CAPITOLUL I. PRELIMINARII Elemente de teoria mulţimilor

Transcript

1 CAPITOLUL I. PRELIMINARII.. Elemete de teora mulţmlor. Mulţm Pr mulţme vom îţelege o colecţe (set, asamblu) de obecte (elemetele mulţm), be determate ş cosderate ca o ettate. Se subâţelege fatul că elemetele ue aceleaş mulţm sut dstcte ître ele. Ma mult resuuem că se oate deduce dacă u obect oarecare aarţe sau u colecţe ş că u acelaş obect u oate costtu smulta ş o colecţe ş u elemet al aceste colecţ. Suem ş că u obect caătă caltatea de elemet r coştetzarea fatulu că face arte dtr-o colecţe (mulţme). Vom ota mulţmle cu lterele mar A, B,..., ar elemetele lor cu lterele mc a, b,..., x, y,... A determa o mulţme îseamă a recza dvdual elemetele sale sau a recza o roretate caracterstcă (e care o au elemetele mulţm resectve ş uma acestea). Meţoăm că u orce roretate (î sesul uzual al cuvâtulu) determă o mulţme îsă se accetă că orce roretate determă o clasă (clasa obectelor ce satsfac roretatea resectvă). Amtm, de exemlu, că u se oate vorb de mulţmea tuturor mulţmlor c de clasa tuturor mulţmlor. Restrcţle ce se mu asura roretăţlor etru ca acestea să determe mulţm dervă d resuuerle euţate î rmul aleat al aragrafulu. Î geeral se cosderă roretăţ desdre care să se oată sue dacă sut sau u îdelte (altă osbltate eexstâd) ş care se referă la obecte dtr-u uvers de dscurs reczat (etru uvers de dscrus se oate acceta îţelesul de totaltate a obectelor de îtreg etru u domeu dat, admţâd că se oate vorb de această totaltate ). Preczăm că oţule ş rezultatele ce urmează ot f date ş î cadrul claselor (ueor char vor f foloste î acest cotext). Dacă A este o mulţme, ar a este u elemet al mulţm A, vom ota a A, ar î caz cotrar otăm a A. Semul " " rereztă screrea stlzată a rme ltere d cuvâtul grecesc "ε σ τ ν" (este) ş a fost rous de G. Peao. 7

2 Dacă A ş B sut două mulţm, vom scre A B ş vom ct "A este îclus î B" dacă etru orce x A rezultă x B. Dacă A B, atuc A ma este umtă submulţme a lu B. Admtem exsteţa ue mulţm care u are c u elemet, umtă mulţmea vdă. Va f otată (ultma ltera a alfabetulu daezo-orvega). Petru orce mulţme A, are loc A. Suem că mulţmle A ş B cocd ş screm A B dacă A B ş B A. Date mulţmle A ş B, vom ota cu A B mulţmea {x x A ş x B} ş o vom um tersecţa mulţmlor A ş B. Dacă A B vom sue că A ş B sut dsjucte. Vom ota cu A B mulţmea { x x A sau x B} ş o vom um reuuea mulţmlor A ş B. Mulţmea { x x B, x A} este umtă dfereţa mulţmlor B ş A ş este otată B - A. Dacă A B, atuc B - A se ma otează C B A ş este umtă comlemetara lu A relatv la B. Dacă etru u cotext dat se are î vedere o mulţme U (umtă ş mulţmea uversală) ce coţe ca submulţm toate mulţmle î dscuţe î cotextul resectv ş A U, atuc C U A se ma otează CA ş este umtă, smlu, comlemetara lu A. Petru orce mulţm A, B, D au loc următoarele roretăţ: ) A ; A U A; A A; A U U; A - A; A - A ; ) A B A; A B B; A A B; B A B; 3) A ( A B) A A ( A B); 4) A B B A; A B B A; 5) (A B) D A ( B D); (A B) D A (B D); 6) A A A A A; 7) A B A D B D; A D B D; CB CA; 8) A (B D) (A B) (A D); A (B D) (A B) (A D); 9) C (A B) CA CB; C (A B) CA CB; C (C A) A; 0) B - A B CA. Câd elemetele ue mulţm sut ele îsele mulţm, se foloseşte termeul de famle de mulţm. O famle de mulţm 8

3 M { M I }, ude M sut mulţm, ar I este o mulţme evdă (mulţme de dc), ma este umtă famle dexată de mulţm. Petru o famle de mulţm M { M I} (I ) defm U A I I A I r U I {x exstă I, aşa îcât x A} ş I r A {x etru orce I, x A}. Au loc roretăţle: ) A U A ş I A A I I etru orce I; ) B U A U ( B A ) I I B I A I ( B A ) I 3) C I A U C A ; C U A I CA I I I I Dacă A ş B sut mulţm ş a A, b B, atuc utem forma (î mod tutv) erechea ordoată (a,b). Avem (a, b ) (a, b ) dacă a a ş b b, de ude rezultă că (a, b) (b, a) etru a b. Noţuea de ereche ordoată etru două elemete oarecare a, b este dată (î mod rguros) de K. Kuratows r {{a}, {a, b}} ş otată (a, b). Mulţmea {(a, b) a A, b B} este otată cu A B ş este umtă rodusul carteza al mulţmlor A ş B. Petru A B otăm A A cu A. Iductv, defm etru mulţmle A, A,..., A rodusul carteza A A... A {(a,..., a ),, a A, } ar î 443 A A... 4A cazul A A... A A otăm or cu A. Observăm că dacă A B atuc A B B A. Avem : A B ş (A B ) D A (B D). Mulţmea ( A - B) ( B - A) se umeşte dfereţa smetrcă (sau suma booleaă ) a mulţmlor A ş B ş se otează cu A Δ B. I A 9

4 Petru orce mulţm A, B, D au loc egaltăţle: ) (A Δ B) Δ D A Δ (B Δ D); ) A Δ B B Δ A; 3) A Δ A; A Δ A ; 4) A ( B Δ D) (A B) Δ (A D). Fe A, B două mulţm. De utltate se va doved ş oeraţa de reuue dsjuctă (otată ) dată de A B ({A} Δ A) ({B} Δ B). Remarcăm fatul că, î cazul î care A B, se oate cosdera că A B A B. Oeraţa ateroară se extde î mod atural etru cazul ue faml de mulţm.. Relaţ Defţe: Fd date mulţmle A ş B se umeşte relaţe ître A ş B, orce submulţme (otată de obce ρ) a rodusulu carteza A B. Dacă A B, atuc o submulţme ρ A A este umtă relaţe (sau relaţe bară) e mulţmea A. Deseor, vom scre a ρ b î loc de (a, b) ρ. Domeul relaţe ρ este mulţmea {a A exstă b B; aşa îcât a ρ b}. Codomeul relaţe ρ este mulţmea { b B exstă a A, aşa îcât a ρ b}. Relaţa Δ A { (a, a) a A} se umeşte relaţe dagoală e A. Deoarece A B, rezultă că rereztă o relaţe ître A ş B umtă relaţe vdă. Î mod smlar, A B este umtă relaţa totală ître A ş B. Dacă ρ A B, atuc versa relaţe ρ, otată cu ρ - este relaţa {(b, a) (a, b) ρ} B A. Dacă A 0 A, submulţmea ρ ( A 0 ) { y B exstă x A 0, aşa îcât (x, y) ρ} a mulţm B, este umtă magea drectă a submulţm A 0 r relaţa ρ. Petru a smlfca formulărle ulteroare se va resuue că A ş B sut evde. 0

5 Dacă B 0 B, atuc ρ - (B 0 ) {x A exstă y B 0, aşa îcât (x, y) ρ} este umtă magea versă a submulţm B 0 r relaţa ρ. Dacă ρ A B ş τ B C, atuc relaţa {(a, c) exstă b B, aşa îcât (a, b) ρ ş (b, c) τ} este umtă comusa relaţlor ρ ş τ ş se otează τ ρ. Î cazul î care exstă comuerle ce urmează, avem: (ρ 3 ρ ) ρ ρ 3 (ρ ρ ); ρ ρ ρ ρ ; dacă ρ A B, atuc ρ A ρ B ρ ş B ρ ρ -, A ρ - ρ; (ρ τ) - ρ - τ - ; ρ ρ τ ρ τ ρ ş ρ γ ρ γ. Defţe: Fe ρ A A. ρ este umtă: - relaţe reflexvă dacă orcare ar f a A, avem a ρ a (altfel sus Δ A ρ); - relaţe smetrcă dacă etru orce a, a A, avem a ρa a ρ a (altfel sus ρ ρ - ); - relaţe atsmetrcă dacă d a ρ a ş a ρ a rezultă a a (altfel sus ρ ρ - Δ A ); - relaţe traztvă dacă d a ρ a ş a ρ a 3 rezultă a ρ a 3 (altfel sus ρ ρ ρ). ) Relaţa ρ A A se umeşte relaţe de echvaleţă dacă este reflexvă, smetrcă ş traztvă. ) Relaţa ρ A A se umeşte relaţe de reorde dacă este reflexvă ş traztvă. ) O relaţe de reorde, care este î lus ş atsmetrcă v) se umeşte relaţe de orde. O relaţe de orde ρ e A care satsface codţa: orcare ar f a,b A avem a ρ b sau b ρ a se umeşte relaţe de orde totală e A. Pr mulţme ordoată se îţelege o mulţme evdă A, îmreuă cu o relaţe de orde e A. Pr mulţme total ordoată (laţ) se îţelege o mulţme evdă A, îmreuă cu o relaţe de orde totală e A.

6 Fe (A, ) o mulţme ordoată ş A 0 A. Elemetul a A se umeşte morat (majorat) etru A 0 dacă etru orce x A 0, avem a x ( x a). Elemetul a A se umeşte marge feroară (sueroară) a lu A 0 ş este otat f A 0 (su A 0 ) dacă a este morat (majorat) etru A 0 ş etru orce a' A morat (majorat) etru A 0 avem a' a (a a'). Dacă exstă, f A 0 ş su A 0, atuc aceste elemete sut uc determate de codţle d defţe. U elemet a 0 A 0 se umeşte elemet ţal (elemet fal) î A 0 dacă etru orce x A 0, avem a 0 x (x a 0 ). Dacă a 0 este elemet ţal (fal) atuc a 0 f A 0 (su A 0 ). U elemet a 0 A 0 se umeşte elemet mmal (elemet maxmal) î A 0 dacă d x a 0 (a 0 x) ş x A 0 rezultă x a 0. U elemet ţal (fal) este ş elemet mmal (maxmal), dar u ş vers. Î lus, u este asgurată uctatea elemetulu mmal (maxmal). Defţe: O mulţme ordoată este umtă mulţme ductv ordoată dacă orce laţ al e admte majorat. Lema lu Zor: O mulţme ductv ordoată are cel uţ u elemet maxmal. Defţe: O mulţme ordoată se umeşte mulţme be ordoată dacă orce submulţme evdă a sa, admte elemet ţal. Mulţmea umerelor aturale N este be ordoată, î schmb mulţmle Z, Q, R, îmreuă cu relaţa uzuală de orde, u sut be ordoate. Se accetă că este be ordoată. Vom arăta î catolul următor că rcul ducţe matematce este echvalet cu fatul că N este be ordoată. Prcul ducţe trasfte Fe (A, ) o mulţme be ordoată ş A 0 A. Dacă: ) A 0 coţe elemetul ţal al lu A; ) etru orce { x A x < a } A 0 avem a A 0, atuc A 0 A. Meţoăm fatul că dacă (A, ) este total ordoată ş uca submulţme A 0 a lu A, care satsface ) ş ) este A, atuc (A, ) este be ordoată.

7 Teorema Zermelo: Pe orce mulţme evdă A se oate troduce o relaţe de orde " " aşa îcât (A, ) să fe be ordoată. Î cotuare csderăm ρ o relaţe de echvaleţă e A ş a A. Defţe: ) Se umeşte clasă de echvaleţă a elemetulu a modulo ρ mulţmea {x A x ρ a} (otată â sau ρ a ). ) Mulţmea claselor de echvaleţă modulo ρ, otată cu A/ρ oartă umele de mulţmea factor a lu A relatv la ρ (reamtm că dacă a, b A, a b, dar â bˆ, atuc î A ρ vom avea doar â (sau bˆ )). Defţe: Famla de submulţm {A } I ale ue mulţm evde A se umeşte artţe a lu A dacă au loc următoarele roretăţ: ) I, A ; ) etru orce, j I cu j, avem A A j ; U A A 3) I. Remarcăm fatul că A/ρ coduce la o artţe a mulţm A. Recroc, dată o artţe {A } I a mulţm A, relaţa deftă astfel: x ρ y dacă I, aşa îcât x, y A este o relaţe de echvaleţă. Observaţe: Dacă A este o mulţme îzestrată cu o relaţe de reorde " ", atuc relaţa deftă astfel: a ~ b dacă a b ş b a este o relaţe de echvaleţă e A, ar e mulţmea factor A/~ relaţa xˆ yˆ x y este o relaţe de orde. 3. Fucţ Defţe: O relaţe ρ A B este umtă fucţe dacă sut îdelte următoarele două codţ: ) a A, b B, aşa îcât (a, b) ρ; ) (a, b ) ρ ş (a, b ) ρ b b. A oartă umele de domeul de defţe al fucţe f, ar B oartă umele de codomeul fucţe f. 3

8 Vom sue că două fucţ f ş g cocd dacă au acelaş domeu de defţe A, acelaş codomeu B ş x A, avem f(x) g(x). Notaţa cosacrată etru o fucţe f cu domeul de defţe A ş codomeul B este: f : A B. Mulţmea fucţlor f : A B va f otată B A. Fe f : A B, A' A ş B' B. f(a') {f(x) x A'} este umtă magea drectă a submulţm A' r fucţa f, ar f - (B') {x A f(x) B'} este umtă magea versă a submulţm B' r fucţa f. Se arată că f (f - (B')) B' ş A' f - (f (A')) de ude obţem că f (f - (f (A'))) f ( A') ş f - (f (f - (B'))) f - ( B'). Au loc roretăţle: etru orce famle de submulţm ale lu A, {A } I, ş etru orce famle de submulţm ale lu B, {B } I, avem: ) f U I A U I f ( A ); f B f ( B ) U I ) f I A I f ( A ); f IB I f ( B ). I I I I Defţe: Fe f : A B, g : B C. Fucţa g f : A C, x A, ( g f) (x) g (f (x)) este umtă comusa fucţlor g ş f. Se remarcă fatul că, dacă f : A B, g : B C ş h : C D atuc: h (g f) (h g) f. Defţe: Fe f : A B o fucţe. ) f este umtă fucţe jectvă dacă: x, x A, x x f (x ) f (x ) (sau, echvalet x, x A, f (x ) f (x ) x x ). ) f este umtă fucţe surjectvă dacă b B, a A, aşa îcât f (a) b. ) f este umtă fucţe bjectvă dacă este jectvă ş surjectvă. Observaţe: Fe f : A B, g : B C ) Dacă f ş g sut jectve (surjectve), atuc g f este jectvă (surjectvă); ) Dacă g f este jectvă (surjectvă), atuc f este jectvă (g este surjectvă). U I ; 4

9 Defţe: Fucţa h : B A se umeşte versa fucţe f : A B dacă h f A ş f h B. Iversa fucţe f, dacă exstă, se otează cu f -. Î acest caz, fucţa f se umeşte fucţe versablă. Reamtm fatul că o fucţe este versablă dacă ş uma dacă este bjectvă. Notăm cu P (A) mulţmea submulţmlor (ărţlor ) lu A. Fd dată fucţa f : A B, defm fucţle: F^ : P (A) P (B), F^ (A') f (A') ş F : P (B) P (A), F (B') f - (B'). F^ este umtă fucţe mage drectă, ar F este umtă fucţe mage versă. Prouem ca exercţu demostrarea următoarelor roozţ: Proozţe: Fe f : A B o fucţe. Următoarele afrmaţ sut echvalete: ) f este jectvă; ) X, X P (A), f(x X ) f(x ) f(x ); ) X P (A), f - (f(x)) X; v) r : B A, aşa îcât r f A (r se umeşte retractă a lu f ş u este, î geeral, ucă); v) A A, f(a A ) B f(a ); v) F^ este jectvă; v) v) F este surjectvă; F^ F P (A). Proozţe: Fe f : A B o fucţe. Următoarele afrmaţ sut echvalete: ) f este surjectvă; ) Y B, f(f - (Y)) Y ) s : B A, aşa îcât f s B ( s se umeşte secţue etru f ş, u este, î geeral, ucă); v) F^ este surjectvă; v) F este jectvă; v) A A, B f(a ) f(a A ); v) F^ F P (B). 5

10 Î fal, ca exercţu, se roue să se demostreze că ître mulţmle (B C) A ş B A C A ş ître mulţmle A B C ş (A B ) C exstă bjecţ. 4. Produse drecte. Sume drecte. Fe (X α ) α I o famle de mulţm evde, I. Defţe: Perechea (X, ( α ) α I ), ude X ş α : X X α, α I, se umeşte rodus drect etru famla (X α ) α I dacă etru orce mulţme evdă Y ş etru orce famle de fucţ (f α ) α I, ude α I, f α : Y X α, exstă o fucţe f, ucă, f : Y X, aşa îcât următoarea dagramă să fe comutatvă: f X α X α adcă α f f α, α I Y f α Teoremă: Orcare ar f (X α ) α I ude I ş α I, X α exstă ş este uc, âă la o bjecţe, rodusul drect al famle date. Xα Demostraţe: Notăm cu α I mulţmea ϕ ϕ : I U Xα, ϕ( β ) X β, β I α I X : β Xα X β Petru orce β I, defm alcaţa α I r X β ( ϕ ) ϕ( β ). Este evdet că alcaţle X β sut surjectve. ( ) Xα, X α α I Perechea α I este rodus drect etru famla (Xα) α I. Îtr-adevăr, dacă (f α ) α I este o famle de fucţ, cu f α : Y X α, atuc Xα defm fucţa f : Y α I astfel: 6

11 f (y) ϕ, ude X ( ϕ ) f α ( y) α, etru α I. U astfel de ϕ exstă, datortă surjectvtăţ lu. Î lus, f este be deftă. Xα Î adevăr, dacă ar exsta ϕ' α I, aşa îcât α I, X ( ϕ ) X ( ϕ ' ) fα ( y) α ( α atuc α I, ϕ(α) ϕ'(α), adcă ϕ ϕ'. Ma mult, f )( y) ( f ( y) ) ( ) f ( y) X o X X ϕ α α α α, etru y Y, adcă X o f f α α. Să verfcăm acum uctatea rodusulu drect. Presuuem că erechea (X', (' α ) α I ) satsface codţle etru a f rodus drect etru famla (X α ) α I. ( ) Xα, X α α I Atuc, d fatul că α I este rodus drect rezultă că Xα exstă o ucă fucţe f : X' α I astfel îcât X o f ' α α, etru Xα Xα orce α I ş exstă o ucă fucţe h : α I α I, îcât X o h X, α I α α. Pe de altă arte, folosd fatul că (X', (' α ) α I ) este rodus Xα drect rezultă că exstă o ucă fucţe g : α I X', astfel îcât ' α og X α Xα, etru α I ş exstă o ucă fucţe :X' α I, îcât ' α o ' α, α I. Avem ' α o( g o f ) X o f ' α α ş ' α ox ' ' α ş d uctatea lu rezultă că g o f X '. Pe de altă arte, α o ( f o g) ' α og X o α X X α α X α ş α I ş d f o g h uctatea lu h rezultă că X α α I. Aşadar, f ş g sut verse ua altea, dec sut bjecţ. X α 7

12 Mulţmea α I X α X α este umtă rodus carteza geeralzat, ar alcaţle sut umte roecţ caoce. Observaţe: Dacă I {,,..., } atuc { rodusul drect } se detfcă cu rodusul carteza uzual, famla X, X,..., X fd famla de roecţ caoce: j {,,..., }, X : X X j X ( x x x j x ) x j,,,...,,..., j j Defţe: Fe X o mulţme, (X α ) α I o famle evdă de mulţm evde ş ( α ) α I o famle de fucţ α : X α X. Perechea (X, ( α ) α I ) se umeşte sumă drectă etru famla (X α ) α I dacă etru orce mulţme Y ş etru orce famle de fucţ (f α ) α I, ude f α : X α Y, exstă ş este ucă fucţa f : X Y, astfel îcât f α f α, α I. Altfel sus, dagrama f α Y f este comutatvă, α I X α α X Teoremă: Orce famle de mulţm admte suma drectă ş aceasta este ucă âă la o bjecţe. Demostraţe: Presuuem îtâ că toate mulţmle d famla dată sut dsjucte două câte două. Atuc suma drectă este erechea U Xα U Xα (X, ( α ) α I ), ude X α I ş etru α I, α : X α α I este cluzuea. Îtr-adevăr, dacă Y este o mulţme oarecare ş (f α ) α I este o famle de fucţ, astfel îcât α I, f α : X α Y, atuc exstă U Xα f : α I Y, ude α I, x Xα, f(x) f α (x). f este be deftă, etru că α, β I,α β X α X β. Î lus, f α f α. 8

13 Petru demostrarea uctăţ fucţe f, cosderăm o altă fucţe g : X Y, etru care g α f α, α I. Avem: α I, x X α, g(x) g( α (x)) f α f(x), de ude f g. Î cazul î care mulţmle d famla (X α ) α I u sut dsjucte, vom costru o altă famle de mulţm dsjucte ( Xα ) α I, astfel: α I, X α X α {α}. Observăm că dacă α, β I ş α β, atuc U C Xα X β. X X α X X α Cosderăm α I ş otăm α I ; etru orce α I, C Xα cosderăm α :X α α I, α(x) (x, α), ude x X α. Rezultă că C Xα ( α I, (α) α I ) este suma drectă etru famla (X α ) α I. Îtr-adevăr, dacă Y este o mulţme oarecare, (f α ) α I o famle de fucţ astfel îcât α I, f α : X α Y, atuc cosderăm fucţa C Xα f : α I Y, ude (x,α) X α, f((x,α)) fα (x). Avem (f α )(x)f((x,α)) f α (x), etru orce x X α, dec f α f α, α I. Î lus, fucţa f e ucă, etru că dacă g ar f o altă fucţe ce C Xα ar satsface codţle g : α I Y, g α f α, α I, atuc α I, (x,α) X α, g((x,α)) (g α )(x) f α (x) f((x,α)), adcă f g. Să arătăm acum uctatea âă la o bjecţe a sume drecte. Presuuem că (X, ( α ) α I ) ş (X', (' α ) α I ) ar f sume drecte etru famla (X α ) α I. Cosderâd î defţa sume drecte Y X' ş α I, f α ' α rezultă că exstă ş este ucă fucţa f : X X', astfel îcât α I, f α ' α. Alcăm acum defţa etru suma drectă (X', (' α ) α I ), Y X ş α I, f α α. Rezultă că exstă ş este ucă fucţa g : X' X, astfel îcât α I, g ' α α. Vom arăta că f g X '. 9

14 Îtr-adevăr, cosderâd suma drectă (X', (' α ) α I ) ş Y X', α I, f α ' α rezultă că exstă ş este ucă fucţa h : X' X' astfel îcât α I, h ' α ' α. Fucţle f g ş X ' verfcă codţle satsfăcute de h ş d uctatea lu h rezultă că f g X '. Smlar, cosderâd suma drectă (X, ( α ) α I ) ş Y X, α I, f α α rezultă că g f X '. Pr urmare, f este bjectvă, de aceea vom sue că suma drectă este ucă âă la o bjecţe. 5. Axoma aleger Î cadrul teore mulţmlor u rol deosebt de mortat (ş î aumtă măsură cotroversat) este avut de aşa umta axomă a aleger (a ermte "abstragerea" elemetelor d mulţmle ce le coţ). Axoma aleger: Petru orce famle evdă, F, de mulţm evde, dsjucte două câte două, exstă o mulţme A care are î comu cu fecare mulţme d F u elemet ş uma uul. O famle F de mulţm este umtă famle de caracter (local) ft dacă satsface codţa: "A F dacă ş uma dacă orce arte ftă a lu A aarţe lu F ". Se dovedeşte că axoma aleger este echvaletă cu fecare dtre următoarele roozţ: - Lema lu Tuey: Orce famle evdă de mulţm, de caracter ft (arţal ordoată relatv la cluzue), are cel uţ u elemet maxmal. - Prcul de maxmaltate al lu Hausdorff: Orce laţ al ue mulţm arţal ordoate este clus îtr-u laţ maxmal. - Teorema rodusulu carteza: Produsul carteza al ue faml de mulţm evde este evd. recum ş cu Lema Zor ş Teorema Zermelo rezetate ateror... Numere cardale. Numere ordale.. Numere cardale. 0

15 Defţe: Fe X, Y două mulţm. Suem că X, Y sut echotete (cardal echvalete, au aceeaş utere cardală) dacă exstă o bjecţe f : X Y. Vom ota X ~ Y. Observaţe: Echoteţa este o relaţe de echvaleţa e clasa tuturor mulţmlor. Teorema lu Cator: Dacă X este o mulţme, atuc X P (X), ude P (X) este mulţmea ărţlor lu X. Demostraţe: Presuuem că X ~ P (X) ş atuc exstă o bjecţe ϕ : X P (X). Cosderăm mulţmea: A {x x X ş x ϕ(x)}. Evdet A P (X) ş cum ϕ este surjecţe, rezultă că a X, aşa îcăt ϕ (a) A. Dacă a A, atuc a ϕ(a); dar d defţa mulţm A rezultă că a ϕ (a), cotradcţe. Dacă a A, adcă a ϕ (a), atuc coform defţe mulţm A ar rezulta că a A, cotradcţe. Pr urmare, resuuerea făcută este falsă, dec X P (X). Teorema lu Cator-Berste: Fe X 0, X, X tre mulţm, astfel îcât X 0 X X. Dacă X 0 ~ X, atuc X 0 ~X. Demostraţe: D X 0 ~X rezultă că exstă o bjecţe ϕ : X 0 X. Costrum şrul de mulţm: X 3 ϕ (X ), X 4 ϕ (X ),, X ϕ (X ) Avem X 0 X X X 3 X 4 X X Y I X I X Notăm: N* N* Să arătăm că: X U( X X ) Y 0 (a) N* ş că X U( X X ) Y (b) N*

16 Petru egaltatea (a), cosderăm x X 0 : dacă x Y, atuc U( X X ) Y x N ; dacă x Y, atuc exstă N, aşa îcât x X. Cum x X 0, rezultă că. Fe cel ma mc umăr atural etru care x X. D mmaltatea lu rezultă că x X - ş dec x X - X, de ude U( X X ) Y x N. U( X X ) Y Î cocluze, X 0 N. Cum cluzuea versă este evdetă, rezultă egaltatea (a). Aalog se arată ş egaltatea (b). Î cotuare, cosderăm famlle de mulţm (A ) N ş ( B) N, defte astfel: A 0 Y ş A X - X, etru BB0 Y ş X X etru mar B X X, etru ar Să observăm că dacă j, atuc A A j ş B B j. Defm famla de alcaţ (f ) N, f : A B î felul următor: f 0 Y ; X, etru ar; X f ϕ, etru mar. X X Alcaţle f sut bjectve: etru ar este evdet, ar etru f ϕ mar, avem: d ϕ jectvă rezultă că X X este jectvă. Fe acum y X X, adcă y X ş y X ş cum X ϕ ( X - ) rezultă că x X - astfel îcăt y ϕ(x). Deoarece y X rezultă că x X ş dec x X - X. Pr urmare, y f (x), adcă f este ş surjectvă. C A C B Aşadar fucţle f sut bjectve, ar X 0 N ş X N, dec exstă o bjecţe f : X0 X, adcă X 0 ~X.

17 Cosecţă: Dacă X ş Y sut două mulţm aşa îcât X ~ Y, ude Y Y ş Y ~ X, ude X X, atuc X ~ Y. Demostraţe: Î adevăr, d X ~ Y rezultă că f : X Y, f bjecţe. Dacă Y f (X ) atuc X ~ Y ş cum Y ~ X rezultă Y ~Y. Se obţe Y Y Y ş Y ~ Y. D teorema recedetă rezultă Y ~ Y ş dec Y ~ X. Defţe: Fe X o mulţme. Clasa X { Y Y ~ X } este umtă umărul cardal al aceste mulţm. Vom arăta ulteror că se obţe clasa (u mulţmea) umerelor cardale. Notăm { }, {, { },...; { 0,,,... }, N 0 0, N ℵ (vom avea N N).. Oeraţ cu umere cardale Fe (m α ) α I o famle (mulţme) de umere cardale C (I ). Vom um suma famle (m α ) α I umărul α I mα α I ). m α X α, X α (otat cu m m... m α Dacă I {,, 3,..., } vom scre α. Î cele ce urmează vom arăta că rezultatul u dede de rerezetaţ. Petru I {,}, fe m, m două umere cardale ş A, A m ; B, B m. Avem A ~ A ş B ~ B. Putem resuue fără a restrâge geeraltatea, că A B ş A B. Îtr-adevăr, dacă am avea A B, atuc utem costru mulţmle A {(a, x) a A}, B {(b, y) b B}, ude x ş y sut două elemete dferte. Avem A ~ A, B ~ B ş, î lus, A B. Vom arăta că A B ~ A B. 3

18 Cosderăm bjecţle f : A A ş f : B B ş defm f ( x), etru x A f ( x) fucţa f : A B A B r f ( x), etru x B Fucţa f astfel deftă este o bjecţe. Folosd roretăţle sume drecte, se oate trece la cazul geeral. Teoremă: Fe (m α ) α I ş ( β ) β J, (I, J ) două faml de umere cardale (dexate duă I ş resectv J). Dacă exstă o bjecţe mα β ϕ : I J, aşa îcât α I, m α ϕ(α), atuc α I β J. Demostraţe: Fe A α m α ş B β β, aşa îcât famlle (A α ) α I ş (B β ) β J sut formate d mulţm dsjucte două câte două. mα C Aα β C Bβ Avem α I α I ş β J β J. C Aα C Bβ D oteză rezultă că α I ş β J sut echotete ( α I, exstă ϕα:a α Bϕ(α) bjecţe, fat ce coduce la o bjecţe C Aα C Bβ Ψ : α I β J, Ψ(x) ϕα (x), dacă x A α ) ş dec umerele cardale coresuzătoare sut egale. Cosecţă: Dacă (m α ) α I este o famle de umere cardale ş ϕ : I I este o bjecţe (ermutare a mulţm I), atuc: mα mϕ ( α ) α I α I. Altfel sus, aduarea umerelor cardale este comutatvă. Teorema (de asocatvtate): Fe (m α ) α I (I ) o famle de umere cardale ş resuuem că I orce λ λ. U λ Λ I λ cu Iλ I λ, etru m α mα α I λ Λ Atuc : α Iλ. Demostraţe: Fe (A α ) α I o famle de rerezetaţ dsjucţ etru (m α ) α I. 4

19 C A CC A α α α I λ Λ Atuc avem: α I λ. Pr urmare ş cardalele lor sut egale. Dacă avem famla de umere cardale (m α ) α I, etru care mα α I, m α m, ar I ~ {,,..., }, atuc α I u dede de alegerea mulţm I ş, î lus, utem scre: mα m 4m m α I or Defţe: Fe (m α ) α I, (I ) o famle de umere cardale ş (X α ) α I o famle de mulţm aşa îcât: α I, mα X α. X Vom um rodusul famle (m α ) α I umărul cardal α I mα otat α I. m m m... m. α Dacă I {,,..., }, screm α I α I X Teoremă: Dacă α α I X ' α α I, mα X α ş X α ~X α, atuc m α (adcă α I u dede de alegerea rerezetaţlor). Demostraţe: Raţoametul etru cazul geeral urmează aceeaş le de demostraţe ca î cazul I {, }, de aceea vom cosdera doar această stuaţe. Fe X, Y m ş X, Y m. Atuc X X ~ Y Y. Îtr-adevăr, d X ~ Y ş X ~ Y rezultă că exstă bjecţle ϕ :X Y ş ϕ : X Y. Defm F : X X Y Y r F(x,x ) (ϕ (x ), ϕ (x )). F este bjectvă, dec X X Y Y. Demostraţle următoarelor teoreme sut asemăătoare cu cele de la sumă. α, 5

20 Teoremă: Fe (m α ) α I ş ( β ) β J, (I, J ) două faml de umere cardale. Presuuem că exstă bjecţa ϕ : I J, aşa îcât m α ϕ(α), α I. Atuc mα β α I β J. Teoremă (de comutatvtate): Dacă (m α ) α I este o famle de umere cardale ş ϕ:i I este o bjecţe (ermutare), atuc mα mϕ ( α ) α I α I. Teoremă (de asocatvtate): Fe (m α ) α I o famle de umere I U I λ cardale, I ş λ Λ cu Iλ I λ' etru λ λ'. Atuc m α mα α I λ Λ α I λ. Î cazul î care I~{,,..., } ş (m α ) α I este aşa îcât m α m, mα etru orce α I, rezultă medat că α I u dede de alegerea mulţm I ş covem să screm: m m m m α α I Prouem ca exercţu demostraţa următoare teoreme: Teoremă (de dstrbutvtate): Fe (m α ) α I ş ( β ) β J (I, J evde) două faml de umere cardale. Atuc or m α β mα β α I β J ( α, β ) I J. Are loc ş următoarea legătură ître rodus ş sumă. Teoremă: Fe m ş două umere cardale. m m4 m m Atuc or m or Demostraţe: Fe m X ş Y. Atuc m X Y de altă arte, X Y UX { y} U{ x} Y y Y x X.. Pe 6

21 { {}} Y {{} } X Famlle X y y ş x Y x sut formate d mulţm dsjucte două câte două, deoarece avem: dacă y, y' Y ş y y', atuc (X {y}) (X {y'}) ş aalog, dacă x, x' X ş x x', atuc ({x} Y) ({x'} Y). {} {} X Y X y x Y Dec, y Y x X. Dar, y Y, avem X ~ X {y} ş x X, avem Y ~ {x} Y, deoarece ϕ :X X {y}, ϕ (x) (x,y) ş ϕ :Y {x} Y, ϕ (y) (x, y) sut bjecţ ş dec X {} y m ş { x } Y Dacă m X ş Y, atuc vom ota, de ude obţem egaltăţle dorte. m X Y. 3. Relaţ de orde e mulţmea umerelor cardale Defţe: Fe m X ş Y. Vom sue că m dacă exstă o submulţme Y' Y astfel îcât X ~ Y'. Dacă m ş m, atuc se otează m < (î caz cotrar m ). Observaţe: Relaţa " " deftă ma sus u dede de rerezetaţ. Demostraţe: Fe X ~ A ş Y ~ B ş X ~ Y', ude Y' Y. Atuc exstă o bjecţe f:y B. Notăm B' f(y'). Deoarece f este jectvă rezultă că B' ~ Y'; dar Y' ~ X ş dec B' ~ X ş cum X ~ A, obţem B' ~ A, ceea ce e arată că relaţa " " deftă ateror u dede de rerezetaţ. Teoremă: Au loc următoarele roretăţ: a) etru orce umăr cardal m, avem m m, dar m m; b) dacă m ş sut umere cardale, astfel îcât m ş m, atuc m; c) dacă m, ş sut umere cardale, astfel îcât m ş, atuc m ; c') dacă m, ş sut umere cardale, astfel îcât m < ş <, atuc m <. 7

22 Demostraţe: a) Fe m X ş atuc avem X X ş X ~ X, dec m m. Dacă am avea m < m, atuc ar trebu ca m m, ceea ce este fals. b) Fe m ş umere cardale, îcât m ş m ş fe m X Y. Atuc exstă Y' Y, îcât X ~ Y' ş exstă X' X, îcât Y ~ X', de ude rezultă că exstă fucţa bjectvă f : X Y. Notăm Y" f(x') ş cum f este bjectvă, rezultă Y" ~ X'. Dar X' ~ Y, dec Y" ~ Y. D Y" Y' Y ş Y" ~ Y rezultă, coform teoreme lu Cator-Berste, că Y' ~ Y ş cum Y' ~ X, se obţe X ~ Y, de ude X Y, adcă m. c) Fe m,, umere cardale, îcât m ş. Fe m X, Y ş Z. Exstă Y' Y ş Z' Z, aşa îcât X ~ Y' ş Y ~ Z', dec exstă bjecţa f : Y Z'. Notăm Z" f (Y'). Atuc Y' ~ Z" ş cum X ~ Y' rezultă X ~ Z", ude Z" Z' Z, dec c') m X Z. Coform cu c), avem m. Să ma arătăm că m, adcă X? Z, ude m X ş Z. Dacă am resuue X ~ Z, atuc am avea Y' ~ Z, ude Y' Y, aşa îcât X~Y'. Aceasta ar îsema că Z Y ; dar d oteză ş atuc coform cu b) avem, ceea ce cotrazce <. Aşadar, X? Z, adcă m. Dec m <. Aşadar, e mulţmea umerelor cardale relaţa " " este o relaţe de orde (arţală). Teoremă: Fe famlle de umere cardale (m α ) α I ; ( α ) α I ş mα α mα α m α α, α I, ( I ). Atuc α I α I ş α I α I. Demostraţe: Fe m α X α ş α Yα, α I. D oteză, exstă Y' α Y α, astfel îcât X α ~ Y' α.de ac rezultă că: C X α ~ CY ' α X α ~ Y ' α α I α I ş α I α I ş 8

23 C C Y ' α Yα Y ' α Yα Cum α I α I ş α I α I, rezultă egaltăţle d euţ. Teoremă: Dacă X este o mulţme, atuc P (X) ~ {0,} X. Demostraţe: Defm ϕ : {0,} X P (X) r ϕ(f) f - ({}), ude f : X {0,}. Se verfcă cu uşurţă fatul că ϕ este o bjecţe. Cosecţă: Petru orce mulţme X, avem că otează { { } X X < (reamtm, ş că {0,} ) Demostraţe: Notăm X' {{x} x X}. Avem X' P (X) ş X ~ X', de ude X P( X ). Pe de altă arte, d teorema lu Cator X X P (X), dec X P( X ). Aşadar, X ( X ) { 0,} X < P. Petru orce umăr cardal, se obţe şrul < < <... ℵ 0 0 Î artcular, se obţe şrul ℵ0 < < <... Notăm ℵ 0 c ş vom um c uterea cotuulu. Teoremă: Dacă M este o mulţme de umere cardale, atuc exstă u umăr cardal strct ma mare decât orce cardal d M. m 0 m Demostraţe: Fe m M. Evdet că m M, m m0. m0 m Avem m 0 < ş dec m < 0, m M. Observaţe: Presuuâd că ar exsta mulţmea K a tuturor umerelor cardale, coform teoreme recedete ar exsta u umăr cardal m, strct ma mare decât orce cardal d K. Cum m K rezultă că m < m, cotradcţe. Aşadar, u exstă mulţmea umerelor cardale, c clasa umerelor cardale. 4. Mulţm umărable Defţe: Se sue că o mulţme X este umărablă, dacă X ~ N, adcă X ℵ0. Teoremă: Reuuea a două mulţm umărable este o mulţme umărablă. ℵ 9

24 Demostraţe: Fe X, Y două mulţm umărable ş resuuem, ma mult, că X Y. D oteză, Ψ : N X, Ψ : N Y fucţ bjectve. Defm η:n X Y r η ( ) ϕ, dacã ar Ψ, dacã mar η este jectvă. Îtr-adevăr, dacă η () η ('), atuc d X Y ' ϕ ϕ urmează că ş ' au aceeaş artate, dec sau ' Ψ Ψ, ceea ce coduce la ', î ambele cazur. Pe de altă arte, dacă x X Y, adcă x X sau x Y, atuc avem: dacă x X rezultă că N, aşa că ϕ() x ş dec η() x; dacă x Y rezultă că l N, aşa că ϕ(l) x ş dec η(l-) x. Pr urmare, η este ş surjectvă. Dec, η este bjecţe, de ude X Y ℵ0. Teoremă: Fe (X ) N o famle de mulţm, aşa îcât etru, j N, j să avem X X j. Dacă etru orce N, X este U X umărablă, atuc N este umărablă. Demostraţe: Folosd metoda ducţe matematce se arată că etru orce N, exstă umerele aturale ş j uce, astfel îcât ) 0, j ş ( ) j ). Notăm α() ş β() j. Pe de altă arte, d fatul că N, X este umărablă rezultă că exstă bjecţa f : N X. Defm alcaţa f : N U X N r f() f α()-β()(β()). 30

25 Să verfcăm fatul că f este bjectvă. Petru verfcarea jectvtăţ, vom cosdera ş ' umere aturale, aşa îcât f() f('). Atuc f α()-β() (β()) f α(')-β(') (β(')). Deoarece famla {X } N coţe mulţm dsjucte două câte două, rezultă că α()-β() α(')-β('). Pe de altă arte, f α()-β() este bjecţe, dec vom obţe β()β(') ş atuc folosd egaltatea ateroară rezultă α() α('). D β()β(') ş α() α(') rezultă că ', adcă f este jectvă. Petru a verfca surjectvtatea, vom cosdera x u elemet arbtrar d U X N ; dec exstă N, uc (datortă fatulu că {X} N coţe mulţm dsjucte), astfel ca x X. Cum f este surjectvă, rezultă că exstă m N, astfel îcât x f (m). Fe β() m ş α()-β(). Atuc α() m - ş dec ( m )( m ) m, de ude f() f (m) x, adcă f este U X U X surjectvă. Î cocluze, N ~ N, adcă N este umărablă. Teoremă: Fe (X α ) α I o famle de mulţm umărable ş I o C X α mulţme umărablă. Atuc α I este umărablă. Demostraţe: Dacă (X α ) α I coţe uma mulţm dsjucte două câte două, atuc rezultatul este medat. Î caz cotrar utem costru famla de mulţm dsjucte ( ) α I X α, ude α I, X α ( X α, α ). Remarcăm că α I, X α ~ X α, dec roblema se reduce la faml umărable de mulţm umărable ş dsjucte. Cosecţă: Dacă X ş Y sut mulţm umărable, atuc mulţmea X Y este umărablă. Demostraţe: Aşa cum am văzut, {} {} U ~ C X Y X y X y y Y y Y. Dar, X {y}~x, etru orce y Y, dec X Y este umărablă, coform teoreme ateroare. D cele de ma sus rezultă: Teoremă: ) ± 0 ± 0 ± 0 ; 3

26 ℵ0 ℵ0... ℵ0 ℵ0 ℵ ) ℵ0 or ; 3) c c; ℵ0 4) c c ; 5) c c c; 6) ℵ ℵ 0 0 c ; 7) ℵ 0 c c. Demostraţe: ) Evdet; ) Rezultă d teorema recedetă; ℵ0 ℵ0 ℵ0 ℵ0 ℵ0 3) Avem c c c c; ℵ0 ℵ0 0 ℵ0 ℵ 0 4) Avem c ( ) ℵ0 c ℵ ; 5) Arătăm, ma îtâ că dacă m, atuc m m m m. Fe m X. D m rezultă că x 0, y 0 X, x 0 y 0 ş ϕ : X {} X {} X X, aşa îcât ϕ(x,) (x,y 0 ) ş ϕ(x,) (x 0,x). Se verfcă uşor că alcaţa ϕ este jectvă, de ude rezultă că {} X { } X X m m m m X. D < c ş d egaltatea recedetă rezultă c c c. Dar c c c ş d 3) rezultă că c c; se obţe c c c c c, dec ccc. 6) D < ℵ < ℵ 0 ℵ0 ℵ0 ℵ0 0 c obţem ℵ0 c ş dec, coform cu 4), rezultă c ℵ ℵ 0 0 c, adcă ℵ ℵ 0 0 c. 7) D < ± 0 < c deducem c c ± 0 c c c de ude ± 0 c c. 5. Mulţm fte. Mulţm fte Defţa (Deded): O mulţme X este ftă dacă X X, X X, astfel îcât X ~ X. Defţa (Cator): O mulţme X este ftă dacă coţe o submuţme umărablă. Observaţe: Codţle d defţle ateroare sut echvalete. Demostraţe: D D 3

27 Fe X o mulţme ftă coform defţe lu Deded. Atuc X X, X X, X ~ X. Notăm cu f : X X bjecţa coresuzătoare. Cum X X rezultă că exstă x X îcât x X. Costrum ductv şrul de elemete: x f(x ), x 3 f(x ),..., x f(x ),... Fucţa ϕ : N X deftă r ϕ () x este jectvă. Vom verfca aceasta r ducţe duă. Dacă, atuc etru orce avem ϕ () x ş ϕ( ) f ( x - ) X. Cum x X rezultă că ϕ () ϕ ( ). Presuuem acum că etru orce rezultă ϕ( ) ϕ() ş fe, aşa îcât. Dacă, atuc ϕ( ) x X ş ϕ() f(x ) X, dec ϕ ( ) ϕ(). Dacă, atuc ϕ( ) f(x - ), ar ϕ() f(x ). D - rezultă coform oteze ductve că ϕ( -) ϕ () adcă x - x ş cum f este jectvă, se obţe f(x - ) f(x ), de ude ϕ( ) ϕ (). Dec ϕ este jectvă ş atuc ϕ(n)~ N, adcă X coţe submulţmea umărablă ϕ ( N). D D Fe X o mulţme ftă, coform defţe lu Cator. Rezultă că X coţe o submulţme umărablă A, dec exstă bjecţa f : N A. Să cosderăm alcaţa: ϕ : X X {f()} deftă r: x, dacă x A ϕ( x) f ( ), dacă x f ( ) A Vom arăta că ϕ este bjectvă. Petru a verfca jectvtatea, cosderăm x, x X aşa îcât ϕ (x) ϕ(x ). D X A (X - A) ş ϕ (x) ϕ (x ) rezultă că x, x A sau x, x A. Dacă x, x A, atuc d ϕ (x) ϕ (x ) rezultă ϕ (x) f (), ude x f() ş ϕ (x ) f (l ), ude x f(l). D jectvtatea fucţe f rezultă că avem l ş dec x x. Aşadar alcaţa ϕ este jectvă. Să dovedm că ϕ este surjectvă. 33

28 Fe y X {f ()}. Dacă y A, atuc N, îcât y f(). Cum y f(), atuc ş dec utem scre y f(-) ϕ(x), ude x f(-). Dacă y A, atuc y ϕ (y). Dec, ϕ este ş surjectvă. Pr urmare ϕ este bjectvă, dec X X {f()} X, X X ş X ~ X, ceea ce îseamă că X este ftă ş coform defţe lu Deded. O mulţme ce u este ftă, va f umtă mulţme ftă. Defţe: Cardalul ue mulţm fte se umeşte cardal trasft, ar cardalul ue mulţm fte se umeşte cardal ft. Numerele cardale ℵ 0, c sut trasfte. Observaţe: Defţa D ş teorema de echvaleţă a celor două defţ arată că m ℵ 0, etru orce cardal ft m. Î cotextul ateror aare următoarea roblemă: Exstă oare umere cardale curse ître a ş a? Ioteza aleflor (a lu Cator) afrmă că u exstă astfel de umere. Î artcular, etru că a ℵ 0 se obţe oteza cotuulu: ître ℵ 0 ş ℵ0 c u ma exstă alte umere cardale. 6. Numere ordale Fe U 0 clasa ( uversul ) mulţmlor total ordoate. Defţe: Două mulţm total ordoate (A, ) ş (B, ) se umesc asemeea ş screm A B dacă exstă o bjecţe f : A B (umtă ş asemăare) cu roretatea: x, y A, x y f(x) f(y). Duă cum este uzual s-au otat cu acelaş smbol relaţle de orde date e A ş e B. Observaţe: Relaţa este o relaţe de echvaleţă e U 0. Clasa de echvaleţă, î raort cu relaţa, a ue mulţm total ordoate (A, ) se otează r ord A ş se umeşte tul de orde al lu A. Turle de orde ale mulţmlor be ordoate se umesc umere ordale. 34

29 Dacă (A, ) este be ordoată, atuc orce elemet (B, ) d ord A va f o mulţme be ordoată. Vom ota 0 ord. Dacă este u umăr atural, mulţmea { x N x < }, î raort cu ordea uzuală, este be ordoată ş vom ota tot cu umărul său ordal. Petru mulţmle N, Q ş R ordoate cu ordea uzuală, otăm ord N w, ord Q η, ord R λ. w este umăr ordal, dar η ş λ sut doar tur de orde. Artmetca turlor de orde este comlcată, deoarece oeraţle de aduare ş de îmulţre u sut comutatve. Vom def îsă o relaţe de orde arţală otată astfel: dacă ( A, ) ş (B, ) sut două mulţm be ordoate ş α ord A, β ord B, vom ue α β dacă B B cu roretatea A B. Notăm α β dacă α β sau α β. Se verfcă uşor că α β dede doar de umerele ordale α ş β ş u dede de rerezetaţ (A, ) ş (B, ). Următoarele teoreme sut utle î alcaţ: Teoremă: Dacă (A, ) este o mulţme be ordoată ş f:a A este o asemăare, atuc x f(x), x A. Demostraţe: Presuuem r reducere la absurd, că ar exsta x 0 A, aşa îcât f(x 0 ) < x 0. Fe a cel ma mc elemet x 0 cu această roretate. Avem f(a) < a ş cum f este o asemăare, rezultă f(f(a)) < <f(a), adcă f(a) b este u elemet cu roretatea f(b) < b. Dar f(a) b < a ceea ce cotrazce mmaltatea elemetulu a. Aşadar, x A, x f(x). Teoremă: Dacă (A, ) este mulţme be ordoată, atuc A u este asemeea cu c o submulţme de forma A a {x A x<a} (A a este umtă segmet al lu A). Demostraţe: Presuuem că exstă o asemăare f : A A a, ude a A. Coform demostraţe teoreme ateroare, rezultă că a f(a). Dar f(a) A a ş atuc coform defţe lu A a avem f(a) < a, cotradcţe. 35

30 Î baza axome aleger, utem demostra că relaţa de orde este o orde totală, astfel: Teoremă: Petru orce două umere ordale α ş β are loc ua ş uma ua dtre stuaţle: α β, α β, β α. Demostraţe: Coform teoreme recedete, rezultă că cel mult ua dtre aceste stuaţ are loc. Fe ord A α, ord B β, ude (A, ) ş (B, ) sut be ordoate. Cosderăm famla tuturor asemăărlor de la A sau de la segmetele lu A la B, resectv, segmetele lu B. Notăm cu F acestă famle. Dacă a este rmul elemet al lu A ş b este rmul elemet al lu B, atuc f : {a} {b} e care o otăm (a, b) este o asemăare, dec F. Coform rculu de maxmaltate al lu Hausdorff (echvalet cu axoma aleger), exsă u laţ maxmal L F. Fe h L. Se arată cu uşurţa că h F. Dacă domeul lu h, dom h, este segmetul A x al lu A, ar codomeul, codom h, este segmetul B y al lu B atuc h {(x, y)} oate f adăugată lu L, cotrazcâd astfel maxmaltatea lu L. Putem avea, atuc, stuaţle:. dom h A ş codom h B, caz î care rezultă α β;. dom h A ş codom h B y, ude y B, caz î care rezultă α β; 3. dom h A x, ude x A ş codom h B, caz î care rezultă β α. Observaţe: Dacă (A, ) este o mulţme be ordoată, ar dacă x, y sut două elemete arbtrare ale lu A, atuc are loc mlcaţa: A x A y x y. Îtr-adevăr, dacă am resuue că ar exsta x, y A, aşa îcât x y ş A x A y, atuc utem resuue, fără a restrâge geeraltatea, că x < y ş atuc A y ar f asemeea cu u segmet al său A x, ceea ce este exclus. Dec, etru x, y A, aşa îcât A x A y, avem x y. Fe Z mulţmea umerelor ordale. Teoremă: Petru orce umăr ordal a, avem ord Z a a. 36

31 Demostraţe: Fe A o mulţme be ordoată cu ord A a. Vom arăta că Z a ş A sut asemeea. Fe x Z a, adcă x a. Coform defţe relaţe rezultă că exstă A A, A A, aşa îcât, dacă B este o mulţme be ordoată, etru care ord B x, atuc B A. Ma mult d fatul că A este be ordoată rezultă că exstă y î A, y fd rm elemet al submulţm A A. Rezultă de ac că A cocde cu segmetul A y a lu A, dec B A y. Cosderăm fucţa f : Z a A, f(x) y. f este be deftă, coform observaţe ateroare. Se verfcă uşor fatul că f este bjecţe. Ma mult, f ăstrează ordea. Îtr-adevăr, dacă x, x Z a, x x ş dacă x ord B, x ord B, atuc exstă segmetul B z al lu B, aşa îcât B B z. Dar B A y ş B A y, ude f(x) y ş f(x ) y. Dec, B z A y, B A y ş cum ord B z ord B, rezultă că y y ş y y, ude am otat cu ordea e A. Aşadar, etru orce x, x Z a, dacă x ] x, atuc f(x) f(x ). Dec, ord Z a ord A a. Teoremă: Petru orce umăr cardal a exstă u umăr ordal α, aşa îcât a Z α. Demostraţe: Fe A a. Coform teoreme lu Zermelo (echvaletă cu axoma aleger) rezultă că exstă o buă ordoare e A. Notăm αord A. Coform teoreme recedete, (A, ) este asemeea cu (Z α, ), dec A Z α a. Meţoăm fatul că e o mulţme se ot maga bue ordoăr dferte, care ot coduce la dverse umere ordale, toate beefcd de otaţa ord A. Această ambgutate, care rove d fatul că u se secfcă o aume buă ordoare e A, u creează îsă cofuz. Teoremă: Relaţa de orde deftă etru umere cardale este o orde totală. Demostraţe: Fe U clasa mulţmlor. Putem recza etru fecare mulţme evdă o relaţe de buă orde, coform teoreme lu Zermelo. 37

32 Coform teoreme recedete orcăru umăr cardal a î utem ue î coresodeţă u umăr ordal α, aşa îcât a Z α. Dacă uu alt cardal b î uem î coresodeţă ordalul β, aşa îcât b Z β, atuc are loc echvaleţa a b α β. Deoarece relaţa este de orde totală rezultă că ş relaţa este de orde totală. Turle de orde ale mulţmlor be ordoate fte se umesc umere ordale trasfte. Mulţmle fte ot f ş ele be ordoate ş ma mult, mulţmle cardal echvalete, care sut fte, au ş acelaş t de orde, dec au acelaş cardal ş acelaş ordal. Rezultă că, î cazul ft, o clasă cardală de mulţm fte este ş o clasă de echvaleţă ordală. CAPITOLUL II. MULŢIMI NUMERICE.. Mulţmea umerelor aturale Modul tutv de erceere a umerelor aturale a fost falzat ateror r termedul umerelor cardale. Î cele ce urmează va f dată abordarea axomatcă a mulţm umerelor aturale.. Axomatca Peao Defţe. Numm sstem Peao u trlet (N, o, σ), ude: a) N este o mulţme evdă; b) o N; c) σ : N N este o alcaţe umtă de succesue, care verfcă următoarele codţ (axome): α) o Imσ (adcă N, o σ()); β) σ este o alcaţe jectvă; γ) Axoma ducţe: Dacă M N satsface roretăţle: ) o M; ) M σ() M, atuc MN. Vom ota σ() * ş vom sue că * este succesorul lu. 38

33 Dâd statut de axome roretăţlor α), β), γ) matematcaul Gusee Peao (858-93), a reuşt să costruască cu ajutorul lor îtreaga teore a umerelor aturale. Teora axomatcă a lu Peao foloseşte etru umere modelul metode logce, îtrebuţat cu succes de Eucld î geometre, îcă d atchtate. Coform defţe axomatce dată de Peao, umerele aturale sut elemetele ue mulţm N, î care se fxează u elemet o, îmreuă cu fucţa de succesue, astfel îcât sut satsfăcute axomele α), β), γ). Proozţe: Petru orce N, o, exstă u N, astfel îcât u*. Demostraţe: Cosderăm Mσ(N) {o}; atuc M N, o M ş M σ() M, etru că σ(n) M. D axoma ducţe rezultă că M N ş cum o σ(n) rezultă că orce elemet d N, dfert de o, este succesorul uu alt elemet d N. Teorema recurse. Dacă (N, o, σ) este u sstem Peao ş (S, a, ϕ) este u trlet, ude S este o mulţme evdă, a S ş ϕ : S S o fucţe, atuc exstă o ucă fucţe f : N S cu roretăţle: ) f(o) a; ) f(σ()) ϕ(f()), N. Demostraţe: Cosderăm rodusul carteza N S ş fe F* {U N S (o,a) U ş (, b) U (σ(), ϕ(b)) U }. Observăm că F*, deoarece N S F*; î lus, etru orce famle evdă IU F * (U ) I, ude I, U F*, rezultă că I. IU Fe f U F*. Coform observaţe ateroare, se obţe că f F*. Arătăm că f rereztă o fucţe, adcă satsface următoarele două codţ: c) N, b S, astfel îcât (, b) f; c) dacă (, b) f ş (, b ) f, atuc b b. Petru a verfca rma codţe, vom cosdera mulţmea M{ N b S, astfel îcât (, b) f} ş vom arăta că MN, folosd axoma ducţe. M N ş o M, etru că (o, a) f. D M rezultă că b S, astfel îcât (, b) f ş cum f F*, se obţe (σ(), ϕ(b)) f, dec σ() M. Aşadar, MN. 39

34 Verfcăm acum codţa c). Cosderăm mulţmea M { N (, b) f ş (, b ) f bb }. Vom alca ş etru M axoma ducţe. M N. Presuuem, r reducere la absurd, că o M. Deoarece (o, a) f rezultă că exstă b S, b a, astfel îcât (o, b) f. Notăm cu f f {(o, b)}; dec f f, f f. Arătăm că f F*. Ma îtâ, (o, a) f ş cosderâd (, b ) f f, obţem (σ(), ϕ(b )) f ş dec (σ(), ϕ(b )) f, deoarece σ() o, N. Aşadar, f F* ş d defţa lu f rezultă f f, ceea ce este absurd. Pr urmare, o M. Coform cu c), exstă b S, îcât (, b) f ş cum M, rezultă că b este uc. Se obţe de ac (σ(), ϕ(b)) f. Presuuâd că σ() M, rezultă că exstă c S, c ϕ(b), astfel îcât (σ(), c) f. Notăm cu f f {(σ(), c)}; dec f f, f f. Arătăm că f F*. Avem (o, a) f ş cosderăm (m, s) f f. Se obţe (m*, ϕ(s)) f. Aar două stuaţ: I) Dacă m, atuc î baza jectvtăţ fucţe σ, rezultă că m* σ() ş dec (m*, ϕ(s)) (σ(), c), de ude (m*, ϕ(s)) f. II) Dacă m, atuc (m*, ϕ(s)) (σ(), ϕ(s)). D (m, s) (, s) f ş d uctatea lu b, rezultă că s b, dec, (m*, ϕ(s)) (σ(), ϕ(b)). Deoarece ϕ(b) c, se obţe (σ(), ϕ(b)) (σ(), c), adcă (m*, ϕ(s)) (σ(), ϕ(b)) f. Aşadar f F*, de ude f f, ceea ce este absurd. Pr urmare, σ() M ş coform axome ducţe, obţem M N. Folosd otaţle cosacrate fucţlor, codţle (o, a) f, resectv (, b) f (σ(), ϕ(b)) f se scru astfel: f(o) a, resectv f() b f(σ()) ϕ(b), adcă tocma codţle ce trebuau satsfăcute de fucţa f. Uctatea fucţe f se demostrează r reducere la absurd. Cosderăm o fucţe g care satsface codţle ) ş ). Fe M { N f() g()}. Avem M N ş o M, deoarece f(o) g(o) a. Dacă M, atuc f() g(), dec ϕ(f()) ϕ(g()), de ude f(σ()) g(σ()), adcă σ() M. Alcâd d ou axoma ducţe, rezultă M N, adcă f g. 40

35 Teoremă. Dacă (N, o, σ) ş (S, a, ϕ) sut ssteme Peao, atuc exstă o ucă fucţe f : N S, astfel îcât f(o) a, f σ ϕ f ş f este o bjecţe. Demostraţe: Ma rămâe de arătat că f este bjectvă. Alcâd teorema recurse etru sstemul Peao (S, a, ϕ) ş trletul (N, o, σ), rezultă că exstă o ucă fucţe g : S N, etru care g(a) o ş g ϕ σ g. Vom arăta că g este versa lu f. Petru aceasta, vom alca teorema recurse etru sstemul Peao (N, o, σ) ş trletul (N, o, σ). Rezultă că exstă o ucă fucţe h : N N, astfel îcât h(o) o ş h σ σ h. Îsă N ş g f verfcă codţle satsfăcute de h, deoarece: (g f)(o) g(a) o N (o) ş (g f) σ g (f σ) g (ϕ f) (g ϕ) f (σ g) f σ (g f), ar N σ σ N. D uctatea lu h rezultă că g f N. Smlar, alcâd de această dată teorema recurse etru sstemul Peao (S, a, ϕ) ş trletul (S, a, ϕ) se obţe că f g S. Aşadar f este bjectvă. Î baza aceste teoreme, vom cosdera că exstă u uc sstem Peao (etru că ître orcare două ssteme Peao exstă o bjecţe care satsface codţle d teorema de ma sus). N va f umtă mulţmea umerelor aturale ş vom ota o cu 0 (umărul atural zero), succesorul lu 0 cu, succesorul lu cu, ş.a.m.d. Proozţe. N este o mulţme ftă. Demostraţe: Presuuem r reducere la absurd că N este ftă ş alcăm următorul rezultat: Dacă A este o mulţme ftă, ar f :A A este o alcaţe, atuc următoarele afrmaţ sut echvalete: ) f este jectvă; ) f este surjectvă; ) f este bjectvă. Petru A N ş f σ, observăm că σ este jectvă, dar u este surjectvă (0 Imσ), r urmare resuuerea făcută este falsă, dec N este ftă. 4

36 . Aduarea umerelor aturale Fe m u elemet oarecare, dar fxat al lu N. Cosderăm î teorema recurse S N, a m ş ϕ σ. Coform teoreme, rezultă că exstă o alcaţe ucă f m : N N, astfel îcât:. f m (0) m;. f m (σ()) σ(f m ()), N. Notăm f m () m. Codţle. ş. se vor scre astfel: ) 0 m m; ) * m ( m)*, N ş vor f umte codţle de defţe ale aduăr. Proozţe. Au loc următoarele afrmaţ:. 0, N. m* ( m)*, N Demostraţe: Se alcă, etru demostrarea ambelor afrmaţ, axoma ducţe, cosderâd mulţmle: M { N 0 }, resectv M { N m* ( m)*}. Avem M N, 0 M (rezultă d ) etru m 0) ş dacă M, adcă 0, atuc î baza codţe ) * 0 ( 0)* *, adcă * M. Dec M N.. Avem M N, 0 M, deoarece î baza codţe ) avem 0 m* m* (0 m)*. Î lus, dacă M, adcă m* ( m)*, rezultă că * m* ( m*)* (( m)*)* (* m)*, utlzâd codţa ) etru m* ş ao etru m. Pr urmare * M ş dec M N. Cosderăm fucţa : N N N, care asocază erech (, m) N N elemetul m f m (). Această fucţe se umeşte aduarea umerelor aturale. Proozţe: Au loc următoarele: A. Asocatvtatea aduăr etru orce, m, N, ( m) (m ); A. Comutatvtatea aduăr etru orce, m N, m m ; A3. 0 este elemetul eutru la aduare N, 0 0 ; 4

37 A4. Legea de smlfcare la aduare (umtă reducere) N, m m ; Fe, m N. Au loc mlcaţle: A5. m 0 0 ş m 0; A6. m (m ş 0) sau (m 0 ş ). Demostraţe: A. Cosderăm, ma îtâ m ş fxate. Fe M { N ( m) (m )}. Alcâd axoma ducţe etru M se obţe M N, folosd codţle de defţe ale aduăr, ş. Cosderăm acum ş fxate ş mulţmea: M {m N ( m) (m )}; alcâd d ou axoma ducţe se obţe M N. Cazul î care m ş sut fxate este smlar rmulu caz. Pr urmare, etru m,, oarecare î N, are loc roretatea: ( m) (m ). Demostraţle etru A ş A3 sut smlare cu cele de ma sus. Petru A4, mulţmea cărea se alcă axoma ducţe este M { N m m}. A5. Presuuem 0. Atuc, coform ue roozţ ateroare (..;.), exstă u N, astfel îcât u*. Obţem m 0 u* m 0 (u m)* 0, cotradcţe. Aşadar 0 ş dec 0 m 0, adcă m 0. A6. Presuuem, r reducere la absurd, că (m sau 0) ş (m 0 sau ). Sut osble următoarele atru stuaţ:. m ş m 0;. m 0 ş 0; 3. m ş ; 4. 0 ş.. D m 0 rezultă că exstă u N aşa îcât m u*. Se obţe m (u )* 0* u 0 u 0 ş 0, î baza jectvtăţ lu σ ş a roretăţ A5 ş obţem m, fals. D cotradcţa obţută rezultă că această stuaţe u oate avea loc. Smlar se arată că stuaţle ş 4 u ot avea loc. 43

38 3. Avem 0, etru că altfel d m ar rezulta că m, fals. Putem acum reeta raţoametul de la ş deducem că ş această stuaţe este mosblă. Observaţe: Petru orce N, avem σ() ( 0)* 0*. 3. Îmulţrea umerelor aturale Fe m u elemet oarecare, dar fxat, al lu N. Alcâd teorema recurse etru S N, a 0 ş ϕ f m, rezultă că exstă o alcaţe ucă g m : N N, astfel îcât:. g m (0) 0;. g m (σ()) f m (g m ()), N. Notăm g m () m. Codţle. ş. se vor scre astfel: ) 0 m 0; ) * m m m, N. ş vor f umte codţle de defţe ale îmulţr. Proozţe: Au loc următoarele afrmaţ: 0 0, N; m* m, N. Demostraţe: Î demostraţe se alcă axoma ducţe rocedâdu-se î mod asemăător cazulu oeraţe de aduare. Cosderăm fucţa : N N N, care asocază erech (, m) N N elemetul m g m (). Proozţe: Au loc următoarele: D. Dstrbutvtatea îmulţr faţă de aduare etru orce m,, N, (m ) m ; M. Asocatvtatea îmulţr etru orce, m, N, ( m) (m ); M. Comutatvtatea îmulţr etru orce, m N, m m ; M 3. este elemet eutru la îmulţre N, ; M 4. Legea de smlfcare la îmulţre N, 0, m m. Fe, m N. Au loc mlcaţle: M 5. m ş m ; 44

39 M 6. m 0 0 sau m 0. Demostraţe: D, M, M, M 3 se demostrează utlzâd axoma ducţe. Demostrarea roretăţ M 4, va f dată ulteror (duă troducerea relaţe de orde e N). M 5. Observăm că 0 m, altfel m ar f zero. Dec exstă u, v N, astfel îcât u* ş m v*. Avem m u* v* u v* v* (u v* v)*,dec (u v* v)*, de ude u v* v 0 ş coform cu A 5 se obţe u v* v 0. Rezultă că m ş utlzâd M 3 rezultă că. M 6. Presuuem, r reducere la absurd, că 0 ş m 0. Atuc exstă u, v N, astfel îcât u* ş m v*. Avem m u* v* u* v u* ş coform cu A 5 se obţe u* v u*0, cotradcţe. Dec 0 sau m 0. Î vederea smlfcăr screr vom ma ota m î loc de m. 4. Relaţa de orde e mulţmea N Defţe: Fe m, N. Suem că m dacă exstă N astfel îcât m. Suem că m < dacă exstă N, 0, astfel îcât m. Proozţe: Relaţa este o relaţe de orde e N. Demostraţe: Se verfcă, folosd defţa, următoarele roretăţ: O :, N (reflexvtatea); O : m ş m m (atsmetra); O3 : m ş m (traztvtatea). O. Rezultă d fatul că 0 N : 0. O. D m rezultă că exstă N aşa îcât m, ar d m rezultă că exstă N : m. Se obţe ( ), de ude, coform codţe A4, rezultă că 0 ş, alcâd A5, vom avea 0, dec m. O3. Smlar cu O, m t N aşa îcât m t ş s N, s, dec t s N, astfel îcât m (t s), adcă m. Meţoăm că, î cele ce urmează vom scre ueor m î loc de m, resectv m > î loc de < m. 45

40 Proozţe: Fe m, N. Au loc următoarele afrmaţ: OA. N, [m m ]; OA. N, [m m ]; OA3. N, [m < m < ]; OA4. N, [m < m < ]; OM. N, [m m ]; OM. N, [m < m ]; OM3. N, 0, [m < m < ] ; OM4. N, 0, [m < m < ]; OM5. N, 0, [m m ]; Demostraţe. OA. D m rezultă că exstă q N, astfel îcât m q, dec (m ) q, etru orce N, (datortă comutatvtăţ ş asocatvtăţ aduăr). Rezultă că m. Aalog se arată OA3 cu sgura deosebre că elemetul q N este ş eul. OA. D m rezultă că exstă q N, astfel îcât m q ş î baza comutatvtăţ ş a leg de smlfcare etru aduare, se obţe m q, de ude m. Aalog se arată ş OA4 cu sgura deosebre că elemetul q N este ş eul. OM3. Fe N, 0 ş m <. Rezultă că exstă q N, q 0 astfel îcât m q, de ude î baza dstrbutvtăţ îmulţr faţă de aduare, se obţe m q. Dacă am resuue că q 0, atuc ar rezulta că 0 sau q 0, ceea ce este fals. Dec q N, q 0, de ude m <. Aalog se arată OM ş OM cu sgura deosebre că de această dată q oate f ş zero ş dec se obţe m. Vom reve la demostrarea roretăţlor OM4 ş OM5 duă rezetarea rculu trhotome. 5. Prcul trhotome Orce două umere aturale m ş se află î ua ş uma ua dtre stuaţle: m <, m, < m 46

41 Demostraţe. Fe u umăr atural, dar fxat. Cosderăm mulţmea M {m N m < sau m sau < m}. Vom arăta că M N, folosd axoma ducţe. ) Dacă 0, atuc 0 M. Dacă 0, atuc ţâd cot de egaltatea 0 rezultă că 0 <, de ude 0 M. ) Fe m M. Vom arăta că m* M. Putem avea următoarele stuaţ: I) m <, de ude N, 0 astfel îcât m. D 0 rezultă că u N, astfel îcât u*. Atuc vom obţe m u* (m u)* m* u. Petru u 0, avem m*, ar etru u 0, avem m* <, dec î ambele cazur rezultă că m* M. II) m, de ude m* * ( 0)* 0*. Rezultă că < m*, r urmare m* M. III) < m, de ude N, 0, astfel îcât m. Rezultă că m* ( )* * ş cum * 0 se obţe < m*. Pr urmare m* M. D ) ş ) rezultă că M N. Să arătăm acum că u utem avea decât ua d cele tre stuaţ m <, m, < m. Presuuem că ar f osble smulta stuaţle m < ş m. D m < rezultă că N, 0, astfel îcât m ş cum m, obţem, adcă 0 ş î baza leg de smlfcare la aduare s-ar obţe 0, ceea ce este fals! Smlar se arată că u utem avea smulta stuaţle < m ş m. Presuuem acum că ar f osble smulta stuaţle m< ş < m. Ar rezulta că exstă, q N, 0 q, astfel îcât m ş m q, de ude s-ar obţe (q ), dec q 0. Deoarece ş q sut umere aturale, rezultă că q 0, cotradcţe. Pr urmare, utem cocluzoa că avem ua ş uma ua d cele tre stuaţ. Revem acum la demostrarea leg de smlfcare la îmulţre M4: N, 0, m m. Presuuem că m. Atuc î baza rculu trhotome avem < m sau m <. Dacă < m atuc < m, ar dacă m < 47