Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων"

Transcript

1 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων Πασχάλης Ράπτης

2 2 Περιγραφή Σήμερα θα δούμε: Αλγόριθμος σχεδίασης γραμμών του Bresenham Σύγκριση αλγορίθμων σχεδίασης γραμμών Αλγόριθμοι σχεδίασης κύκλων Μια απλή τεχνική Μέσου σημείου κύκλου (mid-point circle) Αλγόριθμοι γεμίσματος (χρωματισμού) Πολυγώνων (Polygon fill) Σύνοψη των raster αλγορίθμων σχεδίασης

3 3 Αλγόριθμος Σχεδίασης Γραμμών του Bresenham Ο αλγόριθμος Bresenham είναι ένας ακόμη αυξητικός (incremental scan conversion) αλγόριθμος Το κύριο πλεονέκτημα του αλγόριθμου είναι ότι χρησιμοποιεί μόνο υπολογισμούς ακεραίων Ο Jack Bresenham εργάστηκε στην IBM για 27 worked και μετά μπήκε στην εκπαίδευση. Ανέπτυξε τοναλγοριθμο στις αρχές της δεκαετίας τ ο υ

4 4 Αλγόριθμος Σχεδίασης Γραμμών του Bresenham Κινούμενοι στον άξονα x κατά μια μονάδα σε κάθε βήμα επιλέγουμε μεταξύ δυο διαφορετικών y τιμών συντεταγμένων Παράδειγμα, από την 5 θέση (2, 3) πρέπει να (x k +1, y k +1) επιλέξουμε μεταξύ των 4 σημείων (3, 3) και (3, 4) (x k, y k ) 3 2 (x k +1, y k ) Θα διαλέγαμε το σημείο που είναι πιο κοντά στην αρχική γραμμή

5 5 Αλγόριθμος Σχεδίασης Γραμμών του Bresenham Στη (sample) θεση x k +1 οι κάθετες αποκλίσεις από την μαθηματική γραμμή σημειώνονται ως y k+1 y y k d upper d lower d upper και d lower x k +1 Η τιμή της y συντεταγμένης στην μαθηματική γραμμή στο σημείο x k +1 ειναι: y = m( x + 1) + k b

6 6 Αλγόριθμος Σχεδίασης Γραμμών του Bresenham Τα σημεία d upper and d lower υπολογίζονται από: και d d upper = y = m( x + 1) + lower y k = ( y + 1) k k k y k Χρησιμοποιούμε αυτά τα σημεία για να αποφασίσουμε ποιο pixel είναι πιο κοντά στην μαθηματική γραμμή y k b = y + 1 m( x + 1) b

7 7 Αλγόριθμος Σχεδίασης Γραμμών του Bresenham Η απόφαση βασίζεται στην διαφορά μεταξύ των θέσεων των δυο pixel: d lower d upper = 2m( x + 1) 2y + 2b 1 Αντικαθιστούμε το m με y/ x οπού x και y είναι οι διαφορές μεταξύ των δυο άκρων: k y x( dlower dupper ) = x(2 ( xk + 1) 2yk + 2b 1) x = 2 y x 2 x y + 2 y + x(2b 1) k k k = 2 y xk 2 x yk + c

8 8 Αλγόριθμος Σχεδίασης Γραμμών του Bresenham Η παράμετρος απόφασης p k για το kth βήμα σε μια γραμμή δίδεται από: p = x( d d ) k lower = 2 y x k upper 2 x Το πρόσημο της παραμέτρου απόφασης p k είναι το ίδιο με αυτό της d lower d upper Εάν p k είναι αρνητικό, τότε επιλέγουμε το χαμηλότερο pixel, άλλως επιλέγουμε το υψηλότερο pixel y k + c

9 9 Αλγόριθμος Σχεδίασης Γραμμών του Οι αλλαγές στις συντεταγμένες συμβαίνουν κατά τον άξονα των x με βήματα (ανα pixel) για να γίνονται οι πράξεις με ακεραίους Στο βήμα k+1 η παράμετρος απόφασης δίδεται από: p 2 y x x y c k + 1 = k k Αφαιρώντας το p k από το p k+1 έχουμε: p k + 1 pk = 2 y( xk + 1 xk ) 2 x( yk + 1 yk Bresenham )

10 10 Αλγόριθμος Σχεδίασης Γραμμών του Bresenham Αλλά το x k+1 είναι το ίδιο με το x k +1 οπότε: p k + 1 = pk + 2 y 2 x( yk + 1 yk όπου y k+1 - y k είναι 0 ή 1 ανάλογα με το πρόσημο του p k Η πρώτη παράμετρος απόφασης p 0 υπολογίζεται στο σημείο (x 0, y 0 ) δίδεται από: p 0 = 2 y x )

11 11 Αλγόριθμος Σχεδίασης Γραμμών του Bresenham ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ (για m < 1.0) 1. Εισάγετε τα σημεία των δυο άκρων, αποθηκεύοντας το αριστερό άκρο στο σημείο (x 0, y 0 ) 2. Σχεδιάσετε το σημείο (x 0, y 0 ) 3. Υπολογίσετε τις σταθερές Δx, Δy, 2Δy, και (2Δy - 2Δx) και την πρώτη τιμή της παραμέτρου απόφασης: p 0 = 2 y x 4. Για κάθε x k στην γραμμή, ξεκινώντας με k = 0, εκτελέστε το παρακάτω τέστ. Εάν p k < 0, το επόμενο σημείο που θα σχεδιασθεί είναι το (x k +1, y k ) και: p = p + k + 1 k 2 y

12 12 Αλγόριθμος Σχεδίασης Γραμμών του Bresenham Διαφορετικά το επόμενο σημείο που θα σχεδιασθεί είναι το σημείο (x k +1, y k +1) and: p 5. Επανελαβε το βημα 4 (Δx 1) φορές = p + 2 y k + 1 k 2 x Προσοχή! Ο παραπάνω αλγόριθμος προϋποθέτει ότι η κλήση των γραμμών είναι μικρότερη του 1 για άλλες κλίσεις χρειάζεται μικρή διόρθωση (ρύθμιση).

13 13 Αλγόριθμος Σχεδίασης Γραμμών του Bresenham ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ (για m >= 1.0) 1. Εισάγετε τα σημεία των δυο άκρων, αποθηκεύοντας το αριστερό άκρο στο σημείο (x 0, y 0 ) 2. Σχεδιάσετε το σημείο (x 0, y 0 ) 3. Υπολογίσετε τις σταθερές Δx, Δy, 2Δx, και (2Δx - 2Δy) και την πρώτη τιμή της παραμέτρου απόφασης: p 0 = 2 y x 4. Για κάθε x k στην γραμμή, ξεκινώντας με k = 0, εκτελέστε το παρακάτω τέστ. Εάν p k < 0, το επόμενο σημείο που θα σχεδιασθεί είναι το (x k +1, y k ) και: p = p + k + 1 k 2 y

14 14 Αλγόριθμος Σχεδίασης Γραμμών του Bresenham Διαφορετικά το επόμενο σημείο που θα σχεδιασθεί είναι το σημείο (x k +1, y k +1) and: p 5. Επανέλαβε το βήμα 4 (Δy 1) φορές = p + 2 y k + 1 k 2 x --

15 15 Αλγόριθμος Bresenham - Παράδειγμα Να σχεδιάσουμε την γραμμή από το σημείο (20, 10) έως το (30, 18) Υπολογίζουμε όλες τις σταθερές: Δx: 10 Δy: 8 2Δy: 16 2Δy - 2Δx: -4 Υπολογίζουμε την αρχική παράμετρο p 0 (initial decision parameter): p0 = 2Δy Δx = 6

16 16 Αλγόριθμος Bresenham Παράδειγμα (2) k p k (x k+1,y k+1 )

17 17 Αλγόριθμος Bresenham Παράδειγμα Ακολουθούμε τα βήματα του αλγόριθμου Bresenham για την σχεδίαση γραμμών για μια γραμμή από το σημείο (21,12) ως το σημείο (29,16)

18 18 Αλγόριθμος Bresenham Παράδειγμα (2) k p k (x k+1,y k+1 )

19 19 Αλγόριθμος Bresenham - Σύνοψη Πλεονεκτήματα του αλγόριθμου σχεδίασης γραμμών του Bresenham: Γρήγορος αυξητικός αλγόριθμος Χρήση μόνο ακεραίων υπολογισμών

20 20 Εξίσωση κύκλου: Αλγόριθμος Σχεδίασης Κύκλου (Circle Drawing) 2 2 x + y = r 2 όπου r είναι η ακτίνα του κύκλου. Ένας απλός αλγόριθμος σχεδίασης κύκλου λύνοντας την εξίσωση ως προς y (για κάθε τιμή του x υπολογίζεται η αντίστοιχη τιμή του y) y = ± r 2 x 2

21 21 Αλγόριθμος Σχεδίασης Κύκλου(2) Για ακτίνα κύκλου r=20 έχουμε: y = 2 2 y1 = 20 1 y = y19 = y20 =

22 22 Αλγόριθμος Σχεδίασης Κύκλου (3) Δεν είναι έξυπνη λύση. Πρώτον, ο κύκλος που προκύπτει έχει μεγάλα κενά όπου η κλήση προσεγγίζει την κάθετο. Δεύτερον, οι υπολογισμοί δεν είναι πολύ αποτελεσματικοί Η πράξη πολ/σμού (τετράγωνο) Η πράξη τετραγωνικής ρίζας αποφύγετε αυτή την πράξη. Χρειαζόμαστε μια πιο αποτελεσματική και ακριβέστερη λύση.

23 23 Συμμετρία Οκτώ Σημείων (Eight-Way Symetry) Παρατηρούμε ότι οι κύκλοι με τo κέντρο στο σημείο (0, 0) έχει οκτώ μέρη που είναι συμμετρικά, έτσι ο αλγόριθμος σχεδίασης είναι πιο αποτελεσματικός (-x, y) (x, y) (-y, x) (y, x) (-y, -x) R 2 (y, -x) (-x, -y) (x, -y)

24 24 Αλγόριθμος Κύκλου Μέσου Σημείου (Mid-Point Circle) Υπάρχει ένας αυξητικός αλγόριθμος για την σχεδίαση κύκλων ο αλγόριθμος κύκλου μέσου σημείου του Bresenham (όμοιος με αυτόν για την σχεδίαση γραμμών) Στον αλγόριθμο κύκλου μέσου σημείου χρησιμοποιούμε την συμμετρία οκτώ σημείων. Έτσι υπολογίζουμε μόνο τα σημεία για το 1/8 (top right eighth) του κύκλου, και στην συνέχεια χρησιμοποιούμε την συμμετρία να λάβουμε τα υπόλοιπα σημεία.

25 25 Αλγόριθμος Κύκλου Μέσου Σημείου (2) Υποθέτουμε ότι έχουμε ήδη σχεδιάσει το σημείο (x k, y k ) (x k, y k ) Το επόμενο σημείο είναι μια επιλογή μεταξύ του σημείου (x k +1, y k ) και (x k +1, y k -1) Θα θέλαμε να διαλέξουμε το σημείο που είναι πιο κοντά στον πραγματικό κύκλο. Πως κάνουμε αυτή την επιλογή; (x k +1, y k ) (x k +1, y k -1)

26 26 Αλγόριθμος Κύκλου Μέσου Σημείου (3) Ξαναγράφουμε την εξίσωση του κύκλου ως: f circ ( x, y) x y r Η εξίσωση εκτιμάται ως εξής: f circ < 0, if ( x, y) = 0, if > 0, if = Διαλέγουμε ένα από τα υποψήφια pixels υπολογίζοντας το μέσο σημείο με την συνάρτηση + ( x, y) is inside the circle boundary αν (x,y) είναι μέσα στα όρια του κύκλου ( x, y) is on the circle boundary αν (x,y) είναι στα όρια του κύκλου ( x, y) is outside the circle boundary αν (x,y) είναι έξω από τα όρια του κύκλου

27 27 Αλγόριθμος Κύκλου Μέσου Σημείου (4) Υποθέτουμε ότι μόλις έχουμε σχεδιάσει το pixel στο (x k,y k ) έτσι πρέπει να διαλέξουμε ανάμεσα στα σημεία (x k +1,y k ) και (x k +1,y k -1) Η μεταβλητή απόφασης p k ορίζεται ως p 1 k = fcirc ( xk + 1, yk ) = ( xk + 1) + ( yk ) r 2 Εάν p k < 0 το μέσο-σημείο είναι μέσα στον κύκλο και το pixel στο y k είναι πιο κοντά στο κύκλο Διαφορετικά το μέσο-σημείο είναι έξω από τον κύκλο και το pixel y k -1 είναι πιο κοντά 2

28 28 Αλγόριθμος Κύκλου Μέσου Σημείου (5) Για να διασφαλίσουμε ότι ο αλγόριθμος είναι αποτελεσματικός μπορούμε να κάνουμε τους υπολογισμούς μας αυξητικά. Έχουμε: ή: p p k + 1 = f circ = [( x k ( 1 ) x + 1, y k ) + 1] ( ) y r k + 1 όπου y k+1 είναι είτε y k είτε y k -1 ανάλογα με το πρόσημο p k 2 k = pk + 2( xk + 1) + ( yk + 1 yk ) ( yk + 1 y ) + 1 k + k 2 2

29 29 Αλγόριθμος Κύκλου Μέσου Σημείου (6) Η πρώτη μεταβλητή απόφασης δίδεται ως: p 0 = = f Εάν p k < 0 τότε η επόμενη μεταβλητή απόφασης δίδεται από: p circ (1, r = 1+ ( r 5 4 p r 1 ) 2 Εάν p k > 0 τότε η μεταβλητή απόφασης είναι: p x 1 ) 2 2 k + 1 = k + 2 k = pk + 2xk y + 1 r 1 k + k 2

30 30 Αλγόριθμος Κύκλου Μέσου Σημείου ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ Δώσε την ακτίνα r και το κέντρο του κύκλου (x c, y c ) και θέσε τις συντεταγμένες για το πρώτο σημείο στην περιφέρεια ενός κύκλου με κέντρο την αρχή ως: ( x 0, y0) = (0, r Υπολόγισε την αρχική τιμή της παραμέτρου απόφασης ως: p = 5 0 r 4 Ξεκινώντας με k = 0 σε κάθε θέση x k, εκτέλεση το παρακάτω έλεγχο. Εάν p k < 0, το επόμενο σημείο για τον κύκλο με κέντρο στο (0, 0) είναι (x k +1, y k ) και: p k + 1 = pk + 2xk ) 1

31 31 The Mid-Point Circle Algorithm (cont ) αλλιώς το επόμενο σημείο κατά μήκος του κύκλου είναι (x k +1, y k -1) και: p k + 1 = pk + 2 xk yk Καθόρισε τα συμμετρικά σημεία στις άλλες επτά περιοχές 5. Μετακίνησε κάθε υπολογισμένη θέση του pixel (x, y) στο κύκλο με κέντρο (x c, y c ) να σχεδιασθούν οι συντεταγμένες τιμές: x + = x x c y = y + yc 6. Επανέλαβε τα βήματα 3 ως 5 μέχρι x >= y

32 32 Αλγόριθμος Κύκλου Μέσου Σημείου Παράδειγμα Θα σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο στο (0,0) και ακτίνα 10 χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του μέσου-σημείου.

33 33 Αλγόριθμος Κύκλου Μέσου Σημείου Παράδειγμα (2) k p k (x k+1,y k+1 ) 2x k+1 2y k

34 34 Αλγόριθμος Κύκλου Μέσου Σημείου Παράδειγμα Χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του μέσουσημείου θα σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο στο (0,0) και ακτίνα 16.

35 35 Αλγόριθμος Κύκλου Μέσου Σημείου Παράδειγμα (2) k p k (x k+1,y k+1 ) 2x k+1 2y k

36 36 Αλγόριθμος Κύκλου Μέσου Σημείου Τα κύρια χαρακτηριστικά του αλγόριθμου μέσου σημείου σχεδίασης κύκλου είναι: Η συμμετρία των οκτώ σημείων ελαττώνει πολύ τον χρόνο σχεδίασης ενός κύκλου Κινούμενοι σε μονάδες (unit steps) κατά μήκος του άξονα x σε κάθε σημείο κατά μήκος της γραμμής του κύκλου χρειάζεται να διαλέξουμε μεταξύ δυο πιθανών y συντεταγμένων

37 37 Το ουσιαστικό που πρέπει να θυμόμαστε είναι ότι ένας αλγόριθμος σχεδίασης πρέπει να είναι αποτελεσματικός (γρήγορος) Για τις γραμμές έχουμε τον αλγόριθμο DDA και τον αλγόριθμο του Bresenham Για τους κύκλους έχουμε τον αλγόριθμο του μέσου σημείου.

38 38 Πολύγραμμα (Polyline) Πολύγραμμο είναι επίπεδο σχήμα που ορίζεται από συνεχόμενες ευθείες γραμμές. Το διπλανό πολύγραμμο σχηματίζεται από έξι σημεία Α 1 -Α 6 που σχηματίζουν πέντε ευθείες Ε 1 -Ε 5 E1 E2 E3 E4 E5

39 Πολύγωνα (Polygons) Πολύγωνο είναι ένα επίπεδο σχήμα που ορίζεται από ένα σύνολο τριών ή περισσότερων θέσεων συντεταγμένων που ονομάζονται κορυφές (vertex) και συνδέονται στην σειρά από ευθύγραμμα τμήματα που ονομάζονται ακμές (edges) ή πλευρές του πολυγώνου. Ένα πολύγωνο ορίζει μια κλειστή περιοχή στο επίπεδο

40 40 Λίστα Κορυφών Πολύγωνα (2) (Polygons) Λίστα Πλευρών γραμμή κορυφή Λίστα Επιφανειών πλευρές

41 41 Πολύγωνα (2) (Polygons) Πως όμως σχεδιάζουμε πολύγωνα; -- Τα πολύγωνα σχηματίζονται από γραμμές. -- Οι γραμμές σχεδιάζονται με έναν αλγόριθμο (DDA ή Bresenham)

42 42 Κατηγοριοποίηση Πολυγώνων Εσωτερική γωνία (interior angle) είναι μια γωνία εντός του συνόρου του πολυγώνου που σχηματίζεται από δύο προσκείμενες πλευρές. -- Εάν όλες οι εσωτερικές γωνίες ενός πολυγώνου μικρότερες από 180 ο, τότε το πολύγωνο είναι κυρτό (convex). -- Ένα πολύγωνο που δεν είναι κυρτό είναι κοίλο (concave) Οι αλγόριθμοι γραφικών είναι πιο περίπλοκοι για κοίλα πολύγωνα για αυτό είναι αποδοτικότερο να χωρίζουμε πριν την επεξεργασία ένα κοίλο πολύγωνο σε ένα σύνολο από κυρτά πολύγωνα.

43 43 Κοίλα Πολύγωνα Αναγνώριση κοίλων πολυγώνων: -- Μια εσωτερική γωνία πολυγώνου μεγαλύτερη από 180 ο -- Προέκταση κάποιων πλευρών τέμνει τις άλλες πλευρές -- Κάποιο ζεύγος εσωτερικών σημείων παράγει ευθύγραμμο τμήμα που τέμνει το σύνορο του πολυγώνου.

44 44 Διαίρεση Κοίλων Πολυγώνων Διαίρεση κοίλων πολυγώνων: -- Διανυσματική μέθοδο -- Περιστροφική μέθοδο -- Σε σύνολο τριγώνων Σχηματίζουμε τα διανύσματα των πλευρών (vector edges). Υπολογίζουμε το εξωτερικό γινόμενο διαδοχικών (ανά δυο) διανυσμάτων, αν στα αποτέλεσματα υπάρχει > 0 και < 0 τότε το πολύγωνο είναι κοίλο

45 45 Διαίρεση Κοίλων Πολυγώνων Διανυσματική μέθοδος - Παράδειγμα Πολύγωνο με έξι πλευρές στο επίπεδο xy και z=0 και διανύσματα πλευρών [ Ε 3 =(3,0,0) (2,1,0)=(3-2, 0-1,0) = (1,-1,0) ] Το εξωτερικό γινόμενο (cross product) E j x E k είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο xy με τιμή E jx E ky - E kx E jy E 1 x E 2 =E 1x E 2y E 2x E 1y = (1*1 1*0)= 1 E 2 x E 3 =E 2x E 3y E 3x E 2y = (1*(-1) 1*1)= -2

46 46 Διαίρεση Κοίλων Πολυγώνων Διανυσματική μέθοδος - Παράδειγμα Καθώς μόνο το εξωτερικό γινόμενο E 2 x E 3 έχει z αρνητική τιμή, χωρίζουμε το πολύγωνο κατά μήκος της γραμμής του διανύσματος E 2. Η εξίσωση γραμμής για αυτήν την πλευρά έχει κλίση (slop) m=1 και y-τομή (y-intercept ή b) -1. Στη συνέχεια καθορίζουμε την τομή της γραμμής αυτής με τις άλλες άκρες του πολυγώνου για να το χωρίσουμε σε δύο κομμάτια. Δεν υπάρχει άλλο εξωτερικό γινόμενο με αρνητική τιμή, έτσι τα δυο νέα πολύγωνα είναι και τα δύο κυρτά.

47 47 Κανόνας μονό-ζυγό (even-odd rule algorithm) Πως μπορούμε να γνωρίζουμε αν ένα συγκεκριμένο σημείο σε ένα επίπεδο βρίσκεται στο εσωτερικό ή στο εξωτερικό μέρος ενός πολυγώνου ή είναι στο όριο ενός πολυγώνου; Ελέγχουμε πόσες φορές μια ακτίνα (ευθεία γραμμή) τέμνει τις ακμές του πολυγώνου, αρχίζοντας από ένα σημείο και προχωρώντας σε οποιαδήποτε σταθερή-ευθεία κατεύθυνση: -- Εάν ο αριθμός των διασταυρώσεων της ακτίνας (ευθείας) με τις ακμές του πολυγώνου είναι περιττός αριθμός τότε το συγκεκριμένο σημείο βρίσκεται μέσα στα όρια του πολυγώνου, εάν είναι ζυγός τότε είναι εκτός. [ΟΚ, όσο το σημείο δεν είναι πάνω στα όρια του πολυγώνου]

48 48 Πολύγωνα Τύποι πολυγώνων: -- Κυρτά -- Κοίλα -- Αυτοτέμνοντα (self-intercecting) -- Με τρύπες

49 49 Περιοχή Γεμίσματος (με χρώμα) (Fill area) Μια χρήσιμη δομή (εκτός από τα σημεία, τις γραμμές, και τις καμπύλες) για την περιγραφή μιας εικόνας, είναι μια περιοχή που είναι γεμισμένη (filled area) με κάποιο συμπαγές χρώμα. Χρησιμοποιούνται για περιγράψουν επιφάνειες στερεών αντικειμένων. Οι περιοχές γεμίσματος είναι συνήθως επίπεδες, κυρίως πολύγωνα. Οι βιβλιοθήκες γραφικών απαιτούν μια περιοχή γεμίσματος να ορίζεται ως ένα πολύγωνο.

50 50 Αλγόριθμος με γραμμές σάρωσης (Scan-Line Polygon Fill Algorithm) Η απλούστερη περιοχή για να γεμίσει (χρωματισθεί) είναι ένα πολύγωνο, επειδή κάθε σημείο τομής της γραμμή σάρωσης με τα όρια ενός πολύγωνου βρίσκεται-υπολογίζεται με την επίλυση δύο γραμμικών εξισώσεων, όπου η εξίσωση για την γραμμή σάρωσης είναι απλά y = σταθερά. Εσωτερικά pixels κατά μήκος της γραμμής σάρωσης που περνά μέσα από μια περιοχή γεμίσματος.

51 51 Αλγόριθμος με γραμμές σάρωσης (Scan-Line Polygon Fill Algorithm) Ο βασικός αλγόριθμος σάρωσης γραμμών είναι: -- Βρές τις τομές της γραμμής σάρωσης με όλες τις πλευρές του πολυγώνου -- Ταξινόμησε τις τομές αυξάνοντας την x συντεταγμένη -- Γέμισε όλα τα pixels μεταξύ δύο (ένα ζευγάρι) τομών που βρίσκονται μέσα στο πολύγωνο, κάνοντας χρήση του κανόνα μονού-ζυγού για να καθορίσεις εάν ένα σημείο είναι μέσα στην περιοχή. Το pixel μονό πλήθος τομών χρωματίζεται. -- Αν το σημείο τομής είναι κορυφή αλλάζει ο κανόνας μονό-ζυγό αλλάζει. περιττός περιττός ζυγός ζυγός

52 52 Αλγόριθμος με γραμμές σάρωσης Παράδειγμα Το γέμισμα εφαρμόζεται στα 5 pixels από x=2 έως x=6 και ζυγός ζυγός στα 4 pixels από x=12 έως x=15 περιττός περιττός ζυγός

53 53 Αλγόριθμος με γραμμές σάρωσης (Scan-Line Polygon Fill Algorithm) Ειδικές περιπτώσεις στο γέμισμα πολυγώνου με τον αλγόριθμο σάρωσης γραμμής : -- Όταν μια πλευρά του πολυγώνου είναι παράλληλη με την γραμμή σάρωσης. -- Όταν μια γραμμή σάρωσης περνά μέσα από μια κορυφή, κόβει δύο πλευρές του πολυγώνου σε εκείνο το σημείο

54 54 Scan-Line Polygon Fill Algorithm Παράδειγμα

55 55 Αλγόριθμος γεμίσματος συνόρων (Boundary-Fill Algorithm) Μια εναλλακτική προσέγγιση για την γέμισμα μιας περιοχής είναι η εξής: Να γίνει η αρχή από ένα σημείο μέσα στην περιοχή και να «χρωματισθεί» το εσωτερικό, προχωρώντας σημείο προς σημείο και φθάνοντας μέχρι τα όρια του πολυγώνου.

56 56 Αλγόριθμος γεμίσματος συνόρων (Boundary-Fill Algorithm) Υπάρχουν δύο μέθοδοι για την επεξεργασία γειτονικών pixels ενός σημείου: 1. Τέσσερα γειτονικά σημεία - Αυτές οι θέσεις των pixels είναι αριστερά, δεξιά, πάνω και κάτω από το τρέχον σημείο. - Οι περιοχές που γεμίζουν με αυτήν την μέθοδο ονομάζονται συνδεδεμένες κατά 4. Τρέχον σημείο (x,y) (x,y+1) (x-1,y) (x+1,y) (x,y-1)

57 57 Αλγόριθμος γεμίσματος συνόρων (Boundary-Fill Algorithm) void Four_Fill (int x, int y, int fill_col, int bound_col) { int curr_color; curr_color = get_color(x, y); if (curr_color!= bound_color && (curr_color!= fill_col) { set_pixel(x, y, fill_col); Four_Fill (x+1, y, fill_col, bound_col); Four_Fill (x-1, y, fill_col, bound_col); Four_Fill (x, y+1, fill_col, bound_col); Four_Fill (x, y-1, fill_col, bound_col); } }

58 58 Αλγόριθμος γεμίσματος συνόρων (Boundary-Fill Algorithm) 2. Οκτώ γειτονικά σημεία - Χρησιμοποιείται για πιο περίπλοκα σχήματα - Προσθέτονται επί πλέον 4 διαγώνια σημεία - Οι περιοχές που γεμίζουν με αυτήν την μέθοδο ονομάζονται συνδεδεμένες κατά 8. Τρέχον σημείο (x,y) (x-1,y+1) (x-1,y) (x-1,y-1) (x,y+1) (x,y-1) (x+1,y+1) (x+1,y) (x+1,y-1)

59 59 Αλγόριθμος γεμίσματος πλημμυρίδας (Flood-Fill Algorithm) Μερικές φορές θέλουμε να γεμίσουμε (ή να αλλάξουμε) χρώμα σε μια περιοχή που τα όρια της δεν καθορίζονται με μόνο ένα χρώμα. Μπορούμε να χρωματίσουμε περιοχές αντικαθιστώντας ένα καθορισμένο εσωτερικό χρώμα αντί να αναζητούμε ένα συγκεκριμένο χρώμα στα ορια (boundary color) του πολυγώνου.

60 60 Αλγόριθμος γεμίσματος πλημμυρίδας (Flood-Fill Algorithm) void FloodFill(int x,int y,int OldColor,int NewColor) { int Intensity=get_pixel(x,y); if(intensity==oldcolor) { set_pixel(x, y, NewColor); FloodFill(x+1, y, OldColor, NewColor); FloodFill(x-1, y, OldColor, NewColor); FloodFill(x, y+1, OldColor, NewColor); FloodFill(x, y-1, OldColor, NewColor); } }

61 61 Αλγόριθμος γεμίσματος πλημμυρίδας μ Αναδρομικός αλγόριθμος flood-fill με 4 κατευθύνσεις με 8 κατευθύνσεις

62 62 Τέλος

Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, Τ.Ε.Π Π.Μ, Μάθημα: Γραφικά με Η/Υ

Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, Τ.Ε.Π Π.Μ, Μάθημα: Γραφικά με Η/Υ ΓΡΑΦΙΚΑ Γέμισμα ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΕΜΙΣΜΑΤΟΣ Για τις πλεγματικές οθόνες υπάρχουν: Αλγόριθμοι γεμίσματος:, που στηρίζονται στη συνάφεια των pixels του εσωτερικού ενός πολυγώνου Αλγόριθμοι σάρωσης: που στηρίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διάλεξη #07

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διάλεξη #07 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #07 Γραμμές και Πολύγωνα: Εισαγωγή Αναπαράσταση 2D και 3D Χρωματισμός πολυγώνων

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με Η/Υ Αλγόριθμοι σχεδίασης βασικών 22D D σχημάτων (ευθεία

Γραφικά με Η/Υ Αλγόριθμοι σχεδίασης βασικών 22D D σχημάτων (ευθεία Γραφικά με Η/Υ Αλγόριθμοι σχεδίασης βασικών 2D σχημάτων (ευθεία) Σχεδίαση ευθείας θί με σάρωση (παρουσίαση προβλήματος) σχεδίαση ευθείας AB, με σάρωση, όπου A=(0,1) και B=(5,4) ποιο είναι το επόμενο pixel

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Εμφάνιση σε 2D

Γραφικά Υπολογιστών: Εμφάνιση σε 2D 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Εμφάνιση σε 2D Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Έννοιες παραθύρων (windowing) Αποκοπή (clipping)

Διαβάστε περισσότερα

Διαλέξεις #05 & #06. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Γραφικά με υπολογιστές. Αλγόριθμος Σχεδίασης Κύκλου Αλγόριθμος Σχεδίασης Έλλειψης

Διαλέξεις #05 & #06. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Γραφικά με υπολογιστές. Αλγόριθμος Σχεδίασης Κύκλου Αλγόριθμος Σχεδίασης Έλλειψης Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διαλέξεις #05 & #06 Αλγόριθμος Σχεδίασης Κύκλου Αλγόριθμος Σχεδίασης Έλλειψης Φοίβος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ - ΕΛΛΕΙΨΗΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ - ΕΛΛΕΙΨΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ - ΕΛΛΕΙΨΗΣ Μια εικόνα μπορεί να περιγραφεί με πολλούς τρόπους. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια προβολή ψηφιδοπλέγματος, μια εικόνα καθορίζεται πλήρως από το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε 3Δ. 3ο Μάθημα Αποκοπή. Γραφικα. Ευάγγελος Σπύρου

Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε 3Δ. 3ο Μάθημα Αποκοπή. Γραφικα. Ευάγγελος Σπύρου Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε 3Δ Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ Μια εικόνα μπορεί να περιγραφεί με πολλούς τρόπους. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια προβολή ψηφιδοπλέγματος, μια εικόνα καθορίζεται πλήρως από το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με υπολογιστές

Γραφικά με υπολογιστές Γραφικά με Υπολογιστές Ενότητα # 3: Εισαγωγή Φοίβος Μυλωνάς Τμήμα Πληροφορικής Φοίβος Μυλωνάς Γραφικά με υπολογιστές 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods)

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Αλγόριθμοι Σχεδίασης Γραμμών

Γραφικά Υπολογιστών: Αλγόριθμοι Σχεδίασης Γραμμών 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Αλγόριθμοι Σχεδίασης Γραμμών Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Τι είναι το pixel; Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 1. Τί ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α ; Ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α την απόστασή του από το 0 (μηδέν). ή Απόλυτη τιμή λέμε τον αριθμό χωρίς πρόσημο. 2.Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι;

Διαβάστε περισσότερα

21. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 - ΔΗΜΙΟΥΡΓΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΟ BYOB BYOB. Αλγόριθμος Διαδικασία Παράμετροι

21. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 - ΔΗΜΙΟΥΡΓΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΟ BYOB BYOB. Αλγόριθμος Διαδικασία Παράμετροι 21. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 - ΔΗΜΙΟΥΡΓΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΟ BYOB BYOB Αλγόριθμος Διαδικασία Παράμετροι Τι είναι Αλγόριθμος; Οι οδηγίες που δίνουμε με λογική σειρά, ώστε να εκτελέσουμε μια διαδικασία ή να επιλύσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 27 Φεβρουαρίου 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Βασική Σχεδίαση και Επεξεργασία

Κεφάλαιο 3 Βασική Σχεδίαση και Επεξεργασία Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Εισαγωγή... 9 Κεφάλαιο 1: Στοιχεία Λειτουργίας του Υπολογιστή και του προγράμματος AutoCAD... 11 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λειτουργικού Συστήματος... 15 Κεφάλαιο 3: Βασική Σχεδίαση

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, τα γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Βασικά Μαθηματικά

Γραφικά Υπολογιστών: Βασικά Μαθηματικά 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Βασικά Μαθηματικά Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Εισαγωγή Ένα μεγάλο κομμάτι των γραφικών αφορά βασίζονται-

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνιδάκια με τη LOGO

Παιχνιδάκια με τη LOGO Όταν σβήνει ο υπολογιστής ξεχνάω τα πάντα. Κάτι πρέπει να γίνει Κάθε φορά που δημιουργώ ένα πρόγραμμα στη Logo αυτό αποθηκεύεται προσωρινά στη μνήμη του υπολογιστή. Αν θέλω να διατηρηθούν τα προγράμματά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πουλιάσης Αντώνης Φυσικός M.Sc. 2 Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου;

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; 2. Τι ξέρετε για το υπόλοιπο που προκύπτει από μια Ευκλείδεια διαίρεση; 3. Τι ονομάζουμε τέλεια

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Εκτελώντας το πρόγραμμα παίρνουμε ένα παράθυρο εργασίας Γεωμετρικών εφαρμογών. Τα βασικά κουμπιά και τα μενού έχουν την παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

> μεγαλύτερο <= μικρότερο ή ίσο < μικρότερο == ισότητα >= μεγαλύτερο ή ίσο!= διαφορετικό

> μεγαλύτερο <= μικρότερο ή ίσο < μικρότερο == ισότητα >= μεγαλύτερο ή ίσο!= διαφορετικό 5 ο Εργαστήριο Λογικοί Τελεστές, Δομές Ελέγχου Λογικοί Τελεστές > μεγαλύτερο = μεγαλύτερο ή ίσο!= διαφορετικό Οι λογικοί τελεστές χρησιμοποιούνται για να ελέγξουμε

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34

Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34 Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34 Γεωμετρική Οπτική Γνωρίζουμε τα βασικά Δηλαδή, πως το φως διαδίδεται και αλληλεπιδρά με σώματα διαστάσεων πολύ μεγαλύτερων από το μήκος κύματος. Ανάκλαση: Προσπίπτουσα ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτική πολυ-εργασία 1 - εφαρμογή στην υπολογιστική όραση

Ενδεικτική πολυ-εργασία 1 - εφαρμογή στην υπολογιστική όραση Ενδεικτική πολυ-εργασία 1 - εφαρμογή στην υπολογιστική όραση Εντοπισμός ενός σήματος STOP σε μια εικόνα. Περιγράψτε τη διαδικασία με την οποία μπορώ να εντοπίσω απλά σε μια εικόνα την ύπαρξη του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρικοί Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 35)

Γεωµετρικοί Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 35) Γεωµετρικοί Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 35) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Γινόµενα σηµεία, τοµή ευθυγράµµων τµηµάτων Εύρεση κυρτών περιβληµάτων: Ο αλγόριθµος του Grm και ο αλγόριθµος του

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση. Κατάτμηση Εικόνας

Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση. Κατάτμηση Εικόνας Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση Κατάτμηση Εικόνας Γεώργιος Παπαϊωάννου 2015 ΚΑΤΩΦΛΙΩΣΗ Κατωφλίωση - Γενικά Είναι η πιο απλή μέθοδος segmentation εικόνας Χωρίζουμε την εικόνα σε 2 (binary) ή περισσότερες στάθμες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Διατύπωση Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη από κλέφτες. Σε

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων

Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων Προσέγγιση µαθηµατικών σχηµάτων από διακριτά pixels: Ευθύγραµµο τµήµα, κύκλος, κωνικές τοµές, πολύγωνο. S/W ή H/W. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο φωτισμού Phong

Μοντέλο φωτισμού Phong ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάσθηκαν οι αλγόριθμοι απαλοιφής των πίσω επιφανειών και ακμών. Απαλοίφοντας λοιπόν τις πίσω επιφάνειες και ακμές ενός τρισδιάστατου αντικειμένου, μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία. Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006

Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία. Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006 Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006 Επισκόπηση Ετικέτες σε συνιστώσες (Component labelling) Hough μετασχηματισμοί (transforms) Πλησιέστερος

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 3 η Σειρά Ασκήσεων 1. Ένα σωματίδιο με μάζα m=4 βρίσκεται αρχικά (t=0) στη θέση x=(2,2)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ Α2 ΟΜΑΔΑ Ι. παράγωγος είναι αρνητική: f (x) = 1 2x, f

ΤΕΣΤ Α2 ΟΜΑΔΑ Ι. παράγωγος είναι αρνητική: f (x) = 1 2x, f ΤΕΣΤ Α ΟΜΑΔΑ Ι Θεωρούμε την συνάρτηση: f() = pln(+ ) για, με p>. Να διερευνηθεί αν είναι κυρτή η κοίλη. Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου p για τις οποίες η μέγιστη τιμή της βρίσκεται στο =.. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D 1 Φύλλο 2 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο με το αντίστοιχο λογισμικό του Cabri II. Περιέχει γενικές εντολές και εικονίδια που συμπεριλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς

Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #08 Αποκοπή (εισαγωγή) Σημειακή Αποκοπή Αποκοπή Ευθύγραμμων Τμημάτων (line

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx

Διαβάστε περισσότερα

Αποκοπή 4.1. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ) Τµήµα Πληροφορικής 1 2 (SCS) Θέση παρατηρητή. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών

Αποκοπή 4.1. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ) Τµήµα Πληροφορικής 1 2 (SCS) Θέση παρατηρητή. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Αποκοπή Αποκοπή αντικειµένου (π.χ. πολυγώνου) ως προς αντικείµενο αποκοπής (π.χ. πολύγωνο, πυραµίδα, κύβος). Για αποφυγή αντεστραµµένης εµφάνισης αντικειµένων όπισθεν παρατηρητή. Για σηµαντική µείωση όγκου

Διαβάστε περισσότερα

1. Ιδιότητες φακών. 1 Λεπτοί φακοί. 2 Απριλίου Βασικές έννοιες

1. Ιδιότητες φακών. 1 Λεπτοί φακοί. 2 Απριλίου Βασικές έννοιες . Ιδιότητες φακών 2 Απριλίου 203 Λεπτοί φακοί. Βασικές έννοιες Φακός είναι ένα οπτικό σύστημα με δύο διαθλαστικές επιφάνειες. Ο απλούστερος φακός έχει δύο σφαιρικές επιφάνειες αρκετά κοντά η μία με την

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Με τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής:

Με τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής: ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε. ΤΟΜΕΑΣ ΙΙΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Π. Ράλλη & Θηβών 250, 12244 Αθήνα Καθηγητής Γ. Ε. Χαμηλοθώρης αρχείο: θέμα:

Διαβάστε περισσότερα

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital: η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : Ιανουαρίου 7 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopil: α. β. γ. lim 6 lim lim sin. (Υπόδειξη: χωρίς να την αποδείξετε, χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 x y

x 2 + y 2 x y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή

Διαβάστε περισσότερα