9. Osnove vantne mehanie 9. NAČELA KVANTNE MEHANIKE 9.. Načelo statističnega opisa o Izida posusa s posameznim vantnim delcem ne moremo z gotovostjo napovedati (npr. ne moremo napovedati v ateri toči bo zadel zaslon naslednji eletron pri posusu, i je opisan na strani 8. o V splošnem pa so možne napovedi za množico delcev. * o Vpeljemo verjetnostno gostoto ρ = Ψ Ψ(glejte str. 8). Bistvene lastnosti interferenčne slie eletronov (str.8) razložimo s seštevanjem valovnih funcij. Valovna funcija (funcija stanja) Ψ=Ψ p= ir ( ω t) e ( p) ω = W = W + V gibalna oličina eletrona polna energija eletrona Uvedli smo funcijo stanja Ψ ( rt, ), i vsebuje vse informacije o stanju vantnega delca. Verjetnost, da se delec nahaja na izbranem mestu v volumnu dv ooli toče s rajevnim vetorjem r * je ΨΨdV, jer velja: V * ΨΨ dv = Pričaovana vrednost oordinate (povprečna oordinata ): * * = ρ d= Ψ Ψ= Ψ Ψd 8
9.. Heisenbergovo načelo nedoločenosti Werner Heisenberg (9-976) p y p y z z p Načelo nedoločenosti brani vantno mehanio. Heisenberg je ugotovil, da bi se vantna mehania zrušila vase, če bi mogli hrati natančneje izmeriti lego in gibalno oličino. Zato je predlagal, naj to ne bi bilo mogoče. Fizii so se zamislili in posušali, če jim morda to le ne bi uspelo. A nihče od njih ni mogel najti poti, po ateri bi bilo mogoče hrati natančneje izmeriti lego in gibalno oličino česaroli zaslone, eletrona, biljardne rogle. In tao vantna mehania še nadalje obstaja. (R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands: The Feynman Lectures in Physics. Quantum Mechanics, New Yor, Addison Wesley, 965, str. A-3 III). pred trom foton sipani foton eletron po tru odbiti eletron ocena: h λ λ p h 83
Če pri posusu s curom eletronov (str. 8) posusimo izmeriti sozi atero režo je šel a eletron supna verjetnostna gostota ρ = ρ+ ρ nima za dve reži značilnih interferenčnih vrhov in dolin. Verjetnostna gostota za eletrone, i so šli sozi desno režo je ρ, verjetnostna gostota za eletrone, i so šli sozi levo režo pa je ρ. izvor eletronov merilni merilni ρ ρ ρ= ρ+ ρ 9..3 Načelo superpozicije Če smo hoteli pojasniti interferenčne posuse z eletroni smo morali privzeti, da se funcije stanja Ψ (imenovane tudi valovne funcije od tod ime»valovna mehania«) laho seštevajo. To pomeni: če sta in Ψ funciji stanja je tudi vsaa linearna ombinacija Ψ Ψ= c Ψ + c Ψ tudi funcija stanja, jer sta c in c omplesni števili. Če pišemo: i Ψ=Ψ e α i in Ψ = Ψ e α potem je 84
* * ( c c ) ( c c ) Ψ =Ψ Ψ= Ψ + Ψ Ψ + Ψ = * * * * = c Ψ + c Ψ + c Ψ c Ψ + c Ψ c Ψ torej: Ψ cψ + cψ 9..4 Operatorji 9..4. Klasična mehania Dinamično stanje masne toče je popolnoma določeno v vsaem trenutu, če poznamo njeno lego in gibalno oličino. Dinamične spremenljive so: o lega, gibalna oličina o vrtilna oličina W o inetična energija o potencialna energija ( V p ) o celotna energija ( W = W + Vp) V lasični mehanii poznamo vrednosti dinamičnih spremenljiv natančno vsaj v načelu. Možno jih je izmeriti v vsaem trenutu. 9..4. Kvantna mehania Včasih imenujemo dinamične spremenljive tudi opazljive (ali observable). Vendar pa le te v vantni mehanii niso merljive brez omejitev, aor so v Newtonovi mehanii. To aže že načelo nedoločenosti. Zato je bolje ne uporabljati imena»opazljive«in ostati pri terminu»dinamična spremenljiva«. Dinamičnim spremenljivam v vantni mehanii priredimo OPERATORJE. Obravnavajmo prost delec z maso m, i se giblje vzdolž osi in ima ostro določeno gibalno oličino P= ( p,,). Že pri interferenčnih posusih z eletroni smo zapisali valovno funcijo taega delca v oblii: Ψ=Ψ p = W = ω ir ( ωt) e 85
Za poseben primer gibanja delca z ostro določeno gibalno oličino ustrezno valovno funcijo Ψ v oblii: Ψ=Ψ operator e ( ) i p Wt i Ψ= p Ψ pˆ = i definiramo ot operator omponente gibalne oličine p p v smeri -osi zapišemo pˆ y = i y pˆ z = i z Posplošitev na 3 dimenzije: ˆp = i i Ψ= W Ψ t operator ˆ W = i definiramo ot operator polne energije t Valovna funcija delca z ostro določeno gibalno oličino: Ψ Valovna funcija delca, aterega gibalna oličina ni ostro določena: Ψ Operatorji za oordinate: ˆ = yˆ = y operatorji za omponente r=, y, z zˆ = z Ker je tudi potencialna energija odvisna samo od r = (, y, z) velja: 86
Vˆ r = V ( r) Operator inetične energije: mv p W = = m ˆ pˆ T = m = m Tˆ = m operator inetične energije = + + y z Preizus (-D): prost delec z ostro določeno gibalno oličino p ( V = ) ( t ) ( e ) i p W p p Ψ = = m m m = W Lastne vrednosti operatorjev: ÂΨ= AΨ A je lastna vrednost operatorja Â Ψ je lastna funcija operatorja  V vantni mehanii uporabljamo linearne operatorje: Aˆ Ψ+Ψ = AΨ+ Ψ ˆ  Ac ˆ( Ψ+ cψ ) = c( AˆΨ ) + c( A ˆ Ψ) Produt operatorjev v splošnem ni omutativen: Aˆ, Bˆ AB ˆ ˆ BA ˆ ˆ = omutator 87
9..5 Pričaovane vrednosti Že prej smo definirali: * * ˆ = Ψ Ψ d= Ψ Ψd Posplošitev: * ˆ * -D: d d A = Ψ AΨ = AΨ Ψ = Ψ ˆ Ψ = * 3 - D: A A d V, jer dv ddydz oordinatna reprezentacija * A = Ψ A ˆ Ψdp prostor gibalne oličine 9..6 Tabela operatorjev Operatorji dinamičnih spremenljiv Dinamična spremenljiva Operator oordinata... ˆ = oordinata... y ŷ= y oordinata... z ẑ= z rajevni vetor.. r ˆr= r Vˆ = V r potencialna energija..... V( r ) omponenta gibalne oličine p pˆ = ( i) omponenta gibalne oličine p y pˆ y = ( i) y omponenta gibalne oličine p z pˆ z = ( i) z vetor gibalne oličine. p ˆp = ( i) inetična energija. W Tˆ = p m= ( h m) = ( h m)( + y + z ) polna energija... W = W + V Hˆ = Tˆ+ Vˆ 88
9. SCHRÖDINGER-jeva ENAČBA s časovno odvisnostjo Erwin Schödinger (887 96) ( V = ) Za prost delec z ostro določeno gibalno oličino Ψ=Ψ e ( ) i p Wt. Od tod pa sledi: zapišemo funcijo stanja v oblii p T Ψ= Ψ= Ψ, (9..) m m W Ψ= i Ψ= W Ψ. (9..) t Če je delec prost je V( ) =, torej TˆΨ= Wˆ Ψ, oziroma: p W =, zato velja: m Ψ= i Ψ m t časovno odvisna Schrödinger-jeva enačba za prosti delec (-D) Posplošitev na 3 dimenzije: m Ψ= Ψ i t Če na delec deluje zunanja sila F= grad V r, t p m je celotna energija H = + V ( r, t) energije: in ustrezen operator V = V. Torej je operator celotne V r t (9..3) Hˆ = +, m 89
Operator Ĥ imenujemo Hamiltonov operator (hamiltonijan). Posplošitev Schrödinger-jeve enačbe za prost delec za primer delca z od nič različno potencialno energijo V( r, t ) je torej: Ψ (, ) + V r t Ψ= i m t (9..4) Enačbo (9..4) imenujemo Schrödinger-jeva enačba s časovno odvisnostjo, atere rešitev je valovna funcija Ψ=Ψ rt,. 9
9.3 SCHRÖDINGER-jeva ENAČBA brez časovne odvisnosti Če potencialna energija V( r ) ni odvisna od časa tudi Hamiltonov operator H = + V ( r) ni odvisen od časa. m Časovno odvisno Schrödinger-jevo enačbo (9..4) posušamo v tem primeru rešiti z nastavom za valovno funcijo v oblii: Φ rt=ψ r f t (, ) ( ) (9.3.) Če vstavimo enačbo (9.3.) v enačbo (9..4) dobimo: i r f t t m V r Ψ = + Ψ r f ( ) ( t), oziroma: d f () t Ψ = Ψ + Ψ / Ψ ( r ) f ( t) i r r V r r f t dt m samo funcija t () d f t i = Ψ ( r) + V ( r) Ψ( r) f () t dt Ψ ( r) m samo funcija r (9.3.) Obe strani enačbe (9.3.) sta enai onstanti, i ju označimo z E. Le v tem primeru je namreč enačba (9.3.) rešljiva. Torej: d f () t d f i = E () t i = E f () t f () t dt, (9.3.3a) dt ( r) V( r) ( r) E. ( r) m Ψ Ψ + Ψ = (9.3.3b) Enačbo (9.3.b) zapišemo v oblii: + V r Ψ r = EΨ r m (9.3.4a) Rešitev enačbe (9.3.3a) pa je: iet f () t = Cep.(9.3.4b) 9
Ker je splošna rešitev Φ ( rt, ) =Ψ( r) f( t), ne izgubimo nič na splošnosti, če postavimo C = : iet Φ ( rt, ) =Ψ( r) ep (9.3.5) Valovno funcijo Ψ ( r ) (enačba (9.3.4a)): izračunamo iz Schrödinger-jeve enačbe brez časovne odvisnosti, + V ( r) Ψ ( r) = E m lastna lastna Hamiltonov operator funcija vrednost Ψ (9.3.6a) Zgornja enačba je enačba tipa Aˆ Ψ n= AnΨ n. Če eni lastni vrednosti An ustreza več linearnih neodvisnih lastnih funcij pravimo tem lastnim funcijam degenerirane funcije. Kaj predstavlja onstanta E, i ima dimenzijo energije? Ob upoštevanju definicije Hamiltonovega operatorja laho zapišemo enačbo (9.3.6a) v oblii: H Ψ r = EΨ r. Vidimo, da je E je lastna vrednost Hamiltonovega operatorja H Ψ ( r ) pa je ustrezna lastna funcija. Če z operatorjem polne energije ˆ W (9.3.6b) = + V r, funcija m = i delujemo na funcijo Φ (enačba (9.3.5)) dobimo: t iet iet i Ψ( r) ep = E Ψ( r) ep t, (9.3.7) jer je E lastna vrednost operatorja polne energije W = i Φ r, t t funcija. Iz enačbe (9.3.7) sledi, da je E polna energija sistema., pa je ustrezna lastna Funcija stanja ( rt) ( r) iet Φ, =Ψ ep ustreza ostro določeni polni energiji sistema. Φ rt,, E je zato enaa E: Pričaovana vrednost polne energije za t (, ) (, ) * * 3 3 E = Φ rti Φ rtd r= EΦ Φ d r= E ali 9
* * 3 3 (, ) (, ) E = Φ r t HΦ r t d r= EΦ Φ d r= E Prehod iz vantne mehanie v lasično (Newton-ovo) mehanio Ehrenfestovi enačbi ( D): d p V = dt (9.3.8a) d = m p dt (9.3.8b) Prehod marosopsim telesom: t 93
9.4 DELEC V NESKONČNI RAVNI POTENCIALNI JAMI 9.4. Klasična mehania Speter energij je zvezen. m v 9.4. Kvantna mehania V L -a +a Potencialna energija: V, a< < a =, > a (9.4.) Ker V za ρ * > =Ψ Ψ za > a Torej: Ψ = pri=± a o V področju, jer V ima Schödingerjeva enačba brez časovne odvisnosti oblio: d Ψ = E Ψ m d, oziroma d Ψ d = Ψ, (9.4.) 94
m jer smo definirali: = E (9.4.3) Splošna rešitev enačbe (9.4.) je: Ψ = Acos + Bsin (9.4.4a) Enačbi (9.4.4b) :sta hrati izpolnjeni v dveh primerih Ker zahtevamo ( a) Ψ =± =, od tod sledi: Acos a = Bsin a = (9.4.4b) Enačbi (9.4.4b) sta hrati izpolnjeni v dveh primerih: I. B =, cos a = II. A =, sin a = nπ nπ nπ nπ n = =, n=,3,5, n = =, n=,4,6, a L a L lastne funcije: Ψ = A cos lastne funcije: sin n n n Ψ = B n n n a a * n n d An Ψ Ψ = = nπ cos a a a B n = a Ψ = n Ψ = n nπ sin a a n =, 3,5, n =, 4,6, Torej: nπ I in II : n =,,,3,4,5,, L m jer smo n definirali ot n = E n (glejte enačbo (9.4.3)), od oder sledi: n n π En = =, n=,,3,4, (9.4.5) m ml SKLEP: ENERGIJA JE KVANTIZIRANA! Posledica: črtasti spetri izsevane svetlobe! 95
8 π 6 4 8 6 4 ma En Energijsi nivoji n = 4 n = 3 n = n = * Lastne funcije so ortogonalne : Verjetnostna gostota: + a Valovne funcije Ψ n Ψ 4 Ψ 3 Ψ Ψ -a a Ψ m Ψ n d=, če n m a Ψ 3 Ψ Ψ -a +a 96
o Končna potencialna jama Ψ Ψ 3 Ψ V Ψ -a +a, a< < a V = V, > a o Klasična slia: energijsi speter je vedno zvezen p če je + V < V je delec vedno ujet v potencialni jami m najmanjša možna energija je laho nič. 97
9.5 HARMONSKI OSCILATOR Potencialna energija: V() a Razvoj potencialne energije orog toče = a: V = + = + = + V ( a) ( a) V '( a) ( a) V ''( a) V V a a + ( ) je nič er je minimum Izhodišče oordinatnega sistema premanem v minimum potencialne energije: Če izberemo: = V a in a = = V Hoo-ov zaon V() o Schrödinger-jeva enačba brez časovne odvisnosti za potencialno energijo: V = : d Ψ m d + Ψ = EΨ (9.5.) Uvedemo nove brezdimenzijse spremenljive: 98
E λ =, (9.5.) ω jer je ω = m ξ = α, (9.5.3) jer je 4 m mω α = = Ob upoštevanju definicij (9.5.) in 9.5.3) iz enačbe (9.5.) sledi: d Ψ dξ ( ξ ) ( λ ξ ) ( ξ) + Ψ = (9.5.4) o Asimptotse oblia enačbe (9.5.4) za ξ ( ξ λ) d Ψ ξ Ψ = d ξ Približno rešitev enačbe (9.5.5) za : >> : ξ ( ξ) (9.5.5) ξ p ± Ψ izberemo tao, da je funcija ončna za ξ. Nastave za splošno rešitev zato napišemo v oblii: ξ e ( ξ) ( ξ) H e ξ Ψ =, (9.5.6) jer je H neznana funcija. Nastave (9.6.5) vstavimo v enačbo (9.5.4). Tao dobimo ovo enačbo za H ξ : n d H dh ξ + ( λ ) H =, (9.5.7) dξ dξ i jo imenujemo Hermitova diferencialna enačba. Rešitev Hermitove diferencialne enačbe so Hermitovi polinomi H ( ξ ), jer λ = n+, n=,,,3,4,5,... (9.5.8) n 99
Hermitovi polionomi: H H H H H ( ξ ) ( ξ) ( ξ) 4ξ 3 3 ξ = 8ξ ξ 4 = = ξ = ξ = ξ ξ + 4 6 48 Ob upoštevanju enačbe (9.5.8) in enačbe (9.5.) sledi: E n ω = +. Iz enačbe (9.5.9) pa laho izrazimo lastne energije: En = ω n+, n=,,,3,..., (9.5.) jer ω =. m En = ω n+, n=,,,... V hυ E E 4 E 3 E E Lastne funcije so torej: ( ξ) ( ξ) ξ Ψ = N H e, n=,,,3. (9.5.) n n n * Vrednosti normalizacijse onstante N n določimo iz pogoja Ψ Ψ d = : Nn ( α π!) n n + n n ξ = (9.5.)
Verjetnostna gostota: Ψ n n = -3 - - 3 n = -3 - - 3 n = -3 - - 3 a) Primer: -atomna moleula, atere atoma sta vezana z efetivno interacijso silo, i jo opišemo v oviru Hooovega zaona z efetivno interacijso onstanto : m ω = µ, mm µ = m + m V(r) V() r = a r m µ reducirana masa integracijsa onstanta = V En = ω n+, n=,,,3
Tabela: Osnovne vibracijse frevence in efetivna interacijsa onstanta za neatere -atomne moleule moleula frevenca absorbcije svetlobe za prehod iz stanja n= v stanje n= interacijsa onstanta [N/m] HF 3 8.7 Hz 97 HCl 3 8.66 Hz 48 HBr 3 7.68 Hz 4 HI 3 6.69 Hz 3 CO 3 6.4 Hz 86 NO 3 5.63 Hz 53 Iz: G. M. Barrows, The Structure of Molecules, New Yor, W. A. Benjamin, 963.
9.6 VODIKOV ATOM 7 Vodiov atom se sestoji iz protona z maso =.67 g in nabojem + e ter eletrona 3 z maso m e = 9. g in nabojem e. V težiščnem sistemu protona in eletrona je: r T = m r p p e e ( mp + me) m p + m r =, (9.6.) jer je r rajevni vetor iz izhodišča težiščneg a oordinatnega sistema do protona in p rajevni vetor do eletrona. Iz enačbe (9.6.) sledi: m r + m r = p p e e Enačbo (9.6.) odvajamo po času: m p d r p dt oziroma: m v r e (9.6.) d re + me =, (9.6.3) dt + m v =, (9.6.4) p p e e dr p dre jer je vp = hitrost protona in ve = hitrost eletrona. Iz enačbe (9.6.4) sledi: dt dt me vp = ve. (9.6.5) m p me Ker je << od tod sledi, da je v težiščnem sistemu vodiovega atom (proton in eletron): m p v << v (9.6.6) p e Zato je tudi inetična energija protona: m e m W, p= mpvp= mp ve = meve m p m velio manjša od inetične energije eletrona: W e, e e e p, (9.6.7) = m v, (9.6.8) 3
torej: mpvp << meve. (9.6.9) Na osnovi veljavnosti neenačbe (9.6. 9) v Schrödingerjevi enačbi za vodiov atom v prvem približu upoštevamo samo inetično energijo eletrona. Zato v prvem členu Schrödingerjeve enačbe brez časovne odvisnosti (9.3.6) za maso m vstavimo ar maso eletrona : + m V r e Ψ ( r) = EΨ( r), (9.6.) m e jer je y z = + + in V ( r) e =, (9.6.) 4π ε r eletrostatsa potencialna energija eletrona v eletričnem polju protona, jer je r= + y + z razdalja med protonom in eletronom. Zaradi velio večje mase protona od mase eletrona m e je namreč izhodišče težiščnega oordinatnega sistema pratično ar na mestu protona. Stacionarna Schrödingerjeva enačba (9.6.) za vodiov atom v resnici rešujemo v sferičnih oordinatah. Po daljšem računu dobimo za lastne vrednosti energije (glejte primer J. Strnad: Fizia III): m p E n = me = 3.6 ev, 3π ε 4 n n (9.6.) jer je glavno vantno število n =,, 3, 4,. (9.6.3) Enačba (9.6.) je enačba (8.4.9), i smo jo uporabili za opis črtastega emisijsega spetra vodiovega atoma (str. 8) 4
9.7 ENERGIJSKI PASOVI V KRISTALIH Zaradi enostavnosti se bomo omejili na periodični Krönig Penney-ev potencial. o periodična potencialna energija eletrona v ristalu ( dimenzionalni primer): V( + L ) = V v jami: V med jamami: = V V( ) = V a - L a V Slia 9.7.: Periodična potencialna energija s pravootnimi odsei, imenovana Krönig Penney-ev potencial. Perioda ima dolžino L (Brensden & Joachim, ). Schödingerjeva enačba ( V E ) L < < : v jami: d Ψ V Ψ= EΨ, (9.7.a) m d med jamami: d Ψ = E Ψ. m d (9.7.b) V nadaljevanju uvedemo novi spremenljivi: m m β = ( V E ) in α + = E, tao, da enačbi (a) in (b) preideta v: v jami: d Ψ d + β Ψ =, (9.7.a) med jamami: d Ψ d α Ψ =. (9.7.b) 5
o Rešitev enačb (a) in (b) iščemo z nastavom (Blochov teorem): ( ) e i u Ψ = (9.7.3) je realen u je periodična funcija s periodo L, jer je L perioda ristala Enačba (9.7.3) upošteva, da eletron v ristalni mreži ne pripada samo enemu izbranemu atomu, pač pa je verjetnost, da ga najdemo v bližini ateregaoli atoma v ristalni mreži enaa. Zapišemo rešitev enačb (9.7.a) in (9.7.b) v področju ene celice v ristalu (a-l < < a): v jami: iβ iβ Ψ= Ae + Be, a L< <, (9.7.3 a) α α izven jame: Ψ= Ce + De, < < a. (9.7.3 b) Iz enačb (9.7.3), (9.7.3 a) in (9.7.3 b) sledi: ( β ) ( β+ ) v jami: u = Ae + Be, a L< <, (9.7.3a) i i ( α ) ( α ) izven jame: u = Ce + De, < < a. (9.7.3b) i + i E Dodatna zahteva: zveznost Ψ in V a - L a Ψ ' na obeh robovih vsae potencialne jame, L L celica torej zveznos t Ψ in prvega odvoda ' Ψ ' (ozirom u in u ) pri = a L in =. ' Iz zahteve po zveznosti u in prvega odvoda u pri =, to je na desnem robu potencialne jame, dobimo: A + B = C + D, (9.7.4a). i β A i β + B= α i C α+ i D. (9.7.4b) funcijo v tem intervalu dobimo zaradi periodičnosti s transformacijo L, torej: ( β )( ) ( β+ )( ) i L i L u = Ae + Be a 6
' Iz zahteve po zveznosti u in u pri levem robu potencialne jame = a - L dobimo: ( β ) i( β ) ( α ) ( α ) i b + b i a + i a Ae + Be = Ce + De, (9.7.5a) i ( β ) jer b = L-a. ( β ) ( β+ ) ( α ) β + = α α+ i b i b i a Ae i B e i C e i D e ( α+ ) i a, (9.7.5b) Enačbe (9.7.4a), (9.7.4b), (9.7.5a) in (9.7.5b) so štiri homogene enačbe za A, B, C in D. Pogoj za netrivialno rešitev tega sistema enačb je det S = : ( α β ) α β sinh ( αa) sin ( βb) + cosh ( α a) cos ( βb) = cos( L), (9.7.6) jer smo predpostavili V < E<, ar ustreza vezanim stanjem.. Enačba (9.7.6) velja prav tao tudi za primer, o je E >, jer m α =, torej: ' in zato E < α= iα : ' ' ( α β ) α β sin ( α' a) sin ( βb) cos ( α' a) cos ( βb) cos( L) + + = (9.7.7) o Enačbo (9.7.6) zapišemo v oblii: f ( E) cos( L ) = (9.7.8) Ker je ( L) f ( E) slio 9.7.). cos za vse vrednosti parametrov modela (glejte f(e) E - Slia (9.7.): Odvisnost f(e), i predstavlja levo stran enačbe (6), ot funcija energije E. Temne črte na abscisni osi označujejo dovoljene vrednosti E, i ustrezajo prevodnim pasovom. Prevodni pasovi so ločeni s prepovedanimi energijsimi pasovi področja E, i niso označena s temnimi črtami. 7
o Vrednosti -jev (število energijsih nivojev) Zapišem o periodični robni pogoj za cel sistem v oblii (glejte še slio 9.7.): ( ) ( NL) Ψ = =Ψ = (9.7.9) N - Ob upoštevanju i Ψ=e u iz zgornjega pogoja (9.7.9) sledi: ) inl eu = = e u = NL. (9.7.a) O ( b upoštevanju u = u ( + L), torej tudi u ( = ) = u ( = NL ) e = e inl iz enačbe (9.7.a) sledi, torej: (9.7.b) inl e = cos NL + sin NL = (9.7.) Iz enačbe (9.7.) pa sledi: NL = n π, n =, ±, ±... Torej: nπ =, n =, ±, ±,... NL Zaradi periodičnosti funcij se torej E ne spremeni, če π + n. L Torej aterioli interval -ja širine π zadostuje za našo obravnavo. L Izberemo π π < < L L N dovoljenih vrednosti za (oziroma E), jer je N število atomov v ristalu Znotraj energijsih pasov (slia 9.7.) za izbrano vrednost -ja v intervalu π π < < izračunamo ustrezno energijo nivoja iz enačbe (9.7.8). L L 8
o Disusija: o se razdalja med potencialnimi jamami L povečuje (glejte še slio 9.7.), se energijsi pasovi za V < E< ožajo. V limiti L se srčijo v disretne energijse nivoje izoliranih ončnih potencialnih jam. E E 3 L E E o Izolator: izolator ima pri absolutni temperaturi T = K zapolnjen valenčni pas in prazen prevodni pas. Fermijev n ivo leži neje vmes med obema pasovoma, veliost E ev. g prevodni pas energija E E g energijsa špranja E= E F valenčni pas E = o Kovina: zasede nost energijsih nivojev v ovini. energija E ovina 9
o Polprevodnii: v polprevodniih se eletroni vzbudijo iz zgornjega valenčnega pasu v dno prevodnega pasu. prevodni pas energija E E g valenčni pas Tabela: Širina energijse špranje E za neaj polprevodniov* Kristal E g ( ev) K 3 K Si.7.4 Ge.744.67 InP.4.35 GaP.3.6 GaAs.5.43 CdS.58.4 CdTe.67.45 Zno 3.436 3. ZnS 3.9 3.6 *Podati so vzeti iz: C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 5 th ed., New Yor, John Wiley & Sons, 976. g prevodni pas energijsa reža donorsi nivo valenčni pas eletron aceptorsi nivo vrzel Slia 9.7.3: Dopiran polprevodni z donorsimi in aceptorsimi nivoji. Dodatna literatura:
o J. Strnad (Fizia III in drugi učbenii), o Brönsden & Joachain: Quantum mechanics,, o Serway: Physics with Modern Physics (.nd), o Halliday, Resnic, Waler: Fundamentals of Physics (etended), 4 th ed.