ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Π.Μ.Σ. : «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Π.Μ.Σ. : «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Από τις προσπάθειες για απόδειξη του 5 ου Αιτήματος του Ευκλείδη στις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες Διπλωματική Εργασία του Δημόπουλου Άγγελου diaggelo@yahoo.gr Επιβλέπων: Παπαδοπετράκης Ευτύχης (Λέκτορας)

2 Ευχαριστίες Θέλω να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα της διπλωματικής εργασίας κ. Παπαδοπετράκη Ευτύχη για τη δυνατότητα που μου έδωσε να ασχοληθώ με ένα ιδιαίτερα ενδιαφέρον θέμα όντας πάντα διαθέσιμος για την διατύπωση οποιωνδήποτε αποριών με στόχο το καλύτερο δυνατό τελικό αποτέλεσμα. Ακόμη, ευχαριστώ ιδιαίτερα τα δύο μέλη της τριμελούς επιτροπής, κ. Καραζέρη Παναγή και κ. Αρβανιτογεώργο Ανδρέα για τη δημιουργική συνεργασία που είχαμε κατά τη σύνταξη της παρούσας διπλωματικής εργασίας. 2

3 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Περίληψη...5 Εισαγωγή...7 ΜΕΡΟΣ Α Α.1 Ο Ευκλείδης...10 Α.2 Τα Στοιχεία...11 Α.2.1 Μεταφράσεις και Εκδόσεις Α.2.2 Το Περιεχόμενο των Στοιχείων Α.2.3 Βασικά Χαρακτηριστικά και αδυναμίες Α.3 Ο ρόλος των ιδεών του Αριστοτέλη στο έργο του Ευκλείδη...20 Α.4.Ο Αρχιμήδης συμπληρώνει το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη...21 ΜΕΡΟΣ Β Β.1 Τα Αιτήματα...23 Β.1.1 Διαχωρισμός των Αιτημάτων Β.2 Οι Κοινές έννοιες (αξιώματα)...26 Β.3 Το 5ο Αίτημα ως αφορμή για μελέτες χρόνων (σύντομη αναδρομή)...27 Β.3.1 Η θεωρία των παραλλήλων στην Αρχαιότητα και το Βυζάντιο Β.3.2 Η θεωρία των παραλλήλων στα Αραβικά μαθηματικά Β.3.3 Η θεωρία των παραλλήλων στην Ευρώπη (13ο- 18ο αι.) Β.4 Η θέση του Πρόκλου...34 Β.5 Η απόδειξη του Πτολεμαίου...39 Β.6 Η συμβολή του Nasir Eddin στο θέμα των παραλλήλων...43 Β.7 Η προσπάθεια του Nasir ad Din al Tusi...45 Β.8 Η προσέγγιση του John Wallis

4 Β.9 Το Αίτημα του Playfair...48 Β.10 Αξιοσημείωτοι σχολιαστές του 5ου αιτήματος κατά τον 16ο και 17ο αιώνα...51 Β.11 Η απόπειρα απόδειξης του Gerolamo Saccheri...54 Β.12 Johann Heinrich Lambert...58 Β.13 Adrien- Marie Legendre...61 ΜΕΡΟΣ Γ Γ.1 Η πορεία προς τις Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες...66 Γ.2 Carl Friedrich Gauss...67 Γ.3 Ferdinand Karl Schweikart - Franz Adolf Taurinus...72 Γ.4 Nikolai Ivanovich Lobachevsky...76 Γ.5 János Bolyai...84 Γ.6. Georg Friedrich Bernhard Riemann...91 Πίνακας σύγκρισης της Ευκλείδειας με τη Μη Ευκλείδεια Επιπεδομετρία...96 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ (1)...97 Πού συναντάμε το 5ο αίτημα του Ευκλείδη στα Στοιχεία ύστερα από την διατύπωσή του. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ (2) Αναλυτικά η απόδειξη του Saccheri όπως αυτή δίνεται στο βιβλίο του Roberto Bonola, Non- Euclidean Geometry. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

5 Περίληψη Το περίφημο Ευκλείδειο Αίτημα (5 ο αίτημα), όπως διατυπώνεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη, απασχόλησε τον μαθηματικό κόσμο για περίπου 2000 χρόνια. Ξεκινώντας λοιπόν από το βιβλίο που αποτέλεσε ορόσημο για τη μαθηματική σκέψη, αναφερόμαστε σε ορισμένες αδυναμίες (κυρίως στο βαθμό αυστηρότητας) που έχουν επισημάνει σε αυτό οι κριτικοί και στεκόμαστε στο εξής γεγονός: Ο Ευκλείδης δεν έδωσε αποδείξεις για ορισμένες ιδέες και δηλώσεις του. Επειδή όμως αυτές οι δηλώσεις ήταν απαραίτητες για τις περαιτέρω μελέτες του τις έθεσε ως αληθινές. Η ιδέα ότι ορισμένες προτάσεις, μέσα στο πλαίσιο μιας θεωρίας, θα πρέπει να λαμβάνονται ως αληθινές χωρίς απόδειξη, είναι πολύ αρχαιότερη του Ευκλείδη. Ήδη ο Αριστοτέλης είχε εκθέσει στα «Αναλυτικά» του, μια θεωρητική επεξεργασία αυτής της αναγκαιότητας. Ο Ευκλείδης ακολουθεί την παγιωμένη αυτή τακτική προτάσσοντας τα πέντε αιτήματά του στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων του. Πολλές προσπάθειες απόδειξης του 5 ου αιτήματος έγιναν από σεβαστό αριθμό μαθηματικών. Όμως η εμφάνιση απόδειξης στο πρόβλημα δεν φαινόταν να «επιθυμεί» να έρθει στο φως. Έτσι, και ενώ είχε περάσει ένα αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα, τελικά μέσα από την άρνηση του ίδιου του 5 ου αιτήματος ήρθαν στο προσκήνιο οι Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες. Η άρνηση του 5 ου αιτήματος οδήγησε στην άποψη πως είναι δυνατή η ύπαρξη μίας Γεωμετρίας ανεξάρτητης από το 5 ο αίτημα θέτοντας έτσι τη βάση για την ανάπτυξη μίας νέας λογικά συνεπούς θεωρίας, η οποία έμελε να εκφράζει πιο πιστά αυτό που πράγματι συμβαίνει γενικά στη φύση και όχι σε μια ειδική περιοχή της. Σε πρώτο στάδιο, για να παρουσιάσουμε μία πλήρη ιστορική αναδρομή, χρησιμοποιούμε ως "σημείο εκκίνησης" τα χρόνια που προηγήθηκαν της συγγραφής των Στοιχείων. Μέσω αυτής της αναδρομής στόχος μας είναι να αναδειχθούν τόσο η φύση, όσο και ο σημαντικός ρόλος του Ευκλείδειου αιτήματος στη μαθηματική εξέλιξη. Στην καταγραφή αυτή, είναι δυνατό να συναντήσει κανείς πληροφορίες για το κλίμα που ευνόησε τη συγγραφή των Στοιχείων, ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του 5

6 συγγραφέα τους, αλλά και του ίδιου του έργου, μέσα από μία γενική θεώρηση που στόχο έχει πάντα την βαθύτερη κατανόηση του 5ου αιτήματος. Στη συνέχεια και έχοντας εξετάσει εν συντομία τα ιδιαίτερα αλλά και τα βασικά χαρακτηριστικά των Στοιχείων και του συγγραφέα τους μεταβαίνουμε στο βασικό θέμα της εργασίας. Πρόκειται, αρχικά, για την έκθεση των πέντε αιτημάτων, ενώ ακολουθεί η εκτενής παρουσίαση του 5 ου αιτήματος. Βασικό αντικείμενο μελέτης μας σε αυτό το στάδιο είναι οι διαφορετικές διατυπώσεις που χρησιμοποιήθηκαν για να καταγραφεί το ίδιο ακριβώς θέμα, καθώς επίσης και οι ποικίλες προσπάθειες απόδειξής του. Παρουσιάζουμε ορισμένες από τις βασικότερες αποδείξεις του 5 ου αιτήματος, τα δυνατά σημεία τους αλλά και τις αδυναμίες/ σφάλματα που επισημάνθηκαν από τους μελετητές. Το δέκατο ένατο αιώνα, οι μαθηματικοί άλλαξαν τακτική και επιχείρησαν να δείξουν ότι το 5ο αίτημα έπεται από τα άλλα τέσσερα: για να το κάνουν αυτό, πήραν τα τέσσερα αξιώματα και την άρνηση του 5 ου και προσπάθησαν να εντοπίσουν τυχόν αντιφάσεις. Μόνο που αντί για αντιφάσεις, ανακάλυψαν μια καινούρια, διαφορετική, εσωτερικά συνεπή γεωμετρία. Το βασικότερο βήμα προς την ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών έγινε με την άρνηση του 5 ου αιτήματος. Η καινούρια ιδέα που ήρθε στο προσκήνιο πρότεινε ουσιαστικά την αντικατάσταση του 5 ου αιτήματος από την άρνησή του. Επομένως, εάν επιχειρούσαμε να καταγράψουμε το περιεχόμενο της εργασίας συνοπτικά θα καταλήγαμε στα εξής: Πρόκειται για μία ιστορική αναδρομή που έχει βασικό της θέμα, αρχικά την παρουσίαση του Ευκλείδειου αιτήματος, έπειτα τις προσπάθειες απόδειξής του και τέλος την ανακάλυψη των Μη Ευκλείδειων Γεωμετριών μέσω της άρνησής του. 6

7 Εισαγωγή Τόσο η εμφάνιση όσο και η ανάπτυξη των μαθηματικών σχετίζεται με τις κοινωνικές και οικονομικές συνθήκες που επικρατούν κατά τη διάρκεια μίας συγκεκριμένης ιστορικής περιόδου. Ο ιστορικός χρόνος για τα μαθηματικά συνήθως διαιρείται ως εξής (Δρόσος, 2008, σελ. 5): - Προελληνικά μαθηματικά (3000 π. Χ π. Χ.) - Ελληνικά μαθηματικά (600 π. Χ μ. Χ.) - Αραβικά μαθηματικά (750 μ. Χ μ. Χ.) - Δυτικά μαθηματικά (1100 μ. Χ μ. Χ. ) - Σύγχρονα μαθηματικά (1600 μ. Χ. μέχρι σήμερα) Συνήθως η μελέτη των προελληνικών μαθηματικών περιορίζεται στα Αιγυπτιακά και Βαβυλωνιακά μαθηματικά. Βασικές πηγές για τα Αιγυπτιακά μαθηματικά αποτελούν ο πάπυρος του Rhind (χρονολογείται περί το 1650 π. Χ και σήμερα βρίσκεται στο βρετανικό Μουσείο )και ο πάπυρος της Μόσχας (1850 π. Χ. και σήμερα βρίσκεται στο Μουσείο της Μόσχας). Από την άλλη πλευρά, για τα Βαβυλωνιακά μαθηματικά πληροφορίες παίρνουμε από τα περίπου πλακίδια που συναντάμε διασκορπισμένα σε μουσεία. Η ανάπτυξη των Ελληνικών μαθηματικών αποτελεί σταθμό σε όλη τη μετέπειτα πορεία και εξέλιξή τους. Η εμφάνισή τους σηματοδοτεί μία αλλαγή σταθμό στην πορεία ανάπτυξης των μαθηματικών: Στη μετάβαση από τις κυρίως επαγωγικές πειραματικές και ολιστικές μεθόδους στις αναλυτικολογικές, παραγωγικές και θεωρητικές. (Δρόσος, 2008, σελ. 8) Εδώ συναντάμε τον Θαλή, τον Πυθαγόρα και τον Εύδοξο, τον Ευκλείδη, τον Αρχιμήδη και τον Απολλώνιο κ. ά. Από την Ινδία, η νέα τριγωνομετρία και η νέα γραφή των αριθμών πέρασαν στους Άραβες, τον όγδοο αιώνα μαζί με τα στοιχεία της Βαβυλωνιακής Άλγεβρας, της Ελληνικής Γεωμετρίας και της Τριγωνομετρίας. Το κύριο έργο των Αράβων 7

8 μαθηματικών εκτός από τις σπουδαίες συνεισφορές, ήταν η σύνθεση ενός δομημένου συνόλου που θα τακτοποιούσε όλες τις αρχαίες γνώσεις που είχαν λάβει από διάφορες πηγές. Μέχρι τον δωδέκατο και δέκατο τρίτο αιώνα ο αραβικός κόσμος είχε μία αρκετά μεγάλη παραγωγή μαθηματικών. (Δρόσος, 2008, σελ. 16) Αξίζει να αναφέρουμε τον Omar Khayyam ( ) και τον Nasir al Din Al- Tusi ( ) τους οποίους θα συναντήσουμε και παρακάτω. Στο διάστημα μεταξύ 1100 π. Χ. και 1600 μ. Χ. αρχίζει να αλλάζει η θεώρηση για τα μαθηματικά. Έχουν ήδη χάσει τη γεωμετρική τους χροιά και αποκτούν μία περισσότερο αλγεβρική μορφή. Η τάση αυτή θα συνεχιστεί μέχρι την πλήρη Αριθμητικοποίηση των μαθηματικών. Τέλος, κατά την περίοδο των Σύγχρονων μαθηματικών έχουμε την εισαγωγή της Αναλυτικής γεωμετρίας από τον Descartes (1637) ( Δρόσος, 2008, σελ. 15) και τη θεωρία Πιθανοτήτων του Pascal, εμφάνιση της Αναλυτικής Γεωμετρίας, του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού (Newton, Leibnitz, Bernoulli, κ.ά.), των Διαφορικών Εξισώσεων, της Μηχανικής, του Λογισμού των Μεταβολών (Euler, D Alambert, Clairault, Monge, Laplace). Επιπλέον έχουμε την ανάπτυξη της θεωρίας των Μιγαδικών Συναρτήσεων, της Σύγχρονης Άλγεβρας, των μη-ευκλείδειων Γεωμετριών, της Προβολικής και Παραστατικής Γεωμετρίας, της θεωρίας Πινάκων, της Τοπολογίας και θεωρίας Συνόλων με εκφραστές πολλούς και σημαντικούς Μαθηματικούς, κυριότεροι από τους οποίους ήταν οι: Cauchy, Weierstrass, Poincare, Gauss, Bolyai, Euler, κ.ά. Τέλος, κατά τον 20ο αιώνα ανακαλύπτεται η θεωρία των ελλειπτικών συναρτήσεων και καμπυλών, η θεωρία Δακτυλίων και Σωμάτων, η Αριθμητική Ανάλυση, η Λογική, η Διαφορική Τοπολογία, η Πληροφορική, η Γεωμετρία Riemann, κ.ά. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός πως τα μαθηματικά του Ευκλείδη τοποθετούνται στην περίοδο των ελληνικών μαθηματικών μπορούμε αυτόματα να αντιληφθούμε τόσο την μεγάλη σημασία τους, όσο και την επιρροή που άσκησαν στη μετέπειτα εξέλιξη του κλάδου. Στα Στοιχεία του Ευκλείδη βασίζεται η γεωμετρία του επιπέδου, η διδασκαλία της, αλλά και μέσω διεργασιών που συντελέστηκαν σε διάστημα μεγαλύτερο των 2000 χρόνων προέκυψαν νέες γεωμετρίες. Επομένως, μέσα από αποτελέσματα ερευνών οι 8

9 οποίες τοποθετούνται στο σχετικά πρώιμο στάδιο των μαθηματικών, ο Ευκλείδης καταλήγει να είναι παρόν σε κάθε περίοδο που ακολουθεί. 9

10 ΜΕΡΟΣ Α Α.1 Ο Ευκλείδης Λίγα πράγματα είναι γνωστά για τον Ευκλείδη (άκμασε περί το 300 π. Χ.). (Struik, 1967, σελ.87) Πιθανότατα έζησε στην περιοχή της Αλεξάνδρειας κατά την εποχή του Πτολεμαίου Ι ( π. Χ.), καθώς κλήθηκε εκεί προκειμένου να αναλάβει το Μουσείο και ίσως να διδάξει. Σε αυτό το σημείο αξίζει να παρατηρήσουμε πως Εικόνα. Ο Ευκλείδης (Πηγή: Davis, Η φύση και η δύναμη των μαθηματικών, σελ. 34) σε αρκετές εκδόσεις των Στοιχείων αναφέρεται πως ο συγγραφέας τους καταγόταν από τα Μέγαρα. Το ίδιο συμβαίνει και σε κάποιες ιστορίες των μαθηματικών. Παρ όλα αυτά πρόκειται για παρανόηση. Ο Ευκλείδης από τα Μέγαρα ήταν μαθητής του Σωκράτη και δεν έδωσε περισσότερη βάση στα μαθηματικά από αυτή του δασκάλου του. Επομένως, πρόκειται για διαφορετικό πρόσωπο. (Boyer- Merzbach, 1997, σελ. 115) Μετά τον θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου (323 π. Χ.), κατά το έτος 306 π. Χ., ο Πτολεμαίος Ι κατείχε υπό τον έλεγχο του το λεγόμενο αιγυπτιακό τμήμα της τότε αυτοκρατορίας. Ο ίδιος προέβη σε κινήσεις ιδιαίτερα δημιουργικές. Κύριο μέλημα του ήταν να συγκαλέσει μία ομάδα γνωστών ανθρώπων της εποχής με σκοπό να απαρτίσουν το διδακτικό προσωπικό της σχολής της Αλεξάνδρειας (ή αλλιώς Μουσείο της Αλεξάνδρειας) που ο ίδιος είχε ιδρύσει. Μέσα στο διδακτικό λοιπόν, προσωπικό μπορούσε κανείς να συναντήσει τον συγγραφέα του βιβλίου που θα μας απασχολήσει, τον Ευκλείδη. Είναι πράγματι τουλάχιστον αξιοπερίεργο το γεγονός πως αν και μέσα 10

11 από τα Στοιχεία μαθαίνουμε τόσα για τη Γεωμετρία, γνωρίζουμε ελάχιστα για τον άνθρωπο που τα συνέταξε. Όποια στοιχεία διαθέτουμε για τον ίδιο τον Ευκλείδη συνηγορούν στην εξαιρετική ικανότητα διδασκαλίας του. (Bunt- Jones- Bedient, 1981, σελ. 160) Σκοπός του φαίνεται να ήταν η γνώση, η εμβάθυνση σε αυτή, αφήνοντας, σε κάθε περίπτωση, ανοιχτή τη δυνατότητα εμπλουτισμού της. Ίσως εδώ μπορεί να εντοπίσει κάποιος ένα από τα βασικά συστατικά που οδήγησαν στην τόσο μεγάλη επιτυχία των Στοιχείων. Αν και δεν αποδίδεται στον Ευκλείδη κάποια καινούρια ανακάλυψη, εξαίρεται η διδακτική του δεξιότητα.( Boyer- Merzbach, 1997, σελ. 119) Διαφαίνεται το εύρος της αντίληψης του Ευκλείδη, συμπεριλαμβανομένης της κριτικής ικανότητας και της βαθειάς γνώσης των παρελθόντων μαθηματικών κατακτήσεων. (Στράντζαλος, 1989, σελ. 28) Ο συνδυασμός λοιπόν αυτών των πτυχών δεν μπορούσε παρά να οδηγήσει στη δημιουργία ενός έργου τόσο σύνθετου από τη μία πλευρά, αλλά γεμάτου συνοχή από την άλλη. Έτσι, επιλέγουμε να χρησιμοποιήσουμε το ίδιο το έργο ως πηγή άντλησης πληροφοριών για τον συγγραφέα, αφού δεν υπάρχει κάποια έγκυρη πηγή που θα μας διαφώτιζε σχετικά με τον συγγραφέα των Στοιχείων. Α.2 Τα Στοιχεία «Ρώτησε κάποτε ο Πτολεμαίος τον Ευκλείδη αν υπήρχε κάποιος γρηγορότερος δρόμος προς την γεωμετρία εκτός από την μελέτη των Στοιχείων. Στο σημείο αυτό, ο Ευκλείδης απάντησε ότι δεν υπάρχει βασιλικός δρόμος για τη γεωμετρία 1» Πρόκλος Διάδοχος 1 Μπασμακόβα, 2011, σελ

12 Με τα Στοιχεία του Ευκλείδη, διαπιστώνουμε το πέρασμα από τον τρόπο, στο λόγο - την αιτία. (Στράντζαλος, 1989, σελ.12) Σε αυτά είναι ορατή η επίδραση των απόψεων του Αριστοτέλη (κυρίως στο 1ο βιβλίο). (Στράντζαλος, 1989, σελ. 24) Παρ όλα αυτά, θα πρέπει σε αυτό το σημείο να υπογραμμίσουμε πως η προσπάθεια αξιωματικοποίησης που συναντάμε στα Στοιχεία δεν εμφανίστηκε ξαφνικά. Λειτούργησε ταυτόχρονα ως κατάληξη μιας άλλης πορείας που είχε ήδη ξεκινήσει και ως πρόλογος μίας καινούριας. Ήδη υπήρχε συγγραφική εμπειρία 150 χρόνων, καθώς από το 450 π. Χ. είχαν αρχίσει να γράφονται «Στοιχεία». Σε ό, τι αφορά λοιπόν, την ύπαρξη «Στοιχείων» προγενέστερων του Ευκλείδη, ο Ιπποκράτης της Χίου, (Bunt- Jones- Bedient, 1981, σελ. 159) για παράδειγμα, (~470 π.χ 410 π.χ.) είχε προβεί στη συγγραφή «Στοιχείων» όπως και άλλοι μαθηματικοί. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη ξεχώρισαν από τις παλαιότερες εργασίες λόγω της λογικής δομής και της μαθηματικής αυστηρότητας τους. Έτσι, τα παλαιότερα έργα δεν αναπαράχθηκαν και σώζονται μόνο με έμμεσο τρόπο από τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Επιπλέον, κάποια από τα Μαθηματικά αποτελέσματα που περιέχονται στα 13 βιβλία των Στοιχείων αποδίδονται σε μαθηματικούς που έζησαν πριν τον Ευκλείδη. Για παράδειγμα στους Πυθαγόρειους και κυρίως στον Αρχύτα τον Ταραντίνο ( π. Χ.) ανήκουν αποτελέσματα που συναντάμε στα βιβλία 1, 2, 6, 7, 8, 9, 11. Επιπλέον, στον Εύδοξο από την Κνίδο ( π. Χ.) ανήκει το 5ο βιβλίο και η "μέθοδος εξάντλησης" που εφαρμόζεται στο 12ο βιβλίο. Α.2.1 Μεταφράσεις και εκδόσεις Το έργο λοιπόν που περιέχει το περίφημο αίτημα παραλλήλων γράφτηκε περί το 300 π. Χ. Πρόκειται για το βιβλίο που έπεται της Βίβλου σε αριθμό μεταφράσεων και έχει εκδοθεί πάνω από χίλιες φορές. ( Bunt- Jones- Bedient, 1981, σελ. 160) Δε σώζεται κανένα αντίγραφο των Στοιχείων από την εποχή του ίδιου του Ευκλείδη. Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την 12

13 Αλεξάνδρεια, ένας Έλληνας σχολιαστής και μαθηματικός που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη. Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο. Στα 1808, όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι, ο F. Peyrard ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη εκείνης του Θεωνά. Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές. Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά. Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και το 1120 ο Άγγλος μελετητής Adelard μετέφρασε τα Στοιχεία στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ' αυτές τις παλαιότερες αραβικές μεταφράσεις. Άλλες λατινικές μεταφράσεις που συναντάμε από τα αραβικά έκαναν ο Gherardo από την Κρεμώνα ( ) και 150 χρόνια μετά τον Adelard, ο Johannes Campanus. (Μπασμακόβα, σελ. 237) Στη Βασιλεία του 1533 συναντάμε την πτώτη ελληνική εκτύπωση. Όπως μπορεί να αντιληφθεί κανείς από το 300 π. Χ έως την Από την 1η έκδοση των Στοιχείων, Βενετία 1482 (Πηγή: Φίλη, 2010, σελ. 33) πρώτη τυπωμένη έκδοση μεσολάβησε πλήθος μεταγραφέων και επιμελητών που ενδέχεται να παράλλαξαν το κείμενο ή να προσπάθησαν να το διορθώσουν σύμφωνα με τις δικές τους απόψεις. Η πρώτη λοιπόν τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων πραγματοποιήθηκε στη Βενετία το 1482 και ήταν η μετάφραση του Campanus. (Bonola, 1955, σελ. 17) Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν επιμελώς τυπωμένο και θεωρείται το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε. Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Commandino το Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν στις οποίες ανήκει και η εργασία του Robert 13

14 Simson που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για τις πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις που ακολούθησαν. Α.2.2 Το περιεχόμενο των Στοιχείων Η Ευκλείδεια γεωμετρία βασίζεται στα Στοιχεία 2 του Ευκλείδη. Σε αυτά παρουσιάζονται με λογική σειρά οι βάσεις για τα στοιχειώδη μαθηματικά της εποχής. Δηλαδή: οι βάσεις για την αριθμητική (θεωρία αριθμών), για την γεωμετρία (σημεία, ευθείες, επίπεδα, κύκλοι, σφαίρες) για την γεωμετρική άλγεβρα Για τον Πρόκλο τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν με τα μαθηματικά τη σημασία/ σχέση που έχει το αλφάβητο με τη γλώσσα. Το περιεχόμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη στηρίχτηκε κατά ένα μεγάλο μέρος στο έργο προηγούμενων μαθηματικών. Όμως η διάταξη των προτάσεων πιθανότατα οφείλεται στον Ευκλείδη όπως και πολλές από τις αποδείξεις. Εδώ αξίζει να παρατηρήσουμε πως αν ο Ευκλείδης είχε ως αποκλειστικό σκοπό την παρουσίαση μίας έκθεσης πληροφοριών θα συμπεριελάμβανε πλήθος αναφορών σε άλλους συγγραφείς καθώς και λιγότερο αυστηρές αποδείξεις. Γράφοντας τα Στοιχεία, ο Ευκλείδης, δεν σκόπευε στη σύνταξη μίας εγκυκλοπαίδειας με τη συσσωρευμένη γεωμετρική γνώση της εποχής του υπό μορφή συνοπτικής παρουσίασης. Αυτό φαίνεται και από το γεγονός ότι επέλεξε να αγνοήσει εντελώς ορισμένους τομείς της γεωμετρίας αν και είναι σίγουρο πως τους γνώριζε. Τα Στοιχεία αποτέλεσαν μία εισαγωγή στη μελέτη της γεωμετρίας, και στη μελέτη των μαθηματικών.( Klein, 1992, σελ. 5) Πρόκειται περισσότερο για ένα εισαγωγικό βιβλίο που είναι σε θέση να καλύψει όλα τα στοιχειώδη μαθηματικά. Άρα σε αυτό συναντά κανείς όπως είδαμε παραπάνω αριθμητική με την έννοια της θεωρίας των αριθμών, 2 Αξίζει να αναφέρουμε πως οι αρχαίοι Έλληνες έκαναν χρήση του όρου Στοιχεία όταν επιθυμούσαν να αναφερθούν σε ένα σύστημα μαθηματικών Προτάσεων και Θεωρημάτων, το οποίο με τη σειρά του βασιζόταν σε αξιώματα. 14

15 συνθετική γεωμετρία και άλγεβρα, όχι με τη σύγχρονη ερμηνεία που δίνεται σε αυτή αλλά με μία ισοδύναμή της μορφή εκφρασμένη μέσα από τη γεωμετρία. Πιο συγκεκριμένα: Τα βιβλία 1 έως 6 αφιερώνονται στην Επιπεδομετρία. Τα τέσσερα πρώτα βιβλία περιέχουν γενικές θεωρήσεις των στοιχειωδών γεωμετρικών μορφών, όπως του ευθύγραμμου τμήματος, της γωνίας, του εμβαδού κ.λπ. και τη θεωρία των απλών γεωμετρικών σχημάτων (τριγώνων, παραλληλογράμμων, κύκλων, κανονικών πολυγώνων κ. λπ.) με τρόπο παρουσίασης που είναι δυνατό να συναντήσουμε και σήμερα. Παράλληλα με τα παραπάνω δίνεται στο 2 ο βιβλίο μία στοιχειώδης Αριθμητική και Άλγεβρα των γεωμετρικών ποσοτήτων 3. Το 5 ο βιβλίο προχωρεί βαθύτερα, αφού εισάγει το γεωμετρικό ισοδύναμο του γενικού θετικού πραγματικού αριθμού. Αυτός είναι το πηλίκο α/β των μέτρων δύο τμημάτων α, β, το οποίο ο Ευκλείδης αποκαλεί λόγο. Η κεντρική ιδέα αυτής της ανάπτυξης έχει να κάνει με τον ορισμό της ισότητας δύο λόγων α/β και γ/δ. Αυτός ο ορισμός πρέπει να είναι εντελώς γενικός και πρέπει να ισχύει και όταν α/β είναι με τη δική μας έννοια άρρητος, όταν τα τμήματα α, β είναι ασύμμετρα, δηλαδή χωρίς κοινό μέτρο σύγκρισης. Σε αυτή την περίπτωση ο Ευκλείδης προχωρά ως εξής 4 : παίρνει δύο ακέραιους μ και ν και έπειτα κάνει σύγκριση των τμημάτων μ α, ν β από τη μία πλευρά και μ γ, ν δ από την άλλη. Παίρνει μία από τις σχέσεις μ α = ν β, μ α < ν β, μ α > ν β ή μία από τις μ γ = ν δ, μ γ < ν δ, μ γ > ν δ. Εάν για τις αυθαίρετες τιμές των μ,ν ισχύει το ίδιο σύμβολο και στις δύο περιπτώσεις τότε λέμε ότι α/β= γ/δ. 3 Για παράδειγμα το γινόμενο α β των τμημάτων α, β εκφράζεται ως ορθογώνιο. Αν θέλουμε να προσθέσουμε δύο τέτοια γινόμενα όπως τα α β και γ δ (πρόσθεση την οποία μπορούμε να εκτελέσουμε γρήγορα με αριθμητικό τρόπο), είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε το γινόμενο ως ένα μοναδικό ορθογώνιο μετασχηματίζοντας τα δύο ορθογώνια α β και γ δ σε ορθογώνια με ίσες βάσεις) 4 Αυτό στην πραγματικότητα αντιστοιχεί πλήρως στην περίφημη διαδικασία της τομής μέσω της οποίας ο Dedekind είχε εισάγει τους άρρητους αριθμούς 15

16 Η επιστημονική σημασία του 5 ου βιβλίου 5 του Ευκλείδη είναι μεγάλη. Στο βιβλίο αυτό δίνεται για 1 η φορά, μιλώντας με τη σημερινή ορολογία, η αυστηρή βάση πάνω σε ακριβείς ορισμούς για υπολογισμούς με άρρητους αριθμούς. Εδώ φαίνεται ξεκάθαρα ότι τα Στοιχεία δεν ήταν και δεν είναι ένα σχολικό εγχειρίδιο όπως λανθασμένα είχε συχνά υποτεθεί. Τα Στοιχεία προϋποθέτουν μάλλον έναν ώριμο αναγνώστη ικανό για επιστημονική σκέψη. Προχωρώντας στα περιεχόμενα των Στοιχείων, βρίσκουμε στο 6 ο βιβλίο την θεωρία των ομοίων σχημάτων όπου το βασικό μέσο που χρησιμοποιείται πραγματεύεται τη θεωρία των αναλογιών. Στα βιβλία 7, 8 και 9 ο Ευκλείδης πραγματεύεται τη θεωρία των Ακεραίων εν μέρει σε γεωμετρική μορφή. Εδώ βρίσκουμε αναλογίες με ακέραιους, δηλαδή υπολογισμούς με ρητά κλάσματα, μία θεωρία εντελώς ανεξάρτητη από τα περιεχόμενα του 5 ου βιβλίου. Στο 10 ο βιβλίο το οποίο είναι ιδιαίτερα κουραστικό και δύσκολο να κατανοηθεί λόγω της γεωμετρικής του μορφής υπάρχει μία γεωμετρική ταξινόμηση των ασυμμετριών που εκφράζονται ως τετραγωνικές ρίζες, με τέτοιο τρόπο ώστε να χρησιμεύσει αργότερα σε γεωμετρικές κατασκευές. Έως και το 11 ο βιβλίο δεν είναι δυνατό να βρεθεί κάτι που θα μπορούσε να θεωρηθεί ως εισαγωγή στη στερεομετρία. Παρατηρούμε ότι ο Ευκλείδης δεν έχει καμία διάθεση να συγχωνεύει τα πράγματα. Τοποθετεί τη στερεομετρία ανεξάρτητα από την επιπεδομετρία, σε αντίθεση με τη σημερινή τάση για ανάπτυξη της αντίληψης του Χώρου ως ολότητας. Στο 12 ο βιβλίο εμφανίζεται πάλι η γενική θεώρηση των άρρητων μεγεθών, τα οποία είναι απαραίτητα για την εύρεση του όγκου μίας πυραμίδας και άλλων στερεών. Εδώ βρίσκουμε συγκεκαλυμμένη εφαρμογή της έννοιας του ορίου. Στο τελευταίο βιβλίο, το 13 ο, υπάρχει η θεωρία των κανονικών στερεών και με τη χρήση του υλικού που υπάρχει στο 10 ο βιβλίο καταλήγει στην απόδειξη ότι είναι δυνατή η κατασκευή αυτών των στερεών, δηλαδή των μηκών και των πλευρών τους με τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη. 5 Υπάρχει η παράδοση ότι το 5 ο βιβλίο δεν γράφτηκε από τον ίδιο τον Ευκλείδη αλλά από τον Εύδοξο τον Κνίδιο (περί το 350 π. Χ.) 16

17 Συνοπτικά το περιεχόμενο των 13 βιβλίων έχει ως εξής: Τα πρώτα 4 πραγματεύονται την γνωστή μας Επιπεδομετρία ( γεωμετρία επιπέδου). Το 5 ο πραγματεύεται τη γεωμετρία των αναλογιών του Ευδόξου. Το 6 ο σχετίζεται με την έννοια της ομοιότητας. Τα βιβλία 7, 8, 9 σχετίζονται με τη σύγχρονη Θεωρία Αριθμών. Στο βιβλίο 10 γίνεται μία προσπάθεια ανάπτυξης της Θεωρίας των Αρρήτων. Στα βιβλία 11, 12, 13 γίνεται παρουσίαση της αξιόλογης Στερεομετρίας της εποχής. Έτσι σε κάθε βιβλίο συναντάμε: Βιβλίο 1 ο Αξιωματική θεμελίωση της Γεωμετρίας με 23 ορισμούς, 5 αιτήματα και 9 κοινές έννοιες,(δηλαδή τα αιτήματα και οι κοινές έννοιες αποτελούν αυτά που σήμερα θα αποκαλούσαμε τα αξιώματα). Ακολουθούν οι προτάσεις. Το βιβλίο τελειώνει με την απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος και του αντιστρόφου του. Βιβλίο 2 ο Δεκατέσσερις προτάσεις (με αποδείξεις ιδιοτήτων που σήμερα τις λέμε αλγεβρικές γιατί τις διατυπώνουμε και τις μελετάμε στη γλώσσα της άλγεβρας, ενώ ο Ευκλείδης τις μελετάει στη γλώσσα της γεωμετρίας (με τη βοήθεια εμβαδών), όπως: α (β + γ) = α β + β γ Αυτός είναι ο λόγος που αρκετοί Ιστορικοί των Μαθηματικών έχουν θεωρήσει, όχι χωρίς αντιρρήσεις τις προτάσεις αυτές ως Θεωρήματα της Γεωμετρικής Άλγεβρας Βιβλίο 3 ο Ιδιότητες κύκλων 17

18 Βιβλίο 4 ο Κατασκευές κανονικών πολυγώνων, (3,4,5,6 πλευρές). Τελειώνει με τη κατασκευή του κανονικού 15 γωνου. Βιβλία 5 ο Θεωρία των αναλογιών του Ευδόξου Βιβλίο 6 ο Εφαρμογής της θεωρίας των Αναλογιών στην Επίπεδη Γεωμετρία. Βιβλία 7 ο, 8 ο, 9 ο Θεωρία Αριθμών Βιβλίο 10 ο (πρόκειται για το εκτενέστερο και το πιο απαιτητικό βιβλίο). Με τη σημερινή ορολογία: επεκτάσεις σωμάτων βαθμού 2 και 4 πάνω από τους ρητούς. Βιβλίο 11 ο Βασικά Θεωρήματα στερεομετρίας. Βιβλίο 12 ο Όγκους πυραμίδας, κώνου και σφαίρας. Βιβλίο 13 ο Πλατωνικά στερεά. Για κάθε ένα από αυτά υπολογίζει λόγο ακμής με ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας. 18

19 Α.2.3 Βασικά χαρακτηριστικά και αδυναμίες Στα βασικά χαρακτηριστικά των Στοιχείων μπορούμε να συμπεριλάβουμε την συστηματικότητα που διέπει τόσο τη διαδικασία διαδοχής των ορισμών και των αξιωμάτων, όσο και την προετοιμασία των αποδείξεων των βασικών θεωρημάτων. Παρ όλα αυτά, υπάρχουν ορισμένες ατέλειες- ιδιαιτερότητες. Κάτι τέτοιο «δικαιολογείται» αν σκεφτεί κανείς πως το πρώτο σύστημα αξιωμάτων στο οποίο δεν επισημάνθηκαν σοβαρές ατέλειες δημοσιεύτηκε το 1899 μ. Χ από τον Hilbert. (Στράντζαλος, 1989 σελ. 29) Σε μία προσπάθεια να συνοψίσουμε τα συμπεράσματά μας σχετικά με τα Στοιχεία του Ευκλείδη μπορούμε να αντιληφθούμε τη μεγάλη ιστορική τους σημασία αν σταθούμε στο εξής γεγονός: πρόκειται για το έργο μέσω του οποίου μεταλαμπαδεύτηκε στις επόμενες γενιές το ιδεώδες μίας συνεπούς ανάπτυξης της γεωμετρίας. (Klein, 1992, σελ. 11) Από την άλλη πλευρά, και σε ό, τι αφορά τα αδύναμα σημεία του έργου σε αυτά ανήκει πλήθος σημαντικών λεπτομερειών που παρέμειναν αδιευκρίνιστες λόγω ασαφειών που είναι δυνατό να εντοπιστούν στο κείμενο. Σε ορισμένα σημεία παρατηρείται μονόπλευρη έμφαση στη λογική αλληλουχία η οποία σε κάποιες περιπτώσεις δυσχεραίνει την κατανόηση του έργου στο σύνολό του αλλά και τις ουσιώδεις σχέσεις που υφίστανται μεταξύ των τμημάτων του. (Klein, 1992, σελ. 12) Αδιαμφισβήτητα, τα Στοιχεία άσκησαν επιρροή στην διαδικασία ωρίμανσης της ανθρώπινης σκέψης σε όλα τα επίπεδα της, επηρεάζοντας κατά συνέπεια την ίδια την πολιτισμική εξέλιξη. (Στράντζαλος, 1989 σελ. 48) Απομακρύνουν την προσοχή από τον τρόπο και στρέφονται στην αιτιολόγηση. Με τη συγγραφή των Στοιχείων ο Ευκλείδης επιχείρησε να συγκεντρώσει σε ένα σώμα τη θεωρία των λόγων του Ευδόξου, την θεωρία των αρρήτων του Θεαίτητου και τέλος την θεωρία των 5 κανονικών στερεών που έπαιζε πολύ σημαντικό ρόλο στην κοσμολογία του Πλάτωνα. 19

20 Α.3 Ο ρόλος των ιδεών του Αριστοτέλη στο έργο του Ευκλείδη Η κατασκευή ενός μαθηματικού συστήματος, σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, οφείλει να έχει ως αφετηρία τις κοινές έννοιες. Αυτές είναι που αποτελούν το υπόβαθρο κάθε παραγωγικού συλλογισμού. Επιπλέον, πριν από οτιδήποτε άλλο, είναι απαραίτητο να ξεκινάμε από τις ειδικές έννοιες. Αυτές δηλώνουν την ύπαρξη των θεμελιωδών μαθηματικών εννοιών ή καθορίζουν τη σημασία τους. Κάθε άλλη έννοια πρέπει να ορίζεται. Αυτό γίνεται με την υπαγωγή της σε ένα προσεχές γένος και με τον καθορισμό της ειδοποιού διαφοράς. Αλλά και η ύπαρξη της οριζόμενης έννοιας πρέπει να αποδεικνύεται. Ο Ευκλείδης προσπάθησε να οικοδομήσει το σύστημά του σύμφωνα με τις αριστοτελικές εκτιμήσεις. (Bunt- Jones - Bedient, 1981, σελ.160) Ο Αριστοτέλης λοιπόν διακρίνει δύο είδη εννοιών: Τις θεμελιώδεις και τις έννοιες που παράγονται από τις θεμελιώδεις. α) Οι θεμελιώδεις έννοιες, δεν μπορούν να οριστούν. Τις ουσιώδεις ιδιότητες τους τις παρουσιάζουν οι ειδικές έννοιες. β) Κάθε άλλη έννοια ορίζεται. Ξεκινώντας από ήδη γνωστή έννοια, το προσεχές γένος, θεωρούμε τις ειδικές περιπτώσεις αυτής της έννοιας, που ικανοποιούν κάποιες συγκεκριμένες απαιτήσεις, την ειδοποιό διαφορά. Με αυτόν τον τρόπο σχηματίζεται μία νέα έννοια 6. (Bunt- Jones - Bedient, 1981, σελ.161) 6 Ας είναι λ. χ. προσεχές γένος: τρίγωνο και ειδοποιός διαφορά: οι δύο πλευρές είναι ίσες. Νέα έννοια: ισοσκελές τρίγωνο. 20

21 Α.4 Ο Αρχιμήδης συμπληρώνει το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη Τα 5 αξιώματα του Ευκλείδη δεν αρκούν για να αποδείχθεί ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος είναι μεγαλύτερος από την περίμετρο του πολυγώνου. Στο έργο Περί σφαίρας και κυλίνδρου (βιβλίο α και β ) ο Αρχιμήδης ασχολείται με τις διαστάσεις των σφαιρών, των κώνων και των κυλίνδρων. Στο α βιβλίο ασχολείται με την απόδειξη προτάσεων μέσω μίας σειράς θεωρημάτων επί των οποίων θεμελιώνει τη συλλογιστική του. Τα εισαγωγικά θεωρήματα και οι αποδείξεις βασίζονται κυρίως στη «μέθοδο της εξάντλησης». Τη μέθοδο αυτή τελειοποίησε χρησιμοποιώντας διπλή την εις άτοπον απαγωγή, όπου ένα περιγεγραμμένο και ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο, εκ των οποίων το πρώτο μειώνεται και το δεύτερο αυξάνεται, τείνουν ασυμπτωτικά σε κοινό όριο. Το έργο του Αρχιμήδη αρχίζει με τα παρακάτω 5 αξιώματα, μέσω των οποίων θέλει να γίνει φανερό ότι η περίμετρος του εγγεγραμμένου πολυγώνου είναι μικρότερη από την περιφέρεια του κύκλου. 1. Από όλες τις γραμμές που έχουν τα αυτά πέρατα ελάχιστη είναι η ευθεία. 2. Εάν δύο καμπύλες κείνται στο ίδιο επίπεδο, έχουν τα αυτά πέρατα και είναι αμφότερες «επί τα αυτά κοίλες», και η μία εξ αυτών περιλαμβάνεται εξ ολοκλήρου από την άλλη ( ή συμπίπτει με αυτή εν μέρει), τότε αυτή είναι η μικρότερη. 3. Από τις επιφάνειες οι οποίες καταλήγουν στην ίδια επίπεδη καμπύλη, η επίπεδη είναι η ελάχιστη. 4. Εάν δύο επιφάνειες κείνται στο ίδιο επίπεδο, έχουν τα αυτά πέρατα και είναι αμφότερες «επί τα αυτά κοίλες» και η μία εξ αυτών περιλαμβάνεται εξ ολοκλήρου από την άλλη (ή συμπίπτει με αυτή εν μέρει), τότε αυτή είναι η μικρότερη. 5. Εάν η διαφορά μεταξύ δύο άνισων μεγεθών (γραμμών, επιφανειών ή στερεών) προστεθεί στον εαυτό της έναν ικανό αριθμό φορών, μπορεί να ξεπεράσει το μεγαλύτερο από τα αρχικά μεγέθη. 21

22 Αυτό είναι το περίφημο «Αίτημα του Αρχιμήδη», το οποίο σύμφωνα με τον ίδιο είχε χρησιμοποιηθεί σε μία πιο χαλαρή μορφή και από τον γεωμέτρη Εύδοξο. (Παπαδοπετράκης 2012, σελ. 168) 22

23 Β ΜΕΡΟΣ Έχοντας εξετάσει εν συντομία τα ιδιαίτερα αλλά και τα βασικά χαρακτηριστικά των Στοιχείων και του ίδιου του συγγραφέα τους μπορούμε να προχωρήσουμε στο βασικό θέμα της παρούσας εργασίας. Πρόκειται, αρχικά, για την καταγραφή ορισμένων από τις κοινές έννοιες αλλά και των 5 αιτημάτων. Έπειτα ακολουθεί η εκτενής παρουσίαση του 5ου αιτήματος. Θα δώσουμε ιδιαίτερη σημασία στη φύση του αιτήματος καθώς και στις διαφορετικές διατυπώσεις που προέκυψαν προκειμένου να καταγραφεί το ίδιο ακριβώς θέμα. Επιπλέον θα μελετήσουμε ορισμένες από τις ποικίλες προσπάθειες απόδειξης του 5ου αιτήματος, προσπάθειες που ξεκινούν με τον Ποσειδώνιο ( π. Χ.) και καταλήγουν στον G.S. Klugel (1763 μ. Χ.). Ο Ευκλείδης στα Στοιχεία του εκθέτει 5 αιτήματα τα οποία μπορούμε να βρούμε διατυπωμένα με ποικίλους τρόπους. Έχοντας λοιπόν παρουσιάσει το 5ο Αίτημα θα είμαστε σε θέση να αντιληφθούμε ότι διέπεται από σημαντικές ιδιαιτερότητες και να αναρωτηθούμε αν τελικά είναι αυτό που σε μεγάλο βαθμό καθορίζει τη φύση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, όπως συνηθίζεται να λέγεται. Β.1 Τα Αιτήματα ΑΙΤΗΜΑ 1 Ο : Ηἰτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. Από οποιοδήποτε σημείο προς κάθε σημείο να είναι δυνατόν να άγεται μια γραμμή. ΑΙΤΗΜΑ 2 Ο : Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ' εὐθείας ἐκβαλεῖν. Και κάθε πεπερασμένη ευθεία να μπορεί να προεκτείνεται συνεχώς. ΑΙΤΗΜΑ 3 Ο : Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι. Και με κάθε κέντρο και κάθε ακτίνα να μπορεί να γράφεται ένας κύκλος. ΑΙΤΗΜΑ 4 Ο : Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι. Και όλες οι ορθές γωνίες να είναι ίσες μεταξύ τους. 23

24 ΑΙΤΗΜΑ 5 Ο : Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες. ΣΧΗΜΑ Και εάν δύο ευθείες τεμνόμενες από μια άλλη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες μικρότερες σε άθροισμα από δύο ορθές, εάν προεκταθούν επ άπειρον να τέμνονται προς τα μέρη των γωνιών που έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές. Διατύπωση του 5ου αιτήματος όπως δίνεται από τον A. D. Aleksandrov στο βιβλίο του Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες (1976, σελ.3) : Από ένα σημείο που βρίσκεται έξω από δοσμένη ευθεία δεν μπορεί να αχθούν περισσότερες από μία παράλληλες ευθείες προς αυτή. Μπορούμε να αποδείξουμε πως είναι δυνατό να φέρουμε τουλάχιστον μία παράλληλη ευθεία προς μία δοσμένη ευθεία α, από ένα σημείο Α που δεν βρίσκεται πάνω της. Ας φέρουμε μία κάθετη β από το Α στην α και μία ευθεία γ κάθετη στη β στο Α. ΣΧΗΜΑ Το σχήμα που προκύπτει είναι απόλυτα συμμετρικό ως προς την ευθεία β αφού οι γωνίες που σχηματίζονται από την β με τις α και γ και στα δύο άκρα της είναι ίσες. 24

25 Άρα, όταν στρέψουμε το επίπεδο γύρω από την β οι ημιευθείες α και γ έρχονται σε σύμπτωση. Έτσι, αν οι α και γ τέμνονταν στη μία πλευρά του ΑΒ τότε θα προέκυπτε πως οι ευθείες α και γ έχουν δύο κοινά σημεία. Αυτό όμως είναι αδύνατο καθώς από μία θεμελιώδη ιδιότητα της ευθείας μόνο μία ευθεία μπορεί να αχθεί από 2 σημεία. Οι ευθείες λοιπόν που έχουν δύο κοινά σημεία πρέπει αναγκαστικά να ταυτίζονται. Από τις δύο βασικές ιδιότητες της ευθείας και της κίνησης ενός σχήματος προκύπτει ότι τουλάχιστον μία παράλληλη προς δοσμένη ευθεία είναι δυνατό να αχθεί από δοσμένο σημείο. Η παραδοχή του Ευκλείδη έρχεται να συμπληρώσει αυτό το αποτέλεσμα δηλώνοντας πως αυτή η παράλληλη είναι μοναδική. Ανάμεσα στα άλλα αξιώματα της γεωμετρίας το 5ο κατέχει μία πιο ειδική θέση. Η διατύπωσή του από τον ίδιο τον Ευκλείδη είναι αρκετά περίπλοκη, χωρίς αυτό να σημαίνει πως η παραπάνω διατύπωση, που θεωρείται αρκετά συνηθισμένη, είναι και ιδιαίτερα απλή. Η δυσκολία εντοπίζεται στην έννοια των παράλληλων ευθειών, που καλούμαστε να ασχοληθούμε, με ολόκληρη την ευθεία. Με ποιόν τρόπο λοιπόν αποδεικνύεται πως δύο ευθείες είναι παράλληλες; Για να πετύχουμε το σκοπό μας πρέπει να επιμηκύνουμε τις ευθείες και από τις δύο πλευρές προς το άπειρο και στη συνέχεια να πειστούμε πως δεν έχουν κανένα σημείο τομής σ' όλη την επ' άπειρον επέκτασή τους. Αμέσως αυτή η ιδέα φαίνεται να έχει τις δυσκολίες της. Β.1.1 Διαχωρισμός των Αιτημάτων Τα αιτήματα του Ευκλείδη είναι δυνατό να χωριστούν σε δύο κατηγορίες. Ειδικότερα, έχουμε: α) Αιτήματα ύπαρξης. Αυτά χρησιμοποιούνται για να γίνει παραδεκτή η ύπαρξη κάποιων θεμελιωδών μαθηματικών αντικειμένων. Στα Αιτήματα ύπαρξης ανήκουν τα τρία πρώτα. Είναι αυτά που θεσμοθετούν τη χρήση αποκλειστικά του κανόνα και του διαβήτη. (Bunt- Jones - Bedient, 1981, σελ. 166) 25

26 β) Αιτήματα μέσω των οποίων γίνεται παραδεκτό πως κάποια γεωμετρικά σχήματα έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες. Σε αυτά ανήκουν το 4ο αλλά και το 5ο αίτημα που εξετάζουμε. (Bunt- Jones - Bedient, 1981, σελ. 166) Β.2 Οι Κοινές έννοιες (αξιώματα) Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη κάθε παραγωγική επιστήμη οφείλει να βασίζεται στις κοινές έννοιες ή αξιώματα ( όχι μόνο στα αιτήματα). Αυτές οι κοινές έννοιες αποτελούν το υπόβαθρο κάθε παραγωγικού συλλογισμού και όχι ειδικά μίας επιστήμης. Ο Ευκλείδης δέχεται αυτή τη θέση του Αριστοτέλη και ξεκινάει από κοινές έννοιες. ((Bunt- Jones - Bedient, 1981, σελ. 166) 1. Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα. Αυτά που είναι ίσα προς το ίδιο είναι και ίσα μεταξύ τους. 2. Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα. Και αν σε ίσα προστεθούν ίσα, οι ολότητες είναι ίσες. 3. Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα. Και αν από ίσα αφαιρεθούν ίσα, αυτά που υπολείπονται είναι ίσα. 4. Καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ' ἄλληλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. Και αυτά που εφαρμόζουν το ένα πάνω στο άλλο είναι ίσα μεταξύ τους. 5. Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον [ἐστιν]. Και το όλο είναι μεγαλύτερο από το μέρος. 26

27 Β.3 Το 5 ο αίτημα ως αφορμή για μελέτες 2000 χρόνων (σύντομη αναδρομή) Το 5 ο αίτημα στάθηκε αιτία για μία παραγωγική έρευνα που με τη σειρά της οδήγησε σε συγκεκριμένα αποτελέσματα. Η κριτική πάνω σε αυτό εκτείνεται σε ένα διάστημα 2000 χρόνων και χαρακτηρίζεται ως ιδιαίτερα δημιουργική αν αναλογιστεί κανείς πως στο τέλος το 5 ο αίτημα είναι ουσιαστικά η ειδοποιός διαφορά της Ευκλείδειας από τις υπόλοιπες γεωμετρίες. Όλη η έρευνα των γεωμετρών πάνω στο 5 ο αίτημα έως τον 18 ο αιώνα σχετιζόταν με προσπάθειες απόδειξης του τελευταίου από τα υπόλοιπα αξιώματα και αιτήματα των Στοιχείων. Πρόκειται για μία διαδικασία που ακολουθεί τον ίδιο δρόμο ήδη από το 150 μ. Χ. Σε κάθε περίπτωση -πριν την ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών- στις αποδείξεις εντοπιζόταν η ίδια αδυναμία. Οι μελετητές προσπαθώντας να αποδείξουν το 5 ο αίτημα προέβαιναν στη χρήση ισχυρισμών που ουσιαστικά ισοδυναμούσαν με αυτό. Η ανθρώπινη σκέψη αυτό το διάστημα μοιάζει εγκλωβισμένη στην απόλυτη πεποίθηση ύπαρξης μίας και μοναδικής γεωμετρίας, της Ευκλείδειας. Πολλοί λοιπόν μαθηματικοί με το πέρασμα των χρόνων όντας μη ικανοποιημένοι από το 5 ο αίτημα, αποπειράθηκαν να αποδείξουν ότι εξαρτάται, άρα και συνάγεται από τα υπόλοιπα τέσσερα. Η ιδιαιτερότητά του, μεταξύ άλλων, εντοπίζεται στο γεγονός πως είναι λιγότερο προσιτό στην ανθρώπινη διαίσθηση, πράγμα που καθιστά σαφή τη διαφορά του από τα τέσσερα αιτήματα που προηγούνται του 5 ου. Οι προσπάθειες απόδειξης του είχαν να κάνουν με επιπλέον υποθέσεις καθώς και με απόψεις περί αντικατάστασής του από κάποιο περισσότερο εύλογο. Όλες οι προσπάθειες, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, είχαν ως κοινό παρανομαστή αξιώματα ισοδύναμα προς το 5 ο αίτημα. Είναι δυνατό να χαρακτηρίσουμε ως ισοδύναμες με το αίτημα αυτό τις ακόλουθες προτάσεις 7 : 7 Η αρίθμηση που γίνεται στις προτάσεις χρησιμοποιείται στην σύντομη αναδρομή που ακολουθεί. 27

28 (1) Υπάρχει ευθεία α και σημείο Α εκτός αυτής τέτοιο, ώστε από το Α διέρχεται μία μοναδική ευθεία που δεν τέμνει την α. (2) Υπάρχει τετράπλευρο με τέσσερις ορθές γωνίες. (3) Το άθροισμα των γωνιών τυχόντος τριγώνου ισούται με δύο ορθές. (4) Υπάρχει τρίγωνο, το άθροισμα των γωνιών του οποίου να ισούται με δύο ορθές. (5) Αν μια ευθεία τέμνει δύο παράλληλες ευθείες, οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες. (6) Τα σημεία που κείνται προς το ίδιο μέρος από δεδομένη ευθεία και σε μία και την αυτή απόσταση, σχηματίζουν ευθεία. (7) Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες ευθείες και αυτές αποκλίνουν η μία από την άλλη από το ένα μέρος, τότε από το άλλο μέρος συγκλίνουν. (8) Υπάρχουν όμοια τρίγωνα. (9) Υπάρχουν τρίγωνα με οσοδήποτε μεγάλο μέγεθος. (10) Έστω α τυχούσα ευθεία και Α σημείο εκτός αυτής. Τότε στο επίπεδο που ορίζεται από την ευθεία α και το σημείο Α υπάρχει όχι περισσότερες από μία ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α και δεν τέμνει την ευθεία α (Αξίωμα παραλληλίας). Η αναδρομή που ακολουθεί πάνω στη θεωρία παραλλήλων έχει ως σημείο εκκίνησης την αρχαιότητα και το Βυζάντιο. Έπειτα συνεχίζει με προσπάθειες απόδειξης στον κόσμο των αραβικών μαθηματικών ενώ στο τέλος μεταβαίνουμε στην Ευρώπη στο διάστημα μεταξύ 13 ου και 18 ου αιώνα. Β.3.1 Η θεωρία των παραλλήλων στην αρχαιότητα και το Βυζάντιο. Είναι πιθανό πριν τη διατύπωση του πέμπτου αιτήματος στα Στοιχεία του Ευκλείδη να υπήρξαν προσπάθειες να αποδειχθεί. Οι διαθέσιμες όμως μαρτυρίες είναι πενιχρότατες και αποσπασματικές. Ενδείξεις συναντά κανείς στα «Αναλυτικά Ύστερα» του Αριστοτέλη. Ο Αριστοτέλης ασκεί κριτική στις προσπάθειες κάποιων μαθηματικών, 28

29 τους οποίους δεν κατονομάζει, να αποδείξουν το Ευκλείδειο αίτημα ότι υποπίπτουν στο λογικό σφάλμα της «λήψης του ζητουμένου» (στα λατινικά: petitio principi). Αυτό σημαίνει πως κατά την διαδικασία της απόδειξης χρησιμοποιούν μία πρόταση ισοδύναμη προς την αποδεικτέα, πράγμα που θα δούμε να συμβαίνει παρακάτω στις αποδείξεις που θα παρουσιάσουμε. Άλλη πηγή είναι τα «Σχόλια για τις δυσκολίες στην εισαγωγή του βιβλίου του Ευκλείδη» του Ομάρ Χαγιάμ ( Φίλη, 2010, σελ. 93) όπου αναφέρει ότι «η αιτία του λάθους των ύστερων επιστημόνων στην απόδειξη αυτής της υπόθεσης είναι ότι δε λάμβαναν υπόψη τους τις αρχές του φιλοσόφου 8» και παραθέτει πέντε αρχές, τέσσερις από τις οποίες απαντώνται με λίγο διαφορετική διατύπωση στα «Φυσικά» και το «Περί Ουρανού». Το πρώτο γνωστό έργο της αρχαιότητας, που λίγες μόλις δεκαετίες μετά τα Στοιχεία αναφέρεται στη θεωρία των παραλλήλων, είναι η χαμένη πραγματεία του Αρχιμήδη «Περί παραλλήλων», που μνημονεύει ο Ιμπν αλ-ναντίμ. Το βιβλίο αυτό ήταν πιθανότατα γνωστό στον Θαμπίτ ιμπν Κούρρα ( ), συγγραφέα δύο πραγματειών σχετικών με τη θεωρία των παραλλήλων. Σύμφωνα με μαρτυρία του Πρόκλου 9, ο Ποσειδώνιος είχε προτείνει έναν ορισμό των παραλλήλων, διαφορετικό από αυτόν του Ευκλείδη. Παράλληλες ονομάζει τις ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, δε συγκλίνουν, ούτε αποκλίνουν και όλες οι κάθετες από τα σημεία της μιας προς την άλλη είναι ίσες μεταξύ τους. Ο ορισμός αυτός όμως βασίζεται στο ισοδύναμο αξίωμα (6). Ο Πρόκλος αναφέρεται επίσης εκτεταμένα στις προσπάθειες του Κλαύδιου Πτολεμαίου και άλλων μαθηματικών, τους οποίους δεν κατονομάζει, να αποδείξουν το Ευκλείδειο αίτημα. Με την απόδειξη του Ευκλείδειου αιτήματος ασχολήθηκε ακόμη ο Διόδωρος (1ος αι. π. Χ.). Στα Αραβικά διατηρήθηκαν και οι προσπάθειες κάποιου Αγάνη και του Σιμπλίκιου ( Bonola, 1955,σελ. 10) που στηρίζονται στον ορισμό του Ποσειδωνίου και επομένως στο αξίωμα (6). 8 Εννοεί τον Αριστοτέλη. 9 Θεωρεί ότι το αίτημα του Ευκλείδη είναι θεώρημα και επιχειρεί να δώσει μια δική του απόδειξη, την οποία θα δούμε παρακάτω. 29

30 Β.3.2 Η θεωρία των παραλλήλων στα Αραβικά μαθηματικά Η πρώτη γνωστή προσπάθεια απόδειξης του Ευκλείδειου αιτήματος στα Αραβικά μαθηματικά έγινε από τον αλ-τζαουχαρί στο έργο του «Τελειοποίηση του βιβλίου των Στοιχείων», το περιεχόμενο του οποίου μεταφέρει ο Νασίρ αντ-ντιν αλ-τουσί. Όμως στην απόδειξή του χρησιμοποιεί την ισοδύναμη προς το αποδεικτέο πρόταση ότι «αν μία ευθεία τέμνει δύο άλλες ευθείες έτσι ώστε οι εντός εναλλάξ γωνίες να είναι ίσες, τότε το ίδιο ισχύει όταν οι δύο ευθείες τέμνονται από οποιαδήποτε άλλη ευθεία». Οι πρώτες προσπάθειες αντικατάστασης του Ευκλείδειου αιτήματος με το αξίωμα της ύπαρξης «ισαπεχόντων» ευθειών ανάγονται στον αλ-ναιριζί και τον Ιμπν Σίνα. (Μπασμακόβα, 2011, σελ. 236) Οι άραβες μαθηματικοί ανέπτυξαν κυρίως δύο προσεγγίσεις στην απόδειξη του Ευκλείδειου αιτήματος, που εγκαινιάζονται στο έργο του Θαμπίτ ιμπν Κούρρα ( ) (Μπασμακόβα, 2011, σελ. 237): τη γεωμετρική την κινηματική προσέγγιση Η κινηματική προσέγγιση ακολουθεί το πνεύμα του Αρχιμήδη και αναπτύχθηκε από τον Ιμπν αλ-χαιθάμ. Η πρωτοτυπία της μεθόδου του αλ-χαιθάμ, την οποία ακολούθησαν συχνά οι γεωμέτρες στη συνέχεια, είναι ότι υποθέτει την ύπαρξη ενός τετραπλεύρου με τρεις ορθές γωνίες και εξετάζει τις περιπτώσεις η τέταρτη γωνία να είναι οξεία ή αμβλεία, προσπαθώντας να καταλήξει σε αντίφαση με τον ορισμό των παραλλήλων ως «ισαπεχόντων» ευθειών. Η γεωμετρική προσέγγιση αναπτύχθηκε κυρίως από τον Ομαρ Χαγιάμ. Ξεκινώντας από την απόδειξη της πρότασης (2) και με συλλογισμούς συγγενείς με αυτούς του Πρόκλου, αποδεικνύει το Ευκλείδειο αίτημα χωρίς να υποπέσει στο λογικό σφάλμα της «λήψης του ζητουμένου». (Φίλη, 2010, σελ. 93) Ο εγκυκλοπαιδιστής φιλόσοφος, μαθηματικός και αστρονόμος Νασίρ αντ-ντιν αλ-τουσί ( ) στη δική του 30

31 πρωτότυπη απόδειξη του αξιώματος των παραλλήλων ακολουθεί το ύφος του Ιμπν Κούρρα και του Ιμπν αλ-χαιθάμ, αλλά στηρίζεται σε αξίωμα που αποτελεί ισχυρότερη μορφή του αιτήματος παραλληλίας. Στη διάρκεια του 13ου αιώνα συνεχίζονται οι αναζητήσεις απόδειξης του Ευκλείδειου αιτήματος. Ο αλ-χαναφί, ακολουθώντας παλαιότερες τάσεις που εκδηλώνονται στο έργο του αλ-κιντί, του αλ-μπιρουνί (973-περ. 1050) και του Ομάρ Χαγιάμ, συνδέουν το πρόβλημα του Ευκλείδειου αιτήματος με την έννοια της επ' άπειρον διαιρετότητας των γεωμετρικών μεγεθών. Ιδιαίτερα διαδεδομένη ήταν η θεωρία των παραλλήλων του αλ-αμπχαρί (ή αλ-αμπαχρί, πέθανε το 1263). Συγγενής προς αυτήν ήταν η θεωρία του Αλ-Μαγκριμπί. Στις δύο τελευταίες θεωρίες βρίσκει κανείς στοιχεία του ύφους των συλλογισμών του Σιμπλίκιου. Στα τέλη του 13ου-αρχές 14ου αι. μια ακόμα αξιοσημείωτη προσπάθεια γίνεται από τον Αντ-Ντιν ασ-σιραζί ( ), μαθητή του αλ-τουσί. Παρ' όλες τις προσπάθειες που σκιαγραφήσαμε οι Άραβες μαθηματικοί ήταν πολύ μακριά από την ιδέα ότι είναι δυνατή μια άλλη γεωμετρία. Απλώς προσπαθούσαν να αποδείξουν το Ευκλείδειο αίτημα από υποθέσεις που θεωρούσαν πιο προφανείς. Στην πορεία των προσπαθειών τους απέδειξαν την ισοδυναμία του Ευκλείδειου αιτήματος με διάφορες προτάσεις που μπορούν να θεωρηθούν ισοδύναμες με το πέμπτο αίτημα, καθώς και πολλά θεωρήματα που σήμερα εμπίπτουν στο πεδίο της Υπερβολικής και της Ελλειπτικής Γεωμετρίας. Β.3.3 Η θεωρία των παραλλήλων στην Ευρώπη (13ο- 18ο αι.) Η πρώτη γνωστή προσπάθεια απόδειξης του Ευκλείδειου αιτήματος στην Ευρώπη κατά τα χρόνια του Μεσαίωνα συναντάται κατά τον 13ο αιώνα στο σύγγραμμα του Vitelo (περ ) Οπτική ή Προοπτική (1572). Βασική πηγή για τον Vitelo αποτελεί το έργο του Ιμπν αλ-χαιθάμ. Ωστόσο, η απόδειξή του υστερεί αν συγκριθεί με το επίπεδο αυστηρότητας που είχαν φτάσει οι Άραβες μαθηματικοί. 31

32 Δύο άλλες απόπειρες απόδειξης απαντώνται κατά τον 14ο αιώνα στα Σχόλια του Levi ben Gerson ( ) και στο έργο κάποιου με το όνομα Αλφόνσο, ο οποίος πιθανολογείται ότι είναι ο Ισπανός ιατρός και συγγραφέας πολεμικών θρησκευτικών έργων, Αλφόνσο του Βαλλαντολίντ ( ). Στις αρχές του 16ου αιώνα η θεωρία παραλλήλων εξετάζεται στο «Κάτοπτρο αστρονομικό που περικλείει την ανθρώπινη σοφία σε κάθε επιστήμη» του Φ. Μπ. Γκρισογκόνο ( ), το οποίο εκδίδεται στη Βενετία το Το έτος 1574 εμφανίζεται μία πρωτότυπη απόδειξη του πέμπτου αιτήματος από τον Κλάβιο ( ) που εργαζόταν στη Ρώμη και συμμετείχε στην επεξεργασία του Γρηγοριανού ημερολογίου. Η απόδειξη του Κλάβιου στηρίζεται στην πρόταση (6). Η απόδειξή αυτή παρουσιάζει ομοιότητες με αυτές του Ιμπν Κούρρα και του Ιμπν αλ-χαιθάμ, τις οποίες εικάζεται πως γνώριζε από δεύτερο χέρι. Τον 17ο αιώνα παρατηρείται κάποια ένταση στη μελέτη της θεωρίας των παραλλήλων, η οποία όμως δεν απέφερε ιδιαίτερα αξιόλογα αποτελέσματα. Δημοσιεύονται το 1603 στην Μπολόνια δύο τομίδια του Πιέτρο Α. Κατάλντι ( ), το 1658 στην Πίζα η επεξεργασμένη από τον Τζ. Α. Μπορέλλι ( ) έκδοση των Στοιχείων του Ευκλείδη, και το 1680 ανάλογη έκδοση των Στοιχείων από τον Βιτάλε Τζορντάνο ( ). Το 1693 δημοσιεύεται η πραγματεία του J. Wallis ( ) «Το πέμπτο αίτημα και ο πέμπτος ορισμός του Βιβλίου 6 του Ευκλείδη», στο δεύτερο μέρος της οποίας περιέχεται μετάφραση μιας απόδειξης που αποδίδεται στον Αλ-Τουσί, και στο τρίτο εκτίθεται απόδειξη του Wallis, που βασίζεται στην πρόταση (9), την οποία θεωρεί φυσική «Κοινή Έννοια». Από την πραγματεία του Wallis γνώρισε την αποδιδόμενη στον αλ-τουσί απόδειξη του πέμπτου αιτήματος ο G.G. Saccheri ( ). Ο Saccheri ξεκινώντας από το ισόπλευρο τετράπλευρο με τις δύο ορθές του Ομάρ Χαγιάμ και του αλ-τουσί αναλύει τις ίδιες τρεις υποθέσεις για τις άλλες δύο γωνίες. Αποκλείει την υπόθεση της οξείας γωνίας επειδή θεωρεί ότι στην περίπτωση αυτή, όπως και στην περίπτωση της ορθής γωνίας, ισχύει το πέμπτο αίτημα, επειδή, δηλαδή, αντιφάσκει στα αξιώματα της συνήθους γεωμετρίας του Ευκλείδη. Στην περίπτωση της αμβλείας γωνίας ο Saccheri προχωρεί όσο κανείς άλλος πριν από αυτόν στην απόδειξη θεωρημάτων της σημερινής Υπερβολικής Γεωμετρίας. Όμως διολισθαίνοντας σε λάθος συλλογισμό κατέληξε σε 32

33 αντίφαση, οπότε συμπέρανε ότι η περίπτωση της ορθής γωνίας (δηλαδή της Ευκλείδειας γεωμετρίας) είναι η μόνη δυνατή. Την απόδειξή του θα δούμε αναλυτικότερα στη συνέχεια. Β.4. Η θέση του Πρόκλου Ο Πρόκλος Διάδοχος 10 (ή Λύκιος) γεννήθηκε πιθανότατα το 410 ή το 412 μ. Χ. στο Βυζάντιο. Ανήκε στον κύκλο των νεοπλατωνικών φιλοσόφων της Αθηναϊκής σχολής. Επιδόθηκε τόσο σε νομικές όσο και σε γραμματικές και ρητορικές σπουδές. Ύστερα από ερεθίσματα που δέχτηκε αποφάσισε να στραφεί στη φιλοσοφία και τα μαθηματικά. Πέθανε στην Αθήνα το 485 μ. Χ. Στα σχόλια του για το 1 ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη γράφει για το 5 ο αίτημα: " Αυτό (δηλαδή το 5ο αίτημα) πρέπει να επιτευχθεί από όλα μαζί τα αιτήματα. Γιατί είναι ένα θεώρημα (τέτοιο που επιδέχεται πολλές ερωτήσεις τις οποίες ο Πτολεμαίος πρότεινε να λύσει σ ένα από τα βιβλία του) και απαιτεί για κάθε απόδειξη πλήθος ορισμών όπως και θεωρημάτων. Και το αντίστροφο του αποδεικνύεται από τον ίδιο τον Ευκλείδη ως θεώρημα. Αλλά πιθανώς κάποια άτομα μπορεί λανθασμένα να σκεφτούν ότι αυτή η πρόταση αξίζει να τοποθετηθεί μεταξύ των αιτημάτων στη βάση ότι η ύπαρξη των γωνιών μικρότερων από δύο ορθές γωνίες μάς κάνει αμέσως να πιστέψουμε στη 10 Οι πληροφορίες προέρχονται από την εισαγωγή του Σπάνδαγου στα Σχόλια στο α βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδου (Πρόκλος, 2001, σελ. 13) 33

34 σύγκλιση και στη τομή των ευθειών γραμμών. Σ αυτούς ο Γεμίνος έχει δώσει μία σωστή απάντηση όταν είπε ότι έχουμε μάθει από τους ίδιους τους θεμελιωτές αυτής της επιστήμης να μην προσέχουμε πιθανές απόψεις στον καθορισμό του ποιες προτάσεις πρέπει να γίνουν αποδεκτές στη γεωμετρία. Ο Αριστοτέλης όμοια λέει ότι το να δεχθούμε πιθανολογική επιχειρηματολογία από έναν γεωμέτρη είναι σαν να απαιτούμε αποδείξεις από έναν ρήτορα. Και ο Πλάτων κάνει τον Σημμία να λέει «Ξέρω ότι αυτοί που κάνουν αποδείξεις από πιθανολογίες είναι αλαζόνες». Έτσι εδώ, αν και η δήλωση ότι οι ευθείες γραμμές συγκλίνουν όταν οι ορθές γωνίες μειώνονται είναι αληθής και απαραίτητη, ωστόσο το συμπέρασμα ότι επειδή συγκλίνουν περισσότερο όπως εκτείνονται παραπέρα θα συναντηθούν σε κάποια στιγμή είναι εύλογο, αλλά όχι αναγκαίο, απόντος ενός επιχειρήματος που αποδεικνύει ότι αυτό είναι αληθές για τις ευθείες γραμμές. Το ότι υπάρχουν γραμμές που πλησιάζουν μεταξύ τους επ αόριστον αλλά ποτέ δεν συναντώνται φαίνεται μη εύλογο και παράδοξο, όμως είναι παρ όλα αυτά αληθές και έχει επιβεβαιωθεί για άλλα είδη γραμμών. Δεν θα μπορούσε τότε αυτό να είναι πιθανό για ευθείες γραμμές όπως συμβαίνει γι αυτές τις άλλες γραμμές ; Μέχρι να αποδείξουμε ότι συναντώνται, αυτό που λέγεται για τις άλλες γραμμές αποσπά την φαντασία μας (από την αληθοφάνειά της). Κι αν και τα επιχειρήματα εναντίον της τομής αυτών των γραμμών μπορεί να περιέχουν πολλά που μας προκαλούν έκπληξη, δεν θα έπρεπε πολύ περισσότερο να αρνηθούμε να αποδεχτούμε την παραδοχή μας αυτή την μία αιτιολογημένη επίκληση της πιθανότητας. Αυτές οι σκέψεις κάνουν φανερό ότι θα έπρεπε να ψάξουμε μια απόδειξη για το θεώρημα που βρίσκεται μπροστά μας και στερείται τον ειδικό χαρακτήρα του αιτήματος. Αλλά το πώς μπορεί να αποδειχθεί, και με τι είδους επιχειρήματα είναι δυνατό να ικανοποιηθούν οι αντιρρήσεις σ αυτήν την πρόταση, μπορούμε μόνο να το πούμε όταν ο συγγραφέας των Στοιχείων βρίσκεται στο σημείο να το αναφέρει και να το χρησιμοποιήσει ως προφανές. Εκείνη τη στιγμή θα είναι αναγκαίο να δείξουμε ότι ο φανερός του χαρακτήρας δεν εμφανίζεται ανεξάρτητα από απόδειξη αλλά γίνεται με την απόδειξη γνώριμος." (Πρόκλος, από μετάφρ. Σπάνδαγου, 2001, σελ. 376) 34

35 Β.4.1 Η απόδειξη του Πρόκλου 1ο ΒΗΜΑ Πρώτα επιλέγει να κάνει μία αναφορά στην πρόταση: Δεν είναι δυνατό δύο ευθείες να τέμνονται από τη μεριά που η τέμνουσα σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά γωνίες μικρότερες από δύο ορθές. Η απόδειξη της παραπάνω πρότασης έχει ως εξής: - Αν πάρουμε τις ευθείες αβ, γδ και ως τέμνουσα την αγ η οποία σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά γωνίες μικρότερες των δύο ορθών θα δείξουμε ότι αβ, γδ δεν συμπίπτουν. - Έστω ε το μέσο της αγ. Παίρνουμε τμήμα στην αβ ίσο με αε, το αζ και τμήμα στην γδ ίσο με το αε, το γη. - Τότε οι αζ, γη δεν θα τέμνονται στο ζη γιατί αν τέμνονται θα σχηματίζουν τρίγωνο στο οποίο οι δύο πλευρές είναι ίσες προς την τρίτη, δηλαδή την αγ πράγμα που είναι αδύνατο. -Τέμνουμε κατά το ήμισυ την ζη και έστω θ το μέσο. Στις ζβ, ηδ παίρνουμε τμήματα ίσα με ζθ. Έστω τα ζκ, ηλ. Ούτε οι ζκ, ηλ με τη σειρά τους τέμνονται στην κλ. Το ίδιο συνεχίζουμε επ' άπειρον. -Έτσι αποδεικνύεται πως οι αβ, γδ δεν τέμνονται ποτέ. 35

36 2ο ΒΗΜΑ Έπειτα με τη βοήθεια του σχήματος που ακολουθεί αποδεικνύεται πως υπάρχουν ευθείες οι οποίες σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά γωνίες με άθροισμα μικρότερο των δύο ορθών και τέμνονται εφόσον όμως τέμνονται οι αη, γη στο σημείο η. Αν το αρνηθεί κανείς είναι σαν να αναιρεί το 1ο αίτημα. 3ο ΒΗΜΑ 36

37 Ο Πρόκλος προκειμένου να αποδείξει το 5ο αίτημα ξεκινά υποστηρίζοντας πως η απόσταση μεταξύ δύο ευθειών που τέμνονται γίνεται όσο μεγάλη εμείς επιθυμούμε. Αυτό σημαίνει πως τείνει στο άπειρο. Στηριζόμενος σε αυτό δίνει την παρακάτω απόδειξη: - Έστω αβ, γδ παράλληλες. Αν η εζη τέμνει την αβ τότε θα τέμνει και την γδ. Έτσι ουσιαστικά αποδεικνύεται πως αν μία ευθεία τέμνει μία από τις δύο παράλληλες τότε θα τέμνει και την άλλη. Υποστηρίζει πως θα τέμνει και την γδ. - Επειδή οι δύο ευθείες τέμνονται στο ζ, αν τις προεκτείνουμε, η απόσταση τους θα γίνει μεγαλύτερη από οποιοδήποτε πεπερασμένο μέγεθος, όπως είναι για παράδειγμα το διάστημα μεταξύ των παραλλήλων. Όταν η απόσταση μεταξύ τους γίνει μεγαλύτερη από την απόσταση αυτή τότε θα τέμνει η ζη την γδ. 4ο ΒΗΜΑ Τέλος, στηριζόμενος στην παραπάνω πρόταση (αν μία ευθεία τέμνει μία από τις δύο παράλληλες τότε θα τέμνει και την άλλη) προσπαθεί να αποδείξει το αίτημα των παραλλήλων. - Έστω δύο ευθείες. Η αβ και η γδ. Η εζ τις τέμνει έτσι ώστε οι γωνίες βεζ και δεζ να είναι μικρότερες από δύο ορθές. 37

38 - Θέλει να αποδείξει πως οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος αυτών των γωνιών. Επειδή οι βεζ και δεζ είναι μικρότερες από δύο ορθές έστω η γωνία θεβ που συμπληρώνει τις δύο ορθές. - Έστω ότι προεκτείνεται η θε προς το κ. - Επειδή η εζ που τέμνει τις κθ και γδ σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά γωνίες θεζ και δζε ίσες με δύο ορθές, οι θκ και γδ θα είναι παράλληλες. - Από τη στιγμή που η αβ τέμνει την κθ, θα τέμνει και την γδ. Τέμνονται οι αβ, γδ προς το μέρος που υπάρχουν οι γωνίες που είναι μικρότερες από δύο ορθές. Β.5 Η απόδειξη του Πτολεμαίου Ο Πτολεμαίος αφιέρωσε ολόκληρη πραγματεία στο 5ο αίτημα του Ευκλείδη. Η απόδειξή του είναι δυνατό να χωριστεί σε συγκεκριμένα μέρη. Δίνει αρχικά μία απόδειξη της Πρότασης 1.28 του Ευκλείδη: "Εάν ευθεία που τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει την εκτός γωνία ίση με την εντός, απέναντι και επί τα αυτά μέρη, ή τις εντός και επί τα αυτά μέρη ίσες με δύο ορθές, τότε οι δύο ευθείες θα είναι παράλληλες μεταξύ τους" 38

39 και έπειτα επιχειρεί να αποδείξει την Πρόταση 1.29: "Η ευθεία που τέμνει δύο παράλληλες ευθείες τις εναλλάξ γωνίες ίσες μεταξύ τους, την εκτός γωνία ίση με την εντός και απέναντι και τις εντός και επί τα αυτά μέρη ίσες με δύο ορθές" από την οποία στο τέλος εξάγει το 5ο αίτημα. Ας πάρουμε όμως την απόδειξη του Πτολεμαίου από την αρχή: 1ο ΒΗΜΑ Για να αποδείξει την Πρόταση 1.28 ο Πτολεμαίος παίρνει 2 ευθείες γραμμές ΑΒ, ΓΔ και διατέμνουσα ΕΖΗΘ. Πρέπει να αποδείξουμε πως αν το άθροισμα των γωνιών ΒΖΗ και ΖΗΔ είναι ίσο με δύο ορθές, οι ευθείες γραμμές ΑΒ, ΓΔ είναι παράλληλες, δηλαδή δεν τέμνονται. - Αφού η γωνία ΑΖΗ είναι παραπληρωματική της ΒΖΗ και η γωνία ΖΗΓ παραπληρωματική της ΖΗΔ προκύπτει ότι το άθροισμα των γωνιών ΑΖΗ και ΖΗΓ είναι επίσης ίσο με δύο ορθές γωνίες. 39

40 - Τώρα υποθέτουμε, πως ΖΒ, ΗΔ κάνοντας το άθροισμα των γωνιών ΒΖΗ, ΖΗΔ ίσο με δύο ορθές συναντώνται -ας πούμε- στο Κ: τότε ομοίως ΖΑ, ΗΓ κάνοντας το άθροισμα των γωνιών ΑΖΗ και ΖΗΓ ίσο με δύο ορθές γωνίες, θα πρέπει επίσης να συναντώνται - ας πούμε- στο Ι. Ο Πτολεμαίος θα μπορούσε να έχει καλύτερα αποτελέσματα σε ό, τι αφορά την απόδειξη που επιχείρησε εάν είχε επισημάνει πως δεν είναι ίσο μόνο το άθροισμα των γωνιών αλλά και οι ίδιες οι γωνίες είναι ίσες ανά ζεύγη. - Κατά συνέπεια οι γραμμές ΙΑΒΚ, ΙΓΔΚ περικλείουν ένα χώρο/ διάστημα: πράγμα που είναι αδύνατο. - Προκύπτει πως η ΑΒ δεν μπορεί να συναντηθεί με ΓΔ σε καμία κατεύθυνση. Άρα είναι παράλληλες. 2ο ΒΗΜΑ - Για να αποδείξει την Πρόταση 1.29 ο Πτολεμαίος παίρνει δύο ευθείες γραμμές ΑΒ, ΓΔ και διατέμνουσα την ΖΗ και υποστηρίζει τα εξής: - Χρειάζεται να αποδείξει πως οι γωνίες ΑΖΗ και ΓΗΖ είναι ίσες με δύο ορθές. - Αν το άθροισμα των γωνιών δεν είναι ίσο με δύο ορθές θα πρέπει να είναι ή μεγαλύτερο ή μικρότερο. Περίπτωση 1η 40

41 Αν είναι μεγαλύτερο, το άθροισμα των γωνιών στην άλλη πλευρά, δηλαδή των ΒΖΗ και ΖΗΔ που αποτελούν συμπληρώματα του 1ου ζεύγους γωνιών, θα πρέπει να είναι μικρότερο από δύο ορθές. Αλλά ΑΖ, ΓΗ δεν είναι περισσότερο παράλληλες από τις ΖΒ, ΗΔ, έτσι ώστε αν η ΖΗ δημιουργεί ένα ζεύγος γωνιών ΑΖΗ, ΖΗΓ στο σύνολό του μεγαλύτερο από δύο ορθές γωνίες θα πρέπει να κάνει και το άλλο ζεύγος ΒΖΗ, ΖΗΓ στο σύνολό του μεγαλύτερο από δύο ορθές. Αλλά το τελευταίο ζεύγος παραλλήλων είχε αποδειχτεί μικρότερο από δύο ορθές: πράγμα αδύνατο. Ως εκ τούτου το άθροισμα των γωνιών ΑΖΗ και ΖΗΓ δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο των δύο ορθών. Περίπτωση 2η Παρομοίως μπορούμε να δείξουμε πως το άθροισμα των δύο γωνιών ΑΖΗ και ΖΗΓ δεν μπορεί να είναι μικρότερο των δύο ορθών. Ως εκ τούτου το άθροισμα των γωνιών ΑΖΗ και ΓΗΖ ισούται με δύο ορθές γωνίες. Το σφάλμα εδώ βρίσκεται στο εξής συμπέρασμα. Όταν ο Πτολεμαίος αναφέρει πως οι ΑΖ και ΓΗ δεν είναι περισσότερο παράλληλες από τις ΖΒ, ΗΔ στην πραγματικότητα υποθέτει πως από οποιοδήποτε σημείο μπορεί να σχεδιαστεί μόνο μία παράλληλος σε δοθείσα ευθεία γραμμή, πρόταση που είναι ισοδύναμη με το αίτημα που προσπαθεί να αποδείξει. 3ο ΒΗΜΑ Το 5ο αίτημα λοιπόν, προκύπτει ως εξής: - Υποθέτουμε πως οι ευθείες γραμμές, δίνοντας με διατέμνουσα γωνίες των οποίων το άθροισμα είναι μικρότερο από δύο ορθές, δεν θα συναντηθούν από την άλλη πλευρά στην οποία βρίσκονται αυτές οι γωνίες. 41

42 - Έπειτα, κατά μείζονα λόγο δεν θα συναντηθούν στην άλλη πλευρά, στην οποία βρίσκονται οι γωνίες το άθροισμα των οποίων είναι μεγαλύτερο από δύο ορθές. Έτσι οι ευθείες γραμμές δεν μπορούν να συναντηθούν σε καμία κατεύθυνση. Άρα είναι παράλληλες. - Σε αυτήν την περίπτωση όμως οι γωνίες που σχηματίζονται από τη διατέμνουσα είναι ίσες με δύο ορθές: πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση. (Heath, Τόμος 2, 1921, σελ. 295) Β.6 Η συμβολή του Nasir Eddin στο θέμα των παραλλήλων. Μία ακόμη απόδειξη του 5ου αιτήματος είναι αυτή του Πέρση Nasir Eddin ( ), το όνομα του οποίου αναφέρθηκε και στις εισαγωγικές πληροφορίες σχετικά με το 5ο αίτημα. Η απόδειξή του αξίζει να αναφερθεί για δύο λόγους. Αρχικά λόγω της ιδέας του να τοποθετήσει ρητά, στην αρχή της απόδειξης του, το θεώρημα σχετικά με το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου. Επιπλέον, ο τρόπος που αιτιολογεί είναι εκτενής, πράγμα που δίνει ένα επιπλέον θετικό στοιχείο στην απόδειξή του. Ας δούμε λοιπόν το σημαντικό μέρος της υπόθεσής του: Αν δύο ευθείες γραμμές ρ και σ είναι η μία κάθετη και η άλλη πλάγια στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, οι κάθετες που έρχονται από το σ στο ρ είναι μικρότερες από το ΑΒ στην πλευρά όπου το s σχηματίζει οξεία γωνία με το ΑΒ, και μεγαλύτερες στην πλευρά όπου το s σχηματίζει αμβλεία γωνία με το ΑΒ. - Από αυτό το αποτέλεσμα προκύπτει πως αν ΑΒ και Α' Β' είναι δύο ίσες κάθετες στην ευθεία γραμμή ΒΒ' από την ίδια πλευρά, η ευθεία γραμμή ΑΑ' είναι και η ίδια κάθετη τόσο στην ΑΒ όσο και στην ΑΒ'. 42

43 - Επιπλέον, έχουμε ότι το ΑΑ' είναι ίσο με το ΒΒ'. Επομένως, το σχήμα ΑΑ Β Β είναι τετράπλευρο με τις γωνίες του ορθές και τις απέναντι πλευρές του ίσες, δηλαδή είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. - Από αυτό το αποτέλεσμα ο Nasir Eddin εύκολα συνήγαγε ότι το σύνολο των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με δύο ορθές γωνίες. - Για το ορθογώνιο τρίγωνο το θεώρημα είναι εμφανές, αφού είναι το μισό ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου: κάθε τρίγωνο προκύπτει χωρίζοντας το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο σε δύο ορθογώνια τρίγωνα. Με αυτή την εισαγωγή, μπορούμε τώρα να εξηγήσουμε εν συντομία με ποιόν τρόπο ο Άραβας γεωμέτρης αποδεικνύει το Ευκλείδειο αίτημα: - Έστω ΑΒ, ΓΔ δύο ακτίνες, η μία πλάγια και η άλλη κάθετη στην ευθεία γραμμή AΓ. Από το AB παίρνω το τμήμα AH, και από το H φέρω την κάθετο HΗ' στο AΓ. - Αν το σημείο Η' βρεθεί στο Γ ή στην απέναντι από το Α πλευρά του Γ, οι δύο ακτίνες ΑΒ και ΓΔ θα πρέπει να τέμνονται. Αν παρ' όλα αυτά, το σημείο Η' βρεθεί ανάμεσα στο Α και το Γ, φέρουμε την ευθεία γραμμή ΑL κάθετη στο ΑΓ και ίση με το ΗΗ'. - Έπειτα, από όσα είπαμε παραπάνω ΗΛ= ΑΗ'. Από το ΑΗ που προέκυψε παίρνουμε το ΗΚ ίσο με το ΑΗ. Από το Κ φέρουμε ΚΚ' κάθετο στο AΓ. Αφού ΚΚ' > ΗΗ', μπορούμε να πάρουμε το Κ'Λ= Η' Η και να ενώσουμε το Λ' H. Τα τετράπλευρα Κ'ΗΉ Λ', Η'ΑΛΗ είναι ορθογώνια. - Επομένως, τα τρία σημεία Λ', Η, Λ βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή. 43

44 - Προκύπτει ότι Λ' HK = AHΛ και ότι τα τρίγωνα AHΛ, ΗΛ'Κ είναι ίσα. Έτσι, Λ'Η= ΗΛ και από τις ιδιότητες των ορθογωνίων Κ'Η'= Η'Α. Στην ΗΚ που προκύπτει παίρνουμε ΚΜ ίσο με ΚΗ. Από το σημείο Μ φέρουμε ΜΜ' κάθετη στην ΑΓ. Με παρόμοια αιτιολόγηση αυτής που δόθηκε παραπάνω προκύπτει ότι Μ'Κ'=Κ'Η'=Η'Α. - Από αυτό το αποτέλεσμα παίρνουμε το πολλαπλάσιο του ΑΗ' μεγαλύτερο από το AΓ. Για παράδειγμα, έστω ΑΟ' ίσο με 4 ΑΗ', μεγαλύτερο από το ΑΓ. - Έπειτα, από το ΑΒ απομονώνουμε ένα τμήμα ΑΟ=4ΑΗ και φέρουμε την κάθετο από το Ο στο ΑΓ. Αυτή η κάθετος θα είναι προφανώς η ΟΟ'. - Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟ'Ο, η ευθεία γραμμή ΓΔ, η οποία είναι κάθετη στην πλευρά ΑΟ', δεν μπορεί να τμήσει την άλλη πλευρά ΟΟ', θα πρέπει επομένως να τμήσει την υποτείνουσα ΟΑ. Με αυτό τον τρόπο έχει αποδειχθεί ότι οι ευθείες γραμμές AB, ΓΔ πρέπει να τέμνονται όταν η μία είναι κάθετη στην εγκάρσια AΓ και η άλλη πλάγια σε αυτή. Με άλλα λόγια το Ευκλείδειο αίτημα έχει αποδειχθεί για την περίπτωση που μία από τις εσωτερικές γωνίες είναι ορθή. (Bonola, 1955, σελ. 10) Β.7 Η προσπάθεια του Nasir ad Din al Tusi Ο Nasir ad Din al Tusi επιχειρεί με τη σειρά του μία προσέγγιση πάνω στο θέμα των παραλλήλων. Συγκεκριμένα προβαίνει στη συγγραφή τριών πραγματειών. Η 1η πραγματεία, η οποία είναι και αυτή που σχετίζεται με το θέμα μας, γράφτηκε πριν το 1251 και τιτλοφορείται: Πραγματεία η οποία εξαφανίζει τις αμφιβολίες σχετικά με τις παράλληλες ευθείες. Αφού παρουσιάσει τις προηγούμενες διατυπωμένες θεωρίες περί παραλλήλων και αφού κάνει την κριτική του σε αυτές, επιχειρεί τη δική του απόδειξη πάνω στο 5ο αίτημα χωρίς να χρησιμοποιήσει ως βάση για τον συλλογισμό του κάποια βοηθητική πρόταση. Χρησιμοποιεί ένα αίτημα που έχει ήδη εκτεθεί στα Στοιχεία του 44

45 Ευκλείδη: αν δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο αποκλίνουν προς μία δοθείσα διεύθυνση, μπορούν να συντρέχουν σε αυτή τη διεύθυνση αφού δεν τέμνονται. Μετά τις 28 προτάσεις του 1ου βιβλίου των Στοιχείων, ο Tusi εισάγει πολλές δικές του προτάσεις και μάλιστα θεωρεί το ίδιο τετράπλευρο, το οποίο χρησιμοποιεί ο Καγιάμ, αλλά δεν χειρίζεται με τον ίδιο τρόπο το θέμα: - Στην υπόθεση της οξείας γωνίας, φέρει από την κορυφή Α την κάθετη ΑΕ στην AΓ. Αν Β είναι ορθή γωνία, η υποτείνουσα ΑΕ, του τριγώνου ABE είναι μεγαλύτερη από την ΑΒ. Μετά φέρει από την Ε την ευθεία EΗ κάθετη στο BΔ. - Η υποτείνουσα EΗ του τριγώνου AEΗ είναι μεγαλύτερη του ΑΕ. - Επαναλαμβάνοντας απεριόριστα αυτή την κατασκευή, βλέπουμε πως οι βάσεις AΓ και BΔ του τετραπλεύρου αποκλίνουν προς την κατεύθυνση που πάει από την ΑΒ προς την ΓΔ. - Αποδεικνύει επίσης πως οι ευθείες ΓΑ και ΔB αποκλίνουν προς την κατεύθυνση που πάει από την ΓΔ στην ΑΒ. Έτσι η υπόθεση της αμβλείας γωνία λαμβάνοντας υπ' όψιν το αίτημα του Tusi, οδηγεί σε αντίφαση. Με τον ίδιο τρόπο απορρίπτεται η υπόθεση της οξείας γωνίας. Σε αυτήν την περίπτωση, οι βάσεις πρέπει να κινούνται σε δύο αντίθετες διευθύνσεις. Έχοντας ορίσει πως στο τετράπλευρο, όλες οι γωνίες είναι ορθές, ο Tusi αποδεικνύει την πρόταση 29 του 1ου βιβλίου των Στοιχείων. Για τον Tusi το Ευκλείδειο αίτημα μπορεί να πάρει δύο διαφορετικές μορφές. Στην 1η αποδεικνύει πως δύο ευθείες, από τις οποίες η μία είναι κάθετος σε μία τρίτη, η άλλη, που σχηματίζει με αυτήν αμβλεία γωνία συναντώνται, ενώ στη 2η αποδεικνύει πως ένα σημείο που βρίσκεται ανάμεσα στις πλευρές μίας γωνίας, μπορούμε να φέρουμε μία ευθεία που τέμνει τις δύο πλευρές αυτής της γωνίας. Στην 2η έκθεση των Στοιχείων ο Tusi εγκαταλείπει το δικό του αίτημα και θέτει τις εξής υποθέσεις: 45

46 1η Υπόθεση Έστωσαν δύο ευθείες AB και ΓΔ τέτοιες ώστε οι κάθετες EΖ, ΗΘ, KΛ που φέρονται στην ΓΔ από τα σημεία που βρίσκονται στην AB δημιουργούν πάντα άνισες γωνίες οι οποίες έχουν την ίδια κορυφή, μία κοινή πλευρά, αυτές είναι πάντα οξείες στην κατεύθυνση του Β, και αμβλείες στην κατεύθυνση του Α. Οι δύο ευθείες ΑΒ και ΓΔ πλησιάζουν η μία την άλλη μέχρις ότου να τμηθούν από την πλευρά των οξείων γωνιών και απομακρύνονται από την πλευρά των αμβλείων γωνιών, δηλαδή το μήκος των καθέτων φθίνει από την πλευρά των σημείων Β και Δ και αυξάνεται από τα σημεία Α και Γ. 2η Υπόθεση Αντίστροφα, το μήκος των καθέτων φθίνει από την κατεύθυνση των σημείων Β και Δ αυξάνεται από την κατεύθυνση των σημείων Α και Γ με τέτοιο τρόπο ώστε οι ευθείες ΑΒ και ΓΔ να συγκλίνουν κατά την κατεύθυνση των σημείων Β και Δ, ενώ στην αντίθετη κατεύθυνση αποκλίνουν. Τότε κάθε κάθετος σχηματίζει με την ευθεία ΑΒ δύο γωνίες, που είναι η μία οξεία και η άλλη αμβλεία, οι οξείες γωνίες βρίσκονται από τα σημεία Β και Δ και οι αμβλείες από την αντίθετη πλευρά. Με τις δύο παραπάνω υποθέσεις ο Tusi, προσπαθεί να αποδείξει ότι στο τετράπλευρο όλες οι γωνίες είναι ορθές. (Φίλη, 2010, σελ. 96) Β.8 Η προσέγγιση του John Wallis Ο John Wallis ( ), Άγγλος μαθηματικός του 17ου αιώνα ασχολήθηκε και αυτός με το πρόβλημα των παραλλήλων. Ο John Wallis, (Πηγή: Φίλη Χρ., Οι Αρχαιοελληνικές Καταβολές των Σύγχρονων Μαθηματικών, σελ. 99) 46

47 Βασικό του λήμμα: Για κάθε σχήμα, υπάρχει ένα όμοιο σχήμα αυθαιρέτου μεγέθους, το οποίο στηρίζει με το 3ο αίτημα (με κέντρο ένα τυχαίο σημείο και ακτίνα κάθε τμήμα, είναι δυνατό να γράψουμε κύκλο) και θεωρεί ότι είναι μία ειδική περίπτωση αυτού του λήμματος. Έτσι αποδεικνύει πως δύο ευθείες γραμμές ΑΒ και ΓΔ σχηματίζουν με την ευθεία ΑΓ γωνίες των οποίων το άθροισμα είναι μικρότερο από δύο ορθές. ΟWallis μετακινεί την ευθεία ΑΒ κατά μήκος της ευθείας ΑΓ ώστε η γωνία ΓΑΒ να παραμένει σταθερή. Αν κάποιος πλησιάσει κατά πολύ το σημείο Γ, τότε η ευθεία θα πάρει τη θέση αβ που τέμνει την ΓΔ στο σημείο π. Σύμφωνα με τη θεώρηση του Wallis, υπάρχει το τρίγωνο ΑΓΡ όμοιο με το τρίγωνο αγπ που προκύπτει, το δε ζητούμενο σημείο είναι το σημείο Ρ. (Φίλη, 2010, σελ. 99) Β.9 Το Αίτημα του Playfair Ένα από τα πιο γνωστά αξιώματα που είναι ισοδύναμο προς το 5ο αίτημα του Ευκλείδη είναι το αίτημα του Playfair. Πήρε το όνομά του από τον Σκωτσέζο μαθηματικό John Playfair (18ος αιώνας). Αξίζει να σημειωθεί πως ο Playfair ήταν αυτός 47

48 που το έφερε στη δημοσιότητα. Στην πραγματικότητα, η ισοδυναμία του με το 5ο αίτημα ήταν ήδη γνωστή στους μαθηματικούς. Το αίτημα λοιπόν έχει ως εξής: 1. Δοθέντος σημείου μη κειμένου σε δοθείσα ευθεία, το πολύ μία ευθεία μπορεί να διέλθει από αυτό που να είναι παράλληλη στη δοθείσα. Η παραπάνω απόφανση αφορά στη μοναδικότητα των παραλλήλων. Η ύπαρξη παραλλήλων δεν χρειάζεται να δοθεί υπό μορφή αιτήματος, αφού μπορεί να συναχθεί από τα τέσσερα πρώτα ευκλείδεια αιτήματα. Η διατύπωση του Playfair σε σχέση με αυτή του Ευκλείδη έχει περιεχόμενο λιγότερο τεχνικό. Επιπλέον, μέσα από αυτή είναι δυνατό να διατυπωθούν εναλλακτικές προτάσεις. Έτσι η παραπάνω απόφανση μπορεί να διατυπωθεί και με τον εξής τρόπο: 2. Μία και μόνον μία ευθεία διέρχεται από δοθέν σημείο εκτός δοθείσης ευθείας, παράλληλη προς αυτήν την ευθεία. 3. Η απόφανση 1 είναι ισοδύναμη με το 5 ο αίτημα του Ευκλείδη. Απόδειξη Πρέπει να αποδείξουμε πως εάν δεχθούμε τη μία από αυτές τις προτάσεις μαζί με τα τέσσερα πρώτα αιτήματα μπορούμε να συνάγουμε την άλλη. Υποθέτουμε λοιπόν, την απόφανση 1 καθώς και τα τέσσερα 1 α αιτήματα και επιθυμούμε να καταλήξουμε στο 5 ο αίτημα. Σε αυτό το σημείο είναι δυνατή η χρήση όλων των αποτελεσμάτων που απέδειξε ο Ευκλείδης χωρίς βέβαια τη χρήση του 5 ου αιτήματος. Για να αποδειχθεί το 5ο αίτημα υποθέτουμε: πως το άθροισμα των γωνιών ΠΚΡ+ ΚΠΣ <180 0 και θέλουμε να συναγάγουμε ότι οι ευθείες θα συναντηθούν κάπου στη δεξιά πλευρά. 48

49 ΣΧΗΜΑ 1. Μέσα από τις προτάσεις 23 και 27 είναι δυνατό να φέρουμε την ευθεία ΟΠΤ, έτσι ώστε οι δηλούμενες γωνίες να είναι ίσες και η ΟΠΤ να είναι παράλληλη στην ΚΡ. Οι ευθείες ΠT και ΠΣ δεν συμπίπτουν. Αυτό είναι προφανές αν κοιτάξουμε το σχήμα. ΣΧΗΜΑ 2. Για την απόδειξή του έχουμε: πως οι γωνίες ΠΚΡ+ ΚΠΤ= ΚΠΟ+ ΚΠΤ= Λόγω της αρχικής υπόθεσης ΚΠΣ< ΚΠΤ, άρα η ευθεία ΠΣ πρέπει να βρίσκεται κάτω από την ΠΤ. Πηγαίνοντας στην απόφανση 1, για να πούμε ότι, επειδή η ΠΤ είναι παράλληλη στην ΚΡ, η ΠΣ δεν μπορεί να είναι παράλληλη στην ΚΡ. Πρέπει να την τέμνει. Αν την έτεμνε στην αριστερή πλευρά, η ευθεία ΠΣ θα έπρεπε να πέφτει κάτω από την ευθεία ΠΟ σε κάποιο σημείο Φ στην αριστερή πλευρά (Σχήμα 3). 49

50 ΣΧΗΜΑ 3. Έτσι θα προέκυπταν 2 διακεκριμένες ευθείες, διερχόμενες από τα σημεία P και V, κάτι που είναι αντίθετο με το 1ο αίτημα του Ευκλείδη. Επομένως οι ευθείες θα τέμνονται στη δεξιά πλευρά. (Davis, 2007, σελ. 100) Β.10 Αξιοσημείωτοι σχολιαστές του 5ου αιτήματος κατά τον 16ο και 17ο αιώνα O C.S. Clavio ( ) στη λατινική μετάφραση του κειμένου του Ευκλείδη αναπαράγει και σχολιάζει την έκθεση του 5ου αιτήματος από τον Πρόκλο. Έπειτα, προβάλλει μία νέα έκθεση της Ευκλείδειας υπόθεσης που βασίζεται στο εξής θεώρημα: Η γραμμή που ισαπέχει από ευθεία γραμμή είναι ευθεία γραμμή. (Bonola, 1955, σελ. 13 ) Η έκθεσή του έχει πολλά κοινά σημεία με την προσέγγιση του Nasir Eddin. Ο P.A. Cataldi ( ; ) από την πλευρά του, είναι ο πρώτος από τους νεώτερους μαθηματικούς που δημοσίευσε έργο αφιερωμένο αποκλειστικά στη θεωρία των παραλλήλων με τίτλο Operetta delle linee rette equidistant et non equidistant. (Bonola, 1955, σελ. 13) Ο Cataldi ξεκινά από την ιδέα των ισαπέχουσων και μη ισαπέχουσων ευθειών γραμμών. Αλλά για να αποδείξει την ύπαρξη ισαπέχουσων ευθειών υιοθετεί την εξής υπόθεση: 50

51 οι ευθείες γραμμές που δεν ισαπέχουν συγκλίνουν στη μία κατεύθυνση και αποκλίνουν στην άλλη. Ο G.A. Borelli ( ) με τη σειρά του, παίρνει το ακόλουθο αξίωμα και επιχειρεί να αιτιολογήσει την υπόθεσή του: Αν ευθεία γραμμή παραμένει πάντα στο ίδιο επίπεδο καθώς μία δεύτερη ευθεία γραμμή κινείται, ώστε το ένα άκρο να ακουμπά πάντα αυτή τη γραμμή και καθ' όλη τη διάρκεια της μετατόπισης η 1η παραμένει συνεχώς κάθετη στη 2η, τότε το άλλο άκρο, καθώς κινείται, περιγράφει ευθεία γραμμή. Έπειτα δείχνει πως δύο ευθείες γραμμές που είναι κάθετες σε μία τρίτη ισαπέχουν και ορίζει τις παράλληλες ως ισαπέχουσες ευθείες γραμμές. Στη συνέχεια ασχολείται με τη θεωρία των παραλλήλων. (Bonola, 1955, σελ. 13 ) Ο Giordano Vitale ( ) επιστρέφει στην Ιδέα των ίσων αποστάσεων που είχε προηγουμένως φέρει στο προσκήνιο ο Ποσειδώνιος και αναγνωρίζει, μαζί με τον Πρόκλο, ότι είναι αναγκαίο να αποκλειστεί η πιθανότητα να είναι οι ευκλείδειες παράλληλες ασυμπτωτικές γραμμές. Γι' αυτό τον σκοπό ορίζει ως παράλληλες δύο ισαπέχουσες ευθείες γραμμές και επιχειρεί να αποδείξει ότι ο τύπος των ισαπέχοντων σημείων από μία ευθεία γραμμή είναι μία άλλη ευθεία γραμμή. Η έκθεσή του πρακτικά εξαρτάται από το ακόλουθο λήμμα: Αν δύο σημεία, A, Γ σε μία καμπύλη, της οποίας η κοιλότητα βρίσκεται προς το Χ, ενώνονται από την ευθεία γραμμή AΓ και φέρονται κάθετες από τον άπειρο αριθμό σημείων του τόξου AΓ επάνω σε οποιαδήποτε ευθεία γραμμή, τότε αυτές οι κάθετες δεν μπορούν να είναι ίσες μεταξύ τους. Η έκφραση "κάθε ευθεία γραμμή" δεν έχει να κάνει με μία άλλη ευθεία γραμμή που παίρνουμε τυχαία στο επίπεδο αλλά με μία ευθεία γραμμή που κατασκευάζεται με τον παρακάτω τρόπο (σχήμα 1): 51

52 ΣΧΗΜΑ 1. Από το σημείο Β του τόξου AΓ φέρουμε την κάθετη στη χορδή AΓ. Έπειτα, στο Α φέρουμε επίσης κάθετη στην AΓ. Τέλος, έχοντας πάρει ίσα τμήματα AΘ και ΔΦ σε αυτές τις δύο κάθετες, ενώνουμε τις άκρες Θ και Φ. H ΘΦ είναι η ευθεία γραμμή που εξετάζει στην έκθεσή του ο Vitale. Μία ευθεία γραμμή σε σχέση με την οποία το τόξο ΑΒ σαφέστατα δεν ισαπέχει εξίσου. Αλλά από τη στιγμή που ο συγγραφέας έχει σκοπό να αποδείξει πως ο τόπος των ισαπέχοντων σημείων από μία ευθεία γραμμή είναι επίσης μία ευθεία γραμμή, εφαρμόζει το προηγούμενο λήμμα σε σχήμα, όπου οι σχέσεις που υπάρχουν ανάμεσα στο τόξο ABΓ και στην ευθεία γραμμή ΘΦ δεν ισχύουν. Έτσι τα συμπεράσματα που βγάζει από την ύπαρξη των ισαπέχουσων ευθειών στην πραγματικότητα δεν είναι θεμιτά. Από αυτή την άποψη η απόδειξη του Vitale δεν φέρνει κάποια πρόοδο πάνω σε ό, τι έχει προηγηθεί. Παρ' όλα αυτά περιλαμβάνει ένα αξιόλογο θεώρημα. Έστω ένα τετράπλευρο ABΓΔ του οποίου οι γωνίες A, B, είναι ορθές και οι πλευρές AΔ, BΓ ίσες (σχήμα 2). 52

53 ΣΧΗΜΑ 2. Επιπλέον, έστω ΗΚ η κάθετος που φέρουμε από σημείο Η (το οποίο βρίσκεται πάνω στην πλευρά ΔΓ ), στη βάση ΑΒ του τετραπλεύρου. Ο Vitale αποδεικνύει: 1. πως οι γωνίες είναι ίσες. 2. πως, όταν το τμήμα ΗΚ είναι ίσο με το τμήμα ΑΔ, οι δύο γωνίες Δ, Γ είναι ορθές και η ΓΔ ισαπέχει εξίσου από την ΑΒ. Μέσω αυτού του θεωρήματος ο Vitale περιορίζει το ερώτημα των ισαπέχουσων ευθειών στην απόδειξη της ύπαρξης ενός σημείου Η στην ΔΓ, της οποίας η απόσταση από την AB ισούται με τα τμήματα AΔ και BΓ. Πρόκειται για ένα από τα αξιοσημείωτα αποτελέσματα πάνω στη θεωρία των παραλλήλων. (Bonola, 1955, σελ. 14) Β.11 Η απόπειρα απόδειξης του Gerolamo Saccheri Ο Gerolamo Saccheri ( ) ήταν Ιησουΐτης ιερέας και καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Παβίας, στην Ιταλία. Επιχείρησε και αυτός με τη σειρά του να αποδείξει το 5ο αίτημα του Ευκλείδη. Ο τρόπος που προσέγγισε το θέμα ήταν που άνοιξε το δρόμο για την ανακάλυψη της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας εκατό χρόνια πριν την τελική της ανακάλυψη. 53

54 Η πρώτη μη Ευκλείδεια γεωμετρία εμφανίστηκε μέσα από την απόδειξη του Saccheri. Ανεξάρτητα από τον Saccheri, αλλά και ταυτόχρονα ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, οι Gauss, Lobachevsky και Bolyai ανέπτυξαν μία μη ευκλείδεια γεωμετρία. Άφησαν το αίτημα παραλληλίας και προέβησαν σε άλλες παραδοχές οι οποίες ισοδυναμούν με την εξής πρόταση: " Από σημείο το οποίο δεν κείται πάνω σε δοσμένη ευθεία, περνάνε ευθείες παράλληλες προς τη δοσμένη, περισσότερες από μία. Μία τέτοια επιλογή αιτήματος, πέρα από την κοινή αίσθηση, επηρέασε τις απόψεις μεταγενέστερων μαθηματικών ως προς τα αιτήματα. Τα αιτήματα δεν θεωρούνται πια φανερές αλήθειες αλλά παραδοχές πάνω στις οποίες βασίζεται μια μαθηματική δομή. Ας δούμε πώς χειρίστηκε αρχικά το θέμα ο Saccheri. Πιθανότατα κατά το τελευταίο έτος της ζωής του έχοντας μελετήσει τα Στοιχεία του Ευκλείδη στέκεται στην αποδεικτική μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο (reductio ad absurdum). Έχοντας λοιπόν γοητευτεί από την διαδικασία που περιγράφει ο Ευκλείδης επιχειρεί να την εφαρμόσει στην απόδειξη του 5ου αιτήματος, αυτού των παραλλήλων ευθειών. Τα αποτελέσματα αυτής της προσπάθειας καταγράφονται στο βιβλίο που τιτλοφορείται Ο Ευκλείδης απαλλαγμένος από κάθε είδους σφάλμα. Σε αυτό το βιβλίο αποδέχεται τις 28 πρώτες προτάσεις των Στοιχείων στις οποίες δεν απαιτείται το 5ο αίτημα προκειμένου να αποδειχθούν και με τη βοήθειά τους προβαίνει στη μελέτη του ισοσκελούς ορθογωνίου. Η μέθοδός του ισοδυναμούσε με την υπόθεση πως το αίτημα του Ευκλείδη είναι εσφαλμένο και έπειτα επιθυμούσε να φτάσει σε αντίφαση μέσα από λογική αιτιολόγηση. Αυτή η διαδικασία θα μπορούσε να επικυρώσει το αίτημα των παραλλήλων με την αρχή της έμμεσης μεθόδου. Σημείο εκκίνησης λοιπόν για τον Saccheri ήταν η μελέτη των τετραπλεύρων που έχουν δύο πλευρές ίσες και κάθετες σε μία τρίτη πλευρά. Χωρίς να υποθέσει το αίτημα των παραλλήλων προέβη σε μία εκτενή μελέτη τέτοιων τετραπλεύρων που πλέον ονομάζονται τετράπλευρα του Saccheri. Έστω ένα τετράπλευρο Saccheri με AΔ=BΓ και ορθές γωνίες A και B, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο Saccheri απέδειξε πως Γ= Δ και έπειτα εξέτασε 3 πιθανότητες σχετικά με τις γωνίες Γ και Δ: 54

55 1) Υπόθεση της ορθής γωνίας ( Γ= Δ= 90 0 ) (Ευκλείδεια Γεωμετρία) (αν υπάρχει τρίγωνο του οποίου το άθροισμα των γωνιών είναι ίσο με 2 ορθές, αυτό ισχύει για κάθε τρίγωνο) 2) Υπόθεση της αμβλείας γωνίας ( Γ= Δ > 90 0 ) (Ελλειπτική Γεωμετρία) (αν υπάρχει τρίγωνο του οποίου το άθροισμα των γωνιών είναι μεγαλύτερο των 2 ορθών, αυτό ισχύει για κάθε τρίγωνο) 3) Υπόθεση της οξείας γωνίας ( Γ= Δ < 90 0 ) (Υπερβολική Γεωμετρία) (αν υπάρχει τρίγωνο του οποίου το άθροισμα των γωνιών είναι μικρότερο των 2 ορθών, αυτό ισχύει για κάθε τρίγωνο) ΣΧΗΜΑ 1. Αν υποτεθεί το αίτημα παραλλήλων του Ευκλείδη, τότε ακολουθεί η υπόθεση της ορθής γωνίας ( αφού από το αίτημα των παραλλήλων συνεπάγεται ότι το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τετραπλεύρου είναι ). Η βασική γραμμή στην οποία ο Saccheri στήριξε το επιχείρημα του έχει ως εξής: Δείχνω πως τόσο η υπόθεση της αμβλείας γωνίας όσο και η υπόθεση της οξείας γωνίας οδηγούν σε αντιφάσεις. Αυτό αποδεικνύει την υπόθεση της ορθής γωνίας, η οποία με τη σειρά της ισοδυναμεί με το Ευκλείδειο αίτημα. Ο Saccheri απέδειξε μέσα από μία προσεκτικά αιτιολογημένη ακολουθία θεωρημάτων ότι η υπόθεση της αμβλείας γωνίας οδηγεί σε αντίφαση. Έπειτα, εξέτασε τις 55

56 προκύπτουσες προτάσεις της υπόθεσης της οξείας γωνίας. Ανάμεσα σε αυτές υπάρχει ένας αριθμός ασυνήθιστων θεωρημάτων δύο από τα οποία έχουν ως εξής: Το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι μικρότερο των Αν Λ, M είναι δύο γραμμές στο επίπεδο, τότε ισχύει μία από τις παρακάτω ιδιότητες: (α) Λ και M τέμνονται, σε ποια περίπτωση αποκλίνουν από το σημείο τομής; (β) Λ και M δεν τέμνονται, αλλά έχουν μία κοινή κάθετο, σε ποια περίπτωση αποκλίνουν από την κοινή κάθετο και στις δύο κατευθύνσεις; (γ) Λ και M δεν τέμνονται και δεν έχουν κοινή κάθετο, σε ποια περίπτωση συγκλίνουν στη μία κατεύθυνση και αποκλίνουν στην άλλη; (Prenowitz & Jordan, 1989, σελ. 32) Αν και ο Saccheri απέτυχε στο στόχο του, η δουλειά του ήταν καθοριστικής σημασίας. Ίσως θα μπορούσε να χαρακτηριστεί ως η πιο σημαντική προσπάθεια απόδειξης του 5ου αιτήματος. Το γεγονός ότι δεν κατάφερε να ανακαλύψει κάποια αντίφαση ανάμεσα στις συνέπειες της υπόθεσης της Οξείας γωνίας δεν τον έκανε να αντιληφθεί ότι είναι δυνατόν πάνω σε αυτή την υπόθεση να στηριχθεί ένα συνεπές γεωμετρικό σύστημα τόσο λογικό, όσο και το ευκλείδειο, καθώς και ότι το 5ο Αίτημα είναι αδύνατο να αποδειχθεί. Σε αυτό το σημείο μπορεί να διακρίνει κανείς την ειρωνεία που βρίσκεται πίσω από την «εμμονή» του Saccheri ότι το 5ο Αίτημα αποδεικνύεται από τα υπόλοιπα αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Ίσως -αν δεν διακατεχόταν από αυτή τη βεβαιότητα- να ήταν εκείνος που θα είχε ανακαλύψει πρώτος την «Υπερβολική Γεωμετρία» εκατό χρόνια πριν την τελική της ανακάλυψη. Η άποψη αυτή στηρίζεται σε συγκεκριμένα συμπεράσματα του έργου του, που αποτελούν προτάσεις της μετέπειτα γνωστής ως «Υπερβολικής Γεωμετρίας» αλλά απορρίφθηκαν από τον ίδιο για διαισθητικούς λόγους. Δικαίως, λοιπόν, ο Beltrami (1889) τον κατατάσσει ανάμεσα στους προδρόμους του Legendre και του Lobachevsky. Παρ όλη λοιπόν την ανακρίβεια που εμπεριείχαν τα συμπεράσματά τους, οι έρευνες του Saccheri στο χώρο της Γεωμετρίας αποτέλεσαν -όπως μπορεί κανείς με ευκολία να συμπεράνει- ένα σημαντικό βήμα προς την ανακάλυψη της Μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Αξιοσημείωτες προσπάθειες προς την ίδια κατεύθυνση έγιναν από τους H. 56

57 Lambert ( ) και A.M. Legendre ( ) χωρίς όμως να καταστήσουν τελικά εφικτή την εύρεση αντίφασης. Ο Heath για τον Saccheri: Ο Saccheri υπήρξε θύμα της προκατάληψης της εποχής του ότι η μόνη δυνατή γεωμετρία ήταν η Ευκλείδεια, και παρουσιάζει το περίεργο θέαμα ενός ανθρώπου που ανεγείρει ένα οικοδόμημα πάνω σε καινούρια θεμέλια με σπουδή και εργατικότητα, σκοπεύοντας να το γκρεμίσει αμέσως μετά. (Davis, 2007, σελ. 107). Αν και η προσπάθεια του Saccheri να απαλλάξει τον Ευκλείδη από τα σφάλματά του όπως λέει και ο τίτλος του βιβλίου του, δεν στέφθηκε με επιτυχία, έδειξε πως πρόκειται για έναν άνθρωπο με ιδιαίτερες ικανότητες και σπάνια αφοσίωση στο αντικείμενο μελέτης του. Β.12 Johann Heinrich Lambert Ο Johann Heinrich Lambert, ( ), Γερμανοελβετός μαθηματικός με φιλοσοφικές τάσεις, ασχολήθηκε με πολλά θέματα και προχώρησε στη συγγραφή έργων σχετικών και μη με τα μαθηματικά. Υπήρξε για δύο χρόνια συνεργάτης του Euler στην Ακαδημία του Βερολίνου. Λέγεται πως όταν ερωτήθηκε από τον Φρειδερίκο τον Μεγάλο σε ποιά επιστήμη πίστευε πως είναι πιο ικανός απάντησε κοφτά: " Σε όλες." Η απάντηση αυτή δείχνει από την μία πλευρά την εμπιστοσύνη J. H. Lambert ( Πηγή: Φίλη, Οι Αρχαιοελληνικές Καταβολές των Σύγχρονων Μαθηματικών, σελ. 102) που είχε στις ικανότητες του, από την άλλη όμως δείχνει και την έλλειψη ταπεινοφροσύνης. Ίσως εάν έλειπε η τελευταία να τύγχανε μεγαλύτερης αναγνώρισης σήμερα. Όπως είδαμε προηγουμένως, ο Saccheri είχε πιστέψει πως είχε κατορθώσει να αποδείξει ότι το άθροισμα των γωνιών ενός επίπεδου τριγώνου δεν είναι ούτε μεγαλύτερο, ούτε μικρότερο από δύο ορθές, άρα είναι ίσο με Ο Lambert με τη 57

58 σειρά του παρατηρεί πως στην επιφάνεια μίας σφαίρας το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι όντως μεγαλύτερο από δύο ορθές γωνίες. Έπειτα υπέθεσε πως είναι δυνατή η εύρεση μίας επιφάνειας πάνω στην οποία το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου θα είναι μικρότερο από δύο ορθές γωνίες. Προσπαθώντας να συμπληρώσει το έργο του Saccheri, έγραψε το Die Theorie der Parallellinien (1766), έργο που εμφανίστηκε εννέα χρόνια μετά τον θάνατό του. Φαίνεται λοιπόν, πως ο Lambert γνώριζε το έργο του Saccheri αφού παραθέτει μία διατριβή από τον Klügel ( ), όπου αναλύεται το έργο του Ιταλού γεωμέτρη. Η θεωρία παραλλήλων του Lambert χωρίζεται σε τρία μέρη. Το πρώτο μέρος είναι φιλοσοφικής, κριτικής φύσεως. Ασχολείται με το διττό ερώτημα που εγείρεται από το Ευκλείδειο αίτημα: Είναι δυνατό να αποδειχθεί μόνο με τη βοήθεια των υποθέσεων που έχουν προηγηθεί; Ή είναι απαραίτητη η βοήθεια μίας άλλης υπόθεσης; Το δεύτερο μέρος σχετίζεται με τις διάφορες προσπάθειες απόδειξης του 5ου αιτήματος. Εδώ το Ευκλείδειο αίτημα χωρίζεται σε πιο απλές προτάσεις, οι οποίες όμως χρειάζονται απόδειξη. Το τρίτο και πιο σημαντικό μέρος περιέχει μία έρευνα που μοιάζει με αυτή του Saccheri. Στη θεωρία παραλλήλων του λοιπόν, αντί να ξεκινήσει από το τετράπλευρο του Saccheri, επιλέγει να χρησιμοποιήσει στην αρχή ένα τετράπλευρο που έχει τρεις ορθές γωνίες (τετράπλευρο γνωστό σήμερα ως τετράπλευρο Lambert). Στη συνέχεια, θεώρησε τις τρείς πιθανές καταστάσεις που θα μπορούσαν να ισχύουν για την τέταρτη γωνία: 1. να είναι οξεία < να είναι ορθή = να είναι αμβλεία > 90 0 Μέσα από μία μέθοδο που δεν διαφέρει από αυτήν του Saccheri δείχνει πως σε κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις αντιστοιχεί ένα άθροισμα γωνιών τριγώνου μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από Προχωρώντας ένα βήμα παραπάνω από τον Saccheri, αποδεικνύει πως το πόσο το άθροισμα είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο από τις δύο ορθές γωνίες είναι ανάλογο του εμβαδού του τριγώνου. 58

59 Στην περίπτωση της αμβλείας γωνίας, η κατάσταση είναι παρόμοια με ένα κλασικό θεώρημα της σφαιρικής γεωμετρίας: το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ανάλογο προς τη σφαιρική υπεροχή του. Ο Lambert υπέθεσε ότι η περίπτωση της οξείας γωνίας ίσως, να αντιστοιχεί σε μία γεωμετρία μίας νέας επιφάνειας, όπως μίας σφαίρας φανταστικής ακτίνας. Το 1868, ο Eygenio Beltrami ( ) έδειξε ότι ο Lambert είχε δίκιο όταν υπέθετε την ύπαρξη κάποιας τέτοιας επιφάνειας. Στο τέλος όμως φάνηκε πως δεν ήταν κάποια σφαίρα με φανταστική ακτίνα αλλά μία πραγματική επιφάνεια. Πρόκειται για την ψευδοσφαίρα, δηλαδή μία επιφάνεια της οποίας χαρακτηριστικό είναι η σταθερή αρνητική καμπυλότητα η οποία σχηματίζεται με την περιστροφή της έλκουσας περί τον άξονά της. Ας δούμε πιο αναλυτικά την προσέγγισή του: Η υπόθεση της ορθής γωνίας οδηγεί εύκολα στο ευκλείδειο σύστημα. Σκοπός του είναι να οδηγηθεί στην απόρριψη των δύο υποθέσεων που μένουν. Για την απόρριψη της υπόθεσης της αμβλείας γωνίας ο Lambert βασίζεται σε σχήμα που έχεις ως εξής: Δύο ευθείες γραμμές α, β, κάθετες σε μια τρίτη ευθεία ΑΒ. Παίρνει διαδοχικά σημεία Β, Β 1, Β 2,..., Β ν στην β, και τις κάθετες ΒΑ, Β 1 Α 1, Β 2 Α 2,..., Β ν Α ν στην α. ΣΧΗΜΑ 1. Αποδεικνύει, σε πρώτο στάδιο, ότι αυτές οι κάθετες συνεχώς μειώνονται, αρχίζοντας από την κάθετη ΒΑ. Έπειτα, ότι αυτή η μείωση συνεχώς αυξάνεται. 59

60 Επομένως, έχουμε : ΒΑ - Β ν Α ν > ν( ΒΑ - Β 1 Α 1 ). Αλλά, αν πάρουμε το ν αρκετά μεγάλο, το δεύτερο μέλος της ανισότητας γίνεται όσο μεγάλο θέλουμε, ενώ το πρώτο μέλος είναι πάντα μικρότερο από το ΒΑ. Αυτή η αντίφαση επιτρέπει στον Lambert να δηλώσει ότι η δεύτερη υπόθεση είναι ψευδής. Εξετάζοντας την υπόθεση της οξείας γωνίας ο Lambert βασίζεται στο προηγούμενο σχήμα. Αποδεικνύει ότι οι κάθετες ΒΑ, Β 1 Α 1, Β 2 Α 2,..., Β ν Α ν συνεχώς αυξάνονται και συγχρόνως η διαφορά μεταξύ των καθέτων επίσης αυξάνεται. Καθώς όμως αυτό το αποτέλεσμα δεν οδηγεί σε αντιφάσεις, όπως και ο Saccheri, ήταν υποχρεωμένος να προχωρήσει το συλλογισμό του. Έτσι, βρίσκει ότι με την τρίτη υπόθεση το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι λιγότερο από δύο ορθές γωνίες. Προχωρώντας ένα βήμα πιο πέρα από τον Saccheri, ανακαλύπτει ότι το έλλειμμα ενός πολυγώνου, δηλαδή η διαφορά 2(ν-2) ορθές και του αθροίσματος των γωνιών του, όπου ν το πλήθος των πλευρών του, είναι ανάλογο προς το εμβαδόν του. Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να επιτευχθεί πιο εύκολα παρατηρώντας ότι και το εμβαδόν και το έλλειμμα ενός πολυγώνου, είναι αντίστοιχα το άθροισμα των εμβαδών και των ελλειμμάτων των τριγώνων που συνθέτουν Φαίνεται πως και ο Lambert, όπως προηγουμένως και ο Saccheri, συνειδητοποίησε πως η προσπάθειά του να αποδείξει το ευκλείδειο αίτημα, ήταν αποτυχημένη: "Οι αποδείξεις του αξιώματος του Ευκλείδη μπορούν να φθάσουν ως ένα σημείο στο οποίο απομένει η απόδειξη κάποιας ασήμαντης πρότασης. Μία προσεκτική ανάλυση, όμως μας δείχνει ότι σε αυτήν την ασήμαντη πρόταση βρίσκεται η ουσία του θέματος συνήθως περιλαμβάνει είτε την πρόταση προς απόδειξη είτε ένα ισοδύναμο αξίωμα." Στην τελευταία πρόταση ο Lambert κατορθώνει να συνοψίσει τους λόγους για τους οποίους οι προηγούμενες προσπάθειες απόδειξης του 5ου αιτήματος από άλλους μαθηματικούς δεν είχαν το επιθυμητό αποτέλεσμα. Ο Lambert αποδείχτηκε βαθύτερος στοχαστής από τον Saccheri και τους προγενέστερούς του. Αν και ουσιαστικά βάδισε στο ίδιο μονοπάτι δεν βρήκε λογική αντίφαση. Επιπλέον, δεν έκανε τα λάθη που είχαν ήδη χρεωθεί στους προηγούμενους. 60

61 Σε αυτό το σημείο έρχεται ο Γάλλος μαθηματικός Legendre (αρχή 19ου αι.). Προσπαθεί και αυτός με τη σειρά του να αποδείξει το 5ο αίτημα χωρίς να κατορθώσει να αποφύγει συγκεκριμένα λάθη.(boyer- Μerzbach, 1997, σελ.514) (Bonola, 1955, σελ. 44) Β.13 Adrien- Marie Legendre O A. M Legendre ( ) στην τρίτη έκδοση του βιβλίου του, Στοιχεία Γεωμετρίας, μελετά τη σχέση του 5ου αιτήματος με το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου. Βασίζεται στις 26 πρώτες προτάσεις των Ευκλείδειων Στοιχείων και στο αξίωμα των Ευδόξου και Αρχιμήδη και αποδεικνύει το θεώρημα που αναφέρει πως «το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου δεν είναι μεγαλύτερο από 2 A. M. Legendre ( Πηγή: Φίλη, Οι Αρχαιοελληνικές Καταβολές των Σύγχρονων Μαθηματικών, σελ. 104) ορθές». Έπειτα, αποδεικνύει πως «αν υπάρχει τρίγωνο που το άθροισμα των γωνιών του είναι μικρότερο ή ίσο με 2 ορθές γωνίες, αυτό ισχύει για κάθε τρίγωνο». Το έτος 1823 ο Legendre βασιζόμενος στην εξής υπόθεση: «από εσωτερικό σημείο μίας γωνίας, μπορούμε να φέρουμε ευθεία που τέμνει και τις 2 πλευρές της» θεώρησε πως είχε βρει την πολυπόθητη απόδειξη του αιτήματος παραλλήλων ευθειών. Ο Legendre λοιπόν, φαίνεται ότι πίστευε πως αν αποδείκνυε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με 2 ορθές θα πετύχαινε την απόδειξη του 5ου αιτήματος. Έχοντας αυτό ως στόχο επεδίωξε την απόρριψη της Υπόθεσης της αμβλείας γωνίας, αφού ήθελε να δείξει πως το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι είτε μικρότερο, είτε ίσο με 2 ορθές. Παρ όλα αυτά, και αυτός με τη σειρά του προέβη στο ίδιο λάθος που παρατηρήσαμε στο έργο των προηγούμενων ερευνητών του ίδιου θέματος. Δεν πρόσθεσε κάτι καινούριο στο υλικό που είχαν ήδη συγκεντρώσει οι προγενέστεροί του. 61

62 Πιο συγκεκριμένα, ο Legendre επιχείρησε να μετατρέψει το αίτημα των παραλλήλων σε θεώρημα. Οι έρευνές του, οι οποίες βρίσκονται διασκορπισμένες μέσα στις διαφορετικές εκδόσεις των Στοιχείων της Γεωμετρίας {Elements de Geometrie, ( )}, ενώνονται στο έργο Reflexions sur differentes manieres de demontrer la theorie des paralleles ou le theoreme sur la somme des trois angles du triangle. Σε μία από τις πιο σημαντικές προσπάθειές του λοιπόν, ο Legendre, όπως και ο Saccheri, προσεγγίζει το ερώτημα από την πλευρά του αθροίσματος των γωνιών ενός τριγώνου. Επιδιώκει να αποδείξει πως το άθροισμα των γωνιών είναι ίσο με δύο ορθές γωνίες.έχοντας αυτή την κατάληξη στο μυαλό του, στην αρχή του έργου του κατάφερε να απορρίψει την Υπόθεση της αμβλείας γωνίας του Saccheri, αφού δείχνει πως το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι είτε μικρότερο, είτε ίσο με δύο ορθές γωνίες. Παραθέτουμε την απλή απόδειξη που δίνει για αυτό το θεώρημα: - Έστω ν ίσα και διαδοχικά τμήματα Α 1 Α 2, Α 2 Α 3,..., Α ν Α ν+1, που παίρνουμε πάνω σε μια ευθεία γραμμή, όπως φαίνεται στο σχήμα. Από το ίδιο μέρος της γραμμής κατασκευάζουμε ν ίσα τρίγωνα, που έχουν ως τρίτη κορυφή τα σημεία Β 1, Β 2,..., Β ν. Τα τμήματα Β 1 Β 2, Β 2 Β 3,..., Β ν-1 Β ν, τα οποία ενώνουν αυτές τις κορυφές, είναι ίσα και μπορούν να θεωρηθούν ως βάσεις των ν ίσων τριγώνων Β 1 Α 2 Β 2, Β 2 Α 3 Β 3,..., Β ν-1 Α ν Β ν. Το σχήμα ολοκληρώνεται προσθέτοντας το τρίγωνο Β ν Α ν+1 Β ν+1, το οποίο είναι με τη σειρά του ίσο με τα υπόλοιπα. ΣΧΗΜΑ 2. - Έστω η γωνία Β 1 του τριγώνου Α 1 Β 1 Α 2, σημειώνεται με β και η γωνία Α 2 του διαδοχικού τριγώνου με α. 62

63 Τότε ισχύει β α. - Στην πραγματικότητα, αν β > α, συγκρίνοντας τα δύο τρίγωνα Α 1 Β 1 Α 2 και Β 1 Α 2 Β 2, τα οποία έχουν δύο ίσες πλευρές, έχουμε: Α 1 Α 2 > Β 1 Β 2. - Επιπλέον, επειδή η τεθλασμένη γραμμή Α 1 Β 1 Β 2... Β ν+1 Α ν+1 είναι μεγαλύτερη από το τμήμα Α 1 Α ν+1, έχουμε: Α 1 Β 1+ ν Β 1 Β 2 + Α ν+1 Β ν+1 > ν Α 1 Α 2 Για παράδειγμα: 2 Α 1 Β 1 > ν (Α 1 Α 2 - Β 1 Β 2 ). - Αλλά αν πάρουμε το ν αρκετά μεγάλο, αυτή η ανισότητα έρχεται σε αντίθεση με το αξίωμα του Αρχιμήδη. Επομένως έχουμε Α 1 Α 2 < Β 1 Β 2 και προκύπτει πως δεν είναι δυνατό να ισχύει β > α. Άρα αποδείχθηκε ότι β α. - Από αυτό εύκολα προκύπτει ότι το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου Α 1 Β 1 Α 2 είναι μικρότερο ή ίσο με δύο ορθές γωνίες. Αυτό το θεώρημα συνήθως ονομάζεται λανθασμένα πρώτο θεώρημα του Legendre. Λανθασμένα γιατί ο Saccheri είχε ήδη θεμελιώσει αυτό το θεώρημα έναν σχεδόν αιώνα νωρίτερα όταν απέδειξε ότι η υπόθεση της Αμβλείας γωνίας είναι ψευδής. Το θεώρημα που συχνά αποκαλείται ως δεύτερο θεώρημα του Legendre είχε επίσης δοθεί από τον Saccheri σε μία πιο γενική μορφή. Έχει ως εξής: Αν το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο ή ίσο με δύο ορθές γωνίες σε ένα μόνο τρίγωνο, είναι αντίστοιχα μικρότερο ή ίσο με δύο ορθές σε οποιοδήποτε άλλο τρίγωνο. Δεν θα επαναληφθεί η απόδειξη του θεωρήματος, διότι δεν διαφέρει σημαντικά από την απόδειξη που είχε δώσει ο Saccheri. Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε με ποιόν τρόπο ο Legendre απέδειξε πως: Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με δύο ορθές γωνίες. Υποθέτουμε ότι στο τρίγωνο ΑΒΓ: ισχύει Α + Β + Γ < 2 ορθές γωνίες. 63

64 ΣΧΗΜΑ 3. Παίρνουμε ένα σημείο Δ στην πλευρά ΑΒ και φέρουμε την διατέμνουσα ΔΕ έτσι ώστε η ΑΔΕ να είναι ίση με τη Β. Στο τετράπλευρο ΔΒΓΕ, το άθροισμα των γωνιών είναι μικρότερο από τέσσερις ορθές. Επομένως ΑΕΔ > ΑΓΒ. Η γωνία Ε του τριγώνου ΑΔΕ είναι πλέον πλήρως ορισμένη συνάρτηση της πλευράς ΑΔ. Με άλλα λόγια, το μήκος της πλευράς ΑΔ μπορεί να οριστεί πλήρως όταν είναι γνωστό το μέγεθος (σε ορθές γωνίες) της γωνίας Ε και των δύο σταθερών γωνιών Α και Β. Αλλά ο Legendre θεώρησε άτοπο αυτό το αποτέλεσμα, γιατί το μήκος μιας γραμμής δεν έχει νόημα, εκτός εάν κανείς γνωρίζει τη μονάδα μέτρησης στην οποία αναφέρεται, και εάν η φύση του ερωτήματος δεν υποδεικνύει αυτή τη μονάδα με κανένα τρόπο. Άρα με αυτόν τον τρόπο, η υπόθεση Α + Β + Γ < 2 ορθές γωνίες απορρίπτεται, και συνεπώς έχουμε: Α + Β + Γ = 2 ορθές γωνίες Επιπλέον, από αυτή την ισότητα η απόδειξη του Ευκλείδειου Αιτήματος έπεται εύκολα. (Bonola, 1955, σελ. 55) (Φίλη, 2010, σελ. 104) 64

65 ΜΕΡΟΣ Γ Γ.1 Η πορεία προς τις Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες «Οι μαθηματικές ανακαλύψεις είναι σαν τις βιολέτες της άνοιξης στο δάσος. Αυτές έχουν την εποχή τους, την οποία κανένας άνθρωπος δεν μπορεί να καθυστερήσει ή να βιάσει 11». 11 O F. Bolyai προς τον γιο του J.Bolyai βλ. KLEINER, Israel, Excursions in the History of Mathematics σελ

66 F. Bolyai Το 5ο αίτημα αποτέλεσε διελκυστίνδα μεταξύ των μαθηματικών. Οι προσπάθειες απόδειξης του 5ου αιτήματος ταλάνισαν τον μαθηματικό κόσμο για πάνω από 2000 χρόνια. Κάθε φορά που κάποιος θεωρούσε πως είχε φτάσει στην «γραμμή τερματισμού», βρίσκοντας την πολυπόθητη απόδειξη, επέστρεφε στο «σημείο εκκίνησης» λόγω σφάλματος. Ο ίδιος ο Ευκλείδης ίσως να είχε διαισθανθεί την ιδιαιτερότητα αυτού του αιτήματος γι αυτό και απέφευγε 12 να το χρησιμοποιεί στις αποδείξεις του, όσο αυτό ήταν δυνατό, αφού συναντάται για 1η φορά στην απόδειξη της 29ης πρότασης των Στοιχείων. Η σημασία λοιπόν αυτής της ιδιαιτερότητας αναδείχθηκε μέσα από την ανακάλυψη των λεγόμενων μη Ευκλείδειων Γεωμετριών. Με ποίον τρόπο όμως, η ανθρώπινη σκέψη οδηγήθηκε στις Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες, χρησιμοποιώντας ως «μεταφορικό μέσο» το 5ο αίτημα; Γ.2 Carl Friedrich Gauss Ο Carl Friedrich Gauss ( ) χαρακτηρίζεται ως παιδί θαύμα. Ο πατέρας του ήταν ένας έντιμος αλλά αυταρχικός βαρελοποιός που πέθανε λίγο πριν ο Gauss γίνει τριάντα ετών. Ήδη από τα παιδικά του χρόνια λέγεται πως απολάμβανε τους μαθηματικούς υπολογισμούς. (Boyer- Merzbach, 1997, σελ. 558) Συνήθιζαν να τον αποκαλούν πρίγκιπα των Μαθηματικών (στα λατινικά: Mathematicorum princeps). Το Carl Friedrich Gauss (Πηγή: Davis, Η φύση και η δύναμη των μαθηματικών, σελ. 110) σημαντικό περιεχόμενο του ημερολογίου του γνωστοποιήθηκε σαράντα τρία χρόνια μετά το θάνατό του, το Εκεί υπήρχαν αποτελέσματα που προμήνυαν μεγάλο μέρος των 12 Η κίνηση αυτή του Ευκλείδη είναι ιδιαίτερα σοφή. Δεν μπορούσε να χρησιμοποιεί σε μεγάλο βαθμό κάτι που δεν είχε αποδειχθεί προκειμένου να εξελίξει τη σκέψη γιατί όλο το οικοδόμημα αυτής θα ήταν βασισμένο σε αμφισβητήσιμα θεμέλια. 66

67 ανακαλύψεων στο πεδίο των Μαθηματικών. Πρόκειται για ανακαλύψεις που τοποθετούνται στο δεύτερο μισό του 19 ου αιώνα. Σημαντική ήταν η συνεισφορά του στην αριθμητική των ισοτιμιών και στη γεωμετρία των μιγαδικών αριθμών. Στα 19 του χρόνια έδειξε τον τρόπο κατασκευής ενός κανονικού δεκαεπταγώνου. Το απόσπασμα που ακολουθεί προέρχεται από γράμμα του Gauss στον W. Bolyai (1793). Φαίνεται να έχει καταστήσει την ισοδυναμία του 5 ου αιτήματος και της ύπαρξης τριγώνων αυθαιρέτως μεγάλου εμβαδού. Δεν βρίσκει όμως το λόγο που δεν θα μπορούσε να υπάρξει ένα γεωμετρικό σύστημα το οποίο θα εξασφάλιζε με τη σειρά του ένα πεπερασμένο φράγμα για το εμβαδόν όλων των τριγώνων. Φαίνεται πως ο Gauss ήταν ο πρώτος με σαφή άποψη περί μίας γεωμετρίας ανεξάρτητης από το Ευκλείδειο αίτημα. Αυτή η άποψη όμως παρέμεινε κρυμμένη για σχεδόν 50 χρόνια στο μυαλό του σπουδαίου γεωμέτρη. «Η εργασία μου με κάνει να αμφιβάλλω για την εγκυρότητα της γεωμετρίας. Έχω βεβαίως φτάσει σε αποτελέσματα τα οποία οι περισσότεροι άνθρωποι θα μπορούσαν να εκλάβουν ως απόδειξη (του 5ου αιτήματος), που για μένα όμως δεν αποδεικνύουν σχεδόν τίποτα. Αν, για παράδειγμα, μπορέσει κάποιος να αποδείξει ότι υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με εμβαδόν μεγαλύτερο οποιουδήποτε δοθέντος αριθμού, τότε θα είμαι σε θέση να οικοδομήσω όλη την Γεωμετρία με απόλυτη αυστηρότητα. Οι πιο πολλοί θα έθεταν αυτό το θεώρημα ως αξίωμα, αλλά εγώ όχι! Και αν υπάρχει βεβαίως η πιθανότητα, ανεξαρτήτως τού πόσο μακριά βρίσκονται μεταξύ τους οι κορυφές ενός τριγώνου, το εμβαδόν του να είναι μικρότερο από ένα πεπερασμένο φράγμα. Έχω στην κατοχή μου διάφορα θεωρήματα αυτού του είδους αλλά κανένα τους δεν με ικανοποιεί.» (Davis, 2007, σελ. 108) Σε ένα άλλο γράμμα του (1817) υποστηρίζει πως ένας τρόπος για να εξακριβώσει κανείς κατά πόσο η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι μία πραγματικότητα του σύμπαντος είναι να ξεκινήσει μετρήσεις στο περιβάλλον του. «εδραιώνεται όλο και περισσότερο μέσα μου η πεποίθηση ότι η απαραίτητη αλήθεια της γεωμετρίας μας δεν μπορεί να αποδειχθεί, τουλάχιστον από το ανθρώπινο μυαλό για το ανθρώπινο μυαλό. Πιθανώς σε μια άλλη ζωή να φθάσουμε σε μια άλλη κατανόηση της φύσης του χώρου, κάτι που επί του παρόντος δεν είναι εφικτό. Μέχρι τότε θα πρέπει να 67

68 βάζουμε τη γεωμετρία στην ίδια μοίρα, όχι με την Αριθμητική, η οποία έχει μια καθαρά a priori (εκ των προτέρων) θεμελίωση, αλλά με τη Μηχανική.» (Davis, 2007, σελ. 108) Σε γράμμα του το 1824 φαίνεται η σύγκριση ανάμεσα στον τρόπο σκέψης του Gauss και του Saccheri. Οι δύο τελευταίοι ασχολήθηκαν με το τι συμβαίνει αν υποθέσουμε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο των δύο ορθών. Ο Saccheri από την πλευρά, του αντιλήφθηκε πως πρόκειται για αντίφαση προς τη διαίσθησή του για τις ευθείες γραμμές. Ο Gauss από την άλλη μεριά κατάλαβε πως οδηγεί σε έναν νέο τύπο γεωμετρίας. «Κλωθογυρίζει στο μυαλό μου περισσότερο από τριάντα χρόνια και δεν νομίζω πως υπάρχει άλλος που να αφιέρωσε περισσότερη σκέψη από μένα σ αυτό, αν και δεν δημοσίευσα ποτέ τίποτε σχετικό. Η υπόθεση ότι το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι μικρότερο από 180 ο οδηγεί σε μια παράξενη Γεωμετρία, αρκετά διαφορετική από τη δική μας (την Ευκλείδεια) αλλά τελείως συνεπή, την οποία έχω αναπτύξει με όλη μου την ευχαρίστηση τα θεωρήματα αυτής της γεωμετρίας φαίνονται παράδοξα και, για τον αμύητο, παράλογα. Όμως ο ήρεμος, επίμονος στοχασμός αποκαλύπτει ότι δεν περιέχουν τίποτε το απίθανο.» (Davis, 2007, σελ. 109 ) Η νέα αυτή γεωμετρία ονομάστηκε αρχικά από τον Gauss αντι- ευκλείδεια, έπειτα αστρική και τελικά μη ευκλείδεια. Στα χειρόγραφά του βρέθηκε η σύνοψη της καινούριας θεωρίας παραλλήλων που αποτέλεσε προσχέδιο για το έργο του Μη Ευκλείδεια Γεωμετρία. Ας δούμε πώς όρισε τις παράλληλες ευθείες ο Gauss: Αν οι συνεπίπεδες ευθείες γραμμές ΑΜ, ΒΝ δεν τέμνονται μεταξύ τους και από την άλλη πλευρά, κάθε ευθεία γραμμή που διέρχεται από το Α και βρίσκεται μεταξύ των ΑΜ και ΑΒ τέμνει τη ΒΝ, τότε λέμε ότι η ΑΜ είναι παράλληλη με τη ΒΝ. 68

69 ΣΧΗΜΑ 1. Υποθέτει μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το Α ξεκινώντας από τη θέση ΑΒ και στη συνέχεια περιστρεφόμενη συνεχώς προς το μέρος της ΒΝ μέχρι να φτάσει στη θέση ΑΓ στην προέκταση της ΒΑ. Αυτή η γραμμή ξεκινά τέμνοντας τη ΒΝ και στο τέλος όχι. Έτσι, δεν μπορεί παρά να υπάρχει μια και μόνο μια θέση που διαχωρίζει τις ευθείες που τέμνουν τη ΒΝ από εκείνες που δεν την τέμνουν. Αυτή πρέπει να είναι η πρώτη από τις ευθείες γραμμές που δεν τέμνουν τη ΒΝ και από τον ορισμό είναι η παράλληλη ΑΜ, αφού προφανώς δεν μπορεί να υπάρξει «τελευταία» γραμμή του συνόλου των ευθειών που τέμνουν τη ΒΝ. Ο ορισμός του Gauss διαφέρει από τον ορισμό του Ευκλείδη. Αν απορριφθεί το Ευκλείδειο αίτημα θα μπορούσαν να υπάρξουν διάφορες ευθείες που να διέρχονται από το Α, από την πλευρά που έχουμε φέρει την ΒΝ, οι οποίες δεν θα μπορέσουν να τμήσουν την ΒΝ. Όλες αυτές οι ευθείες γραμμές θα μπορούσαν να είναι παράλληλες στη ΒΝ σύμφωνα με τον ορισμό του Ευκλείδη. Σύμφωνα με τον ορισμό του Gauss μόνο η πρώτη από αυτές είναι παράλληλη στη ΒΝ. Συνεχίζοντας το συλλογισμό, επισημαίνει πως στον δικό του ορισμό υποθέτει τα αρχικά σημεία των γραμμών ΑΜ, ΒΝ. Προχωρά για να δείξει: 1. Πως η παραλληλία των γραμμών ΑΜ και ΒΝ είναι ανεξάρτητη από τα σημεία Α και Β, εξασφαλίζοντας αμετάβλητη τη λογική σύμφωνα με την οποία οι γραμμές προεκτείνονται απεριόριστα. 69

70 2. Πως η παραλληλία των γραμμών ικανοποιεί την αυτοπαθή ιδιότητα. Αυτό σημαίνει ότι αν η ΑΜ είναι παράλληλη στη ΒΝ, τότε και η ΒΝ είναι παράλληλη στην ΑΜ. 3. Πως αν η ευθεία 1 είναι παράλληλη προς τη 2 και την 3, τότε η 2 και η 3 είναι επίσης παράλληλες μεταξύ τους. Σε κάποιες άλλες σημειώσεις του πάνω στο 5ο αίτημα ο Gauss αναπτύσσει παρόμοιο συλλογισμό, προσθέτοντας την ιδέα των ανάλογων σημείων σε δύο παράλληλες πάνω σε δύο παράλληλες ΑΑ, ΒΒ. ΣΧΗΜΑ 2. Δύο σημεία Α, Β λέγονται ανάλογα, όταν η ΑΒ σχηματίζει ίσες εσωτερικές γωνίες με τις παράλληλες προς το ίδιο μέρος της ΑΒ. Σχετικά με αυτά τα ανάλογα σημεία ο Gauss διατυπώνει τα παρακάτω θεωρήματα: 1. Αν Α, Β είναι δύο ανάλογα σημεία πάνω σε δύο παράλληλες και Μ είναι το μέσο της ΑΒ, η ευθεία ΜΝ, κάθετη στην ΑΒ, είναι παράλληλη στις δύο δοθείσες ευθείες, και κάθε σημείο προς το ίδιο μέρος της ΜΝ, έστω προς το Α είναι πιο κοντά στο Α από το Β. 2. Αν Α, Β είναι δύο ανάλογα σημεία πάνω στις παράλληλες 1 και 2, και Α, Β δύο άλλα ανάλογα σημεία πάνω στις ίδιες ευθείες, τότε ΑΑ = ΒΒ και αντίστροφα. 70

71 3. Αν Α, Β, Γ είναι τρία σημεία πάνω στις παράλληλες 1, 2 και 3 αντίστοιχα, τέτοια ώστε τα Α, Β και Β, Γ να είναι ανάλογα, τότε και τα Α, Γ είναι ανάλογα. Η ιδέα των Ανάλογων Σημείων όταν συνδυαστεί με τρεις γραμμές μιας δέσμης (που σημαίνει με τρεις συντρέχουσες ευθείες) μας επιτρέπει να ορίσουμε τον κύκλο ως το γεωμετρικό τόπο των σημείων πάνω στις ευθείες μίας δέσμης που είναι ανάλογες με δοθέν σημείο. Αλλά ο γεωμετρικός αυτός τόπος μπορεί ακόμα να κατασκευαστεί και όταν οι ευθείες της δέσμης είναι παράλληλες. Στην Ευκλείδεια περίπτωση ο γεωμετρικός τόπος είναι ευθεία γραμμή. Αν όμως παραμερίσουμε την Ευκλείδεια υπόθεση, τότε ο εν λόγω γεωμετρικός τόπος είναι γραμμή που έχει αρκετές κοινές ιδιότητες με τον κύκλο, αλλά ο ίδιος δεν είναι κύκλος. Πράγματι, αν πάρουμε τρία οποιαδήποτε σημεία σε αυτόν, τότε δεν μπορούμε να σχεδιάσουμε ένα κύκλο που να διέρχεται από αυτά. Αυτή η γραμμή μπορεί να ληφθεί ως η οριακή περίπτωση ενός κύκλου, όταν η ακτίνα του γίνεται άπειρη. Στη Μη Ευκλείδεια Γεωμετρία του Lobachevsky και του Bolyai, αυτός ο γεωμετρικός τόπος παίζει έναν αρκετά σημαντικό ρόλο και καλείται οροκύκλος. Ο Gauss δεν χρειάστηκε να ολοκληρώσει αυτή την εργασία διότι το 1832 έλαβε από τον Farkas Bolyai ένα αντίγραφο της δουλειάς του γιου του János πάνω στην Απόλυτη Γεωμετρία. Από γράμματα πριν και μετά από την ημερομηνία κατά την οποία ο Gauss διέκοψε την εργασία του, γνωρίζουμε ότι είχε ανακαλύψει στη δική του Γεωμετρία μια Απόλυτη Μονάδα Μήκους και ότι μια σταθερά κ εμφανιζόταν στον τύπο του μέσω του οποίου όλα τα προβλήματα της Μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας θα μπορούσαν να λυθούν (γράμμα στον Taurinus, 8 Νοεμβρίου 1824). Μιλώντας πιο ολοκληρωμένα γι αυτά τα θέματα το 1831 (γράμμα στον Schumacher), έδωσε το μήκος της περιφέρειας του κύκλου ακτίνας ρ από τον τύπο: 71

72 πκ ( - ) - Σχετικά με το κ αναφέρει ότι αν επιθυμούμε να φτιάξουμε μια νέα Γεωμετρία που να συμφωνεί με τα δεδομένα της εμπειρίας, πρέπει να υποθέσουμε ότι το κ είναι απείρως μεγάλο συγκριτικά με όλες τις γνωστές μετρήσεις. - Για κ =, ο Gauss παίρνει την συνήθη μορφή της περιμέτρου ενός κύκλου. Το ίδιο συμβαίνει και με ολόκληρο το γεωμετρικό σύστημα του Gauss. Περιέχει το ευκλείδειο σύστημα ως οριακή περίπτωση, όταν το κ =. (Bonola, 1955, σελ. 67) (Φίλη, 2010, σελ. 107) Γ.3 Ferdinand Karl Schweikart - Franz Adolf Taurinus Οι έρευνες του καθηγητή του Jurisprudence, F. K. Schweikart, ( ), τοποθετούνται την ίδια περίοδο με εκείνες του Gauss, όμως είναι ανεξάρτητες από αυτές. Το 1807 δημοσίευσε το Die Theorie der Parallellinien nebst dem Vorschlage ihrer Verbannung aus der Geometrie (Η θεωρία των παραλλήλων μαζί με προτάσεις που εξαιρούνται από τη Γεωμετρία). Σε αντίθεση με ό, τι περιμένει κανείς βλέποντας αυτόν τον τίτλο, αυτή η εργασία δεν περιέχει μια διατριβή πάνω στις παράλληλες ανεξάρτητα από το 5ο Αίτημα, αλλά πρόκειται για μία διατριβή που βασίζεται πάνω στην ιδέα του παραλληλογράμμου. Αργότερα όμως ο Schweikart, έχοντας ανακαλύψει μια νέα τάξη ιδεών ανέπτυξε μια Γεωμετρία ανεξάρτητη από την περίφημη Ευκλείδεια υπόθεση. Στο Marburg, το Δεκέμβριο του 1818, παρέδωσε το υπόμνημα που ακολουθεί στο συνάδελφο του Gerling ζητώντας του να επικοινωνήσει με τον Gauss για να μάθει τη γνώμη του. 72

73 " Υπάρχουν δύο είδη γεωμετρίας, - μια γεωμετρία με την αυστηρή σημασία- η Ευκλείδεια, και μια Αστρική Γεωμετρία. Στο δεύτερο είδος γεωμετρίας, τα τρίγωνα έχουν την εξής ιδιότητα: το άθροισμα των τριών γωνιών δεν είναι ίσο με δύο ορθές γωνίες. Έχοντας υποθέσει κάτι τέτοιο, μπορούμε να αποδείξουμε αυστηρά ότι: 1. Το άθροισμα των τριών γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο από δύο ορθές γωνίες. 2. Το άθροισμα ελαττώνεται, όσο μεγαλώνει το εμβαδόν του τριγώνου. 3. Το ύψος ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου συνεχώς μεγαλώνει καθώς αυξάνονται οι πλευρές του, αλλά δεν μπορεί να γίνει μεγαλύτερο από ένα συγκεκριμένο μήκος, το οποίο το ονομάζω Σταθερά. Τα τετράγωνα έχουν, επομένως, τη μορφή που βλέπουμε στο σχήμα. Αν αυτή η Σταθερά ήταν για μας η Ακτίνα της Γης, (έτσι ώστε κάθε γραμμή σχεδιασμένη στο σύμπαν από ένα συγκεκριμένο αστέρι σε ένα άλλο, σε απόσταση 90 από το πρώτο, θα μπορούσε να ήταν εφαπτόμενη στην επιφάνεια της γης), θα ήταν απείρως μεγάλη, σε σύγκριση με τα διαστήματα που προκύπτουν στην καθημερινή ζωή. ΣΧΗΜΑ 1. Η Ευκλείδεια Γεωμετρία ισχύει μόνο αν υποθέσουμε πως η Σταθερά είναι άπειρη. Μόνο σε αυτή την περίπτωση αληθεύει ότι οι τρεις γωνίες κάθε τριγώνου είναι ίσες με δύο ορθές γωνίες. " 73

74 Η Αστρική Γεωμετρία (Astral Geometry) του Schweikart και η Μη Ευκλείδεια Γεωμετρία (Non- Euclidean) του Gauss αντιστοιχούν ακριβώς με τα συστήματα των Saccheri και Lambert για την Yπόθεση της Οξείας γωνίας. Πράγματι, το περιεχόμενο του παραπάνω υπομνήματος μπορεί να προκύψει απευθείας μέσω των θεωρημάτων του Saccheri καθώς και από το θεώρημα του Lambert για το εμβαδόν του τριγώνου. Επιπλέον, από τη στιγμή που ο Schweikart στη Θεωρία του (1807) αναφέρει τις έρευνες των δύο προηγούμενων, η άμεση επιρροή του Lambert και η τουλάχιστον έμμεση επιρροή του Saccheri πάνω στις έρευνες του επιβεβαιώνονται. Το Μάρτιο του 1819, ο Gauss απάντησε στον Gerling σχετικά με την Αστρική Γεωμετρία του Schweikart. Επαινεί τον Schweikart και δηλώνει ότι ήταν απόλυτα σύμφωνος με όσα είδε γραμμένα. Πρόσθεσε ότι είχε επεκτείνει την Αστρική Γεωμετρία σε τέτοιο βαθμό, που θα μπορούσε να λύσει όλα τα προβλήματα, αν του δινόταν η Σταθερά του Schweikart. Στο τέλος, δίνει το άνω όριο για το εμβαδόν του τριγώνου στο τύπο: Ο Schweikart δεν δημοσίευσε ποτέ τις έρευνές του. Θέλοντας να βρει κάποιον να συνεχίσει το έργο του, πείθει τον ανιψιό του Franz Adolf Taurinus ( ) να ασχοληθεί με την Αστρική Γεωμετρία. Ο Taurinus φαίνεται ότι γοητεύτηκε από αυτή και ξεκίνησε να μελετά σοβαρά το συγκεκριμένο θέμα. Οι πρώτες του έρευνες πάνω στην Αστρική Γεωμετρία τοποθετούνται κατά το έτος Εδώ θα πρέπει να σημειώσουμε πως οι απόψεις που διατυπώνονται διαφέρουν σε μεγάλο βαθμό από εκείνες του θείου του. Ο Taurinus όμως ήταν πεπεισμένος για την απόλυτη αλήθεια του 5ου αιτήματος, άποψη στην οποία ενέμεινε ως το τέλος. Όλες οι προσπάθειες και μελέτες του είχαν ως μοναδικό σκοπό την απόδειξη του Ευκλείδειου αιτήματος. Αν και 74

75 δεν πετυχαίνει στην πρώτη του προσπάθεια, βρισκόμενος υπό την επιρροή των Gauss και Schweikart, συνεχίζει να μελετά το ζήτημα. Το έτος 1825 δημοσιεύει την Theorie der Parallelinien, η οποία περιείχε, μεταξύ άλλων, μια μελέτη του θέματος των μη ευκλείδειων γραμμών, την απόρριψη της υπόθεσης της Αμβλείας γωνίας και μερικές έρευνες παρόμοιες με εκείνες των Saccheri και Lambert πάνω στην υπόθεση της Οξείας γωνίας. Έτσι, βρίσκει την Σταθερά του Schweikart, στην οποία έδωσε το όνομα "παράμετρος". Σκέφτηκε ότι μια απόλυτη μονάδα μήκους είναι αδύνατη και οδηγήθηκε στο συμπέρασμα ότι όλα τα συστήματα που αντιστοιχούν στον άπειρο αριθμό των τιμών της παραμέτρου, θα έπρεπε να ισχύουν ταυτόχρονα. Αλλά αυτό με την σειρά του θα οδηγούσε σε σκέψεις ασυμβίβαστες με την δική του άποψη για την έννοια του χώρου. Έτσι ο Taurinus σταδιακά οδηγείται στην απόρριψη της υπόθεσης της Οξείας γωνίας αν και αναγνώριζε την λογική συμβατότητα των προτάσεων οι οποίες έπονταν από αυτήν την υπόθεση. Το 1826 ο Taurinus δημοσίευσε το Geometriae Prima Elimenta, στο οποίο εμπεριέχεται μια βελτιωμένη εκδοχή των ερευνών της περασμένης χρονιάς. Αυτή η εργασία περιλαμβάνει ένα πολύ σημαντικό παράρτημα, στο οποίο ο συγγραφέας δείχνει με ποιόν τρόπο μπορούμε να κατασκευάσουμε, βασιζόμενοι στην υπόθεση της Οξείας γωνίας, ένα σύστημα αναλυτικής Γεωμετρίας. Έχοντας αυτό ως βασικό στόχο ο Taurinus ξεκινάει από τον θεμελιώδη τύπο της Σφαιρικής Τριγωνομετρίας και ύστερα από μία σειρά αποδείξεων και επισημάνσεων καταλήγει να επιβεβαιώσει μέσω των αποτελεσμάτων του τις «προβλέψεις» του Lambert για την τρίτη υπόθεση, εφόσον οι τύποι της Λογαριθμικής-Σφαιρικής Γεωμετρίας, ερμηνευμένοι αναλυτικά, δίνουν τις θεμελιώδες σχέσεις που συνδέουν τα στοιχεία ενός τριγώνου που βρίσκεται πάνω σε μια σφαίρα φανταστικής ακτίνας. Σύμφωνα με τον Taurinus, (αλλά και τον Lambert), υπάρχει αντιστοιχία ανάμεσα στην Σφαιρική Γεωμετρία και σε ένα σύστημα στο οποίο η υπόθεση της Αμβλείας γωνίας έχει ισχύ. Επιπλέον, η συνήθης Γεωμετρία με τη σειρά της αποτελεί μια σύνδεση ανάμεσα στην Σφαιρική και την Λογαριθμική-Σφαιρική Γεωμετρία. Αν και ο Taurinus ήταν σε θέση να ασχοληθεί με το θεωρητικό ενδιαφέρον που προέρχεται από την ενδεχόμενη ισχύ της Λογαριθμική-Σφαιρικής Γεωμετρίας στο επίπεδο, το πεδίο αυτό 75

76 μελέτης διέφυγε της προσοχής του. Η Μη Ευκλείδεια Γεωμετρία, ακριβώς όπως την αντιλήφθηκαν οι Gauss και Schweikart το 1816 μελετήθηκε ως ένα αφηρημένο σύστημα από τον Taurinus το (Bonola, 1955, σελ. 75) Γ.4 Nikolai Ivanovich Lobachevsky Ο Lobachevsky 13 ( ), που πλέον θεωρείται ένας από τους εξέχοντες Ρώσους μαθηματικούς, ήταν ένα από τα τρία παιδιά μιας όχι ιδιαίτερα εύπορης οικογένειας. Όταν ο Lobachevsky ήταν 7 ετών, ο πατέρας του πέθανε και η μητέρα του με τα τρία παιδιά της μετακόμισαν στο Kazan της δυτικής Ρωσίας. Παρακολούθησε το Πανεπιστήμιο του Kazan, παρά τις οικονομικές δυσχέρειες της οικογένειάς του και εκεί είχε την τύχη N. I. Lobachevsky (Πηγή: Φίλη, Οι Αρχαιοελληνικές Καταβολές των Σύγχρονων Μαθηματικών, σελ. 110) να συναντήσει πολλούς εξέχοντες καθηγητές (π.χ. J. M. Bartels ). Σε ηλικία 20 ετών κατορθώνει να γίνει μέλος του διδακτικού προσωπικού και το 1827 διορίζεται Πρύτανης του Πανεπιστημίου. Παρέμεινε στο Πανεπιστήμιο μέχρι τις τελευταίες μέρες της ζωής του και προσέφερε υπηρεσίες είτε ως δάσκαλος είτε ως διοικητικός. Κλήθηκε να αντιμετωπίσει σημαντικά προβλήματα, αφού τυφλώθηκε και ταυτόχρονα δεν φαινόταν να αναγνωρίζεται το έργο του. Στο βιβλίο των Boyer-Merzbach χαρακτηρίζεται ως ο "Κοπέρνικος της Γεωμετρίας" αφού ήταν εκείνος που έφερε την επανάσταση στα μαθηματικά. Δημιούργησε έναν καινούριο κλάδο και κατόρθωσε να αποδείξει πως η Ευκλείδεια γεωμετρία δεν ήταν απόλυτα ακριβής όπως θεωρούσαν για αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα. Το έργο του 13 Χρησιμοποιούμε τη γραφή του ονόματός του, όπως αυτή δίνεται στο βιβλίο των Boyer- Merzbach, Στη βιβλιογραφία συναντάται συχνά γραμμένο ως: Lobatchevskii (Φίλη, 2010), Lobatschewsky (Coxeter, 1998) (Bonola, 1955) κ.ά. 14 Ο ίδιος είχε προηγουμένως καθοδηγήσει και τον Gauss. 76

77 υποχρέωσε τον μαθηματικό κόσμο να επανεξετάσει θεμελιώδεις απόψεις της φύσης των μαθηματικών. Σύμφωνα με τον Lobachevsky: "Δεν υπάρχει κλάδος των μαθηματικών, όσο αφηρημένος κι αν είναι, ο οποίος δεν θα εφαρμοσθεί κάποια μέρα σε φαινόμενα του πραγματικού κόσμου." Η επαναστατική άποψη του Lobachevsky προφανώς δεν ήταν αποτέλεσμα κάποιας ξαφνικής και απρόσμενης έμπνευσης. Σε ένα εγχειρίδιο γεωμετρίας που έγραψε το 1823 ανέφερε χαρακτηριστικά πως ''ποτέ δεν βρέθηκε αυστηρή απόδειξη της αλήθειας του αξιώματος της παραλλήλου''. Ίσως εκείνη την εποχή να υποστήριζε ακόμα την πιθανότητα ύπαρξης μίας τέτοιας απόδειξης. Το 1826 διάβασε ένα άρθρο, γραμμένο στα γαλλικά όπου εκτός από τις αρχές της γεωμετρίας υπήρχε και "μία αυστηρή απόδειξη του θεωρήματος της παραλλήλου" (une demonstration rigoreuse du theoreme des parallels). To έτος αυτό ο Lobachevsky παρουσιάζει ορισμένα από τα βασικότερα θεωρήματα του νέου αντικειμένου. Το 1829 δημοσιεύει ένα άρθρο στο Kazan Messenger, με τίτλο Οι Αρχές της Γεωμετρίας. Εδώ τοποθετείται και η επίσημη αρχή της Μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Στα τρία χρόνια που μεσολαβούν από το 1826 έως το 1829 ο Lobachevsky είχε πεισθεί πως το 5ο αίτημα δεν ήταν δυνατό να αποδειχθεί από τα άλλα τέσσερα. Με το άρθρο του 1829 γίνεται ο πρώτος μαθηματικός που τολμά να προβεί σε δημοσίευση μίας γεωμετρίας της οποίας βάση ήταν μία υπόθεση ξεκάθαρα αντίθετη με το 5ο αίτημα. ''Από ένα σημείο λοιπόν Γ, που βρίσκεται εκτός μίας ευθείας ΑΒ, είναι δυνατό να φέρουμε περισσότερες από μία ευθείες στο επίπεδο, οι οποίες να μην τέμνουν την ΑΒ." Με αυτό το νέο αξίωμα ο Lobachevsky κατασκευάζει μία καινούρια αρμονικότατη γεωμετρία απομακρυσμένη από λογικές αντιφάσεις. Ήταν μία απόλυτα έγκυρη γεωμετρία αλλά ταυτόχρονα τόσο αντίθετη με την κοινή λογική. Γι' αυτό και ο ίδιος την ονόμασε Φανταστική Γεωμετρία. Φαίνεται πως ο Lobachevsky είχε συνειδητοποιήσει τη σημασία της ανακάλυψής του, καθώς από το 1835 έως το 1855 είχε γράψει τρείς πλήρεις περιγραφές της καινούριας Φανταστικής Γεωμετρίας. 77

78 Νέες Βάσεις Γεωμετρίας ( , στα ρώσικα ) Γεωμετρικές Αναζητήσεις της Θεωρίας των Παραλλήλων (1840, στα γερμανικά) Πανγεωμετρία ( 1855, στα γαλλικά και ρώσικα) Ο Gauss μαθαίνει για το έργο του Lobachevsky πάνω στις Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες από το δεύτερο βιβλίο, Γεωμετρικές Αναζητήσεις. Σε γράμματα προς τους φίλους του επαινούσε τις μελέτες του Lobachevsky αλλά ποτέ δεν υποστήριξε τη δημοσίευση του καθώς ήταν ιδιαίτερα επιφυλακτικός απέναντι στις αντιδράσεις συγκεκριμένων αντιπάλων του. Την ουσία της λύσης που δίνει στο πρόβλημα των παραλλήλων συνοψίζει ο ίδιος ο Lobachevsky στα εξής: " Στη γεωμετρία βρήκα κάποιες ατέλειες τις οποίες θεώρησα ως την αιτία, γιατί αυτή η επιστήμη, εκτός από τη μετάβασή της στην αναλυτική, δεν μπόρεσε να προοδεύσει πέρα από την κατάσταση που μας κληροδοτήθηκε από τον Ευκλείδη. Ατέλειες θεωρώ πως ήταν οι ασάφειες σε βασικές έννοιες γεωμετρικών μεγεθών, στον τρόπο και στη μέθοδο παρουσίασης της μέτρησης αυτών των μεγεθών και τελικά το σημαντικό ήταν να καλυφθεί το περίφημο κενό στη θεωρία των παραλλήλων που μέχρι τώρα όλες οι προσπάθειες των μαθηματικών απέβησαν μάταιες. Γι ' αυτή τη θεωρία οι προσπάθειες του Legendre δεν απέδωσαν αφού εξαναγκάστηκε να εγκαταλείψει το μόνο στέρεο δρόμο για να στραφεί σε έναν παράδρομο και να καταφύγει σε βοηθητικά θεωρήματα για τα οποία παράλογα αγωνίστηκε να τα εκθέσει ως απαραίτητα αξιώματα. Η πρώτη μου μελέτη για τη θεμελίωση της γεωμετρίας δημοσιεύτηκε το 1829 στον Αγγελιοφόρο του Καζάν. Με την ελπίδα πως ικανοποίησα όλες τις απαιτήσεις, ανέλαβα από τότε να αναθεωρήσω το σύνολο αυτής της επιστήμης και σε χωριστά μέρη να δημοσιεύσω την εργασία μου στις επιστημονικές δημοσιεύσεις του Πανεπιστημίου Του Καζάν το με τον τίτλο Καινούρια στοιχεία της γεωμετρίας με μία πλήρη θεωρία των παραλλήλων... το θέμα αυτό από την εποχή του Legendre έχει πάψει να ενδιαφέρει. Τώρα πιστεύω πως η θεωρία των παραλλήλων δεν πρέπει να χάσει την αξία της από τους γεωμέτρες και προτίθεμαι να εκθέσω εδώ την ουσία των ερευνών μου παρατηρώντας, αντίθετα με τη γνώμη του Legendre, πως όλες οι ατέλειες- π.χ. ο ορισμός της ευθείας γραμμής δείχνει ξένος εδώ και χωρίς καμία πραγματική επίδραση στη 78

79 θεωρία των παραλλήλων... Η ακαρπία των προσπαθειών από την εποχή του Ευκλείδη, σε ένα διάστημα 2000 ετών, με ανάγκασε να υποπτευθώ ότι αυτές οι ίδιες έννοιες δεν περιέχουν την αλήθεια που θέλουμε να αποδείξουμε αλλά ότι αυτή μπορεί να επαληθευτεί με την βοήθεια πειραμάτων π.χ. αστρονομικές παρατηρήσεις, όπως συμβαίνει στην περίπτωση άλλων φυσικών νόμων. Όταν τελικά πείστηκα για την ορθότητα της υπόθεσης μου και πίστεψα πως είχα λύσει το δύσκολο πρόβλημα, το 1826 έγραψα μία μελέτη για αυτό το θέμα." Από το 1823, οκτώ χρόνια δηλαδή μετά την προσήλωσή του σε αυτό το θέμα, έγραφε: " Όλες οι αποδείξεις οποιουδήποτε είδους μπορούν να θεωρηθούν απλώς διαυγείς αλλά δεν μπορούν να ονομασθούν μαθηματικές αποδείξεις με την πλήρη έννοια της λέξης. " Για τον Lobachevsky οι ίδιες έννοιες δεν περιέχουν την αλήθεια που θέλουμε να αποδείξουμε, δηλαδή το 5ο αίτημα δεν είναι άμεσο συμπέρασμα των θεμελιακών προτάσεων της Γεωμετρίας. Η Μη Ευκλείδεια Γεωμετρία, όπως έγινε αντιληπτή από τον Gauss και τον Schweikart το 1816 και έπειτα μελετήθηκε ως ένα αφηρημένο σύστημα από τον Taurinus το 1826, έγινε τελικά το ένα αναγνωρισμένο κομμάτι της γενικής επιστημονικής κληρονομιάς. Για να περιγράψει κανείς εν συντομία τη μέθοδο που ακολούθησε ο Lobachevsky στην κατασκευή της Φανταστικής Γεωμετρίας ή Πανγεωμετρίας, μπορεί να αντλήσει στοιχεία από το έργο του Γεωμετρικές Αναζητήσεις της Θεωρίας των Παραλλήλων (Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien). Σε αυτή την εργασία ο Lobachevsky, πρώτα από όλα εκθέτει μια ομάδα θεωρημάτων ανεξάρτητα από την θεωρία των παραλλήλων. Έπειτα θεωρεί μια δέσμη με κορυφή Α και μια ευθεία γραμμή ΒΓ που βρίσκεται στο επίπεδο της δέσμης, αλλά δεν ανήκει σ αυτό. Έστω ΑΔ η ευθεία της δέσμης που είναι κάθετη στη ΒΓ και ΑΕ η κάθετη στην ΑΔ. Στο Ευκλείδειο σύστημα η τελευταία γραμμή είναι η μόνη γραμμή που δεν τέμνει τη ΒΓ. Στη Γεωμετρία του Lobachevsky υπάρχουν και άλλες γραμμές της δέσμης που περνούν από το Α αλλά δεν τέμνουν τη ΒΓ. 79

80 ΣΧΗΜΑ 1. Οι γραμμές που τέμνουν τη ΒΓ χωρίζονται από εκείνες που δεν την τέμνουν από δύο γραμμές η και κ. Οι η και κ επίσης δεν τέμνουν τη ΒΓ. Αυτές οι γραμμές, που ο συγγραφέας αποκαλεί παράλληλες, έχουν μία συγκεκριμένη κατεύθυνση παραλληλίας. Η ευθεία η του σχήματος είναι παράλληλη στα δεξιά και η κ στα αριστερά. Η γωνία που σχηματίζεται από την κάθετη ΑΔ και με μια από τις παράλληλες ονομάζεται γωνία παραλληλίας για το μήκος ΑΔ. Ο Lobachevsky χρησιμοποιεί το σύμβολο Π(α) για να δηλώσει τη γωνία παραλληλίας που αντιστοιχεί στο μήκος α. Στη συνήθη Γεωμετρία ισχύει πάντα Π(α)= 90. Στη Γεωμετρία του Lobachevsky, είναι μια συνάρτηση του α, η οποία τείνει στις 90 όσο το α τείνει στο μηδέν και στις 0 όταν το α αυξάνεται απεριόριστα. Από τον ορισμό των παραλλήλων ο συγγραφέας καταλήγει στις πρωταρχικές τους ιδιότητες: Αν η ΑΕ είναι η παράλληλη στη ΒΓ για το σημείο Α, τότε είναι η παράλληλη στη ΒΓ προς αυτή την κατεύθυνση για κάθε σημείο της ΑΕ (μονιμότητα). Αν η ΑΕ είναι η παράλληλη στην ΒΓ, τότε και η ΒΓ είναι η παράλληλη στην ΑΕ (αμοιβαιότητα). Αν οι ευθείες (2) και (3) είναι παράλληλες στη (1), τότε η (2) και η (3) είναι παράλληλες μεταξύ τους (μεταβατικότητα). Αν οι ΑΕ και ΒΓ είναι παράλληλες, τότε η ΑΕ είναι ασυμπτωτική της ΒΓ. Τέλος, η "συζήτηση" για αυτά τα ερωτήματα προχωρά με θεωρήματα που αφορούν στο άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου. Πρόκειται για θεωρήματα ίδια με εκείνα που είχαν ήδη δοθεί πρώτα από τον Saccheri και έπειτα από τον Legendre. 80

81 Όμως, το πιο σημαντικό κομμάτι της Φανταστικής Γεωμετρίας είναι η κατασκευή των τύπων της τριγωνομετρίας. Για την κατασκευή των τύπων αυτών, ο συγγραφέας εισάγει δύο νέα σχήματα: τον οροκύκλο (horocycle) και την οροσφαίρα (horosphere). Αυτά τα σχήματα στην συνήθη Γεωμετρία, αντιστοιχούν στην ευθεία γραμμή και στο επίπεδο. Στην οροσφαίρα, η οποία είναι φτιαγμένη από άπειρους οροκύκλους, υπάρχει μια γεωμετρία ανάλογη με τη συνήθη Γεωμετρία, στην οποία οι οροκύκλοι παίρνουν τη θέση των ευθειών. Έτσι ο Lobachevsky πετυχαίνει το πρώτο αξιοσημείωτο αποτέλεσμα: Η Ευκλείδεια Γεωμετρία και συγκεκριμένα η συνήθης Επίπεδη Τριγωνομετρία ισχύουν στην οροσφαίρα. Αυτή η σημαντική ιδιότητα και μια άλλη σχετική με τους ομόκεντρους οροκύκλους εφαρμόστηκαν από τον Lobachevsky για την παραγωγή των τύπων της νέας Επίπεδης και Σφαιρικής Τριγωνομετρίας. Οι τύποι της Σφαιρικής Τριγωνομετρίας στο νέο σύστημα είναι ακριβώς οι ίδιοι με εκείνους της συνήθους Σφαιρικής.( Bonola, 1955, σελ. 87) Η Λογαριθμική-Σφαιρική Γεωμετρία του Taurinus είναι ταυτόσημη με την Φανταστική Γεωμετρία (Πανγεωμετρία) του Lobachevsky. Μέσα από συγκεκριμένες ενέργειες και τύπους ο Lobachevsky καταλήγει στα παρακάτω αποτελέσματα: Στην περίπτωση τριγώνων που οι πλευρές τους είναι πολύ μικρές (απειροελάχιστες) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους συνηθισμένους τριγωνομετρικούς τύπους ως τύπους της Φανταστικής Γεωμετρίας. Απειροελάχιστα ανώτερης τάξης παραλείπονται. Αν οι α, β, γ αντικατασταθούν από τα iα, iβ, iγ, οι τύποι της Φανταστικής Τριγωνομετρίας μετατρέπονται σε τύπους της Σφαιρικής Τριγωνομετρίας. Αν εισαχθεί ένα σύστημα συντεταγμένων στις δύο και τρεις διαστάσεις όμοιο με τις συνήθεις καρτεσιανές συντεταγμένες, μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος καμπύλων, το εμβαδόν επιφανειών και τον όγκο στερεών με μεθόδους αναλυτικής Γεωμετρίας. Πώς ο Lobachevsky παρακινήθηκε να διερευνήσει τη θεωρία των παραλλήλων και να ανακαλύψει τελικά τη Φανταστική Γεωμετρία; 81

82 Ο Bartels, καθηγητής του Lobachevsky στο Πανεπιστήμιο του Kazan, ήταν φίλος του Gauss. Αν τώρα αναλογιστούμε πως ο Bartels και ο Gauss ήταν μαζί στο Brunswick για δύο χρόνια πριν καλέσουν τον πρώτο στο Kazan (1807) και αργότερα αλληλογραφούσαν τακτικά, καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως μπορεί να ισχύει η υπόθεση άσκησης κάποιας επιρροής στο έργο του Lobachevsky. Πριν το 1807, ο Gauss είχε προσπαθήσει να λύσει το πρόβλημα των παραλλήλων και οι προσπάθειές του μέχρι εκείνη τη στιγμή δεν είχαν αποδώσει καρπούς. Κατά συνέπεια ο Bartels δεν μπορεί να είχε μάθει κάτι σημαντικό από τον Gauss. Επιπλέον, σε ό, τι αφορά τις μετέπειτα απόψεις του Gauss, είναι σχεδόν βέβαιο ότι ο Bartels δεν τις γνώριζε. Επομένως μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι ο Lobachevsky δημιούργησε τη Γεωμετρία του ανεξάρτητα από οποιαδήποτε επιρροή του Gauss. Σε αυτό το σημείο μπορούμε να αναφέρουμε άλλες επιρροές εκτός από εκείνη του Legendre: το έργο των Saccheri και Lambert, που είναι πιθανό να γνώριζε είτε άμεσα είτε έμμεσα από τους Klügel και Montucla. Σε κάθε περίπτωση, η αποτυχία των αποδείξεων των προγενέστερων του, είτε οι πρώτες ανώφελες δικές του έρευνες ( ), παρακίνησαν τον Lobachevsky, όπως συνέβη προηγουμένως και με τον Gauss, να πιστέψει ότι οι δυσκολίες που έπρεπε να ξεπεραστούν οφείλονταν σε λόγους διαφορετικούς από εκείνους που μέχρι τότε είχαν επισημανθεί. Ο Lobachevsky εκφράζει αυτή τη σκέψη του καθαρά στο έργο Τhe New Principles of Geometry του 1825, όπου αναφέρει: «Οι άκαρπες προσπάθειες που έγιναν, από την εποχή του Ευκλείδη, για ένα διάστημα 2000 χρόνων, αναδύουν μέσα μου την υποψία ότι η αλήθεια που επιθυμούμε να αποδείξουμε, δεν εμπεριέχεται στα ίδια τα δεδομένα. Για να θεμελιώσουμε κάτι τέτοιο θα ήταν απαραίτητη η βοήθεια του πειράματος, όπως π.χ. οι αστρονομικές παρατηρήσεις στην περίπτωση μελέτης άλλων νόμων της φύσης. Όταν τελικά πείστηκα για την ορθότητα του συλλογισμού μου και πίστεψα ότι είχα βρει απάντηση σε αυτό το δύσκολο ερώτημα, έγραψα, το 1826, ένα υπόμνημα γι αυτό το θέμα.» Απομένει να εξετάσουμε την σχέση της Πανγεωμετρίας του Lobachevsky με το ζήτημα του Ευκλείδειου αιτήματος. Αυτή η διερεύνηση στοχεύει στην κατασκευή της θεωρίας των παραλλήλων με τη χρήση μόνο των 28 πρώτων προτάσεων του Ευκλείδη. 82

83 Σε ό, τι αφορά αυτό το πρόβλημα, ο Lobachevsky έχοντας ορίσει την έννοια της παραλληλίας, προσδίδει σε αυτή τα διακριτικά γνωρίσματα της αμοιβαιότητας και της μεταβατικότητας. Η ιδιότητα της ίσης απόστασης φάνηκε στον Lobachevsky ως κάτι λογικό. Μακριά από την άρρηκτη σύνδεση με τις 28 πρώτες προτάσεις του Ευκλείδη, περιέχει ένα εντελώς καινούργιο στοιχείο. Η αλήθεια αυτής της δήλωσης προκύπτει απευθείας από την ύπαρξη της Πανγεωμετρίας, στην οποία οι παράλληλες ευθείες δεν είναι ισαπέχουσες αλλά ασυμπτωτικές. Επιπλέον, μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι η Πανγεωμετρία είναι μια επιστήμη στην οποία τα αποτελέσματα ακολουθούν λογικά το ένα το άλλο απαλλαγμένα από «εσωτερικές» αντιφάσεις. Για να αποδείξουμε κάτι τέτοιο, σύμφωνα με τον Lobachevsky, χρειάζεται μόνο να σκεφτούμε την αναλυτική μορφή μέσω της οποίας μπορεί να εκφραστεί. Αυτή η άποψη εκφράζεται από τον Lobachevsky, προς το τέλος της εργασίας του, με τον ακόλουθο τρόπο: «Τώρα που έχουμε δείξει, σε ό, τι προηγήθηκε, τον τρόπο με τον οποίο τα μήκη των καμπυλών, και οι επιφάνειες και οι όγκοι των στερεών μπορούν να υπολογιστούν, είμαστε σε θέση να ισχυριστούμε ότι η Πανγεωμετρία είναι ένα πλήρες σύστημα γεωμετρίας. Μια απλή ματιά στις εξισώσεις που εκφράζουν τις υπάρχουσες σχέσεις ανάμεσα στις πλευρές και τις γωνίες των επίπεδων τριγώνων, είναι αρκετή για να διαπιστωθεί ότι η Πανγεωμετρία γίνεται ένας κλάδος της ανάλυσης, περιλαμβάνοντας και επεκτείνοντας τις αναλυτικές μεθόδους της συνήθους Γεωμετρίας. Μπορούμε να αρχίσουμε την έκθεση της Πανγεωμετρίας με αυτές τις εξισώσεις. Έπειτα, μπορούμε να προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε αυτές τις εξισώσεις με άλλες που να μπορούν να εκφράσουν τις σχέσεις ανάμεσα τις πλευρές και τις γωνίες κάθε επίπεδου τριγώνου. Παρ' όλα αυτά, στην τελευταία περίπτωση, είναι αναγκαίο να δείξουμε ότι αυτές οι νέες εξισώσεις είναι σύμφωνες με τις θεμελιώδεις έννοιες της γεωμετρίας. Οι σταθερές εξισώσεις που προέκυψαν από τις θεμελιώδεις έννοιες, πρέπει απαραιτήτως να είναι σύμφωνες με αυτές, και όλες οι εξισώσεις που θα μπορούσαν να τις αντικαταστήσουν, αν δεν μπορούν να παραχθούν από τις εξισώσεις, μπορεί να οδηγήσουν σε αποτελέσματα που έρχονται σε 83

84 αντίθεση με τις εν λόγω έννοιες. Επομένως, οι εξισώσεις μας είναι η βάση της πιο γενικής γεωμετρίας, αφού δεν στηρίζονται πάνω στην υπόθεση ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου στο επίπεδο είναι ίσο με δύο ορθές γωνίες.» (Bonola, 1955, σελ , 90-94) (Φίλη, 2010, σελ. 110) Γ.5 János Bolyai Ο János Bolyai ( ), Ούγγρος αξιωματικός του Αυστριακού στρατού και γιος του Farkas 15 Bolyai, είναι εκείνος στον οποίο -μαζί με τον Lobachevsky- «χρεώνεται» η ανακάλυψη της Μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Ο Bolyai γνώρισε και διδάχθηκε τα μαθηματικά από τον πατέρα του και από πολύ νωρίς έδειξε ότι είχε κλίση σε αυτή την επιστήμη. Η διδασκαλία Janos Bolyai (Πηγή: Φίλη, Οι Αρχαιοελληνικές Καταβολές των Σύγχρονων Μαθηματικών, σελ. 122) του πατέρα του Farkas κέντρισε γρήγορα το ενδιαφέρον του János πάνω στο 5ο αίτημα, το οποίο θεώρησε ότι έπρεπε να αποδείξει. Ο πατέρας του, από την πλευρά του, έχοντας δοκιμάσει μεγάλη απογοήτευση από την ενασχόλησή του με το 5 ο αίτημα προσπάθησε να αποτρέψει την εμπλοκή του γιού του με το συγκεκριμένο θέμα. Στο παρακάτω απόσπασμα φαίνεται να δείχνει μέσα από τα λεγόμενα του πως όλες οι άκαρπες προσπάθειες του να αποδείξει το 5 ο αίτημα επηρέασαν σε πολύ μεγάλο βαθμό τη ζωή του. Θα έλεγε κανείς πως αφήνει να εννοηθεί ένα είδος εμμονής του. Έτσι δικαιολογείται η όλη προσπάθεια του να αποτρέψει τον γιο του να ασχοληθεί με το Ευκλείδειο Αίτημα. "Δεν πρέπει να επιχειρήσεις αυτήν την προσέγγιση στις παράλληλες. Γνωρίζω αυτόν το δρόμο πολύ καλά ως το τέλος του. 'Εχω διασχίσει αυτήν την απύθμενη νύχτα που έσβησε όλο το φως και τη χαρά από τη ζωή μου. Σε ικετεύω, παράτησε αυτήν την επιστήμη των 15 Ο πατέρας του János Bolyai, Farkas, είναι πιθανό να εμφανίζεται με το όνομα Wolfgang Bolyai 84

85 παραλλήλων στην ησυχία της. Να την αποστρέφεσαι όπως αποστρέφεται κανείς το πρόστυχο κρεβάτι. Είναι ικανή να σου στερήσει την ανάπαυση, την υγεία, τη σκέψη και όλη την ευτυχία της ζωής σου. Αυτή η αβυσσαλέα σκοτεινιά θα μπορούσε ίσως να καταπιεί χίλιους Νεύτωνες." (Davis, 2007,σελ. 117) "Για τ' όνομα του Θεού, σε εξορκίζω, παράτησέ τα. Να μην τα φοβάσαι λιγότερο από τα σωματικά πάθη γιατί, και αυτά, μπορούν να απορροφήσουν όλο σου τον χρόνο, να σε εξαντλήσουν και να σου στερήσουν την ζωή." Ο γιος, από την πλευρά του, δεν μεταπείστηκε καθόλου. Αντίθετα, συνέχισε τις προσπάθειές του έως το 1829, οπότε και κατέληξε στο συμπέρασμα που είχε καταλήξει πριν από λίγα χρόνια ο Lobachevsky. Αντί λοιπόν να προσπαθήσει να αποδείξει το αδύνατο, ανέπτυξε αυτό που ονόμασε "Απόλυτη Επιστήμη του Χώρου", ξεκινώντας από την υπόθεση ότι από ένα σημείο εκτός μίας ευθείας μπορούμε να φέρουμε απείρως πολλές ευθείες στο επίπεδο, όλες παράλληλες προς τη δεδομένη ευθεία. Ο Janos έστειλε τις σκέψεις του στον πατέρα του, ο οποίος τις δημοσίευσε με τη μορφή παραρτήματος σε μία μελέτη που είχε ο ίδιος γράψει, με ένα μεγάλο λατινικό τίτλο που άρχιζε με τη λέξη "Tentamen". Το Tentamen του γηραιού Bolyai φέρει ένα ''τυποθήτω'' με ημερομηνία που τοποθετείται το 1829, την ίδια χρονιά δηλαδή που συναντάμε το άρθρο του Lobachevsky στο Kazan Messenger. Δεν δημοσιεύτηκε όμως πριν από το Η αντίδραση του Gauss στην Απόλυτη Επιστήμη του Χώρου, ήταν παρόμοια με αυτή που αντιμετώπισε και ο Lobachevsky. Υπήρξε αποδοχή από την πλευρά του αλλά καμία ενθάρρυνση για δημοσίευση. Όταν ο Farkas Bolyai τού έγραψε για να ζητήσει τη γνώμη του πάνω στην ανορθόδοξη δουλειά του γιού του, ο Gauss απάντησε ότι δεν μπορούσε να επαινέσει το έργο του Janos, γιατί αυτό θα σήμαινε πως επαινεί τον ίδιο του τον εαυτό αφού και εκείνος είχε διατυπώσει τις ίδιες απόψεις. Ο Janos προφανώς ενοχλήθηκε αφού φοβήθηκε πως θα χάσει την πατρότητα των ιδεών του. Η έλλειψη αναγνώρισης του έργου του συνεχιζόταν. Ταυτόχρονα το γεγονός ότι δημοσιεύτηκε το έργο του Lobachevsky (1840) στα γερμανικά αναστάτωσε τόσο τον Janos που δεν επιχείρησε να δημοσιεύσει άλλα αποτελέσματα από τις έρευνές του. Παρακάτω θα 85

86 δούμε πιο αναλυτικά πως έφτασαν τα αποτελέσματα του έργου του János Bolyai στα χέρια του Gauss και ποια ήταν η αντίδραση του τελευταίου. Η θεωρία των παραλλήλων λοιπόν είχε γίνει η αγαπημένη ασχολία του νεαρού μαθηματικού στη διάρκεια φοίτησης του στο Royal College for Engineers στη Βιέννη ( ). Την ίδια εποχή, ο Bolyai ήταν στενός φίλος με τον Carl Szász ( ). Οι δύο φοιτητές έκαναν συγκεκριμένες συζητήσεις που φαίνεται να φύτεψαν ιδέες στο μυαλό του Bolyai. Οι ιδέες αυτές με τη σειρά τους οδήγησαν στη δημιουργία της Απόλυτης Επιστήμης του Χώρου. Φαίνεται ότι στον Szász οφείλεται η ιδέα να θεωρήσει την παράλληλη από ένα σημείο Β σε μια άλλη ευθεία ΑΜ, ως οριακή θέση της τέμνουσας ΒΓ στρεφόμενης προς μία συγκεκριμένη κατεύθυνση γύρω από το Β. Η ΒΓ θεωρείται παράλληλη της ΑΜ, όταν η ΒΓ, στη γλώσσα του Szász, αποσπάται από την ΑΜ. Σε αυτή την παράλληλη ο Bolyai έδωσε το όνομα ασυμπτωτική ή ασύμπτωτη παράλληλη. Από τις συζητήσεις των δύο φίλων απορρέει η έννοια της ισαπέχουσας γραμμής από μια ευθεία καθώς και η σημαντική ιδέα του Παρακύκλου 16. Επιπλέον, 16 Πρόκειται για την οριακή καμπύλη ή τον οροκύκλο του Lobachevsky. 86

87 διαπίστωσαν ότι το 5ο Αίτημα θα μπορούσε να αποδειχθεί, αν έδειχναν ότι ο Παρακύκλος είναι ευθεία γραμμή. Όταν ο Szász έφυγε από τη Βιέννη, στις αρχές του 1821, για να αναλάβει τη θέση καθηγητή της Νομικής στο Κολέγιο της Nagy-Enyed στην Ουγγαρία, ο Bolyai συνέχισε τις έρευνές του στο επίπεδο όμως των εικασιών. Μέχρι το 1820, ήταν αφοσιωμένος στην απόδειξή του 5ου αιτήματος, ακολουθώντας μεθόδους παρόμοιες με εκείνες των Saccheri και Lambert. Μάλιστα η αλληλογραφία που είχε με τον πατέρα του δείχνει ότι κάποια στιγμή πίστεψε ότι είχε πετύχει τον στόχο του. Η αναγνώριση των λαθών του ήταν η αφορμή για την αποφασιστική αλλαγή στη θεώρηση των πραγμάτων, που τον οδήγησαν τελικά στις μελλοντικές του ανακαλύψεις. Έμεινε πιστός στην άποψη ότι «δεν πρέπει κάποιος να φέρεται βίαια στη φύση ούτε και να τη μοντελοποιεί σύμφωνα με οποιαδήποτε τυφλά διαμορφωμένη χίμαιρα. Από την άλλη μεριά κάποιος πρέπει να θεωρήσει τη φύση ως κάτι δικαιολογημένο και φυσιολογικό, όπως θα αντιμετώπιζε κανείς την αλήθεια, και να ικανοποιείται μόνο με μια αναπαράσταση της, που της επιφέρει τη μικρότερη δυνατή απόκλιση». Από εκείνη τη στιγμή και έπειτα, ο Bolyai ασχολήθηκε με την κατασκευή της απόλυτης θεωρίας του χώρου, ακολουθώντας τις κλασσικές μεθόδους των Ελλήνων. Πρόκειται για την επαγωγική μέθοδο, χωρίς να έχει αποφασιστεί εκ των προτέρων η αλήθεια ή το ψεύδος του 5ου Αιτήματος. Ήδη από το 1823 ο Bolyai είχε αντιληφθεί την πραγματική φύση του προβλήματος. Οι μετέπειτα προσθήκες του αφορούσαν στο υλικό και την τυπική έκφρασή του. Εκείνο το χρονικό διάστημα ανακάλυψε τον τύπο: που συνδέει τη γωνία παραλληλίας με τη γραμμή στην οποία αντιστοιχεί. Αυτή η εξίσωση είναι το κλειδί όλης της Μη Ευκλείδειας Τριγωνομετρίας. Για να κάνουμε πιο κατανοητές τις ανακαλύψεις που έκανε ο János Bolyai την εποχή εκείνη, παραθέτουμε ένα απόσπασμα από ένα γράμμα που έστειλε ο ίδιος στον πατέρα του στις 3 Νοεμβρίου του 1823: 87

88 «Έχω πάρει την απόφαση να δημοσιεύσω μια εργασία στη θεωρία των παραλλήλων μόλις βάλω σε τάξη το σχετικό υλικό μου και μου το επιτρέψουν οι περιστάσεις ο στόχος δεν έχει ακόμα επιτευχθεί, έχω όμως προχωρήσει σε τόσο θαυμάσιες ανακαλύψεις που με έχουν σχεδόν συνεπάρει και η απώλεια τους θα ήταν πηγή ατέρμονης λύπης έχω δημιουργήσει ένα καινούριο σύμπαν από το τίποτα. Ό, τι σου έχω στείλει ως τώρα δεν είναι παρά ένα σπίτι από τραπουλόχαρτα, συγκρινόμενο με έναν πύργο». (Davis, 2007,σελ. 117) Ο Farkas φαίνεται να είχε αντιληφθεί πως οι ιδέες του γιου του πιθανότατα να βρίσκονταν και στις σκέψεις άλλων, πράγμα που σήμαινε πως θα μπορούσαν κάλλιστα να δημοσιευτούν. Αλλάζοντας λοιπόν την στάση που επισημάναμε προηγουμένως γράφει στον γιό του: "Αν έχεις πραγματικά επιτύχει κάτι καλό σχετικά με το πρόβλημα, θα ήταν ενδεδειγμένο να μην καθυστερήσεις τη δημοσιοποίηση του για δύο λόγους: πρώτα, διότι οι ιδέες εύκολα περνούν από τον ένα στον άλλο και είναι πολύ πιθανό κάποιος να σε προλάβει στη δημοσίευση των αποτελεσμάτων. Κατά δεύτερο λόγο, πρέπει να ξέρεις πως για πολλά πράγματα υπάρχει μια ορισμένη εποχή κατά την οποία αυτά ευδοκιμούν ταυτόχρονα σε πολλά μέρη, όπως για παράδειγμα οι βιολέτες την άνοιξη. Επίσης, κάθε επιστημονική διαπάλη συνιστά σοβαρό πόλεμο, του οποίου το τέλος δεν μπορώ να πω πότε έρχεται. Οφείλουμε, επομένως, να προχωρούμε σε κατακτήσεις όταν είμαστε σε θέση, μια και ο πρώτος έχει πάντοτε σημαντικό πλεονέκτημα.» (Davis, 2007,σελ. 117) Εκείνο το χρονικό διάστημα ο Farkas Bolyai δεν μπορούσε να φανταστεί πως το προαίσθημά του θα αντιστοιχούσε σε κάτι που πράγματι θα συνέβαινε. Πρόκειται για τη σχεδόν ταυτόχρονη ανακάλυψη της Μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας μέσα από το έργο των Gauss, Taurinus και Lobachevsky. Το 1825 ο Janos Bolyai έστειλε ένα απόσπασμα της δουλειάς του στον πατέρα του Farkas και στον J. Walter Von Eckwehr ( ), που ήταν παλιός του καθηγητής στην Στρατιωτική Σχολή. Επιπλέον το 1829 έστειλε τα χειρόγραφά του στον πατέρα του. Ο Farkas δεν έμεινε απόλυτα ικανοποιημένος, διότι δεν μπορούσε να καταλάβει γιατί μια ακαθόριστη σταθερά έπρεπε να εισαχθεί στον τύπο του János. Παρ' όλα αυτά, 88

89 πατέρας και γιος συμφώνησαν να δημοσιεύσουν τη νέα θεωρία ως παράρτημα στον πρώτο τόμο του Tentamen.Ο τίτλος της εργασίας του János Bolyai ήταν ο ακόλουθος: «Παράρτημα που περιέχει την απολύτως αληθή επιστήμη του χώρου, ανεξάρτητη από την αλήθεια ή το ψεύδος του Αξιώματος ΧΙ του Ευκλείδη που δεν μπορεί να αποφασιστεί a priori». Το έργο αυτό του Bolyai αποστέλλεται δια αλληλογραφίας στον Gauss. Ο τελευταίος προβαίνει στην εξής απάντηση προς τον Bolyai: ''Αν ξεκινούσα λέγοντας ότι δεν μπορώ να επαινέσω αυτή την εργασία, θα μένατε, φυσικά, εμβρόντητος για λίγο. Αλλά δεν μπορώ να κάνω διαφορετικά. Επαινώντας την θα ήταν σαν να επαινούσα τον εαυτό μου. Πράγματι, το πλήρες περιεχόμενο της εργασίας, το μονοπάτι που ακολούθησε ο γιος σας, τα αποτελέσματα στα οποία αυτό τον οδήγησε, συμπίπτουν σχεδόν απόλυτα με τις σκέψεις που διακατείχαν εν μέρει το νου μου τα τελευταία τριάντα με τριάντα πέντε χρόνια. Γι αυτό η αντίδρασή μου υπήρξε αρκετά ψύχραιμη. Έως τώρα και σε σχέση με το έργο μου, μικρό μέρος του οποίου υπάρχει τυπωμένο, πρόθεσή μου ήταν να μην επιτρέψω τη δημοσίευσή του όσο ζω. Πράγματι η πλειονότητα των ανθρώπων δεν έχει ξεκάθαρη ιδέα για το θέμα περί του οποίου συζητούμε, και έχω καταλήξει στο συμπέρασμα ότι πολύ λίγοι είναι εκείνοι που θα μπορούσαν να δείξουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον για ό, τι θα τους ανέφερα επ αυτού. Για την επίδειξη ενός τέτοιου ενδιαφέροντος θα έπρεπε πρωτίστως να έχουν σκεφτεί προσεκτικά για την πραγματική φύση του ζητουμένου, όπου όμως όλα είναι ρευστά και αβέβαια. Από την άλλη, σκόπευα να τα γράψω όλα αυτά αργότερα τουλάχιστον, ώστε να μη χαθούν μαζί μου. Είναι συνεπώς ευχάριστη έκπληξη το ότι γλιτώνω από αυτήν έγνοια, και χαίρομαι που ο γιος του παλιού μου φίλου είναι εκείνος ο οποίος παραλαμβάνει τη σκυτάλη από μένα με τέτοιο αξιοσημείωτο τρόπο." Αν και ο Farkas έμεινε ικανοποιημένος με αυτή την απάντηση, ο János δεν φάνηκε να συμμερίζεται την άποψη του πατέρα του. Δεν ήταν σε θέση να δεχτεί πως και άλλοι ανεξάρτητα και πριν από τον ίδιο, είχαν ανακαλύψει την Μη Ευκλείδεια Γεωμετρία. Επιπλέον, είχε την υποψία πως ο πατέρας του είχε μεταβιβάσει στον Gauss τις ανακαλύψεις του πριν του στείλει την εργασία του ίδιου του J. Bolyai με αποτέλεσμα ο τελευταίος να έμπαινε σε μία διαδικασία οικειοποίησης της πατρότητας της ανακάλυψης της Μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Έτσι, παρόλο που αργότερα κατάλαβε 89

90 ότι οι υποψίες που τον βασάνιζαν ήταν αβάσιμες ο János φαίνεται πως πάντα ήταν αρνητικά διακείμενος απέναντι στον Gauss γι αυτό και τον αντιμετώπιζε με μια αδικαιολόγητη αντιπάθεια και δυσπιστία. Ακολουθεί μία σύντομη περιγραφή των πιο σημαντικών αποτελεσμάτων που είναι δυνατό να βρει κανείς στο έργο του János Bolyai: 1. Ο ορισμός των παραλλήλων και οι ιδιότητες τους δεν εξαρτώνται από το Ευκλείδειο Αίτημα. 2. Κύκλος και σφαίρα με άπειρη ακτίνα. Η γεωμετρία πάνω στην σφαίρα άπειρης ακτίνας ταυτίζεται με την συνήθη Επίπεδη Γεωμετρία. 3. Η Σφαιρική Τριγωνομετρία είναι ανεξάρτητη από το Ευκλείδειο Αίτημα. Άμεση απόδειξη των τύπων. 4. Επίπεδη τριγωνομετρία στην Μη Ευκλείδεια Γεωμετρία. Εφαρμογές στον υπολογισμό εμβαδών και όγκων. 5. Προβλήματα που μπορούν να λυθούν με στοιχειώδεις μεθόδους. Τετραγωνισμός του κύκλου υπό την υπόθεση ότι το Πέμπτο Αίτημα δεν ισχύει. Ο Lobachevsky ανέπτυξε πλήρως τη Φανταστική Γεωμετρία κυρίως από την πλευρά της ανάλυσης, ενώ ο Bolyai μελέτησε πιο ολοκληρωμένα το ζήτημα της ανεξαρτησίας των θεωρημάτων της Γεωμετρίας από το Ευκλείδειο Αίτημα. Επιπλέον, όσο ο Lobachevsky επιχειρούσε να κατασκευάσει ένα σύστημα γεωμετρίας βασισμένο στην άρνηση του 5ου Αιτήματος, ο Bolyai έφερνε στο φως προτάσεις και κατασκευές της συνήθους Γεωμετρίας που είναι ανεξάρτητες από το 5ο Αίτημα. Τέτοιες προτάσεις, τις οποίες ονομάζει απολύτως αληθείς, σχετίζονται με την Απόλυτη Επιστήμη του χώρου. Είναι δυνατό να βρούμε προτάσεις της εν λόγω επιστήμης συγκρίνοντας τη Γεωμετρία του Ευκλείδη με εκείνη του Lobachevsky. Οτιδήποτε έχουν κοινό, όπως για παράδειγμα οι τύποι της Σφαιρικής Τριγωνομετρίας, ανήκει στην Απόλυτη Γεωμετρία. Όμως ο 90

91 János Bolyai δεν ακολούθησε αυτό το μονοπάτι. Το γεγονός αυτό δείχνει άμεσα πως η αλήθεια των υποθέσεών του δεν εξαρτάται από το Ευκλείδειο Αίτημα. (Bonola, σελ ) (Φίλη, 2010, σελ. 122) Γ.6. Georg Friedrich Bernhard Riemann Όντας γιος ιερέα ο G. F. B. Riemann ( ) δεν μεγάλωσε σε ιδανικές συνθήκες παραμένοντας καθ' όλη τη διάρκεια της ζωής του φιλάσθενος. Παρ' όλες τις δυσκολίες που αντιμετώπισε κατόρθωσε να αποκτήσει καλή εκπαίδευση, ξεκινώντας από το Βερολίνο και συνεχίζοντας στο Gottingen. Εκεί ολοκλήρωσε το διδακτορικό του με μία διατριβή που αναφερόταν G.F. B. Riemann (Πηγή: Φίλη, Οι Αρχαιοελληνικές Καταβολές των Σύγχρονων Μαθηματικών, σελ. 130) στη θεωρία συναρτήσεων μίας μιγαδικής μεταβλητής. Μέσα σε αυτή τη διατριβή μπορεί κανείς να συναντήσει τις αποκαλούμενες ως Cauchy- Riemann εξισώσεις. Επιπλέον εκτός από αυτές τις εξισώσεις μέσω της διατριβής του αναδείχθηκε η έννοια της επιφάνειας Riemann που με τη σειρά της προανήγγειλε το ρόλο που θα έπαιζε η τοπολογία στην ανάλυση. Κατά το έτος 1854 και σε ηλικία 28 ετών, ο Riemann έγινε Privatdozent στο Πανεπιστήμιο του Gottingen και σύμφωνα με την παράδοση έπρεπε να εκφωνήσει ένα Habilitationsschrift 17 μπροστά στους συναδέλφους του. Αποτέλεσμα αυτού ήταν η πιο διάσημη ομιλία στην ιστορία των μαθηματικών γιατί ουσιαστικά ήταν μία βαθιά και ευρεία άποψη ολόκληρου του τομέα της γεωμετρίας. Η διατριβή, με τίτλο " Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen" που σημαίνει "Περί των Υποθέσεων πάνω στις οποίες θεμελιώνεται η Γεωμετρία" δεν πρόσφερε κάποιο 17 Εκφωνήθηκε το 1854, αλλά εκδόθηκε το

92 συγκεκριμένο παράδειγμα. Ήταν περισσότερο μία άποψη της γεωμετρίας ως μελέτη των πολλαπλοτήτων οποιασδήποτε διάστασης σε χώρο κάθε είδους. Από την αρχή της ομιλίας του εξηγεί τι είναι η γεωμετρία καθώς έχει αναθέσει στον εαυτό του: " το έργο της κατασκευής της έννοιας μίας πολλαπλά εκτεταμένης ποσότητας από τις γενικές έννοιες περί ποιότητας. Θα δειχθεί ότι μια πολλαπλά εκτεταμένη ποσότητα επιδέχεται ποικίλες μετρικές σχέσεις, με αποτέλεσμα ο χώρος να αποτελέσει μόνο μία ειδική περίπτωση μιας τριπλά εκτεταμένης ποσότητας. Ωστόσο από αυτό προκύπτει, ως αναγκαία συνέπεια, ότι τα θεωρήματα της γεωμετρίας δεν μπορούν να εξαχθούν από την εμπειρία, είναι εκείνες οι ιδιότητες που διακρίνουν τον χώρο από άλλες αντιληπτές τριπλά εκτεταμένες ποσότητες." Στο πρώτο μέρος του εναρκτήριου μαθήματος του, παρουσιάζει την πιο γενική του έννοια, την έννοια της πολλαπλότητας. Κατασκευάζει λοιπόν την n-διάστατη πολλαπλότητα επαγωγικά, ξεκινώντας με την ιδέα της μονοδιάστατης πολλαπλότητας ή καμπύλης "το βασικό χαρακτηριστικό της είναι, ότι από οποιοδήποτε σημείο πάνω της είναι δυνατή μία συνεχής κίνηση προς δύο μόνο διευθύνσεις προς τα εμπρός και προς τα πίσω. Όταν αυτή η πολλαπλότητα περνά σε μία άλλη, εντελώς διαφορετική μ' ένα καλά καθορισμένο τρόπο, δηλαδή σε κάθε καθορισμένο σημείο της άλλης τότε δημιουργείται μία δισδιάστατη πολλαπλότητα. Όμοια μία τρισδιάστατη πολλαπλότητα περνά μ' έναν συνεχή προσδιορισμένο τρόπο σε μία πλήρως διαφορετική και με τον ίδιο τρόπο φθάνει σε μεγαλύτερες διαστάσεις.'' Στο δεύτερο μέρος της διάλεξής του ο Riemann ασχολείται με την ιδέα της μετρικής σχέσης στην πολλαπλότητα καθορίζοντας το μήκος της καμπύλης στην πολλαπλότητα ανεξάρτητα από τη θέση της. Ο Klein θεωρεί πως ο Riemann λαμβάνοντας το χώρο ως μια ιδιαίτερη περίπτωση μίας τριπλά εκτεταμένης αριθμητικής πολλαπλότητας στην οποία το τετράγωνο του στοιχειώδους τόξου εκφράζεται ως το τετράγωνο των διαφορικών συντεταγμένων. Ο Riemann από την πλευρά του παραμένει πιστός στη βασική του ιδέα να ερμηνεύσει τις ιδιότητες των πραγματικών από την συμπεριφορά τους στο απειροστό. 92

93 Για να μπορέσει να εργαστεί σε καμπύλες πολλαπλότητας, ο Riemann κατασκευάζει ειδικές συντεταγμένες ( αυτές που σήμερα ονομάζονται συντεταγμένες Riemann) και με αυτές ορίζει την έννοια της καμπυλότητας, γενικεύοντας την ιδέα του Gauss εισάγει την έννοια της καμπυλότητας του χώρου. Έχοντας λοιπόν τις παραπάνω μετρικές σχέσεις, στο 3ο μέρος του λόγου του διατυπώνει την δυνατότητα μετατόπισης ενός σχήματος χωρίς παραμόρφωση. Οι σχέσεις αυτές αντιστοιχούν σε μια ευρύτερη γεωμετρία από την τρισδιάστατη ευκλείδεια γεωμετρία. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία η καμπυλότητα του χώρου είναι παντού μηδενική. Οι πολλαπλότητες των οποίων η καμπυλότητα είναι σταθερή, είναι εκείνες που τα σχήματα κινούνται μέσα τους χωρίς να εκταθούν. Έτσι οι πολλαπλότητες οι οποίες έχουν μηδενική καμπυλότητα μπορούν να θεωρηθούν ως ειδική περίπτωση των πολλαπλοτήτων σταθερής καμπυλότητας.σε αυτούς τους χώρους το άθροισμα των γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι διάφορο των δύο ορθών. Αν η καμπυλότητα είναι αρνητική τότε το άθροισμα των γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι μικρότερο των δύο ορθών (γεωμετρία Lobachevsky- Bolyai). Αν η καμπυλότητα είναι θετική, τότε το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερο των δύο ορθών. Οι γεωμετρίες του Riemann είναι Μη Ευκλείδειες κατά μία πολύ γενικότερη έννοια από αυτή που είχε προτείνει προηγουμένως ο Lobachevksy. Το ερώτημα έχει να κάνει με το πόσες παράλληλες μπορούμε να φέρουμε, οι οποίες να διέρχονται από ένα σημείο. Ο Riemann παρατήρησε πως η γεωμετρία δεν θα έπρεπε να ασχολείται με σημεία ή ευθείες ή ακόμη και το χώρο με τη συνήθη έννοια. Αντίθετα, θα πρέπει να ασχολείται με σύνολα διατεταγμένων n- διανυσμάτων τα οποία συνδυάζονται σύμφωνα με συγκεκριμένους κανόνες. Ο Riemann λοιπόν έρχεται να παρατηρήσει πως σε κάθε γεωμετρία, ένας από τους σημαντικότερους κανόνες είναι αυτός της εύρεσης της απόστασης ανάμεσα σε δύο σημεία που είναι απείρως κοντά. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία αυτή η συνάρτηση αποστάσεως δίνεται από την. Μπορούν βέβαια να χρησιμοποιηθούν πολλοί άλλοι τύποι ως τύποι απόστασης και η συνάρτηση απόστασης είναι αυτή που καθορίζει τις ιδιότητες του χώρου ή της γεωμετρίας. Ένας χώρος, του οποίου η συνάρτηση απόστασης είναι της μορφής: 93

94 και g σταθερές ή γενικότερα συναρτήσεις των x, y και z ονομάζεται χώρος Riemann. Άρα, ο Ευκλείδειος χώρος είναι μία μόνο πολύ ειδική περίπτωση ενός χώρου Riemann, στον οποίο g11, g22, g23 1 και όλα τα υπόλοιπα g είναι ίσα με το μηδέν. Επιπλέον ο Riemann από τη μετρική ανέπτυξε έναν τύπο για την καμπυλότητα Gauss μιας επιφάνειας στο χώρο του. Σε αυτό το σημείο πρέπει να αναφέρουμε πως ο Gauss εξέφρασε το θαυμασμό του για το έργο του Riemann, μετά τη διάλεξη του τελευταίου. Αυτό που προκαλεί εντύπωση είναι πως το έκανε για πρώτη και τελευταία φορά στη ζωή του.(boyer- Merzbach, 1997, σελ.609) Ο όρος γεωμετρία Riemann σήμερα χρησιμοποιείται με πολύ περιορισμένο τρόπο: εννοούμε την επίπεδη γεωμετρία που προκύπτει από την υπόθεση Saccheri για την αμβλεία γωνία αν ξεχάσουμε το άπειρο της ευθείας. Ένα μοντέλο γι' αυτήν τη γεωμετρία συναντάμε στην ερμηνεία του ''επιπέδου'' ως την επιφάνεια μίας σφαίρας και της ευθείας ως ένα μέγιστο κύκλο της σφαίρας. Στην περίπτωση αυτή, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερο από ενώ στη γεωμετρία των Lobatchevksy και Bolyai (που αντιστοιχεί στην υπόθεση της οξείας γωνίας) το άθροισμα των γωνιών είναι μικρότερο των Ο Riemann αντιλαμβάνεται πως η υπόθεση του Saccheri για την αμβλεία γωνία (στο πλαίσιο της σφαιρικής γεωμετρίας) αποκτά ισχύ όταν τροποποιηθούν τα αξιώματα 1, 2 και 5 ως εξής (Coxeter - C.C.- F.R.S- F.R.S.C, 1998, σελ.11) : 1. Δύο σημεία ορίζουν τουλάχιστον μία ευθεία. 2. Μία ευθεία είναι άπειρη/ απεριόριστη. 5. Οποιεσδήποτε γραμμές σε ένα επίπεδο μπορούν να τμηθούν. 94

95 Η χρήση αυτή του ονόματος του Riemann δεν αντικατοπτρίζει πλήρως την ουσιαστική αλλαγή που έφερε στη γεωμετρική σκέψη το Habilitationsschrift του. Η πρόταση του Riemann για την γενική μελέτη των καμπυλόγραμμων μετρικών χώρων και όχι η ειδική περίπτωση της γεωμετρίας της σφαίρας ήταν που έκανε δυνατή τη θεωρία της γενικής σχετικότητας. Ο ίδιος ο Riemann συνείσφερε πολλά στη θεωρητική φυσική προς πολλές κατευθύνσεις και έτσι δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι το 1859 διορίστηκε μετά τον Dirichlet, στο Πανεπιστήμιο του Gottingen, στη θέση που κατείχε προηγουμένως ο Gauss. Αποδεικνύοντας, ο Riemann, πως η Μη Ευκλείδεια γεωμετρία με άθροισμα γωνιών μεγαλύτερο των είναι δυνατό να αποκτήσει υπόσταση στην επιφάνεια μίας σφαίρας, επαλήθευσε ουσιαστικά τη συμβιβαστότητα των αξιωμάτων πάνω στα οποία βασίζεται η γεωμετρία. Ήταν αυτός που ενέταξε την μη Ευκλείδεια γεωμετρία στα μαθηματικά αν σκεφτεί κανείς πως λίγα χρόνια πριν βρισκόταν στο περιθώριο αυτών. (Φίλη, 2010, σελ. 130) Ο Riemann υπήρξε μία κεντρική φυσιογνωμία. Οι συλλήψεις και οι επινοήσεις του άλλαξαν όχι μόνο την πορεία των μαθηματικών αλλά και ολόκληρο το κοσμοείδωλο. Όταν οι ιδέες του είχαν πια ωριμάσει και καρποφορήσει ο Albert Einstein έγραψε: " Μόνο η ιδιοφυϊα του Riemann, μοναχική και χωρίς να γίνεται καταληπτή, ανακάλυψε το δρόμο, ήδη από τα μέσα του περασμένου αιώνα, προς μία νέα σύλληψη του χώρου, κατά την οποία ο χώρος έχανε την ακαμψία του και αναγνωριζόταν ως δυνατή η ενεργή συμμετοχή του στα φυσικά γεγονότα." Η ουσία της νέας σύλληψης του Riemann συνίσταται στο ότι οφείλουμε να ερευνήσουμε το χώρο που μας περιβάλλει μελετώντας μία επιφάνεια μέσω -κατά το δυνατόν- ευθείων διαδρομών, εκτελώντας μετρήσεις και καταγράφοντας τα όποια ευρήματα απαλλαγμένοι από οποιεσδήποτε προκαταλήψεις. (Osserman, 1998, σελ. 92) 95

96 Ευκλείδη Lobachevsky Riemann 96

97 Δύο διαφορετικές Το πολύ σε Το πολύ σε ένα Σε ένα (απλή Σημείο ευθείες τέμνονται ένα ελλειπτική) Σε δύο (διπλή Σημεία ελλειπτική) Με δεδομένη την Μοναδική Δύο ευθείες Καμία ευθεία Που περνά /ουν ευθεία Ε και ένα ευθεία τουλάχιστον από το Σ και είναι σημείο Σ έξω από παράλληλη/ες την Ε υπάρχει/ουν στην Ε Μία ευθεία Χωρίζεται Χωρίζεται Δεν χωρίζεται Σε δύο τμήματα από ένα σημείο Παράλληλες ευθείες Ισαπέχουν Δεν ισαπέχουν ποτέ Δεν υπάρχουν Αν μία ευθεία τέμνει Πρέπει Μπορεί ή δεν Να τέμνει την τη μία από τις 2 μπορεί άλλη παράλληλες Η υπόθεση του Της ορθής Της οξείας γωνίας Της αμβλείας Saccheri που ισχύει γωνίας γωνίας είναι η υπόθεση Δύο ευθείες κάθετες Είναι Είναι παράλληλες Τέμνονται στην ίδια γραμμή παράλληλες Το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι Το εμβαδόν του τριγώνου είναι Δύο τρίγωνα με ίσες τις αντίστοιχες πλευρές είναι Ίσο με Λιγότερο από Μεγαλύτερο από 180 ο Ανεξάρτητο Ανάλογο με την Ανάλογο με την Του αθροίσματος έλλειψη Υπερβολή των γωνιών του Όμοια Ισοδύναμα Ισοδύναμα ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Πίνακας σύγκρισης της Ευκλείδειας με τη Μη Ευκλείδεια Επιπεδομετρία (Πηγή: Davis- Hersh, 1981, σελ. 220) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ (1) 97

98 Πού συναντάμε το 5ο αίτημα του Ευκλείδη στα Στοιχεία ύστερα από την διατύπωσή του. (Ευκλείδης, Άπαντα, 2003) Βιβλίο Ι, Πρόταση 29. Ἡ εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τάς τε ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας. Μετάφραση: Η ευθεία που τέμνει δύο παράλληλες σχηματίζει τις εναλλάξ γωνίες ίσες μεταξύ τους, την εκτός γωνία ίση με την εντός και απέναντι και τις εντός και επί τα αυτά μέρη ίσες με δύο ορθές. - Εἰς γὰρ παραλλήλους εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπιπτέτω ἡ ΕΖ λέγω, ὅτι τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΗΘ, ΗΘΔ ἴσας ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας. Μετάφραση: Έστω ότι η ευθεία ΕΖ τέμνει τις παράλληλες ευθείες ΑΒ και ΓΔ. Λέω ότι σχηματίζει τις εναλλάξ γωνίες ΑΗΘ και ΗΘΔ ίσες μεταξύ τους, την εκτός γωνία ΑΗΘ και ΗΘΔ ίσες μεταξύ τους, την εκτός γωνία ΕΗΒ ίση με την εντός και απέναντι γωνία ΗΘΔ και τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ΒΗΘ και ΗΘΔ ίσες με δύο ορθές. - Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΗΘ κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ τῶν ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ μείζονές εἰσιν. ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. [καὶ] αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν. αἱ δὲ ἀπ' ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλόμεναι εἰς 98

99 ἄπειρον συμπίπτουσιν αἱ ἄρα ΑΒ, ΓΔ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον συμπεσοῦνται οὐ συμπίπτουσι δὲ διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς ὑποκεῖσθαι οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἴση ἄρα. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΕΗΒ ἐστιν ἴση καὶ ἡ ὑπὸ ΕΗΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΗΒ, ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἴσαι εἰσίν. ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΕΗΒ, ΒΗΘ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. Μετάφραση: Διότι εάν οι γωνίες ΑΗΘ και ΗΘΔ είναι άνισες, μία από αυτές θα είναι μεγαλύτερη. Έστω ότι η μεγαλύτερη είναι η ΑΗΘ. Προσθέτουμε και στις δύο τη γωνία ΒΗΘ. Άρα οι γωνίες ΑΗΘ και ΒΗΘ είναι μεγαλύτερες από τις γωνίες ΒΗΘ και ΗΘΔ. Αλλά οι γωνίες ΑΗΘ και ΒΗΘ είναι ίσες με δύο ορθές. Άρα οι γωνίες ΒΗΘ και ΗΘΔ είναι μικρότερες από δύο ορθές. Αλλά οι ευθείες από γωνίες μικρότερες των δύο ορθών που προεκτείνονται στο άπειρο τέμνονται (5ο αίτημα).επομένως και οι ΑΒ και ΓΔ προεκτεινόμενες στο άπειρο θα τμηθούν. Αλλά δεν τέμνονται επειδή θεωρήθηκαν εξ υποθέσεως παράλληλες. Άρα οι γωνίες ΑΗΘ και ΗΘΔ δεν είναι άνισες, άρα είναι ίσες. Αλλά και η γωνία ΑΗΘ είναι ίση με τη γωνία ΕΗΒ. Επομένως, και η ΕΗΒ είναι ίση με την ΗΘΔ. Προσθέτουμε και στις δύο τη γωνία ΒΗΘ. Άρα οι γωνίες ΕΗΒ και ΒΗΘ είναι ίσες με τις γωνίες ΒΗΘ και ΗΘΔ. Αλλά οι γωνίες ΕΗΒ και ΒΗΘ είναι ίσες με δύο ορθές, άρα και οι γωνίες ΒΗΘ και ΗΘΔ είναι ίσες με δύο ορθές. - Ἡ ἄρα εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τάς τε ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Μετάφραση: Άρα, η ευθεία που τέμνει δύο παράλληλες ευθείες σχηματίζει τις εναλλάξ γωνίες ίσες μεταξύ τους, την εκτός γωνία ίση με την εντός και απέναντι και τις εντός και επί τα αυτά μέρη ίσες με δύο ορθές, πράγμα που έπρεπε να αποδείξουμε. (Ευκλείδης, Άπαντα, Τόμος α, 2003, σελ. 111) Βιβλίο Ι, Πρόταση

100 Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ. Μετάφραση: Σε δεδομένη ευθεία, να παραβληθεί παραλληλόγραμμο σε δεδομένη ευθύγραμμη γωνία ίσο με δεδομένο τρίγωνο. - Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν τρίγωνον τὸ Γ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Δ δεῖ δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐν ἴσῃ τῇ Δ γωνίᾳ. Μετάφραση: Έστω ΑΒ η ευθεία, Γ το τρίγωνο και Δ η ευθύγραμμη γωνία που δίνονται. Στην ευθεία ΑΒ πρέπει να παραβληθεί παραλληλόγραμμο με γωνία ίση με τη Δ, που να είναι ίσο με το τρίγωνο Γ. - Συνεστάτω τῷ Γ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΕΖΗ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΒΗ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Δ καὶ κείσθω ὥστε ἐπ' εὐθείας εἶναι τὴν ΒΕ τῇ ΑΒ, καὶ διήχθω ἡ ΖΗ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΗ, ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΒ. καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΘ, ΕΖ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΘΖ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΘΖ, ΘΖΕ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι. αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΘΗ, ΗΖΕ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν αἱ δὲ ἀπὸ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν εἰς ἄπειρον ἐκβαλλόμεναι συμπίπτουσιν αἱ ΘΒ, ΖΕ ἄρα ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται. ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Κ, καὶ διὰ τοῦ Κ σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΕΑ, ΖΘ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΛ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΘΑ, ΗΒ ἐπὶ τὰ Λ, Μ σημεῖα. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΛΚΖ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΘΚ, περὶ δὲ τὴν ΘΚ παραλληλόγραμμα μὲν τὰ ΑΗ, ΜΕ, τὰ δὲ λεγόμενα παραπληρώματα τὰ 100

101 ΛΒ, ΒΖ ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΒ τῷ ΒΖ. ἀλλὰ τὸ ΒΖ τῷ Γ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον καὶ τὸ ΛΒ ἄρα τῷ Γ ἐστιν ἴσον. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΜ, ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΗΒΕ τῇ Δ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΜ ἄρα τῇ Δ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση. Μετάφραση: Έστω ότι κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΕΖΗ ίσο με το τρίγωνο Γ σε γωνία ΕΒΗ, η οποία είναι ίση με τη Δ, και έστω ότι κείται έτσι ώστε οι ΒΕ και ΑΒ να βρίσκονται επ' ευθείας. Προεκτείνουμε τη ΖΗ μέχρι το Θ, από το Α φέρνουμε την ΑΘ παράλληλη προς τη ΒΗ ή προς την ΕΖ και φέρνουμε τη ΘΒ. Επειδή η ευθεία ΘΖ τέμνει τις παράλληλες ΑΘ και ΕΖ, έπεται ότι οι γωνίες ΑΘΖ και ΘΖΕ είναι ίσες με δύο ορθές, άρα οι γωνίες ΒΘΗ και ΗΖΕ είναι μικρότερες από δύο ορθές, αλλά οι ευθείες που (τεμνόμενες από τρίτη ευθεία) σχηματίζουν γωνίες μικρότερες των δύο ορθών προεκτεινόμενες στο άπειρο συναντώνται (5ο αίτημα). Άρα, προεκτεινόμενες οι ΘΒ και ΖΕ θα συναντηθούν. Έστω ότι προεκτάθηκαν και συναντήθηκαν στο Κ. Από το σημείο Κ φέρνουμε την ΚΛ παράλληλη με την ΕΑ ή με τη ΖΘ και προεκτείνουμε τις ΘΑ και ΗΒ μέχρι τα σημεία Λ και Μ. Άρα το ΘΛΚΖ είναι παραλληλόγραμμο και η ΘΚ είναι διαγώνιός του, τα ΑΗ και ΜΕ είναι παραλληλόγραμμα περί τη ΘΚ, ενώ τα ΛΒ και ΒΖ είναι τα λεγόμενα παραπληρώματα. Άρα το ΛΒ είναι ίσο με το ΒΖ. Αλλά το ΒΖ είναι ίσο με το τρίγωνο Γ, άρα και το ΛΒ είναι ίσο με το Γ. Επειδή, τώρα, η γωνία ΗΒΕ είναι ίση με τη γωνία ΑΒΜ, ενώ και η γωνία ΗΒΕ είναι ίση με τη Δ, έπεται ότι και η ΑΒΜ είναι ίση με τη γωνία Δ. - Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΛΒ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΜ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Δ ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Μετάφραση: Άρα, στη δεδομένη ευθεία ΑΒ, παραβλήθηκε το παραλληλόγραμμο ΛΒ, ίσο με το δεδομένο τρίγωνο Γ, σε γωνία ΑΒΜ ίση με τη Δ, πράγμα που έπρεπε να κάνουμε. (Ευκλείδης, Άπαντα, Τόμος α, 2003, σελ. 144) 101

102 Βιβλίο ΙΙ, Πρόταση 10. Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ' εὐθείας, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς προσκειμένης τὰ συναμφότερα τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντος τετραγώνου. Μετάφραση: Εάν ευθεία γραμμή τμηθεί στο μέσον και προστεθεί σε αυτή ευθύγραμμα μία ευθεία, το τετράγωνο της ολόκληρης συν την προστεθείσα και το τετράγωνο της προστεθείσας μαζί είναι διπλάσια του τετραγώνου της μισής και του τετραγώνου της ευθείας που συνίσταται από τη μισή και την προστιθέμενη. - Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, προσκείσθω δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ' εὐθείας ἡ ΒΔ λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων. Μετάφραση: Έστω ότι η ευθεία ΑΒ έχει τμηθεί στο μέσον Γ και ότι έχει προστεθεί στην προέκταση της η ΒΔ. λέω ότι τα τετράγωνα των ΑΔ και ΔΒ είναι διπλάσια από τα τετράγωνα των ΑΓ και ΓΔ. - Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΕ, καὶ κείσθω ἴση ἑκατέρᾳ, τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ, ΕΒ καὶ διὰ μὲν τοῦ Ε τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ, διὰ δὲ τοῦ Δ τῇ ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΔ. καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ΕΓ, ΖΔ εὐθεῖά τις ἐνέπεσεν ἡ ΕΖ, αἱ ὑπὸ ΓΕΖ, ΕΖΔ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν αἱ ἄρα ὑπὸ ΖΕΒ, ΕΖΔ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν αἱ δὲ ἀπ' ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλόμεναι 102

103 συμπίπτουσιν αἱ ἄρα ΕΒ, ΖΔ ἐκβαλλόμεναι ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη συμπεσοῦνται. ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΓ τῇ ὑπὸ ΑΕΓ καὶ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Γ ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς [ἐστιν] ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΕΑΓ, ΑΕΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΒ, ΕΒΓ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ. καὶ ἐπεὶ ἡμίσεια ὀρθῆς ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΒΓ, ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΗ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΗ ὀρθή ἴση γάρ ἐστι τῇ ὑπὸ ΔΓΕ ἐναλλὰξ γάρ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΗΒ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΗΒ τῇ ὑπὸ ΔΒΗ ἐστιν ἴση ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΒΔ πλευρᾷ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΕΗΖ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς, ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Ζ ἴση γάρ ἐστι τῇ ἀπεναντίον τῇ πρὸς τῷ Γ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΗ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΕΗ ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΗΖ πλευρᾷ τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ [ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΓΑ,] ἴσον ἐστὶ [καὶ] τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΓ, ΓΑ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνου. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΕΓ, ΓΑ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΑ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΕΖ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΕ τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΗΖ, ΖΕ διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΗΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ. ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΗ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΗ τετραγώνοις ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τετράγωνον τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΗ διπλάσιόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΗ τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΗ [τετράγωνα] διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ [τετραγώνων]. ἴση δὲ ἡ ΔΗ τῇ ΔΒ τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ [τετράγωνα] διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων. Μετάφραση: Διότι έστω ότι φέραμε από το σημείο Γ τη ΓΕ κάθετη στην ΑΒ, ότι τη λάβαμε ίση με οποιαδήποτε από τις δύο ΑΓ και ΓΒ και ότι φέραμε τις ΕΑ και ΕΒ. Από το Ε φέρουμε την ΕΖ παράλληλη στην ΑΔ και από το Δ φέρουμε τη ΖΔ παράλληλη στη ΓΕ. επειδή η ΕΖ τέμνει τις παράλληλες ευθείες ΕΓ και ΖΔ, οι γωνίες ΓΕΖ και ΕΖΔ είναι 103

104 ίσες με δύο ορθές. Άρα οι γωνίες ΖΕΒ και ΕΖΔ είναι μικρότερες από δύο ορθές. αλλά οι ευθείες που σχηματίζουν γωνίες μικρότερες από δύο ορθές, εάν προεκταθούν, τέμνονται (5ο αίτημα). Άρα, εάν οι ΕΒ και ΖΔ προεκταθούν προς τα Β και Δ θα τμηθούν. Έστω ότι προεκτάθηκαν και ότι τέμνονται στο Η. Φέρουμε την ΑΗ. Επειδή η ΑΓ είναι ίση με τη ΓΕ, ίση είναι και η γωνία ΕΑΓ με τη γωνία ΑΕΓ. Η γωνία στο Γ είναι ορθή. Άρα καθεμιά από τις ΕΑΓ και ΑΕΓ ισούται με μισή ορθή. Για τους ίδιους λόγους, μισή ορθή είναι και καθεμιά από τις ΓΕΒ και ΕΒΓ. Άρα η ΑΕΒ είναι ορθή. Και επειδή η ΕΒΓ είναι μισή ορθή, έπεται ότι μισή ορθή είναι και η ΔΒΗ. Αλλά και η ΒΔΗ είναι ορθή, γιατί είναι ίση με τη ΔΓΕ, επειδή είναι εναλλάξ. Άρα η γωνία ΔΗΒ που απομένει είναι μισή ορθή. Άρα η ΔΗΒ είναι ίση με τη ΔΒΗ. Συνεπώς, και η πλευρά ΒΔ είναι ίση με την πλευρά ΗΔ. Πάλι, επειδή η γωνία ΕΗΖ είναι μισή ορθή και η γωνία Ζ είναι ορθή, γιατί είναι ίση με την απέναντι γωνία Γ, η γωνία ΖΕΗ που απομένει είναι μισή ορθή. Άρα, η γωνία ΕΗΖ είναι ίση με τη γωνία ΖΕΗ, συνεπώς και η πλευρά ΗΖ είναι ίση με την πλευρά ΕΖ. Και επειδή (η ΕΓ είναι ίση με τη ΓΑ), ίσο είναι και το τετράγωνο της ΕΓ με το τετράγωνο της ΓΑ, έπεται ότι τα τετράγωνα των ΕΓ και ΓΑ είναι διπλάσια από το τετράγωνο της ΓΑ. Αλλά με τα τετράγωνα των ΕΓ και ΓΑ ισούται το τετράγωνο της ΕΑ. Άρα, το τετράγωνο της ΕΑ είναι διπλάσιο του τετραγώνου της ΑΓ. Πάλι, επειδή η ΖΗ είναι ίση με την ΕΖ, ίσο είναι και το τετράγωνο της ΖΗ με το τετράγωνο της ΖΕ. Άρα, τα τετράγωνα των ΗΖ και ΖΕ είναι διπλάσια από το τετράγωνο της ΕΖ. Αλλά με τα τετράγωνα των ΗΖ και ΖΕ ίσο είναι το τετράγωνο της ΕΗ. Άρα το τετράγωνο της ΕΗ είναι διπλάσιο από το τετράγωνο της ΑΓ. Άρα τα τετράγωνα των ΑΕ και ΕΗ είναι διπλάσια από τα τετράγωνα των ΑΓ και ΓΔ. Αλλά με τα τετράγωνα των ΑΕ και ΕΗ ίσο είναι το τετράγωνο της ΑΗ. Άρα το τετράγωνο της ΑΗ είναι διπλάσιο από τα τετράγωνα των ΑΓ και ΓΔ. Αλλά με το τετράγωνο της ΑΗ είναι ίσδα τα τετράγωνα των ΑΔ και ΔΗ. Άρα τα τετράγωνα των ΑΔ και ΔΗ είναι διπλάσια των τετραγώνων των ΑΓ και ΓΔ. Αλλά η ΔΗ είναι ίση με τη ΔΒ. Άρα τα τετράγωνα των ΑΔ και ΔΒ είναι διπλάσια από τα τετράγωνα των ΑΓ και ΓΔ. - Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ' εὐθείας, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς προσκειμένης τὰ συναμφότερα τετράγωνα 104

105 διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντος τετραγώνου ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Μετάφραση: Άρα, εάν ευθεία γραμμή τμηθεί στο μέσον και προστεθεί σε αυτή ευθύγραμμα μία ευθεία, το τετράγωνο της ολόκληρης συν την προστεθείσα και το τετράγωνο προστεθείσας μαζί είναι διπλάσια του τετραγώνου της μισής και του τετραγώνου της ευθείας που συνίσταται από τη μισή και την προστιθέμενη, πράγμα που έπρεπε να αποδείξουμε. (Ευκλείδης, Άπαντα, Τόμος α, 2003, σελ. 194) Βιβλίο ΙV, Πρόταση 4. Εἰς τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον ἐγγράψαι. Μετάφραση: Στο δοθέν τρίγωνο να εγγραφεί κύκλος - Ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ δεῖ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλον ἐγγράψαι. Τετμήσθωσαν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαι δίχα ταῖς ΒΔ, ΓΔ εὐθείαις, καὶ συμβαλλέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ εὐθείας κάθετοι αἱ ΔΕ, ΔΖ, ΔΗ. Μετάφραση: Έστω ότι δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ πρέπει να εγγράψουμε κύκλο. Έστω ότι οι γωνίες ΑΒΓ και ΑΓΒ διχοτομούνται από τις ευθείες ΒΔ και ΓΔ, οι οποίες τέμνονται στο σημείο Δ, και έστω ότι από το Δ άγονται οι ευθείες ΔΕ, ΔΖ και ΔΗ κάθετες στις ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ. - Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΔ, ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΕΔ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΒΖΔ ἴση, δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΕΒΔ, ΖΒΔ τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν κοινὴν αὐτῶν τὴν ΒΔ καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξουσιν 105

106 ἴση ἄρα ἡ ΔΕ τῇ ΔΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση. αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΔΕ, ΔΖ, ΔΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Δ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Η κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ εὐθειῶν διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Ε, Ζ, Η σημείοις γωνίας. εἰ γὰρ τεμεῖ αὐτάς, ἔσται ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ' ἄκρας ἀγομένη ἐντὸς πίπτουσα τοῦ κύκλου ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη οὐκ ἄρα ὁ κέντρῳ τῷ Δ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Η γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ εὐθείας ἐφάψεται ἄρα αὐτῶν, καὶ ἔσται ὁ κύκλος ἐγγεγραμμένος εἰς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. ἐγγεγράφθω ὡς ὁ ΖΗΕ. Μετάφραση: Και επειδή η γωνία ΑΒΔ είναι ίση με τη γωνία ΓΒΔ, ενώ και η ορθή γωνία ΒΕΔ είναι ίση με την ορθή ΒΖΔ, τα δύο τρίγωνα ΕΒΔ και ΖΒΔ έχουν δύο γωνίες ίσες με δύο γωνίες και μία πλευρά ίση με μία πλευρά, τη ΒΔ που κείται απέναντι από μία από τις ίσες γωνίες κοινή. Άρα ίσες θα είναι και οι υπόλοιπες πλευρές με τις υπόλοιπες πλευρές. Συνεπώς η ΔΕ είναι ίση με τη ΔΖ. Για τους ίδιους λόγους, ίση είναι και η ΔΗ με τη ΔΖ. Άρα οι τρεις ευθείες ΔΕ, ΔΖ και ΔΗ είναι ίσες μεταξύ τους. Άρα ο κύκλος που γράφεται με κέντρο το Δ και ακτίνα ίση με την απόσταση του Δ από ένα εκ των Ε, Ζ, Η θα περάσει και από τα υπόλοιπα δύο και θα εφάπτεται στις ευθείες ΑΒ, ΒΓ και Γα, επειδή οι γωνίες στα σημεία Ε, Ζ, Γ είναι ορθές. Γιατί αν τις τέμνει, η ευθεία που άγεται κάθετα στη διάμετρο του κύκλου από το άκρο της θα πέφτει εντός του κύκλου, πράγμα που αποδείχτηκε άτοπο. Άρα ο κύκλος που γράφεται με κέντρο το Δ και ακτίνα την απόσταση του Δ από ένα εκ των Ε, Ζ, ή Η δεν θα τέμνει τις ευθείες ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ, άρα θα εφάπτεται σε αυτές και ο κύκλος θα είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο ΑΒΓ. Έστω ότι γράφτηκε όπως ο ΖΗΕ. - Εἰς ἄρα τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ κύκλος ἐγγέγραπται ὁ ΕΖΗ ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Άρα στο δοθέν τρίγωνο ΑΒΓ έχει εγγραφεί ο κύκλος ΕΖΗ, πράγμα που έπρεπε να κάνουμε. (Ευκλείδης, Άπαντα, 2003, Τόμος β, σελ. 140) Βιβλίο IV, Πρόταση 5. Περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον περιγράψαι. Μετάφραση: Σε δοθέν τρίγωνο να περιγραφεί κύκλος 106

107 - Ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ δεῖ δὴ περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ κύκλον περιγράψαι. Μετάφραση: Έστω ότι το τρίγωνο που δίνεται είναι το ΑΒΓ. Πρέπει στο τρίγωνο ΑΒΓ να περιγράψουμε κύκλο. - Τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΑΓ εὐθεῖαι δίχα κατὰ τὰ Δ, Ε σημεῖα, καὶ ἀπὸ τῶν Δ, Ε σημείων ταῖς ΑΒ, ΑΓ πρὸς ὁρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΔΖ, ΕΖ συμπεσοῦνται δὴ ἤτοι ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἢ ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας ἢ ἐκτὸς τῆς ΒΓ. Μετάφραση: Τέμνουμε τις ευθείες ΑΒ και ΑΓ στο μέσον, έστω στα σημεία Δ και Ε, και από τα σημεία Δ και Ε φέρνουμε κάθετα στις ΑΒ και ΑΓ τις ΔΖ και ΕΖ. Αυτές τώρα θα τμηθούν είτε εντός του τριγώνου ΑΒΓ είτε επί της ευθείας ΒΓ είτε εκτός της ΒΓ. - Συμπιπτέτωσαν πρότερον ἐντὸς κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΑ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ, βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΑΖ ἐστιν ἴση ὥστε καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων, καὶ ἔσται περιγεγραμμένος ὁ κύκλος περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. περιγεγράφθω ὡς ὁ ΑΒΓ. Μετάφραση: Έστω πρώτα ότι τέμνονται εντός του τριγώνου στο σημείο Ζ. Φέρουμε τις ΖΒ, ΖΓ και ΖΑ. Επειδή η ΑΔ είναι ίση με τη ΔΒ, ενώ η ΔΖ είναι κάθετη και κοινή, έπεται ότι η βάση ΑΖ είναι ίση με τη βάση ΖΒ. Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι και η ΓΖ είναι ίση με την ΑΖ. Ώστε η ΖΒ είναι ίση με τη ΖΓ. Άρα οι τρεις ΖΑ, ΖΒ και ΖΓ είναι ίσες μεταξύ τους. Άρα ο κύκλος που γράφεται με κέντρο το Ζ και ακτίνα ίση με την απόσταση του Ζ από ένα εκ των Α, Β ή Γ θα περάσει και από τα υπόλοιπα σημεία και ο κύκλος αυτός θα είναι περιγεγραμμένος στο τρίγωνο ΑΒΓ. Έστω ότι περιγράφεται όπως ο ΑΒΓ. 107

108 - Ἀλλὰ δὴ αἱ ΔΖ, ΕΖ συμπιπτέτωσαν ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας κατὰ τὸ Ζ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον περιγραφομένου κύκλου. Μετάφραση: Αλλά έστω, τώρα, ότι ΔΖ και ΕΖ τέμνονται επί της ευθείας ΒΓ στο σημείο Ζ, όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα. Φέρουμε την ΑΖ. Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι το σημείο Ζ είναι το κέντρο του κύκλου που περιγράφεται στο τρίγωνο ΑΒΓ. - Ἀλλὰ δὴ αἱ ΔΖ, ΕΖ συμπιπτέτωσαν ἐκτὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου κατὰ τὸ Ζ πάλιν, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΒΖ, ΓΖ. καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ, βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΒΖ ἐστιν ἴση. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΑΖ ἐστιν ἴση ὥστε καὶ ἡ ΒΖ τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση ὁ ἄρα [πάλιν] κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων, καὶ ἔσται περιγεγραμμένος περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. Μετάφραση: Αλλά έστω και πάλι ότι οι ΔΖ και ΕΖ τέμνονται εκτός του τριγώνου ΑΒΓ στο σημείο Ζ, όπως φαίνεται στο τρίτο σχήμα. Φέρουμε τις ΑΖ, ΒΖ και ΓΖ. Πάλι επειδή η ΑΔ είναι ίση με τη ΔΒ, και η κάθετη ΔΖ είναι κοινή, έπεται ότι η βάση ΑΖ είναι ίση με τη βάση ΒΖ. Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι και η ΓΖ είναι ίση με την ΑΖ. Ώστε και η ΒΖ είναι ίση με τη ΖΓ. Άρα πάλι ο κύκλος που γράφεται με κέντρο το Ζ και ακτίνα ένα από τα ΖΑ, ΖΒ ή ΖΓ θα περάσει και από τα υπόλοιπα σημεία και θα είναι περιγεγραμμένος στο τρίγωνο ΑΒΓ. - Περὶ τὸ δοθὲν ἄρα τρίγωνον κύκλος περιγέγραπται ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Μετάφραση: Άρα στο δοθέν τρίγωνο έχει περιγραφεί κύκλος, πράγμα που έπρεπε να κάνουμε. 108

109 [Πόρισμα] Καὶ φανερόν, ὅτι, ὅτε μὲν ἐντὸς τοῦ τριγώνου πίπτει τὸ κέντρον τοῦ κύκλου, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ἐν μείζονι τμήματι τοῦ ἡμικυκλίου τυγχάνουσα ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς ὅτε δὲ ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας τὸ κέντρον πίπτει, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ἐν ἡμικυκλίῳ τυγχάνουσα ὀρθή ἐστιν ὅτε δὲ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἐκτὸς τοῦ τριγώνου πίπτει, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ἐν ἐλάττονι τμήματι τοῦ ἡμικυκλίου τυγχάνουσα μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. (ὥστε καὶ ὅταν ἐλάττων ὀρθῆς τυγχάνῃ ἡ διδομένη γωνία, ἐντὸς τοῦ τριγώνου πεσοῦνται αἱ ΔΖ, ΕΖ, ὅταν δὲ ὀρθή, ἐπὶ τῆς ΒΓ, ὅταν δὲ μείζων ὀρθῆς, ἐκτὸς τῆς ΒΓ ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.) Μετάφραση: Είναι φανερό ότι, όταν το κέντρο του κύκλου πέφτει εντός του τριγώνου, η γωνία ΒΑΓ που βρίσκεται σε τμήμα μεγαλύτερο του ημικυκλίου είναι μικρότερη της ορθής. Όταν το κέντρο πέφτει επί της ευθείας ΒΓ, η γωνία ΒΑΓ που βρίσκεται στο ημικύκλιο είναι ορθή. Όταν το κέντρο του κύκλου πέφτει εκτός του τριγώνου, η γωνία ΒΑΓ που βρίσκεται σε τμήμα του κύκλου μικρότερο του ημικυκλίου είναι μεγαλύτερη της ορθής. ( Ώστε όταν η γωνία που δίνεται είναι μικρότερη της ορθής, οι ΔΖ και ΕΖ θα πέφτουν εντός του τριγώνου, όταν είναι ορθή, επί της ΒΓ και όταν είναι μεγαλύτερη της ορθής, εκτός της ΒΓ, πράγμα που έπρεπε να κάνουμε) (Ευκλείδης, Άπαντα, 2003, Τόμος β, σελ. 144) 109

110 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ (2) Αναλυτικά η απόδειξη του Saccheri όπως αυτή δίνεται στο βιβλίο του Roberto Bonola, Non- Euclidean Geometry, ( 1955, σελ. 23). O Saccheri στην προσπάθειά του να αποδείξει το 5ο αίτημα χρησιμοποιεί το Αίτημα του Αρχιμήδη: Έστω Α 1 σημείο πάνω σε ευθεία γραμμή ανάμεσα σε αυθαίρετα σημεία Α και Β. Παίρνουμε τα σημεία Α 2, Α 3,... ώστε το Α 1 να βρίσκεται ανάμεσα στο Α και στο Α 2, το Α 2 ανάμεσα στο Α 1 και στο Α 3, κ.λπ. Επιπλέον, έστω ότι τα τμήματα ΑΑ 1, Α 1 Α 2, Α 2 Α 3,... είναι ίσα. Τότε, ανάμεσα σε αυτή τη σειρά σημείων, θα υπάρχει πάντα ένα συγκεκριμένο σημείο A n, τέτοιο ώστε το Β να βρίσκεται ανάμεσα στο Α και το An. Ακόμη ο Saccheri λαμβάνει υπόψη του την Υπόθεση της συνέχειας μίας ευθείας γραμμής. Ειδικότερα, τη χρησιμοποιεί στη διαισθητική της μορφή: τμήμα, το οποίο περνάει συνεχώς από ένα μήκος a σε ένα μήκος b, διάφορο του a, παίρνει κατά τη μεταβολή του οποιοδήποτε μήκος μεσολαβεί ανάμεσα στο a και το b. Μπορούμε τώρα να δούμε την προσέγγιση του Saccheri αφού ορίσουμε το βασικό σχήμα που χρησιμοποιεί και φέρει το όνομά του.: 110

111 Τετράπλευρο Saccheri λέγεται το τετράπλευρο που έχει δύο απέναντι πλευρές ίσες και κάθετες στην ίδια πλευρά. Λήμμα 1 Σε ένα τετράπλευρο Saccheri ΑΒCD, όπου οι γωνίες Α, Β είναι ορθές και οι πλευρές ΑD και ΒC είναι ίσες, η γωνία C είναι ίση με την γωνία D. Αλλά αν οι πλευρές AD κα ιbc δεν είναι ίσες, από τις δύο γωνίες C και D, είναι μεγαλύτερη αυτή που πρόσκειται στην μικρότερη πλευρά και αντίστροφα. Έστω ένα τετράπλευρο Saccheri ΑΒCD που έχει ορθές τις γωνίες Α και Β και ίσες τις πλευρές ΑD και ΒC ίσες (σχήμα 1). Σύμφωνα με την Ευκλείδεια υπόθεση οι γωνίες C και D είναι επίσης ορθές γωνίες. Όμως, αν υποθέσουμε ότι μπορεί να είναι και οι δύο γωνίες αμβλείες ή και οι δύο οξείες, τότε εμμέσως αρνούμαστε το 5ο Αίτημα. Ο Saccheri μελετά αυτές τις τρεις ΣΧΗΜΑ 1. υποθέσεις σχετικά με τις γωνίες C και D. 1. Η Υπόθεση της Ορθής γωνίας : C= D = 1ορθή γωνία (αντιστοιχεί στην Ευκλείδεια Γεωμετρία). 2. Η Υπόθεση της Αμβλείας γωνίας : C= D > 1ορθή γωνία (αντιστοιχεί στην Ελλειπτική Γεωμετρία) 3. Η Υπόθεση της Οξείας γωνίας : C= D < 1ορθή γωνία (αντιστοιχεί στην Υπερβολική Γεωμετρία). Ένα από τα πρώτα και πιο σημαντικά αποτελέσματα είναι το ακόλουθο: Ανάλογα με την υπόθεση της Ορθής, της Αμβλείας ή της Οξείας γωνίας, στο τετράπλευρο Saccheri έχουμε: ΑΒ=CD, ΑΒ>CD, ΑΒ<CD Με την υπόθεση της Ορθής γωνίας και το προηγούμενο λήμμα έχουμε αμέσως ότι: ΑΒ=CD. Έστω ότι ισχύει η υπόθεση της Αμβλείας γωνίας. 111

112 Η κάθετος ΟΟ στο μέσο του τμήματος ΑΒ χωρίζει το τετράπλευρο Saccheri σε δύο ίσα τετράπλευρα με ορθές γωνίες στις κορυφές Ο και Ο. Αφού η γωνία D είναι μεγαλύτερη από την γωνία Α, τότε πρέπει να έχουμε ΑΟ > DΟ. Επομένως ΑΒ>CD. Στην περίπτωση της υπόθεση της Οξείας γωνίας, οι παραπάνω ανισότητες ισχύουν με αντίθετη φορά και έχουμε ΑΒ<CD. Χρησιμοποιώντας την εις άτοπον απαγωγή (reductio ad absurdum), έχουμε το αντίστροφο του προηγούμενου θεωρήματος: Εάν η υπόθεση της Ορθής γωνίας είναι αληθής σε μια μόνο περίπτωση, τότε είναι αληθής και για κάθε άλλη περίπτωση. Ας υποθέσουμε ότι στο τετράπλευρο Saccheri ΑΒCD η υπόθεση της Ορθής γωνίας επιβεβαιώνεται. Στις πλευρές ΑD και BC (σχήμα 2) παίρνουμε σημεία Η και Κ που ισαπέχουν από την πλευρά ΑΒ, φέρουμε το τμήμα ΗΚ και σχηματίζεται το τετράπλευρο ΑΒΚΗ. Εάν η ΗΚ είναι κάθετη στις ΑΗ και ΒΚ, η υπόθεση της Ορθής ΣΧΗΜΑ 2. γωνίας επίσης επαληθεύεται και στο νέο τετράπλευρο. Αν όχι, έστω ότι η γωνία ΑΗΚ είναι οξεία. Τότε η παραπληρωματική της, η DΗΚ, είναι αμβλεία. Επομένως, στο τετράπλευρο ΑΒΚΗ, σύμφωνα με την υπόθεση της Οξείας γωνίας, προκύπτει ΑΒ<ΗΚ, ενώ στο τετράπλευρο ΗΚCD, από την υπόθεση της Αμβλείας γωνίας, προκύπτει ΗΚ<CD. Αλλά οι δύο αυτές ανισότητες είναι αντιφατικές, αφού από την υπόθεση της Ορθής γωνίας στο τετράπλευρο ΑΒCD ισχύει ΑΒ=CD. Έτσι, η γωνία ΑΗΚ δεν μπορεί να είναι οξεία. Με την ίδια αιτιολόγηση μπορούμε να αποδείξουμε ότι η γωνία ΑΗΚ δεν μπορεί να είναι αμβλεία. Προκύπτει λοιπόν ότι η υπόθεση της Ορθής γωνίας ισχύει και στο τετράπλευρο ΑΒΚΗ. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑD και BC παίρνουμε σημεία Μ και Ν τα οποία ισαπέχουν από τη βάση ΑΒ. 112

113 Έτσι η υπόθεση της Ορθής γωνίας ισχύει και στο τετράπλευρο ΑΒΝΜ. Πράγματι, αν το ΑΜ είναι πολλαπλάσιο του ΑD, η πρόταση είναι προφανής. Εάν το ΑΜ δεν είναι πολλαπλάσιο του ΑD, παίρνουμε ένα πολλαπλάσιο του ΑD μεγαλύτερο του ΑΜ και στις προεκτάσεις των ΑD και ΒC παίρνουμε τμήματα ΑP και ΒQ ίσα με αυτό το πολλαπλάσιο. Επειδή, όπως είδαμε προηγουμένως, η υπόθεση της Ορθής γωνίας ισχύει στο τετράπλευρο ΑΒQP, η ίδια υπόθεση ισχύει και στο τετράπλευρο ΑΒΝΜ. Τέλος, η εν λόγω υπόθεση πρέπει να ισχύει σε τετράπλευρο Saccheri οποιασδήποτε βάσης. Στο σχήμα 2, μπορούμε να πάρουμε ως βάση μία από τις πλευρές που είναι κάθετες στην ΑΒ. Όμως από την προηγούμενη σχέση προκύπτει ότι οι δύο ευθείες γραμμές DC, ΑΒ ισαπέχουν. Επομένως, η εγκυρότητα της υπόθεσης της Ορθής γωνίας σε όλα τα τετράπλευρα Saccheri, των οποίων το ύψος είναι ίσο με το τμήμα DΑ, έχει αποδειχθεί. Η ίδια υπόθεση είναι επίσης αληθής και για κάθε τετράπλευρο οποιουδήποτε ύψους, εφόσον το τμήμα που αρχικά ονομάζεται βάση, στη συνέχεια θεωρηθεί ύψος. Εάν η υπόθεση της Αμβλείας γωνίας είναι αληθής σε μια μόνο περίπτωση, τότε είναι αληθής και σε κάθε άλλη περίπτωση. Υποθέτουμε ότι σε σταθερό τετράπλευρο (σχήμα 3) ΑΒCD, οι γωνίες C και D είναι αμβλείες. Πάνω στις ΑD και ΒC παίρνουμε τα σημεία Η και Κ που ισαπέχουν από την πλευρά ΑΒ. Αρχικά επισημαίνουμε ότι το τμήμα ΗΚ δεν μπορεί να είναι κάθετο στις πλευρές ΑD και ΒC, γιατί σε αυτή την περίπτωση η υπόθεση της Ορθής γωνίας θα επαληθευόταν στο τετράπλευρο ΑΒΚΗ και κατά συνέπεια και στο βασικό τετράπλευρο. ΣΧΗΜΑ 3. Ας υποθέσουμε ότι η γωνία ΑΗΚ είναι οξεία. Τότε από την υπόθεση της Οξείας γωνίας έχουμε ΗΚ>ΑΒ. Αλλά επειδή ισχύει η υπόθεση της Ορθής γωνίας στο ΑΒCD, έχουμε ΑΒ> CD. Ως εκ τούτου ΗΚ>ΑΒ>CD. 113