Probleme de fizică Emil Petrescu iorel Păun October 6, 2004
Curins 4 ERMODINAMICĂ 72 72
Caitolul 4 ERMODINAMICĂ PROBLEMA 4.1 a Să se demonstreze că în cazul unui roces adiabatic alicat unui gaz ideal este adevărată relaţia: γ = const (4.1 b Să se calculeze lucrul mecanic efectuat în cursul unui astfel de roces, când gazul trece din starea caracterizată rin arametri 1, 1, 1 în starea caracterizată rin arametri 2, 2, 2. a Se utilizează rinciiul I al termodinamicii: du = δq d (4.2 în care du = νc d şi δq = 0 deoarece rocesul este adiabatic. Atunci relaţia 4.2 devine: νc d = d (4.3 Cum entru gazul ideal ecuaţia termică de stare este = νr, unde ν este numărul de kmoli, relaţia 4.3 devine: νc d = νr d (4.4 Prin integrarea acestei relaţii se obţine: 73
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 74 C ln = ln + a (4.5 R unde a este o constantă. Cum relaţia Robert-Mayer entru gazul ideal este C = C + R şi γ = C /C rezultă: C = Astfel din relaţia 4.5 se obţine: R γ 1 (4.6 γ 1 = const (4.7 Substituind din ecuaţia termică de stare rezultă: b unde = const/ γ. Atunci: γ = const (4.8 2 L = d (4.9 1 L = 2 1 γ+1 d 2 γ+1 1 const = const γ γ 1 Deoarece 1 γ 1 = 2 γ 2 = const, se obţine L = 2 2 1 1 γ 1 (4.10 (4.11 PROBLEMA 4.2 Un gaz ideal trece din starea caracterizată de arametri 1, 1 în starea caracterizată de arametri 2, 2 rintr-un roces descris de ecuaţia unde a şi b sunt constante ozitive. = a b (4.12
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 75 a Să se calculeze lucrul mecanic efectuat de gaz în cursul acestui roces. b Să se stabilească deendenţa temeraturii de resiune. a Avem L = 2 1 d = 2 1 (a b d L = a( 2 1 b ( 2 2 1 2 (4.13 2 b Se elimină din ecuaţia termică de stare ( = νr şi ecuaţia rocesului considerat ( = a b. Rezultă: = (a 2 νr = a νr (4.14 PROBLEMA 4.3 Să se determine o exresie entru lucrul mecanic efectuat de mediul extern asura unui cor solid atunci când resiunea creşte de la valoarea 1 la valoarea 2, iar temeratura rămâne constantă. Coeficientul de comresibilitate izoterm 1 K = (4.15 se consideră constant. δl = d deoarece lucrul mecanic este efectuat de mediul extern asura sistemului. Deoarece = (, d = d + d (4.16 Comresia fiind izotermă d = 0 şi relaţia 4.16 devine:
G G N CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 76 @ N Figura 4.1: Diol în câm electric - Atunci: d = ( d = K d (4.17 δl = K d (4.18 Dacă se neglijează variaţia volumului în cursul transformării: L = K 2 1 d = K 2 2 2 1 2 (4.19 PROBLEMA 4.4 Să se determine lucrul mecanic elementar de olarizare a unităţii de volum a unui dielectric dacă: a Sistemul este adus de la infinit în câmul generat de o sarcină fixă. b Dacă se alică o diferenţă de otenţial e lăcile unui condensator lan având ca dielectric substanţa considerată. a Dacă se notează cu n concentraţia de dioli cu momentul diolar, densitatea de olarizare este P = n. Considerând un diol într-un câm electric orientat ca în Fig. 4.1 forţa ce acţionează asura acestuia e direcţia Ox este: f x = qe x (x + qe x (x + dx (4.20
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 77 Dezvoltând în serie cel de-al doilea termen din 4.20 se obţine: [ f x = qe x (x + q E x (x + de ] x dx dx = q de x dx dx ( dex f x = x dx (4.21 deoarece câmul electric este orientat de-a lungul axei Ox. Se consideră diolii orientaţi e direcţia axei Ox şi câmul orientat duă aceiaşi direcţie. Forţa totală ce va acţiona asura diolilor din unitatea de volum este: ( de F x = n = P de (4.22 dx dx Lucrul mecanic efectuat când sistemul de dioli este delasat cu dx în câmul electric este: δl = F x dx = P d E (4.23 semnul minus intervenind deoarece mediul extern efectuează un lucru mecanic asura sistemului. b În cazul considerat dielectricul este lasat între lăcile unui condensator lan cu aria armăturilor egală cu S şi distanţa dintre ele egală cu h. Se resuune că dielectricul umle comlet saţiul dintre armături iar condensatorul este suficient de mare entru a neglija efectele de margine. Când se alică o diferenţă de otenţial, la trecerea sarcinii dq de e o armătură e alta se efectuează un lucru mecanic din exterior δl = Udq unde U = Eh iar dq = dσs = SdD (E este intensitatea câmului electric iar σ = D, unde D este inducţia electrică. Atunci: unde = Sh. Generalizând utem scrie că: Cum D = ε 0 E + P, 4.25 devine: δl = EhSdD = EdD (4.24 δl = Ed D (4.25
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 78 δl = E(ε 0 d E + d P = d Pe unitatea de volum: δl = d ( ε 0 E 2 2 ( ε 0 E 2 2 Ed P (4.26 Ed P (4.27 Primul termen rerezintă lucrul mecanic necesar entru generarea câmului electric care ar exista şi în absenţa dielectricului iar cel deal doilea termen rerezintă lucrul mecanic efectuat entru olarizarea unităţii de volum al unui dielectric izotro. PROBLEMA 4.5 Să se determine lucrul mecanic elementar efectuat de o sursă de tensiune electromotoare entru a realiza magnetizarea unităţii de volum a unei substanţe din care este realizat miezul unei bobine. Se resuune că intensitatea câmului magnetic şi densitatea de magnetizare M sunt uniforme, iar corul nu se deformează în timul magnetizării sale. Intensitatea câmului magnetic creat în interiorul unei bobine cu aria secţiunii S şi cu lungimea d suficient de mare este: = NI (4.28 d unde N este numărul de sire iar I este intensitatea curentului electric ce trece rin bobină. Fluxul inducţiei magnetice rin bobină este: Φ = NSB (4.29 Când I creşte, cresc deasemenea şi M şi deci şi B. Aceasta duce la aariţia unei tensiuni electromotoare autoinduse: e = dφ dt = SN db dt (4.30
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 79 Energia furnizată de sursă în circuit în acest caz este: dw = Iedt = SNIdB (4.31 Atunci lucrul mecanic efectuat de sursă este: ( NI δl = SNIdB = (Sd db = db (4.32 d Semnul minus aare deoarece lucrul mecanic calculat este un lucru mecanic efectuat de mediul exterior asura sistemului considerat. Cum B = µ 0 ( + M relaţia 4.32 devine δl = (µ 0 d + µ 0 dm = d (µ 2 0 µ 0 dm (4.33 2 şi lucrul mecanic necesar magnetizării unităţii de volum este: ( 2 δl = d µ 0 µ 0 dm (4.34 2 Primul termen din relaţia 4.34 rerezintă lucrul mecanic necesar entru a crea câmul indeendent de existenţa corului magnetic. Al doilea termen este lucrul mecanic efectuat entru a magnetiza unitatea de volum a substanţei date. PROBLEMA 4.6 Pentru un gaz ideal să se determine: a Coeficientul de dilatare izobar α = 1 ( b Coeficientul de variaţie a resiunii cu temeratura β = 1 ( c Coeficientul de comresibilitate izotermă K = 1 (
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 80 Se utilizează ecuaţia termică de stare a gazului ideal = νr. Din aceasta rezultă: ( = νr (4.35 Atunci: Deoarece: Atunci: Deoarece: Atunci: α = 1 K ( = νr = 1 ( = 1 ( β = 1 (4.36 = ν R 2 (4.37 ( = νr ( = 1 = 1 (4.38 (4.39 (4.40 PROBLEMA 4.7 Să se demonstreze următoarea relaţie între coeficientul de comresibilitate adiabatică şi coeficientul de comresibilitate izoterm: ( C K S = K (4.41 (formula lui Reech Coeficienţii de comresibilitate adiabatică K S, resectiv izotermă K sunt daţi de exresiile: C
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 81 K S = 1 K = 1 ( ( S (4.42 (4.43 şi În cazul unui roces adiabatic δq = 0 şi atunci: Se consideră U = U (, şi atunci: ( ( U U du = d + Relaţia 4.44 devine: ( U d + du + d = 0 (4.44 [ ( U + [ ( ] U ( + = ( S U ] d (4.45 d = 0 (4.46 (4.47 Se un sub o altă formă exresiile care aar la numitor, resectiv la numărătorul relaţiei 4.47: U U = = C (4.48 unde ( U C = (4.49
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 82 este caacitatea calorică a sistemului la volum constant. ( U U = (4.50 Ţinând cont de relaţia 4.50 numărătorul exresiei 4.47 se oate scrie: sau + ( U = + + ( U = [ ( U Din δq = du + d rezultă: ( δq C = = d ( U ( ( ] ( + U + Atunci relaţia 4.52 devine: U + = C Se utilizează relaţiile 4.48 şi 4.54 şi atunci relaţia 4.47 devine: ( ( = C = C ( S C C ( astfel că: 1 ( = C [ 1 ( ] S C Introducând în 4.56 relaţiile 4.42 şi 4.43 se obţine: (4.51 (4.52 (4.53 (4.54 (4.55 (4.56 K S = C C K (4.57
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 83 PROBLEMA 4.8 În cazul unei substanţe a cărei ecuaţie termică de stare este de forma = (,, să se arate că β = α K (4.58 unde β este coeficientul de variaţie al resiunii cu temeratura, α este coeficientul de dilatare liniar iar K este coeficientul de comresibilitate izoterm. Din relaţia = (, rezultă: ( d = d + iar din 4.40 recum şi ( ( d (4.59 = β (4.60 ( = 1 (4.61 K Substituind 4.60 şi 4.61 în 4.59 rezultă: d = βd 1 d K Când = const, d = 0 şi relaţia 4.62 devine: (4.62 βd 1 d K = 0 (4.63 de unde: α = 1 ( = βk (4.64 De aici rezultă imediat relaţia cerută: β = α K (4.65
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 84 PROBLEMA 4.9 folosind rorietăţile jacobienilor. Să se demonstreze identitatea ( = 1 (4.66 şi Derivatele arţiale se ot scrie ( Atunci: ( ( = [, ] [, ] = ( [, ] [, ] = [, ] [, ] = [, ] [, ] [, ] [, ] [, ] [, ] (4.67 (4.68 (4.69 (4.70 ( = [, ] [, ] [, ] [, ] [, ] [, ] = 1 (4.71 PROBLEMA 4.10 Dintr-un vas izolat termic se omează aerul realizându-se un vid înaintat. asul este în contact termic cu atmosfera unde resiunea este 0 şi temeratura 0. La un moment dat robinetul de evacuare se deschide şi are loc umlerea vasului cu aer. Ce temeratură va avea gazul din interiorul vasului duă umlerea acestuia?
8 CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 85 6 F Figura 4.2: Reciient vidat în care ătrunde aer Prin deschiderea robinetului, un volum 0 de aer din atmosferă intră în reciient îmins de restul atmosferei care efectuează un lucru mecanic L = 0 0 ( Fig. 4.2. În figură a fost delimitat formal volumul de aer 0 care va intra în vas rin deschiderea robinetului. Procesul suferit de volumul 0 de aer este un roces adiabatic: schimbul de căldură nu are loc. Se alică rinciiul I al termodinamicii. În acest roces U = Q L. Cum Q = 0 iar lucrul mecanic are exresia calculată mai sus se obţine: U = 0 0 (4.72 Fie temeratura aerului ce a intrat în reciient. Atunci: Din relaţiile 4.72 şi 4.73 se obţine: U = νc νc 0 (4.73 νc ( 0 = 0 0 (4.74 care ţinând cont de ecuaţia de stare a gazului ideal 0 0 = νr 0 devine: De aici rezultă: νc ( 0 = νr 0 (4.75 = C + R 0 = C 0 = γ 0 (4.76 C C
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 86 PROBLEMA 4.11 Să se determine ecuaţia termică de stare în cazul unei substanţe entru care se cunosc coeficientul termic al resiunii β = 1 ( = f( (4.77 şi coeficientul de comresibilitate izoterm K = 1 ( = 1 (4.78 Se orneşte de la relaţia stabilită în roblema 3.8: α = βk (4.79 Se exrimă α - coeficientul de dilatare izobar sub forma: α = 1 = ln (4.80 şi se ţine cont că 1/ = K. Relaţia 4.79 devine: ( ln = β = f ( (4.81 Pornind de la definiţia coeficientului de comresibilitate izoterm: K = 1 = ln (4.82 atunci: Deoarece rezultă: d (ln = ( ln = 1 (4.83 ln d + ln d (4.84
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 87 d (ln = f ( d 1 d (4.85 iar rin integrare se obţine: ln = f ( d ln + const (4.86 PROBLEMA 4.12 Să se deducă ecuaţia termică de stare a unei substanţe entru care coeficientul de dilatare volumică α şi coeficientul de comresibilitate izoterm K sunt daţi de exresiile: α = 1 ( ( a = (4.87 P K = 1 ( 3( a = (4.88 4 unde a este un volum constant. Se consideră = (, şi rin diferenţiere se obţine: d = d + d (4.89 Ţinând cont de definiţiile lui α şi K rezultă: d = α d K d (4.90 Introducând exresiile lui α şi K date în enunţul roblemei relaţia 4.90 devine: sau: d = ( a d 3 ( a d (4.91 d a = d 3d (4.92
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 88 Prin integrare se obţine: 3/4 ( a = const (4.93 PROBLEMA 4.13 Să se găsească relaţia dintre C şi C (relaţia Robert - Mayer entru un sistem termodinamic ce oate fi caracterizat de arametri,, (dintre care doi sunt indeendenţi iar U = U(, Se utilizează rimul rinciiu al termodinamicii sub formă diferenţială: du = δq d (4.94 Cum U U du = d + d (4.95 Din relaţiile 4.94 şi 4.95 se obţine: δq = ( U d + [( U ] + d (4.96 Se consideră = const (d = 0 şi atunci relaţia 4.96 devine: ( U δq = d (4.97 de unde rezultă: Cum = (, d = C = ( δq d = ( U (4.98 d + d (4.99 Ţinând cont de relaţiile 4.98 şi 4.99 relaţia 4.96 devine:
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 89 δq = C d + [( ] [ ] U + d + d (4.100 Se consideră = const. Atunci d =0 iar relaţia 4.100 devine: [( ] ( U δq = C d + + d (4.101 Din 4.101 se obţine: ( δq C = = C + d [( ] ( U + (4.102 PROBLEMA 4.14 Să se demonstreze identitatea U + = C (4.103 Se alică rimul rinciiu al termodinamicii du = δq d ; rezultă: ( U δq = (4.104 d Cum se obţine: C = C = ( δq d U + (4.105 (4.106
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 90 PROBLEMA 4.15 Pentru un gaz să se demonstreze relaţia ( U = + (4.107 Pentru un gaz = U + (4.108 de unde: ( ( d = du + d + d (4.109 ( U = = ( U ( + + ( + (4.110 (4.111 PROBLEMA 4.16 Să se demonstreze relaţia ( 2 (C C + C C = 1 (4.112 Din relaţia Robert - Mayer ( roblema 3.13 rezultă: U (C C = + (4.113 Se derivează această relaţie în raort cu când = const şi se obţine:
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 91 dar: şi: ( 2 (C C + = ( C C C = [ ( ] U + 1 (4.114 = ( C ( (4.115 ( U = ( 2 U ( = ( C ( Ţinând cont de relaţiile 4.115 şi 4.116, relaţia 4.114 devine: (C C 2 + C [ ( C ] ( C + = 1 Se consideră C = C (,. Atunci: ( ( C C dc = d + Rezultă: astfel că ( C = ( C + ( C d ( (4.116 (4.117 ( 2 (C C + C C = 1 (4.118
F F CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 92 @ 5 @ 5 C @ 5 Figura 4.3: Cilindru de aer la înălţimea z PROBLEMA 4.17 Se resuune că atunci când aerul (considerat gaz ideal se ridică suferă un roces de destindere adiabatică. Să se determine variaţia temeraturii cu creşterea altitudinii. Să se evalueze rata variaţiei temeraturii cu altitudinea d /dz considerând γ= 1,41, µ = 28,9 g/mol şi g= 9,8 m/s 2. Considerăm aerul dintr-un volum cilindric de înălţime dz şi baza S (Fig.4.3. Condiţia de echilibru entru această orţiune de gaz este: de unde rezultă: sau: (zs (z + dzs ρ(zsgdz = 0 (4.119 d(z = ρ(zgdz (4.120 d (z = ρ (z g (4.121 dz Cum în cazul unui gaz ideal: ρ = µ R (4.122
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 93 unde µ este masa molară a gazului, relaţia 4.121 devine: sau: d (z dz = µg R (4.123 d = µg dz (4.124 R Cum transformarea la care este suus gazul este adiabatică: Prin diferenţierea acestei relaţii se obţine: 1 γ γ = const (4.125 (1 γ γ γ d + γ 1 γ γ 1 d = 0 adică: (1 γ d + d = 0 (4.126 d = Din relaţiile 4.124 şi 4.127 rezultă: de unde: γ d γ 1 (4.127 γ d = µρdz (4.128 γ 1 R d dz = γ 1 γ µg R (4.129 Aceasta înseamnă că odată cu creşterea altitudinii temeratura scade. Din relaţia de mai sus se obţine entru rata scăderii temeraturii cu altitudinea o valoare de aroximativ 10 0 C/km. otuşi scăderea reală este doar de 6 0 C/km, neconcordanţa datorându-se altor fenomene. PROBLEMA 4.18 cu viteza Proagarea sunetului în aer are loc adiabatic
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 94 v s = d dρ (4.130 (unde ρ este densitatea aerului a Să se determine relaţia care există între exonentul adiabatic γ şi viteza sunetului v s. b Să se determine variaţia lui v s în funcţie de temeratură şi să se evalueze viteza sunetului la 0 0 C la resiunea de 1 atm. Din ecuaţia transformării adiabatice entru gazul ideal γ = const scrisă în variabilele,, se obţine rin diferenţiere: γ d + γ γ 1 d = 0 (4.131 Cum ρ = m/ rezultă: d + γ d = 0 (4.132 sau dρ = m d 2 = ρd dρ ρ = d Din relaţiile 4.132 şi 4.134 rezultă: (4.133 (4.134 de unde: d γ dρ ρ = 0 (4.135 Atunci: d dρ = γ ρ v s = γ ρ (4.136 (4.137
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 95 Astfel rin măsurarea vitezei sunetului rin metode uzuale în condiţii cunoscute se oate determina exonentul adiabatic. b Din ecuaţia termică de stare a gazului ideal se obţine: = mr µ (4.138 ρ = R µ şi atunci utilizând relaţia 4.130 şi 4.136 se obţine: v s = γ R µ (4.139 (4.140 În cazul aerului γ = 1,41, = 273 K, R = 8310 J/Kmol K. Se obţine: v s = 332m/s PROBLEMA 4.19 Admiţând că rorietăţile radiaţiei termice sunt similare unui gaz să se determine ecuaţia transformării adiabatice ştiind că densitatea energiei interne este: iar resiunea u = σ 4 (4.141 = u 3 (4.142 Energia internă a radiaţiei termice dintr-un volum este: În lus: U = u = σ 4 (4.143
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 96 = u 3 = σ 4 (4.144 3 Utilizând exresia rimului rinciiu al termodinamicii sub formă diferenţială δq = du + d recum şi relaţiile 4.143 şi 4.144 se obţine: sau δq = d(σ 4 + d (4.145 δq = σ 4 d + 4σ 3 d + σ 4 d (4.146 3 δq = 4σ 4 d 3 + 4σ 3 d (4.147 În cazul transformării adiabatice δq = 0 şi considerând relaţia 4.147 se obţine: Prin integrare rezultă: d + 3d = 0 (4.148 ln + 3 ln = const (4.149 Se obţine astfel ecuaţia transformării adiabatice: 3 = const (4.150 PROBLEMA 4.20 Să se calculeze lucrul mecanic şi căldura schimbate cu mediul extern de către radiaţia termică care se destinde izoterm volumul variind de la 1 la volumul 2 Lucrul mecanic este:
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 97 L = 2 1 d = 2 1 σ 4 4 σ d = 3 3 ( 2 1 (4.151 (În calculul de mai sus am ţinut cont de relaţia 4.142 Cum: Q = U + L (4.152 rezultă că entru determinarea lui Q este necesară cunoaşterea lui U. Dar U = σ 4 ( 2 1 (4.153 Ţinând cont de relaţiile 4.151, 4.152 şi 4.153 rezultă: Q = 4 3 σ 4 ( 2 1 (4.154 PROBLEMA 4.21 Care este temeratura finală a unui mol de gaz care se destinde adiabatic în vid de la volumul 1 la volumul 2 considerând că: a gazul este ideal iar exresia energiei interne este de forma U = 3R 2 b gazul este real iar exresia energiei interne este de forma (4.155 unde a este o constantă U = 3R 2 a (4.156 În cazul destinderii adiabatice în vid δq = 0, δl = 0, deoarece ocuarea de către gaz a noului volum se face datorită agitaţiei termice. Rezultă U = 0 adică U = const şi U 1 = U 2. a în cazul gazului ideal:
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 98 de unde: 3R 2 2 = 3R 1 2 (4.157 Pentru gazul real: de unde 3R 2 2 1 = 2 a 2 = 3R 1 2 2 = 1 + 2a ( 1 1 3R 2 1 a 1 (4.158 (4.159 Cum 2 > 1 rezultă că 2 < 1 Pentru gazul real destinderea are loc cu scăderea temeraturii sale. PROBLEMA 4.22 În cursul unui roces Joule - homson gazul aflat la resiunea 1 este lăsat să treacă rintr-un do oros într-un comartiment în care resiunea este 2. Când gazul din volumul 1 se destinde în volumul 2 să se arate că în cursul acestui roces entalia = U + se conservă. Se resuune că ereţii exteriori izolează adiabatic sistemul. Procesul este ilustratat în Fig. 4.4. Peretele din stânga este îmins uşor astfel încât volumul comartimentului din stânga să scadă de la valoarea 1 la valoarea 0 iar volumul comartimentului din dreata să crească de la valoarea 0 la valoarea 2. Lucrul mecanic efectuat de sistem este: L = 0 1 1 d + 2 0 2 d = 1 1 + 2 2 (4.160 Se alică rimul rinciiu al termodinamicii acestui roces şi se obţine:
F F CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 99 2 A A J A F I 2 E I J 2 E I J Figura 4.4: Procesul Joule - homson de unde: adică: U 2 U 1 = L = 1 1 2 2 (4.161 U 2 + 2 2 = U 1 + 1 1 (4.162 1 = 2 (4.163 PROBLEMA 4.23 Să se arate că variaţia de temeratură în cursul unui roces Joule-homson entru un gaz oarecare se oate exrima astfel: = 1 (4.164 C Într-un roces Joule-homson = 0. Pentru un astfel de roces se consideră entalia funcţie de arametri, şi atunci: = + = 0 (4.165 de unde se obţine:
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 100 ( Deoarece: = ( (4.166 = U + (4.167 Când = const rezultă că d = δq şi δq C = = d Atunci Pentru = (, d = d = δq + d (4.168 = 1 ( (4.169 C ( d + Dar cum = (, d = d + d Astfel relaţia 4.170 devine: [ ( d = + Pentru = (, d = ] d + ( d + ( d (4.170 d (4.171 ( d (4.172
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 101 Comarând relaţiile 4.171 cu 4.172 obţinem: ( = De aici rezultă: ( Astfel relaţia 4.169 devine: = = 1 C ( (4.173 ( (4.174 Deoarece creşterea resiunii conduce la micşorarea volumului ( < 0 se ot trage următoarele concluzii: Dacă ( atunci şi au acelaşi semn Dacă ( atunci şi au semne contrare Dacă ( atunci = 0 > 0 < 0 = 0 PROBLEMA 4.24 Asura unei bare realizată dintr-un material elastic de lungime L 1, având secţiunea S 1, aflată la temeratura 1, acţionează o forţă F 1. Dacă se cunoaşte coeficientul de dilatare liniar
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 102 1 L λ = (4.175 L F recum şi modulul lui Young L F E = (4.176 S L să se determine lungimea L 2 când temeratura creşte la valoarea 2, iar forţa devine egală cu F 2. Considerând L = L(, F se obţine: ( L dl = d + şi introducând 4.175 şi 4.176: F ( L df F de unde: Rezultă: Observaţii: a F = const ln L 2 L 1 ( L2 dl = λld + L df (4.177 ES dl 2 L = λ d + 1 L 1 ln 1 SE F 2 F 1 df = λ ( 2 1 + F 2 F 1 SE ( L2 L 1 (4.178 = λ ( 2 1 (4.179 L 2 = L 1 ex [λ ( 2 1 ]
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 103 Pentru variaţii mici de temeratură se oate dezvolta în serie exonenţiala reţinând rimii termeni şi rezultă: b = const L 2 = L 1 [1 + λ ( 2 1 ] În cazul în care F 1 = 0, iar ln L 2 = F 2 F 1 L 1 SE ( F2 F 1 L 2 = L 1 ex SE (4.180 F 2 ES 1 relaţia 4.180 se oate scrie: ( L 2 = L 1 1 + F 2 ES şi se obţine: L = L 2 L 1 = L 1 F 2 ES adică o exresie care constituie legea lui ooke. PROBLEMA 4.25 Să se arate că entru un metal elastic sub formă de sârmă cu lungimea L la temeratura şi asura căruia acţionează forţa F este satisfăcută relaţia ( F = ESλ (4.181 L unde E este modulul lui Young iar λ este coeficientul de dilatare liniar (semnificaţiile mărimilor care aar în roblemă au fost date în roblema recedentă
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 104 ( L ( F = ( L L F F = 1 ( L L ( S L L F F S = ESλ Să se arate că entru un gaz ideal este sa- PROBLEMA 4.26 tisfăcută relaţia ( U = 0 (4.182 Pentru U = U(, se obţine: ( U du = d + ( U d (4.183 Pentru o transformare izotermă d = 0, şi: ( U du = d (4.184 Atunci ( U U = (4.185 Deoarece în cazul unui gaz ideal energia internă deinde doar de temeratură ( U = 0 iar din relaţia 4.185 rezultă: ( U = 0
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 105 PROBLEMA 4.27 Să se arate că în cazul unui roces adiabatic într-un sistem a cărui energie internă deinde de şi are loc relaţia: ( [ ] U C = + (4.186 Considerând U = U(, ( U du = Dar: d = S d + Atunci din rimul rinciiu al termodinamicii ( U d (4.187 d + d (4.188 δq = du + δl = du + d şi din relaţiile 4.187 şi 4.188 rezultă: [ ( U δq = Deoarece: ( ] + d + C = ( δq = d [ ] U + d (4.189 U + (4.190 relaţia 4.189 devine entru un roces adiabatic [ ] U C d + + d = 0 (4.191 de unde:
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 106 ( [ ] U C = + S PROBLEMA 4.28 Să se studieze forma izotermelor entru un gaz real care satisface ecuaţia an-der-waals: ( + ν2 a ( νb = νr (4.192 2 unde ν este numărul de kmoli iar a şi b sunt constante ozitive. Să se determine resiunea critică c, volumul critic c recum şi temeratura critică c. sau: Dacă se notează cu v = /ν volumul molar ecuaţia de stare devine: ( + a v 2 (v b = R de unde: ( v ( v = = R v b a v 2 (4.193 = R (v b 2 + 2a v 3 2a (v b 2 [ (v b 2 v 3 R 2a Pentru a studia semnul acestei derivate se consideră funcţia: ] (4.194 (v b2 f (v = (4.195 v 3 definită entru v > b Se studiază variaţia acestei funcţii. Pentru aceasta se consideră derivata sa în funcţie de v :
" % > B >! > L CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 107 L Figura 4.5: Funcţia f(v df dv = v b (3b v (4.196 v 4 Când v < 3b funcţia este crescătoare deoarece rima ei derivata este ozitivă. Când v > 3b funcţia este descrescătoare deoarece derivata ei este negativă. Când v = 3b se obţine valoarea maximă a lui f(v şi anume: f (3b = 4 27b Menţionăm că dacă: v b f (v 0 iar dacă: v f (v 0 Graficul acestei funcţii este rerezentat în Fig.4.5. Dacă: atunci: 4 27b < R 2a (4.197 (v b 2 R v 3 2a < 0 Rezultă: ( < 0 v ceea ce înseamnă că resiunea scade monoton cu creşterea volumului. Din relaţia 4.197 rezultă că:
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 108 Dacă: > 8a 27Rb adică ecuaţia: ( v = 4 27b > R 2a < 8a 27bR [ ] 2a (v b 2 (v b 2 R = 0 (4.198 v 3 2a are două soluţii v 1, v 2, (v 1 < v 2, unde v 1 (b, 3b şi v 2 > 3b Când v (b, v 1, şi: şi: şi: Când v (v 1, v 2 Când v > v 2 (v b 2 v 3 ( v (v b 2 v 3 ( v (v b 2 v 3 ( v R 2a < 0 < 0 R 2a > 0 > 0 R 2a < 0 < 0
F L L 8 CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 109 * Figura 4.6: Izotermă an-der-walls Când v 1 = v 2 = v v = 8a 27Rb Alura unei izoterme este cea rezentată în Fig.4.6. Se observă că în unctul v 1, resiunea are un minim iar când volumul este egal cu v 2, resiunea are un maxim. Când temeratura creşte v 1 3b, v 2 3b adică unctele de extrem se aroie din ce în ce mai mult ână ajung să coincidă. Acest lucru are loc la o temeratură critică c. Când < c trebuie remarcat că exerimental maximele şi minimele de e izoterme nu se observă. Sub temeratura critică într-un anumit unct, A gazul încee să se condenseze. Când volumul descreşte, resiunea rămâne constantă (linia AB, ână în unctul B când întreg gazul este transformat în lichid. Dincolo de unctul B când volumul descreşte, este comrimat un lichid, astfel încât aare o creştere abrută a resiunii chiar când există variaţii mici de volum. Punctul critic coresunde cazului când cele două extreme coincid (v 1 = v 2. olumul critic molar şi temeratura critică sunt: v c = 3b (4.199 c = 8a 27Rb (4.200
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 110 Presiunea critică se obţine din relaţia 4.193. c = a 27b 2 Rezultatul acesta se obţine direct atunci când se un condiţiile: ( = 0 v ( 2 = 0 v 2 PROBLEMA 4.29 Să se arate că dacă se neglijează variaţia volumului la magnetizarea unei substanţe magnetice omogene căldura secifică este dată de exresia u M c = µ 0 (4.201 când intensitatea câmului magnetic este constantă. M este densitatea de magnetizare, este intensitatea câmului magnetic, c este căldura secifică a unităţii de volum, u energia internă a unităţii de volum, iar µ 0 ermitivitatea vidului. Pentru unitatea de volum variaţia energiei interne a unei substanţe magnetice este: sau du = δq + µ 0 dm Pentru u = u(, du = δq = du µ 0 dm (4.202 u u d + d (4.203
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 111 δq = Pentru M = M(, dm = ( M d + ( M d (4.204 Ţinând cont de relaţiile 4.203 şi 4.204 relaţia 4.202 devine: şi atunci: [( u µ 0 c = ( ] [( M u d + µ 0 ( δq = d ( u µ o ( M ( ] M d PROBLEMA 4.30 Dacă se neglijează variaţia volumului când are loc magnetizarea să se demonstreze că entru o substanţă omogenă are loc relaţia: ( cm χ S = χ (4.205 c unde ( M χ = este suscetibilitatea magnetică izotermă iar ( M χ S = S (4.206 (4.207 este suscetibilitatea magnetică adiabatică. În 4.205 c M este căldura secifică a unităţii de volum la densitate de magnetizare constantă, iar c este căldura secifică a unităţii de volum la intensitate constantă a câmului magnetic.
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 112 Starea sistemului este caracterizată de arametri,, M care sunt legaţi rintr-o ecuaţie de stare. Atunci u = u(, M unde u este energia internă a unităţii de volum. Pentru unitatea de volum rinciiul I al termodinamicii se scrie: δq = du µ 0 dm (4.208 Pentru o transformare adiabatică (δq = 0 se obţine: du = µ 0 dm sau: u u dm + d µ 0 dm = 0 M M şi regruând termenii: de unde: şi: Dar: ( u ( u M M χ S = = d + ( M S [( ] u µ 0 dm = 0 (4.209 M u M M ( u M = ( u µ 0 M ( = c M M (4.210 (4.211 ( u µ 0 = M [( u µ 0 Cum în roblema recedentă am demostrat că: ( M ] ( M (4.212
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 113 c = ( δq = d [( u µ 0 ( ] M exresia 4.212 devine: ( ( u µ 0 = c M M Ţinând cont de relaţiile 4.211 şi 4.213, 4.210 devine: ( c M χ S = ( c M M = c M c ( M = c M c χ (4.213 PROBLEMA 4.31 Să se arate că într-un roces ciclic izoterm reversibil căldura schimbată cu mediul extern şi lucrul mecanic sunt nule. Se va utiliza: a egalitatea lui Clausius b formularea homson a rinciiului al doilea. adică: a În cazul unui roces ciclic izoterm reversibil: 1 δq = 0 Cum: Q = δq = 0 (4.214 U = Q L (4.215 Deoarece rocesul este ciclic U = 0 şi rezultă că şi L = 0.
F = >! 8 CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 114 Figura 4.7: Ciclu format din doua adiabate şi o b Din formularea homson a rinciiului al II-lea rezultă că sistemul nu oate efectua lucru mecanic asura mediului. Atunci: L 0 (4.216 Dacă L < 0 înseamnă că mediul extern efectuează un lucru mecanic asura sistemului. Se consideră acelaşi roces ciclic izoterm arcurs în sens invers. În cursul acestui roces lucrul mecanic efectuat de mediu este -L. Atunci: Din relaţiile 4.216 şi 4.217 rezultă că L = 0. L 0 (4.217 PROBLEMA 4.32 Să se arate că entru aceeaşi cantitate de substanţă două adiabate nu se ot intersecta. Fie două transformări adiabatice a şi b recum şi transformarea izotermă A 1 A 2 rerezentate în Fig.4.7. A 3 este unctul de intersecţie al celor două adiabate. Se consideră ciclul A 1 A 2 A 3 arcurs în sensul acelor de ceasornic. Sistemul reia căldură doar în cursul transformării A 1 A 2 şi, în lus, L > 0.
8 F F 8 CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 115 F F 8 8 8 8 Figura 4.8: Destindere adiabatică în vid Aceasta înseamnă că sistemul ia căldură de la o singură sursă şi oate efectua lucru mecanic asura mediului extern, însă acest lucru este interzis de rinciiul II al termodinamicii şi ioteza făcută nu este adevărată. (Se observă şi fatul că dacă A 1 A 2 nu este izotermă, nu avem o singură sursă de căldură Rezultă că două adiabate ale aceleiaşi cantităţi de substanţă nu se ot intersecta. PROBLEMA 4.33 Să se arate că rocesul de destindere adiabatică a unui gaz ideal dintr-o incintă cu volumul 1 şi temeratura 1, într-o incintă vidată cu volumul 2 este ireversibil. Să se calculeze variaţia de entroie în cursul acestui roces. Deoarece destinderea este adiabatică şi s-a realizat în vid Q = 0 şi L = 0. Rezultă că U = 0 şi cum entru un gaz ideal U = C rezultă că = 0, adică temeratura finală este egală cu cea iniţială. Procesul este rerezentat în Fig.4.8. Procesul ar fi reversibil dacă sistemul şi mediul ar utea reveni la starea iniţială rin aceleaşi stări intermediare, lucru care nu este osibil deoarece gazul ar trebui să treacă de la sine în incinta cu volum 1 în incinta cu volumul 2 rămânând vid. Procesul este ireversibil şi este asociat cu creştere de entroie.
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 116 Calculul variaţiei de entroie se realizează ornind de la fatul că aceasta este o funcţie de stare şi există osibilitatea evaluării ei în cursul unui roces reversibil între cele două stări. În această situaţie se consideră o transformare izotermă reversibilă între cele două stări. Atunci: ds = δq (4.218 Cum transformarea este izotermă iar entru gazul ideal: se obţine: du = δq δl = 0 δq = δl = d (4.219 Se utilizează ecuaţia termică de stare a gazului ideal şi rezultă: = νr = νr Ţinând cont de 4.219 şi 4.220 relaţia 4.218 devine: (4.220 ds = νr d Integrând: S = νr 1 + 2 1 d = νr ln ( 1 + 2 1 > 0 PROBLEMA 4.34 Două cantităţi de aă de masă M se găsesc la temeraturile 1 şi 2 ( 1 > 2. Cele două cantităţi de aă se introduc într-un calorimetru care le conferă o izolare adiabatică. Să se calculeze variaţia de entroie în rocesul de atingere a echilibrului termic.
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 117 Deoarece în cursul rocesului de atingere a stării de echilibru, cantităţii de aă cu temeratura mai mică i se transmite o cantitate de căldură de la aa cu temeratură mai mare, entru ca rocesul să fie reversibil căldura cedată ar trebui să treacă înaoi de la sine. Din formularea lui Clausius a rinciiului II rezultă că acest lucru nu este osibil; în consecinţă rocesul nu oate fi decât unul ireversibil. Ca şi în roblema recedentă, entru calculul variaţiei de entroie se consideră un roces reversibil între cele două stări. Se utilizează ecuaţia calorimetrică: Mc ( e 2 = Mc ( 1 e Pentru temeratura de echilibru rezultă: e = 1 + 2 (4.221 2 Se consideră că are loc un roces de răcire reversibil entru cantitatea de aă de la temeratura 1 la temeratura e ( 1 > e. ariaţia de entroie este: S 1 = e 1 δq = e 1 Mcd = Mc ln e 1 (4.222 În mod analog entru cantitatea de aă aflată la temeratura 2 se consideră un roces reversibil de încălzire la temeratura e S 2 = e 2 Din 4.222 şi 4.223 rezultă: δq e = 2 Mcd S = S 1 + S 2 = Mc şi considerând 4.221 se obţine: = Mc ln e 2 (4.223 ( ln e + ln e 1 1
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 118 S = Mc ln 2 e 1 2 = Mc ln ( 1 + 2 2 4 1 2 > 0 (4.224 PROBLEMA 4.35 Să se arate că în cazul unei substanţe a cărei ecuaţie termică de stare are forma = (,, este adevărată relaţia U = (4.225 În cazul unui roces reversibil: ds = du + d (4.226 Dacă U = U(, du = ( U d + ( U d (4.227 relaţia 4.226 devine: [ ( 1 U ds = + ] d + 1 ( U d (4.228 Cum entroia oate fi considerată ca funcţie de şi şi cum ds este o diferenţială totală exactă se obţine: de unde rezultă: [ 1 2 S = ( U + ] 2 S = [ 1 ( ] U
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 119 1 ( U + 1 2 2 U + 1 2 U fiind şi ea o diferenţială totală exactă ( = 1 2 U (4.229 2 U = şi din 4.229 rezultă relaţia cerută: ( U = 2 U ( PROBLEMA 4.36 Să se arate că energia internă a unei substanţe entru care ecuaţia de stare are forma = f( este indeendentă de volum. În roblema recedentă s-a dedus că: U = (4.230 Cum: ( = f ( (4.231 atunci: ( U = 0 adică energia internă nu deinde de volum.
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 120 PROBLEMA 4.37 Să se demonstreze entru un fluid relaţia: C C = = α2 (4.232 K unde α este coeficientul de dilatare izobar iar K comresibilitate izoterm. Se ţine cont de relaţia lui Robert - Mayer [ ( ] ( U C C = + şi de relaţia dar: Se obţine: Atunci 4.235 devine: ( U C C v = ( = ( ( = ( ( este coeficientul de (4.233 (4.234 2 (4.235 (4.236 Cum: C C = ( (4.237
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 121 se obţine: ( = α ( = K C C = α2 K PROBLEMA 4.38 Să se determine energia internă a unui gaz entru care ecuaţia termică de stare este = u 3 (4.238 unde u este energia unităţii de volum care deinde doar de temeratură. Pentru un gaz care ocuă volumul la temeratura energia internă este: Cum: U = u( (4.239 folosind relaţia: = u ( 3 U = densitatea de energie internă devine: (4.240 (4.241 De aici rezultă: u ( = 1 du ( u ( 3 d 3 (4.242
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 122 Integrând se obţine: du ( u ( = 4d ln u ( = 4 ln + const (4.243 u ( = const 4 PROBLEMA 4.39 Utilizând relaţia lui Stefan-Boltzmann care entru sistemul radiaţie termică leagă densitatea de energie de temeratură u = σ 4 (σ este o constantă recum şi relaţia ce leagă densitatea de energie de resiune = u/3, să se determine entroia şi ecuaţia transformării adiabatice entru acest sistem. Energia internă a unui volum ocuat de radiaţia termică este: de unde: U = u Atunci diferenţiala entroiei ds = δq du + d = devine ţinând cont de relaţia 4.244 du = ud + du (4.244 ud + du + d ds = Cum exresia densităţi de energie este: (4.245 u = σ 4 iar resiunea este = u 4 = σ 4 4
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 123 relaţia 4.245 devine: ds = 4σ 2 d + 4 3 σ 3 d (4.246 Prin integrare se obţine: S = 4 3 3 (4.247 Ecuaţia adiabatei se obţine unând S = const. 3 = const PROBLEMA 4.40 Să se determine exresia entroiei unui gaz ideal alcătuit din ν kmoli, cunoscându-se C căldura molară la volum constant şi C căldura molară la resiune constantă. Utilizăm ecuaţia fundamentală entru rocese reversibile: în care iar Atunci: ds = du + d (4.248 du = νc d = νr Integrând rezultă: ds = νc d + νrd (4.249 S(, = νc ln + νr ln + const (4.250
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 124 Pentru a obţine exresia entroiei în funcţie de arametri şi se înlocuieşte în relaţia 4.250 volumul obţinut din ecuaţia termică de stare: Rezultă: = νr ( νr S (, = νc ln + νr ln + const (4.251 S (, = νc ln νr ln + const (4.252 Pentru a obţine exresia entroiei în coordonate şi se înlocuieşte temeratura din ecuaţia de stare: în ecuaţia 4.250. Se obţine: S (, = νc ln = νr ( + νr ln + const νr S (, = νc ln + νc ln + const PROBLEMA 4.41 an-der -Waals: Fie un gaz real care satisface ecuaţia de stare ( + ν2 a ( νb = νr (4.253 2 Considerând constantă căldura molară la volum constant C stabilească: a exresia energiei interne b exresia entroiei c ecuaţia transformării adiabatice. să se
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 125 a Se consideră energia funcţie de volum şi temeratură: Atunci: În această relaţie: unde C du = U = U(, ( U d + ( U ( U d (4.254 = νc (4.255 este căldura molară la volum constant. În lus U = (4.256 Din ecuaţia de stare a gazului real rezultă: = νr νb ν2 a (4.257 2 Atunci: ( = νr (4.258 νb Ţinând cont de relaţiile 4.257 şi 4.258 relaţia 4.256 devine: ( U Considerând 4.255 şi 4.259 relaţia 4.254 devine: = ν2 a 2 (4.259 du = νc d + ν 2 a d 2 (4.260 Prin integrare se obţine: U = νc ν2 a + const (4.261
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 126 Se observă că în cazul gazului real în afara termenului νc în exresia energiei interne intră şi termenul ν 2 a/ care exrimă contribuţia energiilor otenţiale de interacţie dintre moleculele gazului. b Din relaţia fundamentală entru rocesele reversibile rezultă: ds = δq du + d = Considerând relaţiile 4.257 şi 4.260, relaţia 4.262 devine: ds = νc d + νrd νb Se integrează această relaţie şi se obţine: (4.262 (4.263 S = νc ln + νr ln ( νb + S 0 (4.264 c În cazul unui roces adiabatic S = const. Din relaţia 4.264 se obţine ecuaţia rocesului adiabatic. C R ( νb = const PROBLEMA 4.42 Să se demonstreze relaţiile lui Maxwell în cazul unor rocese reversibile entru un fluid oarecare caracterizat de arametri,,. = (4.265 S S = (4.266 S S S = (4.267 S = (4.268
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 127 Demostraţiile se fac ornind de la fatul că U, F, G, sunt funcţii de stare. Atunci du, df, dg, d sunt diferenţiale totale exacte. Aceasta imlică fatul că dacă forma diferenţială df = Xdx + Y dy este o diferenţială exactă este valabilă relaţia: a b X y = Y x du = ds d = S S = U + (4.269 d = du + d + d = ds d + d + d = ds + d c = S S F = U S (4.270 df = du Sd ds = ds d Sd ds = d Sd d ( = ( S G = U S (4.271
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 128 dg = Sd + d ( S ( = (4.272 PROBLEMA 4.43 Să se determine variaţia mărimilor,, U şi în cazul unei comrimări adiabatice. ariabilele indeendente e care le considerăm în acest caz sunt S şi. Acesta înseamnă că = (S, şi atunci: d = ds + d S S Dar cum ds = 0 entru o transformare adiabatică, entru variaţia temeraturii se obţine: ( d = d S Conform relaţiei 4.270: = S S astfel că relaţia de mai sus devine: ( d = S d = d (4.273 S Ţinând cont de exresia coeficientului de dilatare izobar: α = 1 ( rezultă:
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 129 Din: rezultă: C = ( = α (4.274 ( δq = d ( S ( = (4.275 S C Ţinând cont de relaţiile 4.274 şi 4.275, relaţia 4.273 devine: d = α C d (4.276 Din exresia coeficientului de comresie adiabatic: K S = 1 ( rezultă: ( = K S S şi variaţia volumului este: ( d = d = K S d (4.277 S ariaţia energiei interne se scrie: Din relaţia: du = ( U S d = S U d (4.278 S S rezultă: du = ds d
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 130 ( U = S În lus: ( = K S S Astfel relaţia 4.278 devine: ariaţia entaliei este: Cum: du = K S d (4.279 d = ( d (4.280 S d = ds + d atunci: ( = S Astfel relaţia 4.280 devine: d = d PROBLEMA 4.44 Să se determine variaţia entroiei S, volumului, energiei interne U, şi a entaliei în cazul unei comrimări izoterme. ariabilele indeendente sunt şi. În cazul unui roces izoterm variaţia entroiei este: ( S ds = d (4.281
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 131 Dar conform relaţiei 4.270: S = = α Atunci relaţia 4.281 devine: ariaţia volumului este: d = ds = αd (4.282 ( d = K d (4.283 Pentru a exrima variaţia energiei interne se consideră S = S(, şi = (,. Atunci: Cum ( S ds = ( d = ( S d + ( d + d (4.284 d (4.285 du = ds d (4.286 dacă se consideră relaţiile 4.284 şi 4.285 relaţia 4.286 devine: [ ( S du = du = Atunci: Cum: [ d + ( ] [ ( ( ] S d d + d ] [ S d + ( U = S ] S d (4.287 (4.288
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 132 ( S ( ( = = α (4.289 = K (4.290 relaţia 4.288 devine: ( U = α + K (4.291 Astfel într-un roces izoterm: ( U du = d = ( α + K d (4.292 ariaţia entaliei este: d = ds + d iar cu ajutorul relaţiei 4.284 se obţine: [ ( S ( S d = d + [ ( ] S d = + d + d ] + d ( S d Deoarece este o diferenţială totală exactă, folosind relaţia 4.289 se obţine: ( = Astfel într-un roces izoterm: ( ( S + = + = α + d = (1 α d
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 133 PROBLEMA 4.45 Să se determine variaţia energiei interne U, entroiei S şi a temeraturii în cazul dilatării izobare. În acest caz variabilele indeendente sunt resiunea şi volumul. Cum S(, se obţine: S S ds = d + d (4.293 Deoarece considerând relaţia 4.293 se obţine: şi iar du = du = ds d (4.294 ( S d + [ ( ] S d (4.295 Cum resiunea este constantă: [ ( ] S du = d (4.296 ( S = C = S = C ( δq = d ( S 1 α (4.297 Atunci relaţia 4.296 devine: ( C du = α d (4.298 ariaţia entroiei ds = ( S d
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 134 se oate une sub forma: ds = C α d dacă se consideră relaţia 4.297. ariaţia temeraturii se oate exrima în funcţie de coeficientul de dilatare izobar: ( d = d = 1 α d PROBLEMA 4.46 Să se determine δq = ds în funcţie de variabilele (,, (,, (, considerând cunoscuţi coeficienţii calorici şi termici ai sistemului. a În variabilele, diferenţiala entroiei este: S S ds = d + d (4.299 Utilizăm relaţia 4.271: ( S = ( ( = ( unde s-a ţinut cont de definiţiile lui α şi K. În lus: ( S = C Relaţia este justificată deoarece: C = ( δq d = ( S = α K (4.300 (4.301
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 135 Atunci 4.299 devine: şi ds = C d + α K d (4.302 δq = C d + α K d b În coordonate şi diferenţiala entroiei este: S S ds = d + d (4.303 Se utilizează relaţia 4.272 şi se obţine: S = recum şi relaţia ( S = C demonstrată in roblema recedentă Atunci 4.303 devine: = α (4.304 (4.305 şi: ds = C d α d (4.306 δq = C d α d (4.307 c În coordonate, diferenţiala entroiei este: S S ds = d + d (4.308 Se utilizează relaţia 4.272 şi se obţine:
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 136 unde: iar: ( S ( S = ( = = S ( S ( = C ( S ( S ( = ( În 4.311 s-a ţinut cont de definiţiile lui α şi K 3.6. Atunci 4.309 devine: ( S = C K α Deoarece: şi: S = S ( S atunci relaţia 4.313 devine: ( S = C = ( ( S = ( S (4.309 (4.310 = α K (4.311 (date în roblema (4.312 (4.313 = α (4.314
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 137 ( S = C α Considerând relaţiile 4.312 şi 4.313 exresia 4.308 devine: (4.315 de unde rezultă: ds = C K α d + C d (4.316 α δq = ds = C K α d + C d (4.317 α PROBLEMA 4.47 Să se arate că ciclul Carnot ireversibil are randamentul cel mai mare în comaraţie cu orice alt ciclu ce funcţionează între două temeraturi extreme date. Din inegalitatea entru rocese ireversibile: ds δq (4.318 se obţine entru un ciclu: ds > δq (4.319 Cum entroia este o funcţie de stare ds = 0 (4.320 atunci din 4.319 se obţine: Se notează cu: δq 0 (4.321 Q 1 = căldura rimită în cursul ciclului. δq > 0 (4.322
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 138 Se notează cu: Q 2 = δq > 0 (4.323 C căldura cedată în cursul ciclului. Atunci dacă se ţine cont de relaţiile 4.322 şi 4.323, relaţia 4.321 se oate scrie: δq = δq + δq C 0 (4.324 sau: δq δq (4.325 C Se notează cu M temeratura maximă atinsă în cursul ciclului. Atunci δq δq M = Q 1 M (4.326 sau: Q 1 δq (4.327 M Se notează cu m temeratura minimă atinsă în cursul ciclului. Atunci: δq c δq c = Q 2 (4.328 m m Din relaţiile 4.325, 4.327, 4.328 obţinem: Q 1 M Q 2 m (4.329 m Q 2 M Q 1 1 m 1 Q 2 M Q 1 adică randamentul ciclului Carnot este randamentul cel mai mare entru ciclurile care se desfăşoară între două temeraturi date.
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 139 PROBLEMA 4.48 În cazul unei maşini termice ce lucrează duă un ciclu Carnot există osibilitatea ca diferenţa 1 2 dintre temeraturile sursei calde şi reci să fie mărită cu rin încălzirea sursei calde şi rin răcirea sursei reci. Cum trebuie distribuită variaţia e cele două surse entru ca randamentul să fie maxim? Se consideră: = 1 + 2 (4.330 unde 1 rerezintă creşterea de temeratură a sursei calde iar 2 rerezintă scăderea în temeratură a sursei reci. În aceste condiţii randamentul devine: Din relaţia 4.330 se obţine: η = 1 2 2 1 + 1 (4.331 astfel că relaţia 4.331 devine: 2 = 1 η = 1 2 + 1 1 + 1 = 1 + 2 1 + 1 (4.332 Randamentul este maxim când numitorul este minim, adică 1 = 0. Aceasta înseamnă că este mai eficient să se scadă temeratura sursei reci entru a mări randamentul maşinii termice. PROBLEMA 4.49 Să se determine randamentul ciclului Otto format din două adiabate şi două izocore ( Fig. 4.9 având ca substanţă de lucru un gaz ideal. Se cunosc 1 / 2 = ε şi γ = C /C. Căldurile schimbate de sistem entru fiecare transformare în arte sunt:
F! " 8 CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 140 Figura 4.9: Ciclul Otto Atunci: Q 12 = 0 Q 23 = νc ( 3 2 Q 34 = 0 Q 41 = νc ( 1 4 η = 1 Q 41 Q 12 = 1 4 1 3 2 = 1 1 2 Din transformarea 1-2 se obţine: 1 2 = ( 1 2 ( 4 1 ( 1 (4.333 3 1 1 γ 1 = 1 ε γ 1 (4.334 Se scriu transformările 1-2, 3-4 în coordonate, 1 γ 1 1 = 2 γ 1 2 (4.335 4 γ 1 1 = 3 γ 1 2 (4.336 Din aceste ultime două relaţii rin îmărţire se obţine:
F! " 8 CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 141 Figura 4.10: Ciclul Diesel 4 1 = 3 2 (4.337 Ţinând cont de relaţiile 4.334 şi 4.57 relaţia 4.333 devine: η = 1 1 ε γ PROBLEMA 4.50 Să se determine randamentul ciclului Diesel format din două adiabate, o izobară şi o izocoră (Fig.4.10 având ca substanţă de lucru un gaz ideal. Se cunosc γ = C /C, 1 / 2 = ε şi 3 / 2 = ρ. Se calculează căldurile schimbate de sistem entru fiecare transformare în arte coresunzătoare ciclului rerezentat în Fig. 4.10. Rezultă: Q 12 = 0 Q 23 = νc ( 3 2 > 0 Q 34 = 0 Q 41 = νc ( 1 4 < 0
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 142 Randamentul este: η = 1 Q 41 Q 23 Din transformarea 1-2 rezultă: 1 2 = iar din transformarea 2-3: = 1 1 γ ( 2 1 4 1 1 1 2 3 (4.338 1 2 γ 1 = 1 ε γ 1 (4.339 3 2 = 3 2 = ρ (4.340 Pentru a calcula raortul 4 / 1 acesta va fi exrimat sub forma: ( 4 4 3 2 = (4.341 1 3 2 Din transformarea adiabatică 3-4 rezultă: 4 3 = ( 3 1 γ 1 = 1 ( γ 1 3 ( 2 ρ γ 1 = (4.342 2 1 ε Ţinând cont de relaţiile 4.339 şi 4.340 relaţia 4.341 devine: Atunci randamentul este: 4 1 = ρ γ (4.343 η = 1 1 γ (ρ γ 1 ε γ 1 (ρ 1 PROBLEMA 4.51 Să se calculeze randamentul unei maşini termice ce lucrează duă un ciclul Joule care este comus din două adiabate şi din două izobare ( 1, 2, substanţa de lucru fiind un gaz ideal cu exonentul adiabatic γ. Se cunoaşte raortul ε = 2 / 1, ( 2 > 1.
F F F "! 8 CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 143 Figura 4.11: Ciclul Joule Rerezentarea ciclului în coordonate (, este dată în Fig. 4.11 Căldurile schimbate de sistem cu mediul extern sunt: Q 12 = νc ( 2 1 > 0 Q 23 = 0 Q 34 = νc ( 4 3 < 0 Q 41 = 0 Atunci randamentul este: ( η = 1 Q 34 = 1 3 4 = 1 1 4 3 ( 3 Q 12 2 1 2 1 (4.344 1 2 Din transformările 1-4, 2-3 se obţine: 1 γ γ 2 1 γ γ 1 = 3 2 (4.345 1 γ γ 1 de unde rin îmărţire rezultă: 1 γ γ 1 = 4 2 (4.346
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 144 2 1 = 3 4 (4.347 Ţinând cont de relaţiile 4.345, 4.346 şi 4.347, relaţia 4.341 devine: η = 1 ( 1 2 1 γ γ = 1 ( 1 γ 1 γ ε PROBLEMA 4.52 Să se demonstreze relaţia: = + (4.348 dar: Se orneşte de la exresia entaliei: Prin diferenţiere obţinem: astfel încât: ds = [ 1 d = = U + (4.349 d = ds + d (4.350 ds = d d ( d + ( ] d + 1 Cum ds este o diferenţială totală exactă: (4.351 ( d (4.352 ( d (4.353
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 145 [ 1 de unde rezultă: 1 Atunci: 2 1 2 ( ] [ = 1 ( + 1 2 ( = ( ] ( = 1 ( + 2 (4.354 PROBLEMA 4.53 Să se găsească exresia diferenţială entru entroia unui gaz entru care: α = 1 ( = const (4.355 Cum: C = const (4.356 = U + (4.357 Atunci: d = ds + d (4.358 Considerând = (, : d = ( d + ds = d d (4.359 ( d = C d + ( d (4.360
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 146 Aşa cum s-a demonstrat în roblema 3.52: = + (4.361 Atunci relaţia 4.360 devine: d = C d + [ Ţinând cont de 4.362, 4.359 devine: ds = C d ( ] + d (4.362 ( Utilizând exresia coeficientului de dilatare izoterm α = 1 ( relaţia 4.363 devine: PROBLEMA 4.54 d (4.363 (4.364 ds = C d αd (4.365 Să se demonstreze că α S = 1 ( S (4.366 coeficientul de dilatare adiabatic oate fi exrimat şi sub forma: α S = C ( (4.367 Se consideră S = S(, : ( S ds = Rezultă: d + ( S d (4.368
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 147 Dar: şi cum: relaţia 4.368 devine: Atunci: ( S ( S ( S ( S = ( S = ( = C S α S = C = C ( ( ( (4.369 (4.370 (4.371 (4.372 PROBLEMA 4.55 Cum: Să se demonstreze relaţiile: C 2 = 2 C 2 = 2 C = ( S (4.373 (4.374 (4.375
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 148 se obţine: ( C = [ ( ] S Cum: ( S din relaţia 4.376 se obţine: ( C Deoarece: se obţine: Cum: se obţine: ( C = [ C = = ( ] S ( S ( C = ( ( 2 = 2 ( S = ( = [( ] S ( 2 = 2 [( ] S (4.376 (4.377 (4.378 (4.379 (4.380 (4.381 PROBLEMA 4.56 La o substanţă aramagnetică suscetibilitatea variază cu temeratura duă o lege de forma χ = C/ unde C este o constantă ozitivă. Să se determine căldura schimbată de unitatea de
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 149 volum a substanţei cu mediul extern când temeratura este menţinută la valoarea 1 iar intensitatea câmului magnetic creşte de la 0 la 1. ariaţia volumului se va considera neglijabilă. Se utilizează forma rimului rinciiu al termodinamicii entru substanţe magnetice (mărimile se consideră raortate la unitatea de volum du = δq dv + µ 0 dm (4.382 Lucrul mecanic la magnetizare a fost calculat în roblema 3.4. Cum = const, v = const rezultă du = 0 astfel că din relaţia 4.382 rezultă: Dar: δq = µ 0 dm (4.383 Atunci: M = χ = C (4.384 dm = Cd Cum = 1 din relaţiile 4.383 şi 4.385 rezultă: (4.385 δq = µ 0 C 1 d (4.386 Se integrează şi se obţine: q = 1 0 µ 0 C 1 d = µ 0C 2 1 2 1 PROBLEMA 4.57 Pentru o substanţă s-a găsit că densitatea de magnetizare este funcţie de raortul /. Să se arate că energia internă a unităţii de volum este indeendentă de M şi să se determine exresia entroiei (se va neglija variaţia volumului.
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 150 Alicând rimul rinciiu al termodinamicii entru substanţe magnetice: rezultă: du = ds µ 0 dm ds = du + µ 0dM unde s, u se referă la entroia şi energia unităţii de volum. Se consideră u = u(, M şi se arată că ( u = 0 M (4.387 Într-adevăr: u u du = d + dm (4.388 M M şi relaţia 4.387 devine: ds = 1 ( u d + 1 [( ] u µ 0 dm (4.389 M M Deoarece ds este o diferenţială totală exactă, din relaţia 4.390 rezultă: sau: de unde: 1 M [ 1 ( u M ] = { 1 2 u M = 1 ( u + 1 2 M ( u M = µ 0 2 [( u M 2 u M µ 0 ( M ]} µ 0 M ( M Cum M = f (/ şi M = const rezultă că / = const şi: (4.390
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 151 ( u = 0 (4.391 M Aceasta relaţie arată că energia internă a unităţii de volum este indeendentă de magnetizare. Deoarece: dm = f d (4.392 relaţia 4.387 devine: ds = du ( Pentru x = / se obţine: µ 0 f du ( s = µ 0 ( d / 0 ( xf (x dx Integrând rin ărţi cel de-al doilea termen obţinem: du ( s = µ 0 f ( + µ 0 / 0 f (x dx (4.393 PROBLEMA 4.58 În cazul unei substanţe aramagnetice ideale densitatea de magnetizare variază cu temeratură duă legea Curie: M = C (4.394 unde C este o constantă. Să se arate că în condiţiile în care câmul magnetic variază iar sistemul este izolat adiabatic: d = µ 0 ( C c unde c este caacitatea calorică a unităţii de volum. d (4.395
CAPIOLUL 4. ERMODINAMICĂ 152 Se consideră u, s energia internă şi entroia unităţii de volum deendente doar de şi (deoarece variaţia de volum oate fi considerată neglijabilă s s δq = ds = d + d (4.396 rezultă: δq s c = = (4.397 d Se exrimă diferenţiala entroiei: ds = ( s d + Se ţine cont de relaţia 4.397 şi se obţine: ds = c ( s d + ( s d (4.398 d (4.399 Cum într-o transformare adiabatică ds = 0 din relaţia 4.399 rezultă: d = ( s d (4.400 c Pentru a exrima ultima derivată arţială se consideră diferenţiala densităţii de magnetizare. M M dm = d + d (4.401 Ţinând cont de relaţiile 4.398 şi 4.401, diferenţiala energiei interne se oate exrima astfel: du = ds + µ 0 dm (4.402