. Δίνεται η συνάρτηση: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( x) = 3x + 5x α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να υπολογίσετε τις τιμές:, και α. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: Α= β. = 3 + 5 = ( ) = 3 ( ) + 5 ( ) = = 34 + 5 ( ) = = Αν ο τύπος της συνάρτησης δεν περιέχει παρονομαστές, ρίζες ή λογαρίθμους το πεδίο ορισμού της είναι το () = 3 + 5 = 3+ 5 = 6 Αν ρ = τότε ο αριθμός ρ λέγεται ρίζα της. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: α. ( x) = x 3 β. g( x) = x γ. h( x) = n( x+ ) Όταν ο τύπος της συνάρτησης α. Πρέπει να είναι: περιέχει παρονομαστές αυτοί x 3 πρέπει να είναι διάφοροι του μηδενός x 3 με συνέπεια το πεδίο ορισμού της να είναι: Α =,3 3, + β. Πρέπει να είναι: x x επομένως το πεδίο ορισμού της g είναι: Α = [, + ) Οι υπόρριζες ποσότητες πρέπει να είναι μη αρνητικές ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ.38..57 495 www.arnos.gr e-mail : ino@arnos.gr
γ. Πρέπει να είναι: x+ > x > με συνέπεια το πεδίο ορισμού της h να είναι: Α=, + Για κάθε παράσταση n Α x της μορφής ( ) θα πρέπει Α ( x) > 3. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 3x + α. ( x) = x + β. ( x) = x x x α. Πρέπει να είναι: Ο παρονομαστής x και x δεν είναι μηδέν x και x Το υπόρριζο επομένως το πεδίο ορισμού της είναι: είναι μη Α = [, + ) αρνητικό β. Θα πρέπει να είναι: x x x x Όμως ισχύει: x = x όταν x Άρα θα πρέπει να είναι: x < Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, είναι: (,) Α= ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ x = x αν x και x = x αν x< 4. Δίνεται η συνάρτηση: 3 x ( x) = 3ημ x < x π x + x >π α. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης; ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ.38..57 495 www.arnos.gr e-mail : ino@arnos.gr
β. Να υπολογίσετε τις παρακάτω τιμές: π ( ),, ( 3) 3 α. Το πεδίο ορισμού της είναι: Α = αφού η συνάρτηση ορίζεται για κάθε x, δεδομένου ότι έχει νόημα όταν: x ή < x π ή x >π β. Είναι <, επομένως: π Επειδή <π, έχουμε: 3 π π 3 = 3 ημ = 3 3 3 Είναι 3 5, 48 >π, άρα: ( ) = 3 3 = 3 + = 3 π 3 3 = 3 5. Δίνονται οι συναρτήσεις: ( x) = x + 3x+, x και g( x) = x+, x Να ορίσετε τις συναρτήσεις: α. S= + g β. D= g γ. Ρ= g δ. R = g α. Γνωρίζουμε ότι: S( x) = ( x) + g( x) = x + 3x+ + x+ Sx = x + 4x+, για κάθε x β. Είναι: γ. Είναι: D( x) = ( x) g( x) = x + 3x+ x D( x) = x + x, για κάθε x ( x) ( x) g( x) ( x 3x )( x ) Ρ = = + + + ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ.38..57 495 www.arnos.gr e-mail : ino@arnos.gr 3
3 Ρ ( x) = x + 4x + 4x+, για κάθε x δ. Είναι: x R( x ) =, με g( x) g x x + 3x+ = με { } R x, x x+ 6. Δίνονται οι συναρτήσεις: ( x) = nx, x > Να ορίσετε τις συναρτήσεις: α. ( g)( x) α. Για να ορισθεί καλά η: g x = g x και β. ( g )( x) ( ) θα πρέπει x ( : το πεδίο ορισμού της g) και g( x) (, + ) g x = x+, x x και x+ > x > Επομένως για κάθε x, + έχουμε: g x = g x = x+ = n x+ β. Πρέπει: x (, + ) και ( x) Όμως αν: x (, + ) τότε nx Άρα πρέπει τελικά: x, + που είναι και το πεδίο ορισμού της ( g )( x) Επομένως για κάθε x (, + ) είναι: ( g )( x) = g( ( x) ) = g( nx) g x = nx+ Πρώτα βρίσκουμε για ποια x ορίζεται η g και μετά τον τύπο της. Παρατηρούμε ότι γενικά είναι: g g Στο συγκεκριμένο παράδειγμα δεν έχουμε ούτε το ίδιο πεδίο ορισμού. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ.38..57 495 www.arnos.gr e-mail : ino@arnos.gr 4
7. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση: x, x ( x) =, x > x Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα την παραπάνω συνάρτηση. Σχεδιάζουμε αρχικά την g( x) x Έπειτα σχεδιάζουμε την h( x) = και αποκόπτουμε το τμήμα της για x >. = μόνο για x > x Από τη γραφική παράσταση της δεδομένης συνάρτησης, παρατηρούμε ότι: Στο διάστημα (,] η είναι γνησίως φθίνουσα. Στο διάστημα [, ] η είναι γνησίως αύξουσα. Στο διάστημα [, + ) είναι γνησίως φθίνουσα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ.38..57 495 www.arnos.gr e-mail : ino@arnos.gr 5
Η παρουσιάζει: Ελάχιστο ( ολικό ) στο σημείο x = και είναι το =. Τοπικό μέγιστο στο σημείο x = και είναι το =. 8. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης: x = x x 6x, x 3 με τους άξονες xx και yy. Σημεία τομής με τους άξονες Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τέμνει: α. Τον άξονα yy ορισμού της. στο σημείο ( ), αν το ανήκει στο πεδίο β. Τον άξονα xx στα σημεία με τετμημένες που είναι ρίζες της εξίσωσης: ( x) = Επειδή = η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα yy στο σημείο: Παρατηρούμε ότι: (, ) ( x) = 3 x x 6x x x x 6 = = x( x 3)( x+ ) = x = ή x = 3 ή x = Άρα τα σημεία τομής της με τον άξονα xx είναι: (,, ) ( 3,, ) (,) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ.38..57 495 www.arnos.gr e-mail : ino@arnos.gr 6
9. Δίνεται η συνάρτηση, με τύπο: x 5 ( x) = x 4 α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της βρίσκεται κάτω από τον άξονα xx. α. Πρέπει να είναι: x 4 Άρα το πεδίο ορισμού της, είναι: x x+ x, x (, ) (,) (, ) Α = + β. Η βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx, όταν: και κάτω από τον xx, όταν: ( x) > ( x) < Επειδή αναζητούμε τις τιμές του x για τα οποία τα σημεία της κάτω από τον άξονα xx, πρέπει να είναι: είναι ( x) x 5 < < x 4 Την παραπάνω ανισότητα, λύνουμε με την βοήθεια του πίνακα που ακολουθεί: Άρα η είναι κάτω από τον άξονα xx, όταν: x< ή < x< 5 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ.38..57 495 www.arnos.gr e-mail : ino@arnos.gr 7
. Σε μια μελέτη για το περιβάλλον διαπιστώθηκε ότι η συγκέντρωση του Ο στον αέρα μιας πόλης δίνεται από τη σχέση: μονοξειδίου του άνθρακα ( x) =,5 x+ όπου x ο πληθυσμός της πόλης σε χιλιάδες κατοίκους και ( x ) εκφράζεται σε ppm (μέρη στο εκατομμύριο). Εκτιμάται ότι σε t χρόνια από τώρα ο πληθυσμός της πόλης θα είναι: x( t) = +, t χιλιάδες α. Να εκφράσετε την συγκέντρωση του Ο συναρτήσει του χρόνου. β. Πότε η συγκέντρωση αναμένεται να φτάσει τα 6,8 ppm ; α. Αφού: τότε είναι: ( x) =,5 x+ ( ()) x t =,5 x t + =,5 +, t + ( t) =, 5 t + 6 ppm β. Θα πρέπει να λυθεί η εξίσωση: ( t) = 6,8 6+,5 t = 6,8,5 t =,8 t = 6 t = 4 Άρα σε 4 χρόνια η συγκέντρωση του Ο πάνω από την πόλη θα είναι 6,8 ppm.. Υποθέτουμε ότι το συνολικό κόστος παρασκευής α μονάδων ενός προϊόντος δίνεται από τη συνάρτηση: 3 ( α ) =α 3α + 5α+ ( ( α) σε Euro) α. Να υπολογίσετε το κόστος παραγωγής μονάδων προϊόντος. β. Να υπολογίσετε το κόστος παραγωγής της ης μονάδας του προϊόντος. Στα πραγματικά προβλήματα, το πεδίο ορισμού προκύπτει και από τα δεδομένα του προβλήματος. Εδώ πρέπει να είναι α > αφού δεν έχει νόημα να παραχθούν αρνητικές μονάδες προϊόντος. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ.38..57 495 www.arnos.gr e-mail : ino@arnos.gr 8
α. Το κόστος παραγωγής μονάδων προϊόντος δίνεται από την τιμή της συνάρτησης κόστους για α =. 3 = 3 + 5 + = 3 Euro β. Το κόστος παραγωγής της ης μονάδας είναι η διαφορά μεταξύ του κόστους παραγωγής μονάδων προϊόντος και 9 μονάδων προϊόντος. Q =Κό στοςπαραγωγής της ης μονάδας= 9 Q = 3 999 Q = Euro ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ.38..57 495 www.arnos.gr e-mail : ino@arnos.gr 9