Εισαγωγή στην Τοπολογία

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στην Τοπολογία"

Transcript

1 Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

3 Περιεχόµενα ενότητας 6 Συνθήκες Αριθµησιµότητας ιαχωρίσιµοι Χώροι Πρώτοι Αριθµήσιµοι Χώροι εύτεροι Αριθµήσιµοι Χώροι Χώροι Lindelöf Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 6 Συνθήκες Αριθµησιµότητας Μία άλλη σηµαντική ιδιότητα που µπορεί να παρουσιάζει η τοπολογία ενός χώρου, είναι να παρουσιάζει µία ισχυρή έννοια πυκνότητας. ηλαδή, ενδέχεται να αρκούν «λίγα» ανοικτά σύνολα για την πλήρη περιγραφή της (για παράδειγµα, ο χώρος µπορεί να διαθέτει µία αριθµήσιµη ϐάση για την τοπολογία ή αριθµήσιµες ϐάσεις περιοχών για κάθε σηµείο του). Θα ϑέλαµε να εξετάσουµε σε τι ϐαθµό µπορεί να διαθέτει ένας τοπολογικός χώρος αυτή την ιδιότητα. Για ακόµη µία ϕορά, αυτή η διερεύνηση δεν έχει ως µοναδικό σκοπό να περιγράψει τους τοπολογικούς χώρους µε αυτή την έννοια πυκνότητας, αλλά και να µας οδηγήσει στις συνθήκες που ϑα πρέπει να ικανοποιεί ένας τοπολογικός χώρος για να είναι µετρικοποιήσιµος. Η προσέγγιση που ϑα ακολουθήσουµε είναι ανάλογη µε αυτή του προηγούµενου κεφαλαίου. 6.1 ιαχωρίσιµοι Χώροι Η διαχωρισιµότητα είναι µία έννοια που έχει εµφανιστεί και κατά τη µελέτη των µετρικών χώρων και α- ϕορά την ύπαρξη ενός πυκνού αριθµήσιµου συνόλου. Αρκετά από τα αποτελέσµατα που είχαµε στην περίπτωση των µετρικών χώρων συνεχίζουν να ισχύουν. Θα εστιάσουµε την προσοχή µας στη συµπερι- ϕορά της διαχωρισιµότητας ως προς την τοπολογία γινόµενο, αλλά και την αλληλεπίδραση που έχει µε τη ϕυσιολογικότητα ενός τοπολογικού χώρου (Λήµµα Jones). Ορισµός Ενας τοπολογικός χώρος X καλείται διαχωρίσιµος αν υπάρχει αριθµήσιµο D X που να είναι πυκνό στο X. Παραδείγµατα (α) Ο χώρος R S είναι διαχωρίσιµος, αφού το Q R S είναι αριθµήσιµο και πυκνό, διότι Q (a, b] για κάθε a, b R, a < b. (ϐ) Αν ο X είναι διακριτός υπεραριθµήσιµος τοπολογικός χώρος, τότε ο X δεν είναι διαχωρίσιµος (αφού το µοναδικό πυκνό υποσύνολο του X είναι το ίδιο το X). Πρόταση Εστω X ένας διαχωρίσιµος τοπολογικός χώρος. Τότε: (i) Κάθε ανοικτός υπόχωρος του X είναι διαχωρίσιµος. (ii) Κάθε συνεχής εικόνα του X είναι διαχωρίσιµος τοπολογικός χώρος. Απόδειξη: (i) Εστω U X ανοικτό. Τότε το D U είναι πυκνό στο U (γιατί;) και αριθµήσιµο. Αρα ο υπόχωρος U είναι διαχωρίσιµος. (ii) Εστω Y ένας τοπολογικός χώρος και f : X Y συνεχής και επί συνάρτηση. Το f (D) είναι αριθµήσιµο υποσύνολο του Y και, αφού η f είναι συνεχής και το D πυκνό στο X, ισχύει ότι f (D) f (D) = f (X) = Y. ηλαδή το f (D) είναι πυκνό στο Y, άρα ο Y είναι διαχωρίσιµος. Παρατηρήσεις (α) Αν X είναι ένας διαχωρίσιµος τοπολογικός χώρος και (V i ) i I είναι οικογένεια ανοικτών, µη κενών, ξένων ανα δύο υποσυνόλων του X, τότε το I είναι αριθµήσιµο. Πράγµατι, έστω D X αριθµήσιµο πυκνό. Για κάθε i I επιλέγουµε x i D V i και ορίζουµε ϕ : I D µε ϕ(i) = x i. Τότε η ϕ είναι 1 1 (διότι τα V i είναι ξένα ανά δύο), άρα I D ω. Εποµένως το I είναι αριθµήσιµο. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 (ϐ) Αν X = i I X i (όπου X i για κάθε i I) είναι διαχωρίσιµος τοπολογικός χώρος, τότε κάθε χώρος X i είναι διαχωρίσιµος (από την Πρόταση 6.1.3, αφού η προβολή π i : X X i είναι συνεχής και επί για κάθε i I). (γ) Αν X 1, X 2 είναι διαχωρίσιµοι τοπολογικοί χώροι, τότε ο X 1 X 2 είναι διαχωρίσιµος. Εστω D 1 X 1, D 2 X 2 αριθµήσιµα πυκνά. Τότε το D 1 D 2 είναι αριθµήσιµο και πυκνό στο X 1 X 2, διότι D 1 D 2 = D 1 D 2 = X 1 X 2. Εποµένως ο X 1 X 2 είναι διαχωρίσιµος. Γενικότερα, αν X 1, X 2,..., X n είναι n διαχωρίσιµοι τοπολογικοί χώροι, τότε ο X i είναι διαχωρίσιµος. i=1 (δ) Αν X n, n N είναι διαχωρίσιµοι τοπολογικοί χώροι, τότε και ο X = X n είναι διαχωρίσιµος. Πράγµατι, έστω D n X n αριθµήσιµο πυκνό, για n N και t = (t n ) n N D n. Θέτουµε: D = { x = (x n ) } D n : {n N : x n t n } είναι πεπερασµένο Τότε το D = = { } x = (x n ) D n : x n = t n, για κάθε n > m m=1 ( m ) D n {t m+1 } {t m+2 } m=1 είναι αριθµήσιµο, ως (αριθµήσιµη) ένωση αριθµήσιµων συνόλων. Μένει να δείξουµε ότι D είναι πυκνό. Εστω U = m πi 1 k (U k ), όπου U k X ik ανοικτό, µη κενό, για k = 1,...,m, ένα ϐασικό ανοικτό, µη κενό k=1 σύνολο στο X. Επιλέγουµε ένα στοιχείο a nk U k D nk για k = 1,...,m και κατασκευάζουµε µία ακολουθία x = (x n ) X ως εξής: x n = { a n για n {n 1,..., n m } t n για n {n 1,..., n m } Τότε x U D, άρα U D. Εποµένως το D είναι πυκνό στο X. Ισως µεχρι τώρα, τα αποτελέσµατα για τους διαχωρίσιµους χώρους να ήταν αναµενόµενα. Οµως το ακόλουθο Θεώρηµα παρουσιάζει ένα µη τετριµµένο αποτέλεσµα. Επιτρέπει στο σύνολο δεικτών, στο γινόµενο διαχωρίσιµων χώρων, να είναι ουσιαστικά µεγαλύτερο και ο προκύπτων χώρος να παραµένει διαχωρίσιµος. Στη συνέχεια, η Πρόταση εξηγεί ότι εν γένει, δεν µπορούµε να ελπίζουµε το ίδιο για ακόµη µεγαλύτερο σύνολο δεικτών. Θεώρηµα Αν (X i ) i I είναι οικογένεια διαχωρίσιµων τοπολογικών χώρων, όπου I c, τότε ο X = i I X i είναι διαχωρίσιµος. Απόδειξη: Αφού I c, υπάρχει συνάρτηση ϕ : I R 1 1, άρα µπορούµε να υποθέσουµε ότι I R (ταυτίζοντας το I µε το ϕ(i)). Για κάθε i I επιλέγουµε D i = {d i,n : n N} αριθµήσιµο πυκνό υποσύνολο Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 του X i και ένα t = (t i ) i I X. Αν n N, (I 1,..., I n ) n άδα από ξένα ανά δύο διαστήµατα του R µε ϱητά άκρα και (m 1,m 2,...,m n ) N n ορίζουµε το σηµείο x(n, I 1,..., I n,m 1,...,m n ) = (x i ) i I X ως εξής d i,mk, αν i I k για κάποιο k {1,...,n} x i = t i, αν i n I k k=1 (το οποίο είναι καλά ορισµένο, διότι το i ανήκει το πολύ σε ένα I k, αφού τα I k είναι ξένα ανά δύο). Τότε το σύνολο D όλων αυτών των σηµείων είναι αριθµήσιµο υποσύνολο του X. Αρκεί να δείξουµε ότι το D είναι πυκνό στο X. Εστω U = n πi 1 k (U k ) ένα µη κενό, ϐασικό ανοικτό υποσύνολο του X, όπου i 1,...,i n I k=1 διαφορετικά ανά δύο. Τότε υπάρχουν I 1,..., I n ξένα διαστήµατα µε ϱητά άκρα ώστε i 1 I 1, i 2 I 2..., i n I n. Για κάθε k {1,...,n} έχουµε D ik U k, άρα υπάρχει m k N ώστε d i,mk U k. Τότε το x = x(n, I 1,..., I n,m 1,...,m n ) D και x U, αφού για κάθε k = 1,...,n, i k I k άρα x ik = d ik,m k (από τον ορισµό του x). Εποµένως x ik U k. Συνεπώς D U και συνεπώς, το D είναι πυκνό. Πρόταση Εστω (X i ) i I οικογένεια χώρων Hausdorff µε τουλάχιστον δύο σηµεία, ώστε ο X = i I X i να είναι διαχωρίσιµος. Τότε I c. Απόδειξη: Εστω D X αριθµήσιµο πυκνό. Για κάθε i I έστω U i,v i ξένα, µη κενά ανοικτά υποσύνολα του X i. Ορίζουµε ϕ : I P(D) µε ϕ(i) = D πi 1 (U i ), για κάθε i I. Τότε η ϕ είναι 1 1. Πράγµατι, έστω i, j I, i j. Τότε ϕ(i) \ ϕ( j) = D π 1 i = D πi 1 D πi 1 (U i ) \ π 1 j (U j ) (U i ) (X \ π 1 j (U j )) (U i ) π 1 j (V j ) (U j V j = ) ( π 1 i (U i ) π 1 ) j (V j ) ανοικτό και D πυκνό στο X Αρα ϕ(i) ϕ( j). Αφού η ϕ είναι 1 1, έχουµε ότι I P(D) P(N) = c. Παράδειγµα Αν I σύνολο δεικτών, τότε ο χώρος {0,1} I (όπου {0,1} R διακριτό) είναι διαχωρίσιµος αν και µόνο αν I c (άµεσο, από Θεώρηµα και Πρόταση 6.1.6). Λήµµα (Jones). Εστω X διαχωρίσιµος ϕυσιολογικός χώρος. Τότε κάθε κλειστός και διακριτός υπόχωρος F του X έχει πληθάριθµο µικρότερο του συνεχούς. Απόδειξη: Παρατηρούµε ότι κάθε υποσύνολο του F είναι κλειστό στο F (αφού ο F είναι διακριτός) άρα και κλειστό στο X (αφού F κλειστό). Αφού ο X είναι ϕυσιολογικός, για κάθε A F υπάρχουν U(A), V (A) ανοικτά και ξένα υποσύνολα του X, ώστε A U(A) και F \ A V (A) (αφού τα A, F \ A είναι ξένα, κλειστά υποσύνολα του X). Εστω D X αριθµήσιµο πυκνό. Ορίζουµε ϕ : P(F) P(D) µε ϕ(a) = D U(A). Τότε η ϕ είναι 1 1. Πράγµατι, έστω A, B P(F) µε A B. Τότε A \ B (ή B \ A ). Εχουµε διαδοχικά: ϕ(a) \ ϕ(b) = D U(A) \ U(B) D U(A) V (B) Εποµένως ϕ(a) ϕ(b). Αφού η ϕ είναι 1 1 και το D είναι αριθµήσιµο, έχουµε ότι Αρα F < c, αφού F < P(F). P(F) P(D) P(N) = c. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 Παράδειγµα Ο χώρος του Sorgenfrey δεν είναι ϕυσιολογικός. Πράγµατι, ο R S είναι διαχωρίσιµος, άρα και ο χώρος του Sorgenfrey. Οπως εξηγήσαµε και στο Παράδειγµα , το αντιδιαγώνιο σύνολο A = {(x, x) : x R} είναι κλειστό στον R S R S και διακριτό. Οµως A = c, αφού η συνάρτηση R x (x, x) A είναι 1 1 και επί. Από το Λήµµα του Jones, ο R S R S δεν είναι T 4. Παρατήρηση Ενας υπόχωρος διαχωρίσιµου τοπολογικού χώρου δεν είναι πάντα διαχωρίσιµος. Για παράδειγµα, ο χώρος του Sorgenfrey είναι διαχωρίσιµος, αλλά ο υπόχωρος A δεν είναι διαχωρίσιµος, αφού είναι διακριτό υπεραριθήσιµο σύνολο. 6.2 Πρώτοι Αριθµήσιµοι Χώροι Σε αυτή την παράγραφο εξετάζουµε τοπολογικούς χώρους που τοπικά µπορούν να περιγραφούν από «λίγα» ανοικτά σύνολα. Με άλλα λόγια, επιθυµούµε κάθε σηµείο του χώρου να έχει µία αριθµήσιµη ϐάση περιοχών. Η ιδιότητα αυτή είναι µεγάλης σηµασίας, αφού επανακαθιστά τις ακολουθίες επαρκείς για τη µελέτη της τοπολογίας του χώρου (όπως στη περίπτωση των µετρικών χώρων). Ορισµός Ενας τοπολογικός χώρος X καλείται πρώτος αριθµήσιµος (ή λέµε ότι ικανοποιεί το πρώτο αξίωµα αριθµησιµότητας) αν κάθε σηµείο του X έχει αριθµήσιµη ϐάση περιοχών. Παρατηρήσεις (α) Κάθε υπόχωρος A ενός πρώτου αριθµήσιµου χώρου X είναι πρώτος αριθµήσιµος. Πράγµατι, αν για κάθε x X η B x είναι αριθµήσιµη ϐάση περιοχών του x στο X, τότε η B x = {B A : B B x } είναι ϐάση περιοχών του x στο A, προφανώς αριθµήσιµη. (ϐ) Αν δύο τοπολογικοί χώροι X, Y είναι πρώτοι αριθµήσιµοι, τότε και ο χώρος X Y είναι πρώτος αριθµήσιµος. Πράγµατι, αν (x, y) X Y, (U n ) n N είναι αριθµήσιµη ϐάση περιοχών του x στο X και (V n ) n N είναι αριθµήσιµη ϐάση περιοχών του y στο Y, τότε η {U n V m : n, m N} είναι µία αριθµήσιµη ϐάση περιοχών του (x, y) στο X Y. Ανάλογα, µπορεί να δείξει κανείς ότι αν οι τοπολογικοί χώροι X n, για n N είναι πρώτοι αριθµήσιµοι, τότε και ο χώρος X = X n είναι πρώτος αριθµήσιµος. Παραδείγµατα (α) Εστω X διακριτός τοπολογικός χώρος. Τότε ο X είναι πρώτος αριθµήσιµος, διότι για κάθε x X, η {{x}} είναι ϐάση περιοχών του x. (ϐ) Κάθε µετρικός χώρος είναι πρώτος αριθµήσιµος, διότι για κάθε x X η οικογένεια { B(x, 1 n ) : n N} είναι µία αριθµήσιµη ϐάση περιοχών του x. Πρόταση Εστω X ένας πρώτος αριθµήσιµος τοπολογικός χώρος και x X. (i) Αν A X, τότε x A υπάρχει ακολουθία (x n ) στο A ώστε x n x. (ii) Αν f : X Y (όπου Y τοπολογικός χώρος) είναι µία συνάρτηση, τότε η f είναι συνεχής στο x για κάθε ακολουθία (x n ) στο X µε x n x, ισχύει f (x n ) f (x). Απόδειξη: Εστω B x = {B n : n N} µία αριθµήσιµη ϐάση περιοχών του x. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι B n B n+1 για κάθε n N. Παρατηρούµε ότι αν (x n ) είναι µία ακολουθία στο X ώστε x n B n για κάθε n N, τότε x n x. Πράγµατι, αν U N x τότε υπάρχει n 0 N ώστε B n0 U (αφού η B x είναι ϐάση περιοχών του x). Αρα για κάθε n n 0, x n B n B n0 U κι εποµένως x n x. (i) Εστω ότι x A. Εχουµε ότι A B n για κάθε n N. Αρα µπορούµε να επιλέξουµε µία ακολουθία (x n ) στο A µε x n A B n για κάθε n N. Αφού x n B n για κάθε n έχουµε ότι x n x. Το αντίστροφο είναι άµεσο, αφού κάθε ακολουθία είναι δίκτυο. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 (ii) Το ευθύ είναι άµεσο, αφού κάθε ακολουθία είναι δίκτυο. Εστω, αντίστροφά, ότι για κάθε ακολουθία (x n ) στο X µε x n x, ισχύει f (x n ) f (x). Υποθέτουµε, προς άτοπο, ότι η f δεν είναι συνεχής στο x. Τότε υπάρχει V N f (x) ώστε f 1 (V ) N x. Αρα B n f 1 (V ) για κάθε n N, δηλαδή B n \ f 1 (V ) για κάθε n. Συνεπώς, µπορούµε να επιλέξουµε x n B n \ f 1 (V ) για κάθε n, και τότε η ακολουθία (x n ) ϑα συγκλίνει στο x (x n B n n N) ενώ f (x n ) f (x) (αφού f (x n ) V n N), πράγµα άτοπο. Παράδειγµα Ο χώρος Σ = N {U } (όπου U είναι ένα µη τετριµµένο υπεφίλτρο του N) δεν είναι πρώτος αριθµήσιµος. Πράγµατι, από τον ορισµό των (ϐασικών) περιοχών του U, είναι σαφές ότι U N. Θα δείξουµε ότι δεν υπάρχει ακολουθία (x n ) από στοιχεία του N, ώστε x n U. Εστω, προς άτοπο, ότι υπάρχει τέτοια ακολουθία. ίχως ϐλάβη της γενικότητας, µπορούµε να υποθέσουµε ότι x n x m, για n m (γιατί;). Εστω A και B το σύνολο των περιττών και άρτιων όρων της ακολουθίας, αντίστοιχα. ηλαδή A = {x 2n : n N} και B = {x 2n 1 : n N}. Αφού x n U, έπεται ότι x 2n U και x 2n 1 U. Συνεπώς, για κάθε U U έχουµε ότι A U B U (πάλι από τον ορισµό των περιοχών U). Αρα οι οικογένειες U {A}, U {B} έχουν την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµή και, κατά συνέπεια, υπάρχουν υπερφίλτρα στο N που να τα περιέχουν (Πρόταση 2.2.7). Αφού το U είναι υπερφίλτρο, έπεται άµεσα ότι A, B U. Αρα = A B U, πράγµα άτοπο. Ετσι, από την Πρόταση έχουµε ότι ο Σ δεν είναι πρώτος αριθµήσιµος, εποµένως ούτε µετρικοποιήσιµος. Πόρισµα Αν X είναι πρώτος αριθµήσιµος, διαχωρίσιµος χώρος Hausdorff, τότε X c. Ιδιαίτερα, κάθε διαχωρίσιµος µετρικός χώρος έχει πληθάριθµο το πολύ ίσο µε τον πληθάριθµο του συνεχούς. Απόδειξη: Εστω D X αριθµήσιµο πυκνό. Για κάθε x X επιλέγουµε µία ακολουθία (x n ) n N στο D ώστε x n x, από Πρόταση (i). Ορίζουµε την απεικόνιση ϕ : X D N µε ϕ(x) = (x n ) n N. Τότε η ϕ είναι 1 1. Πράγµατι, αν x, y X µε ϕ(x) = ϕ(y) = (x n ), τότε x n x και x n y. Αφού ο χώρος X είναι Hausdorff, έπεται ότι x = y. Εποµένως, X D N N N = c. Πρόταση Εστω X ένας πρώτος αριθµήσιµος τοπολογικός χώρος, Y ένας τοπολογικός χώρος και f : X Y µία συνεχής, ανοικτή και επί συνάρτηση. Τότε ο Y είναι πρώτος αριθµήσιµος χώρος. Απόδειξη: Εστω y Y και x X τέτοιο ώστε f (x) = y. Εστω B x = {B n : n N} µία αριθµήσιµη ϐάση περιοχών του x στο X. Αφού η f είναι ανοικτή, η οικογένεια συνόλων B y = { f (B n ) : n N} είναι αριθµήσιµη και αποτελείται από περιοχές του y. Αρκεί να δείξουµε ότι είναι ϐάση περιοχών του y. Εστω U Y µία περιοχή του y. Αφού η f είναι συνεχής, υπάρχει ϐασική περιοχή B n B x του x, ώστε f (B n ) U. Οµως, f (B n ) B y. Αρα η B y είναι (αριθµήσιµη) ϐάση περιοχών του y και, κατά συνέπεια, ο Y είναι πρώτος αριθµήσιµος χώρος. Παράδειγµα Εστω ένας τοπολογικός χώρος X που δεν είναι πρώτος αριθµήσιµος και έστω X δ το σύνολο X εφοδιασµένο µε τη διακριτή τοπολογία. Ο X δ είναι πρώτος αριθµήσιµος χώρος και ο X είναι συνεχής εικόνα του X δ (µέσω της ταυτοτικής απεικόνισης), αλλά δεν είναι πρώτος αριθµήσιµος. Κατά συνέπεια, η υπόθεση «ανοικτή» για την f στην Πρόταση δεν µπορεί να παραληφθεί. 6.3 εύτεροι Αριθµήσιµοι Χώροι Μία ισχυρότερη συνθήκη αριθµησιµότητας που µπορεί κανείς να εισάγει, είναι η ύπαρξη αριθµήσιµης ϐάσης για την τοπολογία του χώρου. Μάλιστα είναι τόσο ιχυρότερη, που καταλήγει να µην ικανοποιείται από κάθε µετρικό χώρο. Οµως, το ενδιαφέρον που παρουσιάζει είναι αρκετά µεγάλο, αφού αρκετοί από τους οικείους σε εµάς χώρους ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 Ορισµός Ενας τοπολογικός χώρος X καλείται δεύτερος αριθµήσιµος (ή λέµε ότι ικανοποιεί το δεύτερο αξίωµα αριθµησιµότητας) αν ο X έχει αριθµήσιµη ϐάση για την τοπολογία του. Παρατηρήσεις (α) Κάθε δεύτερος αριθµήσιµος χώρος X είναι και πρώτος αριθµήσιµος. Πράγµατι, αν B είναι αριθµήσιµη ϐάση για την τοπολογία του X και x X, τότε η B x = {B B : x B} είναι ϐάση περιοχών του x και είναι προφανώς αριθµήσιµη. (ϐ) Κάθε υπόχωρος A ενός δεύτερου αριθµήσιµου χώρου X είναι δεύτερος αριθµήσιµος. Πράγµατι, αν B είναι αριθµήσιµη ϐάση του X, τότε η B = {B A : B B} είναι ϐάση για την τοπολογία του A, προφανώς αριθµήσιµη. (γ) Αν δύο τοπολογικοί χώροι X, Y είναι δεύτεροι αριθµήσιµοι, τότε και ο χώρος X Y είναι δεύτερος αριθµήσιµος. Πράγµατι, αν (U n ) n N είναι αριθµήσιµη ϐάση της τοπολογίας X και (V n ) n N είναι αριθµήσιµη ϐάση της τοπολογίας του Y, τότε η {U n V m : n, m N} είναι µία αριθµήσιµη ϐάση για την τοπολογία του X Y. Ανάλογα, µπορεί να δείξει κανείς ότι αν οι τοπολογικοί χώροι X n, για n N είναι δεύτεροι αριθµήσιµοι, τότε και ο χώρος X = X n είναι δεύτερος αριθµήσιµος. Παραδείγµατα (α) Αν ο X είναι διακριτός τοπολογικός χώρος, τότε ο X είναι δεύτερος αριθµήσιµος αν και µόνο αν το σύνολο X είναι αριθµήσιµο, αφού κάθε ϐάση του X περιέχει τα µονοσύνολα. Ιδαίτερα, κάθε υπεραριθµήσιµος διακριτός τοπολογικός χώρος είναι πρώτος αριθµήσιµος και όχι δεύτερος αριθµήσιµος. (ϐ) Ο τοπολογικός χώρος R S είναι διαχωρίσιµος, πρώτος αριθµήσιµος (αφού για κάθε x R S, η {(a, x] : a Q, a < x} είναι αριθµήσιµη ϐάση περιοχών του x) και δεν είναι δεύτερος αριθµήσιµος. Πράγµατι, αν ο R S ήταν δεύτερος αριθµήσιµος, τότε ϑα ήταν και ο R S R S δεύτερος αριθµήσιµος, άρα ο υπόχωρός του A = {(x, x) : x R} ϑα ήταν δεύτερος αριθµήσιµος, πράγµα άτοπο, αφού ο A είναι διακριτός χώρος και υπεραριθµήσιµος. Πρόταση Εστω X ένας δεύτερος αριθµήσιµος τοπολογικός χώρος, Y ένας τοπολογικός χώρος και f : X Y µία συνεχής, ανοικτή και επί συνάρτηση. Τότε ο Y είναι δεύτερος αριθµήσιµος χώρος. Απόδειξη: Εστω B = {B n : n N} µία αριθµήσιµη ϐάση του X. Αφού η f είναι ανοικτή, η οικογένεια συνόλων B Y = { f (B n ) : n N} είναι αριθµήσιµη και αποτελείται από ανοικτά υποσύνολα του Y. Αρκεί να δείξουµε ότι είναι ϐάση της τοπολογίας του Y. Εστω U Y ανοικτό. Αφού η f είναι συνεχής, το σύνολο f 1 (U) είναι ανοικτό υποσύνολο του X, άρα υπάρχει I N, ώστε B i = f 1 (U). Οµως, i I U f επί ===== f ( f 1 (U) ) = f ( ) B i = i I i I f (B i ) και { f (B i ) : i I} B Y. Αρα η B Y είναι (αριθµήσιµη) ϐάση του Y και, κατά συνέπεια, ο Y είναι δεύτερος αριθµήσιµος χώρος. Παράδειγµα Εστω ο χώρος Σ = N {U} και Σ δ το σύνολο Σ εφοδιασµένο µε τη διακριτή τοπολογία. Τότε ο Σ είναι συνεχής εικόνα του Σ δ (µέσω της ταυτοτικής απεικόνισης) αλλά δεν είναι πρώτος (άρα ούτε και δεύτερος) αριθµήσιµος χώρος. Κατά συνέπεια, η υπόθεση «ανοικτή» για την f στην Πρόταση δεν µπορεί να παραληφθεί. Πρόταση Κάθε δεύτερος αριθµήσιµος χώρος X είναι διαχωρίσιµος. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 Απόδειξη: Εστω B = {B n : n N} µία αριθµήσιµη ϐάση του X. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι B n για κάθε n N. Επιλέγουµε στοιχείο x n B n για κάθε n και ϑέτουµε D = {x n : n N}. Τότε το D είναι αριθµήσιµο και πυκνό. Πράγµατι, αν U X ανοικτό, µη κενό σύνολο, τότε υπάρχει n 0 N ώστε B n0 U, άρα x n0 U. Εποµένως D U και συνεπώς, ο χώρος X είναι διαχωρίσιµος. Πρόταση Ενας µετρικός χώρος X είναι διαχωρίσιµος αν και µόνο αν είναι δεύτερος αριθµήσιµος. Απόδειξη: Θέτουµε ( ) Εστω ότι ο µετρικός χώρος X είναι διαχωρίσιµος και έστω D X αριθµήσιµο και πυκνό. B = {B(x,ε) : x D και ε Q, ε > 0}. Τότε η B είναι αριθµήσιµη οικογένεια ανοικτών συνόλων. Αρκεί να δείξουµε ότι η B είναι ϐάση του X. Εστω U X ανοικτό και x U. Θα δείξουµε ότι υπάρχει B B ώστε x B U. Αφού το U είναι ανοικτό, υπάρχει ε Q, ε > 0 ώστε B(x,ε) U. Αφού το σύνολο D είναι πυκνό, υπάρχει y B(x,ε/2) D. Τότε B(y,ε/2) B, x B(y,ε/2) και B(y,ε/2) B(x,ε). Αρα x B(y,ε/2) U. Εποµένως η B είναι ϐάση του X και συνεπώς, ο χώρος X είναι δεύτερος αριθµήσιµος. ( ) Είναι άµεσό, από την Πρόταση Πόρισµα Κάθε υπόχωρος A ενός διαχωρίσιµου µετρικού χώρου X είναι διαχωρίσιµος. Απόδειξη: Από την Πρόταση 6.3.7, ο X είναι δεύτερος αριθµήσιµος, άρα και ο A είναι δεύτερος αριθµήσιµος (µετρικός) χώρος (Παρατήρηση 6.3.2(ϐ)). Εποµένως ο A είναι διαχωρίσιµος. Πρόταση Εστω X ένας δεύτερος αριθµήσιµος τοπολογικός χώρος. Αν (G i ) i I είναι µία οικογένεια ανοικτών υποσυνόλων του X, τότε υπάρχει J I αριθµήσιµο, ώστε G i = G i. i I i J Απόδειξη: Εστω G = i I G i και B µία αριθµήσιµη ϐάση του X. Θέτουµε B = {B B : υπάρχει i I µε B G i }. Τότε G = B. Πράγµατι, για κάθε B B υπάρχει i I ώστε B G i κι εποµένως B G. Αρα B G.Αντίστροφα, αν x G τότε υπάρχει i I ώστε x G i. Αρα υπάρχει B B ώστε x B G i. Προφανώς B B και συνεπώς x B. Εποµένως G B.Για κάθε B B επιλέγουµε i B I ώστε B G ib. Τότε έχουµε ότι B G B B G ib κι εποµένως G = G ib. Θέτουµε J = {i B : B B }. Τότε το J είναι αριθµήσιµο (αφού το B είναι B B αριθµήσιµο) και G = G i. i J Πρόταση Εστω X δεύτερος αριθµήσιµος τοπολογικός χώρος και B είναι µία ϐάση για την τοπολογία του. Τότε υπάρχει αριθµήσιµη υποοικογένεια της B που είναι επίσης ϐάση για την τοπολογία του X. Απόδειξη: Εστω (B n ) N N µία αριθµήσιµη ϐάση του X. Κάθε B n είναι ένωση στοιχείων στοιχείων της B και από την Πρόταση έπεται ότι B n = C n,m, όπου C n,m B για κάθε m N. Τότε η {C n,m : n, m N} m=1 είναι αριθµήσιµη υποοικογένεια της B και αποτελεί ϐάση για την τοπολογία του X (γιατί;). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 10

11 6.4 Χώροι Lindelöf Η τελευταία συνθήκη που εισάγουµε είναι µία ασθενέστερη µορφή του δεύτερου αξιώµατος αριθµησιµότητας (η οποία επίσης δεν ικανοποιείται από κάθε µετρικό χώρο). Η ιδιότητα Lindelöf δεν παρουσιάζει την υποδειγµατική συµπεριφορά των προηγούµενων συνθηκών αριθµησιµότητας, αλλά επισηµαίνει τις χρηστικές συνέπειες της ύπαρξης µίας αριθµήσιµης ϐάσης, δίνοντάς τους έτσι την πρέπουσα ϐαρύτητα, έναντι της ίδιας της ύπαρξης της αριθµήσιµης ϐάσης. Ορισµός Ενας τοπολογικός χώρος X καλείται χώρος Lindelöf (ή λέµε ότι ο X ικανοποιεί την ιδιότητα Lindelöf) αν κάθε ανοικτό κάλυµµα του X έχει αριθµήσιµο υποκάλυµµα, δηλαδή αν {U i : i I} είναι οικογένεια ανοικτών υποσυνόλων του X ώστε X = U i, τότε υπάρχει αριθµήσιµο J I ώστε X = U i. i I i J Παρατηρήσεις (α) Ενας τοπολογικός χώρος Xείναι Lindelöf αν και µόνο αν κάθε ϐασικό ανοικτό κάλυµµα του X έχει αριθµήσιµο υποκάλυµµα. (ϐ) Ενας διακριτός χώρος X είναι χώρος Lindelöf αν και µόνο αν το X είναι αριθµήσιµο σύνολο. (γ) Ενας υπόχωρος A ενός τοπολογικού χώρου X είναι Lindelöf αν και µόνο αν κάθε ανοικτό κάλυµµα του A στο X (δηλαδή για κάθε οικογένεια {U i : i I} ανοικτών υποσυνόλων του X µε A U i ) έχει i I αριθµήσιµο υποκάλυµµα (δηλαδή υπάρχει J I αριθµήσιµο ώστε A U i ). Πρόταση Εστω ένας τοπολογικός χώρος Lindelöf X. (i) Κάθε κλειστός υπόχωρος του X είναι χώρος Lindelöf. (ii) Αν Y είναι τοπολογικός χώρος και f : X Y είναι µία συνεχής και επί συνάρτηση, τότε ο Y είναι χώρος Lindelöf. Απόδειξη: (i) Εστω F ένας κλειστός υπόχωρος του X και {U i : i I} ένα ανοικτό κάλυµµα του F. Γνωρίζουµε ότι για κάθε i I υπάρχει ένα ανοικτό σύνολο στο X, V i, ώστε U i = F V i. Ετσι, έχουµε ότι η οικογένεια {V i : i I} {X \ F} αποτελεί ένα ανοικτό κάλυµµα του X. Αφού ο χώρος X είναι Lindelöf, υπάρχει ένα αριθµήσιµο υποκάλυµµα, έστω {V in : n N} {X \ F}. Τότε F {V in : n N} κι εποµένως, F = {U in : n N}. (ii) Εστω {U i : i I} ένα ανοικτό κάλυµµα του Y. Η οικογένεια { f 1 (U i ) : i I} αποτελεί ένα ανοικτό κάλυµµα του X, συνεπώς έχει αριθµήσιµο υποκάλυµµα, έστω { f 1 (U in ) : n N}. Τότε, αφού η f είναι επί, η οικογένεια {U in : n N} είναι ένα αριθµήσιµο υποκάλυµµα του Y. Πρόταση Κάθε δεύτερος αριθµήσιµος χώρος είναι χώρος Lindelöf. Απόδειξη: Είναι άµσεο από την Πρόταση Παράδειγµα Ο R S είναι χώρος Lindelöf. Εστω {(a i, b i ] : i I} ένα ϐασικό ανοικτό κάλυµµα του R S. Θέτουµε C = i I(a i, b i ). Αφού ο R είναι δεύτερος αριθµήσιµος χώρος, από την Πρόταση έπεται ότι υπάρχει J I αριθµήσιµο ώστε C = (a i, b i ). Παρατηρούµε ότι αν x R S \ C, τότε υπάρχει i x I ώστε x = b ix. Αρα i J ( ) R S = C (R S \ C) (a i, b i ] i J x R S \C Εποµένως, αρκεί να δείξουµε ότι το σύνολο R S \ C είναι αριθµήσιµο. i J (a ix, b ix ]. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 11

12 Ισχυρισµός. Η οικογένεια C = {(a ix, b ix ] : x R S \ C} αποτελείται από ξένα ανά δύο σύνολα. Πράγµατι, ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν x, y R S \ C µε x y ώστε (a ix, b ix ] (a iy, b iy ] = (a ix, x] (a iy, y]. Αν x < y, τότε x > a iy κι έτσι x (a iy, y) = (a iy, b iy ) C, πράγµα άτοπο. Οµοια, καταλήγουµε σε άτοπο αν y < x. Αφού τα στοιχεία της C είναι µη κενά και ανοικτά στον R S και ο R S είναι διαχωρίσιµος, έπεται ότι η C είναι αριθµήσιµο σύνολο, δηλαδή το σύνολο R S \ C είναι αριθµήσιµο. Παρατήρηση Το γίνοµενο δύο χώρων Lindelöf δεν είναι αναγκαία χώρος Lindelöf. Πράγµατι, ο R S είναι χώρος Lindelöf, αλλά ο χώρος του Sorgenfrey, R S R S δεν είναι Lindelöf, αφού το αντιδιαγώνιο σύνολο A = {(x, x) : x R S } είναι κλειστός υπόχωρος του R S R S και δεν είναι χώρος Lindelöf (διότι είναι διακριτός υπεραριθµήσιµος χώρος). Πρόταση Ενας µετρικός χώρος (X, ρ) είναι δεύτερος αριθµήσιµος αν και µόνο αν είναι χώρος Lindelöf. Απόδειξη: ( ) Ισχύει γενικά, από την Πρόταση ( ) Για κάθε n N έχουµε ότι X = x X B(x, 1 n ) κι αφού ο X είναι χώρος Lindelöf, υπάρχει A n X αριθµήσιµο ώστε X = B(x, 1 n ). Θέτουµε D = A n. Τότε το D είναι αριθµήσιµο σύνολο και πυκνό x A n στο X. Πράγµατι, έστω y X και ε > 0. Τότε υπάρχει n 0 N ώστε 1 n 0 < ε. Αφού X = B(x, 1 n ), 0 x A n0 υπάρχει x A n0 ώστε y B(x, 1 n ). Τότε 0 ρ(x, y) < 1 n 0 < ε κι εποµένως x B(x,ε). Αρα B(y,ε) A n0 και έτσι B(y,ε) D. Συνεπώς ο X είναι διαχωρίσιµος και, κατά συνέπεια, δεύτερος αριθµήσιµος (Πρόταση 6.3.5). Θεώρηµα Κάθε κανονικός χώρος Lindelöf είναι ϕυσιολογικός. Απόδειξη: Εστω A, B ξένα κλειστά υποσύνολα ενός κανονικού χωρου Lindelöf X. Αφού ο χώρος X είναι κανόνικος, για κάθε x A υπάρχει U x ανοικτό, ώστε x U x και U x B =. Ανάλογα, για κάθε y B υπάρχει V y ανοικτό, ώστε y V y και V y A =. Τα A και B είναι χώροι Lindelöf, ως κλειστοί υπόχωροι του χώρου Lindelöf X. Αφού A U x και B V y, υπάρχουν x n A, y n B για n N, x A y B ώστε A U xn και B V yn. Θέτουµε: ( n ) ( n ) U n = U xn \ V yk και V n = V yn \ U xk, n N. k=1 k=1 Τότε για τα σύνολα U = U n, V = V n έχουµε ότι Είναι ανοικτά (γιατί;). A U: Αν x A τότε υπάρχει n N ώστε x U xn και αφού V y A = για κάθε y B, έπεται ότι x U n U. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 12

13 B V. U V = : U V = n,m(u n V m ) =. Πράγµατι, αν m n τότε U n X \V ym X \V ym X \V m (αφού V m V ym ). ηλαδή U n V m =. Οµοια αν n m. Εποµένως, ο χώρος X είναι ϕυσιολογικός. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 13

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: ιαχωριστικά αξιώµατα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

ii

ii Σημειώσεις Γενικής Τοπολογίας Σημειώσεις Μ. Γεραπετρίτη από τις παραδόσεις (διορθώσεις, 2016) Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 ii Περιεχόμενα 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα,

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βάσεις και υποβάσεις.

1.2 Βάσεις και υποβάσεις. . Βάσεις και υποβάσεις. Το «καθήκον» του ορισμού μιας τοπολογίας διευκολύνεται αν είμαστε σε θέση να περιγράψουμε αρκετά ανοικτά σύνολα τα οποία να παραγάγουν όλα τα ανοικτά σύνολα. Ορισμός.9. Έστω X,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Πραγµατική Ανάλυση (2015-16) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Οµάδα Α 1. Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πλειότιµες απεικονίσεις. 1.1 Ορισµοί

Κεφάλαιο 1. Πλειότιµες απεικονίσεις. 1.1 Ορισµοί Κεφάλαιο 1 Πλειότιµες απεικονίσεις 1.1 Ορισµοί Εστω X,Y µη κενά σύνολα. Μία (πλειότιµη) απεικόνιση φ : X Y, από το X στο Y είναι ένας κανόνας που σε κάθε σηµείο x του X αντιστοιχεί ένα υποσύνολο φ(x) του

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος). 4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν :

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Βασικές έννοιες Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, (ii) d(x, y) = d(y,

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μετασχηµατισµός Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μετασχηµατισµός Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μετασχηµατισµός Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

f x 0 για κάθε x και f 1

f x 0 για κάθε x και f 1 06 4.2 Το Λήμμα του Uysoh το Λήμμα της εμφύτευσης και το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Ο κύριος στόχος αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεμελιώδους αποτελέσματος γνωστού ως το Λήμμα του Uysoh.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

Shmei seic Genik c TopologÐac. Miqa l GerapetrÐthc

Shmei seic Genik c TopologÐac. Miqa l GerapetrÐthc Shmei seic Genik c TopologÐac Miqa l GerapetrÐthc Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na, 2013 ii Perieqìmena Εισαγωγή 1 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα, βάσεις και υποβάσεις..................

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A}

f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A} ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 11Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Μετά τη συνεκτικότητα, όπου είδαμε κάπως αναλυτικά την ιδιότητα εκείνη που επιτρέπει σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt204/nt204.html htts://sites.google.com/site/maths4eu/home/4

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στην Τοπολογία! http://eclass.uoa.gr/courses/math451/ Χειμερινό Εξάμηνο 2015-16 Υπενθύμιση: Η τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης Εστω K ένα σύνολο (π.χ. K = [a,b]) και f n,f : K R φραγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω ( X, ) και (, ) X Y {( x, ) : x X και Y} Y χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 23 Νεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αν N, να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Θεωρία Ζήτησης

Κεφάλαιο 1. Θεωρία Ζήτησης Κεφάλαιο 1 Θεωρία Ζήτησης Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί τις προτιµήσεις του.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y,

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Βασικές έννοιες Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, (ii) d(x, y) = d(y,

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Θα ϑέλαµε να ορίσουµε το «µήκος» κάθε υποσυνόλου A του R, δηλαδή να αντιστοιχίσουµε σε κάθε A R έναν µη αρνητικό αριθµό λ(a) (ή το + ). Είναι λογικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

x \ B T X. A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0}

x \ B T X. A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0} ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 6Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΚΛΕΙΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΚΑΙ ΚΛΕΙΣΤΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΧΩΡΟΙ HAUSDORFF ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Κλειστα συνολα Εχοντας

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 5 Σύγκλιση ακολουθιών 7 Ανοιχτά και κλειστά σύνολα 9 Συνεχείς συναρτήσεις 13 Κλειστότητα, σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα