ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν."

Transcript

1 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός 3.9). Τα αξιώματα αυτά αφορούν διάφορες συνθήκες διαχωρισμού κατάλληλων συνόλων κυρίως με την χρήση ανοικτών συνόλων. 4. Χώροι Husdorff κανονικοί 3 και φυσιολογικοί 4 Υπενθυμίζουμε ότι ένας τ.χ. λέγεται Husdorff ή αν για κάθε ζεύγος y διαφορετικών σημείων του υπάρχουν ξένα ανοικτά σύνολα και ώστε και y. Ορισμός 4.. Έστω τ.χ. Husdorff. (α) O χώρος καλείται 3 ή κανονικός ( regulr ) αν για κάθε και κάθε κλειστό F με F υπάρχουν ξένα ανοικτά σύνολα και ώστε και F. (β) Ο χώρος καλείται 4 ή φυσιολογικός ( orml) αν για κάθε ζεύγος κλειστών ξένων υποσυνόλων F και F του υπάρχουν ξένα ανοικτά σύνολα και ώστε F και F. Παρατήρηση 4. Είναι σαφές ότι 4 3. Λίγο αργότερα θα δώσουμε αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. Υπάρχουν δύο ασθενέστερα διαχωριστικά αξιώματα: 0 - για κάθε ζεύγος διαχωριστικών σημείων τουλάχιστον τουλάχιστον ένα έχει μια περιοχή που δεν περιέχει το άλλο και : για κάθε ζεύγος διαφορετικών σημείων το καθένα από τα σημεία έχει μια περιοχή που δεν περιέχει το άλλο. Ο χώρος του erpsk είναι 0 αλλά όχι. Ένα άπειρο σύνολο με την συμπεπερασμένη τοπολογία είναι αλλά δεν είναι.( Πρβλ. παράδειγμα. (4)(5) και παρατήρηση 3.0.) Στις ασκήσεις θα δούμε ότι η συνθήκη στον ορισμό των κανονικών και φυσιολογικών χώρων μπορεί να αντικατασταθεί από την συνθήκη.

2 94 Πρόταση 4.3. Έστω τ.χ. τότε οι ακόλουθοι ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι: (α) είναι Husdorff. (β) Έστω. Για κάθε y υπάρχει περιοχή του ώστε y. (γ) Για κάθε : είναι περιοχή του (δ) Η διαγώνιος. : είναι κλειστή τον. Απόδειξη. (α) (β). Έστω y υπάρχουν και ξένες ανοικτές περιοχές των και y αντίστοιχα. Άρα \ και επειδή \ κλειστό έχουμε \ από όπου έπεται y. (β) (γ). Έστω y τότε υπάρχει W περιοχή του ώστε y W άρα y : είναι περιοχή του. Κατά συνέπεια η τομή αυτή περιέχει μόνο το. (γ) (δ). Παρατηρούμε ότι για και υποσύνολα του ισχύει ότι:. Πράγματι :. και Αποδεικνύουμε τώρα την συνεπαγωγή (γ) (δ). Θα αποδείξουμε ότι το σύνολο \ είναι ανοικτό στον. Έστω y τότε y και από την υπόθεση : είναι περιοχή του άρα υπάρχει περιοχή του με y. Επειδή \ το σύνολο \ είναι περιοχή του y η οποία περιέχεται στο \. Έτσι το σύνολο αυτό είναι ανοικτό στον και άρα η διαγώνιος είναι κλειστό στον. (δ) (α). Έστω και y διαφορετικά σημεία του. Τότε το y y ανήκει στο ανοικτό \. Έπεται ότι το σημείο y έχει μια ανοικτή βασική περιοχή στον χώρο η οποία δεν τέμνει την. Δηλαδή y και.

3 95 Παρατήρηση 4.5 Έστω χώρος Husdorff τότε από τον ισχυρισμό (γ) της προηγούμενης πρότασης έπεται ότι τα μονοσύνολα και άρα τα πεπερασμένα υποσύνολα του είναι κλειστά. Το ίδιο αποτέλεσμα έπεται και από το γεγονός ( που ήδη έχουμε παρατηρήσει ) ότι τα πεπερασμένα υποσύνολα κάθε χώρου είναι συμπαγή και επειδή ο χώρος είναι Husdorff είναι σύμφωνα με την πρόταση 3. αναγκαία κλειστά Τα τρία αξιώματα διαχωρισμού απεικονίζονται στο σχήμα: Οι κανονικοί και φυσιολογικοί χώροι χαρακτηρίζονται με τον ακόλουθο τρόπο. Πρόταση 4.6 Έστω χώρος Husdorff. (α) Ο είναι κανονικός αν και μόνο αν για κάθε και για κάθε περιοχή του υπάρχει περιοχή του ώστε από κλειστά σύνολα ). ( αν και μόνο αν κάθε έχει μια βάση περιοχών (β) Ο είναι φυσιολογικός αν και μόνο αν για κάθε κλειστό και για κάθε ανοικτό με υπάρχει ανοικτό ώστε. Απόδειξη. (α) Υποθέτουμε ότι ο είναι κανονικός. Έστω και ανοικτή περιοχή του. Θέτουμε \ τότε το είναι κλειστό σύνολο. Από την υπόθεση υπάρχουν ξένα ανοικτά σύνολα καιw με και W. Το σύνολο είναι ξένο προς το αφού αν y το σύνολο W είναι μια περιοχή του y ξένη προς το. Επομένως.

4 96 Αποδεικνύουμε το αντίστροφο. Έστω και κλειστό σύνολο ώστε. Θέτομε \. Από την υπόθεση υπάρχει ανοικτή περιοχή του ώστε. Τα ανοικτά σύνολα και \ είναι ξένα και περιέχουν το σημείο και το σύνολο αντίστοιχα. Επομένως ο είναι κανονικός. Πρέπει τώρα να είναι σαφές ότι ο ισχυρισμός (α) ισοδυναμεί με το γεγονός ότι κάθε έχει μια βάση περιοχών B αποτελούμενη από κλειστά σύνολα. (β) Αυτή η απόδειξη είναι εντελώς ανάλογη της προηγουμένης. Αρκεί να αντικαταστήσουμε το σημείο με το σύνολο Παρατήρηση 4.7. Στον χώρο R R R μπορούμε να ταυτίσουμε μια ευθεία παράλληλη με τον άξονα των με την πραγματική ευθεία R. Αυτή η ιδέα επεκτείνεται και σε κάθε καρτεσιανό γινόμενο τοπολογικών χώρων. Έστω οικογένεια τοπολογικών χώρων δεδομένο σημείο του 0 0 Θέτουμε 0 0 ; και δεδομένη συντεταγμένη ( ). Το σύνολο 0 ; ονομάζεται η «φέτα» ( slce) η οποία διέρχεται από το 0 και είναι παράλληλη με τον. Για παράδειγμα στον 0 με 3 R R R R η «φέτα» 0 ; y : y R είναι η ευθεία η παράλληλη με τον άξονα των y η οποία διέρχεται από το σημείο 0 Αποδεικνύεται εύκολα το ακόλουθο αποτέλεσμα η απόδειξη του οποίου αφήνεται ως άσκηση. Η απεικόνιση : ομοιομορφισμός του χώρου η οποία ορίζεται ως εξής y με τον υπόχωρο 0 ; 0 είναι ένας y του. Δηλαδή κάθε

5 97 παράγοντας ενός καρτεσιανού γινομένου τοπολογικών χώρων «εμφυτεύεται» ομοιομορφικά στον χώρο... Θεώρημα 4.8.(α) Ένας υπόχωρος ενός χώρου Husdorff είναι Husdorff. Ένα γινόμενο τοπολογικών χώρων είναι Husdorff αν και μόνο αν κάθε παράγων του γινομένου είναι Husdorff. (β) Ένας υπόχωρος ενός κανονικού χώρου είναι κανονικός. Ένα γινόμενο τοπολογικών χώρων είναι κανονικός χώρος αν και μόνο αν κάθε παράγων του γινομένου είναι κανονικός χώρος. Απόδειξη (α) Έστω χώρος Husdorff και υπόχωρος του. Έστω δύο διαφορετικά σημεία και y του. Αν και είναι ξένες περιοχές του και y αντίστοιχα τότε και είναι ξένες περιοχές των και y στον υπόχωρο του. Έστω τώρα : οικογένεια χώρων Husdorff. Θεωρούμε δύο διαφορετικά σημεία και y y του γινομένου. Επειδή y υπάρχει συντεταγμένη έτσι ώστε y. Επιλέγουμε ξένα ανοικτά σύνολα και στον χώρο ώστε και y. Τότε τα σύνολα και είναι ξένα ανοικτά ( υποβασικά ) υποσύνολα του τα οποία περιέχουν τα σημεία και y αντίστοιχα. Αντίστροφα υποθέτουμε ότι το γινόμενο είναι χώρος Husdorff. Επειδή κάθε παράγων του γινομένου είναι σύμφωνα με την παρατήρηση 4.7 ομοιομορφικός με υπόχωρο του έπεται από το πρώτο μέρος της απόδειξής μας ότι ο Husdorff. είναι χώρος (β) Έστω ένας υπόχωρος ενός κανονικού χώρου. Επειδή ο είναι Husdorff ( ως κανονικός ) και ο είναι Husdorff. Έστω και κλειστό στον ώστε. Τότε όπου είναι η κλειστότητα του στον ( πρβλ. πρόταση.39 (γ)). Επομένως έτσι από την κανονικότητα του μπορούμε να επιλέξουμε ξένα ανοικτά σύνολα στον ώστε και

6 98. Τότε και είναι ξένα ανοικτά σύνολα στον που περιέχουν τα και αντίστοιχα. Έστω : οικογένεια κανονικών χώρων. Θέτουμε. Από τον ισχυρισμό (α) ο είναι Husdorff. Θα αποδείξουμε ότι ο είναι κανονικός με την βοήθεια της πρότασης 4.6 (α). Έστω ένα σημείο του και μια περιοχή του στον χώρο. Επιλέγουμε ένα βασικό ανοικτό σύνολο W ( F πεπερασμένο ) του ώστε W. Για κάθε F F F επιλέγουμε ανοικτή περιοχή του στον ώστε ότι F θέτουμε. Τότε το σύνολο F F. Αν συμβαίνει είναι μια περιοχή του στον χώρο. Από την άσκηση των παραγράφων. και. έχουμε ότι. Έπεται ότι W F F και έτσι ο είναι κανονικός. Αν τώρα το γινόμενο είναι κανονικός χώρος τότε το γεγονός ότι αναγκαία κάθε παράγων χώρων Husdorff. είναι κανονικός έπεται όπως και ( πριν στον ισχυρισμό (α) ) για ένα γινόμενο Παραδείγματα 4.9. ) Κάθε κανονικός χώρος είναι Husdorff αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει. Θεωρούμε το σύνολο R των πραγματικών αριθμών με εκείνη την τοπολογία η οποία έχει ως υποβάση τα ανοικτά διαστήματα και το σύνολο των ρητών αριθμών. Επειδή η είναι λεπτότερη της Ευκλείδειας τοπολογίας ο χώρος R είναι Husdorff. O R δεν είναι κανονικός χώρος. Πράγματι το σύνολο των αρρήτων R\ Q είναι κλειστό αλλά για το και το δεν υπάρχουν ξένα ανοικτά σύνολα και με και ( γιατί ;). ) Κάθε φυσιολογικός χώρος είναι κανονικός αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει. Πράγματι ο χώρος R ( = η ευθεία orgefrey παράδειγμα.33 ()) είναι φυσιολογικός επομένως τόσο ο R όσο και ο R R είναι κανονικοί χώροι. Εντούτοις ο R R δεν είναι φυσιολογικός.

7 99 Αυτό το παράδειγμα εξυπηρετεί δύο σκοπούς. Μας δείχνει ότι ένας κανονικός χώρος δηλαδή R ο R δεν είναι φυσιολογικός και επίσης δείχνει ότι το γινόμενο δύο φυσιολογικών χώρων δεν είναι απαραίτητα φυσιολογικός. Θα αποδείξουμε ότι ο R είναι φυσιολογικός. Για την μη φυσιολογικότητα του R R παραπέμπουμε στην βιβλιογραφία. Έστω ξένα κλειστά υποσύνολα του R. Για κάθε σημείο επιλέγουμε ένα βασικό ανοικτό του R το οποίο δεν τέμνει το ανάλογα για κάθε σημείο επιλέγουμε ένα βασικό ανοικτό το οποίο δεν τέμνει το. Τα ανοικτά σύνολα και B είναι ξένα ( γιατί; ) και περιέχουν τα και αντίστοιχα. Έτσι ο R είναι φυσιολογικός. 3)Υπάρχουν παραδείγματα 4 χώρων με υπόχωρο ο οποίος δεν είναι 4. (Όπως θα διαπιστώσουμε στην τρίτη παράγραφο αυτού του κεφαλαίου ο R R είναι ομοιομορφικός με υπόχωρο φυσιολογικού χώρου). Βέβαια κάθε κλειστός υπόχωρος φυσιολογικού χώρου είναι φυσιολογικός. ( Άσκηση). Τα επόμενα τρία θεωρήματα μας δείχνουν ότι κάτω από κατάλληλες υποθέσεις η φυσιολογικότητα ενός χώρου διασφαλίζεται.. Συγχρόνως μας «προμηθεύουν» με σημαντικές για τις εφαρμογές κλάσεις φυσιολογικών χώρων. Θεώρημα 4.0. Κάθε μετρικοποιήσιμος χώρος είναι φυσιολογικός. Απόδειξη. Έστω ένας μετρικοποιήσιμος χώρος και d μια μετρική που επάγει την τοπολογία του. Έστω και ξένα κλειστά υποσύνολα του. Για κάθε επιλέγουμε 0 έτσι ώστε η ανοικτή σφαίρα κάθε επιλέγουμε 0 έτσι ώστε η σφαίρα B δεν τέμνει το. Ανάλογα για B δεν τέμνει το. Θέτουμε

8 00 B και B. Τότε τα και είναι ανοικτά σύνολα που περιέχουν τα και αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι είναι ξένα. Πράγματι αν z για κάποια σημεία d d τότε. Αν και τότε B συνεπώς. z B B και. Από την τριγωνική ανισότητα έπεται ότι τότε d άρα B. Αν τότε. Έτσι και στις δύο περιπτώσεις καταλήγουμε σε άτοπο Παρατήρηση 4. Μια άλλη απόδειξη του προηγούμενου θεωρήματος χρησιμοποιεί ένα γνωστό αποτέλεσμα για μετρικούς χώρους. Αν d είναι μετρικός χώρος και τότε η απεικόνιση : d (= d y άρα συνεχής. f : y ) είναι Lpschtz και Έστω λοιπόν και ξένα (μη κενά) κλειστά υποσύνολα του. Θέτουμε d d f. d Εύκολα αποδεικνύεται ότι η f είναι μια καλά ορισμένη απεικόνιση η οποία είναι συνεχής αφού προκύπτει με τις συνήθεις αλγεβρικές πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επιπλέον είναι απλό να ελέγξουμε ότι f 0 και f. Παρατηρούμε τώρα ότι τα ανοικτά σύνολα f και f και αντίστοιχα και επιπλέον είναι μεταξύ τους ξένα. περιέχουν τα Έτσι ο ορισμός ικανοποιείται και ο μετρικός χώρος είναι φυσιολογικός. Οι λεπτομέρειες της παραπάνω απόδειξης αφήνονται ως άσκηση.

9 0.. Θεώρημα 4.. Κάθε συμπαγής χώρος Husdorff είναι φυσιολογικός. Απόδειξη. Έστω και ξένα κλειστά υποσύνολα του τότε τα και είναι συμπαγή. Έτσι η απόδειξη ότι ο είναι φυσιολογικός έπεται προφανώς από το ακόλουθο αποτέλεσμα (πρβλ. και την άσκηση 5 (α)του κεφαλαίου 3.): Αν και είναι ξένα και συμπαγή υποσύνολα ενός χώρου Husdorff τότε υπάρχουν και ανοικτά υποσύνολα του ώστε και. Πράγματι για κάθε μπορούμε να επιλέξουμε χρησιμοποιώντας το Λήμμα 3. ξένα ανοικτά σύνολα και ώστε και. Η οικογένεια : είναι ένα ανοικτό κάλυμμα του συμπαγούς συνεπώς υπάρχουν... ( όπου N ) ώστε k k. Εύκολα έπεται τότε ότι τα ανοικτά σύνολα... και... είναι ξένα και περιέχουν τα και αντίστοιχα. Θεώρημα 4.3 Κάθε κανονικός και ος αριθμήσιμος χώρος είναι φυσιολογικός. Απόδειξη: Έστω ένας κανονικός χώρος με μια αριθμήσιμη βάση B για την τοπολογία του. Έστω και κλειστά και ξένα υποσύνολα του. Κάθε σημείο έχει μια περιοχή ώστε. Από την πρόταση 4.6 (α) μπορούμε να επιλέξουμε μια περιοχή του ώστε. Επειδή η B είναι βάση για την τοπολογία του η μπορεί να επιλεγεί ώστε να ανήκει στην B. Επιλέγοντας ένα τέτοιο βασικό ανοικτό σύνολο για κάθε έχουμε κατασκευάσει ένα αριθμήσιμο κάλυμμα του συνόλου από ανοικτά σύνολα των οποίων οι κλειστότητες τέμνουν το. Ας συμβολίσουμε αυτό το ανοικτό κάλυμμα με : N ( ). Ανάλογα κατασκευάζουμε ένα ανοικτό κάλυμμα : N του έτσι ώστε.

10 0 Τα σύνολα και είναι ανοικτά και περιέχουν τα και αντίστοιχα όμως δεν είναι κατ ανάγκη ξένα. Για να επιτύχουμε δύο ξένες ανοικτές περιοχές των και αντίστοιχα εκλεπτύνουμε τα μέλη των ανωτέρω καλυμμάτων με τον ακόλουθο τρόπο. Για κάθε N θέτουμε \ k και \. k k k Παρατηρούμε ότι κάθε κλειστού συνόλου k είναι ανοικτό ως διαφορά ενός ανοικτού συνόλου και ενός k. Ανάλογα κάθε είναι ανοικτό σύνολο. Η οικογένεια : N καλύπτει το επειδή κάθε ανήκει σε κάποιο και βέβαια το δεν ανήκει σε κανένα από τα k k N. Ανάλογα έχουμε ότι η οικογένεια : N καλύπτει το. Τελικά αποδεικνύουμε ότι τα ανοικτά σύνολα και είναι ξένα. Πράγματι αν τότε για κάποιους m N. Ας m υποθέσουμε ότι m. Έπεται από τον ορισμό του συνόλου ότι και επειδή m έπεται από τον ορισμό του υποθέσουμε ότι m. m ότι Η απόδειξη του θεωρήματος είναι πλήρης.. Μια ανάλογη αντίφαση προκύπτει αν.. Σημείωση 4.4. Στην πραγματικότητα ισχύει ένα ισχυρότερο αποτέλεσμα: Κάθε κανονικός και ος αριθμήσιμος χώρος είναι μετρικοποιήσιμος ( και άρα από το θεώρημα 4.0 φυσιολογικός). Το αποτέλεσμα αυτό θα αποδειχθεί στην επόμενη παράγραφο με την βοήθεια του θεμελιώδους Λήμματος του rysoh και αυτού τούτου του θεωρήματος 4.3.

11 03 Ορισμός 4.5. Ένας χώρος λέγεται χώρος Ldelof αν κάθε ανοικτό κάλυμμα του έχει αριθμήσιμο υποκάλυμμα. Η έννοια του χώρου Ldelof δεν θα μας απασχολήσει ιδιαίτερα σε αυτές τις σημειώσεις και οι περισσότερες από τις ιδιότητές τους θα περιγραφούν στις ασκήσεις. Παρόλα αυτά παρατηρούμε τα ακόλουθα: (α) Κάθε συμπαγής χώρος είναι Ldelof ( προφανές ). (β) Κάθε ος αριθμήσιμος χώρος είναι Ldelof και (γ) Κάθε κλειστός υπόχωρος χώρου Ldelof είναι χώρος Ldelof. ( οι ιδιότητες (β) και (γ) αποδεικνύονται εύκολα.) Επίσης σημειώνουμε ότι ουσιαστικά με την ίδια απόδειξη με αυτήν του θεωρήματος 4.3 ( ελέγξτε τις λεπτομέρειες) έχουμε το ακόλουθο γενικότερο αποτέλεσμα Θεώρημα 4.6. Κάθε κανονικός και Ldelof χώρος είναι φυσιολογικός. Παραδείγματα 4.7. ) Ο χώρος R είναι Ldelof αλλά ο χώρος R R δεν είναι Καθώς ο χώρος R δεν είναι ος αριθμήσιμος ( πρβλ. παράδειγμα.33 ()) το παράδειγμα αυτό δείχνει ότι ένας χώρος Ldelof δεν είναι αναγκαία ος αριθμήσιμος. Επί πλέον δείχνει ότι η ιδιότητα Ldelof δεν διατηρείται στο γινόμενο. Έστω : ένα ανοικτό κάλυμμα του R. Επειδή τα υποδιαστήματα της μορφής R με είναι μια βάση για την τοπολογία του υποθέσουμε ότι κάθε : είναι ένα διάστημα της μορφής R μπορούμε να. Έστω C. Θα αποδείξουμε ότι το σύνολο R\ C είναι αριθμήσιμο. Έστω R \ C αναγκαία τότε για κάποιο. Επιλέγουμε ένα ρητό αριθμό q ο οποίος να ανήκει στο ανοικτό διάστημα. Επειδή αυτό το διάστημα περιέχεται στο C το ίδιο ισχύει και για το διάστημα q. Έπεται τότε ότι η απεικόνιση R \ C q Q

12 04 είναι ( Q = οι ρητοί) επομένως το R\ C είναι αριθμήσιμο. ( Πράγματι αν yr \ C ώστε y τότε q qy διαφορετικά το y θα ανήκει στο διάστημα q εφόσον το y ανήκει στο R\ C και το q περιέχεται στο C.) αντίφαση Το σύνολο C είναι με την τοπολογία την επαγόμενη από την ευκλείδεια τοπολογία του R ος αριθμήσιμος χώρος επομένως θα υπάρχει μια αριθμήσιμη υποοικογένεια έστω : N ώστε C. Έπεται από τα παραπάνω ότι η οικογένεια : R \ C : N είναι ένα αριθμήσιμο υποκάλυμμα του καλύμματος :. Έτσι ο χώρος R είναι Ldelof. Αποδεικνύουμε τώρα ότι ο R R δεν είναι Ldelof. Μια βάση για την τοπολογία γινόμενο του χώρου R R αποτελείται από τα ορθογώνια της μορφής c d ( c d R c d ). Παρατηρούμε ότι ο υπόχωρος L : R του R R είναι κλειστό υποσύνολο αυτού του χώρου ( γιατί; ). Καλύπτουμε τον R R της μορφής με το ανοικτό σύνολο \ d. R R L και με όλα τα βασικά ανοικτά Το καθένα από τα ορθογώνια αυτής της μορφής τέμνει τον L σε ένα μόνο σημείο το οποίο είναι το σημείο με συντεταγμένες και. Επειδή ο L είναι υπεραριθμήσιμο σύνολο το κάλυμμα του χώρου R R το οποίο ορίσαμε δεν έχει αριθμήσιμο υποκάλυμμα. Έτσι ο χώρος R R δεν είναι Ldelof. ( Δες και το σχήμα.) Σημειώνουμε ότι ο χώρος R R αναφέρεται συνήθως στην βιβλιογραφία ως το επίπεδο orgefrey

13 05 ) Έστω υπεραριθμήσιμο σύνολο. Ο κύβος 0 είναι Ldelof ως συμπαγής αλλά σύμφωνα με το θεώρημα.7 ( πρβλ. και την παρατήρηση.0 (4)) δεν είναι ος αριθμήσιμος επομένως ούτε και ος αριθμήσιμος.

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

f x 0 για κάθε x και f 1

f x 0 για κάθε x και f 1 06 4.2 Το Λήμμα του Uysoh το Λήμμα της εμφύτευσης και το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Ο κύριος στόχος αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεμελιώδους αποτελέσματος γνωστού ως το Λήμμα του Uysoh.

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βάσεις και υποβάσεις.

1.2 Βάσεις και υποβάσεις. . Βάσεις και υποβάσεις. Το «καθήκον» του ορισμού μιας τοπολογίας διευκολύνεται αν είμαστε σε θέση να περιγράψουμε αρκετά ανοικτά σύνολα τα οποία να παραγάγουν όλα τα ανοικτά σύνολα. Ορισμός.9. Έστω X,

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και 8.3 Σχετική τοπολογία και υπόχωροι. Ορισμός.37. Έστω X, τ.χ. Αν U : U X, τότε η οικογένεια είναι μια τοπολογία στο σύνολο, η οποία ονομάζεται η σχετική ( ή επαγόμενη ) τοπολογία του. Ο χώρος, ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον.

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον. 67 2.3 Χώροι πηλίκο και τοπολογία πηλίκο Στην παρούσα παράγραφο θα δείξουμε πως μπορούμε μέσω μιας απεικόνισης ενός δεδομένου τοπολογικού χώρου επί ενός συνόλου να εισαγάγουμε τοπολογία στο σύνολο, την

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος). 4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.

Διαβάστε περισσότερα

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ 8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω ( X, ) και (, ) X Y {( x, ) : x X και Y} Y χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση. 3 Παράρτημα 2 Παρατηρήσεις, ασκήσεις και Διορθώσεις Παράγραφος ) Σελίδα, : Παρατηρούμε τα ακόλουθα για το χώρο πηλίκο / Y : Y = / Y και (α) { } (β) = Y / Y { } Επίσης από τον τύπο () έπεται ιδιαίτερα ότι

Διαβάστε περισσότερα

B X Y : T X Y = U i V i : U i T X, V i T Y. (x, y) (U 1 V 1 ) (U 2 V 2 ) = (U 1 U 2 ) (V 1 V 2 ) B X Y. ((0, 2) (1, 3)) ((1, 3) (1, 2)) B X B Y

B X Y : T X Y = U i V i : U i T X, V i T Y. (x, y) (U 1 V 1 ) (U 2 V 2 ) = (U 1 U 2 ) (V 1 V 2 ) B X Y. ((0, 2) (1, 3)) ((1, 3) (1, 2)) B X B Y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 5Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΕΠΑΓΟΜΕΝΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Τοπολογια γινομενο και προβολες Εστω X, Y τοπολογικοί

Διαβάστε περισσότερα

ii

ii Σημειώσεις Γενικής Τοπολογίας Σημειώσεις Μ. Γεραπετρίτη από τις παραδόσεις (διορθώσεις, 2016) Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 ii Περιεχόμενα 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα,

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A}

f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A} ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 11Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Μετά τη συνεκτικότητα, όπου είδαμε κάπως αναλυτικά την ιδιότητα εκείνη που επιτρέπει σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

j=1 x n (i) x s (i) < ε.

j=1 x n (i) x s (i) < ε. Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: ιαχωριστικά αξιώµατα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1]

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1] 20 3Τοποογικοί διανυσματικοί χώροι 3. Βασικές έννοιες και ορισμοί. Έστω διανυσματικός χώρος υπεράνω του σώματος K ( K Rή C) = και A. (α) Το A έγεται κυρτό αν, για κάθε x, y A, για κάθε [ 0,] ισχύει ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΟΓΔΟΟ ΜΑΘΗΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ. Έστω μετρικός χώρος (X, d) και A X. Ονομάζουμε εσωτερικό του A το σύνολο Ονομάζουμε σύνορο του A το σύνολο A = {x x εσωτερικό του A}. A = {x

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)].

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)]. 3 Ασκήσεις ) Έστω διανυσματικός χώρος, C κυρτό και C. (α) Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) e( C) = +,(ιι), = = και (ιιι) Το σύνολο C \{ } είναι κυρτό. (β) Επίσης αποδείξτε ότι αν e( C) και

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1]

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1] 0 3Τοποογικοί διανυσματικοί χώροι 3. Βασικές έννοιες και ορισμοί. Έστω E διανυσματικός χώρος υπεράνω του σώματος K ( K Rή C) = και A E. (α) Το A έγεται κυρτό αν, για κάθε x, y A, για κάθε [ 0,] ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Shmei seic Genik c TopologÐac. Miqa l GerapetrÐthc

Shmei seic Genik c TopologÐac. Miqa l GerapetrÐthc Shmei seic Genik c TopologÐac Miqa l GerapetrÐthc Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na, 2013 ii Perieqìmena Εισαγωγή 1 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα, βάσεις και υποβάσεις..................

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στην Τοπολογία! http://eclass.uoa.gr/courses/math451/ Χειμερινό Εξάμηνο 2015-16 Υπενθύμιση: Η τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης Εστω K ένα σύνολο (π.χ. K = [a,b]) και f n,f : K R φραγμένες

Διαβάστε περισσότερα

x \ B T X. A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0}

x \ B T X. A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0} ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 6Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΚΛΕΙΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΚΑΙ ΚΛΕΙΣΤΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΧΩΡΟΙ HAUSDORFF ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Κλειστα συνολα Εχοντας

Διαβάστε περισσότερα

S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3...,

S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3..., ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 017-18 ΜΕΜ31-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 3Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΝΤΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΥ R ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Ανοικτα και κλειστα συνολα του R Το σύνολο R των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

x < A y f(x) < B f(y).

x < A y f(x) < B f(y). Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Ασκήσεις στα Κεφάλαια 5 & 6 1. Αυτή είναι ουσιαστικά η Άσκηση 5.2 (σελ. 119), από τις σημειώσεις του Σκανδάλη. Εστω A, < καλά διατεταγμένο σύνολο και έστω στοιχείο a A. Αποδείξτε

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

R f. P = {a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b} m k = inf{f(x) : x k x x k+1 } και M k = sup{f(x) : x k x x k+1 }

R f. P = {a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b} m k = inf{f(x) : x k x x k+1 } και M k = sup{f(x) : x k x x k+1 } Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2014 ii Πρώτη έκδοση, πιθανόν με τυπογραφικά λάθη. Περιεχόμενα Εισαγωγή 1 1 σ-άλγεβρες 5 1.1 Άλγεβρες και σ-άλγεβρες.........................

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ»

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» Εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata Εστω f : X Y μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, ρ) στο χώρο με νόρμα (Y, ). Η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: f(x) f(y) ρ(x, y) dist(f) = sup sup x y ρ(x, y)

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΗΜΜΑ. Έστω μετρικός χώρος (X, d) και x, y X με x y. Τότε υπάρχει μια περιοχή του x και μια περιοχή του y (και, μάλιστα, ίδιας ακτίνας) οι οποίες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. Πολλαπλότητες. & Γεωμετρία των τριών διαστάσεων

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. Πολλαπλότητες. & Γεωμετρία των τριών διαστάσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Πολλαπλότητες & Γεωμετρία των τριών διαστάσεων Οι οκτώ γεωμετρίες του 3-διάστατου χώρου ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Φωτεινός Μεργούπης-Ανάγνου

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

B = {x A : f(x) = 1}.

B = {x A : f(x) = 1}. Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 016 017 Λύσεις 1. Χρησιμοποιώντας την Αρχή του Περιστερώνα για τους φυσικούς αριθμούς, δείξτε ότι για κάθε πεπερασμένο σύνολο A και για κάθε f : A A, αν η f είναι 1-1 τότε

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό ) είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ Άσκηση 11.1.2. (i) Είναι η συνάρτηση d : R R R με τύπο d(x, y) = (x y) 2 μετρική στο R; (ii) Ίδια ερώτηση για την d : R R R με τύπο d(x, y) = x y

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 14, 30 Απριλίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο (Ευκλείδειοι χώροι) 2. Βέλτιστες προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

x R 2 : (x 1 x 01 ) 2 + (x 2 x 02 ) 2 < ε}

x R 2 : (x 1 x 01 ) 2 + (x 2 x 02 ) 2 < ε} 1 Ανοικτή μπάλα στον R n Ορισμός: Εστω x 0 R n και ε > 0. Ανοικτή μπάλα του R n με κέντρο x 0 και ακτίνα ε καλείται το σύνολο: B( x 0, ε) = { x R n : x x 0 < ε} Κλειστή μπάλα στον R n Ορισμός: Εστω x 0

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 + z 2 = R 2.

x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Σημειώσεις μαθήματος Μ2324 Γεωμετρική Τοπολογία Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2011 Εισαγωγή Η Γεωμετρική Τοπολογία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που μελετάει τα ολικά χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ας θυμηθούμε από την περασμένη φορά ότι ένα σύνολο M σε έναν μετρικό χώρο (X, d είναι συμπαγές όταν: αν έχουμε οποιαδήποτε ανοικτά σύνολα που καλύπτουν

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών

Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών 2010-11 Περιεχόμενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισμός και παραδείγματα........................... 3 1.2 Χώροι με

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

35 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ Του προπτυχιακού φοιτητή Ευάγγελου Γκούμα

35 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ Του προπτυχιακού φοιτητή Ευάγγελου Γκούμα 35 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ Του προπτυχιακού φοιτητή Ευάγγελου Γκούμα Ασκήσεις στους τοπολογικούς χώρους 1.Δίνεται το σύνολο Χ={a, b, c, d, e}. Να εξετάσετε αν τα σύνολα και τ 1= {, Χ, {a},

Διαβάστε περισσότερα

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ

Διαβάστε περισσότερα

Μπάμπης Στεργίου. Η Αρχική Συνάρτηση. Προτάσεις. Παραδείγματα. Ασκήσεις. *** Αφιερωμένο στους συναδέλφους που μοχθούν για μια καλύτερη παιδεία.

Μπάμπης Στεργίου. Η Αρχική Συνάρτηση. Προτάσεις. Παραδείγματα. Ασκήσεις. *** Αφιερωμένο στους συναδέλφους που μοχθούν για μια καλύτερη παιδεία. Μπάμπης Στεργίου Η Αρχική Συνάρτηση Προτάσεις Παραδείγματα Ασκήσεις 016 *** Αφιερωμένο στους συναδέλφους που μοχθούν για μια καλύτερη παιδεία. Σελίδα 1 από 8 Προτάσεις και ασκήσεις στην αρχική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ :  https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Πραγματική Ανάλυση. Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Πραγματική Ανάλυση. Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Πραγματική Ανάλυση Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Το μέτρο Lebesgue.. Μήκη διαστημάτων..................................2

Διαβάστε περισσότερα

με μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου

με μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Η ΑΛΓΕΒΡΑ ασχολείται με τους αριθμούς και τις μεταξύ τους σχέσεις Οι φυσικοί αριθμοί (συμβολίζονται με το γράμμα Ν) Ν={ 1,,3 }επινοήθηκαν από τον

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα