θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να γίνει περισσότερο κατανοητή στους μαθητές η χρησιμότητά τους στην Ανάλυση Α ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Αν μια συνάρτηση f ορισμένη στο κλειστό διάστημα α,β, είναι συνεχής στο διάστημα α,β και f(α) f (β) τότε, υπάρχει τουλάχιστον ένα x α,β ώστε, f (x ) τέτοιο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να δειχθεί ότι η εξίσωση: x x 3, Κώστας Βακαλόπουλος έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα στο διάστημα, x f (x) x 3 στο, Η f είναι συνεχής στο, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων f ( ) και f () Αλγεβρική ερμηνεία: Αν f συνεχής συνάρτηση στο α,β με f(α) f (β) τότε η εξίσωση: f (x) έχει τουλάχιστον μια λύση στο διάστημα α,β Γεωμετρική ερμηνεία: Αν f συνεχής συνάρτηση στο α,β με f(α) f (β) τότε η γραφική παράσταση της f (C f ) τέμνει τον άξονα x x σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο α,β ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ Θ BOLZANO η ) Με το θ Bolzano αποδεικνύεται η ύ- παρξη μιας τουλάχιστον ρίζας μιας εξίσωσης: f(x) σ ένα διάστημαα,β Άρα (από το Θ Bolzano) προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x, τέτοιο ώστε f (x ), δηλαδή η εξίσωση: x f (x) x 3 έχει στο, μια τουλάχιστον ρίζα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Άσκηση 6/Α Ομάδας (σελ 98) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) x και g(x) συνx τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο με τε- π τμημένη στο διάστημα, h(x) f (x) g(x) x συνx στο ως δια- π Η h είναι συνεχής στο, φορά συνεχών συναρτήσεων π, Κώστας Βακαλόπουλος

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) h() και π π h Άρα (από το Θ Bolzano) προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα π x, τέτοιο ώ- στε, h(x ) f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) δηλαδή οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται τουλάχιστον σε ένα σημείο με τετμημένη π στο, ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Θεωρούμε την εξίσωση: Άσκηση /Β Ομάδας (σελ 99) x α x α x α, α, έ- χει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) (Παραμετρική εξίσωση) : f (x) x α x α x α στο, H f είναι συνεχής στο, ως πολυωνυμική f () α και f () 3α α 6 (το τριώνυμο έχει διακρίνουσα αρνητική άρα έχει θετικές τιμές για κάθε α ) Άρα (από το θ Bolzano) προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x (, ): f(x ) δηλαδή η εξίσωση f (x) x α x α x α έχει στο (, ) μια τουλάχιστον ρίζα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: x x έχει στο διάστημα, x x μια τουλάχιστον ρίζα Για κάθε x, ισχύει: x x x x x x x x Θεωρούμε τα συνάρτηση: f (x) x x x x στο, Η f είναι συνεχής στο, ως πολυωνυμική, f () και f () 65 Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα x, ισχύει: f (x ) ώστε να x, x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x έχει στο διά- Άρα η εξίσωση x x στημα, μια τουλάχιστον ρίζα η ) Αν ζητείται να αποδείξουμε ότι υπάρχει ακριβώς μία λύση της εξίσωσης f(x) σ ένα διάστημαα,β, τότε αποδεικνύουμε την ύπαρξη της ρίζας με Bolzano και στη συνέχεια την μοναδικότητά της συνήθως αποδεικνύοντας ότι συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη άρα και «-» Κώστας Βακαλόπουλος

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Να δειχθεί ότι η εξίσωση: lnx αx με α e έχει μια μόνο ρίζα στο, e f (x) ln x αx στο, e Η f είναι συνεχής στο, e ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων α e α f e e e, f () α Άρα (από το Θ Bolzano) προκύπτει ότι υπάρ- χει τουλάχιστον ένα x, e τέτοιο ώστε, f (x ), δηλαδή η εξίσωση: f (x) ln x αx έχει στο τουλάχιστον ρίζα, e μια Όμως, για κάθε x, f (x) α e x άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο, e οπότε και «-» Επομένως η ρίζα x είναι μοναδική (Μονοτονία χωρίς παραγώγους: Έστω ln x x ln x ln x και αx αx e α ln x αx ln x αx f (x ) f (x ) ) 3 η ) Αν ζητείται να αποδείξουμε την ύπαρξη δυο τουλάχιστον ριζών μιας εξίσωσης: f(x) σ ένα διάστημα α,β τότε εφαρμόζουμε θ Bolzanο σε δύο ξένα μεταξύ τους υποσύνολα του διαστήματος α,β ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Ν' αποδειχθεί ότι η εξίσωση: 3 x 6 3x 8x έχει στο διάστημα (, ) δυο τουλάχιστον ρίζες 3 f (x) x 6 3x 8x στο, και στο, Η f είναι συνεχής στο, και στο, ως πολυωνυμική συνάρτηση f () 6, f () και f () Άρα (από το Θ Bolzano) προκύπτει ότι υπάρχουν τουλάχιστον ένα x, και ένα x, τέτοια ώστε f (x ) f (x ) δηλαδή η εξίσωση: 3 f (x) x 6 3x 8x 3 x 6 3x 8x έχει στο (, ) δύο τουλάχιστον ρίζες η ) Αν ζητείται να αποδείξουμε την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας μιας εξίσωσης: f(x) σ ένα διάστημα της μορφής: α,β, α,β, α,β τότε,τουλάχιστον ένα από τα: f(α),f(β) θα είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το μηδέν ή μικρότερο ή ίσο με το μηδέν Οπότε θα διακρίνουμε περιπτώσεις Αν δεν είναι μηδέν θα εφαρμόσουμε θ Bolzano, αν είναι μηδέν τότε η εξίσωση: f(x) θα έχει ρίζα έναν τουλάχιστον από τα α, β ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Ν' αποδειχθεί ότι για κάθε α η εξίσωση: ημx x π ημα έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, π 3 Κώστας Βακαλόπουλος

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) f(x) ημx x π ημα στο, π Η f είναι συνεχής στο, π ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων f() ημ π ημα π ημα, f π ημπ π π ημα ημα Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: η : Αν f π ημα α κπ π κ τότε η εξίσωση () έχει ρίζα το π η : Αν f π α κπ π, κ τότε θα ι- σχύει f π δηλαδή f()f π Τότε, από το θ Bolzano προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x, π : f(x ) δηλαδή η εξίσωση: f (x) π ημx x ημα έχει στο, π π ημx x ημα μια τουλάχιστον ρίζα Άρα: Η εξίσωση: ημx x π ημα έχει στο, π μια τουλάχιστον ρίζα για κάθε α 5 η ) Με τη βοήθεια του θ Bolzano μπορούμε να προσδιορίσουμε το πρόσημο μιας παράστασης ή καλύτερα τα διαστήματα που η παράσταση αυτή είναι θετική ή αρνητική Δηλαδή μπορούμε να λύνουμε ανισώσεις Βασιζόμαστε στη πρόταση ότι: «Σε κάθε διάστημα που μια συνεχής συνάρτηση δεν μηδενίζεται, διατηρεί πρόσημο» με αποτέλεσμα «μια συνεχής συνάρτηση να διατηρεί πρόσημο σε κάθε διάστημα που σχηματίζουν οι διαδοχικές ρίζες της» (βλέπε σχόλιο σχολικού βιβλίου σελίδα 9) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 Να λυθεί η ανίσωση: ημx συνx στο,π Κατ αρχήν θα λύσουμε την εξίσωση: ημx συνx,π στο x,π 3π 7π ημx συνx x ή x f (x) ημx συνx στο,π και με τη βοήθεια του προσήμου της τιμής της f σε τυχαία επιλεγμένο αριθμό x σε κάθε διάστημα των διαδοχικών ριζών της εξίσωσης θα προσδιορίσουμε το πρόσημό της σε καθένα από αυτά διάστημα 3π 3π 7π 7π,,,π x π π π 6 f (x ) 3 Πρόσημο f(x) + - + 3π (Στα διαστήματα, και 7π,π μπορούσαμε να είχαμε χρησιμοποιήσει και τα άκρα: ή π) Άρα: Κώστας Βακαλόπουλος

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) ημx συνx για 3π 7π x,,π ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΜΙΑΣ ΣΥ- ΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΕΧΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f (x) x για κάθε x Να βρεθεί ο τύπος της f και να γίνει η γραφική της παράσταση ον ) Βρίσκουμε τις ρίζες της f (x) f (x) x x β) Επειδή η f είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται στα διαστήματα, και, θα διατηρεί σε κάθε ένα από αυτά σταθερό πρόσημο Δηλαδή θα ισχύει: η περίπτωση: f (x) f (x) στο, στο, στο, στο, στο, στο, στο, στο, η περίπτωση: f (x) f (x) 3 η περίπτωση: f (x) f (x) η περίπτωση: f (x) f (x) και και και και γ) f (x) x f (x) x ή f (x) x, για κάθε x Για κάθε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις έχουμε: η περίπτωση: x, x f (x), x f (x) x, x x, x x, x f (x), x f (x) x, x x, x 3 η περίπτωση: x, x f (x), x f (x) x, x x, x η περίπτωση: x, x f (x), x f (x) x, x x, x Β ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Αν μια συνάρτηση f ορισμένη στο κλειστό διάστημα α,β, είναι συνεχής στο διάστημα α,β και f(α) f (β) τότε για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(β), υπάρχει ένα τουλάχιστον x ώστε f (x ) η f(α) και (α,β) έτσι η περίπτωση: 5 Κώστας Βακαλόπουλος

Η απόδειξη του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών γίνεται με το θ Bolzano Πράγματι, Έστω f(α) f (β) οπότε f(α) η f (β) Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) f (x) η, στο α,β Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο α,β g(α) f (α) η και g(β) f (β) η Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα x (α,β) έτσι ώστε g(x ) f (x ) η f (x ) η Όμοια αν f(α) f (β) Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) Με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι μια συνεχή συνάρτηση στο α,β παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ των f(α) και f(β) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται η συνάρτηση: f(x) x3 ημπx 7 στο 6 [, ] Δείξτε ότι η f παίρνει την τιμή 7 στο (, ) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] (ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων) Επίσης ισχύει: f() 3, f() Σύμφωνα με το θ Ενδιάμεσων Τιμών επειδή ο 7 βρίσκεται μεταξύ του 3 και του δηλ f() 7 f() θα υπάρχει τουλάχιστον ένα x (, ): f(x ) 7 Δηλαδή η συνάρτηση f παίρνει την τιμή 7 στο (, ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [, ] και γνησίως αύξουσα σ αυτό Αν f() και f(), δείξτε ότι: α Η ευθεία y 3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη x (, ) β Υπάρχει ένα ακριβώς x (, ), τέτοιο ώστε 3 f f f f 5 5 5 5 f(x ) ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ α) Επειδή f () 3 f () ισχύουν οι προϋποθέσεις του θ ενδιαμέσων τιμών οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x (, ), έτσι ώστε f (x ) 3 Δηλαδή η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία y 3 τουλάχιστον σ ένα σημείο με τετμημένη x (, ) Επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο, θα είναι και «-», η ρίζα x είναι μοναδική στο, β) Αρκεί να αποδείξουμε ότι ο αριθμός: 3 f f f f 5 5 5 5 είναι μεταξύ των f() και f() 6 Κώστας Βακαλόπουλος

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) Πράγματι, f f () f f () 5 5 f f () f f () 5 5 Αν η συνάρτηση είναι και γνησίως φθίνουσα στο α,β τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα f(β),f (α) 3 f 3 f () f f () 5 5 f f () f f () 5 5 Με πρόσθεση κατά μέλη των παραπάνω ανισοτήτων προκύπτει ότι: 3 f () f f f f f () 5 5 5 5 3 f f f f 5 5 5 5 f () f () Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα x (, ), έτσι 3 f f f f 5 5 5 5 ώστε, f (x ) Επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο, θα είναι και «-», η ρίζα x είναι μοναδική στο, Με το θ ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται επίσης ότι το διάστημα f(α),f(β) αν f(α) f(β) ή το f(β),f(α) αν f(α) f(β) είναι υποσύνολο του συνόλου τιμών της Μπορούμε όμως να βρούμε το ΣΥΝΟΛΟ ΤΙ- ΜΩΝ; Αν η συνάρτηση είναι και γνησίως αύξουσα στο α,β τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα f(α),f (β) ενώ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρείτε το σύνολο τιμών της f(x) lnx στο,e ΛΥΣΗ Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο,e (ως διαφορά συνεχών) f (x) ln x για κάθε x x,e Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο,e Οπότε: Το σύνολο τιμών της είναι: f (A) f (),f (e) ln,ln e, ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της συνάρτησης: f(x) ημx 3συνx, π π x, 6 3 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x π 6, π 3 Επίσης f (x) συνx 3ημx για κάθε π π x, 6 3 Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο π 6, π Επομένως το σύνολο τιμών 3 της f είναι το διάστημα: π π 3 3 3 f,f, 3 6 3 7 Κώστας Βακαλόπουλος

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στα διαστήματα α,β ήα,βήα,β τότε τα ανοιχτά άκρα του συνόλου τιμών αντικαθίστανται με τα όρια: lim f(x) και lim f(x) xα xβ Αντίστοιχα συμπεράσματα ισχύουν αν τα άκρα είναι ή οπότε τα άκρα γίνονται lim f(x), x lim f(x) x Έτσι, για παράδειγμα, αν μια συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα α,β τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστη- μα lim f(x), lim f(x) xα xβ αν μια συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα α,β τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα f(β), lim f(x) xα κλπ ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ (και όχι μόνο!) Με τη βοήθεια του συνόλου τιμών θα αποδεικνύουμε την ύπαρξη ρίζας μιας εξίσωσης f(x) Συγκεκριμένα, αν το σύνολο τιμών της συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα που περιέχει το μηδέν τότε υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x) στο διάστημα που εργαζόμαστε ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να δείξετε ότι η εξίσωση ln x, έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα, x ος τρόπος: (ΜΕ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ) f (x) ln x στο x, Η f είναι συνεχής στο, (ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων) Επίσης f (x) ln x για κά- x x x θε x, αύξουσα στο, Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως Άρα το σύνολο τιμών της f είναι: f (A) lim f (x), lim f (x) x x lim ln x,lim ln x, x x x x Επειδή το f (A) υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της εξίσωσης f (x) ln x στο x, που είναι και μοναδική αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα άρα και «-» ος τρόπος: (ΜΕ Θ ΒOLZANO στο,e ) f (x) ln x στο x, Επειδή f () ln και e f (e) ln e και η συνάρτη- e e e ση f είναι συνεχής στο,e, από το θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x,e, τέτοιο ώστε f (x ) ln x ln x Η x x συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα και «-», οπότε το x είναι μοναδικό 3 ος τρόπος: (ΜΕ Θ ΒOLZANO στο α,β ), Επειδή x f (x) ln x στο x lim f (x) υπάρχει ένα α (κοντά στο μηδέν) ώστε f(α) Ε- 8 Κώστας Βακαλόπουλος

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) πίσης, επειδή lim f (x) υπάρχει ένα x β (μεγάλος αριθμός) ώστε f(β) Από το θεώρημα Bolzano στο διάστημα α,β, προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x α,β, τέτοιο ώστε: f (x ) ln x ln x (Για x x την μοναδικότητά της κατά τα γνωστά) Με την ευκαιρία αυτή (του 3 ου τρόπου), αναφέρουμε μια πρόταση πολύ χρήσιμη για την συνέχεια: ΠΡΟΤΑΣΗ Ένα πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα Απόδειξη f (x) α x α x α, με ν περιττό και α Επειδή ν ν ν lim f (x) υπάρχει ένα x α (μικρός αριθμός) ώστε f(α) Επίσης, επειδή lim f (x) υπάρχει ένα β x (μεγάλος αριθμός) ώστε f(β) Από το θεώρημα Bolzano στο διάστημα α,β προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x α,β τέτοιο ώστε f (x ) Άρα το πολυώνυμο P(x) α x α x α έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα ν ν Γ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙ- ΣΤΟΥ Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα Δηλαδή η συνάρτηση παρου- x, x για κάθε x α,β σιάζει στο α,β τότε υπάρχουν τουλάχιστον δύο αριθμοί α,β ελάχιστη ( f (x ) m ) και μέγιστη ( f (x ) α,β τέτοιοι ώστε f (x ) f (x) f (x ) M ) τιμή Σημείωση Εφαρμόζοντας το θ ενδιαμέσων τιμών στα διαστήματα x,β αποδεικνύεται ότι η α, x και συνάρτηση f παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ των αριθμών m, f(α) και f(β), Μ Άρα: Η συνεχής συνάρτηση f στο α,β έχει σύνολο τιμών διάστημα το m,m Αν m M τότε η συνάρτηση f είναι σταθερή και το σύνολο τιμών της είναι ο αριθμός m ή M ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αν στις ασκήσεις που μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός x α,β ώστε να ισχύει: fx η όπου f συνεχής συνάρτηση στο α,β και ο αριθμός η δεν μπορεί να αποδειχθεί ότι βρίσκεται μεταξύ των f(α)και f(β) τότε αποδεικνύουμε ότι m η M,όπου m και Μ η ελάχιστη και μέγιστη τιμή της συνάρτησης ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Αν f συνάρτηση συνεχής στο [α, β], να αποδείξετε ότι υπάρχει x [α, β]: f(x ) 6 f(α) f α β 3f(β) Φυσικά η άσκηση αυτή δεν μπορεί να λυθεί με θ Ενδιάμεσων Τιμών γιατί δεν έχουμε στοιχεία να αποδείξουμε ότι ο αριθμός: 6 f(α) f α β 3f(β) να είναι μεταξύ των 9 Κώστας Βακαλόπουλος

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) f(α) και f(β) Όμως αφού η f συνεχής στο [α, β] η f θα παρουσιάζει ελάχιστη m και μέγιστη Μ τιμή στο [α, β] Άρα για κάθε x [α, β] ισχύει: m f(x) Μ Έτσι: α [α, β] m f(α) Μ () α β [α, β] m f α β Μ m f α β Μ () Πχ Αν f συνεχής στο [α, β] και αύξουσα στο [α, β] Τότε: f(α) = [f(α), f(β)] Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο αν η f ήταν συνεχής στο (α, β) και αύξουσα σ' αυτό Τότε, αν η γραφική παράσταση της f ήταν όπως του σχήματος, το σύνολο τιμών της είναι: f(α) = [limf(x), lim f(x)) xα xβ β [α, β] m f(β) Μ 3m 3f(β) 3Μ (3) Προσθέτοντας τις (), (), (3) κατά μέλη προκύπτει ότι: 6m f(α) fα β 3f(β) 6Μ f(α) f α β 3f(β) δηλαδή: m Μ Ά- 6 ρα, υπάρχει τουλάχιστον ένα x α,β f(α) f α β 3f(β) f(x ) 6 Επίλογος Στα θ Bolzano, θ Ενδιάμεσων Τιμών και θ Μεγίστου Ελαχίστου οι εφαρμογές είναι πάρα πολλές Στο άρθρο που προηγήθηκε δόθηκαν μερικές βασικές εφαρμογές με σκοπό ν' αποτελέσουν παράδειγμα για τη λύση πολλών ασκήσεων τόσο του σχολικού όσο και άλλων βιβλίων Σχόλιο Στη περίπτωση συνεχούς συνάρτησης στο [α, β] για προσδιορισμό του συνόλου τιμών της Κώστας Βακαλόπουλος