1 6 - Teorija geodetskih meritev - osnove Teorija geodetskih meritev - osnove Projekt: Definicija probema in izbira poti do rešitve Meritve: Kasične geodetske meritve Izvedba terenskih meritev na osnovi izbrane metode Vrednotenje kvaitete meritev - pogreški Obdeava merskih vrednosti - izračun: Izočanje napak iz opazovanj Upoštevanje znanih sistematičnih vpivov Izračun najverjetnejših vrednosti iskanih koičin Vrednotenje kvaitete iskanih koičin Interpretacija rezutatov: Prikaz končnih rezutatov v numerični in grafični obiki Pot od meritve do končnega rezutata 1
3 3 Merjenje - merski postopek Merjenje je primerjava dveh istovrstnih koičin, od katerih je ena koičina enota ai etaon. Rezutat meritev je mersko števio = merjena koičina/etaon Pogoj: med seboj ahko primerjamo e istovrstne koičine pravini izbor etaona je pogoj za zagotovitev ustrezne kvaitete Merski postopek definirajo čovekove veščine: izkušenost, subjektivna natančnost tehnooške rešitve: hitrost, objektivna natančnost, "ažje" rešitve matematični agoritmi: eksaktnost izračuna, istočasna obdeava množice merskih podatkov, možnost moduiranja, anaiz, testiranj.. 4 4 Podajanje merskih vrednosti Merske vrednosti (mersko števio) podajamo: numerično grafično (redkeje) Zahteve numeričnega podajanja: čitjiv zapis ustrezno števio decimanih mest (pomembne cifre) pravini izbor in zapis merske enote zapis natančnosti merskega rezutata V geodeziji najpogosteje uporabjene merske enote merske enote za dožino (meter, seženj) mere za kote (stopinja, gon) merske enote za čas, temperaturo, zračni tak, težnostni pospešek...
5 5 Meter Meter je osnovna merska enota za dožino. (stare enote za dožino: stadij, aket, parni korak,... skodeica čaja...) Zgodovina: 1791: komisija za mere in uteži -doočiti mednarodno enoto za dožino - enota za dožino naj bo doočena na osnovi dožine meridiana - enota naj se imenuje meter - 1 meter bo 10 miijonti de kvadranta meridiana, ki poteka preko Francije 187: 1 meter je oddajenost med dvema črticama, ki sta urezani na metani paici zitine iridija (10%) in patine (90%) pri temperaturi 0 0 C prameter. 1960: 1 meter je 1650763.73 vaovnih dožin oranžno rdeče svetobe, ki jo seva atom kriptona ( 86 Kr) pri prehodu s stanja p 10 na 5d 5. 1983: 1 meter je dožina poti, ki jo preteče svetoba v vakuumu v času 1/9979458 s. (17. generana konferenca za mere in uteži) 6 6 Osnovni pojmi teorije pogreškov "Kruto" dejstvo: Kjub temu da, ob večkratnem merjenju, pri katerem: meritve izvede isti operater (meriec), pri merjenju uporabi isti instrument, so pogoji okoja v času meritev identični... rezutati posameznih meritev teoretično ne bodo nikoi iste vrednosti! Meritve so vedno obremenjene s pogreški! Pogreški so vpivi na meritve in izračun kot posedica nepoponosti instrumentarija, metode dea, neizkušenosti izvajaca meritev... nepoponosti matematičnega agoritma... Pogreški so merio za natančnost (točnost) rezutatov merjenih in izračunanih koičin! Veja: nobena meritev ni točna, vsa merjenja vsebujejo pogreške prava vrednost iskane koičine ni nikoi poznana 3
7 7 Vrste pogreškov gede na način nastanka Grobi pogreški - napake Vzroki: - pokvarjen instrument - nepazjivost pri deu -napačna metoda meritev... Primeri: napačno čitanje in zapis, napačno viziranje... Posedica: rezutati meritev se bistveno razikujejo od pričakovanih vrednosti Lastnosti: - veiki - pojavjanje je sučajno - najboj "nevarni", iz meritev jih nujno izočimo! Princip kontroe: - ponavjanje meritev na isti ai na razične načine - meritev opravita razični osebi -izvedemo nadštevine meritve - meritve kontroiramo z računskimi kontroami 8 8 Vrste pogreškov gede na način nastanka Sistematični pogreški Vzroki: - nepoponost instrumenta - premajhna pazjivost pri deu - neupoštevanje pogojev okoja... Primeri: spremenjena merska frekvenca ER, ukrivjenost Zemje... Posedica: rezutati meritev se nebistveno razikujejo od pričakovanih vrednosti, z združevanjem meritev se veikost vpiva veča! Lastnosti: -majhni - podrejajo se matematičnim in fizikanim zakonitostim imajo vedno isti predznak z večkratnim merjenjem jih ni mogoče odpraviti mogoče je ugotoviti njihovo veikost in jih računsko odpraviti Postopek izočitve: - preizkušanje instrumentov in upoštevanje korekcij, -izračun na osnovi meritev pogojev okoja (T, p, e, g...), - izbira primerne merske metode (girusna...)... 4
9 9 Vrste pogreškov gede na način nastanka Sučajni pogreški Vzroki: - nepoponost instrumenta - omejene sposobnosti operaterja - spremenjivi zunanji vpivi... Posedica: meritev se nebistveno razikuje od pričakovane vrednosti, z združevanjem meritev se veikost vpiva zmanjša! Sučajni pogreški so posedica sučajnih (nakjučnih) pojavov, ki vpivajo na meritve! Ti pojavi so neznani in izven kontroe operaterja! Lastnosti: - majhni, so sučajne koičine, vpiv je neizogiben - podrejajo se zakonu verjetnosti nikoi ne presežejo doočene meje števio negativnih in pozitivnih sučajnih pogreškov je enako aritmetična sredina sučajnih pogreškov konvergira k 0 pogreški si sedijo brez vsakršnega reda z večkratnim merjenjem vpiv pogreškov zmanjšamo... 10 Verjetnost sučajnih pogreškov Večanje števia meritev Verjetnost pojavjanja doočenega rezutata meritev je opisana z Gauβovim zakonom verjetnosti! Od histograma do Gauβove krivuje 5
11 Verjetnost sučajnih pogreškov Verjetnost in Gauβova krivuja ( ) 1 x X 1 σ f( x) =. e σ π 1 verjetnost v ravnini Verjetnost sučajnih pogreškov Verjetnost v geodetski mreži eipse pogreškov 6
13 Verjetnost sučajnih pogreškov Točnost in natančnost 14 Prava vrednost: Pravi in najverjetnejši pogrešek Najverjetnejša vrednost: Veikost sučajnih pogreškov L + + [ ] Pravi pogrešek je odmik od prave vrednosti (merio ta točnost). L L... 1 n 1 n = = = i n n n i = 1 ε = L i Najverjetnejši pogrešek je odmik od najverjetnejše vrednosti (merio za natančnost). v = L i i i 7
15 Srednji, maksimani in reativni pogrešek Standardni odkon (srednji pogrešek) Veikost sučajnih pogreškov Maksimani pogrešek Δ = σ = max 3 σ [ εε ] [ vv] σ = σ = n n 1 Reativni pogrešek σ σ r = 16 Prenos sučajnih pogreškov Zakon o prenosu varianc in kovarianc Direktne meritve: iskana koičina L je merjena direktno Indirektne meritve: iskana koičina L je funkcija merjenih koičin L= F 1 n (,,..., ) Merjenja so obremenjena s pogreški, ki se prenesejo na iskano koičino! Varianca iskane koičine je definirana z enačbo: F F F L = +... 1 + + n 1 n σ σ σ σ Standardni odkon iskane koičine zapišemo: n F σ L = σ i i= 1 i Enačbo imenujemo spošni zakon o prenosu varianc in kovarianc! 8
17 Zakon o prenosu varianc in kovarianc Eipse pogreškov - opis poožajne natančnosti 18 Zakon o prenosu varianc in kovarianc Optimizacija meritev Primer 1 - Izhodišče kombinirana mreža: σα = 15, σd = 5 mm 9
19 Zakon o prenosu varianc in kovarianc Optimizacija meritev Primer - Povečanje natančnosti kotnih meritev kombinirana mreža: σα = 5, σd = 5 mm 0 Zakon o prenosu varianc in kovarianc Optimizacija meritev Primer 3 - Izbojšanje obike mreže kombinirana mreža: σα = 15, σd = 5 mm 10
1 Zakon o prenosu varianc in kovarianc Optimizacija meritev Primer 4 - Najbojša poožajna natančnost kombinirana mreža: σα = 5, σd = 5 mm Merjenja razične natančnosti Uteži merjenih koičin Združujemo meritve razične natančnosti. Merjenja utežimo - ponderiramo - definiramo razmerje natančnosti! k pi = p i je utež i-te meritve σ i Navadno aritmetično sredino zamenja spošna aritmetična sredina. p1 1+ p +... + pn n [ p ] L = = p + p +... + p p 1 Uteži doočimo na razične načine: na osnovi števia meritev n [ ] na osnovi ocene kvaitete opravjenih meritev σ i na osnovi modene predstavitve merskega postopka... 11
3 Izračun iskanih vrednosti Izravnava Minimano števio meritev: enoična doočitev iskanih koičin. Nadštevine meritve: meritev je več, kot jih nujno potrebujemo; Razogi: - kontroa grobih pogreškov - zmanjšanje vpiva sučajnih pogreškov - povečanje natančnosti iskanih koičin - možnost ocene natančnosti doočitve iskanih koičin Posedica: Več možnih rešitev v matematičnem modeu Kriterij: metoda najmanjših kvadratov popravkov merjenih koičin Iskana vrednost bo najverjetnejša ob izponjenem pogoju: [ pvv] min p v = = min i= 1 Pot od končanih meritev do izračuna: iz nadštevinih meritev izočimo grobe in sistematične pogreške iz preostaih meritev izračunamo najverjetnejše vrednosti iskanih koičin na osnovi rezutatov izravnave ocenimo natančnost merjenih in iskanih koičin n 1