Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε σημείο P(,, z ) ορίζεται από μία τριάδα αριθμών (συντεταγμένες). z (,, z) Τα τρία επίπεδα,, z χωρίζουν το χώρο σε 8 οκτημόρια. : Στο σχήμα βλέπουμε τα σημεία που ικανοποιούν τις εξισώσεις και z z z, (,, ) (,,) (,,) z,

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών Τα διανύσματα είναι κατευθυνόμενα ευθύγραμμα τμήματα. Δηλαδή, δεν καθορίζονται μόνο από το μήκος (μέτρο) τους αλλά και από τη φορά (αναφέρεται και ως διεύθυνση ή κατεύθυνση) τους. Δύο διανύσματα είναι ίσα όταν έχουν ίδιο μέτρο αλλά και ίδια φορά. Έστω r ένα διάνυσμα στο χώρο και έχει (ή ισούται με διάνυσμα που έχει) αρχικό σημείο το (,,) και τελικό σημείο το (,, z ) τότε μπορούμε να το γράψουμε με μορφή συνιστωσών r,, z. Το διάνυσμα r,, z P(,, z ). z καλείται διάνυσμα θέσεως του σημείου P(,, z) k i j Το διάνυσμα θέσης μπορεί να γραφεί σε σχέση με τα τρία πρότυπα μοναδιαία διανύσματα ως r i j zk z P(,, z) P (,, z) i k P j PP P P (,, z) Το διάνυσμα θέσεως που αντιστοιχεί στο PP,, z z είναι το Πράξεις με διανύσματα PP i j z z k

Έστω r z ορίζουμε τις Χώρος Διανύσματα i j k, και r i j zk διανύσματα και a αριθμός Πρόσθεση r r z z Αφαίρεση r r z z ( ) i ( ) j ( ) k ( ) i ( ) j ( ) k Πολλαπλασιασμό με αριθμό ar ( a ) i ( a ) j ( az ) k Και το μέτρο (μήκος) διανύσματος r i j zk r z Τα μοναδιαία διανύσματα έχουν μέτρο ενώ το μηδενικό, Για κάθε μη μηδενικό διάνυσμα το διάνυσμα r/ r έχει μέτρο και φορά τη φορά του r και το ονομάζουμε του φορά διανύσματος. Εκφράστε το διάνυσμα ταχύτητας v i j3k ενός βλήματος ως γινόμενο του μέτρου του επί τη φορά του. Λύση v Το μέτρο του είναι Οπότε 3 4 v i j3k 3 v v 4 4( i j k ) v 4 4 4 4 Έτσι ερμηνεύουμε ότι το βλήμα κινείται με ταχύτητα που έχει μέτρο 4 m/ sec 3 στη κατεύθυνση του διανύσματος i j k. 4 4 4 Απόσταση μεταξύ δύο σημείων PP z z Εξίσωση σφαίρας ακτίνας α και κέντρου (,, z ). z z a P(,, z) a P (,, z) Οι συντεταγμένες του μέσου ευθύγραμμου τμήματος.,, z z 3

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών (,, z),, z z (,, z) Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων r i j zk και r i j z k είναι ένας αριθμός r r z z r r cos Όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων που τη μετράμε ως θετική όταν την μετρά με φορά αντίθετη από αυτή των δεικτών του ρολογιού. Η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων r r r r cos arccos r r r r Βρείτε τη γωνία μεταξύ των v i j k και u 6i 3j k. Λύση vu 6 3 4, v 9 3, u 49 7 v u 4 οπότε cos cos.76 rad (ακτίνια) vu 37 Εάν και μόνο αν vu τότε τα διανύσματα είναι κάθετα (ορθογώνια) μεταξύ τους. Διανυσματική προβολή διανύσματος σε άλλο διάνυσμα. u u projvu v projvu v Η διανυσματική προβολή του u πάνω στο v : 4

u v proj v u v v Η αριθμητική συνιστώσα του u πάνω στη κατεύθυνση του v : u v v u cos u v v Χώρος Διανύσματα Βρείτε την διανυσματική προβολή του u πάνω στο v και την αριθμητική συνιστώσα του u πάνω στη κατεύθυνση του v όταν u 6i 3j k και v i j k. Λύση u v 6 3 4 8 8 proj v u v i j k i j k v 4 4 9 9 9 v 4 4 u cos u (6i 3j k) i j k v 3 3 3 3 3 Το εξωτερικό (διανυσματικό) γινόμενο δύο διανυσμάτων Το εξωτερικό διάνυσμα δύο μη μηδενικών διανυσμάτων στο χώρο βρίσκεται ως uv u v sin n όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και n το μοναδιαίο διάνυσμα που είναι κάθετο στο επίπεδο των διανυσμάτων. Το εξωτερικό διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των δύο διανυσμάτων με φορά που καθορίζει ο κανόνας του αντίχειρα του δεξιού χεριού, που βλέπουμε στο σχήμα. u v n v u Εάν και μόνο αν vu τότε τα διανύσματα είναι παράλληλα μεταξύ τους. Το μέτρο του εξωτερικού γινομένου ισούται με το εμβαδό παραλληλογράμμου που ορίζουν τα δύο διανύσματα. r i j z k, και r i j z k διανύσματα τότε Έστω 5

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών i j k r r z z Meikto ginomeno Ορίζουσες a b Εάν A c d τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό a b det( A) A ad bc c d Εάν a a a A a a a a a a 3 3 3 3 33 τότε η ορίζουσά του πίνακα ισούται με a a a 3 det( A) A a a a a det( M ) a det( M ) a det( M ) 3 3 3 a a a 3 3 33 Για το στοιχείο aij η M ij (έλασσων ορίζουσα του στοιχείου) είναι η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει εάν από τον A αφαιρέσουμε την i γραμμή και την j στήλη. a a a a a a a a a det( A) A a a a a a a 3 3 3 3 3 a3 a33 a3 a33 a3 a3 3 3 33 a a a Βρείτε τα u v, v u όταν u i j k και v 4i 3jk. Λύση i j k uv i j k i 6jk 3 4 4 3 4 3 6 vu uv i j k Ευθείες, επίπεδα και επιφάνειες στο χώρο Διανυσματική εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο P (,, z) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα v r( t) r tv, - t όπου το r είναι το διάνυσμα θέσης του τυχαίου σημείου P(,, z ) της ευθείας και r είναι το διάνυσμα θέσης του σημείου P (,, z ) 6

Χώρος Διανύσματα z P(,, z) P (,, z) v Παραμετρικές εξισώσεις ευθείας που διέρχεται από το σημείο P (,, z) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα v vi vj v3k tv, tv, z z tv, - t 3 Βρείτε τις παραμετρικές εξισώσεις ευθείας που διέρχεται από το σημείο (,, 4) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα i 4jk. Λύση t, 4 t, z 4 t, - t Βρείτε τις παραμετρικές εξισώσεις ευθείας που διέρχεται από τα σημεία P( 3,, 3) και Q(,,4) και παραμετρικοποιήστε το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα δύο σημεία. Λύση Το διάνυσμα PQ ( ( 3)) i ( ) j (4 ( 3)) k 4i 3j 7k είναι παράλληλο στη ζητούμενη ευθεία. Οπότε εάν θεωρήσετε την εξίσωση ως προς σημείο αναφοράς το P( 3,, 3) είναι 3 4 t, 3 t, z 3 7 t, - t Ενώ εάν θεωρήσετε την εξίσωση ως προς σημείο αναφοράς το Q(,, 4) είναι 4 t, 3 t, z 4 7 t, - t Τα εσωτερικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος PQ δίνεται από την παραμετροποίηση 3 4 t, 3 t, z 3 7 t, t όπου για t μας δίνει το P( 3,, 3) και γιαt το Q(,,4). Ενώ η 4 t, 3 t, z 4 7 t, t για t μας δίνει το Q(,,4) και γιαt το P( 3,, 3). 7

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από το σημείο P (,, z) και είναι κάθετο στο διάνυσμα n Ai Bj Ck Διανυσματική μορφή: n PP Μορφή Συνιστωσών: A( ) B( ) C( z z) Απλοποιημένη : A B Cz D D A B Cz n P (,, z) P(,, z) Βρείτε μία εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο P( 3,,7) και είναι κάθετο στο διάνυσμα n 5i jk. Λύση Με βάση τον τύπο 5( ( 3)) ( ) ( )( z 7) 5 z Βρείτε μία εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία P (,,), Q (,,), R (,3,). Λύση i j k Το εξωτερικό γινόμενο PQ PR 3i j 6k είναι διάνυσμα 3 κάθετο στο επίπεδο που ζητάμε. Οπότε η εξίσωση είναι 3( ) ( ) 6( z ) 3 6z 6. Βρείτε ένα διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία τομής των δύο επιπέδων 3 6 z 5 και z 5 Λύση Το διανύσματα n 3i 6j k είναι κάθετο επίπεδο 3 6 z 5, ενώ το διάνυσμα n i j k είναι κάθετο στο επίπεδο z 5 Οπότε κάθε 8

Χώρος Διανύσματα πολλαπλάσιο του διανύσματος που προκύπτει από το εξωτερικό γινόμενο n n θα είναι παράλληλο στην ευθεία της τομής του επιπέδου. i j k n n 3 6 4i j5k Βρείτε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας που ορίζει η τομή των δύο επιπέδων 3 6 z 5 και z 5 Λύση Από το προηγούμενο παράδειγμα έχουμε ένα διάνυσμα που θα είναι παράλληλο στην ευθεία. Βρίσκουμε και ένα σημείο της τομής (θέτουμε z και λύνουμε) π.χ. (3,,) οπότε οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας είναι 34 t, t, z 5 t, - t. Διανυσματικές συναρτήσεις. Έστω D ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών. Μία διανυσματική συνάρτηση r () t ορισμένη στο D είναι ένας κανόνας που αποδίδει ένα διάνυσμα του επιπέδου σε κάθε στοιχείο του D. r( t) ( t) i ( t) j Για τον χώρο μία διανυσματική συνάρτηση r () t ορισμένη στο D είναι ένας κανόνας που αποδίδει ένα διάνυσμα του χώρου σε κάθε στοιχείο του D. r( t) ( t) i ( t) j z( t) k Η καμπύλη του επιπέδου ή του χώρου αντίστοιχα που διατρέχεται από τη διανυσματική συνάρτηση είναι το γράφημα της συνάρτησης. Οι συνιστώσες συναρτήσεις ( t), ( t ) είναι βαθμωτές (αριθμητικές) συναρτήσεις. Γενικά οι ποσότητες χωρίζονται σε βαθμωτές (αριθμητικές) και διανυσματικές. Έστω ότι κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος I παρατηρούμε την κίνηση ενός σωματιδίου στο επίπεδο ή στο χώρο. Οι συντεταγμένες θέσεως μπορούν να θεωρηθούν ως συναρτήσεις του χρόνου και το διάνυσμα θέσεως κάθε χρονική στιγμή μία διανυσματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το I. Η τροχιά του σώματος είναι μία καμπύλη που διέρχεται από το r. Το r() t είναι το διάνυσμα θέσεως του σώματος κάθε χρονική στιγμή. Ο κύκλος στο επίπεδο r( t) acos( t) i asin( t) j, t Το μέτρο του διανύσματος είναι η ακτίνα του κύκλου. r ( t) acos( t) asin( t) a cos ( t) sin ( t) a a ( acos t, asin t) 9

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών Η έλικα r( t) (cos t) i (sin t) jtk - -.5.5.5 -.5-8 P( f ( t), g( t), h( t)) 6 4 Όρια Εστω r( t) ( t) i ( t) j. Εάν ισχύει ότι lim ( t ) L και lim ( t) L τότε το tc tc όριο του r() t καθώς το t τείνει στο c είναι lim r( t) L L i L j Αντίστοιχα tc Εστω r( t) ( t) i ( t) j z( t) k. Εάν ισχύει ότι lim ( t ) L, lim ( t) L και tc tc lim z ( t ) L 3 τότε το όριο του r() t καθώς το t τείνει στο c είναι tc lim r( t) L L i L j L k tc 3 Αν r( t) (cos t) i (sin t) jtk τότε lim r( t) ( lim cos t) i ( lim sin t) j (lim t) k i j k 4 t / 4 t / 4 t / 4 t /4 Συνέχεια Μία διανυσματική συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο t cτου πεδίου ορισμού της εάν lim r( t) r ( c) tc Η διανυσματική συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο t cεάν και μόνο εάν οι συνιστώσες της ( t), ( t) είναι συνεχής στο σημείο t c. Παράγωγος σε σημείο Η διανυσματική συνάρτηση r( t) ( t) i ( t) j διαθέτει παράγωγο (είναι διαφορίσιμη στο t), αν οι ( t), ( t ) έχουν παραγώγους στο t. Η παράγωγος της είναι η διανυσματική συνάρτηση dr r( t t) r( t) d( t) d( t) r '( t) lim i j t t

Χώρος Διανύσματα Αντίστοιχα Η διανυσματική συνάρτηση r( t) ( t) i ( t) j z( t) k διαθέτει παράγωγο (είναι διαφορίσιμη στο t, αν οι f ( t), g( t), h( t ) έχουν παραγώγους στο t. Η παράγωγος είναι η διανυσματική συνάρτηση dr r( t t) r( t) d( t) d( t) dz( t) r '( t) lim i j k t t Αν r( t) (cos t) i (sin t) jtk τότε r'( t) (cos t)' i (sin t)' jt ' k ( sin t) i (cos t) jk Η διανυσματική συνάρτηση είναι διαφορίσιμη εφόσον είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Η καμπύλη που διατρέχεται από το διάνυσμα r είναι λεία (δηλαδή δεν εμφανίζει γωνιές) αν η παράγωγος d r είναι παντού συνεχής και διάφορη του μηδενικού διανύσματος (κάτι που είναι ισοδύναμο με το να έχει μη μηδενικό μέτρο). Το διάνυσμα d r όταν είναι διάφορο του μηδενικού, είναι εφαπτόμενο της καμπύλης. r( t t) r( t) z r'( t) t rt () r( t t) Τύποι και κανόνες παραγώγισης για διανυσματικές συναρτήσεις d d C ( c i c j c k) 3 d dr ( cr( t)) c cr '( t) d ( f ( t ) r( t )) f '( t ) r( t ) f ( t ) r '( t ) d ( r ( t) r ( t)) r '( t) r '( t) d ( r ( t) r ( t)) r '( t) r ( t) r ( t) r '( t) (Εσωτερικό γινόμενο) d ( r( f ( t)) r '( f ( t)) f '( t)

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών d ( r ( t) r ( t)) r '( t) r ( t) r ( t) r '( t) (Εξωτερικό γινόμενο, για καμπύλες στο χώρο) Αν d r t t 3 i t j και ( t ) / t sin t ( ) r i j τότε d t t t t t t t t t t ( r ( ) r ( )) ( sin ) 4 sin cos 3 3 t t t t t t t t t t t t 3 6t i tj / ti sin t j t i t j / t i cost j 3 6t / t ( t)sin t t / t t cost r '( ) r ( ) r ( ) r '( ) i j ' / i sin j i j / i sin j ' 6t tsin t t t cost 4t tsin t t cos t Επίσης εάν f () t e t 3 και r( t) t i t jοπότε r '( t) 6t i tj d 3 3 3 ( f ( t ) ( t )) e t t t ' e t t t t t e t ' e t ' e r i j i j i t ' j t 3 t t t t t e t e 6t e t e t t e t 3 te t t 3 t 3 '( ) r( ) ( ) r'( ) ( )' i j ( ) i j' t 3 t e t i t j ( e ) 6t i tj 3 i j i j f t t f t t e t t e t t t t t t t t e t e 6 t i e t ( e ) t j e t t 3 i e t( t ) j Αν r είναι μία διαφορίσιμη διανυσματική συνάρτηση του t με σταθερό μέτρο τότε dr r Δείξτε ότι η t t t είναι ορθογώνιο στην παράγωγό του. Έχει σταθερό μέτρο r t t t Και t t t r '( ) (cos ) i sin j k όπου r( ) (sin ) i cos j 3k έχει σταθερό μέτρο και ( ) (sin ) cos 3 3 r( t) r '( t) (sin t) i cos t j 3 k (cos t) i sin t j k sin t cos t sin t cos t Το αόριστο ολοκλήρωμα Το αόριστο ολοκλήρωμα της διανυσματικής συνάρτησης r( t) ( t) i ( t) j ως προς το t είναι το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων του r και συμβολίζεται με r () t. Αν R είναι τυχούσα αντιπαράγωγος του r τότε r ( t) R ( t) C

Χώρος Διανύσματα Όπου C ci cj για το επίπεδο και C ci cj c3k για το χώρο. Το ορισμένο ολοκλήρωμα Εάν οι συνιστώσες του r( t) ( t) i ( t) j είναι ολοκληρώσιμες στο [ ab,, ] τότε το r είναι ολοκληρώσιμο, και το ορισμένο ολοκλήρωμα του r από το a στο b είναι b b b r( t) ( t) i ( t) j a a a Αντίστοιχα Εάν οι συνιστώσες του r( t) ( t) i ( t) j z( t) k είναι ολοκληρώσιμες στο [ ab,, ] τότε το r είναι ολοκληρώσιμο, και το ορισμένο ολοκλήρωμα του r από το a στο b είναι b b b b r( t) ( t) i ( t) j z( t) k a a a a ((cos t) i j tk) cost i j t k sin t i t j t k [ ] i [ ] j[ ] k j k Μήκος τόξου καμπύλης Το μήκος λείας καμπύλης r( t) ( t) i ( t) j z( t) k, a t b που διατρέχεται ακριβώς μία φορά καθώς το t αυξάνει από t a στο t b ισούται με b d d dz L a Η παραμετρική μορφή του μήκους τόξου με σημείο αναφοράς το Pt ( ) είναι t t s( t) '( ) '( ) z '( ) d Ένας αετός ανελίσσεται επί της καμπύλης έλικας r( t) (cos t) i (sin t) jtk. Πόση απόσταση έχει διανύσει στην τροχιά του από t= έως t=π (περίπου 6.8 sec); d d dz L sin cos t t t μονάδες μήκους. 3

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών Συστήματα Συντεταγμένων στο επίπεδο Έστω Α ένα σημείο του επιπέδου. ο τεταρτημόριο - + r θ Α (,) (r,θ) ο τεταρτημόριο + + 3 ο τεταρτημόριο - - Ο(,) Ο 4 ο τεταρτημόριο + - Καρτεσιανές Συντεταγμένες Σε αυτό το σύστημα η θέση κάθε σημείου καθορίζεται από ένα ζευγάρι αριθμών (,). Το λέγεται τετμημένη του Α και το τεταγμένη. Το πρόσημό τους διαφέρει από τεταρτημόριο σε τεταρτημόριο. Πολικές Συντεταγμένες Σε αυτό το σύστημα η θέση κάθε σημείου καθορίζεται από ένα ζευγάρι αριθμών (r,θ). Το r είναι η απόσταση από το κέντρο και είναι πάντα θετικό. Το θ είναι η γωνία που σχηματίζει το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το κέντρο (,) με το σημείο Α και ο θετικός ημιάξονας. Το θ αν μετριέται με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού, η γωνία αυτή είναι θετική και μικρότερη του. Αν όμως μετριέται με τη φορά των δεικτών του ρολογιού, η γωνία αυτή είναι αρνητική και μεγαλύτερη του -..5.5 r cos.5.5.5 3 -.5 - -.5 Συμμετρίες στο σύστημα πολικών συνταγμένων Συμμετρία ως προς τον άξονα. Αν το σημείο (r,θ) ανήκει στο γράφημα, τότε και το σημείο (r,-θ) ή (-r,π-θ) θα ανήκει στο γράφημα. Συμμετρία ως προς τον άξονα. Αν το σημείο (r,θ) ανήκει στο γράφημα, τότε και το σημείο (r,π-θ) ή (-r,-θ) θα ανήκει στο γράφημα. Συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων. Αν το σημείο (r,θ) ανήκει στο γράφημα, τότε και το σημείο (-r,θ) ή (r,π+θ) θα ανήκει στο γράφημα. 4

Χώρος Διανύσματα ( r, ) ( r, ) ( r, ) ( r, ) ( r, ) ή ( r, ) ή ( r, ) Σχέση μεταξύ Καρτεσιανών και Πολικών Συντεταγμένων rcos( ) rsin( ) r arctan Παραδείγματα Ισοδύναμων εξισώσεων Πολική Εξίσωση Καρτεσιανό αντίστοιχο r cos r cossin 4 4 r cos r sin r rcos 3 4 r rcos 4 4 3 Παραδείγματα Μετατροπή καρτεσιανών σε πολικές και αντίστροφα Η πολική εξίσωση του κύκλου 3 9 3 9 6 9 9 6 r 6sin r 6r sin ή r 6sin r Το καρτεσιανό ισοδύναμο της r 4rcos Ισχύει r και r cos( ) οπότε r 4r cos 4 4 4 4 4 που είναι κύκλος με ακτίνα και κέντρο (,). Εμβαδό σε πολικές συντεταγμένες Έστω μία πολική καμπύλη r f( ). Το εμβαδόν του χωρίου το οποίο σαρώνει η ακτίνα r f( ), a b, είναι 5

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών A b a r d Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου στο επίπεδο που περικλείεται από την καρδιοειδή καμπύλη r ( cos ). 3 4 - - Σχεδιάζουμε την καρδιοειδή και βλέπουμε ότι η ακτίνα r σαρώνει ακριβώς μία φορά το χωρίο καθώς το θ μεταβάλλεται από σε π. Οπότε το εμβαδό ισούται A r d 4( cos ) d ( cos cos ) d cos 4cos d 3 4cos cos d sin 3 4sin 6 6 cos Χρησιμοποιήσαμε ότι cos. Μήκος τόξου καμπύλης Εάν η r f( ) έχει συνεχή πρώτη παράγωγο για a b και αν το σημείο Pr (, ) διατρέχει την καμπύλη r f( ) ακριβώς μία φορά καθώς το θ αυξάνει από a στο b ισούται με b dr L r d a d Να βρεθεί το μήκος της καρδιοειδούς καμπύλης r cos. 6

Χώρος Διανύσματα.5 - -.5 - -.5 -.5 - Σχεδιάζουμε την καρδιοειδή και βλέπουμε ότι η το σημείο Pr (, ) διατρέχει ακριβώς μία φορά με αριστερόστροφη φορά την καμπύλη καθώς το θ μεταβάλλεται από σε π. dr r ( cos ) sin cos cos sin cos d Οπότε το μήκος ισούται dr L r cos 4sin sin d d d d d sin d 4 cos 4 4 8 Χρησιμοποιήσαμε ότι sin sin όταν και Συστήματα Συντεταγμένων στον χώρο. sin cos Καρτεσιανές συντεταγμένες Όπως έχουμε αναφέρει στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων για κάθε σημείο P(,, z ) ορίζεται από μία τριάδα αριθμών (συντεταγμένες). z (,, z) 7

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών Κυλινδρικές συντεταγμένες. Οι κυλινδρικές συντεταγμένες παριστάνουν ένα σημείο P του χώρου μέσω της διατεταγμένης τριάδας (r,θ,z) όπου r,θ είναι οι πολικές συντεταγμένες της κατακόρυφης προβολής του σημείου στο επίπεδο και z η κατακόρυφη καρτεσιανή συντεταγμένη. P( r,, z) z r Σφαιρικές συντεταγμένες. Οι σφαιρικές συντεταγμένες παριστάνουν ένα σημείο P του χώρου μέσω της διατεταγμένης τριάδας (ρ,φ, θ) όπου ρ είναι η απόσταση του σημείου από την αρχή των αξόνων, φ είναι η γωνία που σχηματίζει το ΟΡ με τον θετικό ημιάξονα z ( ) και θ είναι η ίδια γωνία που εμφανίζεται στις κυλινδρικές συντεταγμένες. P(,, ) z cos r 8

Χώρος Διανύσματα Σχέση μεταξύ Σφαιρικών (ρ,φ, θ) Καρτεσιανών (,,z) και Κυλινδρικών Συντεταγμένων (r,θ,z), r sin r cos sin cos z cos r sin sin sin z z z cos z r z Το παραβολοειδές που αναπαρίσταται σε καρτεσιανές συντεταγμένες με τον τύπο z σε κυλινδρικές συντεταγμένες περιγράφεται από τον τύπο z r. Πράγματι z r cos z r cos r sin r rsin,3, [,3 / ] r - - r,3, [, ] - - 8 6 4 8 6 4 Η σφαίρα με ακτίνα και κέντρο το (,,) που αναπαρίσταται σε καρτεσιανές συντεταγμένες με τον τύπο z συντεταγμένες περιγράφεται από τον τύπο cos. z σε σφαιρικές sin cos sin cos sin sin cos sin sin z cos sin cos sin cos cos sin cos cos cos cos 9

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών -.5 -.5.5,, [, ].5 -, / 7, [, ] -.5.5.5 - -.5.5.75.5.5, / 7, [, ].5.5 - -.5 -.5.5 - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνομο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο σύγγραμμα που διανέμεται και στην προτεινόμενη βιβλιογραφία του μαθήματος. Το περιεχόμενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραμμα των παραδόσεων του μαθήματος. Αποτελούν τις διαφάνειες της διδασκαλίας μαθήματος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να μη χρησιμοποιηθεί και να μην αναπαραχθεί και διανεμηθεί για άλλο σκοπό. Ιδιαίτερα παραδείγματα και σχήματα έχουν αντληθεί από τα συγγράμματα :. Thomas Calculus th edition, Wier, Hass, Jiordano, Pearson AW. Thomas Απειροστικός Λογισμός, Finne, Hass, Jiordano, Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης 3. Ανώτερα Μαθηματικά ΙΙ για Μηχανικούς Α. Αθανασιάδη Εκδόσεις Τζιόλα. Και υπόκεινται στο Copright των εκδόσεων αυτών.