Vektorski prostori s skalarnim produktom

Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V nad obsegoma R ali C. Znani skalarni produkt na R n bo le poseben primer tako definiranega skalarnega produkta. Definicija in osnovne lastnosti skalarnega produkta Definicija. Naj bo V vektorski prostor nad R. Preslikava je skalarni produkt, če zanjo velja:, : V V R.) linearnost v prvem faktorju: αu + βv,w = α u,w + β v,w za vse α, β R in vse u,v,w V..) simetričnost: u,v = v,u z vse u,v V. 3.) pozitivna definitnost: u,u za vse u V in u,u = natanko tedaj, ko je u =. Zgled. V vektorskem prostoru R n smo za običajni skalarni produkt u,v = u u i v i za u =. in v = v. u n v n i= 63 u v

64POGLAVJE IX. VEKTORSKI PROSTORI S SKALARNIM PRODUKTOM v prvem poglavju preverili vse tri lastnosti iz definicije. Zgled.3 V vektorskem prostoru V = R n [x] definiramo preslikavo, : V V R s predpisom p, q = p(x)q(x)dx. Preverimo, da je ta preslikava skalarni produkt. Za dokaz linearnosti v prvem faktorju izberimo α, β R in p, q,r R n [x]. Potem je αp + βq,r = = α (αp(x) + βq(x))r(x)dx = p(x)r(x)dx + β (αp(x)r(x) + βq(x)r(x)) dx = q(x)r(x)dx = α p, r + β q, r. Simetričnost sledi iz dejstva, da je množenje polinomov komutativno: p, q = p(x)q(x)dx = q(x)p(x)dx = q, p. Kvadrat polinoma je nenegativna funkcija. Iz matematične analize vemo, da so polinomi zvezne funkcije in da ima določeni integral zvezne nenegativne funkcije nenegativno vrednost. Torej je p, p = p (x)dx za vse p R n [x]. Še več, določeni integral zvezne nenegativne funkcije je enak, če in samo če je ta funkcija enaka povsod na intervalu, po katerem integriramo. Ker ima neničeln polinom le končno mnogo ničel, velja p, p = natanko tedaj, ko je p =. Definirajmo še skalarni produkt v vektorskih prostorih nad kompleksnimi števili. Definicija.4 Naj bo V vektorski prostor nad C. Preslikava je skalarni produkt, če zanjo velja:, : V V C.) linearnost v prvem faktorju: αu + βv,w = α u,w + β v,w za vse α, β C in vse u,v,w V..) konjugirana simetričnost: u,v = v,u z vse u,v V.

. DEFINICIJA IN OSNOVNE LASTNOSTI SKALARNEGA PRODUKTA65 3.) pozitivna definitnost: u,u za vse u V in u,u = natanko tedaj, ko je u =. Zgled.5 Naj bo V = C n in definirajmo preslikavo u,v = u u j v j za u =. in v = v. iz Cn. u n v n Preverimo, da je tako definirana preslikava skalarni produkt. w w Označimo še w =. Potem je. w n αu + βv,w = = α u (αu j + βv j )w j = u j w j + β v (αu j w j + βv j w j ) = v j w j = α u,w + β v,w. Preslikava je konjugirano simetrična, saj velja u,v = u j v j = v j u j = v,u. Spomnimo se, da za vsako kompleksno število α = a+ib velja αα = α = = a + b. Še več, αα = natanko tedaj, ko je α =. Za u C n potem sledi: u,u = u j u j = u j in u,u = natanko tedaj, ko je u j = za vse j. Trditev.6 V vektorskem prostoru s skalarnim produktom velja v, = in,v = za vse vektorje v V.

66POGLAVJE IX. VEKTORSKI PROSTORI S SKALARNIM PRODUKTOM Dokaz Za nek vektor u V pišimo = u u. Iz linearnosti skalarnega produkta sledi,v = u u,v = u,v u,v =. Zaradi simetričnosti (oziroma konjugirane simetričnosti) skalarnega produkta sledi tudi v, =. Trditev.7 Skalarni produkt je konjugirano linearen v drugem faktorju. Velja u,αv + βw = α u,v + β u,w za vse α, β C in u,v,w V. Dokaz Iz konjugirane simetričnosti in linearnosti v prvem faktorju sledi u,αv + βw = αv + βw,u = α v,u + β w,u = = α v,u + β w,u = α u,v + β u,w. Opomba.8 Če je V vektorski prostor s skalarnim produktom nad obsegom realnih števil, potem je skalarni produkt linearen tudi v drugem faktorju. To sledi iz prejšnje trditve, saj za realna števila velja α = α. Poslej bomo privzeli, da so skalarji kompleksna števila, razen če bomo posebej poudarili, da so to realna števila. Rezultate nad kompleksnimi števili se da največkrat enostavno povedati tudi nad realnimi števili. Če je, skalarni produkt na vektorskem prostoru V, potem s predpisom v = v,v definiramo normo vektorja v. V primeru R n z običajnim skalarnim produktom je norma predstavljala (običajno) dolžino vektorja v. Iz definicije skalarnega produkta takoj izpeljemo dve od treh karakterističnih lastnosti norme:.) (pozitivna definitnost) v za vse v V in v = natanko tedaj, ko je v =..) (absolutna homogenost) αv = α v za vse α C in vse v V. 3.) (trikotniška neenakost) u + v u + v za vse v,u V. Dokaz.) Ker je skalarni produkt pozitivno definiten, velja v = v,v za vse v V in v = v,v = natanko tedaj, ko je v =.

. DEFINICIJA IN OSNOVNE LASTNOSTI SKALARNEGA PRODUKTA67.) Iz linearnosti v prvem faktorju in konjugirane linearnosti v drugem faktorju sledi αv = αv,αv = αα v,v = α v. Ker sta obe strani nenegativni, je potem αv = α v. 3.) Trikotniško neenakost bomo pokazali kasneje. Definicija.9 Vektorja u in v sta pravokotna (ali ortogonalna), če je u,v =. Trditev. Če sta u in v dva vektorja in je u, potem sta vektorja u in v v,u u,u u pravokotna. Dokaz Izračunajmo skalarni produkt teh dveh vektorjev. Pri tem upoštevajmo lastnosti skalarnega produkta: v v,u u,u u,u = v,u v,u u,u = v,u v,u =. u,u Izrek. (Pitagorov izrek) Če sta vektorja u in v pravokotna, je u + v = u + v. Dokaz Če sta u in v pravokotna, je u,v = v,u =. Potem velja u + v = u + v,u + v = u,u + u,v + v,u + v,v = = u,u + v,v = u + v. Izrek. (Cauchy-Schwarzeva neenakost) Za poljubna vektorja u in v iz V velja u,v u v. (IX.) Enakost velja natanko tedaj, ko sta u in v linearno odvisna.

68POGLAVJE IX. VEKTORSKI PROSTORI S SKALARNIM PRODUKTOM Dokaz Če je u =, očitno velja enakost v (IX.). Privzemimo, da je u. Potem sta po trditvi. vektorja u in v v,u u,u u pravokotna. Torej sta pravokotna tudi vektorja v,u v,u u,u u in v u,u u. Po Pitagorovem izreku je potem v = = v v,u u,u u + v,u u,u u = v v,u u,u u + v,u u,u u. Ker je norma vektorja nenegativno število, velja v v,u u,u u in v v,u u,u u. (IX.) Če upoštevamo absolutno homogenost norme, dobimo Ker je u,v = v,u, tako dobimo v v,u v,u u = u,u u. u,v u v. Opazimo, da v neenakosti (IX.) velja enačaj natanko tedaj, ko je v v,u u,u u =. Ker je norma pozitivno definitna, je tedaj v = v,u u,u u in zato sta u in v linearno odvisna. Če je v = αu, je potem u,αu = α u,u = α u = u αu = u v. Dokažimo sedaj še trikotniško neenakost:

. ORTOGONALNE IN ORTONORMIRANE MNOŽICE 69 Dokaz Za u,v V velja u + v = u + v,u + v = u,u + u,v + v,u + v,v u + u,v + v u + u v + v = = ( u + v ). Pri prvi neenakosti smo upoštevali trikotniško neenakost za absolutno vrednost kompleksnih števil, druga neenakost pe je Cauchy-Schwarzeva neenakost. Ker so norme vektorjev nenegativna števila, je potem u + v u + v. Ortogonalne in ortonormirane množice Naj bo V vektorski prostor s skalarnim produktom nad obsegom kompleksnih števil. Definicija. Množica neničelnih vektorjev {v,v,...,v k } je ortogonalna, če je v j,v k = za vsak par indeksov j,k, j k. Množica {v,v,...,v k } je ortonormirana, če je ortogonalna in velja v j = za vse j. Zgled. Vzemimo V = C n s standardnim skalarnim produktom in standardno bazo S = {e,e,...,e n }. Potem je S ortonormirana množica: e j,e k = {, če j k,, če j = k. Če sta u in u linearno neodvisna vektorja v R n, potem sta po trditvi. vektorja u in u u,u u,u u ortogonalna. V R n to lahko ponazorimo s sliko: u u,u u,u u u u,u u,u u u Trditev.3 Ortogonalna množica vektorjev je linearno neodvisna.

7POGLAVJE IX. VEKTORSKI PROSTORI S SKALARNIM PRODUKTOM Dokaz Po definiciji je množica vektorjev {v,v,...,v k } ortogonalna, če je v j za vse j in v j,v l = za vsak par različnih indeksov j in l. Denimo, da je k α jv j =. Potem za vsak indeks l velja k = α j v j,v l = k α j v j,v l = α l v l,v l. Ker je v l, je v l,v l. Zato mora biti α l =. Torej so vektorji {v,v,...,v k } linearno neodvisni. Naj bodo u,u,u 3 linearno neodvisni vektorji v R n. Označimo w =u, w =u u,w w,w w, w 3 =u 3 u 3,w w,w w u 3,w w,w w. Vemo, da sta vektorja w in w ortogonalna. Preverimo, da je tudi w 3 ortogonalen na w in w : w 3,w = u 3 u 3,w w,w w u 3,w w,w w,w = = u 3,w u 3,w w,w w,w u 3,w w,w w,w = = u 3,w u 3,w = in w 3,w = u 3 u 3,w w,w w u 3,w w,w w,w = = u 3,w u 3,w w,w w,w u 3,w w,w w,w = = u 3,w u 3,w =. Tako konstruirana množica vektorjev {w,w,w 3 } je ortogonalna. V R 3 je vektor u 3,w w,w w + u 3,w w,w w pravokotna projekcija vektorja u 3 na ravnino določeno z vektorji,u in u. To lahko ponazorimo s sliko:

. ORTOGONALNE IN ORTONORMIRANE MNOŽICE 7 w 3 u 3 w w 3. u w u = w Zgoraj opisani postopek lahko posplošimo na poljuben vektorski prostor (končne razsežnosti) s skalarnim produktom in na poljubno končno množico linearno neodvisnih vektorjev. Postopek konstrukcije ortogonalnih vektorjev w j imenujemo Gramm-Schmidtov algoritem: Dana je množica linearno neodvisnih vektorjev {u,u,...,u n }. Postavimo w = u. Potem zaporedoma za j =,3,...,n izračunamo vektor j u j,w k w j = u j w k,w k w k. k= Dobljena množica vektorjev {w,w,...,w n } je ortogonalna. Vektorje w j še normiramo: e j = w j w j j =,,...,n. Množica vektorjev {e,e,...,e n } je ortonormirana. Dokažimo ortogonalnost množice {w,w,...,w n } in ortonormiranost množice {e,e,...,e n }. Trditev. nam pove, da sta w in w ortogonalna. Dokaz ortogonalnosti naredimo z indukcijo. Predpostavimo, da so vektorji {w,...,w k } ortogonalni. Potem za j =,,...,k velja k u k,w l w k,w j = u k w l,w l w k u k,w l l,w j = u k,w j w l,w l w l,w j = l= = u k,w j u k,w j =. Preveriti moramo še, da so vektorji w j neničelni. l=

7POGLAVJE IX. VEKTORSKI PROSTORI S SKALARNIM PRODUKTOM Množica vektorjev {u,u,...,u n } je linearno neodvisna. Če koeficiente razvoja vektorjev w,w,...,w n po {u,u,...,u n } zaporedoma postavimo v stolpce, dobimo zgornje-trikotno matriko z enicami po diagonali. Torej je ta matrika obrnljiva in zato so tudi vektorji {w,w,...,w n } linearno neodvisni. Množica vektorjev {w,w,...,w n } je ortogonalna. Ker je e j,e j = wj = w j, w j w j ortonormirana. = w j w j,w j =, je množica vektorjev {e,e,...,e n } Izrek.4 Naj bo U V neničeln vektorski podprostor. Potem ima U ortonormirano bazo. Dokaz S pomočjo Gramm-Schmidtovega postopka iz dane baze za U dobimo ortonormirano bazo za U. Zgled.5 Uporabimo Gramm-Schmidtov algoritem na množici vektorjev u =, u =, u 3 = v C 3. Potem je w =, w = =, w 3 = 3 = 3 3 3. Dobljena ortonormirana baza za C 3 je e =, e = in e 3 =. 6 3 Zgled.6 V vektorskem prostoru R [x] je skalarni produkt dan s predpisom p, q = p(x)q(x)dx. Poiščimo kako ortonormirano bazo. Izberimo standardno bazo {,x,x } in uporabimo Gramm-Schmidtov algoritem. Najprej je

. ORTOGONALNE IN ORTONORMIRANE MNOŽICE 73 w =. Izračunajmo skalarna produkta in, = x, = dx = xdx =. Potem je w = x. Za določitev vektorja w 3 moramo izračunati še naslednje skalarne produkte: in x, = x,x = x,x = x dx = 3, (x 3 x )dx =, (x x + 4 )dx =. Tako dobimo w 3 = x 3 (x ) = x x+ 6. Poiskati moramo še kvadrat norme vektorja w 3. Le-ta je enaka w 3,w 3 = Ortonormirana baza za R [x] je ( x 4 x 3 + 4 3 x 3 x + ) dx = 36 8. {, 3(x ), 5(6x 6x + )}. Definicija.7 Naj bo S V neprazna množica. Potem označimo S = {v V ; v,u = za vse u S}. Oznako S preberemo S ortogonalno. V množici S je vsak vektor, ki je pravokoten na vse vekrorje iz S. Trditev.8 Množica S je vektorski podprostor.

74POGLAVJE IX. VEKTORSKI PROSTORI S SKALARNIM PRODUKTOM Dokaz Naj bosta v in v iz S in α,α skalarja. Potem je α v + α v,u = α v,u + α v,u = za vse u S. Zato je S vektorski podprostor. Izrek.9 Naj bo U V vektorski podprostor. Potem je V = U U. Dokaz Pokazati moramo, da je U U = in da je V = U + U. Naj bo u U U. Potem je u,u = in zato je u =. Izberimo ortonormirano bazo {e,e,...,e k } za U. Po izreku.4 taka baza obstaja. Naj bo v vektor iz V. Označimo z = k v,e j e j. Očitno je z U. Naj bo w = v z. Želimo pokazati, da je w U. Za vsak l =,,...,k velja k k w,e l = v v,e j e j,e l = v,e l v,e j e j,e l = = v,e l v,e l =. Potem je w,u = za vsak u U. Velja namreč u = k α je j za neke skalarje α j in w,u = w, k α j e j = k α j w,e j =. Tako smo pokazali, da je v = z + w U + U. Definicija. Če je U V vektorski podprostor, potem vektorski podprostor U imenujemo ortogonalni komplement za U. Zgled. V vektorskem prostoru R [x] s skalarnim produktom p, q = p(x)q(x) dx poiščimo ortogonalni komplement vektorskega prostora U = L ( + x). Iščemo take polinome a + bx + cx, da bo = + x,a + bx + cx =

. ORTOGONALNE IN ORTONORMIRANE MNOŽICE 75 ( a + (a + b)x + (b + c)x + cx 3) dx = 3 a + 5 6 b + 5 c. Če pomnožimo dobljeno enačbo z, dobimo 8a + b + 5c =. Za bazo ortogonalnega komplementa U izberemo, na primer, B = { 5 9x,x x }. Zgled. V vektorskem prostoru R 4 poiščimo ortonormirano bazo za ortogonalni komplement vektorskega podprostora U = L,. x Vektor x x 3 je v U, če je x +x +x 4 = in x x +x 3 =. Temu homogenemu sistemu pripada matrika in njena vrstična kanonična x 4 [ ] [ ] forma je. Za bazo rešitev vzemimo vektorja u = in u =. Potem je {u,u } baza za U. Za vektorja u in u uporabimo Gramm-Schmidtov algoritem. Dobimo w = u in w = =. Ortonormirana baza za U je 6, 6 + 3 6 =. Izrek.3 Naj bo B = {e,e,...,e n } ortonormirana baza za V. Potem je razvoj vektorja v V po bazi B enak v = v,e j e j.

76POGLAVJE IX. VEKTORSKI PROSTORI S SKALARNIM PRODUKTOM Dokaz Naj bo v = k α je j razvoj vektorja v po bazi B. Potem je za l =,,...,n. k v,e l = α j e j,e l = k α j e j,e l = α l Zgled.4 Naj bo B =, 6, 3 ortonormirana baza za C 3 iz zgleda.5. Poiščimo razvoj vektorja v = po tej bazi. Ker je v,e = =, v,e = 6 = 3 in v,e 3 = 3, je = + 3 6 +. 3 3 3 Linearni funkcionali Definicija 3. Linearno preslikavo ϕ : V C (ali R) imenujemo linearni funkcional. Če je B baza V in je dimv = n, potem linearnemu funkcionalu na V pripada matrika iz C n, tj. vrstica. V naslednjih zgledih bomo vedno vzeli, da je {} baza za R ali C. Zgled 3. Naj bo ϕ : R 3 R preslikava definirana s predpisom a ϕ b = a + b c. c Zlahka preverimo, da je ϕ linearna preslikava. V standardnih bazah za R 3 in R ima ϕ matriko ϕ = [ ].

3. LINEARNI FUNKCIONALI 77 Zgled 3.3 Naj bo V = R 3 [x] in ϕ : V R preslikava podana s predpisom ϕ(p) = p(x)dx. ϕ je linearen funkcional, saj velja ϕ(αp + βq) = (αp(x) + βq(x))dx = α = αϕ(p) + βϕ(q). V bazi {,x,x,x 3 } za R 3 [x] ima ϕ matriko p(x)dx + β q(x)dx = [ 3 4]. Zgled 3.4 Naj bo V = C n n. Preslikava ϕ : V C je podana s predpisom ϕ(a) = sl(a). Preverimo, da je ϕ linearen funkcional. Označimo a a... a n b b... b n a a... a n A =... in B = b b... b n.... a n a n... a nn b n b n... b nn Potem je ϕ(a) = sl(a) = n a jj in ϕ(b) = sl(b) = n b jj. Ker je αa + βb αa + βb... αa n + βb n αa + βb αa + βb... αa n + βb n αa + βb =..., αa n + βb n αa n + βb n... αa nn + βb nn je ϕ(αa + βb) = (αa jj + βb jj ) = α a jj + β b jj = αϕ(a) + βϕ(b). Preslikava ϕ je linearen funkcional. [ ] Zgled 3.5 Vzemimo V = R in C = V. Preverimo, da je 3 preslikava ϕ(a) = sl(ac ) linearen funkcional in poiščimo matriko za ϕ v bazi {[ ] [ ] [ ] [ ]},,,.

78POGLAVJE IX. VEKTORSKI PROSTORI S SKALARNIM PRODUKTOM Iz prejšnjega zgleda vemo, da je sled linearen funkcional na vektorskem prostoru V. Potem za poljubna α, β R in poljubna A,B V velja ( ϕ(αa + βb) = sl (αa + βb)c ) = sl(αac + βbc ) = = α sl(ac ) + β sl(bc ) = αϕ(a) + βϕ(b). Preslikava ϕ je linearna. Izračunajmo še njene vrednosti na baznih elementih: ([ ]) ([ ]) ([ ]) ([ ]) ϕ =, ϕ =, ϕ = in ϕ = 3. Matrika, ki pripada ϕ, je [ 3 ]. Trditev 3.6 Naj bosta u in u V taka vektorja, da je v,u = v,u za vse v V. Potem je u = u. Dokaz Če sta u in u V taka vektorja, da velja v,u = v,u za vse v V, sledi v,u u = za vse v V. Potem je tudi u u,u u = in zato mora biti u u =, oz. u = u. Izrek 3.7 (Rieszov izrek o funkcionalih) Naj bo V vektorski prostor s skalarnim produktom in ϕ : V C linearen funkcional. Potem v V obstaja natanko en vektor u, za katerega velja ϕ(v) = v,u za vse v V. Dokaz Naj bo {e,e,...,e n } ortonormirana baza za V. Potem za vsak v V velja v = n v,e j e j. Zato je ϕ(v) = ϕ v,e j e j = v,e j ϕ(e j ) = = v,ϕ(e j )e j = v, Označimo u = n ϕ(e j)e j in dobimo ϕ(v) = v,u ϕ(e j )e j. za vse v V. Po trditvi 3.6 je tak vektor u en sam.

3. LINEARNI FUNKCIONALI 79 a Zgled 3.8 Na V = C 3 je dan linearen funkcional ϕ b = b ci. Poiščimo c tak vektor u V, da je ϕ(v) = v,u za vse v V. Za ortonormirano bazo na V izberimo standardno bazo S. Potem je ϕ(e ) =, ϕ(e ) = in ϕ(e 3 ) = i. Iz dokaza zgornjega izreka nato sledi, da je u = ϕ(e j )e j =. i Zgled 3.9 Na V = R [x] je preslikava ϕ(p) = p(x)dx linearen funkcional. V zgledu.6 smo pokazali, da je B = {, 3(x ), 5(6x 6x + )} ortonormirana baza za V. Vrednosti ϕ na elementih iz B so ϕ() =, ϕ( 3(x )) = in ϕ( 5(6x 6x + )) =. Polinom q V, za katerega velja ϕ(p) = p, q = p(x)q(x)dx za vse p V, je q(x) =.