Celični avtomati iz kvantnih pik

Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Seminar I b - 1. letnik, II. stopnja Celični avtomati iz kvantnih pik Avtor: Blaž Kranjc Mentor: doc. dr. Tomaž Rejec Ljubljana, 2014 Povzetek Trenutna tehnologija mikroprocesorjev temelji na polprevodniških elementih. Z eksponentnim pojemanjem velikosti le teh, kot ga zahteva Moorov zakon, se hitro približujemo mejam zmogljivosti te tehnologije. Eden od možnih sistemov, ki omogočajo nadaljnji tehnološki razvoj, so celični avtomati iz kvantnih pik. Ti sistemi so energijsko učinkovitejši in omogočajo zmanjševanje vse do molekulskih velikosti. 1

Kazalo 1 Uvod 2 2 Omejitve silicijevih mikroprocesorjev 3 3 Celični avtomati iz kvantnih pik 4 3.1 Interakcije med celicami in logične operacije................ 5 3.2 Ura v celičnih avtomatih........................... 7 4 Celični avtomati iz molekularnih kvantnih pik 9 5 Zaključek 12 1 Uvod Gonilna sila mikroprocesorske industrije je Moorov zakon. Ta napoveduje, da se število tranzistorjev na mikroprocesorjih podvoji vsakih 18 mesecev [1]. Za vzdrževanje takšne rasti je potrebno eksponentno zmanjševati velikost tranzistorjev. Razen strmega zmanjševanja velikosti tranzistorjev z izboljšanjem litografskih metod, se princip delovanja mikroprocesorjev od nastanka integriranih vezij ni dosti spremenil. Trenutne velikosti tranzistorjev v procesorjih so 22 nm, cilj do konca letošnjega leta pa je proizvodnja procesorjev s tranzistorji velikosti 18 nm [2]. Na takšnih razdaljah kvantnih pojavov ne moremo več zanemariti. Predvidena mejna velikost za delovanje polprevodniških tranzistorjev je 10 nm, ki jo bomo po napovedih dosegli leta 2020 [3]. Ker se silicijevim čipom čas izteka, so aktualne raziskave alternativnih tehnologij, ki bi dopuščale nadaljnji razvoj. Ena od možnih zamenjav za silicijeve tranzistorje so celični avtomati iz kvantnih pik. To so sistemi celic iz povezanih kvantnih pik, ki jih napolnimo z elektroni. Z medsebojno interakcijo celic lahko dobimo poln nabor operacij i [4, 5]. Celice celičnih avtomatov iz kvantnih pik je mogoče izdelati v različnih sistemih. Trenutno razvoj poteka na celicah iz polprevodniških kvantnih pik, vendar so glavni cilj izvedenke celičnih avtomatov v molekulskih sistemih [6 8]. Z uporabo molekulskih celic bi omogočili dodatni napredek procesorske moči. Poleg tega so celični avtomati energijsko učinkovitejši. Poglavje 2 vsebuje kratek opis delovanja in pomanjkljivosti trenutne tehnologije. V poglavju 3 je opisan koncept celičnih avtomatov iz kvantnih pik in interakcije med posameznimi celicami, s katerimi lahko izvedemo poljubne logične operacije. Zadnje poglavje seminarja je namenjeno pregledu simulacij molekularnih celičnih avtomatov. Ti predstavljajo naslednji korak v tehnologiji in so industrijsko zanimivi. i Sistem operacij, s katerim lahko sestavimo poljubno logično operacijo. 2

2 Omejitve silicijevih mikroprocesorjev Tranzistorji na silicijevih mikroprocesorjih so sestavljeni iz različno dopiranih kosov silicija, kovinskih elektrod in oksidne plasti. Prerez tranzistorja je prikazan na sliki 1. Tok, ki teče skozi tranzistor, lahko nadzorujemo z elektrodo imenovano vrata, ki ima funkcijo ventila. Med emitorjem in kolektorjem se zaradi stika p in n dopiranega polprevodnika vzpostavi zaporna plast. V primeru, ko na vratih ni napetosti, tok čez emitor in kolektor ne teče. Če pa na elektrodo prislonimo pozitivno napetost, se pod oksidno plastjo odpre kanal, po katerem električni tok lahko steče. Oksidna plast preprečuje tok iz kolektorja in emitorja na vrata. Slika 1: Skica prereza polprevodniškega tranzistorja. Kolektor in emitor sta pritrjena na n dopiran del silicija, vrata pa položimo na oksidno plast. Velikost tranzistorja je na sliki označena z L [3]. Vendar ta klasična razlaga ne zadostuje v primeru, ko so razdalje med elektrodama primerljive z atomskimi razdaljami. Velikost tranzistorja definiramo z razdaljo med emitorjem in kolektorjem. Trenutne velikosti tranzistorjev znašajo 22 nm, med elektrodama je tako okoli 100 atomov [3]. Pri nadaljnjem zmanjševanju tranzistorjev kvantno mehanskih efektov ne bo več mogoče zanemariti. Tudi, če na elektrodi vrata ni napetosti, skozi tranzistor teče tunelski tok. Tunelski tok eksponentno narašča z zmanjševanjem velikosti tranzistorja [3]. Takšen tok pripomore k dodatnem porabljanju moči in predstavlja oviro pri nadaljnjem zmanjševanju velikosti. Pri velikosti tranzistorjev 50 nm je moč zaradi tunelskega toka predstavljala 9% celotne porabljene moči [3]. Oksidne plasti so od tedaj zamenjali z boljšimi izolatorji, s čimer je mogoče zmanjšati tunelski tok. Ustavilo se je tudi povečevanje frekvence ure procesorjev. Le ta je sprva eksponentno naraščala, zadnjih 5 let pa se frekvence procesorjev ne spreminjajo. Pri višjih frekvencah namreč sistem ustvari več toplote, ki jo je težko odvajati. Trenutno se industrija usmerja v vzporedno procesiranje. Z dodatnimi jedri v procesorjih in porazdelitvijo obremenitve je mogoče dosegati večje zmogljivosti pri nekaterih algoritmih. 3

3 Celični avtomati iz kvantnih pik Delovanje procesorjev iz celičnih avtomatov se močno razlikuje od polprevodniških procesorjev. Osnovni gradniki celičnega avtomata so celice. Velikosti celic v eksperimentih z polprevodniškimi kvantnimi pikami znašajo 5 µm [9], velikosti molekulskih celic pa 1 nm [8]. Ena od možnih oblik celice iz kvantnih pik je kvadratna celica. Sestavljajo jo štiri kvantne pike, ki se nahajajo na ogliščih kvadrata, kot je prikazano na sliki 2. V celico vnesemo dva elektrona, ki lahko med kvantnimi pikami tunelirata. Stanje izolirane celice opišemo s Hamiltonovo funkcijo [4, 5] H = n i,σ n j,σ i,j,σ γ(c i,σ c j,σ + c j,σ c i,σ) + i E Q n i, n i, + 1 2 V Q i j σ,σ r i r j. (1) Operatorja c i,σ in c i,σ sta kreacijski in anihilacijski operator za elektrone na mestu i 1, 2, 3, 4 s spinom σ, številski operator n i,σ pa podaja število elektronov na tem mestu. Prvi člen Hamiltonijana predstavlja prispevek tuneliranja elektronov med sosednjimi mesti z prekrivalnim integralom γ. Drugi člen je od nič različen le v primeru, ko se oba elektrona nahajata na isti kvantni piki in podaja njun elektrostatski odboj. V primeru, ko sta elektrona na različnih mestih v celici, predpostavimo, da je njuna medsebojna razdalja enaka razdalji med legama kvantnih pik r i r j, v katerih se nahajata. Njuno interakcijo opiše zadnji člen. Odboj med elektronoma na isti piki je mnogo večji od odboja elektronov na različnih kvantnih pikah. Osnovno stanje izolirane celice je dvakrat degenerirano [4]. Pri uporabi celičnih avtomatov sta uporabni zgolj osnovni stanji sistema. Osnovni stanji, ki sta prikazani na sliki 2, lahko uporabimo za shranjevanje enega bita informacije [4, 5, 10]. Slika 2: Osnovni stanji kvadratne celice z štirimi kvantnimi pikami in njuni polarizaciji. S črno barvo sta označeni mesti, na katerih se nahajata elektrona. Koristno je uvesti količino P = 1 2 (n 1 + n 3 ) 1 2 (n 2 + n 4 ) [ 1, 1], (2) ki jo imenujemo polarizacija. Z n i smo označili pričakovano vrednost številskega operatorja na mestu i n i = n i, + n i,. (3) Za osnovni stanji je polarizacija enaka ±1, za poljubno stanje, ki je superpozicija osnovnih stanj pa podaja razmerje med zasedenostima osnovnih stanj. Logična stanja 0 in 1 lahko nadomestimo s polarizacijama celice 1 in +1. 4

3.1 Interakcije med celicami in logične operacije Za izdelavo procesorjev iz celičnih avtomatov so pomembne interakcije med posameznimi celicami. Interakcija med celicami je elektrostatična. Kljub prostima elektronoma v celicah so celice navzven nevtralne. Prvi neničelni prispevek v razvoju električnega potenciala je kvadrupolni člen [4, 5]. Energija interakcije E int dveh celic je torej sorazmerna E int r 5, (4) kjer je r razdalja med celicami. Navadno so razdalje med celicami dvakrat večje od dolžine celic, zato lahko pri interakciji upoštevamo le sosednje celice. Prispevek bolj oddaljenih celic je namreč red velikosti manjši. Zaradi velike razdalje med celicami so velikosti procesorjev iz celičnih avtomatov večje od tranzistorskih procesorjev, v primeru enako velikih gradnikov [5]. V uporabi sta dve vrsti postavitev celic, ki sta prikazani na sliki 3. Postavitev 90, pri kateri so celice približane z eno od stranic. Pri tej postavitvi je energijsko ugodna enaka polarizacija med sosednjimi celicami [4, 5]. Postavitev 45, kjer so celice približane z enim od oglišč. Tu sta v ravnovesju polarizaciji sosednjih celic nasprotni [10, 11]. Ker želimo osnovni stanji s polarizacijama P = ±1 uporabiti za transport informacije, je pomembno, da pri propagaciji čez celice informacije ne zgubimo. Na grafu 3 je prikazana odvisnost polarizacije celice od njene sosede. Spremljamo polarizacijo leve celice P 1 v odvisnosti od spremenljive polarizacije desne celice P 2. Opazimo lahko, da že pri zelo majhnih plarizacijah P 2 sosednja celica preide v bližnje osnovno stanje. Takšen prehod je zelo ugoden za opravljanje logičnih operacij. Slika 3: Na levi sta prikazani možni postavitvi celic in ravnovesna stanja sosednjih celic pri vsaki od njih. Na desni graf polarizacije celice v odvisnosti od polarizacije njene sosede pri sklopitvi 90 [4]. Računanje z vezji iz celičnih avtomatov poteka v treh korakih. Vhodne podatke procesorju dodamo na set vhodnih celic. Na vhodnih celicah določimo polarizacijo z zunanjimi elektrodami nad kvantno piko in jo fiksiramo z zmanjšanjem prekrivalnega 5

integrala γ. Nato pustimo sistem, da se postavi v osnovno stanje in na drugem koncu vezja preberemo izhodne rezultate. Takšno reševanje je znano pod imenom računanje z osnovnim stanjem. Pri tem se zanašamo na disipacijske procese, ki sistemu znižujejo energijo [4]. Značilni čas τ, v katerem sistem pade v osnovno stanje, imenujemo relaksacijski čas. Časovni razvoj sistema je izjemno kompliciran, saj so disipacijski procesi zapleteni. Vendar nas ta dinamika pri relaksacije ne zanima, edini pomemben parameter je relaksacijski čas. Relaksacijski časi za polprevodniške sisteme znašajo 1ns [9]. Vsa energija, ki jo sistemu moramo dovesti za uspešno reševanju je energija, ki jo porabimo za nastavitev polarizacije vhodnih celic. Energija se tako troši zgolj na začetku cikla in je odvisna zgolj od števila vhodnih celic. Takšen način računanja je energijsko mnogo učinkovitejši od trenutne tehnologije [4, 5]. Ocenjeno je, da bi pri računanju z osnovnim stanjem poraba celičnega avtomata znašala 10 10 W na vhodno celico [4]. Za razliko od računanja z osnovnim stanjem se pri tranzistorskih procesorjih energija izgublja na celotnem procesorju. Trenutni silicijevi procesorji ob delovanju porabljajo 70W. Za primerjavo tehnologij je potrebno upoštevati število vhodnih bitov informacije, ki jo sprejmejo silicijevi procesorji. To število pri trenutnih procesorjih znaša okoli 100 [12]. Procesor iz kvantnih pik z 100 vhodnimi celicami porabljal 10 8 W. ii Za uspešno računanje je pomembno, da so energije vzbujenih stanj mnogo višje od termičnih fluktuacij, sicer lahko sistem obstane v vzbujenem stanju. Trenutni eksperimenti na polprevodniških celicah so za uspešno delovanje potrebovali temperature okoli 50 mk [9], vendar je z molekularnimi celicami območje delovanja možno dvigniti na sobno temperaturo [7]. Z manjšanjem značilne velikosti d se namreč značilna razlika med energijskimi navoji E povečuje E 2 2md. (5) 2 Za uspešno implementacijo takšnih procesorjev se je potrebno prepričati, če je z njimi možno zagotoviti polni nabor. Z različnimi postavitvami celic lahko zgradimo strukture, ki imajo lastnosti logičnih vrat. Žice Žice so strukture, s katerimi lahko iz enega konca vezja prenesemo stanje na drugi konec vezja. Najpreprosteje izvedljive so ravne žice, ki jih ustvarimo z zaporednim polaganjem celic v eno od konfiguracij na sliki 3. Žice je možno kriviti in križati. Križanje dosežemo z mešanjem žice s postavitvijo 90 in žice s postavitvijo 45, kot je prikazano na sliki 4c). Pri križanju se žici ne motita [11]. Izdelamo lahko tudi razdelilnik, s katerim lahko stanje iz ene žice prenesemo v več žic. ii V oceni energijskih izgub ni vključeno ohlajanje, saj ga za molekulske sisteme ne bi potrebovali. 6

Slika 4: Možne žičnate strukture. Ukrivitev žice (a), razdelilnik (b) in križanje žic (c). Logična vrata Za izdelavo računalnika potrebujemo set logičnih operacij, s katerim lahko simuliramo poljubno vezje. Tak set imenujemo poln nabor. Najpreprostejši poln nabor sestavljata vrati AND in NOT. Vrata NOT so vrata, ki zamenjajo polarizacijo celice. Ena od možnih realizaciji takšnih vrat je podana na sliki 5. Druga preprosto izvedljiva vrata v celičnih avtomatih Slika 5: Implementacija vrat NOT. iz kvantnih pik so večinska vrata, prikazana na sliki 6. Ta vrata sprejmejo 3 vhodne bite informacije in na izhodu vrnejo stanje s polarizacijo, ki je večkrat zastopana na vhodnih celicah. Večinska vrata lahko s preprosto operacijo uporabimo kot logična vrata. Če polarizacijo -1 razglasimo za bit 0 in polarizacijo 1 za bit 1, ustreza pri zamrznitvi enega od vhodov na polarizacijo -1 dobljeno vezje vratom AND. V primeru ko vhodno stanje fiksiramo v stanje s polarizacijo 1 je tabela izhodov analogna vratom OR [4, 10]. Vrati sta prikazani na sliki 6. S sestavljanjem celic je torej mogoče zagotovit poln nabor. 3.2 Ura v celičnih avtomatih Za učinkovito zaporedno izvajanje računskih operacij je ugodno v sistem uvesti koncept ure [5,7,11]. S tem razbijemo koncept računanja z osnovnim stanjem v celotnem vezju in ga uporabimo na manjših delih vezja. Frekvenca ure je omejena z relaksacijskim časom sistema τ. Zgornja meja frekvence za polprevodniške celice je reda velikosti gigahertzov, z molekulskimi celicami pa bi lahko dosegli tudi do tisočkrat višje frekvence [8]. Meja 7

Slika 6: Večinska vrata (a), vrata AND (b) ter OR (c). S sivo barvo so označene celice s konstantno polarizacijo. frekvence je obratno sorazmerna z karakterističnim časom t v sistemu. Povezavo med karakterističnim časom t sprememb v sistemu in energijskimi razlikami E lahko razberemo iz principa nedoločenosti t E. (6) Z zmanjševanjem sistema se energijske razlike povečujejo (5), karakteristični časi se zato zmanjšujejo. Za razliko od ure v tranzistorskih sistemih, kjer cikel traja dva koraka, cikel v celičnih avtomatih obsega štiri korake [11]. Preklop med koraki zagotavljamo s spreminjanjem prekrivalnega integrala γ med kvantnimi pikami v celici. Odvisnost polarizacije med sosedoma za različne γ je prikazana na sliki 7. Dodajanje ure poveča energijsko porabo procesorja. Slika 7: Odvisnost polarizacije celice od polarizacije sosede pri različnih vrednostih γ [4]. Tem večji je γ, tem položnejši je prehod med polarizacijama. Za uporabno delovanje je nujno, da so izhodi iz vseh vrat enako zakasnjeni, saj se vhodni podatki spreminjajo, zato je ugodno združevanje celic v skupine v enakem koraku ure. Potrebno je poskrbeti, da si koraki ure sledijo po vrsti od vhoda do izhoda in da so skupine med seboj zakasnjene za natanko en korak. Prvi korak cikla je prost sistem, kjer s povečanjem γ med kvantnimi pikami dosežemo, da elektrona prosto prehajata med osnovnima stanjema. Polarizacija v tem koraku je 8

blizu 0. Prekrivalni integral nato zmanjšamo, da elektronoma dopustimo tuneliranje in dosego energijsko najugodnejšega stanja. V tretjem koraku ure prekrivalni integral kar najbolj znižamo, da preprečimo tuneliranje. Skupina celic v tem koraku ima polarizacijo P = ±1, odvisno od okolice. V zadnjem koraku se potencialna ovira ponovno zniža, tako da elektrona ponovno tunelirata med stanji. Grafični prikaz posameznih korakov je prikazan na sliki 8. Slika 8: Koraki urinega cikla in pripadajoče vrednosti prekrivalnega integrala γ. 4 Celični avtomati iz molekularnih kvantnih pik Molekulski celični avtomati iz kvantnih pik so praktično najzanimivejši. Eksperimentalne realizacije takšnega sistema še ni, saj še ni mogoče nadzorovati električnih polj na posameznih molekulah in nadzorovati postavitve velikega števila molekul. Obstajajo pa simulacijske metode, s katerimi je mogoče poiskati ustrezne molekule in oceniti lastnosti sistema [8]. Ena od molekul, ki bi jo lahko uporabili kot celico v celičnem avtomatu je prikazana na sliki 9. Za razliko od kvadratnih celic, kjer sta pomembni dve osnovni sta- Slika 9: Modelska molekula in pomembni električni polji (a) ter ekvipotencialna ploskev elektrostatičnega potenciala za obravnavana stanja (b) [8]. 9

nji, so v tem sistemu zanimiva tri prostorsko ločena eno-elektronska stanja. Polarizacijo definiramo kot razliko med pričakovano vrednostjo številskega operatorja na mestu 1 in pričakovano vrednostjo na mestu -1. Dodatno stanje null nima vloge logičnega stanja, vendar je uporabno pri uvajanju ure. Sistem nadzorujemo z dvema električnima poljema. Urino polje določa trenutni korak ure na molekuli, menjalno polje pa določa polarizacijo molekule. Menjalno polje vsebuje prispevek zunanjega polja in polarizacije sosednjih celic. Če urino polje izklopimo, je osnovno stanje molekule null s polarizacijo 0, kar ustreza prvemu koraku ure. Neničelno urino polje omogoča prehode med stanji ter tudi zamrznitev stanja, kar potrebujemo za delovanje ure. Odvisnost energije stanj od obeh polj je prikazana na sliki 10. Slika 10: Energije stanj v odvisnosti od menjalnega polja pri različnih urinih poljih. Urno polje narašča od leve proti desni. Točke v grafu ustrezajo rezultatom simulacije stanj molekule, polna črta pa lastnim energijam Hamiltonijana (7) [8]. Modelska Hamiltonova funkcija obravnava zgolj opisana stanja in njihove medsebojne prehode s prekrivalnim integralom γ [6], eεd/2 γ 0 H = γ E c γ. (7) 0 γ eεd/2 Energija E c je energija zaradi urinega polja, ε ustreza menjalnemu polju, d pa označuje razdaljo med koncem molekule in centralnim stanjem. S simulacijskimi metodami kvantne kemije je mogoče preveriti, da se stanja modelskega Hamiltonijana dobro ujemajo z realnimi elektronskimi stanji v molekuli. Dinamiko stanja z gostotno matriko ρ opišemo z Liouvillovo enačbo [13] dρ dt = i [H, ρ]. (8) Hamiltonovo funkcijo in gostotno matriko lahko razvijemo po bazi prostora Hermitskih 3 3 matrik, Gell-Mannovih matrikah Λ i ρ = 8 c i Λ i + ai, i=1 10 1 H = 8 h i Λ i + bi. (9) i=1

Liouvillovo enačbo (8) lahko izrazimo s koeficienti v razvoju kot [6] c t = Ωc. (10) V vektorju c so zbrani koeficienti razvoja ρ, matrika Ω pa je odvisna od koeficientov razvoja Hamiltonijana. Dodatno v enačbo (10) dodamo člen, ki vsebuje energijsko disipacijo in energijske fluktuacije sistema. Sistem zaradi disipacije pade v osnovno stanje c E (t) z značilnim relaksacijskim časom τ [6]. Relaksacijski čas je določen z lastnostmi molekule in njene sklopitve z okolico. Z njim upoštevamo vse procese pri katerih se energija izgublja, brez potrebe poznavanja vseh podrobnost takih procesov. Celotna enačba, ki podaja dinamiko sistema, je tako c t = Ωc 1 τ (c c E(t)). (11) Disipacija pripomore k uspešnemu prenašanju informacij. Brez izgub energije se v polarizaciji pojavijo oscilacije, kot je opazno na sliki 11. Slika 11: Časovna odvisnost polarizacije molekule po preklopu menjalnega polja brez disipativnega člena na levi in z disipativnim členom na desni [6]. Opazimo lahko, da brez disipacije polarizacija oscilira. Z modelom (11) lahko opazujemo prenos polarizacije čez zaporedni niz celic. Simulacija širjenja polarizacije čez pet sosednjih celic z uporabo ure s frekvenco 1 THz je prikazana na sliki 12. Slika 12: Simulacija prenosa informacije čez niz pet molekulskih celic [8]. Z različnimi barvami so prikazane polarizacije različnih celic. 11

5 Zaključek Celični avtomati so možna zamenjava za trenutno polprevodniško tehnologijo. So namreč energijsko varčnejši in omogočajo zmanjševanje do molekulskih velikosti. Trenutno celični avtomati iz kvantnih pik niso konkurenčni silicijevim tranzistorjem. Zaradi izjemno nizkih delavnih temperatur polprevodniški celični avtomati iz kvantnih pik niso praktično uporabni. Dodno je površinska gostota operacij za enako velike osnovne gradnike višja pri polprevodniških tranzistorjih. Praktično uporabni bi bili šele sistemi celičnih avtomatov iz kvantnih pik zgrajeni iz celic molekulskih velikosti. Literatura [1] G. E. Moore, Electronics Magazine 8, 114 (1965). [2] www.itrs.net/links/2013itrs/summary2013.htm [24.4.2014]. [3] L. Wang, doktorska disertacija, Georgia Institute of Technology, 2006. [4] C. S. Lent, P. D. Tougaw, W. Porod, G. H. Bernstein, Nanotechnology 4, 49 (1993). [5] G. Toth, doktorska disertacija, University of Notre Dame, 2000. [6] J. Timler, C. S. Lent, J. Appl. Phys. 91, 823 (2002). [7] J. Timler, C. S. Lent, J. Appl. Phys. 94, 1050 (2003). [8] Y. Lu, M. Liu, C. Lent, J. Appl. Phys. 102, 034311 (2007). [9] A. O. Orlov, I. Amlani, G. H. Bernstein, C. S. Lent, Science 277, 928 (1997). [10] P. D. Tougaw, C. S. Lent, J. Appl. Phys. 75, 1818 (1994). [11] S.-H. Shin, J.-C. Jeon, K.-Y. Yoo, ASTL 27, 52 (2013). [12] http://www.intel.com/content/www/us/en/io/quickpath-technology/quick-pathinterconnect-introduction-paper.html [16.6.2014]. [13] F. Schwabl, Statistical Mechanics, 2nd ed. (Springer, 2006). 12