ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα να δώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α. Μονάδες Α. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής Χ, αν 0 και πώς αν 0; Μονάδες Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόνο για τη γραφική παράσταση ποσοτικών δεδομένων (μονάδες ). β) Η παράγωγος της f στο 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y f ως προς, όταν 0 (μονάδες ). γ) Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με A B, τότε ισχύει ότι.. (μονάδες ). δ) Το εύρος, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση των τιμών μιας μεταβλητής είναι μέτρα διασποράς (μονάδες ). ε) lm, (μονάδες ). Μονάδες 0 0 0 0 ΘΕΜΑ Β Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν οι μαθητές μιας τάξης για να λύσουν ένα μαθηματικό πρόβλημα ανήκουν στο διάστημα [5,5) και έχουν ομαδοποιηθεί σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους. Τα δεδομένα των χρόνων εμφανίζονται στο παρακάτω ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό. F% F% 50% F% 0 5 5 5 5 5 Β. Με βάση το παραπάνω ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό, να υπολογίσετε τη διάμεσο των χρόνων που χρειάστηκαν οι μαθητές. Μονάδες Β. Στον επόμενο πίνακα συχνοτήτων της κατανομής των χρόνων, να αποδείξετε ότι α=8 (μονάδες ) και να μεταφέρετε τον πίνακα κατάλληλα συμπληρωμένο στο τετράδιό σας (μονάδες 5). Χρόνοι v f% N F%
(λεπτά) [5, ) α+ [, ) α-6 [, ) α+8 [, 5) α- Σύνολο Μονάδες 8 Β.Να βρεθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση s των χρόνων που χρειάστηκαν οι μαθητές. (Δίνεται ότι: 8 9,7) Μονάδες 8 Β.Να βρεθεί το ποσοστό των μαθητών που χρειάστηκαν τουλάχιστον 7 λεπτά να λύσουν το μαθηματικό πρόβλημα. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ Από τους μαθητές μιας τάξης ενός σχολείου επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Αν ν φυσικός αριθμός με, τότε η πιθανότητα του ενδεχομένου ο μαθητής να μαθαίνει Γαλλικά είναι Ισπανικά είναι και τις δύο παραπάνω γλώσσες είναι μία τουλάχιστον από τις παραπάνω γλώσσες είναι ίση με το όριο Γ. Να αποδείξετε ότι το ενδεχόμενο ο μαθητής να μαθαίνει μία τουλάχιστον από τις παραπάνω δύο γλώσσες είναι βέβαιο. Μονάδες 7 Γ. Να αποδείξετε ότι ν=. Μονάδες 6 Γ. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου ο μαθητής να μαθαίνει μόνο μία από τις δύο γλώσσες. Μονάδες 6 Γ. Αν ο αριθμός των μαθητών που μαθαίνουν και τις δύο παραπάνω γλώσσες είναι, να βρείτε τον αριθμό των μαθητών της τάξης. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση ln f, 0 Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. Μονάδες 5 M,f, 0 σημείο της γραφικής παράστασης της f. Η παράλληλη ευθεία από Δ. Έστω lm το Μ προς τον άξονα yy τέμνει τον ημιάξονα Οχ στο σημείο Κ(,0) και η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα τέμνει τον ημιάξονα Οy στο σημείο 0,f. Αν Ο είναι η αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμου ΟΚΜΛ γίνεται ελάχιστο, όταν αυτό γίνει τετράγωνο. Μονάδες 7 Δ. Έστω η ευθεία : y, 0, η οποία είναι παράλληλη προς την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο,f. Θεωρούμε δέκα σημείο,y,,,,0 της ευθείας ε, τέτοια ώστε οι τετμημένες τους να έχουν μέση τιμή 0 και τυπική απόκλιση s. Να βρείτε για ποιες τιμές του β το δείγμα των τεταγμένων y των δέκα σημείων είναι ομοιογενές. Μονάδες 8
Δ. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, τέτοια ώστε A και A B, τότε να αποδείξετε ότι ΘΕΜΑ Α A Θεωρία σχολικό σελ. A Θεωρία σχολικό σελ. 8 A Θεωρία σχολικό σελ. 96 A α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ f P A f P A B f P A B. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Β B F% F =00 F F = 50 A F 0 5 5 5 5 5 Στο κατακόρυφο άξονα βρίσκουμε το 50% και φέρνουμε παράλληλη στον οριζόντιο άξονα που τέμνει το πολύγωνο στο σημείο Α(5, 50) άρα η διάμεσος είναι δ = 5 mn. B Χρόνος (mn) f% N 5,5 0 0 0 5, 5 0 6 8 0 0 50 5,5 0 8 0 5 90 F% 5, 5 0 6 0 60 00 ΣΥΝΟΛΟ 60 00 Η διάμεσος έχει την ιδιότητα «οι μισές παρατηρήσεις είναι μικρότερες ίσες από αυτή και οι άλλες μισές μεγαλύτερες ίσες από αυτή» άρα: 6 8 6 8.
0 08 0 06 0 60 70 0 0 60 60 60 mn. s 0 0 8 0 0 6 60 5 88 86 56 8, άρα 60 s s 8 9,7mn. B Θεωρώ ότι σε κάθε κλάση οι παρατηρήσεις κατανέμονται ομοιόμορφα, άρα: σε πλάτος 5 0 0 έχω f % 0 σε πλάτος 5 7 8 έχω ΘΕΜΑ Γ 8 0 8% 0. και Έστω Γ το ενδεχόμενο Γ = { ο μαθητής μαθαίνει Γαλλικά } τότε Ι το ενδεχόμενο Ι = { ο μαθητής μαθαίνει Ισπανικά } τότε ή ί ώ τότε ή ί ά ό ά ώ τότε lm lm lm Άρα PI και επειδή τα στοιχειώδη ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου είναι ισοπίθανα το I είναι το βέβαιο ενδεχόμενο. Είναι: PI P P P I 0. ό Ρ ( ο μαθητής να μαθαίνει μόνο μια από τις γλώσσες) = P P 6 0,6. 0 0 5
Είναι και 0 80. ΘΕΜΑ Δ n f, 0 Η f ως πηλίκο παραγωγίσιμων, είναι συνεχής και παρ/μη στο n n f n n 0, με n n n, 0. 0 e Η f συνεχής στο 0 e, άρα η f f - - γνησίως φθίνουσα στο 0, f E f n, 0. Η g ως άθροισμα συνεχών και παραγωγίσιμων, είναι συνεχής και παρ/μη στο 0, με n g, 0. 0 Όταν = και f() =, δηλαδή το ορθογώνιο ΟΚΜΛ g - + γίνει τετράγωνο, το εμβαδό γίνεται ελάχιστο και ίσο με g g() = τ.μ. Είναι f. Η ευθεία (ε): y = λ + β είναι παράλληλη στην εφαπτομένη άρα f δηλαδή (ε): y = - + β. Είναι y,,,...,0. y y 0 και sy s s. 0 0 0 s, άρα οι τιμές του β ώστε y 0 0 0 0 0 y CVy 0 0 ή το δείγμα να είναι ομοιογενές είναι, 0 0,. f. ί (0,] Είναι άρα PA PA B f PA f PA B Άρα f PA f PA B f PA B f. ί 0, A B A B P A B P A B f P A B f P A B.