ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Μία διδακτική προσέγγιση
|
|
- Διάβολος Κηφάς Δαγκλής
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Μία διδακτική προσέγγιση ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (4-2ωρα) Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
2 1 ο 2ωρο Μπέρναρντ Μπολζάνο ( ) (Πηγή: ) Σελίδα 1
3 Ο Bernard Bolzano γεννήθηκε στην Πράγα. Το 1796 φοίτησε στο πανεπιστήμιο, όπου σπούδασε μαθηματικά, φιλοσοφία και φυσική. Το 1800 άρχισε τις σπουδές του στη Θεολογία. Το 1805 χειροτονήθηκε ιερέας και αναγορεύτηκε διδάκτορας και το 1806 έγινε τακτικός καθηγητής της Ρωμαιοκαθολικής Θεολογίας στη Φιλοσοφική Σχολή. Ο Bolzano ήταν υπέρμαχος μιας ολοκληρωτικής μεταρρύθμισης του κοινωνικού συστήματος. Οι σοσιαλιστικές του απόψεις τον έφεραν σε σύγκρουση με το κατεστημένο της εποχής, με αποτέλεσμα να διωχθεί από το πανεπιστήμιο το 1819 και να χαρακτηριστεί "αιρετικός". Το συγγραφικό του έργο περιλήφθηκε στον κατάλογο των απαγορευμένων βιβλίων. Οι φιλοσοφικές και λογικές του έρευνες και απόψεις περιλαμβάνονται στο έργο του "Θεωρία της επιστήμης". Εξαιτίας του ότι ήταν απαγορευμένος αναγκαζόταν να δημοσιεύει τις εργασίες του ανώνυμα και σε "περιθωριακές" εκδόσεις. Στον Bolzano οφείλεται ο αυστηρός ε-δ ορισμός του ορίου, καθώς και η πρώτη αναλυτική απόδειξη του γνωστού ως θεωρήματος Bolzano για τις συνεχείς συναρτήσεις. Έδωσε παράδειγμα συνάρτησης παντού συνεχούς και πουθενά παραγωγίσιμης πολύ πριν τον Weirstrass. Οι εργασίες του αυτές ήταν άγνωστες ως το 1881,που τα έφερε στο φως ο Otto Stolz. (Πηγή: ) Σελίδα 2
4 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO 1 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 3. i. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 0. Ποια η γεωμετρική ερμηνεία των ριζών της πιο πάνω εξίσωσης; ii. iii. Είναι η συνάρτηση f συνεχής και αν ναι για πιο λόγο; Να βρεθεί το πρόσημο του γινομένου : f(0).f(2) Να γίνει η γραφική παράσταση της f. Εντοπίστε τα f(0), f(2). Στο διάστημα [0,2] η γραφική παράσταση τέμνει τον χ χ ; Σελίδα 3
5 iv. Ανοίγουμε το πρόγραμμα GEOGEBRA και στην αρχική σελίδα πληκτρολογούμε την εντολή, όπως φαίνεται στην εικόνα, μέσα στην γραμμή εισαγωγής ( κάτω μέρος). Προσοχή όσα πληκτρολογούμε πρέπει να είναι με Αγγλική γραμματοσειρά. Σελίδα 4
6 ΕΡΩΤΗΣΗ 1 η Να διατυπωθεί το θεώρημα Bolzano και να γραφτούν οι άμεσες συνέπειες. ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σ ένα διάστημα [α, β]. Αν : η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) f(β) < 0 τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 ε (α, β) τέτοιο ώστε f(x 0 ) = 0, δηλαδή υπάρχει μία, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 στο ανοικτό διάστημα (α, β). Γεωμετρική Eρμηνεία Θεωρήματος Bolzano Παρατηρούμε ότι f(α)<0 ενώ f(β)>0 και επειδή η f είναι συνεχής στο [α,β], δηλ. η C f είναι συνεχόμενη γραμμή τότε σίγουρα θα τέμψει τον χ χ τουλάχιστον μία φορά. Μπορούμε να δούμε και ένα σχετικό video με την παρουσίαση του Θ.Β. στην παρακάτω διεύθυνση: Παρακάτω θα δούμε την αναγκαιότητα των πιο πάνω προϋποθέσεων στο Θ.Β. Σελίδα 5
7 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO 2 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Δίνεται η συνάρτηση f(x) = { χ2 5χ + 6, χ 1 χ 2 χ 1, χ > 1. i. Να εξετάσετε αν f είναι συνεχής στο [0,2]. ii. iii. Να βρεθεί το πρόσημο του γινομένου : f(0).f(2) Ισχύουν και οι 2 προϋποθέσεις του Θ.Β. στο [0,2] ; Είμαστε σίγουροι ότι η f έχει ρίζα στο [0, 2]; Ανοίγουμε το πρόγραμμα GEOGEBRA και στην αρχική σελίδα πληκτρολογούμε την εντολή, όπως φαίνεται στην εικόνα, μέσα στην γραμμή εισαγωγής ( κάτω μέρος). Προσοχή όσα πληκτρολογούμε πρέπει να είναι με Αγγλική γραμματοσειρά. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση στο πιο πάνω σύστημα αξόνων Σελίδα 6
8 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO 3 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Δίνεται η συνάρτηση f(x) = lnx x. i. Είναι η συνάρτηση f συνεχής και αν ναι για πιο λόγο; Να βρεθεί το πρόσημο του γινομένου : f(2).f(e 2 ). ii. Ισχύουν οι 2 προϋποθέσεις του Θ.Β. στο [2, e 2 ] ; Είμαστε σίγουροι ότι η f έχει ρίζα στο [2, e 2 ]; Ανοίγουμε το πρόγραμμα GEOGEBRA και στην αρχική σελίδα πληκτρολογούμε την εντολή, όπως φαίνεται στην εικόνα, μέσα στην γραμμή εισαγωγής ( κάτω μέρος). Προσοχή όσα πληκτρολογούμε πρέπει να είναι με Αγγλική γραμματοσειρά. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση στο πιο πάνω σύστημα αξόνων. Προσοχή και στις δύο συναρτήσεις, που μελετήσαμε, είδαμε ότι κάθε φορά δεν ίσχυε μία προϋπόθεση του Θ.Β. και ότι δεν είχαν ρίζες στα δοθέντα διαστήματα. Προφανώς θα μπορούσα να είχα Σελίδα 7
9 δώσει συναρτήσεις, που να μην ίσχυε μία προϋπόθεση του Θ.Β. και να είχαν ρίζες στα δοθέντα διαστήματα. Δηλαδή αυτό που χάνεται είναι η βεβαιότητα ύπαρξης τουλάχιστον μίας ρίζας, που εξασφαλίζουν οι 2 προϋποθέσεις του Θ.Β. Πάμε όμως να δούμε αν ισχύει το αντίστροφο του Θ.Β., δηλ. έστω f συνεχής με μία τουλάχιστον ρίζα στο [α,β] τότε θα ισχύει αναγκαστικά και ότι f(α).f(β)<0 ; Σελίδα 8
10 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO 4 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Δίνεται η συνάρτηση f(x) = χ 2 e x. i. Να λυθεί η εξίσωση f(x)=0 i. Είναι η συνάρτηση f συνεχής και αν ναι για πιο λόγο; ii. Nα βρεθεί το πρόσημο του γινομένου : f(-6).f(1). Ισχύουν και οι 2 προϋποθέσεις του Θ.Β. στο [-6,1] ; Ανοίγουμε το πρόγραμμα GEOGEBRA και στην αρχική σελίδα πληκτρολογούμε την εντολή, όπως φαίνεται στην εικόνα, μέσα στην γραμμή εισαγωγής ( κάτω μέρος). Προσοχή όσα πληκτρολογούμε πρέπει να είναι με Αγγλική γραμματοσειρά. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση στο πιο πάνω σύστημα αξόνων Σελίδα 9
11 Από τα παραπάνω καταλαβαίνουμε ότι : Αν υπάρχει ξ (α,β) με f(ξ)=0 και f(α)>0 δεν είναι απαραίτητο να είναι και f(β)<0. Αν υπάρχει ξ (α,β) με f(ξ)=0 δεν είναι απαραίτητο να είναι και f(α).f(β)<0. Σελίδα 10
12 ΑΣΚΗΣΗ 1 η i. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x 1, να δειχθεί ότι έχει μία x τουλάχιστον ρίζα στο ( 1 2, 1). ii. Ανοίγουμε το πρόγραμμα GEOGEBRA και στην αρχική σελίδα πληκτρολογούμε την εντολή, όπως φαίνεται στην εικόνα, μέσα στην γραμμή εισαγωγής ( κάτω μέρος). Προσοχή όσα πληκτρολογούμε πρέπει να είναι με Αγγλική γραμματοσειρά. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση στο πιο πάνω σύστημα αξόνων. Να διαβαστούν όσα ειπώθηκαν στο μάθημα και ειδικότερα από το σχολικό βιβλίο σελ. 192 (χωρίς το σχόλιο), εφαρμογή σελ. 197 και να γίνει η άσκηση : Α7 / Σελίδα 11
13 2 ο 2ωρο Θα συζητηθούν απορίες και θα λυθεί η άσκηση του προηγούμενου μαθήματος. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Β. Έχουμε f(x) 0 και f συνεχής στο [α,β] τότε η f έχει σταθερό πρόσημο στο [α,β], δηλ. f(χ) < 0 ή f(χ) > 0 για κάθε χ [α,β]. Σελίδα 12
14 ΑΣΚΗΣΗ 2 η i. Έστω g μια συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει : g 2 (x) 16 = x 2, για κάθε χ [ 4,4]. α. Να λυθεί η εξίσωση g(x) = 0 στο διάστημα [-4,4]. β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-4,4). γ. Να βρεθεί ο τύπος της g αν g(0)=-4. ii. Ανοίγουμε το πρόγραμμα GEOGEBRA και στην αρχική σελίδα πληκτρολογούμε την εντολή, όπως φαίνεται στην εικόνα, μέσα στην γραμμή εισαγωγής ( κάτω μέρος). Προσοχή όσα πληκτρολογούμε πρέπει να είναι με Αγγλική γραμματοσειρά. Σελίδα 13
15 Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση στο πιο πάνω σύστημα αξόνων. Αν ρ 1, ρ 2, ρ 3,, ρ ν οι διαδοχικές ρίζες μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [α,β] τότε η f διατηρεί το πρόσημο της, μεταξύ 2 διαδοχικών ριζών. Για να βρούμε το πρόσημο αυτό απλά επιλέγουμε μία τυχαία τιμή χ i μεταξύ 2 διαδοχικών ριζών και υπολογίζουμε το f(χ i ).Ότι πρόσημο θα έχει το f(χ i ), θα έχει και η f μεταξύ αυτών των 2 διαδοχικών ριζών. Σελίδα 14
16 ΑΣΚΗΣΗ 3 η i. Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f για όλες τις πραγματικές τιμές του χ, όταν : f(x) = x 3 6x x 6... ii. Ανοίγουμε το πρόγραμμα GEOGEBRA και στην αρχική σελίδα πληκτρολογούμε την εντολή, όπως φαίνεται στην εικόνα, μέσα στην γραμμή εισαγωγής ( κάτω μέρος). Προσοχή όσα πληκτρολογούμε πρέπει να είναι με Αγγλική γραμματοσειρά. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση στο πιο πάνω σύστημα αξόνων. Σελίδα 15
17 ΑΣΚΗΣΗ 4 η i. Δίνεται η εξίσωση lnx = x 2, να δειχθεί ότι έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (1,e 2 ). ii. Ανοίγουμε το πρόγραμμα GEOGEBRA και στην αρχική σελίδα πληκτρολογούμε την εντολή, όπως φαίνεται στην εικόνα, μέσα στην γραμμή εισαγωγής ( κάτω μέρος). Προσοχή όσα πληκτρολογούμε πρέπει να είναι με Αγγλική γραμματοσειρά. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση στο πιο πάνω σύστημα αξόνων. Σελίδα 16
18 ΑΣΚΗΣΗ 5 η i. Να δειχθεί ότι η εξίσωση χ χ3 +1 = 0, έχει μία χ 2 x 3 τουλάχιστον ρίζα. iii. Ανοίγουμε το πρόγραμμα GEOGEBRA και στην αρχική σελίδα πληκτρολογούμε την εντολή, όπως φαίνεται στην εικόνα, μέσα στην γραμμή εισαγωγής ( κάτω μέρος). Προσοχή όσα πληκτρολογούμε πρέπει να είναι με Αγγλική γραμματοσειρά. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση στο πιο πάνω σύστημα αξόνων. Σελίδα 17
19 ΑΣΚΗΣΗ 6 η i. Δίνεται η εξίσωση lnx = 1 + 1, να δειχθεί ότι έχει ακριβώς μία x ρίζα. ii. Ανοίγουμε το πρόγραμμα GEOGEBRA και στην αρχική σελίδα πληκτρολογούμε την εντολή, όπως φαίνεται στην εικόνα, μέσα στην γραμμή εισαγωγής ( κάτω μέρος). Προσοχή όσα πληκτρολογούμε πρέπει να είναι με Αγγλική γραμματοσειρά. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση στο πιο πάνω σύστημα αξόνων. Σελίδα 18
20 ΑΣΚΗΣΗ 7 η i. Έστω η συνάρτηση f : [0,1] (0,2) συνεχής.να δειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (0,1) τέτοιο ώστε: f 2 (ξ) = 2f(ξ) 3ξ. ii. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σ ένα διάστημα [α, β]. Αν : η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) f(β) τότε για κάθε αριθμό (η) μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 ϵ (α, β) τέτοιο ώστε f(x 0 ) = η. Η τελευταία άσκηση αποτελεί το γνωστό Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών (Θ.Ε.Τ.), που είναι η γενίκευση του Θ.Β. Να διαβαστούν οι σελίδες 192 (από το σχόλιο) και 193 ΑΣΚΗΣΕΙΣ για το σπίτι από το σχολικό βιβλίο: Α6/198, Α8, Β4/199, Β5/200 Σελίδα 19
21 3 ο 2ωρο Θα συζητηθούν κάποιες απορίες και θα λυθούν ορισμένες δοσμένες ασκήσεις από το βιβλίο. ΕΡΩΤΗΣΗ 2 η Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών. ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ (Θ.Ε.Τ.) (ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΘΕΩΡHΜΑΤΟΣ BOLZANO) Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σ ένα διάστημα [α, β]. Αν : η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) f(β) τότε για κάθε αριθμό (η) μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 ϵ (α, β) τέτοιο ώστε f(x 0 ) = η. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω f(α) < f(β). Τότε θα ισχύει: f(α) < η < f(β). Έστω η συνάρτηση g(x)=f(x)-η, χ [α, β] με : g συνεχής στο [α,β] και g(α) g(β) < 0 αφού g(α)=f(α)-η< 0 και g(β)=f(β)-η> 0 Άρα από Θ.Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 ϵ (α, β) τέτοιο ώστε g(x 0 ) = 0 f(x 0 ) η = 0 f(x 0 ) = η. Μπορούμε να δούμε το Θ.Ε.Τ. και στο παρακάτω video.: Σελίδα 20
22 ΕΡΩΤΗΣΗ 3 η Να γραφτεί η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος των Ενδιάμεσων Τιμών. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αφού ο αριθμός (η) είναι μεταξύ του f(α) και του f(β) τότε σίγουρα η ευθεία y=η θα τέμνει την C f σε τουλάχιστον ένα σημείο. Προφανώς αν η C f δεν ήταν συνεχής τότε μπορεί να μην είχαμε κανένα κοινό σημείο με την ευθεία : y=η Σελίδα 21
23 ΑΣΚΗΣΗ 8 η Αν f(x) = x 8 + x + 4, να δείξετε ότι υπάρχει ξ (1,2) τέτοιο ώστε f(ξ)=250. (Με 2 τρόπους)... Σελίδα 22
24 ΑΣΚΗΣΗ 9 η i. Nα αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = x 4 + x 3 2x + 1 και g(x) = 3x 3 5x + 2 έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη χ ii. Ανοίγουμε το πρόγραμμα GEOGEBRA και στην αρχική σελίδα πληκτρολογούμε τις κατάλληλες εντολές για κάθε συνάρτηση μέσα στην γραμμή εισαγωγής ( κάτω μέρος). Προσοχή όσα πληκτρολογούμε πρέπει να είναι με Αγγλική γραμματοσειρά. Πάμε, τώρα να δούμε τις Συνέπειες του Θ.Ε.Τ. ΕΡΩΤΗΣΗ 4 η Πότε λέμε ότι η εικόνα μιας συνάρτησης f είναι ένα διάστημα; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω f μία συνεχής μη σταθερή συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ. Το σύνολο τιμών της f, το f(δ) είναι ένα διάστημα. Σελίδα 23
25 Προφανώς το f( [α,β] )=[κ,λ]. Παρατηρούμε ότι η f δεν είναι συνεχής στο χ 0 και άρα η εικόνα της f στο [α,β] είναι 2 διαστήματα τα [κ,f(α)], (f(β),λ]. Να διαβαστεί η θεωρία από τις σελίδες του σχολικού βιβλίου : 194 και 195 (χωρίς το θεώρημα Μεγίστης και Ελαχίστης τιμής) και να λυθούν οι ασκήσεις : Α9/199, Β6, Β7/200 Σελίδα 24
26 4 ο 2ωρο Θα συζητηθούν κάποιες απορίες και θα λυθούν ορισμένες δοσμένες ασκήσεις από το βιβλίο. ΕΡΩΤΗΣΗ 5 η Να διατυπωθεί το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης τιμής. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β] τότε η f παίρνει στο [α,β] μία μέγιστη τιμή Μ και μία ελάχιστη τιμή m. Δηλαδή υπάρχουν χ 1, χ 2 [α, β] τέτοια ώστε m=f(χ 1 ), M= f(χ 2 ) και ισχύει : m f(x) M, για κάθε χ [α, β]. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ Παρατηρούμε ότι όλες οι τιμές της f(χ) βρίσκονται στο διάστημα [m,μ], το οποίο και αποτελεί το σύνολο τιμών της f με Πεδίο Ορισμού το [α,β]. Σελίδα 25
27 Σημείωση Είναι σημαντικό να πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις για να ισχύει το Θεώρημα Μεγίστης και Ελαχίστης τιμής, δηλ. η f να ορίζεται και να είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β]. Π.χ. αν η f ορίζεται στο [α,β] και είναι συνεχής στο (α,β] τότε δεν είναι απαραίτητο ότι θα πάρει μία μέγιστη και ελάχιστη τιμή. 1, αν χ (0,1] Πράγματι : f(x) = { x 1, αν χ = 0 Το πεδίο ορισμού της f είναι το [0,1],ενώ η f είναι συνεχής στο (0,1], οπότε βλέπουμε, στο σχήμα πιο κάτω, ότι δεν έχει μέγιστο η f. Σελίδα 26
28 ΑΣΚΗΣΗ 10 η Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:[2,10] R. Να δειχθεί ότι υπάρχει χ 0 [2,10], ώστε : f(x 0 ) = 3f(3)+5f(5)+2f(8). 10 ΑΣΚΗΣΗ 11 η Δίνεται η συνεχής και γν. αύξουσα συνάρτηση f:[2005,2008] R. Να δειχθεί ότι υπάρχει ακριβώς ένα χ 0 (2005, 2008) ώστε : 3f(x 0 ) = f(2006) + f(2007) + f(2008). Σελίδα 27
29 ΕΡΩΤΗΣΗ 6 η Ποιο το Σύνολο Τιμών μιας γνησίως μονότονης και συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν μία συνάρτηση f είναι γν.αύξουσα και συνεχής σε ένα διάστημα (α,β) τότε το Σ.Τ. της στο διάστημα αυτό είναι το (Α,Β) με Α = lim χ α + f(x) και Β = lim χ β f(x) f: (α, β) f (Α, Β) Αν μία συνάρτηση f είναι γν.φθίνουσα και συνεχής σε ένα διάστημα (α,β) τότε το Σ.Τ. της στο διάστημα αυτό είναι το (Β,Α) με Α = lim χ α + f(x) και Β = lim χ β f(x) f: (α, β) f (Β, Α) Σελίδα 28
30 ΑΣΚΗΣΗ 12 η i. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = 6 x 5x + 1 που είναι ορισμένη στο [1,3]. ii. Ανοίγουμε το πρόγραμμα GEOGEBRA και στην αρχική σελίδα πληκτρολογούμε την εντολή, όπως φαίνεται στην εικόνα, μέσα στην γραμμή εισαγωγής ( κάτω μέρος). Προσοχή όσα πληκτρολογούμε πρέπει να είναι με Αγγλική γραμματοσειρά. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση στο πιο πάνω σύστημα αξόνων. Σελίδα 29
31 ΑΣΚΗΣΗ 13 η i. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = χ 4 6 χ. ii. Ανοίγουμε το πρόγραμμα GEOGEBRA και στην αρχική σελίδα πληκτρολογούμε την εντολή, όπως φαίνεται στην εικόνα, μέσα στην γραμμή εισαγωγής ( κάτω μέρος). Προσοχή όσα πληκτρολογούμε πρέπει να είναι με Αγγλική γραμματοσειρά. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση στο πιο πάνω σύστημα αξόνων Να διαβαστούν οι σελίδες του σχολικού βιβλίου : 195(από Θ.Μεγ. και Ελαχ. Τιμής) και 196. και να λυθούν οι ασκήσεις : Α10/199 και 2 διαφορετικές τις Β8, Β9 /200 καθώς και οι παρακάτω ασκήσεις. Σελίδα 30
32 ΑΣΚΗΣΗ 1 η Έστω f: συνεχής και γν. αύξουσα στο [0,1] με f(0)=1, f(0)=3. Να δειχθεί ότι υπάρχει χ 0 (0,1) τέτοιο ώστε 3f(x 0 ) = f ( 1 4 ) + f (2 4 ) + f (3 4 ). ΑΣΚΗΣΗ 2 η Έστω f: συνεχής στο [α,β] και χ 1, χ 2 [α, β]. Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ [α, β] τέτοιο ώστε 3f(x 1 ) + 5f(x 2 ) = 8f(ξ). ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ Η μέθοδος της διχοτόμησης είναι μία απευθείας εφαρμογή του Θ.Β. Ψάχνω να βρω τη ρίζα της f, η οποία δεν είναι ρητός αριθμός. Εντοπίζω δύο τιμές α,β που ανήκουν στο Πεδίο Ορισμού της f τέτοιες ώστε f(α).f(β)<0. Βρίσκω το μέσο χ 1 του διαστήματος που ορίζουν τα α,β από τον τύπο χ 1 = α+β 2 Αν f( χ 1 ).f(β)<0 τότε βρίσκω το μέσο χ 2 του διαστήματος που ορίζουν τα χ 1, β από τον γνωστό τύπο. Αν f( χ 1 ).f(α)<0 τότε βρίσκω το μέσο χ 2 του διαστήματος που ορίζουν τα χ 1, α από τον γνωστό τύπο. Ακολουθούμε την ίδια διαδικασία έως ότου τα δύο άκρα των διαστήματος στο οποίο εφαρμόζουμε το τελευταίο Θ.Β. πληρούν την παρακάτω απαίτηση: a β < 10 3 (εγώ θέτω τον αριθμό , θα μπορούσα να βάλω άλλο μικρότερο αριθμό.). Η ζητούμενη ρίζα θα είναι το μέσο του διαστήματος που πληροί την πιο πάνω απαίτηση. Η συνάρτηση της οποίας θα βρούμε τη ρίζα με προσέγγιση χιλιοστού είναι η : f(x) = x 3 + x + 1 Για πιο εύκολους υπολογισμούς να χρησιμοποιηθεί το υπολογιστικό φύλλο EXCEL. Σελίδα 31
33 Ένα παράδειγμα υπολογιστικού φύλλου EXCEL για την δοσμένη συνάρτηση δίνεται παρακάτω. ΒΗΜΑ α f(α) β f(β) μέσο χi f(xi) Iα-βI/2 αλλαγή ορίου 1ο ,5 0,375 0,5 β=-0,5 2o ,5 0,375-0,75-0, ,25 α=-0,75 3ο -0,75-0, ,5 0,375-0,625 0, ,125 β=-0,625 Η όλη διαδικασία τελειώνει όταν στην προτελευταία στήλη ο αριθμός που προκύπτει είναι μικρότερος του 0,001. Μόλις ολοκληρωθεί η διαδικασία καλό είναι να παρουσιάσουμε γραφικά τα ζεύγη α,β σε ένα γράφημα με τη βοήθεια του EXCEL. Στον οριζόντιο άξονα θα έχουμε τον αριθμό των βημάτων και στον κατακόρυφο τις τιμές των α, β, όπως φαίνεται παρακάτω. 0-0,2 1ο 2o 3ο -0,4-0,6 Σειρά1 Σειρά2-0,8-1 -1,2 Μπορείτε να δείτε την μέθοδο της διχοτόμησης και στο παρακάτω video : Σελίδα 32
Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης
Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τίτλος σεναρίου: Διερεύνηση Θεωρήματος Bolzano (Θ.Β.) και Ενδιάμεσων Τιμών (Θ.Ε.Τ.) Τάξη : Γ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής
Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty. uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui
Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui ΟΡΙΟ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να
Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),
τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένας x0 (α, β) τέτοιος ώστε να ισχύει f(x0)=ξ. Μονάδες 15
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΘΕΜΑ o Α Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] και f(α)f(β), τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον
Σημειώσεις Μαθηματικών 2
Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός
A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.
ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)
A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).
Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΚΑΙ ΣΤΑ ΑΛΛΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ
Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα
8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)
f(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..
1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ
Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ
2 ο Διαγώνισμα περιόδου στις Συναρτήσεις και τα Όρια
Θέμα Α ο Διαγώνισμα περιόδου 7-8 στις Συναρτήσεις και τα Όρια Α Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο α,β ; Μονάδες Α Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών και να κάνετε την γεωμετρική του ερμηνεία
Θεώρημα Bolzano. Γεωμετρική Ερμηνεία του θ.bolzano. Θ. Bolzano και ύπαρξη ρίζας
Θεώρημα Bolzano Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν: Η f είναι συνεχής στο [α, β] και Ισχύει f(a)f(β) < 0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 (α, β) τέτοιο ώστε
τα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες
Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()
ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Μία διδακτική προσέγγιση
Μία διδακτική προσέγγιση ΣΕΝΑΡΙΟ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τίτλος σεναρίου: Διερεύνηση Θεωρήματος Bolzano (Θ.Β.)
Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει
Θεώρημα Bolzno. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f f 0, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0
A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες)
A ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( διδακτικές ώρες) 1 Σκοποί Στόχοι α Σκοποί: Οι μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά μπορεί να είναι
[ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ]
Γ' Λυκείου Κατεύθυνση [ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ] ε ξ ε τ α σ τ έ α ς ύ λ η ς 7-8 Επιμέλεια Κόλλας Αντώνης Όριο πολυωνυμικής στο Αν P( = αν ν + αν ν +... + α + α είναι πολυώνυμο του και, τότε: P( P( P( =...
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι
5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε
Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική
ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Έστω η συνάρτηση f ( x,,1. Nα αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. v v 1 και ισχύει : x vx A2. Να διατυπώσετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Bolzano.
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. τέτοιο ώστε. στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ. της γραφικής παράστασης της f x με. Κατηγορίες Ασκήσεων
Διατύπωση: Εάν για μια συνάρτηση ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE x ισχύουν Η x συνεχής στο [α,β] Η x παραγωγίσιμη στο (α, β) a τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ' 0 Γεωμετρική Ερμηνεία : Γεωμετρικά το θεώρημα ROLLE
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.
Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε
( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις)
Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ ΤΗΛ : 777 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ ΤΗΛ : 99 9494 www.sygrono.gr Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις
Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις
Φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, που κρατάς στα χέρια σου προέκυψε τελικά μέσα από την εμπειρία και διδακτική διαδικασία πολλών χρόνων στον Εκπαιδευτικό Όμιλο Άλφα. Είναι το αποτέλεσμα συγγραφής πολλών καθηγητών
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον
Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
2ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
wwwaskisopolisgr ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A Α Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα, Αν: η f είναι συνεχής στο, f f να
Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {1, 2, 3, 4, }.
Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {1, 2, 3, 4, }. Με Z θα συμβολίζουμε το σύνολο των ακεραίων αριθμών, δηλ. Z = N {0, 1, 2, 3, 4, }. Με Q θα
Διαγώνισμα (Μονάδες 2) β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα ακαι β αλλά να είναι συνεχής στο [ α, β ].
ΘΕΜΑ Α Διαγώνισμα 1 A 1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. (Μονάδες
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017
Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ/ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 0 03 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ/ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5 05 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. ΘΕΩΡΙΑ ΣΕΛ. 7 ΒΙΒΛΙΟ ΜΠΑΡΛΑ. Α. ΘΕΩΡΙΑ ΣΕΛ. 66 ΒΙΒΛΙΟ ΜΠΑΡΛΑ. Α3. α Σ, β Λ, γ Λ, δ
ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ
ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 3 Ιανουαρίου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 3 Ιανουαρίου 019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ Α1 Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x 0, να αποδείξετε ότι
ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος 31. e 3 = 0. e + e 3, x R.
ΜΑΘΗΜΑ.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε την εξίσωση Η εξίσωση γράφεται e + e e 0 Προφανής ρίζα Θεωρούµε τη συνάρτηση f()
έχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι για κάθε x. x 2
. Έστω η συνάρτηση f: τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει f(). α. Να δείξετε ότι η εξίσωση f() έχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση ρίζα στο. e για κάθε. t 3 63 e dt 7 έχει
Σημειώσεις Μαθηματικών 2
Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 4 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Παράγωγος Συνάρτησης 4.1 Έννοια Παραγώγου Ορισμός f(x) f(x 0 ) Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 Df αν υπάρχει
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε είναι
Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο
Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε.
ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.
ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει
1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.
o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε
x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f() ( )ln, >. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο
2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό.
2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
3. Ειδικά θεωρήµατα Συνέχεια
3. Ειδικά θεωρήµατα Συνέχεια Κ ε φ α λ α ι ο 3 Ι ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Με το θεώρηµα του Bolzano (Θ. Bolzano) εξασφαλίζουµε την ύπαρξη ρίζας σε µια συνάρτηση. ΕΝ βρίσκουµε την ρίζα. Προ ποθέσεις είναι η συνέχεια
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 8 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα από Φάνης Μαργαρώνης Φροντιστήρια Ρούλα Μακρή Τομέας μαθηματικών ΘΕΜΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ( ) ( ) ( ) α β, παραγωγίσιμη στο ( ) β με. β α β α. f β f α. g ( ξ ) = 0, δηλαδή
Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισμός Το θεώρημα μέσης τιμής αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος Rolle Λόγω όμως των πολλών και σημαντικών εφαρμογών του θεωρείται ένα από τα πλέον θεμελιώδη θεωρήματα της ανάλυσης
Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας
1 ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ Β 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Έστω συνάρτηση f για την οποία ισύουν είναι συνεής στο κλειστό [α,β] είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) Τότε υπάρει τουλάιστον ένα σημείο ξ του (α,β), τέτοιο ώστε να είναι : f (ξ) = ΑΠΟΔΕΙΞΗ
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β], παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και ισχύει ότι f(α) f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε
ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ
ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πρακτικές και καινοτομίες στην εκπαίδευση και στην έρευνα. Χρόνης Χ. Παναγιώτης pachronis@gmail.com Περίληψη Στόχος της εργασίας αυτής είναι να καταδείξει
Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο
ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες
α,β,γ και α 0 στο σύνολο των μιγαδικών
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 )ΓΙΑ ΤΟ ΕΤΟΣ 215 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α 2 αz + βz +
4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου
4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 8-9 Θέμα A A Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση και ισχύει: g g παραγωγίσιμη στο μονάδες
1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:
y = 2 x και y = 2 y 3 } ή
ΘΕΜΑ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις z = και w i =. i). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w. ii). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί z,
) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ2. Αν ( 1) : y x, και ( 2
Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 9.6.7 ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f ()
Να εξετασθεί αν είναι 1-1 οι συναρτήσεις α) f(x)=4x-1 β) g(x)= γ.
Ορισμός Μία συνάρτηση f : Α-->R είναι ένα προς ένα (1-1) όταν Για κάθε A με τοτε ή ισοδύναμα για κάθε A με τότε Ο παραπάνω ορισμός μας λέει ότι διαφορετικα x έχουν διαφορετικές εικόνες (διαφορετικα y)
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:
ΛΥΣΕΙΣ. f(x) = g(x)+c. Α2. ί. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού;; (Να κάνετε πρόχειρο σχήμα).
ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΥΡΙΑΚΗ, 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.
ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.
ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ
Σελίδα από ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Βαγγέλης Μουρούκος Μπάμπης Στεργίου Περίληψη Στο άρθρο αυτό επιχειρούμε να εντοπίσουμε, να καταγράψουμε και να περιγράψουμε με σχετικά σύντομο
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Κανάρη 36, Δάφνη Τηλ. 973934 & 9769376 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 6. Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 8. Α3. α) Λ β) Σ γ) Λ δ)
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Παράρτημα Νομού Εύβοιας ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Παράρτημα Νομού Εύβοιας ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: ΘΕΜΑ ο : Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελίδα 9 Β. α) Σ, β) Σ,
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [2008-2009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Κανάρη 6, Δάφνη Τηλ 9794 & 976976 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 4 Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α α) Σ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ B Β
ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι:
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ - ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)
9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε
Εφαρμογές παραγώγων. Διαφορικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι
Εφαρμογές παραγώγων Διαφορικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι Ακρότατα Α Θα δούμε πώς οι παράγωγοι βοηθούν στην αναζήτηση ακρότατων (μέγιστα και ελάχιστα) μιας συνάρτησης ώστε να αντιλαμβανόμαστε πώς εξελίσσεται
1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0
ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z, z με Re (z + z ) = 0, ισχύει: Re (z ) + Re (z ) = 0. Ισχύει η ισοδυναμία : i κ = i λ κ = λ για κάθε κ., λ ακεραίους αριθμούς. 3. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z