m s n = s m s n 2 = m k=n+1 m k=n+1 x, u k u k Lema 3.2.16 pa nam pove tudi, da je za n = 1, 2,... x, u k 2. (3.6) n x, u k 2 = s n 2 = x 2 x s n 2 x 2. (3.7) k=1

3.3 Adjungirani linearni operatorji 33 Iz (3.7) sledi, da vrsta n x, u k 2 k=1 konvergira in iz (3.6) sledi, da je zaporedje (s n ) Cauchyjevo zaporedje v H. Ker je H poln, je zaporedje (s n ) konvergentno. Naj bo y = lim n s n. Po lemi 3.1.10 velja za vsak u M,da je y, u = lim n s n, u = lim n n x, u k u k, u. (3.8) ƒe je u M x, potem je u = u j za nek j N in (3.8) pokaºe, da y, u = x, u. ƒe je u M \ M x, potem je u u k za k = 1, 2,... in (3.8) pokaºe, da y, u = 0 = x, u. Zato je y x, u = 0 za vsak u M in zato y x M. Ker pa je M maksimalna ortonormirana podmnoºica od H, je M = {0} in zato je y = x. Torej je x = x, u k u k in iz (3.7) sledi, da k=1 k=1 x 2 = lim s n 2 n n = lim n x, u k 2 = k=1 x, u k 2 k=1 Iz zgornjega izreka sledi, da e je M maksimalna ortonormirana podmnoºica prostora H, potem je zaprtje linearne lupine od M kar H. 3.3 Adjungirani linearni operatorji Termin "adjungirani operator"ima dva dobro znana pomena: eden je za operatorje na Banachovih prostorih in drugi za operatorje na Hilbertovih prostorih. Denicija adjungiranega operatorja na Hilbertovih prostorih je odvisna

Hilbertovi prostori 34 od naslednjega izreka, ki pa je v glavnem odvisen od izreka 3.2.8. Mnoºica B(H) naj ozna uje vse omejene, linearne operatorje iz prostora H v prostor H. Izrek 3.3.1. Za vsak operator T B(H) obstaja enoli no dolo en operator T B(H) tako, da je T x, y = x, T y (3.9) za vsak x, y H. Dokaz. Naj bo T B(H). Za vsak y H naj bo x y funkcional na H deniran z x y(x) = T x, y za vsak x H. Jasno je, da je x y linearen in iz Schwarzove neenakosti sledi tudi, da je omejen, saj je x y(x) = T x, y T x y T x y za vsak x, y H in zato je x y T y. Po izreku 3.2.8 vsakemu y H ustreza enoli en T y H z x y(x) = x, T y za vsak x H. To dolo a preslikavo T v H, ki zado² a (3.9). Preostane dokazati, da T B(H) in da je T enoli en. Naj bo y, z H in α, β F. Za vsak x H imamo Zato je po lemi 3.1.9 x, T (αy + βz) = T x, αy + βz = α T x, y + β T x, z = α x, T y + β x, T z = x, αt y + βt z. T (αy + βz) = αt y + βt z. Zgoraj smo pokazali, da x y T y za vsak y H. Po izreku (3.2.8) imamo x y = T y tako, da T y T y za vsak y H. To dokazuje, da T B(H) in T T. Enoli nost T sledi direktno iz leme 3.1.9.

3.3 Adjungirani linearni operatorji 35 Denicija 3.3.2. Naj bo T B(H). Operator T B(H), ki zado² a T x, y = x, T y za vsak x, y H, imenujemo adjungirani operator operatorja T. Opazili smo, da T x, y = y, T x = T y, x = x, T y za vsak x, y H. Primer 3.3.3. Naj bo T linearni operator na Hilbertovem prostoru F n in naj bo {e 1, e 2,..., e n } ortonormirana baza v F n ( tak²na baza obstaja po posledici 3.2.12). Naj bosta (τ jk ) in (τjk ) matriki, ki vsaka zase pripadata operatorjema T in T ter ustrezata tej bazi. Potem imamo T e k = n τ jk e j j=1 za k = 1, 2,..., n in tako T e k, e j = τ jk za vsak j, k = 1, 2,..., n. Podobno tudi Zato imamo za vsak j, k = 1, 2,..., n T e k, e j = τ jk. τ jk = T e k, e j = e k, T e j = τ kj. To pokaºe, da je matrika (τ jk ) hermitirana matrika matrike (τ jk). V preostanku tega poglavja se bomo posvetili izpeljavi nekaterih elementarnih lastnosti adjungiranega operatorja na Hilbertovih prostorih. Lema 3.3.4. Naj bosta T, L B(H) in α F. Potem veljajo naslednje lastnosti: (i.) (T + S) = T + S, (ii.) (αt ) = αt, (iii.) (T S) = S T, (iv.) (T ) = T,

Hilbertovi prostori 36 (v.) I = I, (vi.) T je obrnljiv (glej 4.5.1) natanko tedaj, ko je T obrnljiv, potem je (T ) 1 = (T 1 ). obrnljiv in e je T Dokaz. To ke (i.) (v.) sledijo direktno iz denicije 3.3.2.Dokaºimo to ko (vi.). Predpostavimo, da je T obrnljiv. Potem je I = T T 1 = T 1 T in e uporabimo (iii.) in (v.), dobimo in I = (T T 1 ) = (T 1 ) T I = (T 1 T ) = T (T 1 ). To pokaºe, da je T obrnljiv in da (T ) 1 = (T 1 ). Kon no, e je T obrnljiv, potem po (i.) in s tem, kar smo pravkar dokazali, sledi, da je T = (T ) tudi obrnljiv. Posledica 3.3.5. Za vsak T B(H) je T = T. Dokaz. Naj bo T B(H). V dokazu izreka 3.3.1 smo videli, da T T. Iz te neenakosti in leme 3.3.4 dobimo T = (T ) T. Torej je T = T. Izrek 3.3.6. Za vsak T B(H) je T T = T T = T 2. Dokaz. Naj bo T B(H). Z uporabo posledice 3.3.5 dobimo T T T T = T 2. Po drugi strani dobimo z uporabo Schwarzove neenakosti T 2 = sup { T x 2 : x 1 } = sup { T x, T x : x 1} = sup { (T T )x, x : x 1} sup { (T T )x x : x 1} T T.

3.3 Adjungirani linearni operatorji 37 To dokazuje, da T T = T 2. T T = (T ) T = T 2 = T 2. Posledica 3.3.7. Naj bo T B(H) tak²en, da T T = T T. Potem T 2 = T 2 in zato lim T n 1 n = T. n Dokaz. Predpostavimo, da T 0. Tri uporabe izreka 3.3.6 nam dajo Torej je Z indukcijo dobimo za k = 1, 2,..., n in zato imamo T 4 = T T 2 lim n T n 1 n = (T T )(T T ) = (T T )(T T ) = (T 2 ) T 2 = T 2 2. T 2 = T 2. T 2k = T 2k = lim T 2k 2 k = T. n Operator T B(H), za katerega velja T T = T T, se imenuje normalen.

Poglavje 4 Sebi-adjungirani linearni operatorji Na osnovi adjungiranega operatorja v Hilbertovem prostoru deniramo posebne operatorje, to so sebi-adjungirani, unitarni in normalni operatorji. Za nas bodo v tem poglavju pomembni predvsem sebi-adjungirani operatorji. Operator T se imenuje sebi-adjungiran, e je T = T. 4.1 Sebi-adjungirani omejeni linearni operatorji S S ozna imo mnoºico vseh sebi-adjungiranih omejenih linearnih operatorjev na H. Elementi v S so poznani tudi kot simetri ni operatorji. Iz denicije adjungiranega operatorja sledi, da je T B(H) sebi-adjungiran natanko tedaj, ko je T x, y = x, T y za vsak x, y H. Iz denicije tudi sledi, da je sebi-adjungirani omejeni linearni operator normalen. Spektralna teorija sebi-adjungiranih omejenih linearnih operatorjev na kompleksnem Hilbertovem prostoru, ki je razvita v preostanku tega poglavja, posplo²uje elementarno teorijo diagonalizacije hermitskih simetri nih matrik. Obravnavajmo sebi-adjungirani linearni operator na Hilbertovem prostoru C n iz primera 3.1.2. Naj bo (τ jk ) matrika, ki predstavlja operator T v ustrezni ortonormirani bazi v C n. Primer 3.3.3 pokaºe, da τ jk = τ kj za j, k = 1, 2,..., n. Zato je matrika (τ jk ) hermitska. Iz elementarne teorije diagonalizacije hermitskih simetri nih matrik sledi, da 38

4.1 Sebi-adjungirani omejeni linearni operatorji 39 imamo ustrezno ortonormirano bazo v C n, v kateri je T predstavljena kot diagonalna matrika. Zato imamo tak²na kompleksna ²tevila λ 1, λ 2,..., λ n, da je T u j = λ j u j za j = 1, 2,..., n. Za x C n imamo po izreku 3.2.18 x = n x, u j u j j=1 in zato T x = n λ j x, u j u j. (4.1) j=1 Omejen linearen operator na kompleksnem Hilbertovem prostoru, ki je tako sebi-adjungiran, kot tudi kompakten, je lahko predstavljen v obliki iz izreka 4.2.6, ki je direktna posplo²itev (4.1). Zapi²imo (4.1) v obliki, ki je primerna za nadaljnjo posplo²itev. Naj bodo E 0, E 1,..., E n sebi-adjungirani projektorji na C n, ki so denirani z ena bami E k x = E 0 x = 0 k x, u j u j j=1 za x C n in k = 1, 2,..., n. Potem nam (4.1) da T = n λ j (E j E j 1 ). (4.2) j=1 Spektralni izrek za sebi-adjungirane omejene linearne operatorje na kompleksnih Hilbertovih prostorih nam da reprezentacijo za tak²ne operatorje, ki je direktna posplo²itev (4.2). Preostanek tega razdelka bomo posvetili elementarnim lastnostim sebi-adjungiranega omejenega linearnega operatorja na H. Izrek 4.1.1. Naj bosta T, S S in α, β R. Potem je αt + βs S. Nadalje je T S S natanko tedaj, ko je T S = ST. Dokaz. Iz leme 3.3.4 ((i.) in (ii.)) sledi, da je αt + βs S. Iz te leme ((iii.)) tudi sledi, da je (T S) = S T = ST.

Sebi-adjungirani linearni operatorji 40 Torej, e je T S S, potem je (T S) = T S = ST in obratno, e je T S = ST, je (T S) = ST = T S in je zato T S S. Izrek 4.1.2. Predpostavimo, da je H kompleksen Hilbertov prostor in T B(H). Potem je T sebi adjungiran natanko tedaj, ko je T x, x realno ²tevilo za vsak x H. Dokaz. ƒe je T sebi-adjungiran, potem imamo za vsak x H T x, x = x, T x = T x, x in zato je T x, x realno ²tevilo. Pokaºimo ²e, da velja tudi obrat. Naj bo T x, x R za vsak x H. Potem iz denicije skalarnega produkta sledi, da je T x, x = T x, x = x, T x (4.3) za vsak x H. Dva elementarna izra una pokaºeta, da za vsak x, y H velja: in 4 T x, y = T (x + y), x + y T (x y), x y +i T (x + iy), x + iy i T (x iy), x iy (4.4) 4 x, T y = x + y, T (x + y) x y, T (x y) +i x + iy, T x + iy) i x iy, T (x iy). (4.5) Ena be (4.3), (4.4) in (4.5) pokaºejo, da je T x, y = x, T y za vsak x, y H. Zato je T sebi-adjungiran. Izrek 4.1.3. Za vsak T S velja T = sup { T x, x : x 1}. Dokaz. Naj bo T S in α = sup { T x, x : x 1}. Z uporabo Schwarzove neenakosti dobimo T x, x T x x T x x 2 za vsak x H in zato je α T. Iz denicije α sledi, da je T x, x T x x α x 2 (4.6)

4.1 Sebi-adjungirani omejeni linearni operatorji 41 za vsak x H. Preprost izra un pokaºe, da je T (x + y), x + y T (x y), x y = 4Re T x, y (4.7) za vsak x, y H. Z uporabo (4.6) in (4.7) ter paralelogramskim pravilom dobimo 4 Re T x, y T (x + y), x + y + T (x y), x y α( x + y 2 + x y 2 ) = 2α( x 2 + y 2 ) za vsak x, y H. Naj bo x H z x 1 in T x 0. ƒe v zadnjo neena bo vstavimo y = T x 1 T x, dobimo T x = Re T x, T x 1 T x 1 4 2α( x 2 + 1) 1. Zadnja neenakost je resni na, ko je T x = 0, torej imamo T = sup { T x : x 1} α. Lema 4.1.4. Naj bo H kompleksen Hilbertov prostor in T S. Potem so lastne vrednosti operatorja T realne in lastni vektorji operatorja T, ki pripadajo razli nim lastnim vrednostnim, ortogonalni. Dokaz. Naj bo λ lastna vrednost operatorja T in naj bo x pripadajo i lastni vektor. Potem je T x, x = λ x, x in zato je λ realno ²tevilo, saj je T x, x realno ²tevilo in x, x pozitivno realno ²tevilo. Naj bo µ lastna vrednost operatorja T in µ λ ter y pripadajo lastni vektor k µ. Ker sta λ in µ realni, imamo λ x, y = λx, y = T x, y = x, T y = x, µy = µ x, y. Ker je µ λ, je x, y = 0 in zato sta x in y ortogonalna. Lema 4.1.5. Naj bo T S in naj bo F linearni podprostor prostora H s T (F ) F. Potem je T (F ) F. Dokaz. x, T y = T x, y = 0 za vsak x F in vsak y F.

Sebi-adjungirani linearni operatorji 42 4.2 Sebi-adjungirani kompaktni linearni operatorji Eden od prvih uspehov v funkcionalni analizi izvira iz leta 1916, ko je F. Riesz v dokazu Fredholmovega rezultata za linearne integralne ena be uporabil metodo z vektorskimi prostori. Koncept normiranega prostora ²e takrat ni bil formuliran. Riesz, ki je takrat delal z integralnimi ena bami, je posplo²il postopek z uporabo posebne skupine linearnih operatorjev, ki jih danes imenujemo kompaktni operatorji. V tem razdelku naj T ozna uje kompakten, sebi-adjungiran linearni operator na neni elnem kompleksnem Hilbertovem prostoru H. Predpostavimo tudi, da je H neskon no dimenzionalen. Denicija 4.2.1. Linearni operator T : H H se imenuje kompakten natanko tedaj, ko ima za vsako omejeno zaporedje (x n ) v H zaporedje (T x n ) konvergentno podzaporedje. Denirajmo na tem mestu dva pojma v funkcionalni analizi, ki jih bomo uporabljali v nadaljnji diskudiji. To je pojem spektra in pojem jedra operatorja. Denicija 4.2.2. Naj bo A omejen linearni operator na neni elnem kompleksnem vektorskem prostoru X. Spekter operatorja A je mnoºica {λ C/λI A ni obrnljiv}. Spekter operatorja A ozna imo s sp(a). Denicija 4.2.3. Naj bo A linearni operator na prostoru X. Jedro A je Ker(A) = {x X/ Ax = 0}. Jedro operatorja A je podprostor prostora X. Naslednjo lemo bomo uporabili v nadaljevanju, zato jo zapi²imo, njen dokaz pa izpustimo. Lema 4.2.4. Naj bo X normiran prostor nad F in T naj ozna uje kompaktni linearni operator na X. Potem je Ker(I T ) zaprt in kon no dimenzionalen linearni podprostor prostora X. Spekter operatorja T sestoji iz elementa 0 skupaj s ²tevno mnoºico neni elnih, realnih lastnih vrednosti operatorja T, katerih edina moºna limitna to ka je 0.

4.2 Sebi-adjungirani kompaktni linearni operatorji 43 Obravnavali bomo samo primer, ko ima T neskon no mnogo lastnih vrednosti. Naj bodo λ 1, λ 2,... neni elne lastne vrednosti operatorja T z λ n λ n+1 za n = 1, 2,... in naj bo N n = Ker(λ n I T ) = {x H \ T x = λ n x} za n = 1, 2,.... Mnoºica N n je linearni podprostor prostora H sestavljen iz to ke 0 skupaj z lastnimi vektorji operatorja T, ki pripadajo lastnim vrednostim λ n. Lema 4.2.4 nam pove, da je, da je N n kon no dimenzionalen in tako { lahko po posledici 3.2.12 } izberemo ortonormirano bazo za N n, recimo umn 1+1, u mn 1+2,..., u mn (kjer m0 = 1). Lema 4.1.4 pokaºe, da e je n m, potem je vsak element iz N n ortogonalen na vsak element iz N m. Sledi, da je mnoºica {u 1, u 2,...} ortonormirana. Z F bomo ozna ili zaprto linearno lupino mnoºice {u 1, u 2,...}. Lema 4.2.5. T (F ) F in T F = 0. Dokaz. Ker je vsak element mnoºice {u 1, u 2,...} lastni vektor za T, lahko hitro preverimo, da je T (F ) F in zato iz leme 4.1.5 sledi, da je T (F ) F Torej je T F sebi-adjungiran omejen linearni operator na Hilbertovem prostoru F. Po posledici 3.3.7 obstaja λ sp(t F ) z λ = T F. Recimo, da je T F 0. Lahko je preveriti, da je operator T F kompakten. Zato je λ lastna vrednost operatorja T F. Naj bo x lastni vektor operatorja T F, ki mu ustreza lastna vrednost λ. Potem je T x = (T F )x = λx in zato je λ lastna vrednost za T. Torej je λ = λ n za neki n N in zato je x N n. Ker je N n F in x F, je x = 0, kar pa je protislovje. Torej je T F = 0. V dokazu smo uporabili nekatere rezultate iz funkcionalne analize, ki jih poznamo ºe od prej in jih v ta namen nismo ponovno zapisovali. Lahko je tudi videti, da je F = Ker(T ). Naj bo sedaj µ n = λ k za n = m k 1 + 1, m k 1 + 2,..., m k in k = 1, 2,... Potem o itno imamo T u n = µ n u n za n = 1, 2,... Naslednji izrek bo posplo²il elementarni izrek opisa diagonalizacije hermitskih simetri nih matrik. Izrek 4.2.6. Za vsak x H je T x = n=1 µ n x, u n u n. Dokaz. Naj bo x H. Po izreku 3.2.6 lahko x zapi²emo kot x = y +z, kjer je y F in z F. Po lemi 4.2.5 je T x = T y+t z = T y F (saj je T (F ) F in T F = 0). Mnoºica {u 1, u 2,...} je maksimalna ortonormirana podmnoºica F, ker je njena zaprta linearna lupina mnoºica F. Zato iz izreka 3.2.18 sledi T x = T x, u n u n. n=1