CURS 3 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII LINIARE

Σχετικά έγγραφα
CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.

CURS 4 METODE NUMERICE PENTRU PROBLEMA DE VALORI PROPRII. Partea I

CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât

def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a

ELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL

ELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate

PROBLEME (toate problemele se pot rezolva cu ajutorul teoriei din sinteze)

P r s r r t. tr t. r P

r t t r t t à ré ér t é r t st é é t r s s2stè s t rs ts t s

Curs 4. Metode Numerice de Rezolvare a Sistemelor de Ecuaţii Liniare

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

Το άτομο του Υδρογόνου

Tema: şiruri de funcţii

Jeux d inondation dans les graphes

Couplage dans les applications interactives de grande taille

Analiza în regim dinamic a schemelor electronice cu reacţie Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 6 electronica.geniu.ro

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

2. APROXIMAREA ŞI INTERPOLAREA FUNCŢIILOR

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

4. Interpolarea funcţiilor

Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage

Solving an Air Conditioning System Problem in an Embodiment Design Context Using Constraint Satisfaction Techniques

Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications

2. Metoda celor mai mici pătrate

Annulations de la dette extérieure et croissance. Une application au cas des pays pauvres très endettés (PPTE)

Vers un assistant à la preuve en langue naturelle

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation

Cap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D

Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes

Contribution à l évolution des méthodologies de caractérisation et d amélioration des voies ferrées

Curs 3. Spaţii vectoriale

ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient)

Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( )

Émergence des représentations perceptives de la parole : Des transformations verbales sensorielles à des éléments de modélisation computationnelle

METODE ȘI PROGRAME DE CALCUL NUMERIC

METODE NUMERICE APLICAŢII

6. VARIABILE ALEATOARE

Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

2. Sisteme de ecuaţii neliniare

3.6 Valori şi vectori proprii. Fie V un K-spaţiu vectorial n-dimensional şi A L K (V) un operator liniar.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Langages dédiés au développement de services de communications

CUPRINS. CAPITOLUL 1: Module şi spaţii vectoriale

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Stéphane Bancelin. Imagerie Quantitative du Collagène par Génération de Seconde Harmonique.

INTEGRAREA NUMERICĂ. 1. APROXIMAREA FUNCłIILOR 1. CALCUL NUMERIC. Integrarea numerică 1

SISTEME DE ECUATII LINIARE

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Capitolul 2 Notite de curs NOTIUNI DE ALGEBRA BOOLEANA

2. Functii de mai multe variabile reale

Evaluare : 1. Continuitatea funcţiilor definite pe diferite spaţii metrice. 2. Răspunsuri la problemele finale.

4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire

Lucrarea Nr. 6 Reacţia negativă paralel-paralel

Assessment of otoacoustic emission probe fit at the workfloor

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ

HONDA. Έτος κατασκευής

Cu ajutorul noţiunii de corp se defineşte noţiunea de spaţiu vectorial (spaţiu liniar): Fie V o mulţime nevidă ( Ø) şi K,,

Liceul de Informatică Spiru-Haret Suceava. Elev : Alexevici Cătălin. Profesor coordonator: Oanea Călin. referat.clopotel.ro 1

Profiterole : un protocole de partage équitable de la bande passante dans les réseaux ad hoc

m i N 1 F i = j i F ij + F x

Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes

AVERTISSEMENT. D'autre part, toute contrefaçon, plagiat, reproduction encourt une poursuite pénale. LIENS

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

UNIVERSITE DE PERPIGNAN VIA DOMITIA

E fficient computational tools for the statistical analysis of shape and asymmetryof 3D point sets

Integrale cu parametru

4.1 PROGRAMAREA DINAMICĂ

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

Résolution de problème inverse et propagation d incertitudes : application à la dynamique des gaz compressibles

Laboraratorul 6. AJUSTAREA MATEMATICĂ A DATELOR EXPERIMENTALE

Hygromécanique des panneaux en bois et conservation du patrimoine culturel. Des pathologies... aux outils pour la conservation

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής

Analysis of a discrete element method and coupling with a compressible fluid flow method

VII. Teorema lui Dirichlet

M p f(p, q) = (p + q) O(1)

Fusion de données multicapteurs pour la construction incrémentale du modèle tridimensionnel texturé d un environnement intérieur par un robot mobile

Sisteme cu partajare - continut. M / M /1 PS ( numar de utilizatori, 1 server, numar de pozitii pentru utilizatori)

Procese stocastice (2) Fie un proces stocastic de parametru continuu si avand spatiul starilor discret. =

I. REGRESIA Clasificări. Metode corelationale Regresia si Corelatia. Stud. Master - AMP

ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t

INTEGRAREA ȘI DERIVAREA NUMERCĂ A FUNCȚIILOR REALE

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

Sondajul statistic- II

cele mai ok referate

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design

Transcript:

CURS EODE NUERICE PENRU SISEE DE ECUAŢII LINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ I etode drecte: Gss; LU; Choesy; Choesy mtrc dă II etode tertve: Jco; Gss-Sede; SOR III Sttte soţe ş codţore sstem INRODUCERE Sstemee de ecţ re pr î modere or proeme ştţfce, precm ş î metodee merce de rezovre cestor Eempe: ssteme de ecţ ere, promre fcţor, proeme mtă petr ecţ dfereţe, ecţ c dervte prţe, optmzre, etc Găsre soţe sstem de ord mre s versre e mtrc de ord mre, pote f o srcă dfcă î prctcă, dtortă: Nmăr mre de operţ rtmetce ecesre petr găsre soţe Eroror propgte, îtr- şr g de operţ c mere reprezette î vrgă fottă Dfctte fce eprctcă rezovre mă, r este eretă î tzre cctor Az e metode cprde proemee: - Nmăr de operţ rtmetce ecesre petr găs soţ - Estmre, îte de ccre, precze soţe estmre pror eror - Verfcre precze soţe ccte estmre posteror eror Proemee prctce se pot csfc dpă ord sstem măr de ecţ ş tp mtrc sstem trce sstem se zce desă, dcă mortte eemeteor se st dferte de zero, ş rră dcă mortte eemeteor st zero Astfe, vem ctegore: I Ssteme de ord modert, c mtrce desă: ch Octomre 8

Aceste se rezovă î memore, ş ord sstem este mtt m de memor dspoă Uz, ord sstem pote ge ste de ecţ ortte gortmor se zeză pe emre Gss, c vrte petr cse spece de mtrc II Ssteme de ord mre, c mtrce rră: Asemee ssteme pot ge ste de m de ecţ Emre Gss m este coveă, ş se tzeză metode tertve III Ssteme de tp II rezovre pr tzre de fşere dsc emor fd sfcetă, se foosesc fşere pe dsc petr geerre ş procesre mtrc Lcr c mtrce sstem se fce pe ocr : de eemp, mtrce este geertă pe dsc; sccesv, ocre st ctte, proceste î memore ş rescrse pe dsc U eemp este ce sstemeor c mtrce dă smetrcă, ssteme cre pr î proemee de ză sttcă strctror U sstem de ord se v ot pr: + + + + + + trce, sstem se scre: S: A, î cre A este mtrce sstem, r ş vector ecoscteor ş, respectv, vector termeor er mtrc cooă c eemete: A [ ],, [ ], [ ] ch Octomre 8

I EODE DIRECE etod Gss etod Sstem dt se trsformă î sstem echvet g U, c mtrce U speror trghră, cm rmeză Sstem dt se oteză A L ps cret,,,, sstem este A Se creză c e, d ş Le, proceste teror, rămâ eschmte Cocret, se opereză c s-mtrce ş s-coo termeor er,, A,, :, : A :,, m O A ;, m ch Octomre 8

4 Eemet dgo se meşte pvot ps Prespem v m os pvotre, ş defm mtpctor de ps : m ; +,, Petr +,, : se îmţeşte c m, ş se dă Reztă eemete e î coo, s eemet dgo No coefceţ ş terme er vor f: L rămâe eschmtă + + m m ; +,, +,, L ps se oteză, petr coveeţă, U A, g, ş sstem deve U g Epct: g g g g Oservţ că Acest sstem se rezovă pr ssttţe îpo: g / ; g / ;,,, + Fctorzre descompere LU tpctor rezov A m de +,, d emre Gss, se pot reţe petr c dferţ terme er Itrodcem tc, mtrce ferortrghră c pe dgoă, ş mtpctor m î s-cooee +: : ch Octomre 8

5 m m m L m m m, Avem rmătore propozţe: Propozţ Dcă, î emre Gss, fecre ps pvot, tc A LU L este mtrce feror trghră mtpctoror, r U mtrce speror trghră d Cosecţă Cc determt: Dcă fecre ps pvot, tc: det A Oservţ că, stfecă vore determt este prods pvoţor Îtr-devăr: det A det L det U, r detl Petr cc determt î cz câd se schmă î mtrce A se pvoteză, v m os Nmăr de operţ Petr mre, măr de operţ î emre Gss este: NOP Gss Operţe dre s scădere; î cce, ceste st rmte de oce de o mţre s împărţre ch Octomre 8

6 4 Pvotre L fecre ps, pvot pre mtor mtpctoror m Astfe, vem codţe: Pvot tree să fe, ş c forte mc : - Dcă pvot este, emre Gss pote cot Î cest cz, mtrce este sgră - Dcă pvot este forte mc : reztă mtpctor mr, r erore de m rotre î vore m codc eror mr î ccţe rmătore trce este prope sgră Prctc, se testeză dcă pvot este m mc decăt prg es V Eemp de m os Procede de egere pvot se zce pvotre Acest costă î: - Către eemet de mod mm, î s-mtrce c e ş cooee,, ; - Adcere pe pozţ de pvot pozţ, pr schmăr de, s schmăr de ş cooe Schmre de d A, se fce ş î vector Dcă pvot este m mc decât prg, emre Gss se opreşte Strteg de pvotre: Pvotre prţă: Se ctă eemet de mod mm î s-coo :, Acest deve pvot, dcâd- î pozţ, Fe pvot găst î I Dcă pvot este m mre decât prg ş I >, tc se schmă e ş I î A ş î ch Octomre 8

7 I I I I Pvotre competă: Se ctă eemet de mod mm î s-mtrce Dcă mm este ts petr ş coo, tc se permtă e ş I ş cooee ş J - î A, ş e ş I - î :, : I > J > J I IJ I I Oservţ - Pr pvotre reztă, fecre ps, mtpctor de mod : m,,, + Acest preve geerre î, de eemete de mărme forte dfertă, cre r pte dce eror de perdere de semfcţe + A - L pvotre competă, dtortă permtăr de cooe, orde ecoscteor se schmă E tree refăctă sfârşt emăr eoretc, pvotre competă dce o precze m mre soţe; î prctcă îsă, dfereţ este mcă fţă de pvotre prţă Î ps, pvotre competă cere m mt tmp-cctor D ceste motve, mortte gortmor tzeză pvotre ch Octomre 8

8 prţă Î cee ce rmeză vom cosder m pvotre prţă, mtă pe scrt, pvotre Oservţe Dcă se pvoteză, tc vem LU A Propozţ Dcă se pvoteză, tc vem LU A, de A PA, r P este o mtrce de permtre de trce A se oţe d A, permtâd e î ceeş orde î cre se permtă pvotre Sstem cre se rezovă este c e permtte î orde de pvotre Cc determt: A, de este Determt mtrc A LU este det A Determt mtrc A v f _ det A det A, de _ este măr de schmăr de î crs pvotăr Eemp Pvot forte mc Cosderăm sstem 5 4 6 6 4 A, de: A, [ ] Î cc ect, A este sgră Rezovâd î smpă precze, c progrm Gss 7, c prg de E 7, se oţ rmătoree reztte: Permtre, Pvot: 5 <->4-8 -8574 4 77486E-7 ch Octomre 8

9 * Sot petr terme er r -9944E+8 645776 999E+8 4 9555 * Pro Dferete A*- -465 75-75 4-45 Adcă, soţ verfcă, ş este t o cc Erore î soţe st prodse de pvot de ps 4, cre este forte mc C prg de E 6, progrm se opreşte c mes: L 4: Pvot 77486E-7 * Pvot < E-6! * Sstem se pote rezov Î cc î dă precze, pvot d 4 reztă ch Octomre 8

Descompere LU Cc drect fctoror L ş U Proem este cc drect fctoror L ş U, stfe c Eemetee L ş U se găsesc d ecţe L A LU coo : U [ ] m, Î prtcr, îmţd d L c coo d U, reztă: + Estă o ectte descomper LU, cre prove d egere rtrră s,,, Doă metode se pot cosder: rtrr ; rtrr Prezetăm, petr eempfcre, formee geere petr prm metodă es rtrr e,,,,,, +,, Dcă,,, reztă:, +,, ch Octomre 8

Eemetee L s U se determă î rmătore secveţă, coform scheme de m os se cceză eemetee d d U, ş coo d L +,,,, +, Î prtcr,, se cceză m - d Nmăr de operţ este ceş c î emre Gss Doă metode se tzeză î prctcă: etod Dootte descompere LU reve ce d emre Gss etod Crot Postte descomper LU Propozţe Descompere LU estă dcă ş m dcă tote s-mtrce prcpe A :,:,, st esgre Pvotre descompere LU Pvotre prţă: A pvot î descompere LU semă c, fecre ps, să cătm pvot doă î coo A, î e, +,,, ş po să permtăm Pvotre tree făctă îte de cc eemeteor U ş L Adcă, pvot tree cct ş testt îte de pcre formeor ş Petr metod Dootte, pvot este dt de cf : ch Octomre 8

Aş cm s- rătt metod Gss, tree pvott ş dcă pvot este forte mc Prctc, se testeză dcă pvot este m mc decât prg Oservţ de pvotre î emre Gss se pcă Determt mtrc A î metod Dootte este det _ A, de _ este măr de schmăr de î crs pvotăr etod Rezovre sstem pr descompere LU, costă î pş: Fctorzre A LU, c pvotre prţă A L U Rezovre sstem Ly, pr ssttţe îte; reztă y L y Rezovre sstem U y ssttţe îpo; reztă, pr U y Oservţ - Legătr c emre Gss este y g - Petr o terme er, se repetă m pş, operţ spmetre petr fecre - Nmăr de operţ este ceş c î emre Gss / ch Octomre 8

4 etod Choesy etod Choesy se pcă petr sstem c mtrce smetrcă ş poztv deftă Smetre: A A,,, Defre poztvă: A > 4 Propretăţ e mtrcor smetrce ş poztv defte Petr o mtrce poztv deftă, oc propretăţe: trce este esgră Eemetee dgoe st poztve: > mt, s-mtrce prcpe st poztv defte Urmeză că pote f t c pvot î emre Gss, ps Petr o mtrce smetrcă ş poztv deftă, oc ş propretăţe: S-mtrce A :, :,, reztte d emre Gss st smetrce ş poztv defte De c, reztă că estă pvoţ >, fecre ps 4 Vore propr e A st ree ş poztve îtâ, se rtă că dcă A este smetrcă, vore propr st ree v Cp 5 Apo, fe λ o vore propre ş vector propr soct, tc Imţd stâg c λ >, d cre rmeză că λ este poztv Oservţe A λ ş ţâd cot de defre poztvă mtrc A, reztă Recproc, dcă A este smetrcă ş vore propr st poztve, tc A este poztv deftă Demostrţ cere reztte de geră mtrceă cre st î fr scop ces prgrf V de eemp, R Bem, Itrodcere z mtrceă, E, Bcreşt, 969 ch Octomre 8

4 5 Determt mtrc este poztv mt, toţ determţ prcp st poztv Îtrcât determt mtrc este det A λ λ λ - v Cp 5, rmeză că vem det A > A do frmţe decrge d fpt c s-mtrce prcpe st ş ee poztv defte coform Propretăţ Oservţe Recproc, dcă mtrce este smetrcă ş toţ mor prcp st poztv, mtrce este poztv deftă Petr demostrţe v Wso- C cest, reztă: Dcă A este smetrcă, o codţe ecesră ş sfcetă c A să fe poztv deftă, este c toţ determţ prcp să fe poztv 4 etod Choesy Propozţe Dcă A este smetrcă ş poztv deftă, tc estă descompere A LL, de L este o mtrce feror trghră, c eemete dgoe poztve C te cvte, î descompere LU se pote ege S L, U L de S este speror trghră, vem ş descompere Notâd A S S Cee doă forme ş repreztă ceeş descompere, âd c referţă s t d cee doă mtrc trghre Ee st strte m os desemeză eemetee e ch Octomre 8

5 A L L S S Eemp Evre L, petr : Ecţ: Lcrăm c trgh feror A, âd eemetee pe cooe:,, +, + + + Reztă eemetee L, pe cooe: ;, / ; / Aog, se pote cr c trgh speror A ş determ eemetee L, pe Eemp merc: A 8 ; L 8 5 4 5 ch Octomre 8

6 Pş rezovăr st ceeş c descompere LU, me: - C mtrce L de U L : Fctorzre descompere: A LL Ssttţe îte reztă y: Ly Ssttţe îpo reztă : L y - C mtrce S de U S ; L S : A S S S y S y 4 Nmăr de operţ Nmăr de operţ dăr/scăder, petr mre, este NOP Choesy 6 Acest este cc ½ d măr de operţ certe emre Gss s LU Î fră de dăr/scăder, se m cceză rădăc pătrte Ate vte, î rport c descompere geeră LU: - trce A fd smetrcă, se pote stoc m trgh feror s speror, cerâd m + ocţ de memore Î ceste ocţ se stocheză mtrce L s S - N este ecesră pvotre coform propretăţor, ch Octomre 8

7 Oserve Rădăce pătrte cre cosmă tmp-cctor pot f evtte prtr-o şoră modfcre descomper LU, ş me: cătăm o mtrce feror trghră L ~ c pe dgoă, ş o mtrce dgoă D, stfe c: ~ ~ A LDL Îtr-devăr: dcă vem A LL, fe L ~ mtrce oţtă d L pîd pe ~ ~ dgoă î rest,, ş D dg Avem L L ~ D, ş LL ~ ~ LD' D' L Astfe, mtrce D D D dg Acestă fctorzre se pote fce c promtv ceş măr de operţ c î metod Choesy, ş fără cc de rădăc pătrte 5 trc dă smetrce ş poztv defte 5 trce dă smetrcă Prespem că mtrce sstem este smetrcă ş, î ps, re strctr de mtrce dă, dcă î fecre e eemetee mtrc st costttte d: - Eemet dgo, măr de LI- eemete stâg cest, ş LI- eemete drept - Ceete eemete d e st zero Nmăr LI v f mt sem-ăţme de dă LI repreztă măr eemeteor d sem-dă, csv eemet dgo Oservţe Ître eemetee d dă, pot f ş eemete e, dr crcter de dă este dt de fpt că tote eemetee stte î fr ez st e Î cest ses LI pote f cosdert sem-ăţme de dă mmă Eemp: trce 6 6,, ş LI : ch Octomre 8

8 4 4 5 4 4 44 54 64 5 45 55 65 46 56 66 5 Stocre mtrc dă smetrcă Se stocheză eemetee d sem-d speroră s feroră De eemp, petr mtrce d Eemp teror ş sem-d speroră, st de stoct eemetee dcte m os: 4 4 44 5 45 55 46 56 66 Stocre se fce îtr- vector, î d modre: Pe s cooe de LI eemete Eemp, pe : [ ] 4 4 5 44 45 46 55 56 66 Pe s cooe Eemp, pe cooe: [ ] 4 4 44 5 45 55 46 56 66 Pe dgoe dgo prcpă ş pree cest: [ ] 66 56 46 Adres eemet, î vector, este dtă de o fcţe îtregă Loc, ch Octomre 8

9 Stocre se m pote fce pe de LI eemete, îtr- to B, LI Le cre coţ m pţ de LI eemete se competeză c eemee e eemp: e 5 ş 6 5 etod Choesy Proprette eseţă este rmătore: Dcă mtrce dă este smetrcă ş poztv deftă, tc descompere s S S pote f făctă crâd ecsv î dă LL Î cee ce rmeză vom cosder descompere speroră A S S, crâd c sem-d Pş st ce de Choesy, cr c mtrce S Eemetee ctve ps descomper, st coţte îtr- trgh c tre LI mt trgh ctv Î crs proces, trgh ctv cooră c câte o e î dă etod mpemettă î ANA\Chooesy_Bd tzeză vector de cr Y, de dmese NY, de: NY LI LI + / ; NY NY + LI Acest vector este costtt d doă părţ: Y YA LI LI+/ LI LI LI ore Y ş YA - S-vector Y : NY, de dmese LI LI + / : serveşte c frot de cr, petr descompere Choesy; î ceste se geereză eemetee trgh ctv ps trgh c tre LI ch Octomre 8

- S-vector YA NY + : NY, de dmese LI : ţ, stocheză mtrce A, pe Î crs descomper Choesy, stocheză e proceste e mtrc A II EODE IERAIVE etod JACOBI Eemp merc Fe sstem: 8 + + + 9 8 7 + 4 Rezovăm fecre ecţe,,, î rport c ecosct, cătâd c cest să fe ecosct c coefcet ce m mre d ecţe, evet rerâd ecţe Itervertd ecţe ş, vem: + / 8 / 8 4 + / 7 + / 7 / 7 / 9 / 9 / 9 S mtrce: + 4 / 7 / 7 / 9 / 9 / 8 / 9 / 8 / 7 ' cre este de form g + m+ m ch Octomre 8

Se tereză, c promţ ţă [ 4 / 7 / 9] ; test de oprre terţe m+ m este E 6 L terţ reztă soţ,, Coordot de mod mm î A rezd mm este 4E-6 ecţ etod Fe sstem dt A Se rezovă fecre ecţe î rport c ecosct Epctâd se oţe: /,,,,, S- presps Iterţ Jco v f: m+ rtrr, m /,,,, ; m m+ m est de oprre terţe este eps etod Jco se m zce metod terţor smte, petr că, coordotee e soţe se cceză depedet ee de tee Petr t mod de cc v metod etod Gss_Sede, m os Codţe sfcetă de covergeţă: trce A este dgo domtă, dcă vem: >,,, ch Octomre 8

etod Gss_Sede Se modfcă metod Jco, stfe că, cc coordote m se tzeză vore m,, de ccte, cre î geer, st promţ m e e soţe Petr eemp teror: + / 8 / 8 m 4 + / 7 + / 7 / 7 / 9 / 9 / 9 C [ ] ş ceeş toerţă E 6, terţ 9, se oţe soţ,, Rezd mm este Formee geere e metode Gss-Sede st: m+ rtrr m+ + m /,,,, ; m m+ m est de oprre terţe este eps etod Gss-Sede se m zce metod terţor sccesve, petr că ps m +, m, de îdtă ce o coordotă m + soţe este cctă, e se tzeză î ecţe petr coordotee rmătore m +, > Codţ sfcete de covergeţă: - trce A este dgo domtă - trce A este smetrcă ş poztv deftă Câd mee metode Jco ş Gss-Sede coverg, metod Gss-Sede coverge m rpd Petr te cosderţ prvd covergeţ, v Cp 4-IV ch Octomre 8

SOR - etod reăr Sccesve Over-Reto Reăm form metode Gss-Sede: m+ m+ + m /,,,, ; m Form se pe s form rmătore, dâd ş scăzâd m î memr do oservţ că cm, î do smă, dcee vor de ş de +: m+ m m+ m + /,, m m+ m erme cre se dă este dfereţ etod SOR costă î îmţre ceste dfereţe c fctor de cceerre s rere ω > Îtrcât ω >, metod se zce spr-rere Aegere ω se dsctă m os Form metode SOR este dec m+ m m+ m + ω /,, Epctâd m d do smă, reztă: m+ m+ m m ω / + ω,, + Se oteză epres d prm prteză c m+ z cest este coordot terte m + d metod Gss-Sede Form de terre este echvetă c rmătoree ecţ cosderte petr, : z m+ m+ + m /, m+ ω z m+ + ω m Î cee m mte czr, vore optmă ω stsfce reţ < ω < ch Octomre 8

4 Î prctcă, se pote ege ω stfe: se tzeză vor ω de test, pe măr mtt de terţ; se ege c vore optmă ce ω, petr cre covergeţ este ce m rpdă III SABILIAEA SOLUŢIEI ş CONDIŢIONAREA SISEULUI Se cosderă sstem de ecţ re A c A esgră Se v z sttte soţe sstem, î rport c o mcă vrţe pertrre, î: - erme er - trce A sstem Prm proemă codce măr de codţe mtrc A A do proemă v codce o evre vrţe soţe, î cre terve măr de codţe Pertrre î Nmăr de codţe Fe sstem, î cre terme er sferă o pertrre r, deved ~, de r ~, ş r << Sstem pertrt v f: A ~ ~ Notâd pertrre soţe pr e ~, ş scăzâd d reztă: Ae r, d cre vem ş: e A r Petr em sttte soţe, cătăm o evre rport e / r / pertrre retvã î pertrre retvã î ch Octomre 8

5 Acest rport eprmă efect pertrăr î spr soţe, ş me: Dpă cm rport este, respectv >>, pertrre retvă soţe este de ceş ord, respectv de ord mt m mre, î rport c pertrre retvă î Lâd orm î, vem: r A e, e A - r, d cre, reztă: e A A r 4 Îmţd 4 c /, reztă: e / A A r / 5 Aog, âd orm î ş î A -, reztă: A 6 A D 5 ş 6 reztă: A A e / A A r / 7 Itrodcem rmătore Defţe Nmăr de codţe mtrc A, este: CodA A A - 8 Nmăr de codţe depde de ormă, dr este mărgt feror de : Cod A 9 Îtr-devăr, d I AA - reztă: A A Cod A C defţ 8, d 7 reztă: ch Octomre 8

6 e / Cod A Cod A r / S: r e r Cod A Cod A D cestă reţe reztă că, petr r / mc, vem: - Dcă Cod A ~ : e / este mc, ş A este e-codţotă - Dcă Cod A >> : e / pote f mre ; A este ră-codţotă Îtrcât î Defţ 8 CodA depde de ormă, se tzeză ş t măr de codţe cre este depedet de ormă Avem A ρ A, de ρa este rz spectră mtrc A; rmeză: Cod A ρ A ρ A S, defd Cod A ρ A ρ A vem Cod A Cod A Cm vore propr e mtrc A c σ A spectr mtrc A, reztă form de cc: st versee voror propr e A, otâd m λ λ σ A Cod A m λ λ σ A Oservţ spr cc CodA Dpă defţe, vem Cod A A A ch Octomre 8

7 C B A A λb A, vore propr e B st ree ş poztve, ş vem /, m v 4-I, Oservţ ş Cp 5 / Aog, c D A A, vem A λd,m, ş reztă Cod A λ λ / / B, m D, m Ptem evt versre mtrc A, coform rmătoreor propretăţ: - Vore propr e D st versee voror propr e D AA Pem C AA, ş stfe, λ λ Epres teroră deve: D, m / C, m Cod A λ λ / B, m / C, m - Apo, se rtă şor că B A A ş C AA ceş vor propr Eercţ Urmeză că, î f vem: Cod A λ λ B, m B, m / Acest se m scre: Cod A / Cod B Eemp Fe sstem r: 8 7 + 9 + 8 Avem: 8 9 8 9 A, A 7 8 7 8 Nmeree de codţe, dpă dferte orme, st: Cod A Cod A 89, Cod A 58, ch Octomre 8

8 Cod A 54 Det petr cc CodA : Poom crcterstc A, este p λ λ 6λ +, de de λ 8 6, ± Urmeză Cod A λ / λ 54 Det petr cc CodA : B A 8 A 9 7 8 8 7 9 8 8 8 45 Poom crcterstc B, este p λ λ 58λ + Avem λ 9 ± 9, λ / λ λ Reztă Cod A λ 58, Se verfcă, î prtcr, oservţ teroră: C AA 45 8 8, re ceş poom crcterstc c ş B Eercţ: Ccţ CodA, drect dpă defţ 8 Îtrcât măr de codţe este mre, cest rtă că sstem este ses mc schmăr î Îtr-devăr, fe de eemp, terme er dţ ş pertrţ, ş soţe respectve, cm rmeză: 7 ~ 69 ~ ; ; 5 r 5 ; ~ 7 7 ; e ~ 5 5 C ceste, reztă: r e 7 e / 7, 7, 89 7 r / /7 ch Octomre 8

9 Se oservă că schmăr mc î prodc schmăr mr î : pertrre retvă î este de 89 or m mre decât pertrre retvă î Î prtcr, î cest eemp, mrge speroră d este tsă coform Cod A 89 U semee sstem se zce ră-codţot Se oservă că meree Cod A ş CodA st o măsră ă petr codţore sstem Eemp Estă ssteme cre st ră-codţote, deş CodA este mre De eemp, să cosderăm rmătore mtrce, î cre m este îtreg : A m ; A m Avem Cod A Cod A, m otş sstem este e-codţot Vore mre măr de codţe se emă pr scre mtrc A Eemp : Iterpretre geometrcă codţoăr sstem Cosderăm sstem rmător: + y + y cre re soţ y Nmeree de codţe st: Cod A Cod A 44, Cod A 4 8, Cod A 498, stfe că sstem este ră-codţot Rezovre sstem reve găsre tersecţe drepteor reprezette de cee doă ecţ ch Octomre 8

Sstem ră codţot: Iterpretre geometrcă Ptee ceor doă drepte st respectv - ş -, dcă propte Dcă cosderăm o certtde î coefceţ sstem, d de certtde rădăc v f rgă ş c tât m rgă c cât ptee st m propte Vez Fgr de m ss: certtde î vore y este reprezettă de grosă grfc Î schm, dcă ptee st dferte, tersecţ drepteor este etă ş d de certtde este îgstă Eemp 4: trce Hert U eemp de mtrce ră-codţotă este rmătore mtrce mtă mtrce Hert: ch Octomre 8

H + 4 + + Ivers mtrc H este cosctă tc, ş me: pâd H [ ], vem v Atso 978, Rsto & Rowtz 978: + +! +! α,,, + [!!]!! α Nmăr de codţe mtrc H creşte c, mtrce fd c tât m ră codţotă c cât este m mre Eempe: Cod H 748 E+ 4 84 E+4 5 944 E+5 6 9 E+7 7 985 E+8 C eemp, ccâd vers mtrc petr 4, pr emre Gss, c eemetee H 4 reprezette î smpă precze, se oţe: ˆ 4 H 599979 99979 99954 9997 9998 9998 699958 679974 99954 699957 647997 49994 9997 679974 49994 799965 Ivers cctă tc H, re eemete treg: α,, α 8 4 6 44 Ccâd măr de codţe mtrc, c -orm, se oţe: H 4 Cod H 4 H 4 H 4 5/ 6 875 ch Octomre 8

Pertrre î A ş Să prespem că tât mtrce A sstem, cât ş terme er, sferă mc schmăr δa, respectv, δ, r soţ deve + δ: A + δ A + δ + δ Avem rmătore eoremă Prespem A esgră ş fe pertrre δa stsfăcâd codţ δ A < / A Atc: δ Cod A δa + Cod A δa / A A δ Petr demostrţe v Atso 978, Rsto & Rowtz 978 Î prtcr, dcă δ, tc efect e pertrăr î A este dt de: δ Cod A δa Cod A δa / A A Î cee ce rmeză vom d reztte prvd efect eroror de rotre spr soţe ccte pr emre Gss Reztt v f tzt î estmre pror eror î emre Gss ch Octomre 8