Επίλυση μη γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο Newton-Raphson και εφαρμογές στη Βελτιστοποίηση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Επίλυση μη γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο Newton-Raphson και εφαρμογές στη Βελτιστοποίηση"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Επίλυση μη γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο Newto-Raphso και εφαρμογές στη Βελτιστοποίηση ιπλωµατική εργασία της Χόρτη ανάης Επιβλέπων : Κ. Χρυσαφίνος

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο Εισαγωγή..4..Επισκόπηση της εργασίας.. 5 Κεφάλαιο Εισαγωγή Μη γραμμικές εξισώσεις Τάξη (ταχύτητα) σύγκλισης Επαναληπτική μέθοδος Newto-Raphso.8.4. Η μεθοδος της τέμνουσας Η μεθοδος Muller Επαναληπτική μεθοδος του σταθερού σημείου...8 Κεφάλαιο Μη γραμμικές εξισώσεις..... Τύποι σύγκλισης Επανάληψη σταθερού σημείου Οι βασικές υποθέσεις....6 Κεφάλαιο 3 Η μέθοδος Newto Τοπική σύγκλιση της μεθόδου Newto Τερματισμός των επαναλήψεων Η αλγοριθμική μορφοποίηση της μεθόδου Newto Σφάλματα στη συνάρτηση και στην παράγωγο Η μέθοδος της χορδής Προσεγγίσεις του αντισρόφου F' Προσεγγιστικές διαφορές στον F' Το θεώρημα Katorovih Παραδείγματα στο Matlab..46 Κεφάλαιο 4 Βελτιστοποίηση Το πρόβλημα Σημειογραφία Απαραίτητες υποθέσεις Επαρκείς υποθέσεις Τετραγωνικής μορφής συναρτήσεις...5

3 Κεφάλαιο 5 Τοπική σύγκλιση της μεθόδου Newto Οι βασικές υποθέσεις Η μέθοδος Newto Σφάλματα στη συνάρτηση, στην κλίση και στον Εσσιανό πίνακα Τερματισμός των επαναλήψεων Βιβλιογραφία.7 3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Πρόλογος Ένας μεγάλος κλάδος των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών είναι η αριθμητική ανάλυση. Η αριθμητική ανάλυση ασχολείται με το σχεδιασμό, την κατασκευή και τη μελέτη μεθόδων για την προσέγγιση, με ικανοποιητικό τρόπο, των λύσεων προβλημάτων τα οποία μπορούν να εκφραστούν με μαθηματικά μοντέλα. Στην αριθμητική ανάλυση κατασκευάζουμε, αναλύουμε και μελετάμε προσεγγιστικές μεθόδους οι οποίες τελικά βασίζονται μόνο στις τέσσερεις πράξεις της αριθμητικής. Για τα μη γραμμικά συστήματα δεν μπορούμε να γνωρίζουμε τις ακριβείς λύσεις των περισσοτέρων εξισώσεων. Η μόνη λύση είναι να βρούμε προσεγγίσεις των παραπάνω λύσεων. Η ικανότητα μιας αριθμητικής μεθόδου εξαρτάται από την ευκολία με την οποία μπορεί να εφαρμοστεί, από την ακρίβειά της και από το υπολογιστικό κόστος που μπορεί να έχει. Σκοπός της αριθμητικής ανάλυσης είναι η επινόηση, η διερεύνηση και η προσαρμογή προσεγγιστικών μεθόδων για την επίλυση προβλημάτων συμπεριλαμβανομένου και την επίλυση μη γραμμικών συστημάτων. Για την προσέγγιση των λύσεων χρησιμοποιούμε επαναληπτικές μεθόδους. Σε αρκετές περιπτώσεις για την εύρεση μιας προσεγγιστικής λύσης ενός μη γραμμικού συστήματος χρησιμοποιούνται παραπάνω από μια επαναληπτικές μέθοδοι. Συχνά είναι μια καλή πρακτική να αρχίσουμε τις επαναλήψεις με μια μέθοδο που εντοπίζει περίπου τη ρίζα και μετά να εφαρμόσουμε μια ταχύτερη μέθοδο για μεγαλύτερη ακρίβεια. Η ταχύτερη μέθοδος που αναφέρθηκε παραπάνω είναι στην πλειοψηφία των περιπτώσεων η μέθοδος Newto-Raphso. Το πλεονέκτημα της μεθόδου αυτής είναι η ταχύτητα σύγκλισης, η οποία είναι μεγαλύτερη σε σχέση με τις άλλες μεθόδους και κατά συνέπεια μας δίνει το επιθυμητό αποτέλεσμα, δηλαδή λύση με μεγαλύτερη προσέγγιση. Μεγαλύτερο ενδιαφέρον στους τομείς των Μαθηματικών και της Φυσικής παρουσιάζεται στα μη γραμμικά συστήματα γιατί τα περισσότερα συστήματα στη φύση είναι μη γραμμικά. Π.χ. Τέτοια συστήματα προκύπτουν από τις μερικές διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τα καιρικά φαινόμενα. Για τη διακριτοποίηση αυτών των μοντέλων (με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων) χρειάζεται να λύσουμε συστήματα μεγάλων διαστάσεων μη γραμμικών εξισώσεων. 4

5 . Επισκόπηση της εργασίας Το πρώτο κεφάλαιο πραγματεύεται τις μη γραμμικές εξισώσεις στο χώρο των πραγματικών αριθμών. Ορίζουμε τις επαναληπτικές μεθόδους και την τάξη σύγκλισης. Περιγράφουμε την επαναληπτική μέθοδο Newto-Raphso και παραθέτουμε κάποιες παρατηρήσεις πάνω στη μέθοδο αυτή. Στη συνέχεια διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε δυο θεμελιώδη θεωρήματα και το κεφάλαιο ολοκκηρώνεται με την αναφορά στις επαναληπτικές μεθόδους της τέμνουσας, της Muller και του σταθερού σημείου. Στο δεύτερο κεφάλαιο κάνουμε μια εισαγωγή στις μη γραμμικές εξισώσεις στο χώρο των πραγματικών αριθμών Ν τάξης. Ακολουθούν οι τύποι σύγκλισης και η επανάληψη σταθερού σημείου. Δίνονται οι βασικές υποθέσεις, το λήμμα του Baah και κάποια θεωρήματα για τους προσεγγιστικούς ανάστροφους πίνακες. Το τρίτο κεφάλαιο πραγματεύται την τοπική σύγκλιση της μεθόδου Newto και παραθέτουμε το βασικό θεώρημα τοπικής σύγκλισης και το θεώρημα σύγκλισης επαναληπτικής διαδικασίας. Στη συνέχεια δίνονται κάποια κριτήρια για τον τερματισμό των επαναλήψεων, περιγράφεται η αλγοριθμική μορφοποίηση της μεθόδου Newto και διατυπώνουμε ένα θεώρημα σχετικά με τα σφάλματα στη συνάρτηση και στην παράγωγο. Ακολουθεί η περιγραφή της μεθόδου της χορδής, ένα θεώρημα για τις προσεγγίσεις του αντιστρόφου F' και γίνεται μια συζήτηση για τις προσεγγιστικές διαφορές στον F'. Το κεφάλαιο κλείνει με το θεώρημα Katorovih για τη μέθοδο της χορδής και για τη μέθοδο Newto. Στο τέταρτο κεφάλαιο ορίζεται το πρόβλημα της βελτιστοποίησης, δίνονται κάποιοι ορισμοί και διατυπώνονται δυο βασικά θεωρήματα βελτιστοποίησης. Ακολουθούν οι βασικές υποθέσεις που καθιστούν ένα σημείο το βέλτιστο σημείο του προβλήματος και οι επαρκείς υποθέσεις για βελτιστοποίηση. Ορίζουμε τις συναρτήσεις τετραγωνικής μορφής, κάνουμε συζήτηση για τον θετικά ορισμένο Εσσιανό πίνακα και το κεφάλαιο ολοκληρώνεται με μια αναφορά στον μη ορισμένο Εσσιανό πίνακα. Στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας συζητάμε για την τοπική σύγκλιση της μεθόδου Newto. Εξετάζουμε τι συμβαίνει όταν έχουμε σφάλματα στη συνάρτηση, στην κλίση και στον Εσσιανό πίνακα και διατυπώνουμε τις βασικές υποθέσεις σύγκλισης και το θεώρημα τετραγωνικής σύγκλισης. Το κεφάλαιο κλείνει με τα κριτήρια για τον τερματισμό των απαναλήψεων. Στον φάκελο r παρουσιάζουμε τη μέθοδο Newto-Raphso με δυο διαφορετικούς κώδικες. Ο κώδικας r εφαρμόζει τον επαναληπτικό τύπο της μεθόδου και ο κώδικας ewtosys χρησιμοποιεί την lu παραγοντοποίηση, τη μέθοδο των προς τα εμπρός διαφορών και τη μέθοδο των προς τα πίσω διαφορών. 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Μη γραμμικές εξισώσεις Εισαγωγή Η εύρεση λύσης για την εξίσωση f(x)=, f : R R είναι ένα από τα πιο συνηθισμένα προβλήματα στο πεδίο των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Το πρόβλημα αυτό προκύπτει συχνά και κατά φυσικό τρόπο από τη μελέτη ενός μεγάλου αριθμού πρακτικών προβλημάτων. Το πρόβλημα μπορεί να περιλαμβάνει ένα σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων με πολλές μεταβλητές ή (όπως παραπάνω) μια μη γραμμική εξίσωση μιας μόνο μεταβλητής. Στις περισσότερες περιπτώσεις η παραπάνω εξίσωση, όπου η f είναι μη γραμμική, δεν μπορεί να λυθεί με ακρίβεια, δηλαδή αναλυτικά. Ακόμα και όταν δίνεται η λύση σε κλειστή μορφή ενός ειδικού τύπου, ο τύπος αυτός απαιτεί πολλές φορές περισσότερο χρόνο για τον υπολογισμό του από γενικότερες αριθμητικές μεθόδους. Δηλαδή συχνά είναι πιο εύκολο να καταλήγουμε σε μια προσεγγιστική λύση, ακόμα και όταν είναι διαθέσιμη μια αναλυτική έκφραση για τη λύση. Μια γενική κατηγορία μεθόδων που προσεγγίζουν ρίζες μη γραμμικών εξισώσεων είναι επαναληπτικές μέθοδοι. Οι προσεγγιστικές λύσεις είναι της μορφής x g( x ) = όπου η ακολουθία { } k+ k x k k= συγκλίνει, με κατάλληλες υποθέσεις, σε μια ρίζα της εξίσωσης f ( x ) =. Η ταχύτητα της σύγκλισης εξαρτάται από τις ιδιότητες της συνάρτησης και από τη μέθοδο που χρησιμοποιούμε. Μια καλή πρακτική για την ακριβέστερη προσέγγιση κάποιας ρίζας είναι η εφαρμογή μιας μεθόδου που θα εντοπίζει περίπου τη ρίζα και στη συνέχεια η εφαρμογή μιας ταχύτερης μεθόδου για μεγαλύτερη ακρίβεια. Η τιμή του x ονομάζεται λύση ή ρίζα της εξίσωσης και μπορεί να είναι μια από πολλές λύσεις. 6

7 . Τάξη (ταχύτητα) σύγκλισης Η πλειοψηφία των μη γραμμικών εξισώσεων f ( x ) = δεν μπορεί να επιλυθεί σε ένα πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Έτσι, είμαστε αναγκασμένοι να καταφύγουμε σε μια επαναληπτική διαδικασία η οποία υπολογίζει μια ακολουθία προσεγγίσεων της λύσης και σταματάμε τη διαδικασία αυτή όταν το αποτέλεσμα είναι επαρκώς ακριβές. Το ολικό κόστος υπολογισμού της ρίζας εξαρτάται από το κόστος σε κάθε επανάληψη και από το πλήθος των επαναλήψεων που απαιτούνται για τη σύγκλιση. Η έννοια της τάξης σύγκλισης μιας μεθόδου είναι αναγκαία για τη σύγκριση της αποτελεσματικότητας των επαναληπτικών μεθόδων. Το σφάλμα στην k-επανάληψη δίνεται από τη σχέση: e = x x k k όπουx k είναι η προσέγγιση στην k-επανάληψη και x η ακριβής τιμή της ρίζας. Μερικές μέθοδοι σε προβλήματα μιας διάστασης δεν υπολογίζουν μια συγκεκριμένη προσεγγιστική λύση x k αλλά ένα διάστημα το οποίο περιέχει τη λύση. Το διάστημα συνεχώς ελαττώνεται με την πρόοδο των επαναλήψεων. Θεωρούμε το e k σαν το μήκος του διαστήματος στην k-επανάληψη. Η μέθοδος συγκλίνει με τάξη σύγκλισης r αν ισχύει: lim k e k + r e k = όπου είναι μια μη μηδενική σταθερά. Μερικές ειδικές περιπτώσεις είναι: αν r= και < η τάξη σύγκλισης είναι γραμμική αν r> η τάξη σύγκλισης είναι υπεργραμμική αν r= η τάξη σύγκλισης είναι τετραγωνική 7

8 .3 Επαναληπτική μέθοδος Newto-Raphso Η μέθοδος Newto-Raphso είναι μια από τις πιο γνωστές και εύχρηστες επαναληπτικές μεθόδους για την προσέγγιση μιας ρίζας της μη γραμμικής εξίσωσης f ( x ) =.Χρησιμοποιείται και για την επίλυση άλλων πιο δύσκολων μη γραμμικών προβλημάτων όπως για παράδειγμα συστήματα μη γραμμικών εξισώσεων και μη γραμμικών ολοκληρωτικών και διαφορικών εξισώσεων. Δεν είναι πάντα η καλύτερη μέθοδος για τη λύση ενός προβλήματος αλλά η μέθοδος αυτή ξεχωρίζει επειδή έχει ταχύτερη σύγκλιση σε σχέση με άλλες μεθόδους και αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να προκύπτουν περισσότερο ακριβείς προσεγγίσεις της λύσης σε κάθε επανάληψη. Επίσης, η μέθοδος αυτή είναι μια ειδική περίπτωση της μεθόδου του σταθερού σημείου. Κατασκευή της μεθόδου (Α) Γεωμετρική κατασκευή: Ο πιο κοινός τρόπος κατασκευής βασίζεται στη γεωμετρία. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια αρχική προσέγγιση x για την εύρεση της ρίζας της εξίσωσης f ( x ) =, f :[ ab, ] R (.5) Η μέθοδος Newto-Raphso παράγει επαναληπτικά προσεγγίσεις, ή αλλοιώς μία ακολουθία προσεγγίσεων, { : } x (.6) η οποία κάτω από κατάλληλες προϋποθέσεις θα συγκλίνει στην επιθυμητή ρίζα x. Βασική προϋπόθεση είναι η αρχική προσέγγιση x να είναι κοντά στη ρίζα x. Φέρνω την εφαπτόμενη του σημείου (x, f (x ) ) στην καμπύλη της y= f ( x) βρίσκουμε μια νέα προσέγγιση x η οποία υπολογίζεται ως σημείο τομής της εφαπτρόμενης με τον άξονα Οx. Παρατηρούμε ότι βασική υπόθεση είναι να η παράγωγος συνάρτηση να μη μηδενίζεται στα σημεία των επαναλήψεων. Ακολουθούμε την ίδια διαδικασία για κάθε προσέγγιση που βρίσκουμε για να καταλήξουμε τελικά στην επιθυμητή ρίζα της εξίσωσης (.5) Με βάση την παραπάνω διαδικασία προκύπτει το παρακάτω σχήμα: 8

9 Γράφημα. f ( x ) f ( x ) f ( x ) ta w= f '( x ) = x = x x x x x f '( x ) Γενικά, αν x - είναι μια ενδιάμεση προσέγγιση, τότε η επόμενη προσέγγιση θα δίνεται από τον παρακάτω επαναληπτικό τύπο: f ( x ) x = x, x δοθέν και =,, (.7) f '( x ) Παρατηρούμε από την (.7), πως η επαναληπτική διαδικασία ορίζεται μόνο όταν η παράγωγος δεν μηδενίζεται σε μία περιοχή γύρω από την ρίζα της εξίσωσης (.5). Δηλαδή, από την κατασκευή συμπεραίνουμε πως η Newto-Raphso είναι μία τοπική διαδικασία. Σημείωση: Βασική προϋπόθεση είναι η παράγωγος στη ρίζα να είναι διάφορη του μηδενός. Αυτό θέλουμε να ισχύει διότι από τη συνέχεια της f ' προκύπτει ότι η f '( x ) θα είναι διάφορη του μηδενός σε μια περιοχή της ρίζας x και κατά συνέπεια θα μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο της μεθόδου χωρίς να προκύψει το πρόβλημα του μηδενισμού του παρονομαστή. 9

10 (Β) Αναλυτική κατασκευή: Για την αναλυτική κατασκευή της μεθόδου Newto-Raphso χρησιμοποιούμε το πολυώνυμο Taylor. Έστω η συνάρτηση f C [ ab, ] και έστω x [ ab, ] μια προσέγγιση της ρίζας x τέτοια ώστε f '( x) και lim k e k + r e k = x x να είναι «μικρό». Θεωρώ το πολυώνυμο Taylor πρώτου βαθμού για την f(x) γύρω από το x: ( x x) f ( x) = f ( x) + ( x x) f '( x) + f ''( ξ ) (.8) όπου τοξ βρίσκεται ανάμεσα στο x και στο x. Ισχύει ότι f ( x ) = και για x= x η σχέση () γράφεται: ( x x) = f ( x) + ( x x) f '( x) + f ''( ξ ) (.9) Θεωρώ τον όρο ( x x) αρκετά μικρό οπότε μπορούμε να γράψουμε τη σχέση: f x + x x f x ( ) ( ) '( ) Και λύνοντας ως προς x προκύπτει ότι: f ( x) x x f '( x) Αν x είναι μια προσέγγιση της ρίζας x, η νέα προσέγγιση προκύπτει από τον επαναληπτικό τύπο: f ( x ) =, f '( x ) x x η οποία κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις είναι καλύτερη από τηνx.

11 Παρατηρήσεις I. Η βασική δυσκολία της μεθόδου Newto-Raphso είναι η εύρεση της αρχικής προσέγγισης x ώστε να βρίσκεται σε μια περιοχή x δ, x + δ Αν το x είναι εκτός της περιοχής αυτής τότε οι διαδοχικές προσεγγίσεις της μεθόδου απομακρύνονται συνεχώς από το x και κατά συνέπεια η ρίζα δεν μπορεί να προσεγγισθεί. II. Ο υπολογισμός της αρχικής προσέγγισης μπορεί να γίνει γραφικά. Μετασχηματίζουμε την εξίσωση f ( x ) = στην ισότητα f( x) = f( x). Κατασκευάζουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f και αν τέμνονται τότε η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές οι οποίες προσεγγίζονται από τις προβολές των τομών στον άξονα Ox. III. Επίσης, ένας άλλος τρόπος για τον υπολογισμό της αρχικής προσέγγισης είναι πριν εφαρμοστεί η μέθοδος Newto-Raphso να υπολογίσουμε προσεγγίσεις της ρίζας με κάποιον αλγόριθμο ο οποίος συγκλίνει για κάθε αρχική προσέγγιση. IV. Το συμπέρασμα είναι ότι η μέθοδος Newto-Raphso συχνά χρησιμοποιείται στην πράξη σαν μια τελική διαδικασία τερματισμού ενός άλλου, πιο αργού αλλά πιο ασφαλούς αλγορίθμου. V. Η τάξη σύγκλισης της μεθόδου Newto-Raphso είναι τετραγωνική. VI. Η κύρια σημασία της μεθόδου Newto-Raphso είναι ότι μπορεί να εφαρμοστεί και για την εύρεση μιγαδικών ριζών αναλυτικών συναρτήσεων f και επίσης ότι μπορεί να επεκταθεί για την επίλυση συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων.

12 ΘΕΩΡΗΜΑ.3. Έστω οι συναρτήσεις f ( x), f '( x), f ''( x ) συνεχείς x σε μια περιοχή της ρίζας και f x ( ), f '( x ) =. Εάν το x είναι κοντά στη ρίζα προσεγγίσεων της ρίζας { x }, θα συγκλίνει στο x x η ακολουθία των x. Επίσης θα ισχύει: x x f ''( x ) lim ( x x ) '( ) + = f x (.) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω το διάστημα I = x ε, x + ε στο οποίο η f '( x) (αυτό ισχύει λόγω της συνέχειας της f '( x) και f '( x ) ) Ορίζω Max f ''( x) x I M =, f '( x) Mi x I το οποίο δείχνει πόσο αργά ή γρήγορα θα συγκλίνει η μέθοδος. Είναι f ( x) x x+ = x ( x ) f '( x ) f ( x ) = x x+ (i) f '( x ) Εφαρµόζουµε το θεώρηµα Taylor και έχουµε: ( x x ) f ( x) = f ( x ) + ( x x ) f '( x ) + f ''( ξ ) (ii) Εφαρμόζουμε το θεώρημα Taylor πρώτης τάξης για την f' και έχουμε: f x = f x + x x f ξ (iii) '( ) '( ) ( ) ''( ) Εφαρμόζω τη (iii) στη (ii) και είναι: ( x x ) f x x x { f x x x f ξ } ( x x ) = ( x x ) f '( x ) ( x x ) f ''( ξ) + f ''( ξ ) ( ) = ( ) '( ) ( ) ''( ) + f ''( ξ ) f ( x ) f ''( ξ ) ( x x ) f ''( ξ ) f '( x ) f '( x ) f '( x ) = ( x x ) ( x x ) +

13 Άρα η (i) γίνεται: x x = ( x x ) f ''( ) + f ''( ) { ξ ξ } + f '( x) = ( x x ) f '( ξ) f '( x) Από την εξίσωση f ( ξ) x x+ = ( x x), f ( x ) ισχύει ότι: M x x ( M x x ) Διαλέγω x x ε και M x x <. M x x M x x από το οποίο προκύπτει ότι Τότε x x ε. M x x < και Για να φανεί η σύγκλιση χρησιμοποιώ την προκύπτει ότι: x x M x x + f ( ξ) x x+ = ( x x), και f ( x ) M x x+ ( M x x ) (.) και επαγωγικά M x x ( M x x ) ( x x M x x ) (.) M Επειδή Στην εξίσωση M x x < ισχύει ότι x x καθώς. f ( ξ) x x+ = ( x x), f ( x ) μεταξύ του x και του x, δηλ. ξ x καθώς. Έτσι: x x+ f ''( ξ) f ''( x ) lim = lim = ( x x ) f '( x ) f '( x ) το άγνωστο σημείοξ είναι Μια άλλη προσέγγιση για την ανάλυση του σφάλματος της μεθόδου Newto- Raphso δίνεται από την παρακάτω κατασκευή και το παρακάτω θεώρημα (θεώρημα.3.). 3

14 Έστω ( ) f x συνεχής και διπλά παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ] περιέχεται η ρίζα για a x b. Τότε η ( ) x. Επίσης, έστω f ( a), f ( b) f x είναι γνησίως αύξουσα στο [, ] διάστημα [ ab, ]. Επίσης, f ( x ) < για ab στο οποίο < > και f '( x ) >, f ''( x ) > ab και έχει μοναδική ρίζα a x x και f ( x ) > για x x b. x στο Για x= bβρίσκουμε τις προσεγγίσεις x της μεθόδου με βάση τον αναδρομικό f ( x) τύπο x+ = x. Στη συνέχεια βρίσκουμε μια νέα ακολουθία f '( x ) προσεγγίσεων με βάση τον παρακάτω αναδρομικό τύπο: f ( z) z = z + f '( x ), (.3) με z = a. Οι προσεγγίσεις που προκύπτουν φαίνονται στο γράφημα.. Με τη χρήση της ακολουθίας { z } εξασφαλίζουμε ιδανικά άνω και κάτω όρια για τη ρίζα x. Η χρήση της (.3) σε συνδυασμό με τη μέθοδο Newto-Raphso έχει σαν αποτέλεσμα τη μέθοδο Newto-Fourier. Γράφημα. Η μέθοδος Newto-Fourier 4

15 ΘΕΩΡΗΜΑ.3. Έστω f ( x ) διπλά συνεχής στο διάστημα [ ab, ] και ισχύουν οι συνθήκες f ( a) <, f ( b) >, f '( x) >, f ''( x) >. Τότε η ακολουθία των προσεγγίσεων { x } είναι αυστηρώς φθίνουσα και συγκλίνει στο ρ και η ακολουθία { z } είναι αυστηρώς αύξουσα και συγκλίνει στο Επίσης x. x z lim ( ) '( ) + + f ''( x ) = x z f x (.4) μας δείχνει ότι η απόσταση μεταξύ των x και z μειώνεται τετραγωνικά με το. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Πρώτα θα δείξω ότι z < z < x < x < x (.5) Από τις σχέσεις f ( x) x = x + f '( x ), και f ( z) z = z + f '( x ), προκύπτει ότι x x f ( x ) f ( z ) = > '( ) = < και z z f '( x ) f x Από τον τύπο του σφάλματος προκύπτει ότι f ''( ξ ) x x = ( x x ) < '( ) f x Τελικά, f ( z ) x z = x z + = '( ) f z f ( z) f ( x ) = x z f '( x) + = f '( ζ )( x z ) = x z για κάποιο z o< ζ o < x o f '( x) x f '( x) f '( ζ ) = x zo > f '( x) 5

16 επειδή η '( ) f x είναι αύξουσα στο [, ] αποδεικνύεται ότι z < z < x < x < x. Η απόδειξη αυτή οδηγεί στο ότι ισχύει και ab. Με βάση όλα τα παραπάνω z < z + < x < x + < x, (.6) Η ακολουθία { x } είναι φραγμένη από το α οπότε έχει ifimum to x και η ακολουθία { z } έχει supremum το z. Δηλαδή: limx x x = και limz = z x Βάζοντας όρια στις σχέσεις f ( x) x = x + f '( x ) και z = + z προκύπτει ότι f ( z) f '( x ) f ( x) x= x και f '( x) z= z f ( z) f '( x) το οποίο οδηγεί στο f ( x) = = f ( z). Επειδή το x είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης ( ) αυτό αποδεικνύει ότι οι ακολουθίες { } Η ακολουθία { x } συγκλίνει στο x και { } f x = στο διάστημα [ ab, ] z συγκλίνουν στο x. x τετραγωνικά. Το αποτέλεσμα δείχνει ότι x z lim ( ) '( ) + + f ''( x ) = x z f x x x z x είναι ένα όριο σφάλματος το οποίο μειώνεται τετραγωνικά. 6

17 Αλγόριθμος Newto-Raphso σε Matlab INPUT αρχική προσέγγιση b φράγμα TOL μέγιστος αριθμός επαναλήψεων N OUTPUT προσέγγιση b ή ένα μήνυμα αποτυχίας Βήμα : Θέσε Ι= Βήμα : Όταν I N εκτέλεσε τα βήματα 3-6 f ( b ) Βήμα 3: Θέσε b= b f '( b ) Βήμα 4: Αν b b <TOL τότε η ζητούμενη προσέγγιση είναι b (η διαδικασία τελείωσε με επιτυχία) STOP Βήμα 5: Θέσε Ι=Ι+ Βήμα 6: Θέσε b = b (ανανέωση του b ) Βήμα 7: OUTPUT (η μέθοδος απέτυχε μετά από Ν επαναλήψεις) STOP.4 Η μέθοδος της τέμνουσας Στη μέθοδο της τέμνουσας χρησιμοποιούμε την ευθεία που ορίζουν δυο σημεία προσέγγισης x και x και ορίζουμε ως την επόμενη προσέγγιση x το σηµείο τοµής της ευθείας αυτής µε τον άξονα Οx.Σε αυτή την περίπτωση, έστω ότι x και x είναι δυο αρχικές προσεγγίσεις της ρίζας. Στο γράφημα της y= f ( x) η ευθεία της τέμνουσας προσεγγίζεται από τα σημεία ( x, f ( x )) και ( x, f ( x )). Έστω ότι η ρίζα που προκύπτει από αυτή την ευθεία είναι η x. Χρησιμοποιώντας τον τύπο της κλίσης στη ευθεία της τέμνουσας έχουμε: και λύνοντας ως προς x f ( x ) f ( x ) f ( x) = x x x x x = x f ( x ) x x f ( x ) f ( x ) Χρησιμοποιώντας τα x και x επαναλαμβάνουμε την παραπάνω διαδικασία για να βρούμε το 3 x κλπ. O γενικός τύπος είναι: 7

18 x = x f ( x ) + x x f ( x ) f ( x ), (.7) Η παραπάνω μέθοδος είναι η μέθοδος της τέμνουσας Σύγκριση με τη μέθοδο Newto Η μέθοδος Newto και η μέθοδος της τέμνουσας συνδέονται άμεσα. Αν χρησιμοποιήσουμε στη μέθοδο Newto την παρακάτω προσέγγιση f [ x, x ] + ( x x ) f [ x, x, x ] τότε προκύπτει η μέθοδος της τέμνουσας. Οι υποθέσεις για σύγκλιση είναι σχεδόν ίδιες και οι εκτιμήσεις των σφαλμάτων αποδεικνύονται με παρόμοιο τρόπο. Παρόλα αυτά υπάρχουν δυο βασικές διαφορές. Η μέθοδος Newto απαιτεί τη γνώση των f ( x ) και f ( x ) σε κάθε επανάληψη ενώ η μέθοδος της τέμνουσας απαιτεί τη γνώση μόνο της f ( x ). Επίσης, η μέθοδος Newto έχει μεγαλύτερο κόστος επανάληψης σε σχέση με τη μέθοδο της τέμνουσας. Από την άλλη όμως η μέθοδος Newto συγκλίνει πιο γρήγορα και κατά συνέπεια απαιτούνται λιγότερες επαναλήψεις για να επιτύχουμε τη ζητούμενη ακρίβεια..5 Η μέθοδος Muller Η μέθοδος Muller προκύπτει από τη γενικοποίηση της προσέγγισης που οδήγησε στη μέθοδο της τέμνουσας. Με δεδομένα τα x, x, x 3 δημιουργείται ένα τετραγωνικό πολυώνυμο το οποίο έχει ρίζες αυτά τα τρία σημεία ( xi, f ( xi )), i=,,. Μια από τις ρίζες του πολυωνύμου χρησιμοποιείται για τη βελτίωση της προσέγγισης μιας ρίζας α της f ( x ). Το τετραγωνικό πολυώνυμο δίνεται από τον τύπο: p( x) = f ( x ) + ( x x ) f [ x, x ] + ( x x ) f [ x, x, x ] (.8).6 Επαναληπτική μέθοδος του σταθερού σημείου Έστω η μη γραμμική εξίσωση: f ( x ) = (.9) Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουμε μια γενική επαναληπτική μέθοδο επίλυσης της μη γραμμικής εξίσωσης. 8

19 Αν g : R R είναι μια συνάρτηση, μια τιμή του x που ικανοποιεί τη σχέση: x= g( x) ονομάζεται σταθερό σημείο της συνάρτησης g επειδή το x δεν μεταβάλλεται όταν η gεφαρμόζεται σε αυτό. Πολλοί επαναληπτικοί αλγόριθμοι για την επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων ή συστημάτων βασίζονται σε επαναληπτικούς τύπους της μορφής: x = k+ g( xk ), όπου g είναι μια κατάλληλα επιλεγμένη συνάρτηση της οποία τα σταθερά σημεία είναι λύσεις της εξίσωσης (.8). Ένα τέτοιο σχήμα ονομάζεται μέθοδος του σταθερού σημείου ή γενική επαναληπτική μέθοδος. Για μια δεδομένη εξίσωση της μορφής (.8) μπορεί να υπάρχουν περισσότερα από ένα ισοδύναμα προβλήματα σταθερού σημείου x= g( x) με διαφορετικές επιλογές της συνάρτησης g. Όμως, όλες αυτές οι επιλογές δεν είναι εξίσου χρήσιμες για την κατασκευή του επαναληπτικού τύπου. Τα διάφορα επαναληπτικά σχήματα μπορούν να διαφέρουν όχι μόνο ως προς την τάξη (ταχύτητα) σύγκλισης αλλά και με το αν συγκλίνει ή όχι η επαναληπτική μέθοδος. Γραφικά, ένα σταθερό σημείο προκύπτει από την τομή των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων y= g( x) και y= x. Ύπαρξη και μοναδικότητα σταθερού σημείου Στο σημείο αυτό θα εξετάσουμε πότε μια συνάρτηση έχει ένα σταθερό σημείο και πώς τα σταθερά σημεία μπορούν να υπολογιστούν. Οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη και μοναδικότητα ενός σταθερού σημείου δίνονται από το παρακάτω θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜΑ.6. Έστω ότι η συνάρτηση g Cab [, ] και g( x) [ ab, ] για κάθε x [ ab, ]. Τότε η g έχει ένα σταθερό σημείο στο [ ab, ]. Αν επί πλέον υπάρχει g ( x) στο ( ab, ) και ισχύει: g ( x) k<, x ( ab, ) τότε η g έχει ένα μοναδικό σταθερό σημείο ΑΠΟΔΕΙΞΗ Βλέπε βιβλία [3,4] x στο [ ab, ]. 9

20 Προσέγγιση σταθερού σημείου Για να προσεγγίσουμε το σταθερό σημείο αρχική προσέγγιση N από τον επαναληπτικό τύπο: x της συνάρτησης g επιλέγουμε μια x και κατασκευάζουμε μια ακολουθία προσεγγίσεων { } x, x = g( x ),. Αν η συνάρτησηgείναι συνεχής και η ακολουθία { x } συγκλίνει στο x, τότε έχουμε: x= lim x = lim g( x ) = g( lim x ) = g( x) και έτσι μια λύση της x= g( x) και άρα μια ρίζα της f ( x ) = μπορεί να υπολογιστεί. Η γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

21 Σύγκλιση Η συμπεριφορά της επαναληπτικής μεθόδου του σταθερού σημείου ποικίλει ανάμεσα στην απόκλιση, την αργή σύγκλιση και την ταχεία σύγκλιση. Το ερώτημα είναι τι είναι αυτό που κάνει τη διαφορά. Ο απλούστερος τρόπος και όχι ο πιο γενικός για να χαρακτηρίσουμε τη συμπεριφορά της επαναληπτικής διαδικασίας για το πρόβλημα του σταθερού σημείου είναι να θεωρήσουμε την παράγωγο της συνάρτησης g στη λύση x, υποθέτοντας ότι η g είναι λεία. Το παρακάτω θεώρημα αφορά τη σύγκλιση της γενικής επαναληπτικής μεθόδου. ΘΕΩΡΗΜΑ.6. Έστω ότι g Cab [, ] και g( x) [ ab, ] για κάθε x [ ab, ]. Επί πλέον έστω ότι υπάρχει συνάρτηση g ( x) στο διάστημα ( ab, ) και ισχύει: g ( x) k<, x ( ab, ). Αν x μια οποιαδήποτε αρχική προσέγγιση του σταθερού σημείου της gστο [ ab, ] τότε για την ακολουθία: ισχύει x = g( x ), lim x x =. + ΑΠΟΔΕΙΞΗ Βλέπε βιβλία []

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Μη γραμμικές εξισώσεις Εισαγωγή Προσπαθούμε να λύσουμε το πρόβλημα: F( x ) = (.) όπου η F είναι. Συμβολίζουμε το i-οστό στοιχείο της F με f i. N N R R Ορισμός νόρμας.. (Γενική νόρμα διανύσματος) Έστω V ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο R. Μια νόρμα στο V είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το V και τιμές στο R, με τις ακόλουθες ιδιότητες: (α) x, x V (β) x = αν και μόνο ανx=. (γ) λx = λ x, λ R, x V (δ) x+ y x + y, x, y V (Τριγωνική Ανισότητα) Από τις (γ) και (δ) εύκολα προκύπτει και η ανισότητα: (δ ) x y x y, x, y V x x C x a a β Ορισμός νόρμας.. (Νόρμα πίνακα) Έστω M R = ο διανυσματικός χώρος των πινάκων. Μια νόρμα στο Mείναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το M και τιμές στο R, με τις ακόλουθες ιδιότητες: (α) A, A M (β) A = αν και μόνο αν A= (γ) λa = λ A, λ R, A M (δ) A+ B A + B, AB, M (ε) A B A B, AB, M ΘΕΩΡΗΜΑ.. Έστω A ένας πίνακας. Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες:. A, όπου A είναι η ορίζουσα του A.

23 . Το γραμμικό σύστημα Ax= b έχει μια μοναδική λύση για κάθε δεύτερο μέλος b. 3. Το ομογενές σύστημαax= έχει μοναδική λύση x=. 4. Ο πίνακας A έχει αντίστροφο A. Ένας πίνακας Aπου ικανοποιεί τις παραπάνω προτάσεις καλείται ομαλός. Πρόταση.. Έστω και δυο νόρμες στον a β τέτοιες ώστε: R. Τότε υπάρχουν σταθερές > και C> x x C x a β a δηλαδή όλες οι νόρμες στον R είναι ισοδύναμες. (Αυτό δεν ισχύει γενικά σε απειροδιάστατους διανυσματικούς χώρους.) Εάν τα στοιχεία της F είναι παραγωγίσιμα σε σημείο Ιακωβιανό πίνακα της F ' ( x ) με: f ' i F ( x) ij = ( x) x j N x R τότε ορίζουμε τον Ο Ιακωβιανός πίνακας περιέχει όλες τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης. Η συνάρτηση f : Ω Rλέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο x Ωαν, για x+ h Ω, ισχύει: T f ( x+ h) f ( x) = v( x) h+ ε ( h) h όπου v( x) R και ε ( h). Η f έχει τότε μερικές παραγώγους στοx και έχουμε v( x) = f ( x). Αν η F είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x του συνόλουω τότε λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο αυτό. ΘΕΩΡΗΜΑ.. (ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ) Έστω F παραγωγίσιμη σε ένα ανοιχτό σύνολο όλα τα x Ωπολύ κοντά στο x ισχύει: N Ω R και έστω x Ω. Τότε για F( x) F( x ) = F ( x + t( x x ))( x x ) dt 3

24 . Τύποι Σύγκλισης Οι επαναληπτικές μέθοδοι μπορούν να κατηγοριοποιηθούν με βάση την ταχύτητα σύγκλισης. Έστω ακολουθία { } x R N και N x R, και έστω. νόρμα τουr N. Τότε: x x τετραγωνικά αν x xκαι υπάρχει K > τέτοιο ώστε x x + K x x x x υπεργραμμικά αν lim x x + x x = x x γραμμικά με συντελεστή σ (,) αν αρκετά μεγάλο. x x + σ x x για Ορισμός.. Μια επαναληπτική μέθοδος για τον υπολογισμό της ρίζας είναι τοπικά τετραγωνικά/υπεργραμμικά/γραμμικά συγκλίνουσα αν οι επαναλήψεις συγκλίνουν στη x τετραγωνικά/υπεργραμμικά/γραμμικά με την προυπόθεση ότι τα αρχικά δεδομένα βοηθούν στη γρήγορη προσέγγιση της ρίζας. x Ας σημειώσουμε ότι μια υπεργραμμική σύγκλιση ακολουθίας είναι επίσης γραμμική με συντελεστή σ για κάθε σ >. Μια τετραγωνική σύγκλιση ακολουθίας είναι υπεργραμμικά συγκλίνουσα με τάξη. Γενικά, μια υπεργραμμική σύγκλιση ακολουθίας είναι προτιμότερη από μια γραμμική σύγκλιση αν το κόστος για μια μόνο επανάληψη είναι το ίδιο και στις δυο μεθόδους. Συχνά μια μέθοδος η οποία έχει μικρή ταχύτητα σύγκλισης, με βάση τους παραπάνω τύπους σύγκλισης, μπορεί να έχει κόστος επανάληψης τόσο μικρό που η αργή επανάληψη να είναι πιο αποτελεσματική από μία μέθοδο με καλύτερη τάξη σύγκλισης αλλά με μεγάλο κόστος επανάληψης. Κάποιες φορές σημειώνονται λάθη σε κάποια επανάληψη τα οποία είναι ανεξάρτητα από τα σφάλματα της προσεγγιστικής λύσης. Ένα παράδειγμα θα ήταν το πρόβλημα στο οποίο η μη γραμμική εξίσωση F είναι το αποτέλεσμα ενός άλλου αλγορίθμου ο οποίος παρέχει έλεγχο σφαλμάτων, όπως προσαρμογή του μεγέθους σε μια προσέγγιση μιας διαφορικής εξίσωσης. Κάποιος μπορεί να υπολογίσει την F με χαμηλή ακρίβεια στις αρχικές φάσεις της επανάληψης για να υπολογίσει μια λύση και να σταθεροποιήσει την ακρίβεια καθώς τρέχουν οι επαναλήψεις. Ο τύπος r σύγκλισης μας βοηθάει να περιγράψουμε αυτή την ιδέα. N N Ορισμός.. Έστω ακολουθία { x} R και x R. Τότε η { } στο x τετραγωνικά/υπεργραμμικά/γραμμικά αν υπάρχει ακολουθία { } 4 x συγκλίνει ξ R η οποία να συγκλίνει τετραγωνικά/υπεργραμμικά/γραμμικά στο μηδέν έτσι ώστε:

25 x x ξ. Λέμε ότι η { x } συγκλίνει υπεργραμμικά με τάξη υπεργραμμικά με τάξη α. α > αν ξ.3 Επανάληψη σταθερού σημείου Πολλές μη γραμμικές εξισώσεις σχηματίζονται ως προβλήματα σταθερού σημείου x= K( x) (.) όπου K, η συνάρτηση σταθερού σημείου είναι μη γραμμική. Μια ρίζα x της (.) ονομάζεται σταθερό σημείο της συνάρτησης K. Σε αυτό το κομμάτι της εργασίας θα αναλύσουμε τη σύγκλιση της επανάληψης σταθερού σημείου, η οποία δίνεται από τον τύπο: x = + K( x ) (.3) Αυτού του είδους οι επαναληπτικές μέθοδοι ονομάζονται μεθοδοι μη γραμμικής Rihardso επανάληψης ή μέθοδοι επιτυχούσας αντικατάστασης. Ορισμός.3. Έστω N N Ω R. K : Ω R είναι μια χαρτογραφηση συστολής στο Ω αν K είναι Lipshitz συνεχής στο Ω με σταθερά Lipshitz γ <. Το σταθερό αποτέλεσμα για επανάληψη σταθερού σημείου είναι το Θεωρημα Συστολικής Συνάρτησης. ΘΕΩΡΗΜΑ.3. (Θεώρημα Συστολικής Συνάρτησης) N Έστω Ω ένα κλειστό υποσύνολο του R και έστω K μια συνάρτηση συστολής στο Ω με σταθερά Lipshitz γ < τέτοια ώστε K( x) Ω για όλα τα x Ω. Τότε υπάρχει μοναδικό σταθερό σημείο του K, x Ω, και η επανάληψη που ορίζεται από την (.3) συγκλίνει γραμμικά στο x με παράγοντα γ για όλες τις αρχικές επαναλήψεις xo Ω. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω o x Ω. Ισχύει ότι { x } Ω επειδή o x Ω. Η ακολουθία { x } παραμένει φραγμένη αφού για όλα τα i x Ω και K( x) Ω για οποιοδήποτε 5

26 και γι αυτό x x = K( x ) K( x ) γ x x... γ x x, i i+ i i i i i x x = x x i= i+ i i= x x x x x x. ( γ ) Τώρα για όλα τα k,, Οπότε i i+ i i= x x = K( x ) K( x ) + k + k+ k, γ x+ k x γ K x+ k K x ( ) ( ) γ x+ k x... xk x γ lim x x = + k / ( γ ) x x και γι αυτό η ακολουθία { x } είναι ακολουθία Cauhy και έχει όριο το Αν K έχει δύο σταθερά σημεία το x και το γ γ y στο Ω, τότε x. x y = K( x ) K( y ) γ x y. Επειδή το γ < ισχύει ότι είναι μοναδικό. Τέλος, έχουμε ότι x y =, δηλαδή x = y. Άρα το σταθερό σημείο x x = K( x) K( x ) + γ x x, και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί. Μια απλή εφαρμογή αυτού του θεωρήματος είναι η αριθμητική ολοκλήρωση των συνήθων διαφορικών εξισώσεων με επαναληπτικές μεθόδους. Για παράδειγμα, έστω το πρόβλημα αρχικών τιμών: y = f ( y), yt ( ) = y και η λύση του μέσω της μεθόδου του Euler με βήμα h + + y y = hf ( y ) (.4) 6

27 Στην εξίσωση (.4) ο όρος μετάβαση από το y στο k y δηλώνει την προσέγγιση του y + απαιτεί λύση του προβλήματος σταθερού σημείου y= K( y) = y + hf ( y). yt ( + kh). Η Για απλότητα υποθέτουμε ότι η f είναι φραγμένη και συνεχής κατά Lipshitz, έστω για όλα τα x, y. f ( y) M και f ( x) f ( y) M x y Αν hm < μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα συστολής θέτοντας αφού για όλα τα x, y K( x) K( y) = h f ( x) f ( y) hm x y. Ω= R Από το παραπάνω συμπεραίνουμε ότι για h αρκετά μικρό μπορούμε να ολοκληρώσουμε και ταυτόχρονα το βήμα hμπορούμε να το διαλέξουμε ανεξάρτητα από το y..4 Οι βασικές υποθέσεις Οι βασικές υποθέσεις για τον F.. Η εξίσωση F( x ) = έχει λύση την x. N N. F : Ω R είναι Lipshitz συνεχής με σταθερά Lipshitz γ 3. ( ) είναι ομαλός. F x Οι παραπάνω υποθέσεις ισχύουν χωρίς να επηρεάζεται η σύγκλιση των μεθόδων. Παρόλα αυτά το κλασσικό αποτέλεσμα της τετραγωνικής σύγκλισης της μεθόδου του Newto τις απαιτεί. Θα συμβολίζουμε τη ρίζα της F με x και B( r ) τη σφαίρα γύρω από το x με ακτίνα r και θα είναι: όπου e= x x. { } B( r) = x : e < r Αν x είναι η -οστή προσέγγιση τότε = είναι το αντίστοιχο σφάλμα. e x x 7

28 Το λήμμα του Baah και προσεγγιστικοί ανάστροφοι πίνακες Η πιο άμεση προσέγγιση μιας επαναληπτικής λύσης ενός γραμμικού συστήματος είναι να γραφεί η Ax= b ως μια γραμμική επανάληψη σταθερού σημείου. Ένας τρόπος είναι να γραφεί ως: x= ( I A) x+ b και να ορίσουμε την επανάληψη Rihardso ως: x = k ( I + A) x + k b Υπάρχουν και πιο γενικές μέθοδοι στις οποίες η { x k } δίνεται από: x = + Mx +. k k Στην τελευταία ισότητα ο M είναι ένας N N πίνακας και λέγεται πίνακας επανάληψης. Οι επαναληπτικές μέθοδοι αυτής της μορφής λέγονται σταθερές επαναληπτικές μέθοδοι επειδή η μετάβαση από την x k στην x k + δεν εξαρτάται από το ιστορικό της επανάληψης. Όλα τα αποτελέσματα βασίζονται στο παρακάτω λήμμα. ΛΗΜΜΑ.4. (BANACH) Αν M είναι ένας N N πίνακας με M < τότε ο πίνακας I M είναι ομαλός και ΑΠΟΔΕΙΞΗ Βλέπε βιβλίο [] ΠΟΡΙΣΜΑ.4. Αν ( I M ). M M < τότε η επανάληψη x = k Mx + + k συγκλίνει στο x= ( I M ) για κάθε αρχική επανάληψη x. Μια συνέπεια του πορίσματος.4. είναι ότι η επανάληψη Rihardso xk+ = ( I A) xk + b θα συγκλίνει αν I A <. Κάποιες φορές είναι πιθανό το od(a) να είναι πολύ μεγάλο και πολλαπλασιάζοντας και τις δυο πλευρές της Ax= b με ένα πίνακα B, δηλαδή BAx= Bb 8

29 να καταφέρνω να μειώσω το δείκτη κατάστασης που συμβολίζουμε με od(a) ή ισοδύναμα να βελτιωθεί η σύγκλιση της επαναληπτικής μεθόδου. Όσον αφορά την επανάληψη Rihardso, οι πίνακες B που μας επιτρέπουν να εφαρμόζουμε το λήμμα του Baah και το πόρισμα.4. ονομάζονται προσεγγιστικοί ανάστροφοι. ΘΕΩΡΗΜΑ.4. Αν Aκαι B είναι N N πίνακες και ο Bείναι ένας προσεγγιστικός ανάστροφος του A τότε οι A και Bείναι και οι δυο ομαλοί και και A A B B, I BA B I BA, I BA B A I BA A I BA. A B I BA ΑΠΟΔΕΙΞΗ Βλέπε βιβλίο [] Το παραπάνω θεώρημα μας δείχνει πόσο μικρή είναι η απόσταση ανάμεσα στον Bκαι στον A. Η επανάληψη Rihardso με βάση την παραπάνω αναφορά στη βελτίωση της σύγκλισης της επαναληπτικής μεθόδου με τον προσεγγιστικό ανάστροφο έχει τη μορφή: x = k ( I + BA) x + k Bb. Αν η νόρμα του I BA είναι μικρή, τότε όχι μόνο η ταχύτητα σύγκλισης θα είναι μεγάλη αλλά και οι αποφάσεις τερματισμού που βασίζονται στο υπόλοιπο Bb BAx θα είναι πιο καθοριστικές για το πραγματικό σφάλμα. Ορισμός.4. Ο B είναι προσεγγιστική αναστροφή του A αν I BA <. ΛΗΜΜΑ.4. Έστω ότι ισχύουν οι βασικές υποθέσεις (.4). Τότε υπάρχει δ> τέτοιο ώστε για όλα τα x B( r) να ισχύουν τα παρακάτω: F ( x) F ( x ) (.5) F ( x) F ( x ) (.6) και F ( x ) e F( x) F ( x ) e (.7) 9

30 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω δ αρκετά μικρό έτσι ώστε B( δ ) Ω. Για όλα τα x B( δ ) ισχύει ότι: F ( x) F ( x ) + γ e μειώνοντας το δ τόσο ώστε γδ < F ( x ) και προκύπτει η ανισότητα (.5). Η ανισότητα (.6) είναι άμεση συνέπεια του λήμματος Baah. Θα αποδείξουμε: Για δ > τέτοιο ώστε: Προκύπτει ότι: δ < I F ( x ) F ( x) < F ( x ) γ I F x F x F x F x F x ( ) ( ) = ( ) ( ( ) ( )) (.8) γ F ( x ) e γδ F ( x ) <. Για την απόδειξη της τελικής ανισότητας (.7) σημειώνουμε ότι αν x B( δ ) τότε x + te B( δ ) για όλα τα t. Χρησιμοποιούμε την (.5) και το θεώρημα (..) για να καταλήξουμε στο ότι: ( ) ( ) ( ) F x F x + te e dt F x e όπου είναι το δεξί μέλος της ζητούμενης ανισότητας. Για το αριστερό μέλος έχουμε από το θεώρημα (.4.) ότι: F ( x ) F( x) = F ( x ) F ( x + teedt ) ( ( ) ( )) = e I F x F x + te edt και από την I F x F x '( ) '( ) < έχουμε: F ( x ) F( x) e ( I F ( x ) F ( x + te) ) e 3

31 Οπότε: e F x F x F x F x ( ) ( ) ( ) ( ) και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί. Το παραπάνω λήμμα δίνει φράγματα τιμών της Ιακωβιανής σε κατάλληλη περιοχή με βάση τιμές της Ιακωβιανής στη ρίζα. 3

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Η μέθοδος Newto 3. Τοπική σύγκλιση της μεθόδου Newto Θα περιγράψουμε επαναληπτικές μεθόδους για μη γραμμικές εξισώσεις σε όρους μεταφοράς από μια τρέχουσα επανάληψη x σε μια νέα επανάληψη x +. Με βάση αυτά τα δεδομένα η μέθοδος Newto μπορεί να περιγραφεί ως: x = x F x F x (3.) + ( ) ( ) Επίσης το x + μπορεί να θεωρηθεί η ρίζα του τύπου Taylor ή του γραμμικού μοντέλου της F γύρω από το x M ( x) = F( x ) + F ( x )( x x ). ΘΕΩΡΗΜΑ 3.. Έστω ότι ισχύουν οι βασικές υποθέσεις (.4). Τότε υπάρχει σταθερά K > και δ > τέτοια ώστε αν x B( δ ) η Newto επανάληψη από το x που δίνεται από την εξίσωση (3.) ικανοποιεί την παρακάτω ανισότητα: όπου και =. e x x e + K e (3.) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι το δ είναι τόσο μικρό ώστε τα συμπεράσματα του λήμματος.4. να ισχύουν. Από το θεώρημα.. με διαδοχικές πράξεις προκύπτει ότι: e = x x + + = x x + x x + = e + ( x x ) (3.) + = e F x F x. ( ) ( ) Επίσης: + F ( x ) ( F ( x ) F ( x te )) edt= 3

33 ( ) ( ) ( ) ( ) = F x F x edt F x F x + te edt ( ) ( ) = Iedt F x F x + te edt ( ) ( ) = e F x F x + te edt Οπότε από το θεώρημα (..) έχουμε : F x F x + te edt = e F x F x F ( x ) ( '( ) ( )) '( ) ( ) Από το λήμμα.4., τη συνέχεια κατά Lipshitz της F και τις προηγούμενες σχέσεις προκύπτει ότι: + ( ( ) ) γ / e F x e Οπότε θέτοντας K F x = γ ( ) έχουμε τη ζητούμενη ανισότητα. Παρατηρούμε πως η σταθερά Κ του Θεωρήματος.3. εξαρτάται από τον αντίστροφο της Ιακωβιανής υπολογισμένο στη ρίζα, και όσο μικρότερη είναι η τιμή της σταθεράς αυτής τόσο γρηγορότερα επιτυγχάνεται η σύγκλιση. Η τιμή της σταθεράς Κ, επηρεάζει κατά ουσιαστικό τρόπο την ακτίνα σύγκλισης δ>, της μεθόδου. ΘΕΩΡΗΜΑ 3.. (Θεώρημα Σύγκλισης Επαναληπτικής Διαδικασίας) Έστω ότι ισχύουν οι βασικές υποθέσεις (.4). Τότε υπάρχει δ τέτοιο ώστε αν x B( δ ) η προσέγγιση Newto x x F x F x + = ( ) ( ) συγκλίνει τετραγωνικά στο x. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω δ μικρό αρκετά τέτοιο ώστε τα συμπεράσματα του θεωρήματος 3.. να ισχύουν. Μειώνουμε τοδ τόσο ώστε Kδ = η<. Τότε αν και x B( δ ), από το θεώρημα 3.. προκύπτει ότι: e + K e η e < e (3.3) 33

34 και ότι x B( ηδ ) B( δ ). Επομένως αν x B( δ ) μπορούμε να συνεχίσουμε τις + επαναλήψεις. Αφού x B( δ ) Η ανισότητα (3.3) δείχνει ότι x B δ. από υπόθεση, ολόκληρη η σειρά { } ( ) x x τετραγωνικά. Η υπόθεση ότι η αρχική προσέγγιση είναι πολύ κοντά στη λύση ίσως φανεί πλασματική με την πρώτη ματιά. Παρόλα αυτά υπάρχουν πολλές περιπτώσεις στις οποίες η αρχική προσέγγιση μπορεί να επιλεγεί σωστά. 3. Τερματισμός των επαναλήψεων Η απόφαση για τον τερματισμό των επαναλήψεων μπορεί να βασιστεί στο λήμμα.4.. Αν x B( δ ), όπου δ είναι αρκετά μικρό έτσι ώστε τα συμπεράσματα του λήμματος.4. ισχύουν, τότε αν F ( x ) είναι καλά ορισμένο, μπορούμε να τερματίσουμε τις επαναλήψεις όταν το σχετικό μη γραμμικό F( x) υπόλοιπο είναι μικρό. F( x ) ΛΗΜΜΑ 3.. Έστω ότι ισχύουν οι βασικές υποθέσεις. Έστω δ > μικρό αρκετά τέτοιο ώστε τα συμπεράσματα του λήμματος.4. ισχύουν για x B( δ ). Τότε για όλα x B( δ ) ισχύει: κ 4 e κ( F ( x )) F( x ) e e F( x) 4 ( F ( x )) e, όπου κ( F ( x )) = F ( x ) F ( x ) είναι ο δείκτης κατάστασης του σχέση με τη νόρμα. ( ) σε F x Από το λήμμα 3.. συμπεραίνουμε ότι αν η F ( x ) είναι καλά ορισμένη (δηλαδή έχει καλό δείκτη κατάστασης), το μέγεθος του σχετικού μη γραμμικού υπολοίπου είναι ένας καλός δείκτης για το μέγεθος του σφάλματος. Ωστόσο, αν υπάρχει σφάλμα στον υπολογισμό της F ή αν η αρχική προσέγγιση είναι κοντά στη ρίζα, μια απόφαση τερματισμού βασισμένη στο σχετικό υπόλοιπο μπορεί να οδηγήσει σε πάρα πολλές επαναλήψεις ή οι επαναλήψεις να μην τερματίσουνε ποτέ. Στους περισσότερους κώδικες MATLAB και αλγορίθμους για τις μη γραμμικές εξισώσεις το πρακτικό κριτήριο τερματισμού είναι να σταματήσουν οι επαναλήψεις αν ικανοποιείται ανισότητα της μορφής: F( x) τ F( x ) + τ (3.4) r 34 a

35 όπου το σχετικό σφάλμα ανοχής τ r και το απόλυτο σφάλμα ανοχής τ a είναι δεδομένα του αλγορίθμου. Οι συνδυασμοί των σχετικών και απόλυτων σφαλμάτων ανοχής χρησιμοποιούνται συχνά σε αριθμητικές μεθόδους για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ή διαφορικές αλγεβρικές εξισώσεις. Ένας άλλος τρόπος για να αποφασίσουμε αν θα τερματίσουμε τις επαναλήψεις είναι να ελέγξουμε το βήμα στη μέθοδο Newto s= F x F x = x x, ( ) ( ) + και να τερματίσουμε την επανάληψη όταν το s είναι αρκετά μικρό. Αυτό το κριτήριο βασίζεται στο θεώρημα 3.., από το οποίο προκύπτει ότι e = s + O( e ). Επίσης, κοντά στη ρίζα τα s και e έχουν σχεδόν το ίδιο μέγεθος. Για μεθόδους άλλες εκτός από τη μέθοδο Newto, η σχέση ανάμεσα στο βήμα και το σφάλμα δεν είναι τόσο ξεκάθαρη. Αν η προσέγγιση είναι γραμμικά συγκλίνουσα, τότε e+ σ e, σ < προκύπτει ότι ( σ ) e s ( + σ ) e. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Είναι e = x x και s= x+ x e = x x x x + x x s + e s + σ e ( σ ) e s s = x+ x + x+ x x x e+ + e 35

36 σ + σ e + e s ( ) e Με βάση τα παραπάνω, το βήμα είναι ένας αξιόπιστος δείκτης του σφάλματος υπό την προυπόθεση ότι το σ δεν είναι πολύ κοντά στο. Παρόλα αυτά, για να εκτιμήσουμε το e με αυτό τον τρόπο πρέπει να ολοκληρώσουμε όλη τη δουλειά που απαιτείται για τον υπολογισμό του x +, ενώ τερματίζοντας σε μικρά σχετικά υπόλοιπα ή σε περίπτωση όπως η (3.4) η απόφαση να σταματήσουμε τις επαναλήψεις μπορεί να παρθεί πριν τον υπολογισμό του παράγοντα F ( x ). Αν ο υπολογισμός του Ιακωβιανού πίνακα είναι περίπλοκος τότε ο τερματισμός των επαναλήψεων σε μικρά βήματα είναι καλύτερος. 3.3 Η αλγοριθμική μορφοποίηση της μεθόδου Newto Για να υπολογίσουμε τη Newto επανάληψη x + ξεκινώντας από ένα σταθερό σημείο x πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τον F( x ) και να αποφασίσουμε αν θα τερματίσουμε τις επαναλήψεις. Αν αποφασίσουμε να συνεχίσουμε πρέπει να υπολογιστεί και να παραγωγιθεί ο Ιακωβιανός πίνακας F ( x ). Τότε το βήμα υπολογίζεται ως η λύση της F ( x ) s= F( x ) και η επανάληψη αυξάνεται κατά x+ = x + s. Στα βήματα που περιγράψαμε παραπάνω ο υπολογισμός και η παραγώγιση του F ( x ) κοστίζουν αρκετά. Η παραγώγιση του F στην 3 περίπτωση όπου προκύπτει πλήρης πίνακας κοστίζει O( N ) και γίνεται με πράξεις μηχανής. Ο υπολογισμός του F ( x ) με τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών έχει αναμενόμενο κόστος Ν φορές το κόστος του υπολογισμού του F επειδή κάθε στήλη του F απαιτεί έναν εκ νέου υπολογισμό του F για να βρούμε την προσέγγιση με τις πεπερασμένες διαφορές. Οπότε το κόστος για ένα βήμα της μεθόδου Newto μπορεί να εκτιμηθεί ως Ν+ υπολογισμοί του F και 3 O( N ) με πράξεις μηχανής. Σε πολλές περιπτώσεις ο F ( x ) μπορεί να υπολογιστεί πιο αποτελεσματικά, με μεγαλύτερη ακρίβεια και άμεσα απ ότι με τις πεπερασμένες διαφορές και η παραπάνω ανάλυση σχετικά με το κόστος μια επανάληψης Newto μπορεί να θεωρηθεί αρκετά απαισιόδοξη. Για αυστηρή και σωστή περιγραφή του αλγορίθμου Newto χρησιμοποιούμε μια παραγοντοποίηση LU του F ( x ). Μια άλλη παραγοντοποίηση που θα ήταν εξίσου κατάλληλη θα ήταν μιαqr ή μια Cholesky παραγοντοποίηση σε περίπτωση που ο Ιακωβιανός πίνακας είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος. Τα δεδομένα του αλγορίθμου είναι η αρχική επανάληψη x, η μη γραμμική εξίσωση F και ένα διάνυσμα ανοχής τερματισμού τ = ( τ, τ ) R. r a 36

37 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ 3.3. ewto ( x, F, τ ). r = F( x). Ενώ F( x) > τrr + τa κάνε: (α) Υπολόγισε F ( x) (β) Παραγοντοποίησε F ( x) = LU (γ) Λύσε LUs= F( x) (δ) x= x+ s (ε) Υπολόγισε F( x ). Μια προσέγγιση για να μειώσουμε τα κόστη των βημάτων (α) και (β) του παραπάνω αλγορίθμου είναι να τα μετακινήσουμε έξω από την κύρια επανάληψη. Αυτό σημαίνει ότι η γραμμική προσέγγιση F( x ) = η οποία λύνεται σε κάθε επανάληψη έχει σταθερή παράγωγο από την αρχική επανάληψη. x = x F x F x. + ( ) ( ) Αυτή η μέθοδος λέγεται μέθοδος της χορδής. Τα δεδομένα είναι ίδια όπως και στη μέθοδο του Newto. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ 3.3. hord ( x, F, τ ). r = F( x). Υπολόγισε F ( x) 3. Παραγοντοποίησε F ( x) = LU 4. Ενώ F( x) > τrr + τa κάνε: (α) Λύσε LUs= F( x) (β) x= x+ s (γ) Υπολόγισε F( x ). Η μόνη διαφορά από τον αλγόριθμο της μεθόδου Newto είναι ότι ο υπολογισμός και η παραγοντοποίηση του Ιακωβιανού πίνακα γίνονται πριν αρχίσουν οι επαναλήψεις. Η διαφορά στις επαναλήψεις είναι ότι χρησιμοποιείται μια προσέγγιση του F ( x ). Παρόμοιες διαφορές προκύπτουν αν ο F ( x ) υπολογίζεται με πεπερασμένες διαφορές. 37

38 3.4 Σφάλματα στη συνάρτηση και στην παράγωγο Έστω ότι οι F και υπολογίζονται χωρίς ακρίβεια έτσι ώστε F+ ε και F + χρησιμοποιούνται αντί για F και F στην επανάληψη. Αν είναι αρκετά μικρό τότε από την επανάληψη μπορεί να προκύψει ένα αποτέλεσμα ακρίβειας O( ε ) στο x. Αυτή η περίπτωση είναι διαφορετική από τη σύγκλιση και λέγεται τοπική βελτίωση. Αν, για παράδειγμα, το ε προκύπτει από σφάλματα αποκοπής και προσέγγισης για την αριθμητική της μηχανής δεν υπάρχει λόγος να δεχτούμε ότι F( x ) θα είναι μικρότερο από το ε γενικότερα. Θα αναφερόμαστε σε αυτή τη φάση της επανάληψης κατά την οποία το μη γραμμικό υπόλοιπο δεν μειώνεται πλέον ως παύση της επανάληψης. ΘΕΩΡΗΜΑ 3.4. Έστω ότι ισχύουν οι βασικές υποθέσεις (.4). Τότε υπάρχουν K >, δ > και δ > τέτοια ώστε αν x B( δ ) και ( x ) < δ τότε ορίζεται + = ( ( ) + ( )) ( ( ) + ε ( )) x x F x x F x x όπου F ( x ) + ( x ) είναι ομαλός και ικανοποιεί: e K( e + ( x ) e + + ε ( x ) ) (3.5) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω δ αρκετά μικρό τέτοιο ώστε τα συμπεράσματα του λήμματος.3. και του θεωρήματος 3.. να ισχύουν. Έστω x x F x F x N + = ( ) ( ) όπου N x + είναι η επανάληψη χωρίς τα σφάλματα αποκοπής και ξέρουμε ότι ισχύει N x = x + ( F ( x ) ( F ( x ) + ( x )) ) F( x ) ( F ( x ) + ( x )) ( x ) + + ε όπου x + είναι η επανάληψη με τα σφάλματα αποκοπής. Από το λήμμα.4. και το θεώρημα 3.. έχουμε ότι ε e+ K e + F ( x ) ( F ( x ) + ( x )) F ( x ) e + ( F ( x ) + ( x )) ( x ) (3.6). 38

39 Αν ( x ) F ( x ) / 4 τότε από το λήμμα.4. προκύπτει ότι ( x ) F ( x ) / και από το λήμμα του Baah προκύπτει ότι ο F ( x ) + ( x ) είναι ομαλός και ( F ( x ) + ( x )) F ( x ) 4 F ( x ). Οπότε ( ) ( ( ) ( )) 8 ( ) ( ) F x F x + x F x x. Χρησιμοποιούμε αυτές τις προσεγγίσεις και την (3.6) για να καταλήξουμε στο ότι ε e+ K e + 6 F ( x ) F ( x ) ( x ) e + 4 ( F ( x ) ( x ). Θέτοντας K = K+ 6 F ( x ) F ( x ) + 4 ( F ( x ) η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί. 3.5 Η μέθοδος της χορδής Η μέθοδος της χορδής περιγράφεται από τον τύπο: x = x + F x F x. Με βάση το θεώρημα 3.4. είναι: '( ) ( ) ε ( x ) =, ( x ) = F ( x ) F ( x ). Οπότε αν x, ( ) x B δ Ω ( x ) γ x x γ ( e + e ). (3.7) 39

40 ΘΕΩΡΗΜΑ 3.5. Έστω ότι ισχύουν οι βασικές υποθέσεις (.4). Τότε υπάρχουν K C > και δ > τέτοια ώστε αν x B( δ ) οι επαναλήψεις από τη μέθοδο της χορδής συγκλίνουν q-γραμμικά στο x και e + K e e. (3.8) C ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω δ τόσο μικρό ώστε B( δ ) Ω και τα συμπεράσματα του θεωρήματος 3.4. ισχύουν. Έστω e, ( ) e B δ. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3.6) και (3.7) προκύπτει ότι: e + K( e ( + γ ) + γ e ) e K(+ γ ) δ e Αν δ τόσο μικρό τέτοιο ώστε K(+ γ ) δ = η< τότε οι επαναλήψεις στη μέθοδο της χορδής συγκλίνουν γραμμικά στο x. Από την γραμμική σύγκλιση προκύπτει ότι e < e και η (3.8) ισχύει με K = K(+ γ ). C Μια άλλη μορφή της μεθόδου της χορδής είναι: x = x + A F x ( ) όπου A F ( x ). Επαναλήψεις τέτοιου τύπου μπορούν να θεωρηθούν μη γραμμικές προαπαιτούμενες επαναλήψεις της μεθόδου Rihardso. Επειδή = + ( x ) A F ( x ) A F ( x ) F ( x ) F ( x ) αν x B( δ ) Ω τότε + γ + γδ. ( x ) A F ( x ) e A F ( x ) 4

41 ΘΕΩΡΗΜΑ 3.5. Έστω ότι ισχύουν οι βασικές υποθέσεις (.4). Τότε υπάρχουν K >, δ > και δ > τέτοια ώστε αν x B( δ ) και A F ( x ) δ < τότε η επανάληψη A x x A F x = + ( ) συγκλίνει γραμμικά στο x και e K e + A F x e. (3.9) ( + A ( ) ) 3.6 Προσεγγίσεις του αντιστρόφου F Ένας άλλος τρόπος για να περιγράψουμε τη μέθοδο της χορδής είναι η εύρεση μιας προσέγγισης του ανάστροφου του F. Αντικαθιστούμε τον όρο F ( x) με τον B( x ), όπου ο υπολογισμός του B σε ένα διάνυσμα έχει μικρότερη πολυπλοκότητα σε σχέση με την εύρεση της λύσης χρησιμοποιώντας την παραγώγιση του LU. Αντί να εκφράσουμε την επανάληψη με βάση τους όρους B ( x) F ( x) και χρησιμοποιώντας το θεώρημα 3.5. μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο απευθείας με τον ορισμό της προσεγγιστικής αναστροφής. Ας σημειώσουμε ότι αν ο B είναι σταθερός πίνακας (ανεξάρτητος από τοx) τότε η επανάληψη x = x + BF( x ) μπορεί να θεωρηθεί μια μη γραμμική Rihardso επανάληψη κατά την οποία πολλαπλασιάσαμε με τον πίνακα B με σκοπό να βελτιώσουμε το δείκτη κατάστασης της επανάληψης. ΘΕΩΡΗΜΑ 3.6. Έστω ότι ισχύουν οι βασικές υποθέσεις (.4). Τότε υπάρχουν K >, δ > και δ > τέτοια ώστε αν x B( δ ) και η συνάρτηση η οποία στην ουσία είναι ο πίνακας B( x ) ικανοποιεί B I B x F x ( ) ( ) = ρ( x) < δ (3.) για κάθε x B( δ ) τότε η επανάληψη x = x + B( x ) F( x ) 4

42 συγκλίνει γραμμικά στο x και e + K ( ρ( x ) + e ) e. (3.) B Σημείωση: Ας παρατηρήσουμε ότι στο θεώρημα που περιγράψαμε παραπάνω ο πίνακας B εξαρτάται από την επανάληψη (αφού είναι της μορφής B( x ) ) και κατά συνέπεια έχουμε ένα διαφορετικό πίνακα B για κάθε επανάληψη. Στη μη γραμμική επανάληψη Rihardso ο πίνακας B είναι σταθερός και δεν εξαρτάται από την επανάληψη. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Το θεώρημα αυτό μπορεί να ληφθεί ως ένα πόρισμα του λήμματος Baah και του θεωρήματος Από την (3.8) έχουμε B( x) = B( x) F ( x ) F ( x ) B( x) F ( x ) F ( x ) MB = ( + δ) F ( x ) (3.) Χρησιμοποιώντας την (3.) και προκύπτει + = ( ) ( ) = ( ( ) ( + )) e e B x F x I B x F x te edt = ( I B( x ) F ( x )) e + B( x ) ( F ( x ) F ( x + te )) edt e ρ( x ) e + + M γ e /. B Και η απόδειξη ολοκληρώνεται με K = + M γ /. B B 3.7 Προσεγγιστικές διαφορές στον F Έστω ότι υπολογίζουμε το F( x) + ε ( x) αντί για τον F( x ) και ότι επιχειρούμε να προσεγγίσουμε τον F ( x) σε ένα διάνυσμα από μια προσέγγιση με προς τα εμπρός διαφορές. Αυτό το κάνουμε όταν για παράδειγμα φτιάχνουμε μια προσέγγιση Ιακωβιανής. Η j-οστή στήλη του F ( x) είναι F ( xe ) j, όπου e j είναι το μοναδιαίο διάνυσμα με j-οστό στοιχείο το και όλα τα υπόλοιπα. 4

43 Μια προσέγγιση με προς τα εμπρός διαφορές του F ( x) w θα ήταν: F( x+ hw) + ε ( x+ h) F( x) ε ( x) h. Έστω ότι ε ( x) ε. Τότε F( x+ hw) + ε ( x+ h) F( x) ε ( x) F ( x) w = O( h+ ε h). h Η ποσότητα μέσα στον όρο Ο ελαχιστοποιείται όταν h= ε. Αυτό σημαίνει ότι για παράδειγμα, πολύ μικρά βήματα διαφορών h μπορούν να οδηγήσουν σε ανακριβή αποτελέσματα. Στην ειδική περίπτωση όπου το ε ( x) είναι ένα αποτέλεσμα προσέγγισης μηχανής ε η ανάλυση υποδεικνύει ότι η 5 ( ) 7 5 επιλογή h είναι απόλυτα λογική. Η επιλογή h μπορεί να οδηγήσει σε καταστροφή! Εδώ πρέπει να υποθέσουμε ότι το x και το w έχουν σχεδόν το ίδιο μέγεθος. Αν όχι, τότε η επιλογή του h θα πρέπει να περιλαμβάνει τα x και w. Η επιλογή h= / ε x / w καλύπτει όλη την παραπάνω συζήτηση. Μια πιο σημαντική συνέπεια αυτής της ανάλυσης είναι ότι στην επιλογή του μεγέθους του βήματος, δηλαδή η επιλογή του h χρησιμοποιώντας προς τα εμπρός διαφορές για τη δημιουργία της Ιακωβιανής σε ένα διάνυσμα πρέπει να ληφθεί υπόψη το σφάλμα στην παραγώγιση του F. Αυτό μπορεί να είναι πολύ σημαντικό αν μέρος τουf προκύπτει από υπολογισμένα δεδομένα. Αν ο F( x ) έχει ήδη υπολογιστεί τότε το κόστος μιας προσέγγισης με προς τα εμπρός διαφορές του F ( x) w είναι ένας μόνο υπολογισμός του F( στο x+ hw). Οπότε η παραγώγιση μιας Ιακωβιανής με πεπερασμένες διαφορές θα κόστιζε Ν παραγωγίσεις, μία για κάθε στήλη της Ιακωβιανής. Η χρήση ειδικής μεθοδολογίας θα μείωνε αυτό το κόστος. Η προσέγγιση με προς τα εμπρός διαφορές στην παράγωγο δεν είναι γραμμικός τελεστής στο w. Ο λόγος είναι ότι η παράγωγος έχει προσεγγιστεί και κατά συνέπεια η γραμμικότητα έχει χαθεί. Γι αυτό πρέπει να είμαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί όταν ορίζουμε την προσεγγιστική διαφορά της Ιακωβιανής. Ορισμός 3.7. Έστω F ορισμένος σε μια περιοχή του N N πίνακας του οποίου η j-οστή στήλη δίνεται από: N x R. ( )( ) είναι ένας h F x 43

44 F( x+ h x ej ) F( x), x h x ( hf)( x) j = F( hej ) F( x), x= h Ορισμός 3.7. Έστω F ορισμένος σε μια περιοχή του N x R και έστω N w R. Έχουμε ότι:, w = F( x+ h x w / w ) F( x) DF h ( x : w) = w, w, x h x F( hw / w ) F( x) w, x=, w h (3.3) Από τις βασικές υποθέσεις (.4) και το λήμμα του Baah προκύπτει το παρακάτω αποτέλεσμα. ΛΗΜΜΑ 3.7. Έστω ότι ισχύουν οι βασικές υποθέσεις (.4). Τότε υπάρχουν δ, ε, h> τέτοια ώστε αν ε, h h και ε ( x) ε για όλα τα x B( δ ), τότε ο ( F+ ε h )( x ) είναι ομαλός για κάθε x B( δ ) και υπάρχει M > τέτοιο ώστε F F ( x) ( F+ ε )( x) M ( h+ ε ( x) / h). h F Αν υποθέσουμε ότι η μετέπειτα διαφορά βήματος έχει επιλεγεί έτσι ώστε h= O( ε ( x)) τότε ( x) = O( ε ( x)) από το λήμμα Ενδεικτικά αναφέρουμε το ακόλουθο θεώρημα. Για περισσότερα αποτελέσματα παραπέμπουμε τον αναγνώστη στο βιβλίο []. ΘΕΩΡΗΜΑ 3.7. Έστω ότι ισχύουν οι βασικές υποθέσεις (.4). Τότε υπάρχουν θετικά δ, ε και K τέτοια ώστε αν x B( δ ), ε ( x) ε για κάθε x B( δ ), και υπάρχει M _ > D τέτοιο ώστε τότε h > M _ ε ( x ) 44

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 03, 12 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι - Γενική θεωρία 2. Η μέθοδος του Newton

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων . Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ. & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Βασικά σημεία Μη γραμμικές εξισώσεις με πραγματικές ρίζες. Μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ). Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων Εισαγωγή Ορισμός 5.1 Γενικά, το πρόβλημα της αριθμητικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης Αγνοώ το πώς με βλέπει ο κόσμος αλλά στον εαυτό μου, φαίνομαι σαν να μην ήμουν τίποτα άλλο από ένα αγοράκι που παίζει στην ακρογιαλιά και κατά καιρούς

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές μέθοδοι

Επαναληπτικές μέθοδοι Επαναληπτικές μέθοδοι Η μέθοδος της διχοτόμησης και η μέθοδος Regula Fals που αναφέραμε αξιοποιούσαν το κριτήριο του Bolzano, πραγματοποιώντας διαδοχικές υποδιαιρέσεις του διαστήματος [α, b] στο οποίο,

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b) 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες διαφορές

Πεπερασμένες διαφορές Κεφάλαιο 2 Πεπερασμένες διαφορές Αυτό το κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στο αντικείμενο των πεπερασμένων διαφορών για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Θα εισαγάγουμε ποσότητες που προκύπτουν από διαφορές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,

Διαβάστε περισσότερα

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1, ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 2 ο Μάθημα 2 ο Αριθμητική επίλυση εξισώσεων (μη γραμμικές) Μέθοδοι με διαδοχικές δοκιμές σε διάστημα (Διχοτόμησης, Regula-Falsi) Μέθοδοι με επαναληπτικούς

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 47 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει Θεώρημα Bolzno. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f f 0, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0

Διαβάστε περισσότερα

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ 8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 253 σχολικού βιβλίου. Έστω x1,

Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 253 σχολικού βιβλίου. Έστω x1, Πανελληνίων Θέμα Α Α. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 53 σχολικού βιβλίου. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι. Πράγματι, στο διάστημα, ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει, Επειδή, οπότε έχουμε και,

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ),

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ), Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 Μαθηματικά Προσανατολισμού /6/8 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, ισχύει ότι: Για κάθε έχουμε: Επομένως ισχύει ότι: Δηλαδή:

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 2: Παραγοντοποίηση LU Παναγιώτης Ψαρράκος Αν Καθηγητής ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα

Ιδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα Ιδιάζουσες τιμές πίνακα Επειδή οι πίνακες που παρουσιάζονται στις εφαρμογές είναι μη τετραγωνικοί, υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μία μέθοδος που να «μελετά» τους μη τετραγωνικούς με «μεθόδους και ποσά» που

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.κυρτή 3.Κοίλη 4.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 5.Σημεία καμπής 6.Παραβολική προσέγγιση(επέκταση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 07, 2 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Η ανάλυση Cholesky 2. Νόρμες

Διαβάστε περισσότερα