Sistem normalnih ena b in metoda me²anega modela Milena Kova 5. marec 203
Biometrija 202/3 Modeli z naklju nimi vplivi Ena ba me²anega modela Matrika varianc in kovarianc y = Xβ + Zu + e y (Xβ, V) var(y) = V = ZGZ + R Meritve imajo lahko heterogeno varianco in so med seboj odvisne (sorodne, skupno okolje...) Metoda splo²nih najmanj²ih kvadratov (GLS)
Biometrija 202/3 2 Vsota kvadratov za ostanek - GLS ostanke za vsak podatek:e = y E (y) = y Xβ i² emo minimun funkcije: e V e podatki niso identi no in neodvisno porazdeljeni, zato napake tehtamo s fenotipskimi variancami s fenotipskimi kovariancami pa opi²emo odvisnost (povezanost) Preuredimo v sistem normalnih ena b X V X β = X V y
Biometrija 202/3 3 Mladice - dnevni prirast Dodajmo sistematskemu modelu ²e naklju ni vpliv ºivali y i jkl = µ + P i + M j + F k + a i jkl + e i jkl Sistematski del modela je enak kot pred tem... y = X β+ 540 550 550 580 520 500 490 560 550 600 60 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 µ P P 2 P 3 M M 2 F F 2 F 3 +
Biometrija 202/3 4 - naklju ni del modela Poreklo A: ºivali s podatki+ 3 star²e brez podatkov + +Z u+ e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 0 a a 2 a 3 a 4 + e e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 e 0 e
Biometrija 202/3 5 Matrika fenotipskih varianc in kovarianc - poreklo A G Z ZG 4 2 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 σ 2 a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 4 2 σ 2 a
Biometrija 202/3 6 Matrika fenotipskih varianc in kovarianc Z ZG ZGZ 4 2 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 4 2 σ 2 a 4 4 2 4 2 4 4 4 σ 2 a
Biometrija 202/3 7 Matrika fenotipskih varianc in kovarianc Sedaj lahko se²tejemo obe komponenti fenotipskih (ko)varianc V = ZGZ + R V = 4 4 2 4 2 4 4 4 σ 2 a + σ 2 e Komponente variance in kovariance preverimo tudi v skalarni obliki
Biometrija 202/3 8 σ 2 a + σ 2 e Matrika fenotipskih varianc in kovarianc 4 σ 2 a 4 σ 2 a σ 2 a + σ 2 e σ 2 a + σ 2 e σ 2 a + σ 2 e σ 2 a + σ 2 e 2 σ 2 a 2 σ 2 a σ 2 a + σ 2 e 4 σ 2 a 4 σ a 2 4 σ a 2 4 σ 2 a σ 2 a + σ 2 e prikazujemo le del matrike na diagonali je vsota komponent variance nediagonalni elementi so vsote komponent kovariance
Biometrija 202/3 9 Diagonalni elementi Fenotipske variance in kovariance var (y i jkl ) = var (µ + P i + M j + F k + a i jkl + e i jkl ) = = var (a i jkl + e i jkl ) = = var (a i jkl ) + var (e i jkl ) + 2cov(a i jkl, e i jkl ) = = σ 2 a + σ 2 e Nediagonalni elementi cov ( y i jkl, y i j k l ) = cov ( ai jkl + e i jkl, a i j k l + e i j k l ) = = cov ( a i jkl, a i j k l ) + cov ( ai jkl, e i j k l ) + +cov ( e i jkl, a i j k l ) + cov ( ei jkl, e i j k l ) = = a ll var (a i jkl ) + 0 + 0 + 0 = = a ll σ 2 a
Biometrija 202/3 0 Re²itev sistema normalnih ena b Imamo vse matrike za izra un ˆβ = ( X V X ) X V y le v matriki fenotipskih varianc in kovarianc (V) imamo ²e dve "neznanki": σ 2 e σ 2 a = varianca za ostanek = genetska varianca
Biometrija 202/3 Napovedi parametrov naklju nih vplivov Pri izra unavanju napovedi predpostavimo, da so komponente znane vzamemo, da sta varianci σ 2 e = 75 in σ 2 a = 25 potem je fenotipska varianca σ 2 = 75 + 25 = 00 heritabiliteta zna²a h 2 = 0.25 in razmerje α = 75 25 = 3 Parametre disperzije (variance in kovariance) dobimo iz obra unov po metodi najve jega verjetja (metoda najve je zanesljivosti) plonkamo iz literature (dobro za za etek ali kadar ocene niso pri akovane)
Biometrija 202/3 2 Napoved parametrov za naklju ni vpliv Iz sistema normalnih ena b ne dobimo napovedi za naklju ne vplive Izra unamo jih z "regresijsko ena bo": spomnimo se skalarnega zapisa u = cov(u, y)[var (y)] (y E (y)) sedaj pa zapi²imo ²e matri no obliko ) û = GZ V (y X ˆβ Opazovanja o istimo sistematskih vplivov: y X ˆβ in preostanek razdelimo na naklju ne vplive in ostanek
Biometrija 202/3 3 Kovarianca med u in y Vektor opazovanj zamenjamo z modelom cov(u, y ) = cov(u, e + u Z + β X ) = Ko raz lenimo, dobimo tri lene = cov(u, e ) + cov(u, u Z ) + cov(u, β X ) = = 0 + cov(u, u Z ) + 0 = Tako ostane samo = cov(u, u )Z = GZ
Biometrija 202/3 4 Razvoj metode me²anega modela Imamo dve ena bi: za parametre sistematskega ( β ) in naklju nega dela modela Problem: matrika V matriko je teºko nastaviti in jo je teºko obrniti ˆβ = ( X V X ) X V y û = GZ V (y X ˆβ ) Matriki G in R sta preprosti in jih enostavno obrniti (poiskati inverzo)
Biometrija 202/3 5 Drug na in re²evanja me²anih modelov Za inverzo matrike fenotipskih (ko)varianc velja V = (ZGZ + R) = = R R Z ( G + Z R Z ) Z R ƒe uporabimo pravilo v ena bah na prej²njem prikazu, lahko z nekaj spretnosti matri ne algebre pridemo do sistema ena b me²anega modela
Biometrija 202/3 6... preverimo... V V = I [R R Z ( G + Z R Z ) Z R ] (ZGZ + R) = pomnoºimo po zgledu (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD = R ZGZ R Z ( G + Z R Z ) Z R ZGZ + +R R R Z ( G + Z R Z ) Z R R = lenu Z R Z lahko dodamo in odvzamemo G = R ZGZ R Z ( G + Z R Z ) ( ) Z R Z +G G {}}{ GZ + +I R Z ( G + Z R Z ) Z =
Biometrija 202/3 7... preverimo (nadalj.)... prepi²imo prvi len iz prve vrste in zadnja dva iz druge vrste = R ZGZ + I R Z ( G + Z R Z ) Z drugega iz prve vrte pa razstavimo in premestimo lene R Z ( Z R Z + G ) ( Z R Z + G }{{ ) GZ } + I +R Z ( Z R Z + G ) } G {{ G} Z = poenostavimo drugo vrstico in podpi²imo enake lene = R ZGZ +I R Z ( G + Z R Z ) Z R ZGZ +R Z ( G + Z R Z ) Z I
Biometrija 202/3 8... preverimo (nadalj.)... = R ZGZ +I R Z ( G + Z R Z ) Z R ZGZ +R Z ( G + Z R Z ) Z po dva lena sta z razli nima predznakoma, se pokraj²ata, zato ostane = I dokazali smo, da formula za V res velja
Biometrija 202/3 9... prikaºimo zamenjavo...... najprej v prvi ena bi... R ˆβ = ( X V X ) R Z ( G + Z R Z ) Z R X V y... in nato ²e v drugi ena bi... R R Z ( G + Z R Z ) Z R û = GZ V (y X ˆβ )
Biometrija 202/3 20 X R X Z R X Sistem ena b me²anega modela X R Z Z R Z + G [ ˆβ û ] = X R y Z R y Z metodo me²anega modela hkrati poi² emo ocene parametrov za sistematske vplive napovedi parametrov za naklju ne vplive û poiskati moramo inverze matriki (ko)varianc za ostanek R, matriki genetskih (ko)varianc G, matrikam (ko)varianc za druge naklju ne vplive ˆβ
Biometrija 202/3 2 Primer I Enolastnostni modeli, homogene variance: Matrike (ko)varianc Inverza Ostanek R = Iσe 2 R = Iσe 2 Aditivna genetska G = Aσa 2 G = A σa 2 X R X Z R X X R Z Z R Z + G [ ˆβ û ] = X R y Z R y
Biometrija 202/3 22 X Iσe 2 X X Iσe 2 Z Primer I (nadalj.) Z Iσe 2 X Z Iσe 2 Z + A σa 2 [ ˆβ û ] = X Iσe 2 y Z Iσe 2 y σ 2 e α = σ 2 e σ 2 a X X Z X X Z Z Z + A α [ ˆβ û ] = X y Z y
Biometrija 202/3 23 Primer II: dodajmo vpliv skupnega okolja v gnezdu y i jklm = µ + P i + M j + F k + g i jkl + a i jklm + e i jklm u = {g i jkl }, u 2 = {a i jklm } y = Xβ + Z u + Z 2 u 2 + e V = Z G Z + Z 2 G 2 Z 2 + R Sistem normalnih ena b + dve "regresijski ena bi" ˆβ = ( X V X ) X V y uˆ = G Z (y V X ˆβ ) uˆ 2 = G 2 Z 2 (y V X ˆβ )
Biometrija 202/3 24 Sistem ena b me²anega modela leva stran sistema X R X X R Z X R Z 2 Z R X Z R Z +G Z R Z 2 Z 2 R X Z 2 R Z Z 2 R Z 2 +G 2 ˆβ ˆ ˆ u u 2 = desna stran sistema = X R y Z R y Z 2 R y
Biometrija 202/3 25 Primer II Enolastnostni modeli, homogene variance, ve naklju nih vplivov: Matrika (ko)varianc Inverza Ostanek R = Iσ 2 e R = Iσ 2 e Gnezdo G = I g σg 2 G = I g σg 2 šival G 2 = Aσa 2 G 2 = A σa 2 Nivoji ve ine naklju nih vplivov niso korelirani Genetski vplivi so korelirani
Biometrija 202/3 26 Preuredimo EMM za primer II Zamenjajmo R, G in G 2 X X X Z X Z 2 Z X Z Z +I g α g Z Z 2 ˆβ ˆ ˆ u u 2 = X y Z y Z 2 y Z 2 X Z 2 Z Z 2 Z 2 +A α a potrebujemo razmerja varianc α g in α a ali tri komponente variance:σ 2 e,σ 2 g, σ 2 a
Biometrija 202/3 27 Ve lastnostni modeli Statisti ni model y = Xβ + Z u + Z 2 u 2 + e y (Xβ, V) var(y) = V = Z G Z + Z 2G 2 Z 2 + R kjer je t ²teje lastnosti (t =, 2,...s ) in i naklju ne vplive y = [ y y 2 ] y t y s β = [ β β 2 β ] t β s u i = [ u i u i2 ] u it u is
Biometrija 202/3 28 y y 2. y t. y s Matrika dogodkov za sistematske vplive [β β 2 β t β s] X X 2... X t... X s ; nasplo²no velja, da X t X t matrike dogodkov so pravokotne, reda ns x ps in povezujejo meritve s parametri za sistematske vplive manjkajo i elementi so matrike 0 ustrezne velikosti
Biometrija 202/3 29 y y 2. y t. Matrika dogodkov za naklju ni vpliv [u i u i2 u it u is] Z i Z i2... Z it... ; nasplo²no velja, da y s Z is Z it Z it povezujejo meritve z parametri za i-ti naklju ni vpliv manjkajo i elementi so matrike 0 ustrezne velikosti indeks i zamenjamo s ²tevilko (Z 2s ) ali rko (Z as )
Biometrija 202/3 30 Matrike varianc in kovarianc za ostanek R σe 2 0 0. σe 2 0.... 0. σ 2 e. σ et 0 0.. σ es 0 0. 0 σ et 0.. 0 σ es 0. 0 0... 0.. 0 0... 0.. 0 0 σ et.. 0 0 σ es............ σet 2 0 0.. σ ets 0 0.. σet 2 0.. 0 σ ets 0..... 0.. 0 0... 0.. σ 2 et. 0 0 σ ets.............. σes 2 0 0 sim..... σes 2 0............ 0.... σes 2
Biometrija 202/3 3 Matrika R (nadalj.) Matrika R je iz kvadratnih blokov, ki imajo na diagonali eno od komponent (ko)variance, nediagonalni elementi pa so enaki 0 Vsak blok lahko zapi²emo kot produkt identi ne matrike I n z ponavljajo o komponento (ko)variance = Iσ 2 e Iσ et Iσ es..... sim. Iσet 2 Iσ ets.... Iσ 2 es ns =
Biometrija 202/3 32 = Matrika R (nadalj.) σ 2 e σ et σ es..... sim. komponent varianc je s: σet 2 σ ets.... σ 2 es s I n = R 0 I σet 2 ; kjer je t =, 2,...s komponent kovarianc je s(s )/2: σ ett, kjer je t = 2,...s in t = t +,...s matrika R ima red nsxns
Biometrija 202/3 33 Matrike varianc in kovarianc za skupno okolje v gnezdu G σg 2 0 0. σg 2 0.... 0. σ 2 g. σ gt 0 0.. σ gs 0 0. 0 σ gt 0.. 0 σ gs 0. 0 0... 0.. 0 0... 0.. 0 0 σ egt.. 0 0 σ gs............ σgt 2 0 0.. σ gts 0 0.. σgt 2 0.. 0 σ gts 0..... 0.. 0 0... 0.. σ 2 gt. 0 0 σ gts.............. σgs 2 0 0 sim..... σgs 2 0............ 0.... σgs 2
Biometrija 202/3 34 Matrika G (nadalj.) Matrika G je iz kvadratnih blokov, ki imajo na diagonali eno od komponent (ko)variance, nediagonalni elementi pa so enaki 0 Vsak blok lahko zapi²emo kot produkt identi ne matrike I g s ponavljajo o komponento (ko)variance = I g σg 2 I gσ gt I g σ gs..... sim. I g σgt 2 I g σ gts.... I g σgs 2 =
Biometrija 202/3 35 = Matrika G (nadalj.) σg 2 σ gt σ gs..... σgt 2 σ gts.... σgs 2 s I g = G g0 I Komponent varianc za skupno okolje v gnezdu je s: σgt 2 ; kjer je t =, 2,...s Komponent kovarianc je s(s )/2: σ gtt, kjer je t = 2,...s in t = t +,...s Red G : n g sxn g s, kjer je n g ²tevila gnezd
Biometrija 202/3 36 Matrika genetskih (ko)varianc G 2 Matrika G 2 je tudi iz kvadratnih blokov Vsak blok lahko zapi²emo kot produkt matrike sorodstva A s ponavljajo o komponento (ko)variance = Aσ 2 a Aσ at Aσ as..... sim. Aσat 2 Aσ ats.... Aσ 2 as =
Biometrija 202/3 37 = Matrika genetskih (ko)varianc G 2 (nadalj.) σ 2 a σ at σ as..... sim. σat 2 σ ats.... σ 2 as s A = G a0 A Komponent varianc za aditivni genetski vpliv (ºivali) je s: σat 2 ; kjer je t =, 2,...s Komponent kovarianc je s(s )/2: σ att, kjer je t = 2,...s in t = t +,...s Red G : msxms kjer je m ²tevilo ºivali iz porekla
Biometrija 202/3 38 Primer III Ve lastnostni modeli, ve naklju nih vplivov: Matrika (ko)varianc Inverza Ostanek R = R 0 I R = R 0 I Gnezdo G = G g0 I g G = G g0 I g šival G 2 = G a0 A G 2 = G a0 A Matrike R 0, G g0, G a0 so majhne in jim ni teºko poiskati inverz Poiskati moramo ²e inverzo A
Biometrija 202/3 39 Inverza matrike sorodstva - ºivali brez star²ev šival Mati O e 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 9 7 2 0 7 3 0 7 4 - - 5 8 6 8 7-8 9 7 9 2-0 2 - - - 2 - -
Biometrija 202/3 40 Inverza matrike sorodstva - ºival 7 z enim star²em šival Mati O e 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 9 7 2 0 7 3 0 7 4 - - 5 8 6 8 7-4/3 2 /3 8 9 7 9 2-0 2 - - - 2 /3 + /3 2 - -
Biometrija 202/3 4 Inverza matrike sorodstva - ºivali 9 in 0 z enim star²em šival Mati O e 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 9 7 2 0 7 3 0 7 4 - - 5 8 6 8 7-4/3 2 /3 8 9 7 9 2-4/3 2 /3 0 2-4/3 2 /3 - - 2 /3 4/3 2 - - 2 /3 2 /3 + 2 /3
Biometrija 202/3 42 Inverza matrike sorodstva - ºival s star²ema šival Mati O e 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 9 7 2 2 0 7 3 0 7 4 - - 5 8 6 8 7-4/3+ /2 /2 2 /3 8 9 7 9 2 - /2 4/3+ /2 2 /3 0 2-4/3 2 /3 - - 2 /3 4/3 2 - - 2 /3 2 /3 5/3
Biometrija 202/3 43 Inverza matrike sorodstva - ºivali 2 in 3 s star²ema 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 9 7 2 2 0 7 2 3 0 7 2 4 - - 5 8 6 8 7 - /6 + 2 /2 /2 2/2 2 /3 8 9 7 9 2 - /2 /6 2 /3 0 2-2/2 4/3 + 2 /2 2 /3 - - 2 /3 4/3 2 - - 2 /3 2 /3 5/3
Biometrija 202/3 44 Inverza matrike sorodstva - ºivali 5 in 6 s star²ema 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 9 7 2 2 0 7 2 3 0 7 2 4 - - 5 8 2 6 8 2 7-7/6 /2 2 /3 8 9 7 2/2 2/2 9 2 - /2 /6 2 /3 0 2-7/3 2 /3 - - 2 /3 2/2 4/3 + 2 /2 2 - - 2 /3 2 /3 5/3
Biometrija 202/3 45 Inverza matrike sorodstva - ºival 8 s star²ema 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 9 7 2 2 0 7 2 3 0 7 2 4 - - 5 8 2 6 8 2 7-7/6+ /2 /2+ /2 2 /3 8 9 7 + 2 9 2 - /2+ /2 /6+ /2 2 /3 0 2-7/3 2 /3 - - 2 /3 7/3 2 - - 2 /3 2 /3 5/3
Biometrija 202/3 46 Inverza matrike sorodstva 2 2 2 2 A = 2 20/6 2 /3 3 4/6 2 /3 7/3 2 /3 2 /3 7/3 2 /3 2 /3 5/3
Biometrija 202/3 47 Inverza matrike sorodstva Za vsak zapis v poreklu neibridiranih ºivalidodamo šival+oba star²a šival+star² šival brez star²ev 2 0.5 0.5 0.5 0.5 [ 4 /3 2 /3 2 /3 /3 [ ] Postopek tudi za poreklo ºival-star²-stari star² ] in populacijo z inbridingom
Biometrija 202/3 48 Sistem ena b me²anega modela X R X X R Z X R Z 2 Z R X Z R Z +G Z R Z 2 Z 2 R X Z 2 R Z Z 2 R Z 2 +G 2 X R y Z R y Z 2 R y ˆβ ˆ ˆ u u 2 = poznamo vse potrebne informacije: podatke, poreklo in parametre disperzije (variance in kovariance) in lahko nastavimo ena be
Biometrija 202/3 49 Re²evanje sistema ena b me²anega modela Direktne metode Uporaba polnih inverze "Forward and backward" substitucija Uporaba inverze redkih matrik Iterativne metode Iteracije na matriki koecientov Iteracije na podatkih... Kombinirane metode
Biometrija 202/3 50 Algoritem z inverzo polnih ali poroznih matrik [ β û ] = [ X R X Z R X X R Z Z R Z +G 2 ] [ X R y Z R y ] obstaja ve algoritmov u inkovitost numeri na stabilnost dobimo standardne napake ocen in to nosti za napovedi
Biometrija 202/3 5 "Forward and backward" substitucija Forward zamenjava: Iz vsake ena be re²imo za eno novo neznanko. Pri tem tiste iz prej²njih ena b menjamo z dobljenimi ena bami. V novi vsaki ena bi je ena neznanka manj. V linearno odvisnih ena bah ostane po en parameter Povratna zamenjava Parametre, ki so nam ostali, nadomestimo s katerimikoli izbranimi vrednostmi. Lahko so 0, kot v GLMu. Za nemo zadaj in ocenimo/napovemo nov parameter. In tako ra unamo vse od zadnje do prve ena be.
Biometrija 202/3 52 Re²imo naslednje ena be! Primer: "Forward" substitucija 4µ +4P 3 = 2320 3µ +3P 2 = 50 4µ +4P = 2220 µ +4P +3P 2 +4P 3 = 6050 Iz prve ena be izra unajmo µ µ = /4(2320 4P 3 ) = 580 P 3 Vstavimo µ v drugo ena bo in izpeljimo ena bo za P 2 3(580 P 3 ) + 3P 2 = 50 740 3P 3 + 3P 2 = 50
Biometrija 202/3 53 P 2 = 3 ( 230 + 3P 3) Vstavimo µ in P 2 v tretjo ena bo in izpeljimo ena bo za P 4(580 P 3 ) + 4P = 2220 2320 4P 3 + 4P = 2220 P = 4 [ 00 + 4P 3] P = 25 + P 3 manjka nam ²e... P 3?
Biometrija 202/3 54 "Backward substitucija Parameter P 3 ni ocenljiv, zato si ga izmislimo ˆP 3 = +30 ˆP = 25 + ˆP 3 = 25 + 30 = +5 ˆP 2 = 230 3 + ˆP 3 = 230 3 + 30 = 47. 7 µ = 580 ˆP 3 = 580 30 = 550 Dobili smo niz re²itev ƒe bi izbrali drugo vrednost za parameter P 3 drugo vrednost, bi dobili ve nizov
Biometrija 202/3 55 Iterativna metoda na matriki koecientov Nastavimo sistem ena b µ +4P +3P 2 +4P 3 = 6050 4µ +4P = 2220 3µ +3P 2 = 50 4µ +4P 3 = 2320 Izberimo startne vrednosti za vektor parametrov, razen za µ [ µ P P 2 P 3 ] = [ 0.0 0.0 0.0 0.0 ]
Biometrija 202/3 56... I. iteracija: prvi parameter... [ µ P P 2 P 3 ] = [ 0.0 0.0 0.0 0.0 ] Vstavimo vrednosti za P i v prvo ena bo in izra unajmo µ µ +4 0 +3 0 +4 0 = 6050 µ = 6050/ = 550.0 Nadomestimo vrednost µ v vektorju parametrov [ µ P P 2 P 3 ] = [ 550.0 0.0 0.0 0.0 ]
Biometrija 202/3 57... I. iteracija: drugi parameter... [ µ P P 2 P 3 ] = [ 550.0 0.0 0.0 0.0 ] Ra unajmo parameter P iz druge ena be 4 550 +4P = 2220 P = (2220 2200)/4 P = +5 Nadomestimo vrednost P v vektorju parametrov [ µ P P 2 P 3 ] = [ 550.0 +5.0 0.0 0.0 ]
Biometrija 202/3 58... I. iteracija: tretji parameter... [ µ P P 2 P 3 ] = [ 550.0 +5.0 0.0 0.0 ] Ra unajmo parameter P 2 iz tretje ena be 3 550 +3P 2 = 50 P 2 = (50 650)/3 P 2 = 46. 6 Nadomestimo vrednost P 2 v vektorju parametrov [ µ P P 2 P 3 ] = [ 550.0 +5.0 46. 6 0.0 ]
Biometrija 202/3 59... I. iteracija: etrti parameter... [ µ P P 2 P 3 ] = [ 550.0 +5.0 46. 6 0.0 ] Ra unajmo parameter P 3 iz etrte ena be 4 550 +4P 3 = 2320 P 3 = (2320 2200)/4 P 3 = +30 Nadomestimo vrednost P 3 v vektorju parametrov [ µ P P 2 P 3 ] = [ 550.0 +5.0 46. 6 30.0 ] To je prva iteracija, vendar ²e ne vemo, e je delo kon ano. Ponoviti moramo vsaj ²e eno iteracijo.
Biometrija 202/3 60 Druga iteracija [ µ P P 2 P 3 ] = [ 550.0 +5.0 46. 6 30.0 ] Vstavimo vrednosti za P i v prvo ena bo in izra unajmo µ µ +4 5 3 46. 6 +4 30 = 6050 µ = (6050 20 + 40 20)/ = 550.0 V vektor parametrov vstavimo novo vrednost za µ [ µ P P 2 P 3 ] = [ 550.0 +5.0 46. 6 30.0 ] Enako re²imo naslednje tudi ostale ena be. Vektor vrednosti se ne spremeni, zato ga lahko proglasimo za re²itve - ocene parametrov. Tokrat smo imeli veliko sre o, ker je bil model zelo preprost. Druga e potrebujemo ve iteracij. Postopek kon amo, ko so
Biometrija 202/3 6 vektorji pri zaporednih iteracijah dovolj blizu. Bolje, kot za eti z ni lami, je za eti z re²itvami pri predhodni obdelavi.
Biometrija 202/3 62 Iteracije na matriki koecientov Matriko koecientov razdelimo na bloke po vplivih Bloki za: µ, pasmo (P i ), mesec (M j ) in farmo (F k ). Diagonalni bloki: vrednosti 0 na diagonali pri enolastnostnih modelih ali blok-diagonalno strukturo pri ve lastnostnih. npr.... n.... n 2.... n 3..... za vpliv pasme Izjema: genetski vplivi s sorodstvom
Biometrija 202/3 63 n. n.. n 2.. n 3... n.. n.2.. n.. n..2 n..3 n..4... n... n... n. n 2.. n. n.2 n.3 n.4 n 2... n 2... n 2. n 22.. n 2. n 2.2 n 2.3 n 2.4 n 3.. n 3... n 3. n 32.. n 3. n 3.2 n 3.3 n 3.4... n... n. n 2. n 3.. n... n. n.2 n.3 n.4 n.2.. n 2. n 22. n 32.. n.2.. n.2 n.22 n.23 n.24... n... n. n 2. n 3.. n. n.2. n.. n..2. n.2 n 2.2 n 3.2. n.2 n.22. n..2 n..3. n.3 n 2.3 n 3.3. n.3 n.23. n..3 n..4. n.4 n 2.4 n 3.4. n.4 n.24. n..4
Biometrija 202/3 64... I. Iteracija - srednja vrednost... Najprej izberemo startne vrednosti β = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] V prvo ena bo vstavim vrednosti, razen µ nµ + n.. 0 +... + n..4 0 = 6050 µ = (6050 n.. 0... n..4 0)/n = 6050/ = 550 itd.
Biometrija 202/3 65 Iteracije na podatkih Nastavljamo diagonalne (ali blok-diagonalne) elemente matrike koecientov po vplivih Nastavljamo tudi desno stran ena be za izbrani vpliv in pri tem Pri vsaki meritvi od²tevamo vrednosti parametrov, ki jih trenutno hranimo v vektorju za re²itve Vzemimo model: y i jkl = µ + P i + M j + F k + e i jk
Biometrija 202/3 66... I. Iteracija - srednja vrednost in pasmo... Ko nastavljamo ena bo za µ, opazovanje y i jkl "o istimo" drugih vplivov RHS µ = (y i jkl P i M j F k ) Ko nastavljamo ena be za P i, opazovanje y i jkl "o istimo" z novo oceno srednje vrednosti in starimi ocenami pri drugih vplivih RHS P = (y jkl µ M j F k ) RHS P2 = (y 2 jkl µ M j F k ) RHS P3 = (y 3 jkl µ M j F k )
Biometrija 202/3 67... I. Iteracija - mesec in pasma... Pri ra unanju parametrov za mesece M j "o istimo" opazovanje y i jkl z novimi ocenami za µ in P i, pri farmi F k pa ²e s starimi RHS M = (y jkl µ P i F k ) RHS M2 = (y 2 jkl µ P i F k ) Farme F k so na vrsti zadnje v tej iteraciji, vse druge vrednosti so ºe nove RHS F = (y jkl µ P i M j ) RHS F2 = (y 2 jkl µ P i M j ) RHS F3 = (y 3 jkl µ P i M j ) RHS F4 = (y 4 jkl µ P i M j )
Biometrija 202/3 68... naslednje iteracije... Tako diagonalo kot desno stran nastavljamo po vplivih direktno iz podatkov Ponavljamo, dokler spremembe med ocenami dveh zaporednih iteracij niso dovolj majhne re²itve so dovolj dobri pribliºki posebno pozorni moramo biti na tiste vredosti, ki se bolj spreminjajo
Biometrija 202/3 69 ABC - kombinacija Matriko koecientov razdelimo na tri dele: A: vsebuje vplive z malo nivoji in ve jimi u inki pomembnej²i sistematski vplivi z razredi srednja vrednost vsi kvantitativni vplivi re²ujemo z DIR, SMP in IOC B: vsebuje vplive z veliko nekoreliranimi nivoji re²ujemo z IOD C: vsebuje vplive s ²tevilnimi koreliranimi nivoji vpliv ºivali re²ujemo z IOD GS
Biometrija 202/3 70 Vaje Nastavimo sistem normalnih ena b za V = Iσ 2 e V = diag { σ 2 ek } - variance za ostanek so med farmami razli ne Nastavimo sistem ena b me²anega modela za R = Iσe 2, G = Aσ a 2 R = Iσe 2, G 2 = Aσa 2, G = Iσg 2 Nastavimo sistem EMM za ve lastnostni model z manjkajo imi vrednostmi Nastavimo sistem EMM za ve lastnostni model z razli nimi sistematskimi in naklju nimi vplivi