Dijagonalizacija operatora

Transcript

1 Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite vrijednosti operatora f 3 Vlastiti vektori operatora f Definicija Neka je A kvadratna matrica reda n Karakteristični polinom matrice A je polinom (t) = det(ti n A) (1) (Hamilton Cayley) Neka je (t) karakteristični polinom matrice A Onda je (A) = 0

2 Propozicija Slične matrice imaju isti karakteristični polinom Minimalni polinom Neka je A M(n, F ) Polinom m(t) najnižeg stupnja za koji vrijedi m(a) = 0 nazivamo se minimalni polinom matrice A (A) = 0 deg(m(t)) deg( (t)) (2) Minimalni polinom m(t) matrice A dijeli svaki polinom p(t) takav da je p(a) = 0 Posebno, m(t) dijeli (t) Veza izmedu karakterističnog i minimalnog polinoma: Karakteristični i minimalni polinomi matrice A imaju iste ireducibilne faktore

3 Definicija Kažemo da je polinom p(t) reducibilan nad poljem F ako se može prikazati kao p(t) = f (t)g(t) (3) gdje su f (t) i g(t) polinomi s koeficijentima iz F i deg(f (t)) < deg(p(t)), deg(g(t)) < deg(p(t)) (4) U protivnom kažemo da je polinom ireducibilan Svaki polinom se može faktorizirati na ireducibilne faktore Karakteristični i minimalni polinomi matrice A imaju iste ireducibilne faktore Skalar λ F je vlastita vrijednost matrice A ako i samo ako je m(λ) = 0

4 Vlastiti vektori operatora Definicija Neka je V vektorski prostor nad poljem F i neka je f : V V linearni opeator Ako postoji v V, v 0, takav da je f (v) = λv za neki λ F, (5) onda kažemo da je 1 v vlastiti (karakteristični) vekotor operatora f, 2 λ vlastita (karakteristična) vrijednost operatora f Svojstveni potprostor operatora f pridružen vv λ: { } E λ (f ) = v V f (v) = λv (6)

5 Propozicija E λ (f ) je potprostor prostora V dime λ (f ) geometrijska kratnost vv λ (7) Definicija Skup svih vlastitih vrijednosti operatora f, u oznaci σ(f ), nazivamo spektar operatora Problem: Kako odrediti spektar i vlastite vektore operatora f? Skalar λ F je vlastita vrijednost operatora f : V V ako i samo ako je λ korijen karakterističnog polinoma od f

6 Propozicija Linearni operator na n dimenzionalnom kompleksnom vektorskom prostoru ima n svojstvenih vrijednosti (medu kojima može biti jednakih) Ako se λ i ponavlja m puta u karakterističnom polinomu (t) = (t λ 1 )(t λ 2 ) (t λ n), (8) onda (t) ima faktor (t λ i ) m m = algebarska kratnost vv λ (9) Neka su λ 1, λ 2,, λ k medusobno različite vlastite vrijednosti operatora f : V V i neka su v 1, v 2,, v n vlastiti vektori operatora f takvi da f (v i ) = λ i v i, i = 1, 2,, k (10) Onda je skup S = {v 1, v 2,, v k } linearno nezavisan

7 Postupak dijagonlizacije operatora Kažemo da se operator f : V V može dijagonalizirati ako postoji baza od V u kojoj f ima dijagonalnu matricu Tada kažemo da je f poluprosti operator Linearni operator f : V V se može dijagonalizirati ako i samo ako V ima bazu koja se sastoji od vlastitih vektora opeartora f Propozicija Ako se karakteristični polinom operatora f : V V može faktorizirati kao umnožak različitih faktora (t) = (t λ 1 )(t λ 2 ) (t λ n) (11) gdje je n = dim(v ), onda se f može dijagonalizirati

8 Algoritam za dijagonalizaciju matrice operatora Neka je A matrica operatora f : V V u nekoj bazi od V 1 Odredite karakteristični polinom (t) = det(ti A) 2 Odredite sve različite korijene polinoma (t): λ 1, λ 2,, λ n 3 (a) Ako je n dim(v ), onda se f ne može dijagonalizirati (b) Ako je n = dim(v ), onda odredite vlastite vektore v 1, v 2,, v n Tada niz B = (v 1, v 2,, v n) tvori bazu od V 4 Odredite matricu prijelaza P iz stare baze u bazu B: P = [v 1 v 2 v n] (12) 5 Matrica operatora f u bazi B je dana sa λ λ P AP = (13) 0 0 λ n

9 Definicija Neka je A kvadratna matrica Kažemo da je A: 1 simetrična ako je A T = A, 2 antisimetrična ako je A T = A, 3 ortogonalna ako je AA T = A T A = I Neka je A realna simetrična matrica Onda je svaki korijen karakterističnog polinoma od A realan Neka je A realna simetrična matrica Onda postoji ortogonalna matrica P takva da je D = P 1 AP dijagonalna matrica (14) Stupci matrice P su normalizirani vlastiti vektori matrice A Elementi na dijagonali od D su vlastite vrijednosti matrice A

10 Jordanova kanonska forma Neke matrice se ne mogu dijagonalizirati ni nad kojim poljem Matricu koju ne možemo dijagonalizirati možemo prikazati kao dijagonalnu blockmatricu M M 2 0 M = 0 0 M k gdje su M 1, M 2,, M k podmatrice matrice M (15) Svaki blok M i je oblika λ i λ i 1 0 M i =, λ i je vv matrice M (16) 1 0 λ i

11 Matrica M i naziva se Jordanov block matrice M Svakoj vv λ i može biti pridruženo više Jordanovih blokova različitih redova, ovisno o geoemtrijskoj kratnosti vv λ i Neka je f : V V linearni operator čiji karakteristični i minimalni polinomi imaju oblik (t) = (t λ 1 ) n 1 (t λ 2 ) n 2 (t λ r ) nr, (17) m(t) = (t λ 1 ) m 1 (t λ 2 ) m 2 (t λ r ) mr (18) gdje su λ 1, λ 2,, λ r različiti skalari Onda f ima dijagonalnu blokmatricu J čiji dijagonalni blokovi su matrice λ i λ i 1 0 J ij = (19) 1 0 λ i

12 (nastavak) Za svaki λ i, blokovi J ij imaju sljedeća svojstva 1 Postoji barem jedan blok J ij reda m i Svi ostali blokovi J ij su reda m i 2 Suma reda svih blokova J ij je j J ij = n i 3 Broj blokova J ij jednak je geometrijskoj kratnosti vv λ i 4 Broj blokova J ij svakog mogućeg reda je jedinstveno odreden operatorom f Matrica J naziva se Jordanova kanonska forma operatora f Blok J ij se naziva Jordanov blok pridružen vv λ i Svaki blok J ij se može rastaviti kao J ij = λ i I + N, N = (20) gdje je N nilpotentna matrica jer je N 2 = 0