Uvod v fiziko. z rešenimi problemi za študente tehniških smeri

Transcript

1 MARKO PINTERIĆ Uvod v fiziko z rešenimi probemi za študente tehniških smeri y x F = m a Mutationem motus proportionaem esse vi motrici impressae, et fieri secundum ineam rectam qua vis ia imprimitur.

2 ii Uvod v fiziko z rešenimi probemi Uvod v fiziko z rešenimi probemi Avtor: Recenzija: doc. dr. Marko Pinterić Lektoriranje: Ana Brunčič Obikovanje: Ana Brunčič Zaožba: Leto izdaje: 203 Tisk: Nakada: Cena: 8 dr. Martin Horvat doc. dr. Anita Prapotnik Brdnik Univerza v Mariboru, Fakuteta za gradbeništvo Rograf d.o.o. 49 izvodov 203, Fakuteta za gradbeništvo, Univerza v Mariboru. Vse pravice pridržane. Noben de te izdaje ne sme biti reproduciran, shranjen ai prepisan v kateri koi obiki oziroma na kateri koi način, bodisi eektronsko, mehansko, s fotokopiranjem, snemanjem ai kako drugače, brez predhodnega pisnega dovojenja astnikov avtorskih pravic. CIP - Kataožni zapis o pubikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor 53:62(075.8) PINTERIĆ Marko Uvod v fiziko z rešenimi probemi : za študente tehniških študijskih smeri / Marko Pinterić. - Maribor : Fakuteta za gradbeništvo, 203 ISBN COBISS.SI-ID

3 Kazao I Teorija in probemi Kinematika 3. Premo gibanje Večdimenzijsko gibanje Kroženje Statika 7 2. Statika točkastega teesa Težišče Statika togega teesa Eastične astnostni tees Dinamika Premo gibanje točkastega teesa Kroženje točkastega teesa Vrtenje togega teesa Energija in deo 45 5 Gibana in vrtina koičina 5 6 Nihanje in vaovanje 57 7 Mehanika tekočin 65 8 Topota in pini 69

4 x Uvod v fiziko z rešenimi probemi II Rešitve 77 Kinematika 79. Premo gibanje Večdimenzijsko gibanje Kroženje Statika 5 2. Statika točkastega teesa Težišče Statika togega teesa Eastične astnostni tees Dinamika Premo gibanje točkastega teesa Kroženje točkastega teesa Vrtenje togega teesa Energija in deo 93 5 Gibana in vrtina koičina 2 6 Nihanje in vaovanje 23 7 Mehanika tekočin 24 8 Topota in pini 25

5 I. Teorija in probemi

6 8 Uvod v fiziko z rešenimi probemi Težišče in gostota V primeru togega teesa je njegova masa m razporejena v prostoru in je koristno definirati poožajni vektor masnega središča r T = i m i r i, r T = i m i m r dm. (2.2) Poožajni vektor masnega središča je v večini tehniških probemov (homogeno gravitacijsko poje) enak poožajnem vektorju prijemaišča sie gravitacije imenovanemu težišče; čeprav masno središče in težišče nista sopomenki, bomo v tej pubikaciji za oba uporabjai isti izraz težišče. Pri izračunu težišča tees uporabjamo veičine gostota ρ, poščinska gostota ρ A in vzdožna gostota ρ, ki so za homogena teesa definirane kot ρ = m V, ρ A = m A, ρ = m, (2.3) (2.4) (2.5) kjer predstavja dožino enodimenzijskega, A poščino dvodimenzijskega in V prostornino trodimenzijskega teesa. Ker je pri homogenih teesih gostota konstantna, se izračun težišča bistveno poenostavi. Naj dodamo, da je pri homogenih in simetričnih teesih težišče v geometrijskem središču teesa. Točkasto teo Gibanje tees opisujejo Newtonovi zakoni gibanja. Ravnovesje teesa dooča I. Newtonov zakon. Ker je v svoji originani obiki zakon definiran za točkasto teo, gibanje katerega v poponosti opisuje e premik, ga bomo v pubikaciji imenovai I. Newtonov zakon za premik: če (in samo če) je rezutanta vseh si, ki deuje na točkasto teo, enaka nič, teo miruje ai pa se giba enakomerno F = 0 v = konst. (2.6)

7 2 Statika 9 Ta zakon ahko uporabimo tudi za toga teesa, ki se ne vrtijo, saj se v tem primeru pojavi e vzporedni premik oziroma je hitrost za vse dee teesa enaka. Togo teo Togo teo je ideaizacija končnodimenzijskega trdnega teesa, pri kateri zanemarimo deformacije. To pomeni, da se razdaja med pojubnima izbranima točkama teesa ne spreminja. Na spošno se v primeru togega teesa ahko pojavita vzporedni premik (transacija) in vrtenje (rotacija). V tem primeru zgoraj zapisan I. Newtonov zakon ni uporaben, saj imajo razični dei teesa ahko razične premike in hitrosti! Če spošno gibanje togega teesa opišemo kot kombinacijo premika težišča in vrtenja teesa okrog osi skozi težišče in upoštevamo, da je seštevek notranjih si in notranjih momentov si enak nič, se I. Newtonov zakon pospoši v dva enostavna zakona. I. Newtonov zakon za premik težišča: če (in samo če) je rezutanta vseh si, ki deuje na togo teo, enaka nič, težišče teesa miruje ai pa se giba enakomerno F = 0 v T = konst. (2.7) I. Newtonov zakon za vrtenje: če (in samo če) je rezutanta vseh momentov si, ki deujejo na togo teo, enaka nič, se teo ne vrti ai pa se vrti enakomerno M = 0 ω = konst. (2.8) Enostavno se da pokazati, da je za statične probeme izbira izhodišča za računanje momentov si pojubna. Za opis medsebojnega deovanje posameznih tees uporabimo III. Newtonov zakon: če prvo teo deuje na drugo s sio F 2, drugo teo deuje na prvo z nasprotno, enako veiko sio F 2 F 2 = F 2. (2.9)

8 32 Uvod v fiziko z rešenimi probemi m Črko U na siki, ki je narejena iz homogene kovinske paice konstantne poščine prereza, skupne dožine 5 =,00 m in skupne mase m = 0,50 kg, obesimo za eno od ogišč. Za koikšen kot se odkoni? (32 ) Brezbrižni deavec pritrdi jeken nosiec dožine d = 4,5 m in mase,0 t z dvema enako dogima jekenicama dožine = 2,2 m na koncu nosica in dveh tretjinah dožine nosica. Izračunajte, za koikšen kot je nagnjen nosiec gede na vodoravnico, ko ga žerjav dvigne. (25 )

9 2 Statika d 2.4 Eastične astnostni tees 2.3 Na sredo 2,0 m doge žice s poščino prereza,0 mm 2, ki je sprva napeta v vodoravni smeri, obesimo utež mase 0 kg. Žica se pri tem povesi za 80 mm. Koikšen je prožnostni modu žice? (2,0 0 N/m 2 ) 2.32 Žice dožine,0 m in poščine prereza,0 mm 2 iz medenine, jeka in žeeza povežemo eno za drugo. En konec tako sestavjene žice pritrdimo na strop, na drugi konec pa obesimo utež mase 0 kg. Za koiko se raztegne ceotna žica? Prožnostni modui za medenino, jeko in žeezo so,0 0 N/m 2, 2,0 0 N/m 2 in,5 0 N/m 2. Maso žic zanemarite. (2,7 mm) 2.33 Žice dožine,0 m in poščine prereza,0 mm 2 iz medenine, jeka in žeeza z ene strani pritrdimo na strop, na drugi konec pa na njih obesimo utež mase 0 kg. Za koiko se raztegnejo žice, če so njihovi raztezki enaki? Prožnostni modui za medenino, jeko in žeezo so,0 0 N/m 2, 2,0 0 N/m 2 in,5 0 N/m 2. Maso žic zanemarite. (0,22 mm)

10 II. Rešitve

11 48 Uvod v fiziko z rešenimi probemi 2.29 F p 0 F p 0 F g2 T 2 d 2 x T r g y T d T T T 3 d 3 F g F g3 F g a. Gravitacijske sie v težiščih posameznih deov Na črko U (sika evo) deujejo tri sie gravitacije posameznih deov črke s prijemaišči v njihovih težiščih F g = m g, F g2 = m 2 g in F g3 = m 3 g, ter sia podage F p. Mase posameznih deov dobimo, upoštevajoč da sta poščina

12 2 Statika 49 prereza in posedično dožinska gostota ρ ceotne paice konstantna (2.5) ρ = m 5, m = ρ = m 5 2 = 2 5 m, m 2 = ρ 2 = m 5 = 5 m, m 3 = ρ 3 = m 5 2 = 2 5 m. Za rešitev probema moramo uporabiti I. Newtonov zakon za vrtenje (2.8). Najbojša izbira izhodišča za računanje momentov si je točka 0 oziroma prijemaišče sie podage F p, ki ni podana in je ne potrebujemo. V tem primeru se zakon gasi M 0 = M 2 + M 3 M = d 2 F g2 + d 3 F g3 d F g = 0. Iz geometrije sistema vidimo, da so Končno dobimo d = sin, d 2 = 2 cos, d 3 = cos sin. 2 cos 5 mg + ( cos sin ) 2 5 mg sin 2 5 mg = 0 = tan = sin cos = 5 = = b. Gravitacijska sia v skupnem težišču Probem ahko rešimo tudi tako, da izračunamo težišče ceotne črke U (sika desno), kar smo že storii v probemu 2.7. V tem primeru je sia gravitacije ceotnega teesa zbrana samo v eni točki, zato na črko U deujeta samo dve sii, sia gravitacije F g in sia podage F p. Če I. Newtonov zakon za vrtenje (2.8) zapišemo v obesišču 0, dobimo M = r g F g = 0. Edina možnost, da je zgornji vektorski produkt enak nič, je da sta vektorja r g in F g med seboj v vzporedna. Ker je vektor F g navpičen, ahko skepamo, da je težišče točno pod obesiščem, torej ahko zapišemo tan = x T y T = 5 8 = = 32.

13 50 Uvod v fiziko z rešenimi probemi 2.30 F v h α F v2 h α y x F v α 6 d F g T 2 d α T 6 d 6 d F g 3 d Za rešitev bomo potrebovai kot med jekenico in nosicem α cos α = 3 d = α = 47. a. Sie na nosiec Na nosiec deujejo sia gravitacije F g = mg in dve sii jekenic F v in F v2 (sika evo). Za rešitev probema napišimo I. Newtonov zakon za vrtenje (2.8) okrog osi skozi težišče T M T = 2 d F v2 sin α 6 d F v sin α = 0 = F v = 3 F v2 in I. Newton zakon za premik težišča (2.7) F x = F v cos α F v2 cos α F g sin = 0, F y = F v sin α + F v2 sin α F g cos = 0. Če iz zgornjih dveh enačb izočimo zadnja čena in ju med seboj deimo dobimo tan = F g sin F g cos = (F v F v2 ) cos α (F v + F v2 ) sin α = 2 cot α = = 25.

14 2 Statika 5 b. Sie na sistem nosica in jekenic Probem ahko rešimo drugače, če kot pri prejšnji naogi upoštevamo, da je težišče točno pod obesiščem (sika desno). V tem primeru ahko napišemo 6 tan = d h, tan α = h 3 d. Če iz zgornjih dveh enačb izočimo h, dobimo tan = 2 cot α = = Eastične astnostni tees 2.3 y x 0 0 x α F F g F Ker je žica na svoji poovici upognjena, situacijo opišemo z dvema žicama poščine prereza A = 0 6 m 2 nenapete dožine 0 = m. Žici se zaradi uteži mase m = 0 kg podajšata do dožine, kar povzroči poves x = 0,08 m. Povečanje dožine vsake žice dobimo s pomočjo geometrijskega izračuna = 0 = x2 0 = 3,2 0 3 m. Podajšanje žic povzroča sia vzdož vsake žice. Zapišimo I. Newtonov zakon za premik (2.7) v y-smeri v točki stika obeh žic F y = 2F sin α F g = 0 = F = F g 2 sin α = mg 2 x mg = x2 = 630 N. 2x