ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα αποτελέσµατα να δώσετε τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας ενός ενδεχοµένου Α. Μονάδες 4 Α3. Πώς ορίζεται ο συντελεστής µεταβολής ή συντελεστής µεταβλητότητας µιας µεταβλητής X, αν > 0 και πώς, αν < 0 ; Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται µόνο για τη γραφική παράσταση ποσοτικών δεδοµένων (µονάδες ). β) Η παράγωγος της f στο 0 εκφράζει το ρυθµό µεταβολής του y f () ως προς, όταν 0 (µονάδες ). γ) Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Α Β, τότε ισχύει ότι Ρ(Α) > Ρ(Β) (µονάδες ). δ) Το εύρος, η διακύµανση και η τυπική απόκλιση των τιµών µιας µεταβλητής είναι µέτρα διασποράς (µονάδες ). ε) lim ηµ ηµ, 0 (µονάδες ). 0 0 Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν οι µαθητές µιας τάξης για να λύσουν ένα µαθηµατικό πρόβληµα ανήκουν στο διάστηµα [5,45) και έχουν οµαδοποιηθεί σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους. Τα δεδοµένα των χρόνων εµφανίζονται στο παρακάτω ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone
F i % F % 3 50% F % 0 5 5 5 35 45 Β. Με βάση το παραπάνω ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό, να υπολογίσετε τη διάµεσο των χρόνων που χρειάστηκαν οι µαθητές. Μονάδες 4 Β. Στον επόµενο πίνακα συχνοτήτων της κατανοµής των χρόνων, να αποδείξετε ότι α 8 (µονάδες 3) και να µεταφέρετε τον πίνακα κατάλληλα συµπληρωµένο στο τετράδιό σας (µονάδες 5). Χρόνοι (λεπτά) i v i f i % N i F i % [5, ) α + 4 [, ) 3α 6 [, ) α + 8 [, 45) α Σύνολο Μονάδες 8 Β3. Να βρεθεί η µέση τιµή και η τυπική απόκλιση s των χρόνων που χρειάστηκαν οι µαθητές. ( ίνεται ότι: 84 9,7) Μονάδες 8 Β4. Να βρεθεί το ποσοστό των µαθητών που χρειάστηκαν τουλάχιστον 37 λεπτά να λύσουν το µαθηµατικό πρόβληµα. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ Από τους µαθητές µιας τάξης ενός σχολείου επιλέγουµε τυχαία έναν µαθητή. Αν ν φυσικός αριθµός µε ν 3, τότε η πιθανότητα του ενδεχοµένου ο µαθητής να µαθαίνει 3v Γαλλικά είναι v + Τεχνική Επεξεργασία: Keystone
v + Ισπανικά είναι v + v + και τις δύο παραπάνω γλώσσες είναι v + ( ) + 3 µία τουλάχιστον από τις παραπάνω γλώσσες είναι ίση µε το όριο Γ. Να αποδείξετε ότι το ενδεχόµενο ο µαθητής να µαθαίνει µία τουλάχιστον από τις παραπάνω δύο γλώσσες είναι βέβαιο. Μονάδες 7 Γ. Να αποδείξετε ότι ν 3. Μονάδες 6 Γ3. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου ο µαθητής να µαθαίνει µόνο µία από τις δύο γλώσσες. Μονάδες 6 Γ4. Αν ο αριθµός των µαθητών που µαθαίνουν και τις δύο παραπάνω γλώσσες είναι 3, να βρείτε τον αριθµό των µαθητών της τάξης. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ + ln ίνεται η συνάρτηση f( ), > 0.. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. lim +. Μονάδες 5. Έστω Μ (, f ()), > 0 σηµείο της γραφικής παράστασης της f. Η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα y y τέµνει τον ηµιάξονα O στο σηµείο Κ (, 0) και η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα τέµνει τον ηµιάξονα Oy στο σηµείο Λ(0, f ()). Αν O είναι η αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του ορθογωνίου παραλληλόγραµµου ΟΚΜΛ γίνεται ελάχιστο, όταν αυτό γίνει τετράγωνο. Μονάδες 7 3. Έστω η ευθεία ε: y λ + β, β 0, η οποία είναι παράλληλη προς την εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Σ (, f ()). Θεωρούµε δέκα σηµεία ( i, y i ), i,,,0 της ευθείας ε, τέτοια ώστε οι τετµηµένες τους i να έχουν µέση τιµή 0 και τυπική απόκλιση s. Να βρείτε για ποιες τιµές του β το δείγµα των τεταγµένων y i των δέκα σηµείων είναι οµοιογενές. Μονάδες 8 4. Αν Α και Β είναι ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα, τέτοια ώστε Α και Α B, τότε να αποδείξετε ότι f (Ρ(Α)) + f (Ρ(Α Β)) f (Ρ(Α Β)) Μονάδες 5 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 3
ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, σελ. 3 σχολ. βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 48 σχολ. βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 96 σχολ. βιβλίου. Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ B Β. Αφού η διάµεσος αντιστοιχεί στο 50% των παρατηρήσεων, από το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων θα είναι δ 5. Β. Αφού η διάµεσος αντιστοιχεί στο 50% και είναι δ 5 θα είναι α + 4 + 3α 6 α + 8 + α α + 3α α α 4 + 6 + 8 α 8. Άρα ο πίνακας συχνοτήτων της κατανοµής των χρόνων θα είναι χρόνος (λεπτά) i v i f i % N i F i % [5-5) 0 0 0 [5-5) 0 8 30 30 50 [5-35) 30 4 40 54 90 [35-45) 40 6 0 60 00 Σύνολο 60 00 B3. Είναι 4 Σ v i i i 0 + 0 8 + 30 4 + 40 6 440 4 λεπτά. v 60 60 Επίσης S 4 i ( i ) ( ) ( ) ( ) ( ) Σvi v + v + v3 3 + v4 4 v v ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 0 4 8 0 4 4 30 4 6 40 4 60 95 + 8 6 + 4 36 + 6 56 5040 504 84. 60 60 6 Άρα η τυπική απόκλιση είναι S s 84 9,7 λεπτά. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 4
Β4. Από 35 έως 45 έχουµε το 0% των παρατηρήσεων και έστω % το ποσοστό των παρατηρήσεων από 37 έως 45. Τότε θα είναι: 45 35 0 0 0 0 80 8%. 45 37 8 ΘΕΜΑ Γ Γ. Αν Γ και Ι είναι τα ενδεχόµενα ένας µαθητής να µαθαίνει αντίστοιχα Γαλλικά, Ισπανικά, τότε είναι: P( Γ Ι ) ( + 3 ) ( + 3 )( + 3 + ) ( )( + ) lim lim lim + ( + )( + 3+ ) ( + )( + 3+ ) ( ) ( ) lim. lim ( + 3+ ) ( + 3+ ) Άρα το ενδεχόµενο ο µαθητής να µαθαίνει τουλάχιστον µια από τις γλώσσες είναι βέβαιο. 3ν Γ. Είναι P( Γ ) ν +, ν + P(I) ν +, ν + P( Γ Ι ) ν +, P( Γ Ι ). Όµως P( Γ Ι ) P( Γ ) + P(I) P( Γ Ι ), άρα: 3ν ν + ν + + ν + 3ν + ν + ν ν 3ν 0 ν 0 ή ν 3. ν + ν + ν + Επειδή ν 3 προκύπτει ν 3. Γ3. Το ενδεχόµενο ο µαθητής να µαθαίνει µόνο µία από τις δύο γλώσσες είναι το: ( Γ Ι) ( Ι Γ ). Είναι 9 5 4 6 3 P(( Γ Ι) ( Ι Γ )) P( Γ ) + P( Ι) P( Γ Ι ) +. 0 0 0 0 5 Γ4. 4 P( Γ Ι ). Όµως 0 5 ΝΓ Ι ( ) P( Γ Ι ). ΝΩ ( ) ΝΓ Ι ( ) 3 Έτσι Ν ( Ω ) 80. ΝΩ ( ) 5 ΝΩ ( ) 5 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 5
ΘΕΜΑ. H f είναι παραγωγίσιµη στο (0, + ) ως αποτέλεσµα πράξεων παραγωγίσιµων συναρτήσεων, µε ln ln + ln ln ln f ( ) ln ln + ( ln ) Επειδή είναι f () < 0 για κάθε (0, e) (e, + ), f (e) 0, προκύπτει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, + ). + ln. Το εµβαδόν του ορθογωνίου ΟΛΜΚ είναι: E f + Η συνάρτηση E () είναι παραγωγίσιµη στο (0, + ) µε: ln E ( ) ( + ln ) ln ( ln ). ln E ( ) 0 0 ln 0. ( ) ( ) ln. 0 E() E() 0 + + min + ln E(). Για την τιµή, έχουµε f (), εποµένως (ΟΛ) (ΟΚ), οπότε το ορθογώνιο είναι τετράγωνο. 3. Επειδή η ευθεία ε: y λ + β είναι παράλληλη στην εφαπτόµενη της C f στο σηµείο Σ(, f ()), θα είναι: λ f (). Έτσι έχουµε: y + β, µε β 0. Επειδή η µέση τιµή των παρατηρήσεων i είναι 0 και y i ( ) i + β προκύπτει ότι: y 0 + β και S S. Για να είναι το δείγµα των παρατηρήσεων y i µε i,, 0 οµοιογενές θα πρέπει: S y 0,. y y Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 6
S y 0 0, + β 0 y + β 00 ( ) Άρα: β (, 0] [ 30, + ). 0 + β 0 0 + β 0 ή 0 + β 0 β 0 ή β 30. 4. (i) A A B άρα PA ( ) PA ( B) και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα είναι f( P( A)) f( P( A B)) () (ii) A B A B άρα P( A B) P( A B) και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα είναι f( P( A B)) f( P( A B)) () Προσθέτοντας τις σχέσεις () και () κατά µέλη έχουµε: f( P( A)) + f( P( A B)) f( P( A B)). Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 7