ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονοµάζουµε τη διαδικασία εκείνη όπου κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα και µόνο ένα στοιχείο του συνόλου Β Το σύνολο Α ονοµάζεται πεδίου ορισµού της συνάρτησης και τα στοιχεία του είναι οι τιµές που παίρνει µία µεταβλητή που συνήθως συµβολίζουµε µε χ και ονοµάζεται ανεξάρτητη µεταβλητή Αν Α τότε η συνάρτηση είναι πραγµατικής µεταβλητής Αν Β τότε η συνάρτηση ονοµάζεται πραγµατική Αν Α και Β τότε η συνάρτηση είναι πραγµατική πραγµατικής µεταβλητής ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Θα ασχοληθούµε µε συναρτήσεις πραγµατικές πραγµατικής µεταβλητής που θα τις συµβολίζουµε µε :Α Το πεδίο ορισµού Α συµβολίζεται και µε D To στοιχείο ψχ όπου χα, ονοµάζεται εικόνα του χ Το ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ µιας συνάρτησης είναι το σύνολο που περιλαµβάνει όλες τις εικόνες της συνάρτησης για κάθε χακαι συµβολίζεται µε Α. Περιλαµβάνει δηλ. Α ψ/ψχ, για κάθε χ Α Μια συνάρτηση λέµε ότι είναι ΠΛΗΡΩΣ ΟΡΙΣΜΕΝΗ ή απλά ορισµένη αν: 1. Γνωρίζουµε το πεδίο ορισµού της 2. και την εικόνα ψχ για κάθε χα δηλ τον τύπο της συνάρτησης ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Όταν η συνάρτηση είναι πολυωνυµική δηλ. της µορφής χ α χ α χ α χα µε α,α,,α,α και ν Ν η οι συναρτήσεις έχουν τύπο: χ ηµχ, χ συνχ, χ α Τότε το πεδίο ορισµού είναι το Όταν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει παρονοµαστές πρέπει να εξαιρέσουµε τις τιµές που µηδενίζουν τους παρονοµαστές Όταν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει ρίζα οποιασδήποτε τάξης, πρέπει η υπόριζη ποσότητα να είναι 0 Όταν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει παράσταση της µορφής χ πρέπει 0 ΠΡΟΣΟΧΗ το πεδίο ορισµού το βρίσκουµε µε τον αρχικό τύπο και όχι από τον τύπο που προκύπτει µετά από τυχόν απλοποιήσεις. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ο συνδυασµός των πιο πάνω περιπτώσεων µας δίνει ένα σύστηµα µε εξισώσεις και ανισώσεις και ανισώσεις όπου η συναλήθευσή τους µας δίνει το πεδίο ορισµού ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Γραφική παράσταση συνάρτησης ονοµάζουµε, στο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων το σύνολο των σηµείων Μχ,ψ µε χα και ψχ ή διαφορετικά το σύνολο των σηµείων χ,χ. Συµβολίζεται µε Η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει εξίσωση ψχ Ένα σηµείο χ,ψ είναι σηµείο της γραφικής παράστασης αν και µόνο αν Μία γραµµή µπορεί να είναι η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης αν η οποιαδήποτε κατακόρυφη ευθεία γραµµή τέµνει την γραφική παράσταση της συνάρτηση σε ένα µόνο σηµείο Για να βρούµε τις τετµηµένες των σηµείων των οποίων κόβει η γραφική παράσταση τον άξονα χ χ µηδενίζουµε το ψ και λύνουµε την εξίσωση ως προς χ 1
Για να βρούµε τις τεταγµένες των σηµείων των οποίων κόβει η γραφική παράσταση τον άξονα ψ ψ µηδενίζουµε το χ και λύνουµε την εξίσωση ως προς ψ Για να βρούµε τα διαστήµατα τα οποία η γραφική παράσταση βρίσκεται πάνω από τον χ χ λύνουµε την ανίσωση χ0 και κάτω χ0 Για να βρούµε τα κοινά σηµεία των δύο γραφικών παραστάσεων, πρέπει να λύσουµε την εξίσωση χχ Για να βρούµε τη σχετική θέση δύο γραφικών παραστάσεων βρίσκουµε το πρόσηµο της διαφοράς χ χ και όπου είναι θετικό η είναι πάνω από τη, ενώ όπου είναι αρνητικό η είναι κάτω από τη και πάντα µέσα στο Α Α ΑΡΤΙΑ Μια συνάρτηση ονοµάζεται άρτια αν και µόνο αν ισχύουν: για κάθε χα και χα και χχ για κάθε χα Μια άρτια συνάρτηση έχει άξονα συµµετρίας τον ψ ψ ΠΕΡΙΤΤΗ Μια συνάρτηση ονοµάζεται περιττή αν και µόνο αν ισχύουν για κάθε χα και χα και χ χ για κάθε χα Μια περιττή συνάρτηση έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων Επίσης αν 0Α τότε το 0,0 ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης διότι: Αφού χ χ γιαχ 0 θα έχω 0 0 20 00 0 ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ α0 β α0 β α0 β ψβ β/α Έχει πεδίο ορισµού το Η γραφική της παράσταση είναι ευθεία γραµµή και εποµένως για να τη χαράξουµε αρκεί να προσδιορίσουµε δύο σηµεία της Αν α 0 τότε το σύνολο τιµών της είναι το και αν α 0 είναι η στεθερή συνάρτηση µε σύνολο τιµών β έχει συντελεστή διεύθυνσης το α fχα πολυωνυµική µε α 0 2
Έχει πεδίο ορισµού το Α Η γραφική της παράσταση µε α Είναι άρτια διότι είναι µια παραβολή µε κορυφή το σηµείο Ο0,0 Έχει σύνολο τιµών 0, αν α0 και,0 αν α0 Έχει πεδίο ορισµού το Α και σύνολο τιµών Είναι περιττή διότι κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων Α 3
Έχει πεδίο ορισµού τοα,00, και σύνολο τιµών Α,00, Είναι περιττή και έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων Εχει πεδίο ορισµού Α0, και σύνολο τιµών Α0, έχει πεδίο ορισµού Α και σύνολο τιµών Α0, είναι άρτια και έχει άξονα συµµετρίας τον ψ ψ χηµχ χσυνχ χεφχ έχει πεδίο ορισµού το συνολο τιµών το 1,1 είναι περιοδική µε περίοδο Τ2π Είναι περιττή Εχει πεδίο ορισµού το Έχει σύνολο τιµών 1,1 Είναι περιοδική µε περίοδο Τ2π Είναι άρτια Εχει πεδίο ορισµού το σύνολο χ, χ, µε κζ Έχει περίοδο Τπ Είναι περιττή 1 Εχει πεδίο το και συνολο τιµών 0, Είναι γνησίως αύξουσα κόβει τον ψ ψ στο 0,1 και είναι πάνω από τον ψ ψ Έχει πεδίο ορισµού το και σύνολο τιµών το 0, Είναι γνησίως φθίνουσα κόβει τον ψ ψ στο σηµείο 0,1 είναι πάνω από τον ψ ψ 4
1 1 Εχει πεδίο ορισµού το 0, Έχει σύνολο τιµών το χ0 αν χ1 και είναι πάνω από τον χ χ χ0 αν χ1 και είναι κάτω από τον χ χ Τέµνει τον χ χ στο χ1 διότι είναι γνησίως αύξουσα στο 0, Η χ είναι αντί του ο χ Εχει πεδίο ορισµού το 0, Έχει σύνολο τιµών το χ0 αν χ1 και είναι πάνω από τον χ χ χ0 αν χ1 και είναι κάτω από τον χ χ Τέµνει τον χ χ στο χ1 διότι είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ. ο χψα χορισµός. ο α1. ο 1 0. χ α. α. ο χ χ ο χ ο χ. ο ο. ο χ κο χ. ο χ ο χ ο χ χ τύπος αλλαγής βάσης ο α Η γραφική παράσταση Η γραφική παράσταση της Για να κάνουµε τη γραφική παράσταση της βρίσκουµε τη συµµετρική της ως προς τον χ χ 5
Πάνω από τον άξονα είναι η µε κόκκινο Η γραφική παράσταση της Για να κάνουµε την γραφική παράσταση της βρίσκουµε τα συµµετρικά ως προς τον χ χ των τµηµάτων της που είναι κάτω από τον χ χ. γραφική παράσταση της γραφ. παράσταση της χα γραφ. παράσταση της χ α χχα µε α0 Αν α0 τότε η γραφική παράσταση της χα προκύπτει από την µετατόπιση της κατά α µονάδες αριστερά χχ α µε α0 Αν α0 τότε η γραφική παράσταση της χ α προκύπτει από την µετατόπιση της κατά α µονάδες δεξιά Αν α0 µετατόπιση της κατά α µονάδες πάνω Αν α0 µετατόπιση της κατά α µονάδες κάτω 6
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης µε τύπο Πρέπει 5 6 0 2 0. 5 6 0 ύ ή έ ψ και εποµένως ψ 5ψ 6 0 ί ψ 5ψ 6 0 είναι ψ 2 η ψ 3 και εποµένως ψ 5ψ602 3 2 3 Από την χ 20χ2 Και έχουµε να συναληθεύσουµε τις χ 2 η χ 3 και χ 2 ύ 2 διότι χ 2 και το 3 ά 3 Άρα το πεδίο ορισµού είναι Α2, 2. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης µε τύπο Πρέπει 10 1 χ 0 ί ύ ί 0, 3. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων.. 3.1. Θα πρέπει χ 1 και χ 0. ί ύ ί 0,1 1, 3.2 εφ 2χ π 3 ηµ 2χ π 3 συν 2χ π 3 οπότε θα πρέπει συν 2χ π 3 0συν2χπ 3 συνπ 2 2χ π 3 κππ 2 2χκππ 2 π 3 2χκππ 6 χκπ 2 π 12 µε κ Ζ Αρα το πεδίο ορισµού είναι Α κπ 2 π 12, µε κ Ζ 4. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων µε τύπο.... 4.1 2συνχ 1 0 συνχ 1 2 συνχσυνππ 3 χ 2κπ 4π 3 µε κ Ζ. 2κπ 4π 3 Πρέπει 2συνχ 1 0 θα πρέπει χ 2κπ 4π 3 µε κ Ζ. Αρα το πεδίο ορισµού είναι 7
Αχ2κπ 4π 3 4.2 µε κ Ζ 2ηµχ 3 0ηµχ 3 2 ηµχηµπ 3 χ 2κπ π 3 2κππ π 3 µε κ Ζ Αρα το πεδίο ορισµού είναι Α 2κπ π 3 και 2κπ 7π µε κ Ζ 3 4.3 3εφχ10εφχ 1 3 εφχ 3 3 εφχεφπ 6 χκππ 6,κ Ζ συνχ0χκπ π 2 µε κ πρέπει 3εφχ 1 0 και συνχ 0 Εποµένως το πεδίο ορισµού είναι: κπ π 6 και κπ π µε κ Ζ 2 4.4 σφχ 1 0 σφχ 1 σφχ σφ π 4 χκππ 4,κ Ζ ηµχ 0 χ κπ, κ Ζ Πρέπει σφχ 1 0 και ηµχ 0 Αρα Α κπ π και κπ µε κ Ζ 4 5. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης Πρέπει χ 2 30 και 6 2χ 20 χ 2 3 και 6 2χ 2 χ 2 3 και χ 2 3 και 6 2χ 2 και 6 2χ 2 χ 5 και χ 1 και χ 2 και χ 4 Αρα πεδίο ορισµού Α 1,2,4,5 6. Να προσδιορισθεί ο λ ώστε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης να είναι όλο Θα πρέπει να µην µηδενίζεται ο παρονοµαστής για κάθε χ Για να ισχύει αυτό θα πρέπει η διακρίνουσα του χ 2λχ 1 να είναι Δ0 Δ4λ 404λ 1 0λ 10 λ 1 λ 111. ί ή, ύ 1. Να βρεθούν τα κοινά σηµεία των γραφικών τους παραστάσεων 8
2. Να βρείτε τη σχετική θέση των γραφικών τους παραστάσεων δηλ. που η γραφική παράσταση της µιάς είναι πάνω από την γραφική παράσταση της άλλης 7 1. Τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων είναι οι λύσεις της εξίσωσης χ χ 4 2 2 324 4 2 8 2 324 12 2 320 2 12 2 32 0 και αντιθαθιστώντας 2 ψ έχω: ψ 12ψ320 ψ 4 η ψ 8 2 2 ή 2 2 χ 2 ή χ 3 Αρα τα σηµεία τοµής είναι τα 2,0 και 3,32 2. Πρέπει να βρούµε το πρόσηµο της διαφοράς χ χ Πρός τούτο λύνω πρώτα την εξίσωσηχ χ 0 4 2 2 320 4 12 2 32 0 χ 2 η χ 3 όπως παραπάνω ψ 4 8 χ χ 0 0 Αρα µε ψ 4 8 2 2 η 2 2 χ 2 ή 3 ή ά είναι πάνω από την γραφική παράσταση της και αν 2χ3 τότε η της είναι κάτω από εκείνη της. ί έ ώ ή ά ά,, έ ώ ύ ά ί Για να έχει δύο κοινά σηµεία η γραφική παράσταση της µε τον χ χ θα πρέπει η εξίσωση χ 0 να έχει ακριβώς δύο λύσεις εποµένως θα πρέπει η διακρίνουσα Δ να είναι µεγαλύτερη του µηδενός και λ 5 2. Δλ 2 4λ 5 2 λλ 4λ44λ 10λ 3λ 6λ40 αλλά 3λ 6λ40λ 7 3 ή λ 1 3 και επειδή θέµε 3λ 6λ40 θα πρέπει 1 3 7 3 9. Να υπολογίσετε τα α,β ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης µε τύπο ό ί έ έ ό ί, Επίσης για α 1 και β3 να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφική παράστασης της µε τον χ χ και µε τον ψ ψ 9
Για να τέµνει τον χ χ στο σηµείο µε τετµηµένη χ1 θα πρέπει 10 Και για να διέρχεται από το σηµείο Μ2,4 θα πρέπει 24 Εποµένως θα έχουµε το σύστηµα αββ140 α2β5 8α 4β 2β 2 4 4 8α 6β 10 α2β5 8β 20 4α 4α 3β 5 4α 3β 5 α2β5 5β 15 α65 α1 β3 β3 Εποµένως η χ χ 3χ 2χ 4 γ και για να βρούµε τα σηµεία τοµής µε τον χ χ πρέπει ψχ 0χ 3χ 2χ40χ 1χ 2χ4 0χ1 η χ 2χ40 και η χ 2 20 2 2 5 2χ40 χ 1 5 2 2 Για να βρούµε που τέµνει τον ψ ψ πρέπει να θέσουµε χ0 και έχω 0 4. Αρα κόβει τον ψ ψ στο σηµείο 0, 4 10 Δίνεται η συνάρτηση µε τύπο. ί ό: 1. η έχει πεδίο ορισµού το 2. η είναι περιττή 3. η γραφική παράσταση της έχει µε τον χ χ ένα µόνο κοινό σηµείο 1. Είναι χ 1 χ χ χ Εποµένως χ 1χ 1χ0 για κάθε χ. Άρα το πεδίο ορισµού είναι Α 2. για κάθε χ και χ και χ χχ 1 χ 1χ χ 1χ 1 χ 1χ χ 1χ χ 1χχ και εποµένως περιττή 3. Αργότερα θα υπάρχουν και άλλοι τρόποι Τώρα επιλύουµε την χ 0χ 1χ1χ 1χ1 χ 11χ µε 1χ0 χ 11 χ χ1 10 χ 1χ 12χ χ1 χ0 11. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση µε τύπο, είναι περιττή, Αν χ 1 τότε χ 1 Αρα χ χ 3χ 1χ 3χ1 χ 3χ1 χ Αν χ 1 τότε χ 1 Αρα χ χ 3χ 1χ 3χ1 χ 3χ1 χ και για κάθε χ, 11, και χ, 11,
Εποµένως η είναι περιττή 12. Δίνεται συνάρτηση : µε την ιδιότητα χψχψ για κάθε χ,ψ Να αποδείξετε ότι 1. 00 2. η είναι περιττή 3. χ ψχ ψ 4. νχνχ µε ν 5. λχλχ µε λζ* 6. 7. ρχρχ µε ρq* 1. Για χψ0 έχω 00000 2. Θέτω όπου ψ το χ και έχω χ χχ χ0χ χ0χ χ χ χ Άρα η είναι περιττή 3 Θέτω όπου ψ το ψ και έχω χ ψχ ψχ ψ 4. Με επαγωγή για ν 1 έχω χχ που ισχύει Έστω ότι ισχύει για νκ δηλ. ισχύει κχκχ Θα δείξω ότι ισχύει και για νκ1 δηλ. ότι ισχύει η κ1χκ1χ Αλλά κ1χκχχκχχκχχκ1χ 5. Αν λ ν µε νν* τότε νχ νχ νχ Αρα ισχύει και για νζ* 6. χ ν χ ν 1 ν 7. ν χ ν1 ν χ χ ν 1 ν χ Αν ρ µ ν µε µ, ν Ζ τότε ρχ µ χ µ 1 ν ν χ µ1 ν χ µ χ ρχ ν 13. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύουν ψ ά ά, Να αποδείξετε ότι: α 00 και β χχ για κάθε χ α. Για χ ψ 0 έχω 0 0 0 0 0 και από τη δοθείσα ψ ψ γιαψ 0 έχω 0 0 και τελικά 0 0 β. 11
Αν στην χ ψ χ ψ θέσω ψ χ τότε χ χ 0 0 δηλαδή ισχύει χ χ 0 και από την ψ ψ γιαψ χ έχω: χ χχ χ και από τις σχέσεις χ χ 0 και χ χ προκύπτει µε πρόσθεση κατά µέλη ότι χ χ έχουµε και στα δεδοµένα χ χ. Αρα τελικά χ χ 14. Δίνεται συνάρτηση ορισµένη στο για την οποία ισχύουν ά,. ί ό: 1ο. 00 2ο. η είναι άρτια 3ο. 1. Έστω ότι 00 τότε από τη δοθείσα για χ0 έχω 0 ψ 0 ψ 1 και ψr άτοπο Αν 00 τότε για χ0 0 ψ 0 ψ 1 και ψr άτοπο Αρα 00 2. Αν χ1 έχω ψ ψ 1 και ψχ χ χ 1 Για ψ1/χ έχω 1 χµε χ 0 χ χ 1 η οπόία ισχύει και για χ0 αφού 00 άρα χ χ 1και χ χ 1 χ χ 1χ 3. Από την χ χ 1 αν θέσω όπου χ το χψ έχω χψ χ ψ 1 ψ χ 1 ψ χ Είναι προφανές ότι e χ e χe χ 15. Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει: χ ψχψ για κάθε χ,ψ 1ο. Να αποδείξετε ότι 00 η 01 2ο. Να βρείτε την αν ξέρετε ότι διέρχεται από την αρχή των αξόνων 3ο. Αν 0 τότε: I. να αποδείξετε ότι χ για κάθε χ II. να βρείτε το τύπο της 1ο Για χψ0 έχω 0 00000000 1000 η 01 2ο Αφού διέρχεται από την αρχή των αξόνων θα έχω 00 Αν θέσω όπου ψ 0 τότε χ 0χ0χχ0χ0 για κάθε χ 3ο Ι τώρα αφού 0 0 τότε 01 και θέτοντας ψχ έχω χ χχχ0 χ χ 1 και εποµένως χ 1 η χ 1 για κάθε χ ΙΙ θέτω όπου ψ χ 2 και έχω χ χ 2 χχ 2 χ 2 χχ 2 χ χ 1 0 2 12
χ 0 αδύνατο αφού χ 0 για κάθε χ ή χ 10χ 1 2 16. Δίνεται περιττή συνάρτηση : για την οποία ισχύει ά Να αποδείξετε ότι 1. 00 2. 1. Αφού είναι περιττή στο τότε χ χ µε χ. Και για χ0 έχω 0 000 2. Αν χ και χ Θέτω εποµένως όπου χ το χ και έχω χ 1χ χ χ 1χ χ χ χ χ 1 χ χ χ 1 χ χ χ και από 1 χ τη δοθείσα έχω χ χ εποµένως χ χ 1 χ 1 µε χ επειδή όµως αν θέσω 0 όπου χ 0 έχω 0 0 0 δεκτό µπορούµε να θεωρήσουµε ότι 1 χ χ χ για κάθε χ 1 17. Αν για τη συνάρτηση :* ισχύει ί ύ Αν θέσω στη δοθείσα όπου χ το 1 χ τότε θα ισχύει: 1 χ 3 χ χ και εποµένως έχω: χ χ 3χ 1 χ 1 χ και 3 χ χ 1 χ χ και αν στις δύο σχέσεις θέσω χ κ και 1 λ θα έχω χ κ3χλ 1 χ 3 κ χ λχ Αρα χ χ 1 8χ κ3χλ 1 χ 8κ 9κ 3λχ χ 1 χ χ 3κ λχ χ κ χ 1 8χ 3κ λχ χ 13
Το σύνολο τιµών µιας συνάρτησης µε πεδίο ορισµού το Α, το οποίο συµβολίζεται µε Α, ενίοτε και µε είναι το σύνολο: Α ψ τέτοια ώστε ψ χ, για κάθε χ Α Για να βρούµε το σύνολο τιµών επιλύουµε την εξίσωση ψχ ως προς χ και οι περιορισµοί που προκύπτουν για το ψ µας δίνουν το σύνολο τιµών. Βασική προϋπόθεση είναι το χα Επειδή ως γνωστόν 1 ηµχ 1 και 1 συνχ 1 τα σύνολα τιµών των συναρτήσεων χ ηµχ και χ συνχ είναι 1,1 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Αυτός είναι ο τρόπος που χρησιµοποιούµε για την θεωρία που γνωρίζουµε µέχρι τώρα. Αργότερα θα γνωρίσουµε και άλλους τρόπους για την εύρεση του πεδίου ορισµού. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Δίνεται η συνάρτηση µε τύπο χ2χ 1. Να βρείτε το σύνολο τιµών Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι Α Για το σύνολο τιµών έχω ψ χ ψ2χ1χ ψ1. Εποµένως Α 2 2. Δίνεται η συνάρτηση µε τύπο χ2χ 1 και χ 2,3. Να βρείτε το σύνολο τιµών ψχ ψ2χ1χ ψ1. Αλλά 2 3 2 ψ1 3 2 2 41655 ύ ώ ί Α 5,5 3.,, ί ύ ώ ά ύ, ψ12χ2χ1ψχ 1ψ και επειδή 1 χ 1 1 1ψ 1 2 2 21ψ23ψ13ψ1 και ψ3χ33χψ3χ ψ3 3 ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ και επειδή χ 7 6 ψ3 3 7 6 ψ321 6 ψ 1. Και να να βρούµε το σύνολο τιµών της βρίσκουµε την ένωση των δύο επιµέρους 2 συνόλων δηλ Α 1,3 1, 1, 2 14
4. Να βρείτε τα σύνολα τιµών των παρακάτω συναρτήσεων µε τύπους.. α. Το πεδίο ορισµού είναι Α ψχ ψ 2ψ2 και αφού 0 2 0 2 οπότε χ1 ψ 2οπότε το σύνολο τιµών είναι Α 2, β. Το πεδίο ορισµού είναι Α χ τέτοια ώστε χ 1 0 1, ψχ ψχ 1 χ1χ 1 και εποµένως το σύνολο τιµών είναι Α 5. Nα βρεθεί το σύνολο τιµών των συναρτήσεων µε τύπους.. α. Πρέπει χ 5χ 6 0 χ 2 και χ 3. Αρα το πεδίο ορισµού είναι Α 2,3 ψχ ψ χ 3χ2 1χ 2 χ ψχ 5χ6 χ 2χ 3 ψχ1 χ3 ψχ3ψχ1 ψ 1χ 3ψ 1 και διακρίνουµε τις περιπτώσεις Αν ψ 1 0 ψ 1 και από την ψ 1χ 3ψ 1 έχουµε 0χ 2 αδύνατη και εποµένως η τιµή ψ Αν ψ10ψ1 και η ψ 1χ 3ψ1χ η οποία αν χ 2 δίνει 3ψ 1 23ψ12ψ2ψκαι αν ψ1 χ 3 τότε 3ψ 1 ψ1 3 3ψ13ψ30ψ2 αδύνατη και εποµένως το σύνολο τιµών Α 1,1 β. Πρέπει χ χ 1 0 που ισχύει για χ αφού Δ 3 0. ψχ ψ χ χ2 χ χ1 ψχ ψχψχ χ2ψ 1χ ψ 1χ ψ20 Διακρίνουµε τις περιπτώσεις Αν ψ10ψ12χ10χ Α. Αρα η τιµή ψ1α Αν ψ 1 0 ψ 1 τότε η εξίσωση είναι δειτέρου βαθµού και έχει πραγνατικές λύσεις. Αρα: Δ 0 ψ 1 4ψ 1ψ 2 0ψ 2ψ14ψ 12ψ 8 0 15
6. 3ψ 14ψ 7 0 3ψ 14ψ 7 0 72 7 3 Αρα τελικά Α 72 7 3, 72 7 3 ί ά α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της β. Να απλοποιήσετε το τύπο της γ. Να εξετάσετε αν το 5 ανήκει στο σύνολο τιµών της δ. Να βρείτε το σύνολο τιµών της ψ 72 7 3 και ψ 1 α. Πρέπει χ 1 0 χ 1 και χ 1. Αρα Α 1,1 β. χ χ 2χ 1 χ χ χ χ 1 1 χ χ χ1 χ 1χ 1 1 χ 1χ 1 χ χ1 χ1 γ. Πρέπει να εξετάσουµε αν υπάρχει χα τέτοιο ώστε χ5. Προς τούτο έχω χ χ1 5χ χ15χ5χ 4χ40χ 2 0χ2.Εποµένως χ1 το 5 ανήκει στο σύνολο τιµών Α δ. ψχ ψ χ2 χ1 χ χ1 2 χ1ψχψχ 2 1ψχψ10 Για να έχει πραγµατικές λύσεις θα πρέπει : Δ01 ψ 4ψ 1 0ψ 2ψ14ψ40ψ 6ψ50 ψ 1 ή ψ 5 Από την χ 1 ψχ ψ 1 0 για χ 1 και χ 1 έχω αντίστοιχα για χ 1 έχω 1 1 ψ ψ 1 0 1 0 αδύνατη για χ 1 έχω 1 1 ψ ψ 1 0 2ψ 1 ψ 1 2 και για ψ 1 2 η εξίσωση χ 1 ψχ ψ10 χ 1 2 χ1 2 02 χ χ10χ1 η χ 1 2. ναι µεν η τιµή χ 1 δεν ανήκει στο Α αλλά χ 1 2 ανήκει στο Α και εποµένως η 1 2 Α Εποµένως Α,15, 16
ΟΡΙΣΜΟΣ Δύο συναρτήσεις, είναι ίσες αν ισχύουν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού έστω το Α και χχ για κάθε χα ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Είναι λάθος να λέµε ότι δύο συναρτήσεις είναι ίσες αν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού και τον ίδιο τύπο διότι: χ χ και χ χ µε κοινό πεδίο ορισµού το σύνολο Α 0,1 τότε 0 0 1 και 1 1 1. Δηλ. οι συναρτήσεις είναι ίσες αλλά δεν έχουν τον ίδιο τύπο Αν έχουµε δύο συναρτήσεις :Α και :Β και ΑΒ τότε δεν είναι ίσες. Αν όµως ισχύει χχ για κάθε χαβ τότε είναι ίσες στο ΑΒ που είναι το ευρύτερο δυνατό σύνολο. ΣΗΜΕΙΩΣΗ σε κάθε υποσύνολο του ΑΒ οι αν είναι ίσες στην ΑΒ Οι συναρτήσεις που είναι ίσες έχουν την ίδια γραφική παράσταση ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις µε τύπο Α χ µε χ 0 και Α χ µε χ0 0, Εποµένως Α Α. Αρα οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες. Το ευρύτερο δυνατό σύνολο για το οποίο µπορούν να γίνουν ίσες είναι το Α Α 0, διότι χ χ χ αφού χ 0 και χ χ 2. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις Α χ µε χ 0, 0 0, και Α χ µε χ0 0, ύ Α Α οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες. Μπορεί να γίνουν ίσες στο Α Α 0, διότι χ χ 2χχ 3. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις Α χ µε χ 1 χ µε χ 1 1, 1 1,1 1, Α και επειδή Α Α οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες. Αλλά στο Α Α Α έχω χ χ 1 χ 1 χ 1 χ 1 χ 1 χ 1χ χ 1 χ 1 4 Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις 17
Α χ µε χ3 0 και χ 2 χ µε χ 3χ 2 0, 3 2, χ2 Α χ µε χ 3 0 και χ 2 0 2, και επειδή Α Α οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες. Αλλά στο Α Α 2, επειδή χ χ 3 χ 2 χ έχουµε 5 Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις Α χ µε χ3 0 και χ 2 χ µε χ 32χ 0 και χ 2 3,2 2χ Α χ µε χ 3 0 και 2 χ 0 3,2 και χ χ3 χ 3 χ 2 χ χ2 Άρα 18
ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ Συµβολίζεται µε Πεδίο ορισµού Α Α Α Τύπος της συνάρτησης χχχ ΑΦΑΙΡΕΣΗ Συµβολίζεται µε Πεδίο ορισµού Α Α Α Τύπος της συνάρτησης χχ χ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Συµβολίζεται µε Πεδίο ορισµού Α Α Α Τύπος της συνάρτησης χχ χ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Συµβολίζεται µε Πεδίο ορισµού Α χα Α και ακόµη χ 0 Τύπος της συνάρτησης χ χ χ ΣΥΝΘΕΣΗ Συµβολίζεται µε ο και προφέραται η σύνθεση της µε την Πεδίο ορισµού έχει Α χ έτσι ώστε χ Α και χ Α Τύπος οχ χ Σχηµατικά η πράξη της σύνθεσης δύο συναρτήσεων φαίνεται ως εξής 1 A χ 1. Για την πράξη της σύνθεσης συναρτήσεων AA δεν ισχύει η αντιµεταθετική ιδιότητα δηλ χ Αν για δύο συναρτήσεις, ορίζονται οι ο, ο τότε γενικά ο ο o 2. Αν για τρείς συναρτήσεις,, ορίζονται οι A συνθέσεις τότε ισχύει η προσεταισιστική ιδιότητα δηλ οοοο χ 19
ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Στο σύνολο των συναρτήσεων :Α για την ισότητα συναρτήσεων και για τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού, έχουµε δοµή ανάλογη µε τη δοµή του. Υπάρχουν όµως και κάποιες βασικές διαφορές που πρέπει να τονισθούν όπως: 1. Έστω,: για τις οποίες ισχύει χ χ0 για κάθε χ, τότε όµως δεν ισχύει απαραίτητα χ0 για κάθε χ ή χ0 για κάθε χ π.χ Έστω οι συναρτήσεις όπως παρακάτω χ 0, χ 0 χ 0 1 χ 0 και χ 1, τότε χ χ 0 0 για κάθε χ 1, χ 0 0, χ 0 1 0 χ 0 Αλλά οι, δεν είναι µηδενικές ΠΡΟΣΟΧΗ Αν χ χ0 για κάθε χ τότε χ0 ή χ0 για κάθε χ ισχύει πάντα, αλλά το χ0 για κάθε χ ή χ0 για κάθε χ δεν ισχύει πάντα 2. Εστω συνάρτηση : για την οποία ισχύει χ 1 για κάθε χ τότε και πάλι δεν ισχύει χ 1 για κάθε χ ή χ 1 για κάθε χ. ά και αν υποθέσουµε ότι η η διατηρεί σταθερό το πρόσηµο τότε θα έχουµε ότι οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τη σχέση χ 1 δεν είναι µόνο η χ 1 για κάθε χ ή χ 1 για κάθε χ. Αλλά είναι άπειρες διότι: η συνάρτηση χ 1 χ 1 χ όπου σταθερά ικανοποιεί την χ 1 διότι χ χ χ 1 1 αν χ 1 για κάθε χ αλλά το πλήθος των συναρτήσεων αν χ είναι άπειρο αφού άπειρες είναι οι τιµές του ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ί ή. ί ή,, Για το πεδίο ορισµού της πρέπει χ 0 χ 0. Αρα το πεδίο όρισµού είναι Α 0 Για το πεδίο ορισµού της πρέπει: χ 2 χ 0 χ 2 χ 0 χ χ 2 0 χ 0 και χ 2 χ 0 και χ 2. Αρα το πεδίο ορισµού είναι Α 2,0,2 Εποµένως το πεδίο ορισµού των,, είναι Α Α 2,0,2 και οι τύποι τους είναι χ χ χ 1 2 χ 2χ 8 χ 2 χ 2χ 8 2 χ χ χ χ 2 χ 2 2 χ 4 χ 2 2 χ 2 χ 2 χ 2 2 χ 2 χ χ χ 2 χ χ χ 2 χ χ 20
χ 22 χ 4 χ 3 χ 2 χ χ χ χ 1 2 χ 2χ 8 χ 2 2 χ 2 χ 2 χ χ χ χ χχ 1 2 χ 2χ 8 χ 2 2 χ 2 χ 2 χ χ χ 2 χ 4 χ χ 6 χ Για την f g πρέπει ακόµη και 2χ 80χ 4 χ 2 Εποµένως το πεδίο ορισµού της f g είναι Α 2,0,2 και ο τύπος είναι f χ χ g χ 2. ί ή χ 2 χ 2 χ 2 χ χ 2 2 χ 2. ύ ή Πεδίο ορισµού της είναι Α και πεδίο ορισµού της είναι Α 0,. Και πεδίο ορισµού της ο είναι Α χα και χ Α χ 0, και χ 0, και ο τύπος είναι οχ χ εφ π 4 Για την ο έχω: Α χα και χ Α χ και εφ π 4 οχ χ εφ π 4 10 1 0, και ο τύπος είναι 3. Δίνονται οι συναρτήσεις µε τύπους χ και, gx, 0, 0 Να προσδιορίσετε την ο Παίρνουµε τέσσερις συνδυασµούς και έχω Α χr: χ 0 και χ 0 χr: χ 0 0, gοχ gχ gχ χ ΣΧΗΜΑΤΙΚΑ Α χr: χ 0 και χ 0 χr:χ0 και χ0 Φ κενό σύνολο Άρα δεν ορίζεται σύνθεση 21
Α χr: χ 0 χ 0 χr: χ 0 0,0 και gοχ gχ gχ χ Α χr: χ 0 χ 0 χr: χ 0 0 Φ Άρα δεν ορίζεται σύνθεση Γενικά η σύνθεση 4. Να προσδιορισθεί η σε κάθε µια από τις παρακάτω περιπτώσεις α. ά β. ά 0 και α. Α Θέτω χ ω χ 2 χ ω 2 οπότε από την οχ 2 χ 2 ω 2ω 2 δηλ χ 2 µε χ Διότι θα πρέπει Α χ τέτοιο ώστε χ Α και χ Α χ και χ2α όπότε αν το Α τότε και Α β. Α Με τον ίδιο τρόπο έχω ότι ο τύπος της χ 2 για το πεδίο ορισµού έχω: Α 0, χ τέτοιο ώστε χ Α και χ Α 0, χ και χ2α 0, και για να έχουµε από τη συναλήθεσυση των περιορισµών χ και χ 2 Α το 0, θα πρέπει να προκύψει από τον περιοορισµό χ2α χ 0 χ 2 2 Εποµένως Α 2,. 5. Να προσδιορισθεί η συνάρτηση τέτοια ώστε να ισχύει ά Α 1,1 διότι 1 χ 0 οχ ηµχ χ ηµχ 1 χ ηµχ 1 χ ηµχ 1 χ ηµ χ χ 1ηµ χ χ συν χ και οι συναρτήσεις που επαληθεύουν αυτή την σχέση µπορεί να είναι χ συνχ ή χ συνχ ή χ συνχ χ συνχ µε χ για όλες τις περιπτώσεις. Διότι Α χα και χ Α χα και π. χ συνχ Α χ Α και χ Εποµένως Α 6. Δίνονται οι συναρτήσεις,:. Αν ορίζονται οι συναρτήσεις ο και ο στο, να αποδείξετε τα παρακάτω 1. Αν είναι άρτια και η ο είναι άρτια 22
2. Αν, είναι περιττές τότε και οι ο και ο είναι περιττές 3. Αν η είναι άρτια και περιττή τότε ο και ο είναι άρτιες 1. Αφού η ο έχει πεδίο ορισµού το τότε για κάθε χ και χ και οχ χ χ αφού η είναι άρτια και εποµένως οχ οχ Άρα άρτια στο 2. Αφού η ο έχει πεδίο ορισµού το τότε για κάθε χ και χ και οχ χ χ χ οχ και οχ χ χ χ οχ 3. Αφού η ο έχει πεδίο ορισµού το τότε για κάθε χ και χ και οχ χ χ χ οχ και οχ χ χ οχ 7. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: ά 1. ί ό 2. ί 3. ί ύ 1 Από τη δοθείσα έχω οχ χ χ χ και αν θέσω όπου χ το χ έχω: χ χ χ χ 2. Από το 1 έχω ότι : 2 2 8 2 2 272 27 2 3 3. ψχ ψ χ ψ χ χ ψ αν ψ 0 δεν έχουµε κανένα ψ αν ψ 0 περιορισµό για το ψ και εποµένως το σύνολο τιµών είναι 8. Δίνονται οι συναρτήσεις, : για τις οποίες ισχύουν ά. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές, τέµνονται σε τουλάχιστον ένα σηµείο Αν στη δοθείσα αντικαταστήσω όπου χ το 3 θα έχω: 3 3 53 93 3 53 9 3 63 90 3 3 και εποµένως αφού 3 33 3. Αρα 3 33και εποµένως 23
οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σηµείο µε τετµηµένη χ3 9. Δίνονται οι συναρτήσεις, : για τις οποίες ισχύει: ά. Να αποδείξετε ότι ά Από τη δοθείσα έχω χ χ 2 χ 2 χ χ 2χ 2χ 2 χ χ 2χ 2χ 110χ 1 χ 1 0 Αλλά γνωρίζουµε ότι χ 1 χ 1 0 Εποµένως χ 1 χ 1 0 χ 1 0 και χ 10 χ 1 και χ 1 για κάθε χ 10 ί ά :,. ί ί ύ ά Θεωρώ τη συνάρτηση χ χ 3χ µε χ οπότε χ 3χ οχ Α χα και χ Α χ και χ 3χ, χ και2χ 3χ10 χ και χ 3χ 10 0 και χ 3χ20 Από την χ 3χ100 2χ5 και από την χ 3χ 2 0 χ 1 η χ 2 Από τη συναλήθευσή τους έχω χ 2,1 2,5 που είναι και το Α 11 ί ή,,. ί. ύ, ώ. α. Α και Α αφού είναι πολυωνυµικές Α χ Α και χ Α χ και χ και οχ χ αχ β ααχ β βα χαββ β. Για να είναι ο πρέπει Α Α που ισχύει αφού και τα δύο είναι το και ακόµη οχ χ για κάθε χ α χ αβ β 4χ 5 για κάθε χ. Εποµένως α 4 και αβ β 5 α 2 και αβ β 5 για α 2 έχω 3β 5 β 5 3 και για α 2 έχω β 5 β 5 Εποµένως α 2,β 5 η α 2,β5 3 24
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣγνησίως αύξουσας Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Θα λέµε ότι η είναι γνησίως αύξουσα αν ά, ύ f ή ύ ά, ύ f ΟΡΙΣΜΟΣγνησίως φθίνουσας Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Θα λέµε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα αν ά, ύ f ή ύ ά, ύ f Παρατήρηση Μια συνάρτηση θα είναι γνησίως µονότονη αν είναι η γνησίως αύξουσα η γνησίως φθίνουσα γνησίως αύξουσα και Υ Ψ Χ γνησίως αύξουσα και γνησίως αύξουσα και ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 1. Αν µία συνάρτηση είναι γνησίως µονότονη τότε µόνο µία φορά µπορεί να κόψει τον άξονα χ χ δηλ. η εξίσωση χ0 µία το πολύ λύση µπορεί να έχει. 2. Μία συνάρτηση µπορεί να είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα και γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα Δ, αλλά δεν έπεται ότι οπωσδήποτε είναι και γνησίως αύξουσα και στην Δ Δ. Το ίδιο και η είναι γνησίως φθίνουσα Χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι η συνάρτηση:,, Αν χ,χ, 0µε χ χ 1 χ 1 χ χ fχ Αρα η είναι γν. φθίνουσα στο, 0 Αν χ,χ 0, µε χ χ χ fχ Αρα η είναι γν. φθίνουσα στο 0, 25
Αν χ 1, 0 και χ 2 0, τότε χ 1 χ 2 1 χ 1 1 χ 2 χ 1 fχ 2 Αρα η στο, 0 0, δεν είναι γνησίως µονότονη χ 1 χ 3. Αν µία συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο α,β και γνησίως αύξουσα στο β,γ τότε θα είναι και γνησίως αύξουσα και στο α,γ βλέπε άσκηση 13 4. Αν µία συνάρτηση είναι γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα Δ και ισχύει: χ fχ τότε αν είναι γν. αύξουσα και χ χ και αν είναι γν. φθίνουσα χ χ 5. Αν µία συνάρτηση είναι γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα Δ και ισχύει: χ χ ή χ χ τότε η περίπτωση της ισότητας δηλ χ χ ισχύει µόνο όταν χ χ διότι αν χ χ δηλ χ χ ή χ χ τότε και χ fχ ή χ χ αφού η είναι γνησίως µονότονη. 6 Αν µία συνάρτηση είναι γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα Δ τότε µε χ χ χ χ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μία συνάρτηση :Α µε πεδίο ορισµού το Α παρουσιάζει µέγιστο στο Α αν υπάρχει χ Α ώστε χ για κάθε χα Μία συνάρτηση :Α µε πεδίο ορισµού το Α παρουσιάζει µέγιστο στο Α αν υπάρχει χ Α ώστε χ για κάθε χα Το ελάχιστον και το µέγιστον µιας συνάρτησης αν υπάρχουν λέγονται ακρότατα ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Πρέπει το να ανήκει στο σύνολο τιµών Α της συνάρτησης 2. Αν για µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α ισχύει χ Μµε Μ δεν έχει και υποχρεωτικά µέγιστη τιµή. Αν το Μ ανήκει στο Ατότε το Μ είναι µέγιστη τιµή. Τα αντίστοιχα ισχύουν και για την περίπτωση που Μ ελάχιστη τιµή 3. Αν µια συνάρτηση παρουσιάζει µέγιστο το λέµε ότι το µέγιστο είναι το στη θέση χ ή για χ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ, 1. Πεδίο ορισµού Α 2. Αν α 0 ό είναι γνησίως φθίνουσα στο, β β και γν. αύξουσα στο 2α 2α, 26
3. α 0 τότε η είναι γνησίως αύξουσα, β β και γν. φθίνουσα στο 2α 2α, 4. Είναι παραβολή µε κορυφή το σηµείο K β 2α, Δ 4α νε Δ β 4αγ 5. Είναι γνωστό ότι αν Δ0 η εξίσωση αχ βχ γ 0, α 0 έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. Αν Δ0 η εξίσωση αχ βχ γ 0, α 0 έχει µία διπλή ρίζα και αν Δ0 η εξίσωση αχ βχ γ 0, α 0 δεν έχει πραγµατικές ρίζες. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης χ αχ βχ γ 0, α 0 είναι: α0 και Δ0 α0 και Δ0 α0 και Δ0 Κ, Κ, Κ, α0 και Δ0 Κ, α0 και Δ0 Κ, α0 και Δ0 Κ, ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να µελετηθούν ως προς τη µονοτονία οι συναρτήσεις µε τύπο... 1.1 Για το πεδίο ορισµού πρέπει χ0 και εποµένως Α0, Για κάθε χ,χ 0, µε χ χ ισχύουν χ χ αφού η χ είναι γν. αύξουσα και µε χ χ χ χ και εποµένως ισχύει: χ lnχ χ fχ. Αρα η είναι γνησίως αύξουσα στο 0, 1.2 27
Για το πεδίο ορισµού πρέπει χ 0 και χ 1 0 χ 1. Αρα Α 1, Για κάθε χ,χ 1, µε χ χ ισχύουν 1 1 και χ χ µε χ χ χ 1χ 1χ 1 χ 1χ 1χ 1 και 1 χ χ 1 1 χ χ 1χ fχ Εποµένως η είναι γνησίως φθίνουσα 1.3 Αφού είναι πολυωνυµική το πεδίο ορισµού είναι Α Για κάθε χ,χ µε χ χ χ χ χ χ χ χ και εποµένως η είναι γνησίως αύξουσα. 2. Να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία η συνάρτηση µε τύπο Το πεδίο ορισµού της είναι Α αφού 3 0 για κάθε χ χ fχ 2 2 3 3 2 6 2 3 6 3 χ χ Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στις περιπτώσεις που ο τύπος της συνάρτησης είναι πολύπλοκος πηγαίνουµε αναλυτικά όπως στην προηγούµενη άσκηση αλλά προσοχή µε ισοδυναµία. ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε και τον λόγο µεταβολής δηλ. έ ό 0 ί. ύ έώ 0 η ί ί ί 3. ί ά ύ 1. Να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία. ί ί 3. Να λυθεί η ανίσωση 1 1. Το πεδίο ορισµού της είναι Α Για κάθε χ,χ µε χ χ χ χ χ 1 χ 1 χ fχ και εποµένως η είναι γνησίως αύξουσα. 2. χ1 χ 1 0 Μία προφανής λύση της εξίσωσης είναι η χ 0 και επειδή η είναι γνησίως αύξουσα είναι µόνο η χ0 3 χ1 χ10χ f0 χ 0 ύ είναι γνησίως αύξουσα 28
4. Θεωρούµε τη συνάρτηση : για την οποία ισχύει: Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα Εστω χ,χ µε χ χ και ας υποθέσουµε ότι χ χ χ χ χ χ άτοπο διότι χ χ. Εποµένως και χ fχ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η µέθοδος της εις άτοπον απαγωγής την χρησιµοποιούµε όπου δεν είναι δυνατόν να πάµε µε την µέθοδο την αναλυτική. Όπως στην προηγούµενη άσκηση 4 5. Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύουν: είναι γνησίως αύξουσα χ 42χ 10 για κάθε χ α Να λυθεί η εξίσωση χ0 β Να λυθεί η ανίσωση 0 γ Να λυθεί η ανίσωση 0 α. Παρατηρούµε ότι για χ 3 έχω: 3 4 2 3 1 07 7 07 0 Εποµένως η εξίσωση χ 0χ 7 χ 7 αφού η είναι γνησίως αύξουσα η λύση χ 7 είναι µοναδική β. χ 5χ1 0χ 5χ1 f7 χ 5χ17χ 5χ60 2χ3 ή χ2,3 γ. χ 0χ f7 χ 7χ f10 χ 10 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Πρέπει υποχρεωτικά να βρούµε την τιµή του χ που µηδενίζει τη συνάρτηση. Για αυτό σκεπτόµαστε ως εξής: πρέπει χ 42χ 1χ 3 και αντικαθιστούµε στη δοθείσα σχέση όπου χ 3 6. Δίνεται η συνάρτηση µε τύπο α. Να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία στο πεδίο ορισµού της. ί ό ύ 29
α. Για το πεδίο ορισµού πρέπει χ0 και εποµένως Α0, Για κάθε χ,χ 0, µε χ χ ισχύουν χ lnχ αφού η χ είναι γν. αύξουσα και µε χ χ χ χ και εποµένως ισχύει: χ lnχ χ fχ. Αρα η είναι γνησίως αύξουσα στο 0, β. Αφού η είναι γνησίως αύξουσα τότε για κάθε χ,χ 0, µε χ χ θα έχουµε χ fχ χ lnχ χ χ χ 1 χ 1 χ χ 7. ί ά ύ ύ α. Να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία. ί ί α. Το πεδίο ορισµού της είναι το Α Για κάθε χ,χ µε χ χ ισχύουν 3 5 3 5 αφού το 3 5 1 4 5 4 5 Εποµένως 3 5 4 5 3 5 4 5 3 5 4 5 1 3 5 4 5 1 Αρα χ fχ και εποµένως η είναι γνησίως φθίνουσα β. 3 4 5 3 5 4 5 1 3 5 4 5 1 0 η οποία έχει µία προφανή λύση την χ2 που θα είναι και µοναδική αφού η είναι γνησίως φθίνουσα. 8. Δίνεται η συνάρτηση µε τύπο,. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης. Βρίσκουµε το σύνολο τιµών ψχ ψ2χ1χ ψ1. Αλλά 0 χ 2 και εποµένως 0 ψ1 2 2 2 0 ψ 1 4 1 ψ 3. Εποµένως έχει µέγιστη τιµή την ψ 3 και την παρουσιάζει όταν 2χ 1 3 χ 2 και ελάχιστη τιµή την ψ 1 και την παρουσιάζει για 2χ 1 1 2χ 0 χ 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αν το πεδίο ορισµού ήταν το 0,2 θα είχε µόνο ελάχιστο. Αν το πεδίο ορισµού ήταν το 0,2 θα είχε µόνο µέγιστο. Αν το πεδίο ορισµού ήταν το 0,2 δεν θα είχε ακρότατα. 9. 30
ά : ύ ά, ό έ έ ή ά ή ή ; Απάντηση Όχι δεν είναι βέβαιο ότι έχει µέγιστη τιµή, την τιµή 2010 διότι δεν ξέρουµε αν υπάρχει τιµή του χα ώστε χ2010 και παροµοίως δεν γνωρίζουµε αν υπάρχει τιµή του χα, ώστε χ 2010 10. Δίνεται συνάρτηση :Α και σύνολο τιµών το Α. Να βρείτε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις η έχει ακρότατα..,.,.,,.,.,.,, α. Έχει ελάχιστο το 0. β. Έχει µέγιστο το 2 γ. Έχει ελάχιστο το 2 και µέγιστο το 7 δ. Δεν έχει ακρότατα ε. Έχει µέγιστο το 3 στ. Έχει ελάχιστο το 3 11. Να βρείτε τα ακρότατα αν υπάρχουν των παρακάτω συναρτήσεων..... α. Πεδίο ορισµού το Α. Παρατηρούµε χ 0χ 1 1 και 0 1 για κάθε χ Αρα έχει ελάχιστη τιµή την τιµή 01 και την παρουσιάζει για χ0 β. Πεδίο ορισµού Α γνωρίσουµε ότι 1 ηµχ 1 και 2κπ π 2 1, κ Ζ και 2κπ π 1,κΖ 2 για κάθε χ Άρα έχουµε ελάχιστη την τιµή 1 και µέγιστη τιµή την τιµή 1 και τα ακρότατα τα παρουσιάζει για άπειρες τιµές γ. Πεδίο ορισµού Α 1 συνχ 1 2 2συνχ 2 και 2συνχ 2 συνχ 1 χ 2κπ, κ Ζ 2συνχ 2 συνχ 1 συνχ συνπ χ 2κπ π, κ Ζ Άρα έχει ελάχιστη το 2 και µέγιστη τιµή το 2 για άπειρες τιµές του χ Παρατηρούµε από τη γραφική της παράσταση ότι το σύνολο τιµών είναι 2,. Άρα δεν έχει ακρότατα Παρατηρούµε από τη γραφική της παράσταση ότι το σύνολο τιµών είναι,. Άρα δεν έχει ακρότατα 31
12. Δίνονται οι συναρτήσεις,:. Να αποδείξετε ότι: α. Αν η έχει µέγιστο και η είναι γνησίως αύξουσα τότε η ο έχει µέγιστο β. Αν η έχει ελάχιστο και η είναι γνησίως φθίνουσα τότε η ο έχει µέγιστο α. Αφού η έχει µέγιστο τότε υπάρχει χ µε χ χ για κάθε χ και εποµένως οχ χ χ αφού η είναι γνησίως αύξουσα. Και εποµένως η ο έχει µέγιστο το χ και το παρουσιάζει για χ χ β. Αφού η έχει ελάχιστο τότε υπάρχει χ µε χ χ για κάθε χ και εποµένως οχ χ χ αφού η είναι γνησίως αύξουσα. Και εποµένως η ο έχει µέγιστο το χ και το παρουσιάζει για χ χ 13 Α. Δίνεται συνάρτηση :α,β και γα,β. Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο α,γ και γνησίως αύξουσα στο γ,β η γ,β µε χγ για κάθε χγ,β, τότε είναι γνησίως αύξουσα και στο α,β. το ίδιο θα ισχύει αν αντικαταστήσουµε τη λέξη αύξουσα µε τη λέξη φθίνουσα Β. Δίνεται η συνάρτηση µε τύπο 0 ί ί ύ ακρότατα αν υπάρχουν. Α Αφού η είναι γνησίως αύξουσα στο α,γ τότε θα ισχύει: µε χ,χ α, γ και χ χ χ fχ το ίδιο θα συµβαίνει και αν χ,χ γ, βη γ, β Αν τώρα χ α, γ και χ γ, βη γ, β και χ χ τότε χ γ χ χ χ Η περίπτωση χ γ χ θα ισχύει µόνο όταν χ γχ αφου η είναι γν. αύξουσα στα υποδιαστήµα α, γ και γ, βτο οποίο είναι άτοπο αφού χ χ Β µε χ,χ 0 και χ χ 2χ 2χ 2χ 12χ 1χ fχ. Και εποµένως η είναι γνησίως αύξουσα στο,0. Και το σύνολο τιµών αν χ0 είναι : ψχµε χ 0 ψ 2χ 1 και χ 0 χ ψ1 και χ 0 ψ1 0ψ1 2 2 Αρα µε χ 0 το ψ 1 και εποµένως, 0, 1. µε χ,χ 0,5 έχουµε αν 0 χ χ 50χ χ 25 συνεπώς χ χ και εποµένως η είναι γνησίωςαύξουσα στο 0,5 και το σύνολο τιµών είναι 0,5 0,25 Αν χ 0χ 5 τότε χ 1χ Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισµού της και σύνολο τιµών έχει το,25 Άρα έχει µέγιστη τιµή 25 και το παρουσιάζει για χ5 32
14 Αν µια συνάρτηση : είναι περιττή και έχει µέγιστο τότε θα έχει και ελάχιστο Αφού η έχει µέγιστο τότε υπάρχει χ ώστε να ισχύει χ χ για καθε χ και εποµένως θα ισχύει και χ χ χ χ χ χ χ 15 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει ά ά 0 Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα για κάθε χ,χ µε χ χ έχω ότι χ χ 0 έ ά 0 ώστε χ χ κ εποµένως χ χ κ χ και εποµένως η συνάρτηση είναι γν. αύξουσα 33
" " ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση :Α λέγεται «1 1» και προφέρεται ένα προς ένα όταν : για κάθε, ί η ισοδύναµα για κάθε, ί ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Μια γνησίως µονότονη συνάρτηση είναι «1 1». Αφού µε χ χ πάντα θα έχουµε χ fχ ή χ fχ Το αντίστροφο δεν ισχύει π.χ η συνάρτηση µε τύπο χ 1 µε χ χ 2. Αν µια συνάρτηση :Α είναι «1 1», τότε κάθε ευθεία παράλληλη στον χ χ δηλ της µορφής ψ όπου σταθερός πραγµατικός αριθµός, τέµνει την γραφική παράσταση της σε ένα µόνο σηµείο. 3. Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Αν η εξίσωση ψχ έχει το πολύ µία λύση για κάθε χα τότε η είναι «1 1». Και φυσικά ισχύει και το αντίστροφο. Δηλ. αν η συνάρτηση είναι «1 1» τότε η εξίσωση χψ έχει το πολύ µια λύση. ΠΡΟΣΟΧΗ Αν το ψα τότε η εξίσωση ψχ έχει οπωσδήποτε µία και µοναδική λύση 4. Όταν µία συνάρτηση είναι «1 1» τότε ισχύει: γιά κάθε χ,χ Α µε χ χ µε χ χ και εποµένως θα ισχύει και η χ χ χ χσχέσηπου χρησιµοποιείται για την επίλυση εξισώσεων 5. Για να αποδείξουµε ότι µία συνάρτηση δεν είναι «1 1» αρκεί να βρούµε δύο διαφορετικές τιµές του χ που να έχουν την ίδια εικόνα. Η συνάρτηση χ χ για χ 1 και χ 1 έχω ότι: 1 11. Δηλαδή Επίσης αν θεωρήσουµε για κάθε χ,χ Α µε χ χ χ χ όπως για την χ χ έχω: µε χ χ χ χ χ χ η χ χ έ ί " " ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Δίνεται η συνάρτηση µε τύπο χ 3χ4. Να εξετάσετε αν είναι «1 1» Πεδίο ορισµού το Α Για κάθε χ,χ Α µε χ χ 3 χ 43χ 4 3 χ 3χ χ χ Άρα είναι «1 1» Άλλος τρόπος Για κάθε χ,χ Α µε χ χ 3χ 3χ 3χ 43χ 4 Άρα είναι «1 1» 34
Άλλος τρόπος Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα αφού ο συντελεστής του χ είναι 30 που είναι και ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ψ 3χ4 2. Δίνεται η συνάρτηση µε τύπο. ά ί " " Παίρνω χ 0 και χ 2 και έχω χ 0 2010 και χ 4 4 2010 2010 οπότε δεν είναι 1 1. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Τις τιµές τις βρίσκω ως εξής : ό ί ί ά ί ή ά. ίή. έ έ ί ό, ό ί,. έ ύ ύ ά ά ό ί χ χ 3. Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει: α. Να δείξετε ότι η είναι «1 1» β. Να λυθεί η εξίσωση γ. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα δ. Να δείξετε ότι 02 ε. Να λυθεί η ανίσωση α. Για κάθε χ,χ µε χ χ χ χ χ χ χ χ χ 10χ 10χ χ χ χ. Αρα η είναι 1 1 β. Αφού είναι 1 1 θα έχω χ 3χ χ 3 χ 3χχ 3χ χ 3χ30 χ χ1 3χ 1 0χ 1χ 3 0χ1 η χ 3 η χ 3 γ. Για κάθε χ 1,χ 2 µε χ 1 2 Από τη δοθείσα έχω για χ χ : χ χ χ 10 και για χ χ έχω: χ χ χ 10 και αφαιρώντας κατά µέλη θα έχω: χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ 1 χ 2 2 χ 1 χ 1 χ 2 2 χ 2 1 χ 1 χ 2 χ 2 1 χ 1 χ 2 χ 2 2 χ χ 1 χ 2 1 χ 2 χ 2 1 χ 1 χ 2 χ 2 2 2 χ 1 χ 1 χ 2 2 χ 2 1 0 Για το χ χ χ χ αν το θεωρήσουµε ως δευτεροβάθµιο τριώνυµο ως προς χ τότε η διακρίνουσά του είναι Δ χ 4χ 3χ 0 και είναι ίσο µε µηδέν αν χ χ 0 που είναι άτοπο διότι χ Αρα χ χ χ χ 0 χ χ χ χ 1 αν θεωρηθεί δευτεροβάθµιο τριώνυµο ως προς χ 35
τότε έχει διακρίνουσα Δ χ 4 χ 4 0 και εποµένως το χ χ χ χ 10 ά. Αρα χ χ 0χ χ και εποµένως η είναι γνησίως αύξουσα δ. Αν στη δοθείσα αντι καταστήσω όπου χ 0 έχω: 0 0 0 6 0 0 1000 2 Αφού η είναι γνησίως αύξουσα από τη δοθείσα έχω 0χ 1χ 3 0 ό ά πίνακα έχω: χ 3 1 3 χ 1 0 χ 3 Γ όπου Γ χ 1χ 3 Άρα χ 3,1 3, 4. Α. Να αποδείξετε ότι δύο συναρτήσεις,: είναι «1 1» τότε και οι συναρτήσεις ο, και ο είναι «1 1». ί ή ύ. ί η ο είναι «1 1» Α. Πεδίο ορισµού της ο είναι Α χα και χ Α χ και χ Παρόµοια το πεδίο ορισµού της Α Για κάθε χ,χ µε ο χ ο χ χ χ χ χ αφού η είναι 1 1 και από χ χ χ χ αφού η είναι 1 1 Αρα και η ο είναι 1 1 Παρόµοια και για την gοf έχω ότι είναι "1 1" Β. Πεδίο ορισµού της f είναι Α R καιγια κάθε χ,χ µε χ χ χ 1 χ 1 χ χ. Αρα η είναι 1 1 Πεδίο ορισµού της είναι Α χ ώστε χ20 2, Για κάθε χ,χ 2, µε χ χ χ 2 χ 2 χ 2 χ 2 χ χ Αρα και η είναι 1 1 και εφαρµόζοντας το Α ερώτηµα έχουµε ότι και ο είναι 1 1. ί ύά ύ ά ί 1 χ, χ, 0έχω ότι επειδή η χ είναι γνησίως αύξουσα είναι και 1 1 χ, χ 0, έχω: Επειδή η χ ί ί ύ ί Για χ 0 και για χ 0 έ ύ ύ ώ. για χ 0 έχω ψ χ ψ και αφού το 0 0 ό χ ψ. Αλλά χ 0 εποµένως και ψ 0 ψ 1 ψ 1. Τελικά έχουµε 36
είναι 1 1 H γραφική παράσταση της φαίνεται παρακάτω ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Για να εξετάσουµε αν µία δίκλαδη συνάρτηση είναι 1 1 κάνω τα εξής βήµατα. α. Ελέγχω αν ο κάθε κλάδος είναι 1 1. Αν έστω και ο ένας κλάδος δεν είναι 1 1 τότε η συνάρτησηη δεν είναι 1 1. β. Αν και οι δύο είναι 1 1 τότε προχωρώ βρίσκοντας το σύνολο τιµών του κάθε κλάδου. Αν η τοµή των επιµέρους συνόλων τιµών είναι το κενό σύνολο τότε η είναι 1 1. Διαφορετικά δεν είναι. 37
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω συνάρτηση :Α, η οποία είναι «1 1». Τότε για κάθε χα αντιστοιχίζεται,συνδέεται µε ένα και µόνο ένα ψα. Όπου Α είναι το σύνολο τιµών της. Αλλά, επειδή η είναι 1 1 και για κάθε ψα έχουµε ένα και µόνο ένα χ µε το οποίο συνδέεται από το Α, για το οποίο ψχ. Εποµένως ορίζεται µία νέα συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α δηλ. : Α : ψχ Α χ Α 1. Τη συνάρτηση συµβολίζουµε µε και την ονοµάζουµε αντίστροφη της 2. Από τον τρόπο που ορίσαµε την ισχύουν έχει πεδίο ορισµού της είναι το σύνολο τιµών της δηλ. έχει σύνολο τιµών το πεδίο ορισµού της δηλ. ισχύει η ισοδυναµία 3. Ισχύουν Α Α χ ψχ ά 4. Η αντίστροφη της αντίστροφης είναι η. Δηλαδή 5. ΠΡΟΣΟΧΉ Το σύµβολο ί έ έ ύ ύ ί έ έ ύ 6. Στη γραφική παράσταση της έχουµε ότι ανήκει το σηµείο Αχ,χ µε χα. Αλλά ό ί, ί ό ά ί ό ώ ί ί ό. ί ή ή ή ά. έ ά ί έ ά ί ί 38
Παρακάτω φαίνεται η γραφική παράσταση µια συνάρτησης και την γραφική παράσταση της αντίστροφης και την ευθεία ψχ. Όπου απεικονίζονται τα συµπεράσµατα για την συµµετρία των και ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΗΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ Εστω συνάρτηση :Α 1. Εξετάζουµε αν η συνάρτηση είναι «1 1» 2. Αν είναι «1 1» τότε πρέπει να προσδιορίσουµε την αντίστροφη. Εποµένως πρέπει να προσδιορίσουµε το πεδίο ορισµού της, που είναι το σύνολο τιµών συνάρτησης. Προς τούτο λύνω την εξίσωση ψχ. Και πρέπει να προσδιορίσω τον τύπο της. Γι αυτό κάνω τα παρακάτω βήµατα Αφού έχω επιλύσει την εξίσωση ψχ ως προς χ και συναρτήσει του ψ, αντικαθιστώ το χ µε Μετά αντικαθιστώ το ψ µε χ και έχω τον τύπο της αντίστροφης ΒΑΣΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΣΥΝΑΡΤΉΣΕΙΣ µε α 0 1 εκθετική και µε α 0 1 Το πεδίο ορισµού της είναι το Α και της και Α 0,. Επίσης, είναι 1 1 και εποµένως υπάρχουν οι αντίστροφές τους. Εστω τυχαίο χ 0 ό χ µε ψ ψ α µε ψ και αντικαθιστώντας όπου ψ το χ έχω χ α µε χ µε α 0 1. ή αντίστροφη της είναι η εκθετική συνάρτηση δηλ η. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Η εκθετική και η λογαριθµική συνάρτηση είναι αντίστεροφες συναρτήσεις. Οι γραφικές τους 39
παραστάσεις φαίνονται παρακάτω. ΣΗΜΕΙΩΣΗ ί ί ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α ί ό έ ί ί ί ά Εστω οτι η είναι γνησίως αύξουσα. Θα αποδείξουµε ότι και η είναι γνησίως αύξουσα Εστω ψ,ψ ψ ψ τότε πρέπει να αποδείξουµε ότι ψ ψ για να είναι η γνησίως αύξουσα Εστω ότι ψ ψ τότε αφού η είναι γνησίως αύξουσα θα ισχύει: ψ ψ ψ ψ άτοπο αφού δεχθήκαµε ότι ψ ψ 2. Αν :Α γνησίως αύξουσα τότε να δειχθούν ότι α και η είναι γνησίως αύξουσα. Γενικά η, έχουν το ίδιο είδος µονοτονίας α. Αποδείχθηκε στην προηγούµενη άσκηση β. Εστω πρέπει να δείξω ότι χ χ χ χ χ Εστω ότι χ χ η η χ χ χ Έστω χα και χ χ χ χ χ χ χ χ η χ χ χχ άτοπο η χχ άτοπο 40
ΣΗΜΕΙΩΣΗ Από τη θεωρία γνωρίζουµε ότι οι γραφικές παραστάσεις των, είναι συµµετρικές ως προς τη διχοτόµο ψχ της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων. Όταν µας ζητείται να βρούµε τα σηµεία τοµής των δύο γραφικών παραστάσεων δηλ να λύσουµε την εξίσωση τότε αν η είναι γνησίως αύξουσα µπορούµε να επιλύσουµε την µία από τις ισοδύναµες εξισώσεις την πιο απλή διαφορετικά δηλ όταν δεν είναι γνησίως αύξουσα επιλύω υποχρεωτικά την ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ε ά ύ Να δείξετε ότι: α. Η είναι γνησίως φθίνουσα β. Η έχει αντίστροφη και να βρεθεί η αντίστροφή της 1α Τό πεδίο ορισµού της είναι το Α αφού για κάθε χ, 20 Για κάθε χ,χ µε χ χ 4 4 2 2 2 4 8 4 2 82 2 χ χ Εποµένως η είναι γνησίως φθίνουσα 2β Επειδή η είναι γνησίως φθίνουσα είναι και 1 1 και εποµένως υπάρχει η αντίστροφή της Βρίσκουµε το σύνολο τιµών της ψχ ψ 4 2 ψ 2ψ 4ψ 1 42ψ 42ψ ψ1,µε περιορισµούς για το ψ τους παρακάτω: ψ 1 και 42ψ 022 ψψ 1 0 1 2 έ ύ ώ ψ1 είναι Α 1,2 Από τον τύπο 42ψ ψ χ22 ψ1 ψ1 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Επειδή εκφράζεται µονοσήµαντα το χ ως προς ψ, δηλ έχουµε µία µόνο λύση του χ ως προς ψ η συνάρτηση είναι 1 1. Ένας άλλος τρόπος απόδειξης Από τον τύπο χ 22ψ ψ1 αντικαθιστώντας το χ µε το ψ,ψ 1,2 θα έχω 22 ψ ψ,ψ 1,2 και θέτοντας όπου ψ το χ θά έχουµε ότι: ψ1 22 χ χ,χ 1,2 χ1 41
. ί ά ύ. α. Να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία β. Να βρεθεί η αντίστροφή της γ. Να βρεθούν τα σηµεία τοµής των γραφικών παραστάσεων των. Να λυθεί η εξίσωση α. Το πεδίο ορισµού είναι Α Για κάθε χ,χ µε χ χ χ χ χ χ. Εποµένως η είναι γνησίως αύξουσα. β. Αφού η είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και 1 1 και εποµένως θα υπάρχει η αντίστροφή της. Για το πεδίο ορισµού της πρέπει να βρούµε το σύνολο τιµών της. Εποµένως έχω: ψχ ψχ. Οπότε αν ψ 0 τότε χ ψ και αν ψ 0 ό ψ Εποµένως χ ψ αν ψ 0 ψ αν ψ 0 Αρα ψ ψ αν ψ 0 και εποµένως ψ αν ψ 0 χ χ αν χ 0 χ αν χ 0 γ. Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα τα σηµεία τοµής των είναι πάνω στην ψχ χ χ χ χχ χχ χ0χχ 1 0 0 ή 1 ή 1 Εποµένως τα σηµεία είναι Α0,0,Β1, 1 και Γ1,1 3. ί ά ύ ά α. Να αποδείξετε ότι η είναι 1 1 ά β. Να αποδείξετε ότι 4χ4 χ ά γ. Να αποδείξετε ότι 00. ά. ά α. Για κάθε χ,χ µε χ χ χ χ 4 χ 4χ χ χ.εποµένως είναι 1 1 β. Αν στη δοθείσα αντικαταστήσω το χ µε χ θα έχω χ 4χ 4χ 4χ για κάθε χ, αφού το χ 4χ για κάθε χ γ. Αφού 4χ 4χ για κάθε χ, θά έχω αν θέσω χ 0: 4 0 40 0 40 30 00 0 42
δ. Αφού η είναι 1 1 τότε υπάρχει η αντίστροφη και αντικαθιστώντας στη δοθείσα όπου χ το χ θα έχω χ 4 χ χ 4 χ χ 4 χ. Αντικαθιστώντας όπου χ το χ 4 θα έχω χ 4χ 4 4 χ χ 4 και επειδή η είναι 1 1 θα έχω: χ 4 χ 4. Δίνεται η συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το * και για την οποία ισχύει: ά, Να αποδείξετε ότι: α. 10. ά γ. Αν η εξίσωση χ0 έχει µοναδική ρίζα την χ1, να δείξετε ότι η είναι 1 1 και µάλιστα ότι ισχύει, ά, α. Αν στη δοθείσα αντικαταστήσω όπου χ1 και ψ1 θα έχω 11110 β. Αν στη σχέση χ ψ χ ψ θέσω όπου ψ το 1 χ µε χ 0 θα έχω χ χ χ 1 χ οπότε 1 χ 1 χ 0χ 1 χ χ 1 χ γ. Γιά κάθε χ,χ µε χ χ χ χ 0χ 1 0 0 χ και επειδή η εξίσωση χ0 έχει µοναδική ρίζα την χ1 θα έχω από την χ 0 χ 1χ χ χ χ. Εποµένως η είναι 1 1 και εποµένως υπάρχει η Εστω χ α και χ β τότε χ ακαι χ β οπότε χ χ α β α β και χ χ α β χ χ α β χ χ χ χ ΣΗΜΕΙΩΣΗ Θα µπορούσαµε να εργαστούµε για το τελευταίο και ως εξής: χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ που ισχύει 43
5. ί ά ύ α. Να δείξετε ότι 1 1 β. Να υπολογίσετε την τιµή α Πεδίο ορισµού είναι της είναι Α. Για κάθε χ,χ µέ χ χ χ χ και χ χ χ χ χ χ χ χ 1χ χ 1χ χ. Αρα η είναι γνησίως αύξουσα και και εποµένως 1 1. β. Εστω 1 α. Τότε 1 α 1α α1α α0 αα 1 0α0.Εποµένως 1 0. ά ύ 0. ί ά. ί ό ί ί ίή α. Η συνάρτηση χ είναι γνησίως αύξουσα και διέρχεται από το σηµείο 0,1 και η συνάρτηση χ χ είναι γνησίως αύξουσα και διέρχεται από το σηµείο 0,0.Εποµένως Η συνάρτηση χ χ 1 θα είναι η χ µετατοπισµένη κατά µία µονάδα προς τα πάνω στον άξονα ψψ β. Αφού είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και 1 1. Άρα υπάρχει η αντίστροφή της Από την γραφική της παράσταση µε προβολή πάνω στον άξονα ψ ψ. Παρατηρώ ότι: Τό σύνολο τιµών της µε χ 0 είναι 0,1 και µε χ 0 ί 1,. Αρα το σύνολο τιµών είναι το 0,. Εποµένως το πεδίο ορισµού της αντίστροφης είναι το Για τον τύπο έχουµε: ψχ ψ αν χ 0 ψ αν χ 0 ψ µε χ 0 και ψ 0 χ 1 αν χ 0 χ χ 1 ψ αν χ 0 χ ψ1 µε χ0 0 χ ψ µε ψ 0 και ψ 0 ψ µε ψ 1 και ψ 0 χ χψ1 µε ψ 1 χψ 1 µε ψ 1 χ ψ µε ψ 1 και ψ 0 ψ ψ µε ψ 0,1 χψ1 µε ψ 1 Εποµένως η αντίστροφη ψ ψ 1 µε ψ 1 είναι: χ χ µε χ 0,1 χ1 µε χ 1 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Αν δεν είχαµε την γραφική παράσταση θα έπρεπε να βρούµε τα σύνολα τιµών του κάθε 44
κλάδου ξεχωριστά. Δηλαδή ψ µε χ 0 όπως παραπάνω 0 1 ψχ 1 µε χ 0 ό ά 1 και επειδή 0,1 1, Φ η συνάρτηση είναι 1 1 και βρίσκουµε την αντίστροφή της 6. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει:, ά. ά ί. ί. ά έ ό ί,. ά ί, ή. ί ό ί ί ύ. ύ ί α. Για κάθε χ,χ µέ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ. Αρα είναι 1 1 β. Αν θέσω στην δοθείσα όπου χ το χ θα έχω. χ χ χ χ χ χ µε χ γ. Αφού το 0,0ανήκει στην και στην ψ χ θα ανήκει και στην, αφού το συµµετρικό του 0,0 ως προς άξονα συµµετρίας την ψχ είναι ο εαυτός του. δ. Επειδή 1 2 δηλ.το σηµείο 1,2ανήκει στην και το συµµετρικό του ως προς άξονα την ευθεία ψ χ δηλ. το σηµείο 2,1 ανήκει στην ε. Αν στην αρχική σχέση θέσω διαδοχικά όπου χ το χ και µετά το χ θά έχω: χ χ χ και χ χ χ. Αφαιρώντας κατά µέλη έχω: χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ 1 χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ 1 0χ χ διότι το χ χ χ χ 1 αν θεωρηθεί δευτεροβάθµιο τριώνυµο ως προς χ ή χ έχει διακρίνουσα Δ χ 4 χ 43 χ 4 0. ί ί οµόσηµο του α δηλ θετικό. Εποµένως για κάθε χ,χ µε χ χ έχω χ χ στ. Αφού η είναι γνησίως αύξουσα θα ισχύει: χ χ χ χχ χχχ 0χ0 45
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1. ί ά :,. Να εξετασθεί αν η είναι άρτια η περιττή 2. Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης µε τύπο 0 α. Να ί ά. ί ό ί ί ίή 3. :, : ύ. ί ά, 4. ί ά : ί ύ ά ά,. ί.. ί ή. ό 5. Να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία η συνάρτηση µε τύπο 0 Να γίνει η γραφική της παράσταση 6. ί ά, α Να εξετασθεί ως προς τη µονοτονία β Να αποδειχθεί ότι αντιστρέφεται γ Να Υπολογισθεί η τιµή δ Να λυθεί η εξίσωση 7. Ι Αν η συνάρτηση : είναι γνησίως µονότονη στο Α να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει µία το πολύ λύση στο Α ΙΙ Αν α,β,γ είναι µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ Α90 o να εξετασθεί ως προς τη µονοτονία η συνάρτηση Ν 46
, ΙΙΙ Να λυθεί η εξίσωση 8. Αν η συνάρτηση έχει σύνολο τιµών και ισχύει για κάθε χ,ψ που ανήκουν στο να αποδειχθούν ότι Ι 00 ΙΙ περιττή ΙΙΙ Αν η εξίσωση χ0 έχει µοναδική ρίζα την χ0,η συνάρτηση αντιστρέφεται και ισχύει: για κάθε, 9. Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει για κάθε x R I. Δείξτε ότι η είναι αντιστρέψιµη II. η έχει σύνολο τιµών το R III. Ισχύει IV. Να λυθεί η εξίσωση f ( x) = x στο R V. Δείξτε ότι VI. Αν να βρείτε το 2 10. ι Να βρεθεί περιττή συνάρτηση f για την οπία ισχύει,, ά ιι Αν για κάθε χ ισχύει να βρείτε τη συνάρτηση g ιιι Να προσδιορίσετε την ο 11. Δίνονται οι συναρτήσεις και Ι Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν τέµνει τους άξονες ιι Βρείτε τη συνάρτηση τέτοια ώστε 12. Δίνεται η συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι: Ι η έχει πεδίο ορισµού το R ΙΙ αν τότε οι συναρτήσεις ο και είναι ίσες 0 13. Δίνεται η συνάρτηση µε τύπο 0 Να εξετασθεί αν η συνάρτηση είναι 1 1 14. Να βρείτε τη συνάρτηση στις παρακάτω περιπτώσεις I. II. III. IV.,, 47
V. ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Θεωρώ τη συνάρτηση χ χ 16. Το πεδίο ορισµού της είναι: Α χ και χ 160, 4 4, Η ο και εποµένως το πεδίο ορισµού της είναι: Α χ Α και χ Α χ, 4 4, και χ 16 0,3 χ, 4 4, και 0 χ 163 χ, 4 4, και χ 169 χ, 4 4, και χ 25 χ, 4 4, και χ 25 χ, 4 4, και 5 χ 5 5, 4 4,5 το οποίο είναι συµµετρικό ως προς το 0 και εποµένως για κάθε χ Α και χ Α Ακόµη χ χ 16χ 16χ. Αρα είναι άρτια 2. Η συνάρτηση χ είναι γνησίως αύξουσα και διέρχεται από το σηµείο 0,1 και η συνάρτηση χ χ είναι γνησίως αύξουσα και διέρχεται από το σηµείο 0,0.Εποµένως Η συνάρτηση χ χ 1 θα είναι η χ µετατοπισµένη κατά µία µονάδα προς τα πάνω στον άξονα ψψ β. Από την γραφική παράσταση παρατηρούµε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. Αρα και 1 1 Το σύνολο τιµών της είναι 0, που είναι και το πεδίο ορισµού της αντίστροφης και για τον τύπο έχω ψχ µε χ 0 ψ και χ 0 χ ψ µε ψ 0 0 0 ψ 0 ψ0 ψ101 ψχ µε χ 0 χ 1 και χ01χ και χ 0 1 0 0 χψ1 ψ 1. Άρα ψ µε 0 1 ψ µε 0 1 χ ψ 1 µε ψ 1 ψ και εποµένως η αντίστροφη είναι: ψ 1 µε ψ 1 χ µε 0 1 χ χ 1 µε χ 1 3. Η δοθείσα µετασχηµατίζεται χ χ1 χ1 χ 1 και αντικαθιστώντας όπου χ το χ χ χ1 χ1 1 χ χ χ1 1 χ1 1 χ1 χ χ χ1 2χ 1 1 χ χ έχω: 48
Αντικαθιστώντας στην σχέση 1 όπου χ το χ1 έχω: χ χ1 1 χ 1 2 χ1 1 χ 1 χ2 χ χ1 χ1 χ1 1 χ1 χ1 2 χ χ χ Αφαιρώντας κατά µέλη τις 1 και 2 έχω χ1 χ χ χ χ1 και αφαιρώντας την από την αρχική θα έχω χχ 1 2χ χ1 χ χ1 χχ 1 χ χ 1 χχ 1 χ χ χ 1 2χχ 1 4. α. Από τη δοθείσα χ ψ 0 έχω 0 0 0 00 0. Αρα 0 0 β. Θέτω όπου ψ χ και έχω 0 χ χ χχ00χ χ 0 χ χ 0χ χ. Αρα περιττή γ. χ χχ χχ χ και επειδή και χ χ για κάθε χ έχω χ χ 5. Για κάθε χ,χ, 0µε χ χ χ χ. Αρα η είναι γνησίως αύξουσα µε χ 0 Για κάθε χ,χ 0, µε χ χ 1 χ 1 χ 1 χ 1 χ χ χ. Αρα η είναι γνησίως αύξουσα στο0, Αν τώρα χ 0χ χ 0 χ. Και εποµένως η δέν είναι γνησίως µονότονη στο πεδίο ορισµού της. 6. α. Εστω χ,χ R µε χ χ χ χ και χ χ άρα χ χ χ χ χ χ 1χ χ 1ƒχ ƒχ Άρα η ƒ γνησίως αύξουσα. β. 49
Αφού η ƒ είναι γνησίως αύξουσα είναι 1 1 άρα υπάρχει η αντίστροφή της γ. 1 χ 1 χ χ χ0χχ 1 0χ0 διότι η χ 1 0 είναι αδύνατη δ. Λύνω την εξίσωση χχχ χ1χχ 1χ1 Ασκηση 7. α. Έστω ότι η είναι γνησίως αύξουσα Έστω ότι έχει δύο ρίζες τις χ,χ µε χ χ τότε αφου γν. αύξουσα χ χ ναι αλλά αφού χ,χ είναι ρίζες θα πρέπει χ χ άτοπο β. Αν χ,χ R µε χ χ θα έχω Αφού 0 β α 1β α β α Παρόµοια γ α γ α Αρα β α γ α β 1 α γ α 1χ χ Άρα η είναι γν φθίνουσα Η εξίσωση β γ α έχει µία προφανή λύση την χ2 αφού είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου πυθαγόρειο θεώρηµα και β γ α β α γ α 1 0 και η χ β α γ α 1 είναι γν. φθίνουσα θα είναι και µοναδική 8. α.αν θέσω χψ0 τότε έχω ƒ0 0 ƒ0 ƒ0 ƒ0 0 β. Στην δοθείσα αν θέσω όπου ψ το χ θα έχω ƒχ χ ƒχ ƒχ ƒ0 χ ƒχ ƒχ ƒχ γ. Θέτοντας στην δοθείσα όπου χ το χ και όπου ψ το χ και θα έχω ƒχ χ ƒχ ƒχ ƒχ χ ƒχ ƒχ Θέλω να δείξω ότι είναι 1 1 προς τούτο έστω ƒχ ƒχ ƒχ ƒχ 0ƒχ χ 0χ χ 0χ χ Έστω ƒ χ α και ƒ χ β τότε χ ƒα και χ ƒβ Άρα χ χ ƒα ƒβ χ χ ƒα β ƒ χ χ ƒ ƒα β ƒ χ χ αβƒ χ ƒ χ 50
9. Ι. Έστω ƒχ ƒχ ƒƒχ ƒƒχ χ χ χ χ Άρα είναι 1 1 και και εποµένως αντιστρέψιµη ΙΙ. Έστω ƒχ ψƒƒχ ƒψ χ ƒψ χ ƒψ Άρα ƒαr ΙΙΙ. Από την αρχική έχω ƒƒƒχƒχ θέτοντας όπου χ το ƒχ Θέτοντας τώρα ƒƒχχ έχω ƒχ ƒχ, αν ƒψ 0 ƒψ, αν ƒψ 0 Ιν. Από την ƒχ χƒƒχ ƒχ χ χχχ 1χ 1 0χ0,1,1 ν. ƒ1 ƒ1 ƒ1 ƒ1 ƒ1 ƒ1 110ƒ0 νι ƒ8 64ƒ2 64ƒ2 64ƒ2 4 10. Θέτοντας στην δοθείσα όπου χ το χ θα έχω χ ƒχ χ ƒχ χ χ ƒχ χ χ και από τη δοθείσα έχω ƒχ χ χ Άρα ƒχ µε χr ΙΙ. Θέτοντας όπου χ το χ θα έχω gχ χgχ χ και έχουµε τη δοθείσα χgχ gχ χ Λύνοντας το σύστηµα έχω gχ µε χr ΙΙΙ. Πεδίο ορισµού χα ƒ και ƒχα χr και R R 11. Ι. gοƒχ gƒχ χ χ χ χ χ χ 1 χ χ χ χ φχ 1 χ χ1 χ 2 2 χ χ αφού 2 20 χ δεν τέµνει τον χ χ και η φχέχει πεδίο ορισµού το R 0,1, 1 δεν τέµνει και τον ψ ψ 51
ΙΙ. οƒχ gχ ƒχ gχ 1 χ χ1 ψ ψχ χ µε ψ 1 ψ1,ψ1lnψ 1,ψ 1 Αρα ψ ψlnψ 1 lnψ,ψ1 Άρα χ χlnχ 1 lnχ,χ1 Αν θεωρήσουµε την µε πεδίο ορισµού 1, για το πεδίο ορισµού της οƒ έχω Α ƒ χα ƒ και ƒχα χr και 11 R Άρα καλά ορισµένη είναι 12. Θα πρέπει χ χ 1 0 χ 10χ 10 χ 1 για την οποία διακρίνουµε τις πιο κάτω περιπτώσεις Αν χ0 τότε η χ 1 αληθεύει για κάθε χ άρα και για χ0 Αν χ0 τότε χ0 άρα χ 1 χ χ 1χ 1 0 που ισχύει άρα και για χ0 Α ƒ χα και gχα ƒ χr και χr R ƒοgχƒgχƒ χln xx 1ln lnχχ 1 lnχχ 1 ƒx 13. Aν ƒχ 2χ µε χ 0 ί ί ύ έ 1 1 Αν ƒχ2χ1 µε χ0 είναι γνησίως αύξουσα και εποµένως 1 1 ψ2χ,χ0 ψ 2,χ0ψ 2 0 0 Α 0, ψ2χ1,χ0 ψ1,χ 0 ψ1 0 1, 1 2 2 Επειδή 0,, 1 Φ κενό σύνολο είναι 1 1 14. Ι. θέτω gƒx 3 µε xr και g ƒχ ƒχ 3 µε χr Αρα ƒχ µε πεδίο ορισµού το R ΙΙ. gƒχ 2χ 2χ 5 αλλά gƒχ 2ƒχ 3 Αρα 2ƒχ 32χ 2χ5 Άρα ƒχ χ χ4 µε χr ΙΙΙ. gƒχ lnx 1 1 και gƒχ lnƒx 1 Άρα lnx 1 lnƒx µε ƒχ 0 lnx είνα 1 1 έχω ƒχ x 1 µε πεδίο ορισµού το R 52