LUCRAREA 5 Tratarea numerică a semnalelor Filtre numerice cu răspuns finit la impuls (filtre RFI) Filtrele numerice sunt sisteme discrete liniare invariante în timp care au rolul de a modifica spectrul de frecvenţă al semnalului de intrare după un anumit algoritm. După forma caracteristicilor de frecvenţă, filtrele se împart în: a) Filtre trece jos (FTJ) b) Filtre trece sus (FTS) c) Filtre trece bandă (FTB) d) Filtre opreşte bandă (FOB) e) Filtre multibandă (FM) In figura sunt date caracteristicile ideale ale acestor filtre, unde sunt figurate frecvenţele de tăiere ale filtrului, f t. H( H( H( 0 f t 0 f t 0 f tj f ts a) b) c) H( 0 f tj f ts 0 d) e) Figura
Un filtru cu răspuns finit la impuls (RFI) este caracterizat în domeniul timp de următoarea ecuaţie cu diferenţe: y( = b N 0 + b n ) +... + bn n N + ) = bk n k) k =0 () Filtrele RFI sunt sisteme nerecursive deoarece toţi coeficienţii a i = 0. Cel mai mare indice pentru care 0 dă ordinul filtrului. In ecuaţia (), ordinul este N. b k Funcţia de transfer se exprimă printr-un polinom de ordin N, al cărui coeficienţi sunt b k. Y ( z) H ( z) = = b X (z) 2 0 + b z + b2z +... N k = 0 + b N z Pentru o secvenţă de intrare oarecare, răspunsul y( al filtrului este dat de convoluţia dintre secvenţa de intrare şi răspunsul la impuls al filtrului, h(. N y( = h( * n ) = h( k) n k) (3) Din ecuaţiile () şi (2), prin identificare, se obţine: (2) b k = h(k) (4) Aşadar, coeficienţii filtrului RFI sunt chiar eşantioanele răspunsului la impuls. Deoarece coeficienţii b k sunt în număr finit, rezultă că şi h( va avea un număr finit de eşantioane, de unde şi denumirea de filtru RFI. In cazul cel mai general, caracteristica amplitudine-frecvenţă al unui filtru TJ real este cea din figura 2. +δ -δ δ 2 ft fo b.t. b.tr. b.o. Figura 2 2
Pe caracteristica filtrului din figura 2 se disting 3 zone: - banda de trecere (b.t.) - banda de tranziţie (b.tr.) - banda de oprire (b.o.) După cum se observă, caracteristica de frecvenţă se abate de la forma ideală prin faptul că scăderea amplitudinii la frecvenţa de tăiere se face progresiv, panta fiind cu atât mai abruptă (banda de tranziţie mai îngustă) cu cât ordinul filtrului este mai mare. De asemenea, în cadrul benzilor de trecere şi de oprire caracteristica prezintă o serie de ondulaţii. Ondulaţiile din banda de trecere, formează un riplu, al cărui amplitudine se exprimă în db prin: R[ db] = 20lg( δ) Atenuarea filtrului în banda de oprire se exprimă, de asemenea, în db, prin relaţia: (5) A [ db] = 20lgδ (6) Sinteza sau proiectarea filtrului este operaţia prin care se obţin coeficienţii filtrului şi răspunsul la impuls pornind de la caracteristicile de frecvenţă, adică: tipul filtrului, ordinul, riplul, atenuarea. Pentru proiectarea filtrelor RFI, mai utilizate sunt metodele: - metoda Seriilor Fourier (metoda ferestrelor) - metoda eşantionării în frecvenţă Analiza filtrului este operaţia prin care se determină caracteristicile de frecvenţă pornind de la ecuaţia cu diferenţe (sau de la răspunsul la impuls). Acestea se obţin prin aplicarea TFD secvenţei h(. 2 Aplicaţia a) Să se proiecteze un filtru numeric de ordinul cu caracteristica de mai jos, prin metoda seriilor Fourier, utilizând următoarele ferestre: dreptunghiulară, Hanning, triunghiulară, Blackman şi Flat Top. Se salvează fiecare răspuns la impuls h( în câte o variabilă. 0 0,2 b) Să se scrie ecuaţia cu diferenţe a filtrului pentru fereastra dreptunghiulară. c) Să se realizeze analiza filtrelor obţinute la punctul a), urmărind caracteristicile de amplitudine şi fază. Se notează la fiecare filtru valoarea amplitudinii corespunzătoare frecvenţei de tăiere. Se constată liniaritatea fazei. 3
d) Să se facă o comparaţie între rezultatele obţinute cu fiecare fereastră, la ordin constant () şi să se tragă concluzii asupra influenţei ferestrei asupra caracteristicilor de frecvenţă. e) Dacă f 0 = 0 khz, să se determine frecvenţa de tăiere a filtrului, în Hz. Aplicaţia 2 a) Să se realizeze sinteza aceluiaşi filtru de mai sus, pentru aceleaşi ferestre, dar cu ordinul 5. b) Să se realizeze analiza acestor filtre şi să se tragă concluzii în privinţa: Aplicaţia 3 - influenţei ordinului asupra caracteristicilor filtrului - influenţei ferestrei asupra caracteristicilor filtrului Fie un filtru numeric dat prin ecuaţia cu diferenţe: y ( = 0,32 + n 2) + 0,32 n 4) a) Să se facă analiza filtrului determinând caracteristicile de frecvenţă şi să se spună ce tip de filtru este. Indicaţie Se construieşte răspunsul la impuls ţinând cont că eşantioanele acestuia sunt chiar coeficienţii filtrului, după care se face analiza. b) Să se determine frecvenţa(ele) de tăiere ale filtrului. Aplicaţia 4 Se dă un filtru numeric cu caracteristica ideală din figura de mai jos. a) Să se spună ce tip de filtru este. 0 0,25 0,35 b) Să se sintetizeze acest filtru cu ordinul 45 utilizând metoda seriilor Fourier şi fereastra Hanning. c) Să se traseze caracteristica amplitudine-frecvenţă a acestui filtru şi să se găsească frecvenţele de tăiere. d) Se măsoară pe caracteristică amplitudinile componentelor spectrale corespunzătoare frecvenţelor normalizate: = 0,5; 0,25; 0,3; 0,35 şi 0,45 şi se completează tabelul: Frecvenţa 0,5 0,25 0,30 0,35 0,45 Amplitudinea de pe caracteristică 4 Amplitudinea răspunsului
e) Să se construiască un semnal deformat format din N = 00 eşantioane, care să conţină frecvenţele de mai sus, fiecare de amplitudine. Câte perioade din semnal sunt în secvenţa construită? f) Se trasează spectrul de amplitudine al acestui semnal şi se verifică existenţa armonicilor în spectru (!! se ţine seama că amplitudinile rezultă din calcul înmulţite cu N/2). g) Să se afle răspunsul filtrului la acest semnal prin realizarea convoluţiei circulare dintre semnal şi răspunsul la impuls. h) Să se realizeze TFD a semnalului răspuns şi să se reprezinte spectrul de amplitudine al acestuia. i) Se determină din spectru valorile amplitudinilor componentelor spectrale corespunzătoare celor 5 frecvenţe şi se trec în tabel. Se face comparaţie între cele două rânduri de amplitudini. j) Să se rezolve problema de mai sus în cazul în care filtrul are ordinul. Aplicaţia 5 a) Să se construiască un semnal dreptunghiular având A =, = 0,05, factor umplere 50 %, N = 200. b) Să se realizeze spectrul de amplitudine al acestui semnal şi să se măsoare valorile armonicilor. c) Să se filtreze semnalul de mai sus cu un filtru RFI trece jos de ordinul 25, având frecvenţa de tăiere 0,5, proiectat prin metoda seriilor Fourier cu fereastra Hanning. Se trasează caracteristica amplitudine-frecvenţă a filtrului. d) Se construieşte spectrul de amplitudine al răspunsului. e) Se măsoară componentele spectrale şi se observă acţiunea filtrului, prin comparaţie cu spectrul semnalului iniţial. Aplicaţia 6 a) Să se proiecteze un filtru tip TS având frecvenţa de tăiere f t = 600 Hz şi frecvenţa de eşantionare f 0 = 2000 Hz, ordinul 25, utilizând fereastra triunghiulară. b) Să se verifice răspunsul filtrului la frecvenţele de 200 Hz, 400 Hz şi 800 Hz aplicând la intrare semnale sinusoidale adecvate, prin comparaţie cu amplitudinile obţinute în răspunsul la frecvenţă. c) Să se compare rezultatele obţinute cu acelaşi filtru proiectat utilizând fereastra Blackman. 5