3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară 3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară În această secţune ne vom or asura rncalelor roretăţ geometrce e care le osedă mulţmea soluţlor unu sstem de ecuaţ ş necuaţ lnare. Aceste roretăţ sunt determnante în înţelegerea mecansmulu metode smlex de rezolvare a rogramelor lnare. Parcurgerea aceste secţun necestă câteva rudmente de calcul matrcal ş algebră lnară. Vector cu care se va oera vor f subînţeleş, duă caz, fe ln fe coloane. De regulă,screrea în text a unu vector se va face în lne ca de exemlu v = ( a, a,..., a m ); dacă este necesar ca v să fe consderat vector coloană se va folos oeratorul de transunere: v = ( a, a,..., a m ) T. 3. Câteva elemente de analză convexă lnară Fnd date două uncte xy, R n mulţmea: [ x, y] = { z= ( α) x+ αy, 0 α } se numeşte segment (închs) cu extremtăţle x ş y. Se şte că în R sau în R 3 acest concet se suraune este concetul geometrc uzual. Pentru α = 0, resectv α =,avem z x, resectv z y. Punctele z = ( α ) x + α y coresunzătoare valorlor α ( 0, ) se numesc uncte nteroare ale segmentulu [xy, ]. Pentru α = segmentulu [ xy, ]. găsm z = x+ y ( ) mjlocul O mulţme X R n se zce convexă dacă o dată cu două uncte conţne ş segmentul care le uneşte. Formal : [ ] X convexă ( ) x, y X,( ) α 0,, z = ( α) x + α y X Se verfcă medat că ntersecţa ma multor mulţm convexe este o mulţme convexă.
I. PROGRAMARE LINIARA Fe a = ( a, a,..., a n ) un vector nenul ş b un scalar.este uşor de văzut că mulţmea: T { (,,..., n )... n n } S = x = x x x ax b a x + a x + + a x b este convexă. Ea se numeşte semsaţu, în tm ce mulţmea: T { (,,..., n )... n n } H = x = x x x ax = b a x + a x + + a x = b se numeşte herlan. Este clar că ş H este o mulţme convexă ca ntersecţe a semsaţulu S de ma sus, cu semsaţul: n { ( )... n n b } ' S = x R ax b a x b a x a x a x O ntersecţe fntă de semsaţ se numeşte mulţme oledrală. Evdent, o mulţme oledrală este convexă, recroca nefnd în general adevărată. În fgura 3.. sunt rezentate câteva mulţm convexe ş neconvexe în lan. Este clar că mulţmle a) ş b) nu sunt convexe. Dscul c) este o mulţme convexă dar nu este oledrală, fnd în fat ntersecţa nfntă a tuturor semsaţlor care conţn dscul ş sunt mărgnte de tangentele la crcumfernţă. Polgonul convex d) este ntersecţa a 4 semsaţ aşa cum se arată în fg.3.. a)olgon concav b)coroană crculară c)dsc d)olgon convex e)mulţme oledrală nemărgntă Notă: Toate mulţmle secfcate sunt resuuse, închse adcă îş conţn fronterele. Fgura 3..
3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară 3 S 3 S S S 4 Fgura 3.. Dn cele de ma sus rezultă că orce mulţme oledrală în R n se dentfcă cu mulţmea soluţlor unu sstem de ecuaţ ş/sau necuaţ lnare în n varable. În artcular: A P Mulţmea a soluţlor admsble ale unu rogram lnar (P) este o mulţme convexă, oledrală ş închsă. Frontera sa se comune dn toate unctele ale căror coordonate satsfac cu egaltate cel uţn una dn restrcţ. Se numeşte vârf al une mulţm convexe X R n un unct v X cu roretatea că nu exstă un segment [x,y] X care să conţnă e v ca unct nteror. În R sau R 3 regăsm concetul geometrc uzual. O mulţme oledrală are întotdeauna un număr fnt de vârfur (osbl nc unul); de exemlu, olgonul d) dn fg. 3.. are atru vârfur în tm ce un semsaţu nu are vârfur. Dscul c) are o nfntate de vârfur: orce unct de e crcumfernţă are această caltate. Mulţmle d) ş e) dn fg.3.. sunt amândouă oledrale dar e) este nemărgntă. Pentru a caracterza această roretate avem nevoe de un nou concet.
4 I. PROGRAMARE LINIARA Un vector w R n se numeşte rază extremă entru mulţmea convexă X R n dacă entru orce x X ş α 0 rezultă x + α w X,ar w nu oate f scrs sub forma w=w +w,w ş w având aceeaş roretate ca ş w. De exemlu mulţmea oledrală dn fg. 3..3 are două raze extreme w ş w. Suorturle acestor vector sunt aralele cu cele două much dealungul cărora "se oate merge către nfnt". De reţnut că o mulţne convexă este nemărgntă dacă ş numa dacă are cel uţn o rază extremă ar o mulţme oledrală are un număr fnt de raze extreme. Să consderăm acum o mulţme oarecare L de uncte dn R n, fntă sau nfntă. O combnaţe convexă de uncte dn L este un unct (vector) de forma: x = αv + αv +... + α v cu α, α,..., α 0 ş α + α +... + α = unde v, v,..., v deasemen varabl. sunt uncte dn L arbtrar alese, numărul unctelor fnd x+α w α 0 x+α w α 0 v x w w v Fgura 3..3
3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară 5 Se oate arăta fără dfcultate că mulţmea tuturor combnaţlor convexe de uncte dn L este o mulţme convexă ş ma recs este cea ma mcă mulţme convexă (în sensul ncluzun) care conţne mulţmea L.Ea se notează conv L ş se numeşte anveloa (sau acoerrea) convexă a mulţm L. Dacă L este o mulţme fntă atunc conv L mărgntă. Acest fat este lustrat în fgura 3..4. este o mulţme oledrală Să consderăm o mulţme oledrală X R n.fe: { L } X& = v, v,, v mulţmea vârfurlor sale. Deoarece X & X ar X este convexă avem conv X& X. Se oate demonstra următorul rezultat clasc al analze convexe: Mulţmea fntă L conv L Fgura 3..4 Dacă X este o mulţme oledrală mărgntă atunc conv X& = orce unct dn X este o combnaţe convexă a vârfurlor mulţm X. Formal: X, adcă
6 I. PROGRAMARE LINIARA ( ) x X,( ) α, α, L, α 0 cu α + α + L+ α = astfel încât : x = α v + α v + L+ α v De reţnut fatul că scalar α, α, L, α nu sunt unc. Dacă mulţmea oledrală X nu este mărgntă atunc conv X& X. Acest fat este lustrat în fgura 3..5 unde mulţmea dublu haşurată este acoerrea convexă a vârfurlor mulţm oledrale nemărgnte X. Se oate arăta că dacă v, v, L, v sunt vârfurle mulţm oledrale nemărgnte X ar w, w, L, w q sunt razele sale extreme atunc entru orce x X exstă scalarα, α, L, α 0 cu α + α + L+ α = ş µ, µ,l, µ q 0 astfel încât: x = α v + α v + L+ α v + µ w + µ w + L+ µ w q q v w X w v v 3 conv{v,v,v 3 } Fgura 3..5 3. Teorema centrală a rogramăr lnare Să consderăm acum un rogram lnar (P) în care funcţa obectv se maxmzează ş să ne stuăm în cazul în care rogramul (P) este comatbl adcă mulţmea soluţlor sale admsble A P este nevdă. Am văzut că A P este o mulţme oledrală ş convexă având un număr fnt de vârfur v, v,..., v ş (osbl) un număr fnt de raze extreme w, w, L, w q. Aşa cum va rezulta dn
3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară 7 secţunea 4., A P are cel uţn un vârf, adcă. Vom enunţa ş demonstra acum teorema centrală a rogramăr lnare. TEOREMA. Dacă rogramul (P) are otm fnt, atunc o soluţe otmă se găseşte într-unul dn vârfurle mulţm soluţlor admsble A P. Demonstraţe: Fe: f ( x) = cx = cx + c x + + c x L funcţa obectv a rogramulu (P). Pentru înceut să arătăm că: cw k 0 ( ) k =, L, q Să resuunem rn absurd că exstă o rază extremă w { w, w,, w q } că cw > 0. Luăm o soluţe admsblă oarecare Atunc: x 0 0 x( α) = x + αw,( ) α 0 A P n n ( AP!).Ştm că: 0 f ( x( α)) = cx + αcw cînd α. Ar rezulta că (P) are otm nfnt contrar oteze. Fe acum v { v } *, v, L, v cu roretatea că: { L } * * f ( v ) = cv = max f ( v ) = cv, f ( v ) = cv,, f ( v ) = cv L astfel Să consderăm o soluţe admsblă oarecare x A P. Am văzut că exstă scalar: α, α, L, α cu α + α + L+ α = ş µ, µ,..., µ q astfel încât: 0 Atunc: 0 x = α v + α v + L+ α v + µ w + µ w + L+ µ w q q
8 I. PROGRAMARE LINIARA f ( x) = cx = α cv + α cv + K+ α cv + µ cw + µ cw + K+ µ cw α cv + α cv + K+ α cv ( α + α + K + α ) cv* = f ( v*) q q În consecnţă v * este o soluţe otmă a rogramulu (P). Imortanţa aceste teoreme este covârştoare: ea reduce roblema găsr une soluţ otme x * dn mulţmea, în general nfntă, A P a tuturor soluţlor admsble ale rogramulu (P), la dentfcarea aceste soluţ în mulţmea fntă a vârfurlor lu A P. Recatulând modul în care dfertele roretăţ dscutate au fost mlcate în obţnerea acestu rezultat fundamental să reţnem că: Convextatea mulţm soluţlor admsble A P stuează soluţle otme, dacă acestea exstă, e frontera lu A P ; Deoarece A P este oledrală, ar funcţa obectv este lnară, cel uţn una dn soluţle otme este un vârf al lu A P. Teorema furnzează următorul rocedeu "nav" de rezolvare a unu rogram lnar (P): se "generează" lsta (fntă) a vârfurlor mulţm A P ; rn înlocure succesvă în funcţa obectv se reţne vârful care oferă acestea valoarea maxmă. Procedeul rdcă la rândul său următoarele robleme rncale: ) Cum recunoaştem comatbltatea rogramulu (P)? ) Cum "calculăm" un vârf al mulţm A P sau ma corect sus cum se caracterzează "algebrc" un vârf? 3) Pentru obţnerea soluţe otme este necesar să generăm toate vârfurle mulţm A P? Întrebarea este seroasă deoarece ş entru rograme lnare de dmensun reduse (adcă cu un număr relatv mc de restrcţ ş varable) numărul vârfurlor este foarte mare. 4) Char dacă reuşm, rn enumerarea exlctă a tuturor vârfurlor, să găsm e acela care maxmzează funcţa obectv, aceasta nu înseamnă oblgatoru că am rezolvat rogramul dat! Este osbl ca rogramul resectv să abe otm nfnt! Cum se recunoaşte acest fat?
3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară 9 Vom răsunde rogresv la toate chestunle menţonate în secţunle următoare. 3.3 Coresondenţa A P ~A FSP Consderăm o roblemă de rogramare lnară (P) care conţne cel uţn o restrcţe negaltate ş fe (FSP) forma sa standard.(vez secţunea.4) Pentru smlfcarea notaţlor, vom resuune că (P) este în formă canoncă de maxmzare: unde: max f = cx ( P) Ax b x 0 a a L an a a a n A = L M M M a a L a [ L n ] c = c c c b b b = M b m m mn m n x x x = M (3.3.) x Ştm dn secţunea.3 că orce rogram lnar oate f scrs în această formă. Forma standard a rogramulu (P) va f: max f = cx ( FSP ) Ax + y = b x 0, y 0 în care: y y y = M y m este vectorul varablelor de abatere. Între mulţmle de soluţ admsble A P R n ş A FSP R n+m exstă o coresondenţă bjectvă Φ(x) = (x, y), unde y = b - Ax, a căre nversă este roecţa Φ - (x,y) = x. Am remarcat deja în secţunea.4 că rn coresondenţa
30 I. PROGRAMARE LINIARA Φ, soluţle otme ale celor două robleme se coresund. În fat, Φ are următoarea roretate ma generală. Teorema 3.3. Dacă x este un vârf al mulţm A P atunc Φ(x) = (x,y) cu y = b - Ax este un vârf al mulţm A FSP. Recroc, dacă (x,y) este un vârf al mulţm A FSP atunc Φ - (x,y) = x este un vârf al mulţm A P. Demonstraţe: Concluza decurge nemjloct dn defnţa vârfulu (secţunea 3.) observând că Φ ş Φ - conservă combnaţle convexe ale unctelor dn A P ş A FSP. Într-adevăr, fe x, x A P,α [0, ] ş x = (-α )x +αx. Fe ma dearte: Φ(x) = (x,y), Φ(x ) = (x,y ), Φ(x ) = (x,y ) unde: y = b - Ax, y =b Ax, y = b - Ax.Deoarece: y = b - A(( - α )x +α x )= ( - α )(b - A x ) + α (b - A x ) = ( - α )y +α y avem: (x,y) = ( - α )(x,y ) + α (x,y ), adcă Φ(x) = ( - α )Φ(x ) +α Φ(x ). În baza aceste teoreme recum ş a teoreme centrale a rogramăr lnare (secţunea 3.), entru a rezolva roblema (P) este sufcent să căutăm soluţa otmă a forme sale standard (FSP) rntre vârfurle mulţm A FSP. Vom vedea în secţunea următoare cum se caracterzează algebrc vârfurle mulţm soluţlor admsble ale unu rogram lnar în formă standard. Tot acolo vom arăta că dacă un rogram (P) este comatbl atunc A P are cel uţn un vârf ş în orce caz un număr fnt de asemenea elemente. Pe baza acestor rezultate, vom utea descre în aragraful 4 o metodă efectvă de rezolvare a une robleme de rogramare lnară. 3.4 Soluţ de bază ale unu rogram lnar Să consderăm acum un rogram lnar (P) în formă standard: max f = cx ( P ) Ax = b x 0 în care masvele A,b,c,x au semnfcaţle dn (3.3.). Vom une în evdenţă coloanele matrc A:
3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară 3 A = [A, A,, A n ] T Defnţe Soluţa x = ( x, x,..., x n ) a robleme în formă standard (P), nu neaărat admsblă, se numeşte soluţe de bază dacă mulţmea coloanelor A coresunzătoare comonentelor x 0 este lnar ndeendentă. Fe I( x ) mulţmea ndclor {,,,m} cu roretatea că x 0. Lema Dacă x ş x sunt soluţ de bază ale rogramulu (P) ş I( x ) I( x ) atunc x = x (ş dec I( x ) = I( x )). Demonstraţe: Este clar că x = x = 0 entru ndc I( x ). Atunc egaltăţle: xa = xa = b mlcă: I( x ) I( x ) ( x x ) A = 0 I( x ) de unde rezultă x = x entru toţ I( x ), deoarece rn oteză coloanele A, I( x ) sunt lnar ndeendente. T Lema Fe x = ( x, x,..., x n ) o soluţe admsblă a robleme (P) care nu este soluţe de bază. Atunc exstă un vector y R n ş un nterval [ λ, λ ] R n {-, + } astfel încât: ) Ay = 0; ) [ λ, λ ] conţne e 0 ş nu se reduce la acest unct; λ ş λ nu sunt smultan nfnte; 3) entru orce λ [ λ, λ ] vectorul x(λ) = x + λy este o soluţe admsblă a robleme (P); 4) Dacă de exemlu, λ este fnt ş x = x( λ ) atunc I( x ) I( x ) dar I( x ) I( x ) - adcă x are ma uţne comonente nenule decât x. Demonstraţe: Dn oteză rezultă că mulţmea coloanelor A, I( x ) este lnar ndeendentă. Exstă rn urmare scalar y, I( x ) nu toţ nul astfel încât:
3 I. PROGRAMARE LINIARA ya = 0 I( x ) Punând y = 0 entru I( x ) obţnem un vector y = (y,y,,y n ) R n cu roretatea că: n ya = 0 Ay= 0 = Afrmaţa ) este demonstrată. Pentru orce λ R vectorul x(λ) = x + λy este o soluţe a robleme (P) deoarece Ax(λ) = A x + λay =b. Imunând condţa de admsbltate x(λ) 0 obţnem entru λ ntervalul de valor ermse [ λ, λ ] în care: x x max λ = I x y y ( ), > 0 mn λ = I x y y ( ), < 0 daca tot y 0 + daca tot y 0 Avem λ < 0 < λ ş deoarece y 0, cel uţn una dn extremtăţle λ,λ este fntă. Astfel ş afrmaţle ), 3) sunt robate. Să resuunem, în fnal că λ este fnt. Atunc va exsta un ndce r I( x ) astfel că:y r < 0 ş λ = - x r y.dacă x r = x( λ ) este clar că I( x ) I( x ) ş cum xr = xr + λyr = 0ar x r > 0 urmează că I( x ) < I( x ) ş ultma afrmaţe este dovedtă. T Teorema 3.4. O soluţe admsblă x = ( x, x,..., x n ) a robleme (P) este un vârf al mulţm A P dacă ş numa dacă x este o soluţe de bază. Demonstraţe: Să resuunem că x este vârf dar nu este soluţe de bază. Conform leme exstă y R n cu Ay = 0 ş ntervalul [ λ, λ ] care conţne e 0 ş nu se reduce la acesta, astfel încât x(λ) = x + λy să fe o soluţe
3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară 33 a rogramulu (P) orcare ar f λ [ λ, λ ]. Alegem ε > 0 sufcent de mc astfel încât [-ε,+ε ] [ λ, λ ] ş unem: x = x -εy, x = x +εy. Atunc x,x A P, x x ş x = ( x + x ) în contradcţe cu oteza că x este vârf al mulţm A P. Pentru recrocă să resuunem că x este o soluţe de bază fără a f vârf. Atunc exstă x,x A P, x x ş α (0,) astfel încât x = (-α )x + αx. Pentru I( x ) avem ( α) x + αx = 0 ş cum x 0, x 0rezultă x = x = 0. În consecnţă, I(x ) I( x ), I(x ) I( x) ş în vrtutea leme rezultă x = x = x, în contradcţe cu oteza făcută. Teorema 3.4. Dacă rogramul în formă standard (P) este comatbl atunc mulţmea soluţlor sale admsble A P are cel uţn o soluţe de bază, dec un vârf. T Demonstraţe Fe x = ( x, x,..., x n ) o soluţe admsblă a robleme (P). Vom roceda rn nducţe duă numărul k al comonentelor x > 0.Dacă k = 0 atunc x = (0,0,...,0) este o soluţe de bază întrucât o mulţme vdă de vector este, rn convenţe,lnar ndeendentă. Dacă k > 0 exstă două stuaţ de examnat: ) Coloanele A, I( x ) sunt lnar ndeendente. Atunc x este o soluţe de bază. ) Coloanele A, I( x ) sunt lnar deendente. Conform leme va exsta o soluţe admsblă xcu I( x) I( x ) dar cu ma uţne comonente nenule decât x. Reetând raţonamentul, este clar că într-un număr fnt de aş se ajunge la stuaţa ) adcă la o soluţe de bază. Consecnţă Mulţmea A P a soluţlor admsble ale unu rogram lnar comatbl are cel uţn un vârf. Demonstraţe: Să resuunem că (P) nu este în formă standard, altmnter avem teorema 3.4.. Fe (FSP) forma standard a rogramulu (P). Deoarece avem coresondenţa bjectvă Φ : A P A FSP deducem că A FSP entru că rn oteză A P. Prn teorema 3.4. mulţmea A FSP are cel uţn un vârf; acesta, rn roecţa Φ - va f un vârf al mulţm A P, graţe teoreme 3.3..
34 I. PROGRAMARE LINIARA Având în vedere caracterzarea algebrcă a vârfurlor dată în teorema 3.4., teorema centrală a rogramăr lnare oate f formulată ş în următor termen. Teorema 3.4.3 Dacă un rogram lnar în formă standard are otm fnt, cel uţn una dn soluţle sale otme este o soluţe de bază. Ma rămâne de arătat că mulţmea soluţlor admsble ale unu rogram lnar are un număr fnt de vârfur. În vrtutea teoremelor 3.3. ş 3.4., aceasta revne la a arăta că un rogram lnar în formă standard (P) are un număr fnt de soluţ admsble de bază. Fatul rezultă nemjloct dn aceea că numărul sstemelor lnar ndeendente ce ot f extrase dntr-o mulţme fntă de vector este fnt. Vom recza acest lucru sub forma une teoreme în secţunea următoare, în care vom ntroduce un concet uşor dfert de cel de soluţe de bază, acela de soluţe asocată une baze a rogramulu (P). Noul concet are avantajul de a f ma uşor de manulat în ractcă. 3.5 Baze ale unu rogram lnar în formă standard. Soluţa asocată une baze În notaţle secţun recedente facem oteza: ranga = m < n (3.5.) Ioteza ne asgură că ecuaţle ce comun sstemul lnar Ax = b al restrcţlor sunt ndeendente ş că acest sstem are o nfntate de soluţ. Să notăm că oteza nu mlcă în mod necesar ş exstenţa soluţlor admsble (adcă cu toate comonentele nenegatve) entru sstemul consderat. Duă cum vom vedea în secţunea 4.6 oteza făcută nu este deloc restrctvă. Deoarece ranga = m, în matrcea A va exsta cel uţn un gru de m coloane lnar ndeendente, consttund dec o bază a saţulu R m. Un asemenea gru se va num bază a rogramulu (P) ş numărul acestora este n! fnt, nedeăşnd C m n = m!( n m)!. Fe B o bază a rogramulu (P), I mulţmea ndclor coloanelor dn B ş J mulţmea ndclor coloanelor dn A care nu sunt în B. Renumerotând convenabl varablele rogramulu vom scre matrcea A în forma:
3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară 35 A = [B, S] cu B = [A ] I, S = [A j ] j J Partţonăm coresunzător vectorul (coloană) x al varablelor: B x B x = x x x x S I cu =, = x S [ ] [ j ] ca ş vectorul (lne) al coefcenţlor funcţe obectv: j J c = [c B,c S ] cu c B = [c ] I, c S = [c j ] j J În raort cu baza B aleasă, varablele x, I se vor num varable bazce, ar toate celelalte nebazce sau secundare. Screm sstemul Ax = b în forma: [ BS, ] x x B S B S b Bx Sx = + = b Deoarece B este o bază a saţulu R m, B (ca matrce!) este nesngulară dec nversablă. Înmulţnd la stânga cu B - obţnem: [ j ] [ ] B S x + Sx = b cu S = B S = a, b = B b= b (3.5.) I, j J Va f utl să unem în evdenţă coloanele matrc S: j j j [ ] [ ] [ ] S = B A == B A = A j J j J j J I cu [ j ] j j A = B A = a I (3.5.3) Utlzăm (3.5.) entru a elmna dn exresa funcţe obectv varablele bazce: B x B S B B S S B S S S f = [ c c ] c x c x c b Sx c x S x B B S S = c b ( c S c ) x S S = f c x (3.5.4) unde:
36 I. PROGRAMARE LINIARA B B f = c b = c B ( b) = c b (3.5.5) I ş: în care: [ j ] c S = c B S c S = c B B ( S c S ) = c B j B j cj = c A cj ( = c B A cj ) = caj cj (3.5.6) Astfel, în raort cu baza B, rogramul (P) oate f adus la următoarea formă echvalentă, conform (3.5.) ş (3.5.4): I j J S S max f = f c x B S ( PB ) x + Sx = b B S x 0, x 0 max f = f cjx j j J x + ajx j = b I j J x 0, I; x j 0, j J (3.5.7) (P B ) se numeşte forma exlctă a rogramulu (P) în raort cu baza B. Comarând (P B ) cu (P) constatăm că efectul înmulţr cu B - a sstemulu Ax = b este exlctarea varablelor bazce x, I în funcţe de cele nebazce x j, j J. obţnem: Vectorul: Luând în (P B ): x S = 0 x j = 0, j J (3.5.8) B x = b x = b I (3.5.9) b x x = 0 x B S (3.5.0) este evdent o soluţe a rogramulu (P), numtă soluţa asocată baze B. Vom sune că B este o bază admsblă dacă soluţa asocată (3.5.0) este admsblă, ceea ce revne la a sune că b 0, I. Prn construcţe, soluţa asocată une baze a rogramulu (P) este o soluţe de bază în sensul defnţe dn secţunea recedentă. Recroca nu este T în general adevărată. Astfel, dacă x = ( x, x,..., x n ) este o soluţe de bază a rogramulu (P), numărul comonentelor nenule este m. Dacă acest număr este exact m atunc x este soluţa asocată baze formate dn coloanele matrc
3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară 37 A coresunzătoare celor m comonente nenule. Sunem în acest caz că x este o soluţe de bază nedegenerată. Dacă numărul comonentelor nenule este < m, coloanele coresunzătoare acestor comonente ot f comletate ână la o bază în ma multe modur, astfel că x se asocază la ma multe baze! Dacă se întâmlă aşa sunem că x este o soluţe degenerată. Deoarece (P) are un număr fnt de baze, el va avea ş un număr fnt de soluţ asocate acestor baze ş de ac un număr fnt de soluţ de bază. În baza relaţlor (3.5.8), (3.5.9) constanta f dn (3.5.5) rerezntă valoarea funcţe obectv a rogramulu (P) în soluţa (3.5.0) asocată baze B. Comonentele c j, j J (defnte în (3.5.6)) ale vectorulu c S dn (3.5.4) vor juca un rol esenţal în caracterzarea otmaltăţ une soluţ admsble de bază. Ele se numesc costur reduse ş sunt întotdeauna asocate varablelor nebazce. Coefcenţ numerc a forme exlcte (3.5.7) se trec într-un tabel (T B ) al căru format este ndcat în tabelul 3.5.. Tabelul (T B ) se numeşte tabelul smlex asocat baze B. Coloana B conţne vector baze B, coloana CB conţne coefcenţ dn funcţa obectv a varablelor bazce ar în coloana VVB aar valorle varablelor bazce. În ultma lne a tabelulu, numtă ş lna test, aar valoarea f a funcţe obectv în soluţa asocată baze B recum ş costurle reduse c j, j J coresunzătoare coloanelor nebazce. Formula (3.5.5) arată că f este rodusul scalar al coloanelor CB ş VVB în tm ce relaţa (3.5.6) arată că c j se obţne dn rodusul scalar al coloanelor CB ş A j scăzând costul c j scrs deasura coloane A j. c c r c j c k CB B VV B K A K A r K A j K A k K M M M M M M M c A b K K 0 K a j K a K (T B ) M M M M M M M c r A r b r K 0 K K a rj K a r M M M M M M M f f K * K * K c j K c k K k k K
38 Tabelul 3.5. I. PROGRAMARE LINIARA Extndem defnţa costulu redus ş la coloanele A, I: c = c c = 0.Aceste costur reduse au fost notate în lna test cu asterscur (*) sre a le deoseb de eventualele costur reduse nule c j, j J care, duă cum vom vedea în secţunea 4., ndcă - la otm - rezenţa ma multor soluţ otme de bază.