ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ Μια εικόνα μπορεί να περιγραφεί με πολλούς τρόπους. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια προβολή ψηφιδοπλέγματος, μια εικόνα καθορίζεται πλήρως από το σύνολο των εντάσεων για τις θέσεις των στοιχείων εικόνας (pixels) στην προβολή. Από την άλλη πλευρά, μπορούμε να περιγράψουμε μια εικόνα σαν ένα σύνολο πολύπλοκων αντικειμένων, όπως είναι τα δέντρα και το έδαφος ή τα έπιπλα και οι τοίχοι, τοποθετημένα σε συγκεκριμένες συντεταγμένες θέσεις μέσα στο σκηνικό. Tα σχήματα και τα χρώματα των αντικειμένων μπορούν να περιγραφούν εσωτερικά με πίνακες των στοιχείων εικόνας ή με σύνολα από βασικές γεωμετρικές δομές, όπως είναι τα ευθύγραμμα τμήματα και οι πολυγωνικές χρωματικές περιοχές. Το σκηνικό προβάλλεται τότε είτε με το φόρτωμα των πινάκων των στοιχείων εικόνας στην μνήμη παρουσίασης είτε με σάρωση που μετατρέπει τα βασικά χαρακτηριστικά των γεωμετρικών δομών σε σχέδια στοιχείων εικόνας. Τυπικά τα πακέτα προγραμματισμού για γραφικά παρέχουν λειτουργίες που επιτρέπουν την περιγραφή ενός σκηνικού συναρτήσει τέτοιων βασικών γεωμετρικών δομών, τα οποία αναφέρονται ως αρχέγονα εξόδου, και την ομαδοποίηση συνόλων από αρχέγονα εξόδου σε πιο πολύπλοκες δομές. Κάθε αρχέγονο εξόδου καθορίζεται από δεδομένα εισόδου για τις συντεταγμένες και από άλλες πληροφορίες για τον τρόπο με τον οποίο πρέπει να προβληθεί. Τα σημεία και τα ευθύγραμμα τμήματα είναι τα απλούστερα γεωμετρικά σχήματα των εικόνων. Επιπρόσθετα, αρχέγονα εξόδου που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να κατασκευαστεί μια εικόνα περιλαμβάνουν κύκλους και άλλες κωνικές τομές, καμπύλες και επιφάνειες splines, πολυγωνικές χρωματικές περιοχές και ακολουθίες χαρακτήρων..1 ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΙ ΕΥΘΕΙΕΣ Για τον σχεδιασμό ενός σημείου σε μια CRT οθόνη, ενεργοποιείται η ηλεκτρονική ακτινοβολία για να φωτίσει το φώσφορο της οθόνης στο επιλεγμένο σημείο. Το πως θα τοποθετηθεί η ηλεκτρονική ακτινοβολία εξαρτάται από την τεχνολογία της προβολής. Ένα διανυσματικό σύστημα τυχαίας σάρωσης αποθηκεύει τις εντολές σχεδιασμού σημείου σε μια λίστα προβολής και οι τιμές των συντεταγμένων στις εντολές αυτές μετατρέπονται σε τάσεις απόκλισης που τοποθετούν την ηλεκτρονική ακτινοβολία στις θέσεις οθόνης που πρέπει να σχεδιαστούν σε κάθε κύκλο ανανέωσης. Για ένα ασπρόμαυρο σύστημα ψηφιδοπλέγματος, ένα σημείο σχεδιάζεται θέτοντας την τιμή του bit που αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη θέση στην οθόνη μέσα στην μνήμη παρουσίασης ίση με 1. Τότε καθώς η ακτινοβολία περνάει από κάθε οριζόντια γραμμή σάρωσης, εκπέμπει μια δέσμη ηλεκτρονίων (σχεδιάζει ένα σημείο) όταν συναντά την Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, Τ.Ε.Π Π.Μ 1

2 τιμή 1 στην μνήμη παρουσίασης. Σε ένα σύστημα RGB, η μνήμη παρουσίασης φορτώνει τους κωδικούς χρώματος για τις εντάσεις που πρέπει να προβληθούν στις θέσεις οθόνης των στοιχείων εικόνας. Ο σχεδιασμός της ευθείας πετυχαίνεται με τον υπολογισμό ενδιάμεσων θέσεων κατά μήκος μιας νοητής ευθείας ανάμεσα σε δυο συγκεκριμένες τελικές θέσεις. Η συσκευή εξόδου παίρνει τότε εντολή να συμπληρώσει τις θέσεις αυτές ανάμεσα στα τελικά σημεία. Οι ψηφιακές συσκευές προβάλλουν ένα ευθύγραμμο τμήμα σχεδιάζοντας διακεκριμένα σημεία μεταξύ των δυο άκρων. Οι διακεκριμένες συντεταγμένες θέσεις κατά μήκος της νοητής γραμμής υπολογίζονται από την εξίσωση της ευθείας. Για μια οπτική παρουσίαση ψηφιδοπλέγματος, το χρώμα της ευθείας (ένταση) φορτώνεται στην μνήμη παρουσίασης στις αντίστοιχες συντεταγμένες στοιχείων εικόνας. ιαβάζοντας από τη μνήμη παρουσίασης, ο οπτικός ελεγκτής "σχεδιάζει" τα στοιχεία εικόνας της οθόνης. Οι θέσεις επάνω στην οθόνη σημειώνονται μόνο με ακέραιες τιμές, οπότε οι σχεδιασμένες θέσεις μπορούν μόνο να προσεγγίσουν τις πραγματικές θέσεις πάνω στην ευθεία μεταξύ δυο διακεκριμένων άκρων. Αυτή η στρογγυλοποίηση των συντεταγμένων σε ακέραιες τιμές κάνει τις ευθείες να παρουσιάζονται με βαθμιδωτό τρόπο (τα "δοντάκια"), όπως φαίνεται στην Εικόνα Pixel (3, 5) Εικόνα -1: Πλεγματική οθόνη Η χαρακτηριστική οδοντωτή εικόνα των ευθειών ψηφιδοπλέγματος είναι ιδιαίτερα εμφανής σε συστήματα με χαμηλή ανάλυση. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, Τ.Ε.Π Π.Μ

3 Για τους αλγόριθμους γραφικών ψηφιδοπλέγματος σε επίπεδο μηχανής που μελετώνται στο κεφάλαιο αυτό, οι θέσεις των αντικειμένων καθορίζονται απευθείας με ακέραιες συντεταγμένες. Προς το παρόν, υποθέτουμε ότι οι θέσεις των στοιχείων εικόνας δίνονται από τον αριθμό της γραμμής σάρωσης και τον αριθμό της στήλης (θέση του στοιχείου εικόνας κατά μήκος μιας γραμμής σάρωσης). Αυτός ο τρόπος αναφοράς φαίνεται στην εικόνα.. Οι γραμμές σάρωσης είναι αριθμημένες διαδοχικά από το 0, ξεκινώντας από την βάση της οθόνης. Οι στήλες των στοιχείων οθόνης είναι αριθμημένες από το 0, από αριστερά προς τα δεξιά κατά μήκος κάθε γραμμής σάρωσης. Εικόνα. Οι θέσεις των στοιχείων εικόνας αναφορικά με τον αριθμό γραμμής σάρωσης και τον αριθμό στήλης. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΕΥΘΕΙΩΝ Η καρτεσιανή εξίσωση κλίσης - τομής για μια ευθεία είναι: y = m x + b (.1) όπου το m παριστάνει την κλίση της ευθείας και το b την τομή με τον άξονα των y. εδομένου ότι τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος έχουν καθοριστεί στις θέσεις (x 1, y 1 ), (x, y ), όπως φαίνεται στην εικόνα.3, μπορούμε να καθορίσουμε τις τιμές της κλίσης m και της τομής b με τους ακόλουθους υπολογισμούς: m b y y1 x x1 y m = (.) = 1 x1 (.3) Οι αλγόριθμοι που παρουσιάζουν ευθείες βασίζονται στην εξίσωση ευθείας (.1) και στους υπολογισμούς που δίνονται από τις εξισώσεις (.), (.3). Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, Τ.Ε.Π Π.Μ 3

4 Εικόνα -3 Η ευθεία βρίσκεται μεταξύ των σημείων (x 1, y 1 ) και (x, y ) Για κάθε δοθέν διάστημα x πάνω στον άξονα των x μπορούμε να υπολογίσουμε ένα αντίστοιχο διάστημα y στον άξονα των y από την εξίσωση (.) ως εξής: y = m x (.4) Ανάλογα, μπορούμε να βρούμε ένα διάστημα x πάνω στον x άξονα που να αντιστοιχεί σε διάστημα y του y άξονα από τη σχέση: y x = (.5) m Οι εξισώσεις αυτές αποτελούν τη βάση για τον προσδιορισμό της απόκλισης σε αναλογικές συσκευές. Για ευθεία με εύρος κλίσης m < 1, το διάστημα x μπορεί να είναι ανάλογο με μια μικρή οριζόντια απόκλιση και η αντίστοιχη κάθετη απόκλιση θα είναι τότε ανάλογη προς το y, όπως αυτό υπολογίζεται από την εξίσωση (.4). Για ευθείες των οποίων οι κλίσεις έχουν εύρος m > 1, το y μπορεί να τεθεί ανάλογα με μια μικρή κάθετη τάση απόκλισης, και την αντίστοιχη οριζόντια τάση απόκλισης ανάλογη με το x, όπως υπολογίζεται από την εξίσωση (.5). Για ευθείες με m = 1, x = y και οι οριζόντιες και κάθετες τάσεις απόκλισης είναι ίσες. Σε κάθε περίπτωση, παράγεται μια ομαλή ευθεία με κλίση τη μεταξύ των δεδομένων σημείων. Στα συστήματα ψηφιδοπλέγματος, οι ευθείες σχεδιάζονται με στοιχεία εικόνας και το μέγεθος του βήματος στις οριζόντιες και κάθετες διευθύνσεις περιορίζεται από τον διαχωρισμό των στοιχείων εικόνας. Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει να "πάρουμε δείγματα" μιας ευθείας σε διακεκριμένες θέσεις και να καθορίσουμε το πλησιέστερο στοιχείο εικόνας στην ευθεία για κάθε τμήμα του δείγματος. Αυτή η διαδικασία αντιστροφής σάρωσης απεικονίζεται στην εικόνα..4, για μια σχεδόν οριζόντια ευθεία με διακεκριμένες θέσεις - δείγματα κατά μήκος του άξονα των x. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, Τ.Ε.Π Π.Μ 4

5 x Εικόνα.4 Ευθύγραμμο τμήμα με τέσσερις θέσεις-δείγματα κατά μήκος του x- άξονα μεταξύ των x 1 και x..1 Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ DDA Ο ψηφιακός διαφορικός αναλυτής (digital differential analyzer (DDA)) είναι ένας αλγόριθμος αναστροφής σάρωσης ευθείας βασισμένος τον υπολογισμό είτε του x ή του y, με τη χρήση των εξισώσεων (.4) ή (.5). Παίρνουμε δείγματα από την ευθεία κατά μοναδιαία διαστήματα ως προς την μια συντεταγμένη και καθορίζουμε τις αντίστοιχες ακέραιες τιμές της άλλης συντεταγμένης που βρίσκονται πλησιέστερα στην ευθεία. Στη συνέχεια θεωρούμε ότι έχουμε σχεδίαση από αριστερά προς δεξιά. Θεωρούμε κατ' αρχήν μια ευθεία με θετική κλίση, όπως φαίνεται στην εικόνα -3. Αν η κλίση είναι μικρότερη ή ίση του 1, παίρνουμε το δείγμα σε μοναδιαία διαστήματα του x- άξονα ( x = 1) και υπολογίζουμε τις διαδοχικές τιμές του y από τη σχέση: y κ+1 = y κ + m (.6) ο δείκτης κ παίρνει ακέραιες τιμές ξεκινώντας από το 1, για το πρώτο σημείο, και αυξάνεται κατά 1 μέχρι να φτάσουμε στο τέλος της ευθείας. Επειδή το m μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός μεταξύ 0 και 1, οι τιμές του y που υπολογίζουμε πρέπει να στρογγυλοποιηθούν στον πλησιέστερο ακέραιο. Για ευθείες με θετική κλίση μεγαλύτερη του 1, αντιστρέφουμε τους ρόλους των x και y. Αυτό σημαίνει ότι παίρνουμε δείγμα από μοναδιαία διαστήματα του y-άξονα ( y=1) και υπολογίζουμε τις διαδοχικές τιμές του x από τη σχέση: 1 xk + 1 = xk + (.7) m Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, Τ.Ε.Π Π.Μ 5

6 Οι εξισώσεις (.6) και (.7) βασίζονται στην υπόθεση ότι η επεξεργασία της ευθείας γίνεται από το αριστερό άκρο προς το δεξί άκρο (Εικόνα -). Αν η φορά της επεξεργασίας αντιστραφεί, έτσι ώστε το σημείο εκκίνησης να είναι το δεξί άκρο, τότε θα έχουμε είτε x =-1 και y κ+1 = y κ - m (.8) ή (όταν η κλίση είναι μεγαλύτερη του 1) y =-1 και 1 xk + 1 = xk (.9) m Οι εξισώσεις (.6) έως και (.9) μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για τον υπολογισμό της θέσης των στοιχείων εικόνας κατά μήκος μιας ευθείας με αρνητική κλίση. Αν η απόλυτη τιμή της κλίσης είναι μικρότερη του 1 και το άκρο εκκίνησης βρίσκεται στα αριστερά, θέτουμε x = 1 και υπολογίζουμε τις τιμές του y από την εξίσωση (.6). Όταν το σημείο εκκίνησης βρίσκεται στα δεξιά (για την ίδια πάντα κλίση), θέτουμε x = -1 και παίρνουμε τις θέσεις του y από την εξίσωση (.8). Ανάλογα, όταν η απόλυτη τιμή της αρνητικής κλίσης είναι μεγαλύτερη του 1, θέτουμε y=-1 και υπολογίζουμε από την εξίσωση (.9) ή θέτουμε y=1 και την εξίσωση (.7). Ο αλγόριθμος αυτός συνοψίζεται στην παρακάτω διαδικασία, η οποία έχει σαν δεδομένα εισόδου τις ακραίες θέσεις των στοιχείων εικόνας. Οι οριζόντιες και οι κάθετες διαφορές μεταξύ των ακραίων θέσεων τοποθετούνται στις παραμέτρους x και y. Η διαφορά με το μέγιστο εύρος καθορίζει την τιμή της παραμέτρου steps. Ξεκινώντας από τη θέση του στοιχείου εικόνας (x a, y a ), καθορίσουμε την μετατόπιση που χρειάζεται σε κάθε βήμα για να παράγουμε την επόμενη θέση του στοιχείου εικόνας κατά μήκος της ευθείας. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία steps φορές. Αν το εύρος του x (απόλυτη τιμή) είναι μεγαλύτερο από το εύρος του y και το x a είναι μικρότερο από το x b, οι τιμές της αύξησης κατά μήκος των αξόνων x και y θα είναι αντίστοιχα 1 και m. Αν η μέγιστη αλλαγή γίνεται κατά τη διεύθυνση των x, αλλά το x a είναι μεγαλύτερο από το x b, τότε οι μειώσεις -1 και -m χρησιμοποιούνται για να παράγουν το κάθε καινούριο σημείο της ευθείας. Αλγόριθμος Ευθείας DDA 1. Εισάγουμε τις συντεταγμένες των άκρων (x a, y a,x b, y b ). Υπολογίζουμε τα x και y Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, Τ.Ε.Π Π.Μ 6

7 3. Αν abs( x) > abs( y) τότε step = abs( x) αλλιώς step = abs( y) 4. Καθορίζουμε την μετατόπιση για το επόμενο pixel, xs = x / step & ys = y / step 5. Ενεργοποιούμε το πρώτο σημείο 6. θέτουμε x = x + xs & y = y + ys, για τον υπολογισμό των ενδιάμεσων σημείων 7. Επαναλαμβάνουμε το «βήμα 6» step φορές Ο αλrόριθμος DDA είναι ταχύτερη μέθοδος για τον υπολογισμό των θέσεων των στοιχείων εικόνας από την απ' ευθείας χρήση της εξίσωσης (.1). Απαλείφει τον πολλαπλασιασμό της εξίσωσης (.1) κάνοντας χρήση των χαρακτηριστικών του ψηφιδοπλέγματος ώστε να γίνουν κατάλληλες αυξήσεις κατά την x ή την y συντεταγμένη και να περάσουμε στις θέσεις των στοιχείων εικόνας κατά μήκος της ευθείας. Παρ' όλα αυτά, η συσσώρευση του σφάλματος στρογγυλοποίησης κατά τις διαδοχικές προσθέσεις μπορεί να προκαλέσει την απόκλιση των υπολογιζόμενων θέσεων των στοιχείων εικόνας από την πραγματική ευθεία για μεγάλα ευθύγραμμα τμήματα. Επιπλέον οι εργασίες στρογγυλοποίησης και οι πράξεις με αριθμούς κινητού σημείου στην διαδικασία της δημιουργίας γραμμής με τον αλγόριθμο DDA εξακολουθούν να απαιτούν πολύ χρόνο για εκτέλεση. Μπορούμε να βελτιώσουμε την εκτέλεση του αλγόριθμου DDA διαχωρίζοντας τις αυξήσεις m και 1/m σε ακέραιο και κλασματικό μέρος έτσι ώστε όλοι οι υπολογισμοί να γίνονται με ακέραιες πράξεις. Στις επόμενες παραγράφους θα θεωρήσουμε πιο γενικές διαδικασίες γραμμών σάρωσης που μπορούν να εφαρμοστούν τόσο για ευθείες όσο και για καμπύλες... Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΕΥΘΕΙΩΝ ΤΟΥ BRESENHAM. Ένας ακριβής και αποτελεσματικός αλγόριθμος ψηφιδοπλέγματος για την παραγωγή ευθειών, ο οποίος αναπτύχθηκε από τον Bresenham, σχεδιάζει τις ευθείες χρησιμοποιώντας μόνο ακέραιους αυξητικούς υπολογισμούς που μπορούν να προσαρμοστούν για την προβολή κύκλων και άλλων καμπύλων. Οι Εικόνες -5 και -6 απεικονίζουν τμήματα μιας οθόνης προβολής στην οποία πρέπει να ζωγραφιστούν τα ευθύγραμμα τμήματα. Οι κατακόρυφοι άξονες δείχνουν τις θέσεις των γραμμών σάρωσης και οι οριζόντιοι άξονες ταυτίζονται με τις στήλες των στοιχείων εικόνας. Η δειγματοληψία σε μοναδιαία διαστήματα του άξονα x στα παραδείγματα αυτά, μας οδηγεί στην ανάγκη να αποφασίσουμε ανάμεσα σε δυο πιθανές θέσεις στοιχείων εικόνας για το ποιο βρίσκεται πιο κοντά στην ευθεία σε κάθε βήμα της δειγματοληψίας. Ξεκινώντας από το αριστερό άκρο, που φαίνεται στο Εικόνα -5, πρέπει να αποφασίσουμε αν στο Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, Τ.Ε.Π Π.Μ 7

8 επόμενο βήμα της δειγματοληψίας θα σχεδιάσουμε το στοιχείο εικόνας στην θέση (11,11) ή στην θέση (11,1). Ανάλογα, η Εικόνα -6 δείχνει ένα ευθύγραμμο τμήμα με αρνητική κλίση το οποίο ξεκινάει από το αριστερό άκρο με θέση στοιχείου εικόνας (50, 50). Εδώ, θα επιλέξουμε την επόμενη θέση στοιχείου εικόνας σαν (51, 50) ή σαν (51, 49); Αυτές οι ερωτήσεις παίρνουν απάντηση με τον αλγόριθμο ευθειών του Bresenham με την βοήθεια του ελέγχου του πρόσημου μιας ακεραίας παραμέτρου, της οποίας η τιμή είναι ανάλογη της διαφοράς των αποκλίσεων των δυο θέσεων στοιχείων εικόνας από την πραγματική ευθεία Εικόνα -5: Τμήμα οθόνης στην οποία πρέπει να σχεδιαστεί ένα ευθύγραμμο τμήμα ξεκινώντας από το στοιχείο εικόνας στη στήλη 10 στη γραμμή σάρωσης Εικόνα -6: Τμήμα οθόνης όπου ένα ευθύγραμμο τμήμα με αρνητική κλίση πρέπει να σχεδιαστεί ξεκινώντας από το στοιχείο εικόνας στην στήλη 50 στην γραμμή σάρωσης 50. Για την περιγραφή της προσέγγισης του Bresenham, κατ' αρχήν θεωρούμε την διαδικασία για ευθείες με θετική κλίση μικρότερη του 1. Οι θέσεις των στοιχείων εικόνας κατά μήκος μιας γραμμής καθορίζονται με δειγματοληψία σε μοναδιαία διαστήματα του άξονα x. Ξεκινώντας από το αριστερό άκρο (x 0,y 0 ) μιας ευθείας, περνάμε σε κάθε διαδοχική στήλη (θέση ως προς x) και σχεδιάζουμε το στοιχείο εικόνας του οποίου η τιμή της γραμμής σάρωσης y είναι πλησιέστερα στην ευθεία. Η Εικόνα -7 δείχνει το κ-οστό βήμα αυτής της διαδικασίας. Υποθέτοντας ότι έχουμε καθορίσει το στοιχείο εικόνας στην θέση (x κ,y κ ) για σχεδιασμό, θα πρέπει να αποφασίσουμε ποιο στοιχείο εικόνας θα σχεδιάσουμε στη στήλη x κ+1. Οι επιλογές μας είναι τα στοιχεία εικόνας στις θέσεις (x κ+1, y κ ), (x κ+1, y κ+1 ). Στην θέση x κ+1 συμβολίζουμε με d 1 και d τις κατακόρυφες αποκλίσεις από το μαθηματικό μοντέλο της ευθείας για τα στοιχεία εικόνας (Εικόνα -8). Η y Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, Τ.Ε.Π Π.Μ 8

9 συντεταγμένη του μαθηματικού μοντέλου για τη στήλη x κ+1 του στοιχείου εικόνας υπολογίζεται από τη σχέση: y = m(x κ + 1) +b (.10) Ενώ d 1 = y - y κ = m(x κ + 1) + b - y k και d = (y κ + 1) - y = y κ m(x κ + 1) -b Η διαφορά μεταξύ των δυο αποκλίσεων είναι: d 1 - d = m(x κ + 1) - y κ + b -1 (.11) Μια παράμετρος απόφασης ρ κ για το κ βήμα του αλγόριθμου μπορεί να επιτευχθεί με την αναδιάταξη της εξίσωσης (.11) ώστε να περιλαμβάνει μόνο ακέραιους υπολογισμούς. Αυτό το πετυχαίνουμε θέτοντας m = y / x, όπου x και y είναι οι οριζόντιες και οι κατακόρυφες αποκλίσεις των άκρων, και ορίζοντας: ρ κ = x(d1 d) = y x κ - x y κ + c (.1) Το πρόσημο του ρ κ είναι ίδιο με το πρόσημο του d 1 -d, αφού x > 0 για το παράδειγμά μας. Η παράμετρος c είναι σταθερή και έχει τιμή y + x(b-1), που είναι ανεξάρτητη από τα x κ και y κ. Αν το στοιχείο εικόνας στο y κ είναι πιο κοντά στην ευθεία απ' ότι το στοιχείο εικόνας στο y κ +1 (δηλαδή d 1 <d ), τότε η παράμετρος απόφασης ρ κ είναι αρνητική. Σ' αυτή την περίπτωση σχεδιάζουμε το χαμηλότερο στοιχείο εικόνας, διαφορετικά σχεδιάζουμε το υψηλότερο στοιχείο εικόνας. Οι αλλαγές των συντεταγμένων κατά μήκος της ευθείας παρουσιάζονται με μοναδιαία βήματα είτε κατά την x είτε κατά την y κατεύθυνση. Επομένως μπορούμε να πάρουμε τις διαδοχικές τιμές των παραμέτρων απόφασης χρησιμοποιώντας αναδρομικούς ακέραιους υπολογισμούς. Στο (κ+1) βήμα η παράμετρος απόφασης υπολογίζεται από την εξίσωση (.1): ρ κ+1 = y x κ+1 - x y κ+1 + c Αφαιρώντας την εξίσωση (.1) από την παραπάνω εξίσωση έχουμε: ρ κ+1 - ρ κ = y (x κ+1 - x κ ) - x(y κ+1 - y κ ) Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, Τ.Ε.Π Π.Μ 9

10 Αλλά x κ+1 = x κ +1, οπότε: ρ κ+1 = ρ κ + y - x(y κ+1 - y κ ) (.13) όπου ο όρος y κ+1 - y κ είναι είτε 0 ή 1, ανάλογα με το πρόσημο της παραμέτρου ρ κ. Εικόνα -7: Τμήμα του πλέγματος της οθόνης που απεικονίζει ένα στοιχείο εικόνας στην στήλη x κ και τη γραμμή σάρωσης y κ που πρέπει να σχεδιαστεί κατά μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος με κλίση 0<m<1 Εικόνα -8: Οι αποστάσεις μεταξύ των θέσεων των στοιχείων εικόνας και της συντεταγμένης y της ευθείας στην θέση - δείγμα x κ+1. xk xk+1 xk+ xk+3 Αυτός ο αναδρομικός υπολογισμός των παραμέτρων απόφασης εκτελείται σε κάθε ακέραια θέση για το x, ξεκινώντας από το αριστερό άκρο της ευθείας. Η πρώτη παράμετρος ρ ο υπολογίζεται από την εξίσωση (.1) για την αρχική θέση του στοιχείου εικόνας (x ο, y ο ) και με m = y/ x: ρ ο = y - x (.14) Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, Τ.Ε.Π Π.Μ 10

11 Μπορούμε να συνοψίσουμε τον σχεδιασμό μιας ευθείας με τη μέθοδο Bresenham για μια ευθεία με θετική κλίση μικρότερη του 1 στα παρακάτω βήματα. Οι σταθερές y - x υπολογίζεται μια φορά για κάθε ευθεία που θα μετατραπεί με σάρωση, ώστε οι πράξεις να περιλαμβάνουν μόνο ακέραια πρόσθεση και αφαίρεση αυτών των δυο σταθερών. Αλγόριθμος Σχεδιασμού Ευθειών Bresenham 1. Εισάγουμε τα δυο άκρα της ευθείας και αποθηκεύουμε το αριστερό άκρο στο (x ο, y ο ).. Σχεδιάζουμε το πρώτο σημείο. 3. Υπολογίζουμε τις σταθερές x, y, y και y - x και παίρνουμε την αρχική τιμή για την παράμετρο απόφασης: ρ ο = y - x 4. Για κάθε x κ κατά μήκος της ευθείας, ξεκινώντας από κ=0, κάνουμε το παρακάτω τεστ: Αν ρ κ < 0, το επόμενο σημείο για σχεδίαση είναι το (x κ +1, y κ ) και ρ κ+1 = ρ κ + y Αλλιώς, το επόμενο σημείο για σχεδίαση είναι το (x κ +1, y κ +1) και ρ κ+1 = ρ κ + y - x 5. Επαναλαμβάνουμε το βήμα 4, για x φορές Παράδειγμα -1: Σχεδιασμός ευθείας Bresenham Για να γίνει κατανοητός ο αλγόριθμος, θα σχεδιάσουμε την ευθεία με άκρα (0,10) και (30,18). Η ευθεία αυτή έχει κλίση 0,8 με x = 10, y = 8. Η αρχική παράμετρος απόφασης έχει τιμή ρ ο = y - x = 6. Οι αυξήσεις για τον υπολογισμό των διαδοχικών παραμέτρων απόφασης είναι: y=16, y - x = -4. Σχεδιάζουμε το αρχικό σημείο (x ο, y ο ) = (0,10) και καθορίζουμε τις διαδοχικές θέσεις των στοιχείων εικόνας κατά μήκος της ευθείας από την τιμή της παραμέτρου απόφασης ως εξής: κ ρ κ (x κ+1, y κ+1 ) κ ρ κ (x κ+1, y κ+1 ) 0 6 1, ,15 1,1 6 7,16-3,1 7-8, , , , ,18 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, Τ.Ε.Π Π.Μ 11

12 Ο σχεδιασμός των στοιχείων εικόνας που παράγονται κατά μήκος της ευθείας φαίνεται στην Εικόνα Εικόνα -9: Οι θέσεις των στοιχείων εικόνας κατά μήκος του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα (0,10), (30,18), σχεδιασμένες με τον αλγόριθμο σχεδιασμού Bresenham Ο αλγόριθμος του Bresenham γενικεύεται για ευθείες με τυχαία κλίση, αν λάβουμε υπόψη μας τη συμμετρία μεταξύ των τεταρτημορίων του x y επιπέδου και των χωρίων στα οποία διαμερίζεται ο χώρος από το σύστημα συντεταγμένων. Για μια ευθεία με θετική κλίση μεγαλύτερη του 1, εναλλάσσουμε τους ρόλους των x και y διευθύνσεων. Αυτό σημαίνει ότι μετακινούμαστε κατά τη διεύθυνση των y με μοναδιαία βήματα και υπολογίζουμε τις διαδοχικές τιμές του x κοντά στην ευθεία. Επιπλέον μπορούμε να αναδιαμορφώσουμε το πρόγραμμα ώστε να σχεδιάζει στοιχεία εικόνας ξεκινώντας από άλλο άκρο. Αν η αρχική θέση σε μια ευθεία με θετική κλίση είναι το δεξί άκρο, τότε τόσο το x όσο και το y μειώνονται καθώς μετακινούμαστε από τα δεξιά προς τ' αριστερά. Για να βεβαιωθούμε ότι τα ίδια στοιχεία εικόνας σχεδιάζονται ανεξάρτητα από το άκρο εκκίνησης, επιλέγουμε πάντα το υψηλότερο (ή το χαμηλότερο) από δυο υποψήφια στοιχεία εικόνας όταν οι δυο κατακόρυφες αποκλίσεις από την ευθεία είναι ίσες (d1 = d). Για αρνητικές κλίσεις, οι διαδικασίες είναι παρόμοιες, εκτός από το γεγονός ότι τώρα η μια συντεταγμένη μειώνεται καθώς η άλλη αυξάνεται. Τέλος, ειδικές περιπτώσεις μπορούν να αντιμετωπιστούν χωριστά: οι οριζόντιες γραμμές ( y=0), οι κάθετες γραμμές ( x=0) και οι διαγώνιες γραμμές ( x = y) μπορούν να φορτωθούν απευθείας στη μνήμη παρουσίασης χωρίς να τις επεξεργαστούμε μέσω ενός αλγόριθμου σχεδιασμού ευθειών Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, Τ.Ε.Π Π.Μ 1

13 .3.ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΚΥΚΛΩΝ Επειδή ο κύκλος είναι ένα συχνά χρησιμοποιούμενο στοιχείο σε εικόνες και γραφήματα, στα περισσότερα πακέτα γραφικών περιλαμβάνεται μια διαδικασία που παράγει είτε πλήρεις κύκλους είτε κυκλικά τόξα. Γενικότερα, μια τέτοια διαδικασία μπορεί να προβάλλει είτε κυκλικές είτε ελλειπτικές καμπύλες..3.1.ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΝ Ένας κύκλος ορίζεται σαν το σύνολο των σημείων που βρίσκονται σε δεδομένη απόσταση R από μια κεντρική θέση (x c, y c ) (Εικόνα -10). Η σχέση της απόστασης δίνεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα σε καρτεσιανές συντεταγμένες στη μορφή: (x-x c ) + (y-y c ) = R (.15) Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση αυτή, για να υπολογίσουμε την θέση των σημείων της περιφέρειας ενός κύκλου, μετακινούμενοι κατά μήκος του άξονα x με μοναδιαία βήματα από το x c -r στο x c +r και υπολογίζοντας τις αντίστοιχες τιμές για το y από τη σχέση: (.16) Αυτή όμως δεν είναι η καλύτερη μέθοδος παραγωγής ενός κύκλου. Ένα πρόβλημα που παρουσιάζεται μ' αυτή την προσέγγιση είναι η υπερβολική ποσότητα υπολογισμών που περιέχει σε κάθε βήμα. Επιπλέον η απόσταση μεταξύ των θέσεων των σχεδιαζόμενων στοιχείων εικόνας δεν είναι ομοιόμορφη, όπως φαίνεται στην Εικόνα -11. Θα μπορούσαμε να αναπροσαρμόσουμε την απόσταση αυτή εναλλάσσοντας τα x και y (δηλαδή μετακινούμενοι κατά τις τιμές του y και υπολογίζοντας τις τιμές του x) όταν η απόλυτη τιμή της κλίσης του κύκλου είναι μεγαλύτερη του 1. Αυτό όμως απλά αυξάνει το πλήθος των υπολογισμών και την επεξεργασία που απαιτείται από τον αλγόριθμο. Ένας άλλος τρόπος για να εξαλείψουμε τις ανόμοιες αποστάσεις που φαίνονται στην Εικόνα -11 είναι να υπολογίσουμε τα σημεία στην περιφέρεια του κύκλου χρησιμοποιώντας πολικές συντεταγμένες r και θ (Εικόνα -11). Η έκφραση της Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, Τ.Ε.Π Π.Μ 13

14 εξίσωσης του κύκλου σε παραμετρική πολική μορφή δίνεται από το ζεύγος των εξισώσεων: x= x c + r cosθ y= y c + r sinθ (.17) όπου r η ακτίνα από την αρχή των αξόνων και θ η γωνία της ακτίνας r με τον άξονα x ( θ = tan -1 (y/x) ). yc xc Εικόνα -10 Κύκλος με συντεταγμένες κέντρου και ακτίνα r Εικόνα -11 Θετικό ημικύκλιο σχεδιασμένο με την εξίσωση (.16) και (x c, y c ) = (0, 0) Όταν μια προβολή παράγεται από τις εξισώσεις αυτές χρησιμοποιώντας καθορισμένο μέγεθος βήματος για τη γωνία, ο κύκλος σχεδιάζεται με σημεία της περιφέρειας που ισαπέχουν. Το μέγεθος βήματος που επιλέγεται για το θ εξαρτάται από την εφαρμογή και την μηχανή απεικόνισης. Μεγαλύτεροι γωνιακοί διαμερισμοί κατά μήκος της περιφέρειας μπορούν να συνδεθούν με μικρά ευθύγραμμα τμήματα που δημιουργούν προσέγγιση του κύκλου. Για μια πιο ομαλή καμπύλη σε μια προβολή ψηφιδοπλέγματος, μπορούμε να θέσουμε το μέγεθος του βήματος ίσο με 1/r. Αυτό σχεδιάζει στοιχεία εικόνας που απέχουν κατά προσέγγιση μιας μονάδας μεταξύ τους. Οι υπολογισμοί μπορούν να περιοριστούν αν αναλογιστούμε τη συμμετρία των κύκλων. Το σχήμα ενός κύκλου είναι παρόμοιο, σε κάθε τεταρτημόριο. Μπορούμε να παράγουμε έναν κυκλικό τομέα στο δεύτερο τεταρτημόριο του xy επιπέδου παρατηρώντας ότι οι δυο κυκλικοί τομείς στο τρίτο και το τέταρτο τεταρτημόριο μπορούν να επιτευχθούν από τους τομείς του πρώτου και του δεύτερου τεταρτημορίου, αν χρησιμοποιούμε την συμμετρία ως προς τον άξονα x. Μπορούμε να επεκταθούμε και να παρατηρήσουμε ότι Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, Τ.Ε.Π Π.Μ 14

15 υπάρχει συμμετρία και ανάμεσα στα όγδοα του κύκλου. Κυκλικοί τομείς σε γειτονικά όγδοα μέσα σ' ένα τεταρτημόριο είναι συμμετρικοί ως προς την ευθεία των 45 ο που διαιρεί τα δυο όγδοα. Αυτές οι συνθήκες συμμετρίας φαίνονται στη Εικόνα -14, όπου ένα σημείο στη θέση (x, y) σ' ένα κυκλικό τομέα του πρώτου ογδόου απεικονίζεται σε επτά σημεία του κύκλου στα υπόλοιπα όγδοα του xy επιπέδου. Εκμεταλλευόμενοι μ' αυτό τον τρόπο την συμμετρία του κύκλου, μπορούμε να παράγουμε όλες τις θέσεις των στοιχείων εικόνας κατά μήκος του κύκλου υπολογίζοντας μόνο τα σημεία του τομέα από x = 0 έως x = y. Ο καθορισμός των θέσεων των στοιχείων εικόνας κατά μήκος μιας κυκλικής περιφέρειας με τη χρήση είτε της εξίσωσης (.15) ή των εξισώσεων (.17) εξακολουθεί να απαιτεί πολύ υπολογιστικό χρόνο. Η εξίσωση (.15) παρέχει πολλαπλασιασμούς και υπολογισμούς τετραγωνικών ριζών, ενώ οι παραμετρικές εξισώσεις περιέχουν πολλαπλασιασμούς και υπολογισμούς τριγωνομετρικών αριθμών. Οι πιο αποτελεσματικοί αλγόριθμοι κύκλων βασίζονται στον αυξητικό υπολογισμό παραμέτρων απόφασης, όπως συμβαίνει στον αλγόριθμο ευθειών του Bresenham, που περιλαμβάνει μόνο απλές ακέραιες πράξεις. Ο αλγόριθμος ευθειών του Bresenham για παρουσιάσεις ψηφιδοπλέγματος προσαρμόζεται στην παραγωγή κύκλων κατασκευάζοντας παραμέτρους απόφασης για την εύρεση του πλησιέστερου στην περιφέρεια στοιχείου εικόνας σε κάθε βήμα. Η εξίσωση (.15) του κύκλου είναι όμως μη γραμμική, αφού χρειάζεται ο υπολογισμός της τετραγωνικής ρίζας για τον καθορισμό των αποστάσεων των στοιχείων εικόνας από τον κύκλο. Ο αλγόριθμος του Bresenham για κύκλους αποφεύγει τους υπολογισμούς των τετραγωνικών ριζών συγκρίνοντας τα τετράγωνα των αποστάσεων απόκλισης των στοιχείων εικόνας. Μια μέθοδος απευθείας σύγκρισης της απόστασης είναι ο έλεγχος του μέσου της απόστασης μεταξύ δυο στοιχείων εικόνας ώστε να αποφασίσουμε αν βρίσκεται μέσα ή έξω από τα όρια του κύκλου. Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται πιο εύκολα σε κωνικές τομές. Για ακέραια τιμή της ακτίνας, η προσέγγιση του μέσου σημείου δίνει τις ίδιες θέσεις στοιχείων εικόνας με τον αλγόριθμο του Bresenham για κύκλους. Επίσης το σφάλμα της τοποθέτησης των στοιχείων εικόνας κατά μήκος οποιασδήποτε κωνικής τομής με την χρήση του ελέγχου του μέσου σημείου περιορίζεται στο μισό της απόκλισης του στοιχείου εικόνας. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, Τ.Ε.Π Π.Μ 15

16 Εικόνα -14: Η συμμετρία ενός κύκλου. Ο υπολογισμός ενός σημείου (x, y) του κύκλου σε ένα όγδοο μας δίνει τα σημεία του κύκλου που φαίνονται στα υπόλοιπα επτά όγδοα..3. O ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ BRESENHAM ΓΙΑ ΚΥΚΛΟ Όπως σε έναν αλγόριθμο ψηφιδοπλέγματος για ευθείες, παίρνουμε δείγματα κατά μοναδιαία διαστήματα και καθορίζουμε την πλησιέστερη θέση στοιχείου εικόνας σ' ένα συγκεκριμένο τμήμα κύκλου στο κάθε βήμα. Για δοθείσα ακτίνα r και θέση στην οθόνη του κέντρου (x c, y c ), μπορούμε πρώτα να κατασκευάσουμε τον αλγόριθμό μας ώστε να υπολογίζει τις θέσεις των στοιχείων εικόνας για έναν κύκλο με κέντρο την αρχή των συντεταγμένων (0,0). Κατόπιν κάθε υπολογισμένη θέση (x, y) μετατοπίζεται στην κανονική της θέση στην οθόνη με την πρόθεση του x c στο x και του y c στο y. Κατά μήκος του κυκλικού τομέα από x = 0 έως x = y, η κλίση της καμπύλης κυμαίνεται από 0 έως -1. Επομένως μπορούμε να πάρουμε μοναδιαία βήματα για την θετική κατεύθυνση των x σ' αυτό το όγδοο και να χρησιμοποιήσουμε μια παράμετρο απόφασης για να καθορίσουμε ποια από τις δυο πιθανές θέσεις του y είναι πιο κοντά στον κύκλο σε κάθε βήμα. Οι θέσεις για τα υπόλοιπα επτά όγδοα καθορίζονται με την συμμετρία. Για να εφαρμόσουμε την μέθοδο του μέσου σημείου, ορίζουμε την συνάρτηση κύκλου: fκύκλου(x, y) = x + y - r (.18) Κάθε σημείο (x, y) που ανήκει στο σύνορο ενός κύκλου με ακτίνα r ικανοποιεί την εξίσωση: fκύκλου(x, y) = 0. Αν το σημείο βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου, η Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, Τ.Ε.Π Π.Μ 16

17 συνάρτηση κύκλου είναι αρνητική. Αν το σημείο βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου, η συνάρτηση κύκλου είναι θετική. Συνοψίζοντας, η σχετική θέση οποιουδήποτε σημείου (x, y) μπορεί να προσδιοριστεί από το πρόσημο της συνάρτησης κύκλου: { < 0, αν το (x, y) βρίσκεται στο εσωτερικό fκύκλου(x, y) = { = 0, αν το (x, y) βρίσκεται στο σύνορο (.19) { > 0, αν το (x, y) βρίσκεται στο εξωτερικό Η συνάρτηση κύκλου είναι μια παράμετρος απόφασης για τον αλγόριθμο και μπορούμε να κατασκευάσουμε αναδρομικές σχέσεις για την συνάρτηση αυτή όπως κάναμε και στον αλγόριθμο για τις ευθείες. Η Εικόνα -15 δείχνει το μέσο σημείο μεταξύ των δυο υποψήφιων στοιχείων εικόνας στην θέση δείγματος x κ +1. Υποθέτοντας ότι μόλις σχεδιάσαμε το στοιχείο εικόνας στη θέση (x κ, y κ ), θέλουμε να αποφασίσουμε αν το στοιχείο εικόνας στη θέση (x κ+1, y κ ) ή αυτό στη θέση (x κ +1, y κ -1) είναι πιο κοντά στον κύκλο. Η παράμετρος απόφασης είναι η συνάρτηση κύκλου (.18) υπολογισμένη για το μέσο σημείο αυτών των δυο στοιχείων εικόνας: ρ κ = fκύκλου(x κ +1, y κ - 1/) = (x κ +1) + ( y κ - 1/) - r (.0) Αν ρ κ < 0, τότε το μέσο σημείο βρίσκεται μέσα στον κύκλο και το στοιχείο εικόνας που βρίσκεται στη γραμμή σάρωσης y κ βρίσκεται πιο κοντά στο σύνορο του κύκλου. ιαφορετικά η μέση θέση βρίσκεται πάνω ή έξω από τον κύκλο και επιλέγουμε το στοιχείο εικόνας που είναι στην γραμμή σάρωσης y κ - 1. Οι διαδοχικές παράμετροι απόφασης προκύπτουν με τη χρήση αναδρομικών υπολογισμών. Η αναδρομική έκφραση για την επόμενη παράμετρο απόφασης προκύπτει από τον υπολογισμό της συνάρτησης κύκλου στην θέση x κ = x κ + : ρ κ+1 = fκύκλου(x κ+1 +1, y κ+1-1/) = [(x κ +1)+1] + ( y κ+1-1/) - r ή ρ κ+1 = ρ κ + (x κ +1) + (y κ+1 - y κ) - ( y κ+1 - y κ) + 1 (.1) όπου το y κ+1 είναι είτε το y κ είτε το y κ -1, ανάλογα με το πρόσημο του ρ κ Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, Τ.Ε.Π Π.Μ 17

18 Εικόνα -15 Το μέσο σημείο μεταξύ δυο υποψήφιων στοιχείων εικόνων στην θέση δείγματος x i+1 κατά μήκος περιφέρειας κύκλου Η αύξηση από την οποία προκύπτει το ρ κ+1 είναι είτε το x κ+1 +1 (αν το ρ κ είναι αρνητικό) ή το x κ+1 -y κ +1. Ο υπολογισμός των όρων x κ+1 και y κ+1 μπορεί να γίνει αναδρομικά ως εξής: x κ+1 =x κ + y κ+1 = y κ - Η αρχική παράμετρος απόφασης προκύπτει από την τιμή της συνάρτησης κύκλου στο σημείο εκκίνησης (x ο, y ο ) = (Ο, r): ή ρ ο = 5/4 - r (.) Αν η ακτίνα r είναι ακέραιος, μπορούμε να στρογγυλοποιήσουμε το ρ ο σε: ρ ο = 1 - r (για r ακέραιο) αφού όλες οι αυξήσεις είναι ακέραιοι αριθμοί. Μπορούμε να συνοψίσουμε τα βήματα του αλγόριθμου μέσου σημείου για κύκλους ως εξής: Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, Τ.Ε.Π Π.Μ 18

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ - ΕΛΛΕΙΨΗΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ - ΕΛΛΕΙΨΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ - ΕΛΛΕΙΨΗΣ Μια εικόνα μπορεί να περιγραφεί με πολλούς τρόπους. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια προβολή ψηφιδοπλέγματος, μια εικόνα καθορίζεται πλήρως από το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, Τ.Ε.Π Π.Μ, Μάθημα: Γραφικά με Η/Υ

Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, Τ.Ε.Π Π.Μ, Μάθημα: Γραφικά με Η/Υ ΓΡΑΦΙΚΑ Γέμισμα ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΕΜΙΣΜΑΤΟΣ Για τις πλεγματικές οθόνες υπάρχουν: Αλγόριθμοι γεμίσματος:, που στηρίζονται στη συνάφεια των pixels του εσωτερικού ενός πολυγώνου Αλγόριθμοι σάρωσης: που στηρίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με υπολογιστές

Γραφικά με υπολογιστές Γραφικά με Υπολογιστές Ενότητα # 3: Εισαγωγή Φοίβος Μυλωνάς Τμήμα Πληροφορικής Φοίβος Μυλωνάς Γραφικά με υπολογιστές 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το

Διαβάστε περισσότερα

Διαλέξεις #05 & #06. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Γραφικά με υπολογιστές. Αλγόριθμος Σχεδίασης Κύκλου Αλγόριθμος Σχεδίασης Έλλειψης

Διαλέξεις #05 & #06. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Γραφικά με υπολογιστές. Αλγόριθμος Σχεδίασης Κύκλου Αλγόριθμος Σχεδίασης Έλλειψης Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διαλέξεις #05 & #06 Αλγόριθμος Σχεδίασης Κύκλου Αλγόριθμος Σχεδίασης Έλλειψης Φοίβος

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

21. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 - ΔΗΜΙΟΥΡΓΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΟ BYOB BYOB. Αλγόριθμος Διαδικασία Παράμετροι

21. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 - ΔΗΜΙΟΥΡΓΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΟ BYOB BYOB. Αλγόριθμος Διαδικασία Παράμετροι 21. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 - ΔΗΜΙΟΥΡΓΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΟ BYOB BYOB Αλγόριθμος Διαδικασία Παράμετροι Τι είναι Αλγόριθμος; Οι οδηγίες που δίνουμε με λογική σειρά, ώστε να εκτελέσουμε μια διαδικασία ή να επιλύσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Εισαγωγή /4 Το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων περιγράφονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y. Με εφαρμογή γεωμετρικών μετασχηματισμών στο μοντέλο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Δημήτρης Στεφανάκης Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (ΜΕΤ) χρησιμοποιείται για την κατασκευή της γραφικής παράστασης που περιγράφει ένα φαινόμενο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Oι οπτικές επιδράσεις, που μπορεί να προκαλέσει μια εικόνα στους χρήστες, αποτελούν ένα από τα σπουδαιότερα αποτελέσματα των λειτουργιών γραφικών με Η/Υ. Τον όρο της οπτικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ Α2 ΟΜΑΔΑ Ι. παράγωγος είναι αρνητική: f (x) = 1 2x, f

ΤΕΣΤ Α2 ΟΜΑΔΑ Ι. παράγωγος είναι αρνητική: f (x) = 1 2x, f ΤΕΣΤ Α ΟΜΑΔΑ Ι Θεωρούμε την συνάρτηση: f() = pln(+ ) για, με p>. Να διερευνηθεί αν είναι κυρτή η κοίλη. Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου p για τις οποίες η μέγιστη τιμή της βρίσκεται στο =.. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ Ν. Ε. Ηλιού Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Γ. Δ.

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 x y

x 2 + y 2 x y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1 Εικόνα Εισαγωγή Ψηφιακή αναπαράσταση Κωδικοποίηση των χρωμάτων Συσκευές εισόδου και εξόδου Βάθος χρώματος και ανάλυση Συμβολική αναπαράσταση Μετάδοση εικόνας Σύνθεση εικόνας Ανάλυση εικόνας Τεχνολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Θέση και Προσανατολισμός

Θέση και Προσανατολισμός Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ o ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ.) Τ ι γνωρίζετε για την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων; Σε πολλές περιπτώσεις ένα σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση, δηλαδή συμμετέχει σε περισσότερες από μία κινήσεις. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ - ΜΕΛΕΤΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ [Π. Μουρούζης, Γ. Παληός, Κ. Παπαμιχάλης, Γ. Τουντουλίδης, Ε. Τσιτοπούλου, Ι.

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ - ΜΕΛΕΤΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ [Π. Μουρούζης, Γ. Παληός, Κ. Παπαμιχάλης, Γ. Τουντουλίδης, Ε. Τσιτοπούλου, Ι. ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ - ΜΕΛΕΤΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ [Π. Μουρούζης, Γ. Παληός, Κ. Παπαμιχάλης, Γ. Τουντουλίδης, Ε. Τσιτοπούλου, Ι. Χριστακόπουλος] Για τον καθηγητή Στόχοι: Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

α) f(x(t), y(t)) = 0,

α) f(x(t), y(t)) = 0, Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1 1. Πότε τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία; Αναφέρεται παραδείγματα. Στη φυσική πολλές φορές είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τα σώματα χωρίς να λάβουμε υπόψη τις διαστάσεις τους. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση 1. Εισαγωγή Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση» δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ

Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ Χρήσιμες έννοιες Κίνηση (σχετική κίνηση) ενός αντικειμένου λέγεται η αλλαγή της θέσης του ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς. Τροχιά σώματος ονομάζουμε τη νοητή γραμμή που δημιουργεί

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Χρησιμοποιείται μόνο όταν οι τιμές της μεταβλητής έχουν ένα σταθερό άθροισμα (συνήθως 100%, όταν μιλάμε για σχετικές συχνότητες) Είναι χρήσιμο μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

7.2.1 Εκτίμηση της Καμπύλης Παλινδρόμησης της Μεταβλητής Υ πάνω στην Μεταβλητή Χ

7.2.1 Εκτίμηση της Καμπύλης Παλινδρόμησης της Μεταβλητής Υ πάνω στην Μεταβλητή Χ 7.2.1 Εκτίμηση της Καμπύλης Παλινδρόμησης της Μεταβλητής Υ πάνω στην Μεταβλητή Χ Για να προσδιορισθεί η καμπύλη παλινδρόμησης, η οποία αποτελείται από όλα τα ζεύγη σημείων τα οποία μπορούν προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Αλγόριθμοι Σχεδίασης Γραμμών

Γραφικά Υπολογιστών: Αλγόριθμοι Σχεδίασης Γραμμών 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Αλγόριθμοι Σχεδίασης Γραμμών Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Τι είναι το pixel; Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

Με τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής:

Με τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής: ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε. ΤΟΜΕΑΣ ΙΙΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Π. Ράλλη & Θηβών 250, 12244 Αθήνα Καθηγητής Γ. Ε. Χαμηλοθώρης αρχείο: θέμα:

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 + z 2 = R 2.

x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Σημειώσεις μαθήματος Μ2324 Γεωμετρική Τοπολογία Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2011 Εισαγωγή Η Γεωμετρική Τοπολογία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που μελετάει τα ολικά χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 20130510 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εγκατάσταση προγράμματος DCAD 2 2. Ενεργοποίηση Registration 2 3. DCAD 3 3.1 Εισαγωγή σημείων 3 3.2 Εξαγωγή σημείων 5 3.3 Στοιχεία ιδιοκτησίας

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 27 Φεβρουαρίου 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, τα γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διάλεξη #07

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διάλεξη #07 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #07 Γραμμές και Πολύγωνα: Εισαγωγή Αναπαράσταση 2D και 3D Χρωματισμός πολυγώνων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΤΗ ΓΛΩΣΣΑ MicroWorlds Pro

Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΤΗ ΓΛΩΣΣΑ MicroWorlds Pro Για να μπορέσουμε να εισάγουμε δεδομένα από το πληκτρολόγιο αλλά και για να εξάγουμε εμφανίσουμε αποτελέσματα στην οθόνη του υπολογιστή χρησιμοποιούμε τις εντολές Εισόδου και Εξόδου αντίστοιχα. Σύνταξη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα