Tema 3.5 Fundamentos da difracción 3.5.1. Introducción Ademáis da interferencia, existe outro conxunto de fenómenos que non son explicables mediante a óptica xeométrica. Cando a luz atravesa pequenas aberturas (menores que 100λ), ou se propaga moi próxima a un obstáculo, aparece luz onde a óptica xeométrica predí sombra e fluctuacións e intensidade (incluso cancelación) en rexións que deberían estar uniformemente iluminadas según a óptica xeométrica. Este comportamento lembra á interferencia, e de feito a difracción pode considerarse como unha interferencia de un número infinito (continuo) de fontes coherentes. Polo tanto só se pode explicar mediante unha teoría ondulatoria da luz. A primeira referencia ó fenómeno da difracción aparece no traballo de Leonardo da Vinci (145-1519), pero foi Grimaldi, en 1665 quen fixo unha descrición detallada da propagación non rectilinea da luz e deulle o nome de difracción. En 1678 Huygens propuxo a súa teoría ondulatoria para explicar a reflexión, refracción e a birrefrinxencia, pero non a aplicou á difracción o que suxire que non a coñecía. Debe remarcarse que o modelo de Huygens se reducía unha fronte de onda e o método de calcular a súa propagación como a envolvente de frontes secundarias, pero a luz non era necesariamente un fenómeno periódico e non usa o concepto longura de onda, bastaba cunha única fronte. Polo contrario Newton era consciente do caracter periódico da luz debido ó estudio dos aneis que levan o seu nome, pero acabou decantándose pola teoría corpuscular da luz na súa obra Optiks publicada en 1704, e a súa influencia deixou relegada a teoría ondulatoria durante un século, ata que foi recuperada por Young para explicar a interferencia (1803). Sen embargo o modelo de Huygens non podía por si só explicar aspectos chave da difracción: a aparición de franxas ós dous lados da fronteira xeométrica sombra-luz, a dependencia da difracción coa longura de onda, ou a intensidade da onda difractada. É Fresnel (1818) quen combina o principio de Huygens coa interferencia mútua entre as ondas secundarias establecendo o que se coñece como principio de Huygens-Fresnel: Cada punto da fronte de onda se comporta como un emisor dunha onda esférica secundaria da mesma frecuencia que a primaria. A amplitude do campo nun punto máis alonxado da fonte primaria é a superposición das ondas secundarias (tendo en conta a súa amplitude e fase). 1
(Hecht)
A teoría ondulatoria contou coa resistencia inicial de Poisson, quen argumentou que a teoría predecía que a unha certa distancia dun obstáculo circular existía un máximo de luz no centro da súa sombra xeométrica. Arago fixo o experimento e atopou o máximo (punto de Arago), o que supuxo un importante respaldo á teoría que acabou sendo aceptada. En 188 Kirchhoff obtén unha solución ó problema da difracción a partir da ecuación de onda e do teorema de Green; a cal coincide na rexión paraxial co modelo de Huygens-Fresnel co este que queda dotado dunha base matemática moito máis sólida. Realmente a solución de Kirchhoff tamén contén aproximacións que conducen a inconsistencias teóricas, pero non prácticas. En concreto, para obter a solución hai que supoñer que tanto o campo como a súa derivada na superficie do obstáculo son nulas, pero según a ecuación de onda eso só é compatible cun campo nulo en todas partes. A aproximación Rayleigh-Sommerfeld elimina estas inconsistencias, coincidindo cos modelos anteriores na rexión paraxial. Todas elas son teorías escalares na súa forma orixinal, e supoñen que o campo na abertura é igual ó que habería se non houbese obstáculo, o cal non é estrictamente certo. Se a abertura é maior que a longura de onda, proporcionan boas solucións en amplas rexión do espacio (quedan excluidas zonas moi próxima á abertura). Sommerfeld resolveu rigorosamente en 1896 o problema da difracción dunha onda plana vectorial por un semiplano perfectamente conductor e infinitamente delgado. Posteriormente resolveronse xeometrías semellantes, pero o problema dunha abertura arbitraria é moi complexo se se require unha solución exacta. Por exemplo é dificil predecir con precisión a eficiencia de determinadas redes de difracción, ou non se descubriu ata fai poucos anos 1 que unha lámina metálica cunha disposición regular de orificios de tamaño menor que a longura de onda, pode transmitir máis luz que a incidente na superficie dos orificios. 3.5.. Principio de Huygens-Fresnel Antes de aplicar a teoría ó calculo de problemas de difracción, debemos comprobar que describe correctamente unha situación coñecida: o caso particular de que non exista abertura e a onda se propague libremente. Propagación libre Consideremos unha fonte puntual monocromática que emite frontes de onda esféricas. Tomemos unha fronte S de radio ρ e intentemos calcular o 1 Thomas Ebbesen et al., Nature 391, 667 (1998) 3
(Hecht) campo que a fronte xerará nun punto P situado a unha distancia r 0 dela, sumando a contribución das ondas secundarias. A contribución en P dun diferencial da superficie da fronte será proporcional a: o diferencial de superficie da fronte ds; a amplitude complexa da onda primaria: A 0 e ikρ /ρ; a amplitude complexa da onda secundaria cando chegue a P : e ikr /r, sendo r a distancia dende o diferencial de superficie ata P ; e un factor de oblicuidade: K(θ), sendo θ o ángulo que forma a normal da fronte no diferencial de superficie coa dirección na que se atopa P. Se as ondas secundarias emitisen por igual en tódalas direccións, xerarían unha onda propagándose dende a fronte primaria cara atrás, onda que realmente non existe. Polo tanto asúmese que a emisión das ondas secundarias é máxima na dirección da fronte e que se vai reducindo progresivamente ata anularse na dirección oposta. Logo, a contribución dunha onda secundaria na amplitude complexa da onda en P será: dg P = A eikρ e ikr ρ r K(θ)dS Realmente Fresnel supuxo que se anulaba para θ π/, pero eso non cambia o resultado. 4
(Hecht) onde A é unha constante polo momento descoñecida. Integrando sobre toda a fronte de onda S F (na que ρ é constante) obtemos: g P = A eikρ ρ SF e ikr r K(θ)dS (3.5.1) Nótese que estamos calculando a parte espacial da onda; o campo en P será realmente: E P = g P e iωt. Para facer o cálculo convén usar como variable de integración r. Para relacionar ds con dr, primeiro expresemolo en funcion de dϕ, sendo ϕ o ángulo que subtendido entre o diferencial de superficie e P dende a fonte: ds = πρ sen ϕ ρdϕ. Como r e ϕ están relacionados, temos que: r = ρ + (ρ + r 0 ) ρ(ρ + r 0 ) cos ϕ rdr = ρ(ρ + r 0 ) sen ϕ dϕ, onde se tivo en conta que ρ e r 0 son constantes para unha fronte dada. Polo que: ds = πρ rdr. ρ + r 0 Entón: g P = πa eik(ρ+r 0) ρ + r 0 r0 +ρ r 0 e ik(r r 0) K(θ)dr Obsérvese como o cambio de variable fai desaparecer os denominadores ρ e r da anterior expresión de g P e xurde o denominador ρ + r 0 que da lugar á amplitude correcta da onda en P. Por outra banda, para ter unha idea do resultado da integral, debemos fixarnos en que a exponencial do integrando 5
(Hecht) varía periódicamente a medida que incrementamos r. Se partimos do punto da fronte máis próximo a P e nos vamos alonxando, a exponencial vai recorrendo a circunferencia de radio unidade do plano complexo. Cada vez que incrementamos r en λ/, a exponencial cambia de signo, contrarrestando a contribución do valor anterior de r no resultado da integral. É dicir a parte real (e tamén a imaxinaria) do resultado é a integral dunha función que oscila rapidamente, con moitas contribucións positivas e negativas, e cunha amplitude que se vai reducindo suavemente por efecto do factor de oblicuidade. Para facilitar o cálculo, dividiremos a fronte nas chamadas zonas semiperiódicas de Fresnel que son rexións anulares definidas polas interseción da fronte con esferas centradas en P e de radios r 0, r 0 + λ/, r 0 + λ, r 0 + 3λ/, etc. É dicir a primeira esfera é tanxente á fronte e cada unha das seguintes incrementa o radio en λ/ respecto da anterior. Numeraremos as zonas comenzando pola máis próxima a P. As zonas pares contribuirán todas coa mesma fase en P, e as impares tamén terán a mesma fase entre si, pero oposta á das pares. Demostrémolo calculando a contribución da zona l-ésima (gp l ), para o cal consideraremos que o factor de oblicuidade é constante en cada zona por seren estas moi estreitas, K(θ) = K l : gp l = πa eik(ρ+r 0) r0 +lλ/ K l ρ + r 0 r 0 +(l 1)λ/ = A λ e ik(ρ+r 0) ( 1) l K l i ρ + r 0 e ik(r r 0) dr 6
K_1 Como xa avanzáramos, o signo da integral cambia según a zona sexa par ou impar, polo que a contribución total: g P = A λ i e ik(ρ+r 0) ρ + r 0 m ( 1) l+1 K l, queda en función dunha serie alternada, que avaliaremos considerando a aproximación de Schuster: m ( 1) l+1 K l l=1 l=1 { K1 + Km m impar, K 1 Km m par. Pero como o factor de oblicuidade se fai cero para a última zona, resulta que a amplitude resultante de toda a onda é a metade que a contribución da primeira zona: λ e ik(ρ+r 0) g P = AK 1 i ρ + r 0 Como temos dúas constantes libres, definamos o factor de oblicuidade 1 para a dirección normal á fronte (θ = 0) e polo tanto K 1 = 1. Por outra parte a amplitude complexa da onda primaria a unha distancia ρ vale A 0 e ikρ /ρ polo que a perturbación a unha distancia ρ + r 0 ten que valer: g P = A 0 e ik(ρ+r 0) /(ρ + r 0 ), que coincide coa expresión anterior se a constante de proporcionalidade vale: A = i λ A 0 Polo tanto a teoría é capaz de describir a propagación dunha onda esférica. Difracción a través dunha abertura Agora que coñecemos o valor de A podemos aplicar as mesmas ideas ó problema da difracción sen mais que restrinxir a integral ó sector da fronte 7
de onda Σ que atravesa a abertura: g P = i A 0 e ikρ λ ρ Σ e ikr r K(θ)dS Ainda que non coñecemos K(θ), en moitos casos podemos supoñer θ, e tomar K = 1. Outro feito destacable é o factor i = e iπ/ que se pode interpretar como un adianto de π/ das ondas secundarias respecto da primaria. Algunhas situacións simples Acabamos de ver que a amplitude sen abertura é a metade da contribución da primeira zona semiperiódica. Entón, se colocamos unha pantalla entre a fonte e P, cun orificio circular que bloquee toda a onda excepto esta primeira zona, a amplitude duplícase e a intensidade cuadriplícase! Se agora aumentamos o orificio, empezará a contribuir a segunda zona e cando esta esté completa a amplitude case será nula xa que dúas zonas (Hecht) 8
contiguas teñen contribucións moi semellantes. O mesmo ocorre se deixamos fixo o tamaño da abertura e achegamos o punto de observación P xa que o tamaño das zonas depende de r 0. Se un obstáculo circular tapa a primeira zona semiperiódica, a amplitude é proporcional a: K + K 3 K 4 + K 5 + = K / K 1 /, polo que a amplitude é igual que se non houbese obstáculo. Situación que corresponde ó xa mencionado punto de Arago. Se tapamos tódalas zonas pares (ou impares) as contribucións de tódalas zonas descubertas interfiren constructivamente dando lugar a un punto moi brillante. O elemento óptico que consigue esto denomínase placa zonal. 3.5.3. Nocións da teoría de Kirchhoff Os puntos de partida de Kirchhoff son: 1. A ecuación escalar de ondas: E = 1 c E t, que cando se consideran ondas monocromáticas E = ge iωt se convirte nunha ecuación de Helmholtz para a parte espacial: V g + k g = 0. O teorema de Green: (U 1 U U U 1 )dv = (U 1 U U U1 )ds onde U 1 e U son funcións escalares e S é a superficie pechada que encerra o volume V. Agora Kirchhoff escolle: S U 1 = g, U = eikr r 9
(Born& Wolf) Notación fig. texto r ρ s r sendo r a distancia dende o punto de observación P. Tanto U 1 com U verifican a ecuación de Helmholtz, o que permite varias simplificacións nas integrais anteriores. Dese xeito é posible calcular o campo en P se se coñece g e a súa derivada normal nunha superficie pechada que conteña a P : ( e ikr g P = 1 4π S g r g eikr r ) d S. Esta expresión coñécese como Teorema integral de Kirchhoff. No caso concreto dunha fonte puntual de luz non obstruida tamén se pode facer coincidir S coa fronte de onda S F : g P = i A 0 e ikρ e λ ρ SF ikr r 1 + cos θ ds onde se supuxo r, ρ λ. Este resultado confirma a eq. (3.5.1) da teoría Huygens-Fresnel, e ademáis vemos que xurden directamente a constante de proporcionalidade A e o factor de oblicuidade que resulta ser: K(θ) = 1 + cos θ Para o cálculo do problema de difracción dunha fonte puntual por unha abertura Σ nunha pantalla opaca volvamos ó Teorema integral de Kirchhoff. Agora, a superficie de integración S debe abarcar todo o semiespacio despois da pantalla. A contribución da parte de S que está moi lonxe do punto de observación tende a cero a medida que S se fai maior para incluir un volume semiinfinito. Ademáis deben facerse as seguintes hipóteses ou aproximacións para avaliar a integral de superficie: 10
A contribución da parte de S que está sobre a pantalla ou obstáculo, aproxímase por cero. Esta aproximación non é necesaria na teoría de Rayleigh-Sommerfeld. Para avaliar a contribución sobre a abertura considérase que o campo é o mesmo que se non houbese pantalla. Nin a fonte nin o punto de observación están moi próximos á abertura ρ, r λ. Entón obtense a Fórmula de difracción de Fresnel-Kirchhoff: g P = ia 0 e ik(ρ+r) cos(ˆn, ˆr) cos(ˆn, ˆρ) ds λ ρr Σ onde ˆn e ˆρ son os vectores unitarios normais exteriores a Σ e á fronte de onda; e ˆr apunta na dirección de P pero no senso oposto. (ˆn, ˆr) e (ˆn, ˆρ) son os ángulos que forman entre eles. Unha vantaxe importante desta expresión é que a superficie de integración non ten que ser necesariamente a fronte de ondas, por ese motivo quedan as dependencias en ρ dentro da integral. A onda que incide na apertura podería non ser esférica; por exemplo podería ser a onda que emerxe dun sistema óptico con aberracións. Nese caso, tras aproximacións semellantes, tamén obtemos: g P = i λ Σ g eikr r cos(ˆn, ˆr) cos(ˆn, ˆρ) ds, (3.5.) con tal de que a diferencia de fase entre dous puntos da apertura estea ben definida, é dicir suponse iluminación coherente. Obsérvese que esta expresión contempla implicitamente o caso dunha abertura con rexións parcialmente transparentes, nas que g dentro da integral será o campo incidente na abertura multiplicada polo seu coeficiente de transmisión. Ainda máis, se na abertura hai unha lámina delgada transparente de espesor variable, unha onda que incida sobre da lámina cun ángulo pequeno, adquirirá unha fase diferente en cada punto ó atravesala. Isto formalízase incorporando un coeficiente de transmisión complexo do tipo e ik(n 1)d onde n é o índice da lámina e d é o seu espesor local. Este último tipo de elementos denomínanse obxectos de fase. Dous exemplos de obxectos de fase son un prisma ou unha lente delgada. Así, pode describirse a refracción nunha superficie ou a focalización dunha lente como un fenómeno difractivo, o cal non é tan sorprendente tendo en conta que era un dos logros do principio de Huygens. Normalmente as integrais anteriores son moi difíciles de resolver, polo que se recurre a aproximacións que son válidas en certas rexións do espacio. 11
Cando a fonte de luz e o plano de observación están moi lonxe da abertura podemos facer importantes aproximacións na fase e na amplitude das ondas secundarias. É a coñecida difracción de Fraunhofer ou de campo lonxano. Unha aproximación da fase non tan drástica (é dicir incluindo máis termos) nos permite describir o campo a distancias menores; é a denominada difracción de Fresnel ou, por contraposición coa anterior, de campo próximo. 3.5.4. Difracción de Fresnel Como xa dixemos, a integral de Fresnel-Kirchhoff é de dificil resolución analítica. O motivo radica principalmente nas dependencias de r e ρ coas coordenadas cartesianas, xa que cada unha contén unha raiz cadrada na fase do integrando. Unha simplificación moi útil en óptica xeométrica é a aproximación paraxial, na cal os ángulos e as distancias dos raios ó eixo óptico se supoñen pequenos. Simplicaremos a integral de difracción facendo unha aproximación semellante. Para formalizar o cálculo, consideremos unha superficie plana, opaca e cunha abertura de forma arbitraria. Situaremos o plano XY duns eixos de coordenadas coincidente coa superficie difractante, a orixe de coordenadas nas proximidades da abertura e o eixo Z no senso de propagación dos raios Y X r Yo z Xo Z 1
xeométricos. Partiremos da integral de Fresnel-Kirchhoff (3.5.), tomando como superficie Σ o propio plano XY. Estudiaremos o patrón de difracción nun plano z constante alonxado da abertura no cal definiremos uns eixos X 0 Y 0 paralelos a XY. A aproximación de Fresnel baséase en restrinxirse á rexión onde z x, y, x 0, y 0. Concretamente involucra as seguintes simplificacións da integral de Fresnel-Kirchhoff: Na fase das ondas secundarias. Como o obxectivo básico é simplificar a fase kr nas situacións nas que o vector r forma un ángulo pequeno co eixo Z, faremos: r = (x x 0 ) + (y y 0 ) + z = z 1 + (x x 0) + (y y 0 ) { z z 1 + 1 (x x 0 ) + (y y 0 ) 1 ( ) } (x x0 ) + (y y 0 ), z 8 z onde se usou o desenvolvemento de Taylor: 1 + u 1 + u/ u /8 se u 1. A aproximación de Fresnel consiste en despreciar o termo entre parénteses da expresión anterior de r, o cal é lícito se ese termo ten unha contribución na fase moito menor que 1 radián: π ( (x x0 ) + (y y 0 ) ) 4 max λz3 (Condición de Fresnel), o cal restrinxe tanto o tamaño da abertura coma o da rexión de observación. Polo tanto, na fase conservaranse os termos lineais e cuadráticos en x e y. Na amplitude das ondas secundarias. Considérase que todas elas chegan coa mesma amplitude a calquera punto do plano de observación: 1 r 1 z Resulta chocante a primeira vista unha aproximación tan burda na amplitude comparado coa aproximación a segunda orde na fase. Nótese que a amplitude decae suavemente coa distancia e nunca cambia de signo en contraposición coa a alta sensibilidade do signo do integrando frente a pequenos cambios na fase. No factor de oblicuidade. Tamén ten unha dependencia moi suave cos ángulos (erro do 5 % para 18 ), polo que se aproximará do mesmo xeito que a amplitude: cos(ˆn, ˆr) = z r 1. 13
Analogamente restrinxirémonos a ángulos de incidencia moderados para que sexa válido: cos(ˆn, ˆρ) 1. Co cal o factor de oblicuidade se aproxima pola unidade. Na onda incidente. Para que teña sentido esta aproximación, a onda incidente g debe admitir unha aproximación semellante á exposta para e ikr /r, ou debe poder descompoñerse como suma de ondas que o admitan. En concreto se a iluminación procede dunha fonte puntual, a súa posición debe ser próxima ó eixo z e estar alonxada da abertura exactamente do mesmo xeito que o punto de observación. É dicir as súas coordenadas tamén deben cumplir a condición de Fresnel. Baixo estos supostos a integral (3.5.) queda g P = ieikz g(x, y) exp {ik (x x } 0) + (y y 0 ) dx dy, (3.5.3) λz z Σ que agora se denomina integral de difracción de Fresnel. Esta aproximación tamén é coñecida como Gaussiana, paraxial (xa que é equivalente en ondas á aproximación paraxial de raios), ou como aproximación parabólica (porque a fase das ondas secundarias depende cuadráticamente das coordenadas transversais). 3.5.5. Difracción de Fraunhofer A integral de difracción Fresnel pode reescribirse como: { } ie ikz exp ik x 0 +y 0 { } z g P = g(x, y) exp ik x + y (xx 0 + yy 0 ) dx dy, λz z Σ e pode simplificarse ainda máis no caso de que os termos cuadráticos en x e y na fase do integrando sexan despreciables, o cal ocorrerá se: π(x + y ) max λz, (Condición de Fraunhofer) que é unha condición máis restrictiva en x e en y que a condición de Fresnel. De novo estamos admitindo implícitamente que os termos cuadráticos da fase de g(x, y) tamén son despreciables. Neste caso a amplitude no plano 14
de observación é en esencia a Transformada de Fourier bidimensional da amplitude no plano da abertura: { } ie ikz exp ik x 0 +y 0 { z g P = g(x, y) exp ik xx } 0 + yy 0 dx dy λz z ie ikz exp = { λz onde f x = x 0 λz e f y = y 0 λz ik x 0 +y 0 z } Σ R g Σ (x, y) exp { iπ(f x x + f y y)} dx dy, se denominan frecuencias espaciais e (3.5.4) { g(x, y) (x, y) Σ g Σ (x, y) = 0 (x, y) / Σ. O termo de fase fóra da integral simplemente nos indica que o camiño que recorren as ondas ata o plano de observación é maior canto máis nos alonxamos do eixo. Coincide (paraxialmente) coa dunha onda esférica que parta da orixe de coordenadas da abertura. Esta fase non inflúen na distribución de intensidade na pantalla, a cal depende das relacións x 0 e y 0. A maior λz λz distancia de observación e a maior longura de onda da fonte, máis grande é o patrón. Posto que os termos cuadráticos levan a información sobre a curvatura da fronte de onda, esta aproximación admite que o plano de observación está tan lonxe da abertura que as ondas secundarias xa son planas. A condición de Fraunhofer faise exacta cando o punto de observación está en infinito. Debe lembrarse que na aproximación de Fresnel, de onde partimos para chegar a (3.5.4), tamén se admitiu aproximación paraxial. Para fixar ideas supoñamos que sobre a abertura colocamos unha transparencia con lineas verticais equiespaciadas e moi xuntas (p líneas por unidade de lonxitude) de xeito que caiban moitas liñas na abertura, cun coeficiente de transmisión cosenoidal. Ademáis iluminamos cunha onda plana de amplitude A 0 propagándose na dirección do eixo Z (fase constante no plano z = 0). Entón tomemos: g(x, y) = A 0 (1 + cos πpx)/ = A 0 (1 + eiπpx ) + e iπpx. A integral de difracción de Fraunhofer pode descompoñerse en tres termos. O procedente da constante é proporcional a: exp { iπ(f x x + f y y)} dx dy. Σ 15
Para f x = f y = 0 esta integral é igual á superficie da abertura Σ pero para outros valores de f x ou f y a exponencial vai recorrendo moitas veces o círculo unidade do plano complexo de xeito que as contribucións dunhas rexións da abertura cancelan as doutras. Este termo da lugar esencialmente a unha onda plana paralela á incidente. O segundo termo será proporcional a: exp { iπ((f x p)x + f y y)} dx dy, Σ que, polo mesmo motivo que antes, terá un máximo cando f x = p e f y = 0. Dará lugar a unha onda plana que viaxa na dirección dada pola recta x 0 = pλz, y = 0. Analogamente, o último termo corresponde a unha onda plana que se propaga na recta x 0 = pλz, y = 0. Canto máis finas sexan as liñas ou maior a longura de onda, maior é o angulo que estas dúas últimas ondas difractadas forman co eixo. Agora podemos ver que o nome de frecuencia espacial procede de que unha variación periódica do campo na abertura xera unha onda plana difractada na dirección da variación. Configuracións para observar difracción de Fraunhofer Estudiaremos dúas configuracións: 1. Situemos unha lente despois da abertura co seu eixo óptico coincidente co eixo Z. Esta lente formará imaxe do infinito no seu plano focal imaxe. En cada punto deste plano se enfoca unha onda plana que sae da apertura cunha dirección de propagación concreta. Máis ainda, a onda que sae da apertura pode descompoñerse como suma (infinita) de ondas planas en tódalas direccións posibles e cada unha coa súa amplitude (g P ). A súa interferencia reconstrúe a onda que ilumina o interior da abertura, pero estas ondas planas interfiren destructivamente fóra da abertura. Se ademais a orixe de coordenadas { da } abertura está no foco obxecto da lente, o termo de fase exp que multiplica ik x 0 +y 0 z á integral desaparece porque o camiño óptico dende a orixe de coordenadas da apertura ata o plano focal imaxe é constante. Neste caso a amplitude no plano focal será proporcional a: g P Σ g(x, y) exp { ik xx } 0 + yy 0 dx dy f onde a focal da lente f reempraza a z, o cal se pode interpretar en termos de óptica xeométrica. 16
(Hecht). Consideremos agora unha abertura iluminada cunha onda esférica situada no eixo Z, nas coordenadas (0, 0, ρ 0 ). Lembremos a integral de Fresnel (3.5.3) e consistentemente con esa aproximación tomemos: g(x, y) = eikρ ρ 1 exp { ik x + y ρ 0 ρ 0 O signo negativo da fase se comprende se temos en conta que unha onda diverxente que incida na abertura corresponde a ρ 0 < 0, e unha converxente a ρ 0 > 0. Polo tanto: g P = ieikz λz Σ exp {ik (x x 0) + (y y 0 ) z }. } ik x + y dx dy, ρ 0 Se agora tomamos z = ρ 0, os termos cuadráticos en x e en y dentro da integral se cancelan e recuperamos a expresión de difracción de Fraunhofer (3.5.4), pero baixo as aproximacións menos esixentes de Fresnel. Experimentalmente esta configuración pode corresponder a dúas situacións: a) Abertura iluminada por unha fronte converxente coa pantalla de observación no plano onde esta fronte focalizaría se non sufrise difracción. 17
Difrac. Fraunhofer Fonte aparente Fonte real Difrac. Fraunhofer b) Abertura iluminada por unha fronte diverxente; a difracción de Fraunhofer fórmase no plano onde está situada a fonte de luz, é dicir, é virtual. Para observala hai que formar imaxe dese plano cunha lente. Esta situación ten lugar cando o noso ollo observa unha fonte brillante moi pequena a través dunha abertura. Polo efecto da difracción, a fonte aparenta ser maior e menos intensa do que é en realidade. A configuración 1 que estudiamos aparte pola súa importancia, pode considerarse en realidade un caso particular desta situación na que a fonte está en infinito (onda plana) e a súa imaxe no foco imaxe da lente. 18
Aproximación de Fraunhofer non paraxial Consiste en aproximar a fase linealmente en x e y, sen restrinxirnos a puntos de observación próximos ó eixo: r = (x x 0 ) + (y y 0 ) + z xx 0 + yy 0 + x 0 + y0 + z { = x 0 + y 0 + z 1 + 1 } xx 0 + yy 0, x 0 + y0 + z x 0 + y0 + z + xx 0 + yy 0 x 0 + y0 + z, Para que sexa válida debe cumplirse a condición de Fraunhofer ainda que non se cumpla a de Fresnel. Se introducimos esta aproximación na fórmula de Fresnel-Kirchhoff obtemos unha expresión similar á (3.5.4) pero sendo: x f x = 0 x e f y y = 0 0 +y 0 x. Entón f +z x e f y están limitadas a valores 0 +y 0 +z λ λ menores que 1/λ. Frecuencias espaciais do obxecto máis altas non xeran ondas difractadas en campo lonxano. Iso limita a máxima resolución posible dos microscopios ópticos a λ/. 3.5.6. Principio de Babinet ou de Complementariedade Supoñamos dúas aberturas Σ 1 e Σ de formas complementarias. Según a fórmula de Fresnel-Kirchhoff, a suma dos campos difractados por cada unha Σ 1 Σ 19
delas (g 1P e g P ) será igual ó campo da onda orixinal sen difractar (g P ): g 1P + g P = i λ = i λ = g P Σ1 g eikr r K(θ)dS + i λ R g eikr r K(θ)dS Σ g eikr r K(θ)dS Supoñamos agora que as aberturas están iluminadas por unha onda plana propagándose ó longo do eixo Z. Dentro da aprox. de Fraunhofer g P tende á función delta de Dirac δ(x 0, y 0 ): cancélase en todas partes excepto na orixe. Se g P = 0, entón g 1P + g P = 0, as amplitudes das dúas aberturas son iguais e as fases opostas. Exceptuando a orixe, os patróns de difracción dunha abertura e da complementaria son iguais. 0