1 TIES ES IR PLOK TUMOS

G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu yra visi²kai apibreºta, jei ºinomas ortas (vienetinio ilgio vektorius) n 0, einantis i² koordina iu centro link plo²tumos α ir statmenas jai; atstumas p nuo plok²tumos α iki koordina iu pradºios ta²ko O Tarkime, M yra bet kuris plok²tumos α ta²kas, N plok²tumos α ir tieses, lygiagre ios vektoriui n 0 ir einan ios per koordina iu pradºios ta²k O, susikirtimo ta²kas Ai²ku, kad vektoriaus OM projekcija i vektoriu n 0 yra lygi ON, o ON = p Paºymekime r = OM Tuomet (11) Pr n 0 r = p Pasinaudoj vektoriu skaliarines sandaugos savybemis, (11) s lyg galime uºra²yti taip: (1) ( r, n 0 ) p = 0 (1) lygtis vadinama normaline plok²tumos lygtimi (vektorine forma) Ortas n 0 vadinamas plok²tumos α normale arba normaliniu vektoriumi Vis apra²yt proced ur galime paºodºiui pakartoti tiesei plok²tumoje Tieses α padetis koordina iu sistemos Oxy atºvilgiu yra visi²kai apibreºta, jei ºinomas ortas (vienetinio ilgio vektorius) n 0, statmenas tiesei α; atstumas p nuo tieses α iki koordina iu pradºios ta²ko O Tarkime, M yra bet kuris tieses α ta²kas, N tieses α ir tieses, lygiagre ios vektoriui n 0 ir einan ios per koordina iu pradºios ta²k O, susikirtimo ta²kas Ai²ku, kad vektoriaus OM projekcija i vektoriu n 0 yra lygi ON, o ON = p Paºymekime r = OM Tuomet (13) Pr n 0 r = p 1

Pasinaudoj vektoriu skaliarines sandaugos savybemis, (13) s lyg galime uºra²yti taip: (14) ( r, n 0 ) p = 0 (14) lygtis vadinama normaline ties es plok²tumoje lygtimi (vektorine forma) 11 Koordinatin e forma Tarkime, kad vektorius n 0 su koordina iu a²imis sudaro kampus α, β, γ Tuomet jo projekcijos i koordinatines a²is yra lygios ²iu kampu kosinusams ir, uºra² vektoriu n 0 koordinatine forma, turesime: n 0 = (cos α, cos β, cos γ) Tegul ta²ko M koordinates yra x, y, z, ty r = (x, y, z) Tuomet (1) lygti galime uºra²yti taip: (15) x cos α + y cos β + z cos γ p = 0 (15) lygtis vadinama plok²tumos normaline lygtimi (koordinatine forma) Visi²kai analogi²kai gautume ties es plok²tumoje normalin lygti (koordinatine forma): (16) x cos α + y sin α p = 0 iuo atveju cos β = sin α Gavome svarbu dalyk Teorema 1 Kiekviena plok²tuma apra²oma pirmojo laipsnio lygtimi Taip pat kiekviena tiese plok²tumoje apra²oma pirmojo laipsnio lygtimi Kitame skyrelyje parodysime, kad kiekviena pirmojo laipsnio lygtis apibreºia plok²tum (ties plok²tumoje) 1 Bendroji plok²tumos ir bendroji ties es plok²tumoje lygtys Teorema Kiekviena pirmojo laipsnio lygtis (17) Ax + By + Cz + D = 0 apra²o plok²tum Irodymas Paºymekime n = (A, B, C), r = (x, y, z) Tuomet (17) lygyb galime uºra²yti taip: (18) ( r, n ) + D = 0 (18) lygyb padalinkime i² vektoriaus n ilgio n Gausime ( ) (19) r n, + D n n = 0

1 Tegul D 0 Paºymekime n n = n 0 ir uºra²yti taip: (110) ( r, n 0 ) p = 0 D n = p Dabar (19) galime Gautoji lygtis apra²o plok²tum, kuri yra statmena ortui n 0, o jos atstumas nuo koordina iu pradºios ta²ko yra lygus p Tegul D > 0 Padauginkime (19) i² 1 Turesime ( ) (111) r n, D n n = 0 Kad p b utu teigiamas, ²iuo atveju paºymekime uºra²yti taip: (11) ( r, n 0 ) p = 0 D = +p Dabar (111) galime n Ir ²iuo atveju gautoji lygtis apra²o plok²tum, kuri yra statmena ortui n 0 (taip pat ir ortui n 0 ), o jos atstumas nuo koordina iu pradºios ta²ko yra lygus p I² teremos irodymo i²plaukia, kad (17) plok²tumos normales n 0 koordinatiniai kosinusai ir atstumas nuo koordina iu pradºios ta²ko p yra lyg us: A cos α = ± A + B + C, (113) B cos β = ± A + B + C, C cos γ = ± A + B + C, D p = ± A + B + C ƒia vir²utinis ºenklas "+" imamas, kai D 0 ir " ", kai D > 0 Visi²kai analogi²kai galima parodyti, kad lygtis (114) Ax + By + C = 0 apibreºia ties plok²tumoje (17) lygtis vadinama bendr ja plok²tumos lygtimi, o (114) lygtis bendr ja ties es plok²tumoje lygtimi Uºduotis Kokia plok²tumos, apra²omos lygtimi Ax+By+Cz+D = 0, padetis, kai 1 D = 0; vienas i² koecientu A, B arba C lygus nuliui; 3 du i² koecientu A, B, C lyg us nuliui; 4 trys koecientai A, B ir D lyg us nuliui 3

Uºduotis Kokia tieses, apra²omos lygtimi Ax + By + C = 0, padetis, kai 1 C = 0; vienas i² koecientu A arba B lygus nuliui; 3 du koecientai A ir C lyg us nuliui 13 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje a²in es lygtys Kai bendrojoje plok²tumos lygtyje Ax + By + Cz + D = 0 ne vienas koecientas nelygus nuliui, perkel D i de²in pus ir padalij lygti i² D, gausime plok²tumos a²in lygti: (115) x a + y b + z c = 1 A²in lygti tenkina ta²kai M(a, 0, 0), N(0, b, 0), P (0, 0, c) Taigi ji parodo kuriuose ta²kuose plok²tuma kerta koordinatines a²is Ties es plok²tumoje a²in e lygtis: (116) x a + y b = 1 14 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje, einan iu per duot ta²k lygtys Plok²tumos, einan ios per ta²k M 0 (x 0, y 0, z 0 ), lygtis: (117) A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 () apra²o plok²tum, ne tik einan i per ta²k M 0 (x 0, y 0, z 0 ), bet ir statmen vektoriui n = (A, B, C) Keisdami koecientus tokiu lyg iu gausime daug Plok²tumos tieses, einan ios per ta²k M 0 (x 0, y 0 ), lygtis: (118) A(x x 0 ) + B(y y 0 ) = 0 15 Plok²tumos, einan ios per tris duotus ta²kus lygtis Plok²tumos, einan ios per tris duotus ta²kus M 0 (x 0, y 0, z 0 ), M 1 (x 1, y 1, z 1 ) ir M (x, y, z )lygtis: (119) x x 0 y y 0 z z 0 x 1 x 0 y 1 y 0 z 1 z 0 x x 0 y y 0 z z 0 = 0 Uºduotis Apra²ykite plok²tumu aib, einan i per du duotus ta²kus M 0 (x 0, y 0, z 0 ) ir M 1 (x 1, y 1, z 1 ) 4

16 Plok²tumos ties es, einan ios per du duotus ta²kus lygtis Plok²tomos tieses, einan ios per du duotus ta²kus M 0 (x 0, y 0 ) ir M 1 (x 1, y 1 ) lygtis: (10) x x 0 x 1 x 0 = y y 0 y 1 y 0 17 Kryptin es plok²tumos tiesiu lygtys Jei plok²tumos tieses Ax + By + C = 0 koecientas B 0, tai ²i ties galima uºra²yti kryptine ties es lygtimi: (11) y = kx + b ƒia koecientas k = tg α, o α kampas, kuri tiese sudaro su x a²imi koecientas A 0, tai ties galima uºra²yti kryptine ties es lygtimi: O jei (1) x = lx + c ƒia koecientas l = tg β, o β kampas, kuri tiese sudaro su y a²imi 18 Kampai tarp plok²tumu ir plok²tumos tiesiu Tarkime, turime dvi plok²tumas A 1 x+b 1 y +C 1 z +D 1 = 0 ir A x+b y +C z + D = 0 Tegul ϕ yra kampas tarp ²iu plok²tumu Vektoriai n 1 = (A 1, B 1, C 1 ) ir n = (A, B, C ) yra statmeni ²ioms plok²tumoms ir kampas tarp ²iu vektoriu yra lygus kampui tarp plo²tumu I² vektoriu skaliarines sandaugos savybiu i²plaukia, kad kampo tarp plok²tumu kosinusas (13) cos ϕ = A 1 A + B 1 B + C 1 C A 1 + B1 + C 1 A + B + C Sakykime, turime dvi tieses A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir A x + B y + C = 0 Tegul α yra kampas tarp ²iu tiesiu Visi²kai analogi²kai gautume, kad kampo tarp plok²tumos tiesiu kosinusas (14) cos α = A 1 A + B 1 B A 1 + B1 A + B 181 Plok²tumu ir plok²tumos tiesiu statmenumas I² kampo tarp plok²tumu (13) formules gausime, kad plok²tumu A 1 x+b 1 y+ C 1 z + D 1 = 0 ir A x + B y + C z + D = 0 statmenumo s lyga yra tokia: (15) A 1 A + B 1 B + C 1 C = 0 I² (14) formules gausime plok²tumos tiesiu A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ir A x + B y + C z + D = 0 statmenumo s lyg : (16) A 1 A + B 1 B = 0 5

18 Plok²tumu ir plok²tumos tiesiu lygiagretumas Kad plok²tumos A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ir A x + B y + C z + D = 0 b utu lygiagre ios reikia, kad ir vektoriai n 1 = (A 1, B 1, C 1 ) ir n = (A, B, C ) b utu lygiagret us, ty, kad ju koordinates b utu proporcingos Taigi, plok²tumu A 1 x+b 1 y +C 1 z +D 1 = 0 ir A x+b y +C z +D = 0 lygiagretumo s lyga: (17) A 1 A = B 1 B = C 1 C Plok²tumos tiesiu A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir A x + B y + C = 0 lygiagretumo s lyga: (18) A 1 A = B 1 B 19 Ties es parametrin e lygtis 191 Vektorin e forma Pradekime nuo tieses erdveje Erdvines tieses padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu yra visi²kai apibreºta, jei ºinomas vienas jos ta²kas, tarkime, M 0 (x 0, y 0, z 0 ); lygiagretus tiesei vektorius, tarkime, s = (m, n, p) Tegul M(x, yz) yra bet kuris tieses ta²kas lygiagretus (ir proporcingas) vektoriui s Taigi M 0 M = t s I² vektoriu sumos savybiu i²- Tegul O yra koordina iu pradºios ta²kas plaukia, kad (19) Paºymekime r = OM, r 0 taip: OM = OM 0 + M 0 M Tuomet vektorius M 0 M yra = OM 0 Tuomet (147) lygyb galesime perra²yti (130) r = r0 + t s Tai ir yra ties es parametrin e lygtis vektorine forma (148) lygtis teisinga ir plok²tumos tiesei Uºtenka pakartoti tuos pa ius samprotavimus, tik vektoriai r, r 0 ir s tures po dvi koordinates 19 Koordinatin e forma Sulygin vektorines (148) lygties abieju pusiu koordinates gausime (131) x = x 0 + mt, y = y 0 + nt, z = z 0 + pt 6

Tai yra ties es erdv eje parametrin e lygtis koordinatine forma Ties es plok²tumoje parametrin e lygtis koordinatine forma tokia: (13) { x = x 0 + mt, y = y 0 + nt 110 Ties es kanonin es lygtys I² (131) lyg iu i²rei²k parametr t ir sulygin gautas i²rai²kas, turesime (133) x x 0 m = y y 0 = z z 0 n p Tai tieses erdveje kanonines lygtys Plok²tumos ties es kanonin e lygtis: (134) x x 0 m = y y 0 n 111 Bendroji ties es lygtis erdv eje Tiese erdveje gali b uti gaunama susikertant dviem plok²tumoms Todel bendroji ties es lygtis erdv eje: (135) { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A x + B y + C z + D = 0 11 Kampai tarp tiesiu, kai ties es duotos kanonin emis lygtimis Pradekime nuo erdviniu tiesiu: (136) x x 1 m = y y 1 = z z 1 n p ir (137) x x m = y y = z z n p Kampu tarp dvieju tiesiu erdveje vadinamas kampas tarp susikertan iu joms lygiagre iu vektoriu Taigi, kampas α tarp erdviniu tiesiu, kai tieses duotos kanoninemis lygtimis gali b uti surastas naudojantis formule: (138) cos α = m 1 m + n 1 n + p 1 p m 1 + n 1 + p 1 m + n + p Jei turime tieses plok²tumoje: (139) x x 1 m = y y 1 n 7

ir (140) x x m = y y, n tai, kampas α tarp plok²tumos tiesiu, kai tieses duotos kanoninemis lygtimis gali b uti surastas naudojantis formule: (141) cos α = m 1 m + n 1 n m 1 + n 1 m + n 111 Tiesiu lygiagretumas Erdv es tiesiu, apibreºtu (136) ir (137) lygtimis, lygiagretumo s lyga: (14) m 1 m = n 1 n = p 1 p Plok²tumos tiesiu, apibreºtu (139) ir (140) lygtimis, lygiagretumo s - lyga: (143) m 1 m = n 1 n 11 Tiesiu statmenumas Erdv es tiesiu, apibreºtu (136) ir (137) lygtimis, statmenumo s lyga: (144) m 1 m + n 1 n + p 1 p = 0 Plok²tumos tiesiu, apibreºtu (139) ir (140) lygtimis, statmenumo s - lyga: (145) m 1 m + n 1 n = 0 113 Kampas tarp ties es ir plok²tumos Pirma suraskime kamp θ (θ [0, π)), tarp tiesei x x 0 m = y y 0 = z z 0 n p lygiagretaus vektoriaus s = (m, n, p) ir plok²tumai Ax + By + Cz + D = 0 statmeno vaktoriaus n = (A, B, C) To kampo kosinusas cos θ = Am + Bn + Cp A + B + C m + n + p Tarkime, α yra kampas tarp tieses ir plok²tumos Ai²ku, kad α [0, π/] Beto π [0, α = θ, jei θ π ], θ π ( π ), jei θ, π 8

[ Jeigu θ 0, π ] ( π ) ( π ), tai sin α = cos α = cos θ Jeigu θ, π, tai ( π ) sin α = cos α = cos(π θ) = cos θ Taigi kampo tarp tieses ir plok²tumos sinusas (146) sin θ = Am + Bn + Cp A + B + C m + n + p 1131 Ties es ir plok²tumos lygiagretumas I² (146) formules gauname Ties es ir plok²tumos lygiagretumo s lyg : (147) Am + Bn + Cp = 0 113 Ties es ir plok²tumos statmenumas Tiese statmena plok²tumai, kai vektoriai n ir s lygiagret us, ty ju koordinates proporcingos Ties es ir plok²tumos statmenumo s lyg : (148) A m = B n = C p 114 Ta²ko atstumas nuo plok²tumos ir nuo ties es plok²tumoje Ta²ko M 0 (x 0, y 0, z 0 ) atstumas nuo plok²tumos Ax + By + Cz + D = 0 yra lygus (149) d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A + B + C Ta²ko M 0 (x 0, y 0 ) atstum nuo plok²tumos tieses Ax + By + C = 0 galima surasti naudojantis formule: (150) d = Ax 0 + By 0 + C A + B ANTROSIOS EIL ES KREIV ES 1 Elips e Apibr eºimas Elipse vadinama geometrine vieta plok²tumos ta²ku, tokiu, kad atstumu nuo kiekvieno i² ju iki dvieju pastoviu plok²tumos ta²ku suma yra pastovi Du pastov us ta²kai, minimi elipses apibreºime, vadinami elips es ºidiniais I²vesime elipses koordinatin lygti, kai elipses ºidiniai guli x a²yje ir yra vienodai nutol nuo koordina iu centro O(0, 0) per atstum c šidinius paºymekime F 1 ( c, 0) ir F (c, 0) Atstumas tarp ºidiniu bus lygus c Elipses ta²kus ºymekime 9

M(x, y) Tarkime, kad atstumu nuo elipses ta²ko iki ºidiniu suma (ji pastovi) lygi a Ai²ku ²i suma turi b uti nemaºesne uº atstum tarp ºidiniu, ty c a I² elipses apibreºimo turime F 1 M + F M = a Atkarpu ilgius uºra² per koordinates gausime (x + c) + y + (x c) + y = a Pakel abi lygties puses kvadratu turesime x + cx + c + y + (x + c) + y (x c) + y + x cx + c + y = 4a Arba suprastinus x + c + y a = (x + c) + y (x c) + y Dar kart pakeliame kvadratu: x 4 + c 4 + y 4 + 4a 4 + x c + x y 4x a + c y 4c a 4y a = (x + cx + c + y )(x cx + c + y ) = x 4 cx 3 + x c + x y + cx 3 4c x + c 3 x + cxy + c x c 3 x + c 4 + c y + x y cxy + c y + y 4 Suprastiname: (a c )x + a y = a (a c ) Kai a > c galime abi lygties puses dalinti i² a (a c ) b = a c galutinai gausime elipses kanonin lygti: Ived paºymejim (1) x a + y b = 1 Kai a = c, turime ne elips, o tik atkarp : c x c, y = 0 Ta²kas O(0, 0) yra elipses (1) centras Past um elips taip, kad jos centras atsidurtu ta²ke C(x 0, y 0 ), gausime toki elipses kanonin lygti: () (x x 0 ) a + (y y 0) b = 1 Taigi ta²kas C(x 0, y 0 ) vadinamas elipses centru Ta²kai V x1 (x 0 +a, y 0 ), V x (x 0 a, y 0 ), V y1 (x 0, y 0 + b), V y (x 0, y 0 b) elipses vir² unemis Atkarpa V x1 V x didºi ja a²imi, o atkarpa V y1 V y maº ja a²imi a ir b yra didºiojo ir maºojo pusa²iu ilgiai Ta²kai F 1 (x 0 c, y 0 ) ir F (x 0 + c, y 0 ) vadinami elipses ºidiniais Kai a = b elipse virsta apskritimu Jeigu b > a elipse yra i²t sta y a²ies kryptimi ir ºidiniai bus i²sidest vertikaliai Tieses x = x 0 ir y = y 0 vadinamos elipses simetrijos a²imis Skai ius ε = c vadinamas elipses ekscentricitetu Elipses ekscentricitetas visuomet yra maºesnis uº 1 ir parodo a kiek elipse skiriasi nuo apskritimo Kai ε = 0 elipses ºidiniai sutampa, pati elipse tampa apskritimu 10

11 Elips es parametrin e lygtis Ived parametr t elipses (1) kanonin lygti galime uºra²yti taip: (3) { x = a cos t, y = b sin t, (t [0, π)), o () kanonin lygti taip: (4) { x = x 0 + a cos t, y = y 0 + b sin t, (t [0, π)), (3) ir (4) lygtys vadinamos elips es parametrin emis lygtimis Hiperbol e Apibr eºimas Hiperbole vadinama geometrine vieta plok²tumos ta²ku, tokiu, kad atstumu nuo kiekvieno i² ju iki dvieju pastoviu plok²tumos ta²ku skirtumo modulis yra pastovus Du pastov us ta²kai, minimi hiperboles apibreºime, vadinami hiperbol es ºidiniais I²vesime hiperboles koordinatin lygti, kai hiperboles ºidiniai guli x a²yje ir yra vienodai nutol nuo koordina iu centro O(0, 0) per atstum c šidinius paºymekime F 1 ( c, 0) ir F (c, 0) Atstumas tarp ºidiniu bus lygus c Hiperboles ta²kus ºymekime M(x, y) Tarkime, kad atstumu nuo hiperboles ta²ko iki ºidiniu skirtumas (jo modulis pastovus) lygus ±a io skirtumo modulis turi b uti nedidesnis uº atstum tarp ºidiniu, ty c a I² hiperboles apibreºimo turime F 1 M F M = ±a Atkarpu ilgius uºra² per koordinates gausime (x + c) + y (x c) + y = ±a Pakel abi lygties puses kvadratu turesime x + cx + c + y (x + c) + y (x c) + y + x cx + c + y = 4a Arba suprastinus x + c + y a = (x + c) + y (x c) + y Dar kart pakeliame kvadratu: x 4 + c 4 + y 4 + 4a 4 + x c + x y 4x a + c y 4c a 4y a = (x + cx + c + y )(x cx + c + y ) = x 4 cx 3 + x c + x y + cx 3 4c x + c 3 x + cxy + c x c 3 x + c 4 + c y + x y cxy + c y + y 4 11

Suprastiname: (c a )x a y = a (c a ) Kai a < c galime abi lygties puses dalinti i² a (c a ) Ived paºymejim b = c a galutinai gausime hiperboles kanonin lygti: (5) x a y b = 1 Kai a = c, turime ne hiperbol, o tik dvi pustieses: x c, y = 0 ir x c, y = 0 Ta²kas O(0, 0) yra hiperboles (1) simetrijos centras Past um hiperbol taip, kad jos simetrijos centras atsidurtu ta²ke C(x 0, y 0 ), gausime toki hiperbol es kanonin lygti: (6) (x x 0 ) a (y y 0) b = 1 Taigi ta²kas C(x 0, y 0 ) vadinamas hiperboles simetrijos centru Ta²kai V x1 (x 0 + a, y 0 ), V x (x 0 a, y 0 ) hiperboles vir² unemis Ta²kai F 1 (x 0 c, y 0 ) ir F (x 0 + c, y 0 ) vadinami hiperboles ºidiniais Tieses x = x 0 ir y = y 0 vadinamos hiperboles simetrijos a²imis Skai ius ε = c vadinamas hiperboles a ekscentricitetu Hiperboles ekscentricitetas visuomet yra didesnis uº 1 Tieses y = y 0 ± b a (x x 0) vadinamos hiperbol es asimptot emis Hiperboles grakas, kai x ± arteja prie ²iu tiesiu Lygtis (7) (x x 0) a + (y y 0) b = 1 taip pat yra hiperbol es kanonin e lygtis Tik ²ios hiperboles ºidiniai ir vir² unes i²sides iusios vertikaliai, o ²akos nukreiptos y a²ies teigiama ir neigiama kryptimis 3 Parabol e Apibr eºimas Prabole vadinama geometrine vieta plok²tumos ta²ku, kuriu atstumai nuo pastovaus ta²ko ir pastovios tieses yra lyg us Pastovus ta²kas, minimas paraboles apibreºime, vadinamas parabol es ºidiniu, o pastovi tiese parabol es direktrise I²vesime paraboles koordinatin lygti, kai paraboles ºidinys guli x a²yje (teigiamoje dalyje), direktrise statmena x a²iai ir abu vienodai nutol nuo koordina iu centro O(0, 0) per atstum p/ šidini paºymekime F (p/, 0) Atstumas tarp ºidinio ir direktrises bus lygus p Paraboles ta²kus ºymekime M(x, y) Direktrises ta²kai gali b uti ºymimi D( p/, y) I² paraboles apibreºimo turime F M = MD 1

Atkarpu ilgius uºra² per koordinates gausime ( x p ) + y = x + p Pakel abi lygties puses kvadratu turesime x px + p 4 + y = x + px + p 4 Suprastin gauname parabol es kanonin lygti: (8) y = px Kai a = c, turime ne hiperbol, o tik dvi pustieses: x c, y = 0 ir x c, y = 0 Ta²ke O(0, 0) yra parabol es (8) vir² un e Past um parabol taip, kad jos vir² une atsidurtu ta²ke V (x 0, y 0 ), gausime toki paraboles kanonin lygti: (9) (y y 0 ) = p(x x 0 ) Taigi ta²kas V (x 0, y 0 ) vadinamas paraboles vir² une Ta²kas F (x 0 +p/, y 0 ) vadinamas paraboles ºidiniu Tiese x = x 0 p/ vadinama paraboles direktrise Tiese y = y 0 yra paraboles simetrijos a²is Skai ius ε = 1 vadinamas parabol es ekscentricitetu Lygtys (10) (y y 0 ) = p(x x 0 ), (11) (x x 0 ) = p(y y 0 ), (1) (x x 0 ) = p(y y 0 ) taip pat yra paraboliu kanonin es lygtys Tik ²iu paraboliu ²akos nukreiptos neigiama x a²ies kryptimi, teigiama y a²ies kryptimi, neigiama y a²ies kryptimi, o simetrijos a²ys yra tieses y = y 0, x = x 0, x = x 0, atitinkamai 4 Antrosios eil es kreiviu lygties tyrimas Algebrines kreives klasikuojamos pagal ju lyg iu laipsnius Bendriausia antrojo laipsnio lygties forma: (13) a 11 x + a 1 xy + a y + a 10 x + a 0 y + a 00 = 0 Bent vienas i² koecientu a 11, a 1, a neturi b uti lygus nuliui, nes prie²ingu atveju turesime pirmos eiles lygti (apibreºian i plok²tum ) Bet kuri antros eiles lygtis apibreºia elips, hiperbol, parabol I²imtiniais atvejais tai gali b uti tiese, dvi lygiagre ios tieses, dvi susikertan ios tieses, ta²kas ir net tu² ia aibe Panagrinesime visus atvejus 13

Pasukant koordina iu sistem (del laiko ir ºiniu tr ukumo mes to nedarysime) galima panaikinti antr ji lygties nari a 1 xy Po to, i²skiriant piln kvadrat ir atitinkamai pastumiant koordina iu sistem, galima panaikinti pirmojo laipsnio nari a 10 x, jei a 11 0, ir pirmojo laipsnio nari a 0 y, jei a 0 Tokia proced ura visi²kai nesunki Po tokiu operaciju turesime paprastesn lygti, kuri ir patyrinesime Tai b utu viena i² lyg iu: (14) Ax + By + C = 0, A 0 arba B 0, (15) Ax + Dy + C = 0, A 0, (16) By + Ex + C = 0, B 0 Tarkime, kad (14) lygtyje A > 0 Tuomet (14) lygtis apibreºia: elips, jei B > 0, C < 0;, jei B > 0, C > 0; ta²k, jei B > 0, C = 0; hiperbol, jei B < 0, C 0; dvi susikertan ias tieses, jei B < 0, C = 0; dvi lygiagre ias tieses, jei B = 0, C < 0; ties, jei B = 0, C = 0;, jei B = 0, C > 0 Kai koecientas B > 0, galime nagrineti analogi²kai Nemaºindami bendrumo galime laikyti, kad (15) lygties koecientas A > 0 Prie²ingu atveju lygti galima padauginti i² 1 (15) lygtis apibreºia: parabol, jei D 0; dvi lygiagre ias tieses, jei D = 0, C < 0; ties, jei D = 0, C = 0;, jei D = 0, C > 0 (16) lygti galime nagrineti analogi²kai kaip ir (15) 3 ANTROSIOS EIL ES PAVIR IAI iame skyrelyje pateiksime tik kai kuriu paprastesniu antros eiles pavir²iu analizines i²rai²kas Apibr eºimas Pavir²ius, kuri sudaro plok² i ja kreive judedama tiese, kai jos vienas ta²kas lieka pastovus, vadinamas k uginiu pavir²iumi Apibr eºimas Pavir²ius, kuri sudaro plok² i ja kreive lygiagre iai judedama tiese, vadinamas cilindriniu pavir²iumi 14

Apibr eºimas Pavir²ius, gaunamas sukant kreiv apie ties (taip, kad kreives ta²kai breºtu apskritimus, statmenus tai tiesei, ir apskritimu centrai guletu toje tieseje), vadinamas sukimosi pavir²iumi Minima tiese vadinama sukimosi a²imi (31) x a + y b z c = 0 tai antrosios eiles k ugio lygtis Koordina iu pradºios ta²kas O yra ²io k ugio simetrijos centras, o koordina iu plok²tumos xy, xz, yz pavir²iaus simetrijos plok²tumos (3) x a + y a + z c = 1 tai sukimosi elipsoidas Sukimosi a²is yra z a²is Tria²is elipsoidas: (33) (34) Viena²akis sukimosi hiperboloidas: Sukimosi a²is yra z a²is Viena²akis hiperboloidas: (35) (36) Dvi²akis sukimosi hiperboloidas: Sukimosi a²is yra x a²is Dvi²akis hiperboloidas: (37) Sukimosi paraboloidas: x a + y b + z c = 1 x a + y a z c = 1 x a + y b z c = 1 x a y c z c = 1 x a y b z c = 1 (38) x + y = pz Sukimosi a²is yra z a²is Elipsinis paraboloidas: (39) x p + y = z, pq > 0 q Hiperbolinis paraboloidas: (310) x p y = z, pq > 0 q 15