Poglavje 3. Gibanje v treh dimenzijah
|
|
- Λυσάνδρα Δασκαλόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Poglavje 3 Gibanje v treh dimenzijah Posplošimo dosedanja spoznanja na trorazsežni prostor. Valovna fukcija je tedaj odvisna od treh koordinat in časa, Ψ (x, y, z, t). Njen absolutni kvadrat je gostota verjetnosti, da najdemo delec v volumnu dv = dx dy dz okoli točke (x, y, z). Ker se mora delec nahajati nekje v prostoru, je Ψ Ψ dx dy dz =1 Fizikalne količine predstvljajo operatorji, ki delujejo na funkcije treh koordinat. Povprečje nekefizikalnekoličine izračunamo podobno kot v eni dimenziji: A = Ψ AΨ dx dy dz Vklasični mehaniki je gibalna količina vektor s tremi komponentami. Zato ima tudi v kvantni mehaniki operator gibalne količine tri komponente: p=(p x, p y, p z )= i h x, y, = i h z Znak (nabla) je običajni simbol za vektor odvodov po vseh treh koordinatah. Vektorski operator položaja r je seveda kar množenje s koordinatami rψ (x, y, z) =(xψ, yψ, zψ) Vklasični fiziki je kinetična energija W kin = p p/2m = p 2 x + p 2 y + p 2 z /2m. Operator kinetičneenergijenaenaknačin tvorimo iz operatorja gibalne 1
2 2 POGLAVJE 3. GIBANJE V TREH DIMENZIJAH količine: W kin = 1 p 2 x + p 2 y + p 2 h 2 z = 2m 2m 2 x y + 2 = h2 2 z 2 2m 2 Hamiltonov operator polne energije je vsota operatorjev kinetične in potencialne energije H = W kin + V (r) Schroedingerjeva enačba v treh razsežnostih je HΨ(r,t) =i h Ψ t ali h2 2m 2 Ψ(r,t)+V (r)ψ(r,t) =i h Ψ t Stacionarne rešitve Schroedingerjeve enačbe imajo časovno odvisnost e iωt in so lastne funkcije Hamiltonovega operatorja, torej zadoščajo staionarni Schroedingerjevi enačbi h2 2m 2 ψ (r)+v (r) ψ (r) =Wψ(r) Stanje prostega delca z dobro določeno gibalno količino je raven val v treh razsežnostih: Ψ(r,t) =Ae i(kxx+kyy+kzz ωt) = Ae i(k r+ωt) (3.1) Lastne vrednosti komponent gibalne količine so enako kot v eni dimenziji p i = hk i. Ravni val je tudi lastno stanje energije z lastno vrednostjo W = hω = h2 2m (k2 x + k 2 y + k 2 z). 3.1 Trirazsežna neskončna potencialna jama Poglejmo, kakšna so lastna stanja energije za delec v trirazsežni potencialni jami v obliki kocke z robom ȧ. Podobno kot v eni razsežnosti bomo vzeli, da je potencialna energija 0 za x, y in z med 0 in a in
3 3.1. TRIRAZSEŽNA NESKONČNA POTENCIALNA JAMA 3 neskončna povsod drugje. Zato se mora delec nahajti z vsemi tremi koordinatami znotraj intervala (0, a), valovna funkcija na mejah te kocke pa mora biti 0. Tako potencialno jamo si lahko predstavljamo kot kockasto votlino z idealno togimi stenami. Stacionarna Schroedingerjeva enačba znotraj kocke je h2 2m 2 ψ x + 2 ψ 2 y + 2 ψ 2 z 2 = Wψ(x, y, z) (3.2) V eni dimenziji so bile rešitve stoječi valovi oblike A sin (nπx/a). Trirazsežni ravni val 3.1 lahko zapišemo kot produkt treh prostorskih funkcij e ik xx e ik yy e ik zz,zatoposkusimotudirešitev za potencialno jamo zapisati kot produkt treh stoječih valov ψ (x, y, z) =A sin k 1 x sin k 2 y sin k 3 z Postavimotanastavekvenačbo 3.2. Dobimo zvezo h 2 k 2 2m 1 + k2 2 + k3 2 ψ = Wψ Nastavek je torej dobra rešitev enačbe 3.2. Da določimo možne vrednosti za k i,moramoupoštevati še robne pogoje, da je ψ (x, y, z) =0če je katerakoli koordinata 0 ali a. Prix =0,y=0inz =0smorobnemu pogoju že zadostili z izbiro sinusnih funkcij. Vsi trije sinusi morajo biti 0tudi,kadarjex = a, y = a ali z = a, zatomorabitik i a = nπ in dobimo k i = n iπ a Lastne vrednosti energije so torej dane s tremi kvantnimi števili n 1,n 2 in n 3 : W n1 n 2 n 3 = h2 π 2 n 2 2ma n n 2 3 Tu smo prvič naleteli na pojav degeneracije lastnih stanj energije. Izbrano lastno vrednost energije lahko dobimo z različnimi vredostmi za n 1,n 2 in n 3, tako da ustreza vsaki lastni vrednosti energije več lastnih stanj in pravimo, da so lastna stanja degenerirana. Prvo vzbujeno lastno stanje na primer dobimo tako, da vzamemo za enega od n i vrednost 2, za preostali dve kvantni števili pa 1. Očitno to lahko naredimo na tri načine.
4 4 POGLAVJE 3. GIBANJE V TREH DIMENZIJAH 3.2 Trirazsežni harmonski oscilator Podobno lahko obravnavamo posplošitev harmonskega oscilatorja na tri razsežnosti. Vzemimo. da je delec v potencialu oblike V (r) = 1 2 Kr2 = 1 2 K x 2 + y 2 + z 2 Stacionarna Schroedingerjeva enačba je h2 2 ψ 2m x + 2 ψ 2 y + 2 ψ z 2 2 K x 2 + y 2 + z 2 ψ = Wψ(x, y, z) Robni pogoj je, da je valovna funkcija v neskončnosti (v vseh smereh) nič. Spet poskusimo najti rešitev v obliki produkta Postavimo to v Sch. enačbo: h2 2m vw d2 u dx + uw d2 v 2 dy + uv d2 w 2 dz 2 Delimo obe strani z uvw : h2 1 d 2 u 2m u (x) dx Kx2 h2 1 2m v (y) ψ (x, y, z) =u (x) v (y) w (z) K x 2 + y 2 + z 2 uvw = Wuvw d 2 v dy Ky2 h2 2m 1 d 2 w w (z) dz Kz2 = W Na desni imamo vsoto treh izrazov, ki je vsak funkcija le ene spremenljivke, na desni pa konstanto, neodvisno od x, y in z. Tojezavse vrednosti koordinat možno le tako, da je vsak člen na levi enak neki konstanti: h2 1 d 2 u 2m u (x) dx Kx2 = λ 1 h2 1 d 2 v 2m v (y) dy Ky2 = λ 2 h2 2m 1 d 2 w w (z) dz Kz2 = λ 3
5 3.3. NEDOLOČENOST IN KOMUTATOR DVEH OPERATORJEV5 Lastna vrednsost energije je W = λ 1 + λ 2 + λ 3. Enačbe za u, v in w imajonatankoenakooblikokotenčba za lastne vrednosti harmonskega oscilatorja v eni dimenziji. Tudi robni pogoji so enaki: vrednosti funkcij vneskončnosti morajo biti nič. Zato morajo biti tudi lastne vrednosti λ i = hω n kjer so n i =0, 1, 2,...Energija je torej dana s tremi kvantnimi števili: W n1 n 2 n 3 = hω n 1 + n 2 + n Ustrezne valovne funkcije so produkti enodimenzionalnih valovnih funkcij za vse tri smeri. Harmonski oscilator v treh dimenzijah se torej obnaša kot trije neodvisni harmonski oscilatorji. Tudi v tem primeru so lastna stanja degenrirana, saj lahko isto vrednost energije dobimo z različnimi vrednostmi n i. Uporabljenemu postopku, ko poskušamo napisati rešitev parcialne diferencialne enačbe kot produkt funkcij posameznih koordinat, pravimo metoda ločitve (separacije) spremenljivk. 3.3 Nedoločenost in komutator dveh operatorjev Preden nadaljujemo z obravnavo trirazsežnega gibanja, si poglejmo povezavo med produktom nedoločenosti dveh količin in njunim komutatorjem, ki je definiran kot A, B = A B B A Vzemimo operatorja položaja x in gibalne količine p = i h / x. Njun komutator je po pravilih odvajanja produkta [x, p] = i h x x x x = = i h x x x x x = i h x
6 6 POGLAVJE 3. GIBANJE V TREH DIMENZIJAH Torej [x, p] =i h (3.3) Vrstni red delovanja operatorja položaja in gibalne količine je torej pomemben. [Če komu gornji računček z operatorji dela težave, si lahko misli, da komutator deluje na poljubno funkcijo: [x, p] ψ = i h = i h x ψ x x xψ = x ψ x x ψ x ψ x x = i hψ Ker je funkcija ψ (x) poljubna, sledi, da mora veljati enačba 3.3.] Če operatorja dveh fizikalnih količin ne komutirata, ne obstoja stanje, v katerem bi bile vrednosti obeh količin ostro določene. Če bi tako stanje ψ AB obstajalo, bi moralo biti hkrati lastno stanje obeh operatorjev: Aψ AB = Aψ AB Bψ AB = Bψ AB Na prvo enačbo delujmo z B,nadrugopaz A: B Aψ AB = A Bψ AB = ABψ AB A Bψ AB = B Aψ AB = ABψ AB Za zadnjim enačajem smo lahko zamenjali A in B, kerstatolastni vrednosti, torej navadni števili. Odštejmo enačbi med seboj, pa imamo A, B ψ AB =0 Ker smo predpostavili, da A in B ne komutirata, da je torej A, B =0, vidimo, da ne moreta imeti hkrati ostro določene vrednosti. Njun produkt nedoločenosti δaδb je različen od nič. *Zadnji korak tega izvajanja ni neoporečen, stanje ψ AB bi lahko bilo lastno stanje komutatorja A, B z lastno vrednostjo 0. Za položaj in gibalno količino to ni mogoče, ker je [x, p] =i h konstanta. Vendar
7 3.3. NEDOLOČENOST IN KOMUTATOR DVEH OPERATORJEV7 velja ugotovitev splošno, kar se lahko prepričamo na naslednji način, ki nam bo dal tudi kvantitativno zvezo med pričakovano vrednostjo komutatorja in produktom nedoločenosti. Najprej definirajmo operatorja δa = A A in δb = B B. Pričakovani vrednosti δa 2 in δb 2 sta kvadrata nedoločenosti obeh operatorjev. Ker števila komutirajo med seboj, je A, B = δa, δb. Tvorimo nov operator δa + iqδb δa iqδb,kjerjeq poljuben. Pričakovana vrednost tega operatorja je večja od nič: 0 δ A + iqδ B δ A iqδ B = = δ A 2 + iq δ Aδ B iq δ Bδ A + q 2 δ B 2 = = δ A 2 + iq δ A, δ B + q 2 δ B 2 = F (q) Poiščimo q 0, pri katerem ima F (q) minimum. Iz F (q 0 )=0dobimo δ A, δ B q 0 = i 2 δ B 2 Pričakovana vrednost komutatorja dveh fizikalnih količin mora biti imaginarna, zato je q 0 realen. Dobljeni ekstrem je minimum, ker je q 2 δb 2 > 0. Postavimo q 0 v gornjo neenačbo in dobimo 0 δa 2 δb δ A, 2 δb 2 1 δ A, 4 δb 2 0 δa 2 δb δ A, δb 2 4 Korenimo, pa imamo δa δb 1 2 δ A, δb 1 = 2 A, B Vzemimo kot primer položaj in gibalno količino. Komutator je [x, p] = i h, od koder z uporabo gornje formule dobimo že znano Heisenbergovo zvezo δxδp 1 2 h *
8 8 POGLAVJE 3. GIBANJE V TREH DIMENZIJAH Komponente gibalne količine med seboj komutirajo, saj je vrstni red odvodov po različnih koordinatah nepomemben. Zato so ravni valovi v treh razsežnostih lahko hkratna lastna stanja vseh treh komponent gibalne količine. Ni tudi nobenih omejitev pri nedoločenosti na primer δx in δp y,kerodvajanjepoy komutira z množenjem z x. 3.4 Vrtilna količina Lotimo se obravnave vrtilne količine. Klasično je vrtilna količina za delec glede na izbrano izhodišče Γ = r p =(yp z zp y,zp x xp z,xp y yp x ) Operator vrtilne količine,kigabomooznačevali z l, dobimo tako, da v klasični izraz postavimo operator gibalne količine: l = l x, l y, l z = i h y z z y,z x x z,x y y x Poglejmo komutator l x, l y = l x l y l y l x = = h 2 y z z z y x x z z x x y z z z = y = h 2 [y 2 + yz x z x 2 z2 y x 2 2 xy + xz z2 y z zy 2 z x + 2 z2 y x x 2 2 xz + xy y y z z ] 2 = i h l z S ciklično permutacijo koordinat dobimo še l y, l z in l z, l x. Tako imamo komutacijska pravila l x, l y = i h l z (3.4) l y, l z = i h l x l z, l x = i h l y
9 3.4. VRTILNA KOLIČINA 9 Operatorji, ki med seboj ne komutirajo, ne morejo imeti hkrati ostro določenih vrednosti, to je, ni stanj, ki bi bila hkrati lastna stanja vseh treh komponent vrtilne količine. To je drugače kot pri gibalni količini, kjer komponente komutirajo. Izberemo si lahko le eno komponento in poiščemo njena lastna stanja in lastne vrednosti. Običajno se odločimo za komponento l z. Zanima nas še kvadrat velikosti vektorja vrtilne količine l 2 = l x 2 + l y 2 + l z. 2 Poglejmo, ali ta operator komutira s komponentami. Za to izračunajmo l z, 2 l x = l z 2 l x l x l z l x + l x l z l x l x lz 2 = = l z l z, l x + l x, l z l z =0 V prvi vrstici smo prišteli in odšteli l x l z l x. Ker taka zveza velja za vsak par koordinat, operator l 2 komutira z vsemi komponentami, tako da lahko poiščemo hkrati lastne vrednosti in lastne funkcije za l 2 in l z. Vzemimo, da imamo dve telesi, ki sta povezani s togo ročko. Takemu objektu recimo rotator. Temu modelu se približa dvoatomna molekula. Zanima nas vrtenje take ročke. Njen položaj najlažje podamo tako, da navedemo kot θ med ročko in osjo z in kot φ med projekcijo ročke na ravnino xy in osjo ẋ, torej kote krogelnih koordinat. Stanje rotatorja bo podano s funkcijo ψ (θ, φ). Poiskati želimo lastne vrednosti in lastne funkcije operatorjev l z in l 2. Zatojumoramonajprejizrazitiv krogelnih koordinatah. Iz zvez x = r cos φ sin θ y = r sin φ sin θ z = r cos θ po nekoliko daljšem, a preprostem računu dobimo l x = i h l y = i h l z = i h φ sin φ ctgθ cos φ θ φ cos φ θ ctgθ sin φ φ
10 10 POGLAVJE 3. GIBANJE V TREH DIMENZIJAH l 2 = h 2 2 θ +ctgθ 2 θ sin 2 θ φ 2 Z izrazom za l z lahko nekoliko bolje razumemo, zakaj ni mogoče hkrati ostro določiti vseh treh komponent vrtilne količine. Podobno kotjeoperatorzapoložaj x kar množenje z x, je operator za kot kar množenje s φ. To seveda ne komutira z odvajanjem po φ, torej s komponento z vrtilne količine. Velja enako komutacijsko pravilo kot za x in p, toje φ, l z = i h. Zatotudinimogoče hkrati ostro določiti φ in lz. Produkt nedoločenosti je δφ δl z h/2. V lastnem stanju l z je δl z =0 in je φ popolnoma nedoločen in so vse vrednosti φ enako verjetne. To pomeni, da je tudi projekcija osi vrtenja na ravnino xy popolnoma nedoločena in ne moremo ničreči o komponentah x in y vrtilne količine. Določimo sedaj lastne vrednosti in lastne funkcije l z. Ta operator deluje le na funkcije φ, zato zapišemonjegovalastnastanjakotφ(φ) : i h Φ φ = l zφ Rešitve te enačbe imajo obliko Φ = Ae imφ,kjerjem = l z / h. Ker predstavlja φ+2π isto točko kot φ,morabitiφ(φ)periodičnafunkcijasperi- odo 2π. Topomeni, dajem celo število. Lastne vrednosti komponente z vrtilne količine so torej l z = hm, lastne funkcije pa Φ m = Ae imφ. Konstanto A določimo s pogojem, da mora biti valovna funkcija normalizirana: 2π 0 Φ Φ dφ =1,takodajeA =1/ 2π. Poglejmo še lastne vrednosti in lastne funkcije l 2.Tesoneposredno povezane z lastnimi vrednostmi energije vrtenja, saj je klasično rotacijska energija prečke W rot = Γ 2 /2J, kjer je J vztrajnostni moment prečke glede na os, ki je pravokotna na prečko in gre skozi težišče. Zato je iskanje lastnih vrednosti in lastnih funkcij l 2 enakovredno reševanju stacionarne Schroedingerjeve enačbe za rotator. Označimo lastne fukcije z Y (θ, φ) inimamo 2 Y θ 2 Y +ctgθ θ + 1 sin 2 θ 2 Y = λy (θ, φ) φ2 Lastna vrednost l 2 je h 2 λ.enačbo spet rešimo tako, da zapišemo Y =
11 3.4. VRTILNA KOLIČINA 11 Θ(θ)Φ(φ). Enačbo množimo s sin 2 θ in delimo z ΘΦ in dobimo 1 Θ sin2 θ d2 Θ dθ + 1 dθ sin θ cos θ 2 Θ dθ λ sin2 θ = 1 d 2 Φ Φ dφ 2 Desnastranjelefunkcijaθ, levapasamofunkcijaφ, zato mora biti vsaka stran posebej enaka konstanti, recimo ji m 2. Rešitve za Φ so lastne funkcije l z Φ=e imφ kjer je m celo število. Preostala enčbazaθinlastnovrednostλ je bolj zapletena in podrobnosti reševanja ne bomo navajali. Pot je podobna kot pri iskanju lastnih funkcij in lastnih vrednosti harmonskega oscilatorja. Rešitve iščemo v obliki vrste po cos θ. Vrsta konvergira za vse θ le, če se konča, torej če je polinom. To nam da možne vrednosti λ = l (l +1), kjer je l =0, 1, 2... Veljati mora tudi m l. Za m = 0 so lastne funkcije Legendreovi polinomi P l (cos θ), ki so stopnje l in so sodi za sode l in lihi za lihe l. Če je m = 0,solastnefunkcijepridružene Legendreove funkcije Pl m (cos θ), kjer je Pl m (ξ) = 1 ξ 2 m/2 d m dξ P m l (ξ) Lastne funkcije operatorja l 2 so torej Y lm (θ, φ) =A lm P m l (cos θ)e imφ (3.5) Konstanta A lm je določena z normalizacijskim pogojem π 2π YlmY lm dω= YlmY lm dφ sin θdθ =1 0 0 Integrirati moramo po vsem prostorskem kotu, to je, po vsej površini enotne krogle. Funkcijam Y lm (θ, φ) pravimokrogelne funkcije. Lastne vrednosti operatorja kvadrata velikosti vrtilne količine so l 2 = h 2 l (l +1) lastne vrednosti projekcije vrtilne količine na os z pa l z = hm
12 12 POGLAVJE 3. GIBANJE V TREH DIMENZIJAH Pri tem je l =0, 1, 2... in m = l, l +1,...l 1,l. Prvih nekaj sferičnih funkcij je Y 00 = 1 4π Y 10 = 3 cos θ Y 4π 1±1 = 3 sin θe±iφ 8π Y 20 = 5 8π (3 cos2 θ 1) Y 2±1 = 15 8π sin θ cos θe±iφ Y 2±2 = 15 32π sin2 θe ±2iφ Nekaj jih je predstavljenih tudi na naslednjih slikah Y 10
13 3.4. VRTILNA KOLIČINA 13 Y 11 Y 20 in Y 21 Lastne vrednosti za kvadrat velikosti vrtilne količine so degenerirane. Vsaki vrednosti l ustreza 2l + 1 vrednosti m in prav toliko različnih sferičnih funkcij. Sferičnefunkcijesomedsebojortogonalne: Y l m Y lmdω = π 2π 0 0 Y l m Y lmdφ sin θdθ= δ l lδ m m
14 14 POGLAVJE 3. GIBANJE V TREH DIMENZIJAH Vsako funkcijo na krogli, to je funkcijo θ in φ lahko zapišemo kot razvoj po sferičnih funkcijah. Funkcije Y lm opisujejo stanje rotatorja, to je objekta, za katerega bi klasično morali navesti orientacijo v prostoru in kako se ta spreminja, to je, vektor vrtilne količine. Absolutni kvadrat Y lm 2 predstavlja gostoto verjetnosti, da je prečka usmerjena v okolico dω kotov θ in φ. Pri gibanju točkastega delca imamo v kvantni mehaniki lahko stanje, v katerem so ostro določene tri komponente gibalne količine - ravni val -pri čemer so koordinate nedoločene. Pri vrtenju prečke ne moremo ostro določiti niti vseh treh komponent vrtilne količine, temveč le enokomponento z - in velikost vrtilne količine. Orientacija prečke v ravnini xy je popolnoma nedoločena, zato morata biti nedoločeni tudi x in y komponenti vrtilne količine. Geometrijsko si vrtilno količino lahko predstavljamo takole. Vemo, kolikšna je njena velikost in vemo, kolikšna je projekcija na os z, tako da mora pri vsakem m ležati na nekem stožcu okoli osi z, kotkaže slika. Edino kadar je vrtilna količina 0, so vse tri komponente tudi 0 in s tem ostro določene. Ustrezna krogelna funkcija je konstanta, prečka torej z enako verjetnostjo kaže v katerokoli smer v prostoru.
15 3.4. VRTILNA KOLIČINA 15 Energija vrtenja rotatorja je dana z velikostjo vrtilne količine: W rot = Γ2 2J = h2 l (l +1) 2J kjer je J vztrajnostni moment. Če je dolžina prečke L in masa na vsakem koncu m, je J = ml 2 /2. Primer takega rotatorja predstavlja molekula dveh enakih atomov. Res meritve infrardečih spektrov pokažejo, da se energijski razmik med lastnimi stanji energije zaradi vrtenja molekule enakomerno povečuje, kot pričakujemo po gornji formuli: W rot = h2 [l (l +1) (l 1) l] = h2 2J J l VzemimozaprimermolekuloH 2. Vrednost h 2 /2J = h 2 /m H L 2 = h 2 c 2 /m H c 2 L 2 =(200eVnm) 2 /(10 9 ev 10 2 nm 2 )= ev da prehode v daljnem infrardečem področju, to je pri valovnih dolžinah okoli 0,1mm.
Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότεραKvantni delec na potencialnem skoku
Kvantni delec na potencialnem skoku Delec, ki se giblje premo enakomerno, pride na mejo, kjer potencial naraste s potenciala 0 na potencial. Takšno potencialno funkcijo zapišemo kot 0, 0 0,0. Slika 1:
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραOdvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραMatematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραe 2 4πε 0 r i r j Ze 2 4πε 0 r i j<i
Poglavje 9 Atomi z več elektroni Za atom z enim elektronom smo lahko dobili analitične rešitve za lastne vrednosti in lastne funkcije energije. Pri atomih z več elektroni to ni mogoče in se moramo zadovoljiti
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραSTRUKTURA ATOMOV IN MOLEKUL
Vsebina: Osnovni principi kvantne mehanike: Enostavni modeli in aproksimacije: kvantni pojavi, dvojnost valovanje-delec, načelo nedoločenosti, Schrödingerjeva enačba, valovna funkcija, verjetnostna gostota,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραValovna mehanika. Makroskopski hodci
42 Valovna mehanika Valovni delci Makroskopski hodci Ansambli in valovne funkcije Ravni valovi in valovni paketi Razmazanost gibanja Kvantni gibalni zakon Lastne funkcije energije Sipanje na potencialni
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe (študijsko gradivo) Matija Cencelj 1. maja 2003 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Preprosti primeri......................... 8 2 Diferencialne enačbe prvega reda 11 2.1 Ločljivi spremenljivki.......................
Διαβάστε περισσότεραMehanika. L. D. Landau in E. M. Lifšic Inštitut za fizikalne naloge, Akademija za znanost ZSSR, Moskva Prevod: Rok Žitko, IJS
Mehanika L. D. Landau in E. M. Lifšic Inštitut za fizikalne naloge, Akademija za znanost ZSSR, Moskva Prevod: Rok Žitko, IJS 2. januar 2004 Kazalo 1 Gibalne enačbe 4 1 Posplošene koordinate...............................
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότεραAfina in projektivna geometrija
fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +
Διαβάστε περισσότεραFrekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραNajprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki:
NALOGA: Po cesi vozi ovornjak z hirosjo 8 km/h. Tovornjak je dolg 8 m, širok 2 m in visok 4 m in ima maso 4 on. S srani začne pihai veer z hirosjo 5 km/h. Ob nekem času voznik zaspi in ne upravlja več
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK
abc MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE PRIBLIŽNO RAČUNANJE Ta fosil dinozavra je star 7 milijonov in šest let, pravi paznik v muzeju.??? Ko sem
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko
Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan
Διαβάστε περισσότεραPoglavje 10. Molekule Kovalentna vez
Poglavje 10 Molekule Atomi se vežejo v molekule. Vezavo med atomi v molkuli posredujejo zunanji - valenčni elektroni. Pri vseh molekularnih vezeh negativni naboj elektronov posreduje med pozitinvimi ioni
Διαβάστε περισσότεραUvod v Teoretično Fiziko. Rudi Podgornik
Uvod v Teoretično Fiziko Rudi Podgornik August 2002 Zapisnikarji: Jure Žalohar, Marko Budiša (Analitična mehanika, Mehanika kontinuov, Elektromagnetno polje, Teorija relativnosti) Luka Vidic (Kvantna mehanika,
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραFunkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.
II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi
Διαβάστε περισσότεραcot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.
TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij
Διαβάστε περισσότεραKombinatorika. rekurzivnih enačb in rodovne funkcije. FMF Matematika Finančna matematika. Vladimir Batagelj. Ljubljana, april
FMF Matematika Finančna matematika Kombinatorika Reševanje rekurzivnih enačb in rodovne funkcije Vladimir Batagelj Math fun: Pascal triangle Ljubljana, april 2008 4. Dec 2012 različica: December 4, 2012
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 215 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Διαβάστε περισσότερα1.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk
.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk Naj bosta X in Y neodvisni Bernoullijevo porazdeljeni spremenljivki, B(p). Kako je porazdeljena njuna vsota? Označimo Z = X + Y. Verjetnost, da je P (Z = z) za
Διαβάστε περισσότεραPoglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM
Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Fakulteta za elektrotehniko 1 Slika 7. 2: Principielna shema regulacije AM v KSP Fakulteta za elektrotehniko 2 Slika 7. 3: Merjenje komponent fluksa s
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPoglavje 1. Posebna teorija relativnosti. 1.1 Zakaj klasična fizika ni dobra
Poglavje 1 Posebna teorija relativnosti Dvajseto stoletje je v fiziko prineslo dve revoluionarni novosti: Einsteinovo teorijo relativnosti in kvantno fiziko. Tako danes pravimo fiziki do kona 19. stoletja
Διαβάστε περισσότεραFazni diagram binarne tekočine
Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,
Διαβάστε περισσότερα5 Modeli atoma. 5.1 Thomsonov model. B. Golli, Izbrana poglavja iz Osnov moderne fizike 5 december 2014, 1
B. Golli, Izbrana poglavja iz Osnov moderne fizike 5 december 204, 5 Modeli atoma V nasprotju s teorijo relativnosti, ki jo je formuliral Albert Einstein v koncizni matematični obliki in so jo kasneje
Διαβάστε περισσότεραDodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
Διαβάστε περισσότερα1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE
1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE A) Splošna oblika Definicija 1 : Naj bodo a, b in c realna števila in a 0. Realno funkcijo: f : x ax + bx + c imenujemo kvadratna funkcija spremenljivke x v splošni
Διαβάστε περισσότεραINŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
Διαβάστε περισσότεραFizikalna kemija II Uvod v statistično termodinamiko. V. Vlachy in B. Hribar Lee Šolsko leto:
Fizikalna kemija II Uvod v statistično termodinamiko V. Vlachy in B. Hribar Lee Šolsko leto: 2012 2013 6. marec 2013 Predgovor k izdaji 2012 2013 Nova, popravljena izdaja Zapiskov prinaša nekaj novih računskih
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti
Problem lastnih vrednosti Naj bo A R n n. Iščemo lastni par, da zanj velja Ax = λx, kjer je x C n, x 0 (desni) lastni vektor, λ C pa lastna vrednost. Vektor y 0, pri katerem je y H A = λy H, je levi lastni
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
Διαβάστε περισσότεραTransformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II
Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.
Διαβάστε περισσότεραNaloge iz vaj: Sistem togih teles C 2 C 1 F A 1 B 1. Slika 1: Sile na levi in desni lok.
1 Rešene naloge Naloge iz vaj: Sistem togih teles 1. Tročleni lok s polmerom R sestavljen iz lokov in je obremenjen tako kot kaže skica. Določi sile podpor. Rešitev: Lok razdelimo na dva loka, glej skico.
Διαβάστε περισσότεραprimer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE
Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE p p RAK: P-XII//74 Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE L
Διαβάστε περισσότερα3.1 Reševanje nelinearnih sistemov
3.1 Reševanje nelinearnih sistemov Rešujemo sistem nelinearnih enačb f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pišemo F (x) = 0, kjer je x R n in F : R n
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραMetoda glavnih komponent
Metoda glavnih komponent Metoda glavnih kompnent je ena najpogosteje uporabljenih multivariatnih metod. Osnoval jo je Karl Pearson (1901). Največ zaslug za nadaljni razvoj pa ima Hotelling (1933). Osnovna
Διαβάστε περισσότερα