ηµήτριος I. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών
|
|
- Ίσις Βέργας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος I. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών Ταχ. /νση : Μονοφατσίου 8 Ταχ. Κώδικας : ΗΡΑΚΛΕΙΟ Τηλ. υπηρεσίας : Τηλ. Κατοικίας : Κινητό : dimitrmp@sch.gr Πληροφορίες : Μιχάλης Βαβουρανάκης grss@dide.ira.sch.gr Τηλέφωνο - FAX : Ηράκλειο, 22 Νοεµβρίου 2007 Αρ. Πρωτ.: 185 Προς : Τους κ. κ. καθηγητές Μαθηµατικών των Λυκείων του Ν. Ρεθύµνου και Ν. Ηρακλείου αρµοδιότητάς µου. Κοιν.: Προϊστάµενο Επιστηµονικής & Παιδαγωγικής Καθοδήγησης /θµιας Εκπ/σης Κρήτης. ΘΕΜΑ : «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ- ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» Το διδακτικό αυτό υλικό αναφέρεται στο 4 ο Κεφάλαιο (παράλληλες ευθείες) της Γεωµετρίας της Α Λυκείου και περιλαµβάνει: 1. Γενικές παρατηρήσεις για την Γεωµετρία της Α Λυκείου και το 4 ο Κεφάλαιο. 2. Ωριαίο χωρισµό του 4 ου Κεφαλαίου σε διδακτικές ενότητες µε σχόλια, διδακτικές επισηµάνσεις και ιστορικά στοιχεία. 3. Ένα Σχέδιο διδασκαλίας. 1. Γενικά Αγαπητοί συνάδελφοι, κρίνω σκόπιµο να υπενθυµίσω µερικά πράγµατα που θεωρώ χρήσιµα, ιδίως στην εποχή µας. Η Γεωµετρία στην τάξη αυτή θεωρείται γενικά ένα «δύσκολο» µάθηµα από τους περισσότερους µαθητές, µάθηµα που δεν τους ενδιαφέρει µια και δεν εξετάζεται στις Πανελλήνιες εξετάσεις. Για το τελευταίο έχουν δίκιο, αλλά εµείς θα στοχεύουµε κυρίως στη γενική µόρφωση που προσφέρει το µάθηµα και δευτερευόντως ότι χρειάζεται και στις άλλες τάξεις (π.χ. στην Γ τάξη στους Μιγαδικούς). Είναι το µοναδικό µάθηµα στην εξάχρονη σχολική ζωή των µαθητών που προσφέρει υψηλού επιπέδου νοητική καλλιέργεια και πνευµατικές συγκινήσεις. Απαιτείται από τον διδάσκοντα ιδιαίτερη προσοχή ώστε να αγαπήσουν (ειδικά) την Γεωµετρία της Α τάξης, όσο το δυνατόν
2 . Ι. Μπουνάκης, Σ. Σ. Μ. - A Λυκείου Γεωµετρία: Κεφάλαιο 4 ο 2 περισσότεροι µαθητές, ανεξάρτητα από την επίδοσή τους ή τις κλίσεις τους. Είναι κρίµα να τελειώσει µαθητής την Α Λυκείου και να µην νιώσει την (πνευµατική) χαρά από την απόδειξη ενός θεωρήµατος ή τη λύση µερικών ασκήσεων Γεωµετρίας. Γι αυτό πρέπει να δίνονται ασκήσεις ανάλογα µε το επίπεδο των µαθητών. Ειδικά στα ωριαία διαγωνίσµατα, οι ασκήσεις µπορεί να είναι και του βιβλίου (µόνο εµπέδωσης ή αποδεικτικές) ή αν είναι εκτός βιβλίου να είναι απλές και βέβαια διαβαθµισµένης δυσκολίας. Στα ηµερήσια τεστ (σε καµιά περίπτωση προειδοποιηµένα) συνιστάται να ελέγχονται απλές γνώσεις της θεωρίας και όταν µπαίνουν και ασκήσεις να είναι από τις πιο απλές (π.χ. κατανόησης ή εµπέδωσης) της ηµέρας. Από το Π. Ι. συνιστάται να µην γίνουν οι γενικές ασκήσεις όλων των κεφαλαίων και πολλά σύνθετα θέµατα (Βλ. οδηγίες). Πάντως και τα υπόλοιπα σύνθετα θέµατα, ανάλογα και µε το επίπεδο του τµήµατος, µπορούν να δίνονται προαιρετικά ή να λύνονται µέσα στην τάξη. Οι ασκήσεις του βιβλίου είναι αρκετές και δεν χρειάζεται γενικά να δίνονται και άλλες εκτός βιβλίου, εκτός των περιπτώσεων που συµπληρώνουν την θεωρία ή βοηθούν το επόµενο µάθηµα ή δίνονται προαιρετικά. ίνουµε προτεραιότητα στις ασκήσεις κατανόησης και εµπέδωσης. Προσοχή, γιατί συχνά η διάταξη στις ασκήσεις εµπέδωσης και αποδεικτικές δεν αντιστοιχεί στην διάταξη της θεωρίας και έτσι χρειάζεται να γνωρίζουµε ποιες ασκήσεις (για εργασία στο σπίτι) χρησιµοποιούν την θεωρία που θα διδάξουµε (ή την προηγούµενη). Σε κάθε µάθηµα συνιστάται να δίνονται ως εργασία 3 ασκήσεις (εµπέδωσης ή αποδεικτικές), εκτός των ασκήσεων κατανόησης (τις οποίες οι µαθητές µπορούν να τις ξέρουν προφορικά και να µην τις γράφουν στο τετράδιο) και µια προαιρετική (π.χ από τα σύνθετα θέµατα ή γενικές ασκήσεις ή εκτός βιβλίου). Στο 4 ο κεφάλαιο η Γεωµετρία µε την υιοθέτηση του αιτήµατος (αξιώµατος) παραλληλίας µετατρέπεται σε Ευκλείδεια. Οι προτάσεις πριν το αίτηµα παραλληλίας αναφέρονται ως προτάσεις της απόλυτης Γεωµετρίας. Σύµφωνα µε τις οδηγίες του Π. Ι. προτείνεται να µην διδαχθεί η απόδειξη της Πρότασης ΙV, οι γενικές ασκήσεις του κεφαλαίου και να µην γίνουν τα σύνθετα θέµατα 1, 3, 4 της σελίδας 83 και 3, 4, 5, 6 της σελίδας Ωριαίος χωρισµός του 4 ου Κεφαλαίου σε διδακτικές ενότητες µε διδακτικές επισηµάνσεις και σχόλια σε κάθε ενότητα. 1 η ιδακτική ενότητα: 4.1, 4.2 (Θεώρηµα, Πόρισµα Ι, ΙΙ). ιδακτικές επισηµάνσεις: Α. Η παραλληλία αναφέρεται σε ευθείες του ίδιου επιπέδου. Να αναφερθεί όµως ότι υπάρχουν και ευθείες στο χώρο που δεν έχουν κοινά σηµεία, αλλά δεν λέγονται παράλληλες: οι ασύµβατες, π.χ. δυο ακµές της αίθουσας διδασκαλίας που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Β. Αξιοσηµείωτο είναι ότι, ενώ το θεώρηµα αποδεικνύεται µε βάση τα προηγούµενα αξιώµατα και θεωρήµατα, το αντίστροφό του δεν αποδεικνύεται χωρίς το αξίωµα παραλληλίας. Ασκήσεις: Κατανόησης 1, 2, 3, Εµπέδωσης 4, 5, 6 (σελ.82).
3 . Ι. Μπουνάκης, Σ. Σ. Μ. - A Λυκείου Γεωµετρία: Κεφάλαιο 4 ο 3 2 η ιδακτική ενότητα : Αίτηµα παραλληλίας και Πρόταση Ι- Πόρισµα, Πρόταση ΙΙ, Πρόταση ΙΙΙ - Πόρισµα. ιδακτική επισηµάνσεις. Α. Πριν την διατύπωση του αιτήµατος παραλληλίας αποδεικνύεται ότι, από σηµείο εκτός ευθείας (ε) υπάρχει (κατασκευάζεται) ευθεία (ε ) παράλληλη στην ευθεία (ε) (Σχ.4β, βιβλίου). Το ότι η κάθετη από το Α στην (ε) είναι µοναδική και το ότι η κάθετη στην ΑΒ στο Α είναι µοναδική δεν συνεπάγεται ότι η (ε ) είναι η µοναδική παράλληλη στην (ε) από το Α. Απλά, αυτός είναι ένας τρόπος να φέρουµε από το Α παράλληλη στην (ε). Υπάρχει και άλλος τρόπος ( 4.3). Άρα υπάρχει µια τουλάχιστον παράλληλη στην (ε) από το Α. Β. Όλες οι προτάσεις της ενότητας χρησιµοποιούν το Αξίωµα παραλληλίας και αποτελούν την αφετηρία όλων των επόµενων θεωρηµάτων της Ευκλείδειας Γεωµετρίας. Γ. Επισηµαίνουµε τέλος τις δυνατότητες που µας δίνουν οι προτάσεις αυτές.. Εφαρµογή σελ.79 (στην τάξη ή στο σπίτι). Ασκήσεις: 1. Αν δυο ευθείες τέµνονται, τότε και δυο αντίστοιχες σε αυτές ευθείες παράλληλες τέµνονται. 2. Εµπέδωσης 1, 2. 3 η ιδακτική ενότητα : Πρόταση ΙV Πόρισµα - Ιστορικά στοιχεία. Η πρόταση ΙV αποτελεί βασικό κριτήριο για να διαπιστώνουµε αν δυο ευθείες. τέµνονται. Παρόλο που οι οδηγίες του Π.Ι. δεν προβλέπουν την απόδειξη της Πρότασης ΙV (: που είναι το περίφηµο Ευκλείδειο αίτηµα), καλό να διδαχθεί, όπως και η αντίστροφή της, για να δειχθεί η ισοδυναµία του Ευκλειδείου αιτήµατος µε το αίτηµα παραλληλίας. Το αίτηµα παραλληλίας αποδεικνύεται µε βάση την Πρόταση ΙV, ως εξής: Aπό το 5 ο αίτηµα του Ευκλείδη στο αίτηµα παραλληλίας: Απόδειξη Έστω ευθεία (ε) και ένα σηµείο Α εκτός αυτής. Θα δείξουµε ότι υπάρχει µοναδική παράλληλη από το Α στην (ε). Σύµφωνα µε το σχ. βιβλίο (σελ.76 αµέσως µετά την απόδειξη του Πορίσµατος ΙΙ ) υπάρχει ευθεία (ε ) παράλληλη στην (ε) (Σχήµα 4β βιβλίου). Έστω τώρα τυχαία ευθεία ΑΕ που διέρχεται από το Α και διαφορετική από την (ε ). Η ΑΕ θα σχηµατίζει µε την ΑΒ µια οξεία γωνία, έστω την EAB(Θα µπορούσε να είναι και από την άλλη µεριά.). Α (ε ) Ε Γ Β Παρατηρούµε ότι EAB + ABΓ = EAB+ 90 ο <180 ο, οπότε σύµφωνα µε το Ευκλείδειο αίτηµα (Πρόταση ΙV) οι ευθείες ΑΕ και (ε) τέµνονται. Άρα υπάρχει µοναδική παράλληλη από το Α στην (ε), η (ε ). (ε)
4 . Ι. Μπουνάκης, Σ. Σ. Μ. - A Λυκείου Γεωµετρία: Κεφάλαιο 4 ο 4 Ιστορικά στοιχεία. Α. Η Πρόταση ΙV είναι το περίφηµο 5 ο αίτηµα του Ευκλείδη το οποίο πως είδαµε είναι ισοδύναµο µε το αίτηµα παραλληλίας. Το αίτηµα παραλληλίας αντικατέστησε το Ευκλείδειο αίτηµα σε όλα σχεδόν τα βιβλία Ευκλείδειας Γεωµετρίας τα τελευταία 200 χρόνια και είναι γνωστό και σαν αίτηµα του Playfair (John, , Σκώτος), ο οποίος το καθιέρωσε το Η (ισοδύναµη) αυτή µορφή του 5 ου αιτήµατος ήταν όµως γνωστή ήδη από τον Πρόκλο ( µ.χ., νεοπλατωνικός φιλόσοφος, τελευταίος διευθυντής της Ακαδηµίας Πλάτωνος) όπως ο ίδιος ο Playfair είχε επισηµάνει. Β. Στα ιστορικά στοιχεία του βιβλίου (σελ ) καλό είναι να επισηµάνουµε τις 10 προτάσεις που αναφέρει το βιβλίο ως ισοδύναµες µε το Ευκλείδειο αίτηµα και τις πολύχρονες προσπάθειες για την απόδειξή του. Επίσης ότι µερικές από τις προτάσεις αυτές πολλοί εργάτες της Γεωµετρίας, στην προσπάθεια τους να αποδείξουν το 5 ο αίτηµα, έπαιρναν ως αληθείς, νοµίζοντας ότι ήταν ανεξάρτητες του Ευκλειδείου αιτήµατος, και έτσι επαίρονταν ότι το είχαν αποδείξει. Στην ουσία δηλαδή χρησιµοποιούσαν το Ευκλείδειο αίτηµα µε άλλη µορφή, για να το αποδείξουν!. Αξιοσηµείωτο είναι ότι, ενώ το αντίστροφο του 5 ου αιτήµατος είναι µια πρόταση που αποδεικνύεται (και στο βιβλίο (βλ Πόρισµα (β)) το 5 ο αίτηµα του Ευκλείδη παρά τις πείσµονες προσπάθειες 20 αιώνων δεν έγινε δυνατό να αποδειχθεί από προηγούµενα αιτήµατα (βλ. ιστορικό σηµείωµα σελ. 90). Τέλος ότι, η άρνηση να δεχθούν µερικοί Γεωµέτρες το 5 ο αίτηµα τους οδήγησε στην δηµιουργία δυο σηµαντικών νέων γεωµετριών, της Υπερβολικής (από τους Βolyai, Kolmogorof ) και της Ελλειπτικής (Riemann) που λέγονται µη Ευκλείδειες. Στην υπερβολική Γεωµετρία δεχόµαστε ότι από σηµείο εκτός ευθείας διέρχονται δυο τουλάχιστον παράλληλες και στην Ελλειπτική καµµία. Άσκηση : Να αποδειχθεί ότι οι διχοτόµοι δυο εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου τέµνονται (εντός του τριγώνου). Εργασία 1 : Οι µαθητές να διαβάσουν το ιστορικό σηµείωµα και να γνωρίζουν π.χ. τουλάχιστον 4 προτάσεις µε τις οποίες είναι ισοδύναµο το Ευκλείδειο αίτηµα. Εργασία 2 : Τα παρακάτω 5 αιτήµατα, όπως ακριβώς υπάρχουν στο 1 ο βιβλίο (από τα 13) των Στοιχείων του Ευκλείδη (περίπου 300 π.χ.) να γραφούν σε χαρτόνι από ένα µαθητή το οποίο να αναρτηθεί στην αίθουσα διδασκαλίας. Αἰτήματα ε. α. Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. β. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπʹ εὐθείας ἐκβαλεῖν. γ. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι. δ. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι. ε. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπʹ ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφʹ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες. (Από το 1 ο Βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη (300 π. Χ.))
5 . Ι. Μπουνάκης, Σ. Σ. Μ. - A Λυκείου Γεωµετρία: Κεφάλαιο 4 ο 5 4 η ιδακτική ενότητα : 4.4 Γωνίες µε πλευρές παράλληλες. Να αναφερθεί και η περίπτωση που δυο γωνίες έχουν τις πλευρές τους αντίστοιχα παράλληλες και η µια είναι ορθή (οπότε είναι και η άλλη). Άσκηση 1: Αν δυο ευθείες τέµνονται να δειχθεί ότι και δυο κάθετες (αντίστοιχα) σ αυτές τέµνονται. Άσκηση 2: Να αποδειχθεί ότι οι διχοτόµοι δυο εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου τέµνονται. (Οι ασκήσεις αυτές µαζί µε αυτή του προηγούµενο µαθήµατος προετοιµάζουν το επόµενο µάθηµα). Εργασία σελ. 89. Ασκήσεις: Εµπέδωσης 4, 5. Αποδεικτική 1. 5 η ιδακτική ενότητα : 4.5 Αξιοσηµείωτοι κύκλοι τριγώνου Βλέπε παρακάτω σχέδιο διδασκαλίας. 6 η ιδακτική ενότητα : 4.6, 4.7 Επισηµάνσεις: 1. Το ότι το άθροισµα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180 ο, είναι συνέπεια του αιτήµατος παραλληλίας, αφού για την απόδειξή του χρησιµοποιείται η Πρόταση 1. Έτσι είναι καλό να ερωτηθούν οι µαθητές αν χρειάστηκε το αίτηµα παραλληλίας και σε ποιο σηµείο ή αν µπορούσε να αποδειχθεί το θεώρηµα χωρίς το αίτηµα παραλληλίας. Στην υπερβολική Γεωµετρία το άθροισµα των γωνιών τριγώνου είναι µικρότερο από 180 ο, ενώ στην Ελλειπτική µεγαλύτερο από 180 ο (π.χ. γωνίες σφαιρικού τριγώνου). 2. Ποιες δυνατότητες µας δίνει το θεώρηµα; Να υπολογίζουµε µια γωνία τριγώνου όταν ξέρουµε τις άλλες δυο. Να εκφράζουµε µια γωνία συναρτήσει των άλλων δυο. Να εκφράζουµε το άθροισµα δυο γωνιών τριγώνου συναρτήσει της τρίτης κλπ Να υπολογίζουµε το ηµιάθροισµα των γωνιών τριγώνου κλπ. 3. Να αναφερθεί ως Πόρισµα ή να δοθεί ως άσκηση, το εξής (νέο) κριτήριο ισότητας τριγώνων: Αν δυο τρίγωνα έχουν δυο γωνίες ίσες µια προς µια και δυο πλευρές που βρίσκονται απέναντι από το ένα ζευγάρι των ίσων γωνιών ίσες, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Επίσης η ειδική περίπτωση αυτού δε ορθογώνια τρίγωνα (µια κάθετη και η απέναντι γωνία που δεν υπάρχει και καλώς- στα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων). Σηµείωση: δυο τρίγωνα µπορεί να έχουν δυο πλευρές τους και δυο γωνίες τους ίσες µια προς µια, όχι αντίστοιχες, και να µην είναι ίσα (ψευδοΐσα τρίγωνα). εν είναι όµως εδώ ο κατάλληλος χώρος για να αναφερθούµε στο θέµα αυτό µε το οποίο έχω ασχοληθεί τελευταία. 4. Ίδια σχέση µε τις γωνίες µε πλευρές κάθετες έχουν και οι γωνίες µε πλευρές παράλληλες. Να αναφερθεί και η περίπτωση που δυο γωνίες έχουν τις πλευρές τους κάθετες και η µια είναι ορθή. Εφαρµογή 1 (σελ.86). Ασκήσεις Εµπέδωσης 1,2 Αποδεικτικές 2.
6 . Ι. Μπουνάκης, Σ. Σ. Μ. - A Λυκείου Γεωµετρία: Κεφάλαιο 4 ο 6 7 η ιδακτική ενότητα : Ασκήσεις Να βρεθεί πρώτα το άθροισµα των γωνιών ενός κυρτού τετραπλεύρου. Ας σηµειωθεί ότι τα θεωρήµατα δεν ισχύουν για µη κυρτά πολύγωνα. Για παράδειγµα, ένα µη κυρτό τετράπλευρο µπορεί να έχει άθροισµα (εσωτερικών ή κυρτών) γωνιών του 4 ορθές, µπορεί όµως να έχει και λιγότερο από 4 ορθές. Ασκήσεις : Κατανόησης 3,5, Εµπέδωσης 7. 8 η ιδακτική ενότητα : Επανάληψη κεφαλαίου - Ασκήσεις. Βασικά σηµεία κεφαλαίου: Αξίωµα παραλληλίας και σχέση του µε Ευκλείδειο αίτηµα και άθροισµα γωνιών τριγώνου. Το αξίωµα αυτό χαρακτηρίζει όλη την επόµενη Γεωµετρία ως Ευκλείδεια. Μεθοδολογία: το άθροισµα των γωνιών τριγώνου είναι η µοναδική και πολύ σπουδαία σχέση για τον υπολογισµό γωνιών τριγώνου, την λογιστική επεξεργασία και την δηµιουργία σχέσεων µεταξύ των γωνιών τριγώνου. Ασκήσεις : Αποδεικτικές 2, 3 (σελ.82) και 3, 4 (σελ.87). 9 η ιδακτική ενότητα : Λύση ασκήσεων (Στην τάξη καλό είναι να λύνουµε (υποδειγµατικά) αποδεικτικές ασκήσεις ή σύνθετα θέµατα). Συνθετική εργασία στο κεφάλαιο 4: Το Ευκλείδειο αίτηµα διά µέσου των αιώνων (εν συντοµία)- Μη Ευκλείδειες Γεωµετρίες (Στο διαδίκτυο και στις εγκυκλοπαίδειες υπάρχει πλούσιο υλικό). Οι ενδιαφερόµενοι µαθητές µπορούν να χωριστούν σε οµάδες και κάθε µια να αναλάβει ένα θέµα ή µια χρονική περίοδο. 3. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ 2 η ιδακτική ενότητα: 4.5 Αξιοσηµείωτοι κύκλοι τριγώνου. Ι. ιδακτικοί στόχοι - Ταξινόµηση σε είδη µάθησης. Α. Να αποκτήσουν οι µαθητές την ικανότητα να αναφέρουν τα Θεωρήµατα της 4.5. («Πληροφορίες») Β. Να κατανοήσουν ότι τα θεωρήµατα αυτά είναι συνέπεια του αιτήµατος παραλληλίας. Γ. Να µπορούν να λύνουν απλές ασκήσεις εφαρµόζοντας τα θεωρήµατα αυτά. («Νοητικές δεξιότητες») ΙΙ. Μορφή διδασκαλίας: Καθοδηγούµενη αυτενέργεια - ερωτηµατικός διάλογος. ΙΙΙ. ιδακτική Μέθοδος : Παραγωγική. ΙV. Εποπτικά µέσα: Πίνακας, χρ. κιµωλίες.
7 . Ι. Μπουνάκης, Σ. Σ. Μ. - A Λυκείου Γεωµετρία: Κεφάλαιο 4 ο 7 V. ιδακτικές ενέργειες 1. Ανάκληση προηγουµένων γνώσεων. Έλεγχος γνώσεων προηγουµένου µαθήµατος και προηγουµένων γνώσεων (µεσοκάθετη τµήµατος, διχοτόµος γωνίας και χαρακτηριστικές τους ιδιότητες). 2. ηµιουργία κινήτρων µάθησης Τρία χωριά Κ, Λ, Μ θέλουν να ανοίξουν µια Γεώτρηση σε ένα σηµείο που να ισαπέχει από τις πλατείες τους. Ο Μηχανικός τους υπέδειξε ένα τέτοιο σηµείο και έτσι έµειναν είναι όλοι ικανοποιηµένοι! Πως το βρήκε άραγε; 3. Πληροφόρηση Σήµερα θα µάθετε σχετικά µε δυο αξιοσηµείωτους κύκλους τριγώνου. Τον περιγεγραµµένο, που περνά από όλες τις κορυφές του, και τον εγγεγραµµένο που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του. 4. Κατεύθυνση προσοχής µαθητών-παροχή οδηγιών για νέα µάθηση. Α. Περιγεγραµµένος κύκλος Ποια ιδιότητα θέλουµε να έχει το σηµείο που θα ανοιχτεί η Γεώτρηση; Θυµάστε κάποια πρόταση σχετική µε ισότητα αποστάσεων ενός σηµείου από (δυο) σηµεία; Σχεδιάστε ένα τρίγωνο και θεωρήσετε τις µεσοκαθέτους σε δυο πλευρές του Εξετάσετε αν τέµνονται. Προσπαθήστε να δείξετε ότι από το σηµείο τοµής τους διέρχεται και η τρίτη µεσοκάθετη. Τι συµπεραίνετε; (αυτός είναι ένας συνηθισµένος τρόπος για να αποδεικνύουµε ότι τρεις ευθείες συντρέχουν) Μπορείτε τώρα να γράψετε κύκλο που να διέρχεται από όλες τις κορυφές του τριγώνου; Ποιο θα είναι το κέντρο του; (περίκεντρο, Ο); Β. Εγγεγραµµέµοςς κύκλος 5. ηµιουργία κινήτρων µάθησης Τρία άλλα χωριά Α, Β, Γ ήταν πιο απαιτητικά: δεν ήθελαν την παραπάνω λύση. Επειδή υπήρχαν οι δρόµοι ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ έκριναν πιο δίκαιο και πιο εξυπηρετικό η Γεώτρηση να ισαπέχει και από τους τρεις αυτούς δρόµους. Μπορείτε να τους πείτε σε πιο σηµείο θα πρέπει να ανοιχθεί η γεώτρηση ή να ρωτήσουν ξανά τον Μηχανικό; 6. Κατεύθυνση προσοχής µαθητών-παροχή οδηγιών για νέα µάθηση. Ποια ιδιότητα θέλουµε να έχει το σηµείο στη δεύτερη Γεώτρηση; Θυµάστε κάποια πρόταση σχετική µε ισότητα αποστάσεων σηµείου από ευθείες; Σχεδιάστε ένα τρίγωνο και θεωρήσετε τις διχοτόµους δυο εσωτερικών γωνιών του. Εξετάσετε αν τέµνονται. Προσπαθήστε να δείξετε ότι από το σηµείο τοµής τους διέρχεται και η διχοτόµος της τρίτης γωνίας. Τι συµπεραίνετε; Μπορείτε τώρα να γράψετε κύκλο που να εφάπτεται στις πλευρές του τριγώνου; Ποιο θα είναι το κέντρο του; (έγκεντρο, Ι κλπ);
8 . Ι. Μπουνάκης, Σ. Σ. Μ. - A Λυκείου Γεωµετρία: Κεφάλαιο 4 ο 8 7. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση. Να αποδείξετε ότι το έγκεντρο και το περίκεντρο ισοσκελούς τριγώνου βρίσκονται πάνω στην διάµεσο από την κορυφή του. Ποια σχέση έχει το περίκεντρο και το έγκεντρο ενός ισόπλευρου τριγώνου; Η µεσοκάθετη σε µια κάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου τέµνει την υποτείνουσα στο σηµείο Μ. Να αποδείξετε ότι το Μ είναι το περίκεντρο του τριγώνου. Τι συµπεραίνετε; 8. Ενίσχυση της συγκράτησης των νέων στοιχείων - Μεταφορά µάθησης. Σε ποιο σηµείο της απόδειξης ότι οι µεσοκάθετοι τριγώνου συντρέχουν χρησιµοποιήθηκε το αίτηµα παραλληλίας; Πως θα κατασκευάσουµε (µε κανόνα και διαβήτη) τον περιγεγραµµένο κύκλο ενός τριγώνου; Πως τον εγγεγραµµένο; Εφαρµογή σελ. 81 (παρεγγεγραµµένοι κύκλοι τριγώνου). Να γίνει ο ένας κύκλος, αλλά να αναφερθεί ότι υπάρχουν τρεις. Ανακεφαλαίωση- Συµπέρασµα για την κατασκευή των Γεωτρήσεων. Ιστορικά στοιχεία- πληροφόρηση: Εκτός από το περίκεντρο Ο και το έγκεντρο τριγώνου υπάρχουν δυο ακόµη αξιοσηµείωτα σηµεία τριγώνου. Το ορθόκεντρο Η (σηµείο τοµής υψών) και το βαρύκεντρο G (σηµείο τοµής διαµέσων) όπως θα δούµε παρακάτω. Μάλιστα, όπως απέδειξε ο µεγάλος Ελβετός Μαθηµατικός L. Euler ( ) τα σηµεία Η, G, Ο βρίσκονται στην ίδια ευθεία (ευθεία Euler) και µάλιστα ισχύει ΗG = 2GΟ. Το µέσο του ΗΟ είναι το κέντρο ενός σηµαντικού κύκλου του τριγώνου, του κύκλου Euler (ή κύκλου των 9 σηµείων). Τα θέµατα όµως αυτά απαιτούν την θεωρία των εγγραψίµων τετραπλεύρων. Φέτος γιορτάζουµε τα 300 χρόνια από τη γέννηση του µεγάλου αυτού Μαθηµατικού και Φυσικού επιστήµονα. VI. Εργασία στο σπίτι : 1. Να κατασκευάσετε (µε κανόνα και διαβήτη) τον περιγεγραµµένο κύκλος ενός (αµβλυγωνίου) τριγώνου. Επίσης να κατασκευαστεί ο εγγεγραµµένος κύκλος ενός (οξυγωνίου) τριγώνου. 2. Άσκηση αποδεικτική (βιβλίου) Αν σε ένα τρίγωνο το περίκεντρο και το έγκεντρο συµπίπτουν, να βρείτε το είδος του τριγώνου. 4.Ένας µαθητής να βρει στοιχεία για τον Euler και να τα διαβάσει στην τάξη.- Υ.Γ. Ένα αντίγραφο να µείνει στο φάκελο «ιδακτικής Μαθηµατικών» του σχολείου. ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών
ΘΕΜΑ : Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΣΧΕ ΙΑ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ)
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος I. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ
ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου
Διαβάστε περισσότεραΠαράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός)
Παράλληλες Ευθείες Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 4.1 Εισαγωγή 2 ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο ευθείες ε 1 και ε 2 που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες
Διαβάστε περισσότεραΑ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.
Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι
Διαβάστε περισσότεραΠαρατηρήσεις, Συµπληρώσεις και Ασκήσεις στο πρώτο µέρος του 1 ου κεφαλαίου της Ανάλυσης (ενότητες 1.1, 1.2, 1.3)
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος I. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών
Διαβάστε περισσότεραΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014
Εαρινό εξάμηνο 2014 18.03.14 Χ. Χαραλάμπους Πως ορίζονται αξιωματικά από το σύστημα των ρητών αριθμών οι πραγματικοί αριθμοί? Τομές του Dedekind (1831-1916) στους ρητούς: δημιουργία των άρρητων (αξιωματική
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
Διαβάστε περισσότεραΚαθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος
Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013
Διαβάστε περισσότεραΣωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.
Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1) Οι οξείες
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία. I. Εισαγωγή
I. Εισαγωγή Γεωμετρία Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι μαθητές έχουν έρθει σε
Διαβάστε περισσότεραΣημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων.
ΜΑΘΗΜΑ 1 αόριστες έννοιες Έννοιες που είναι τόσο απλές και οικείες από την εμπειρία μας, ώστε δεν μπορούμε να βρούμε πιο απλές με τη βοήθεια των οποίων να τις περιγράψουμε Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία
Διαβάστε περισσότερα3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.
Διαβάστε περισσότερα/νσεων /θµιας Εκπ/σης) ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει
Διαβάστε περισσότεραΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10
ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών
Διαβάστε περισσότερα2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ
1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας
Διαβάστε περισσότεραII ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων
ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ (version 22-10-2016) Τα παρακάτω προέρχονται (με δικές μου αλλαγές μορφοποίησης προσθήκες και σχολιασμό) από το έγγραφο (σελ.15 και μετά) με Αριθμό Πρωτοκόλλου 150652/Δ2, που
Διαβάστε περισσότεραΘέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου
Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με
Διαβάστε περισσότεραΕαρινό Εξάμηνο 2012. 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ
Εαρινό εξάμηνο 2012 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους Έργα Στοιχεία Δεδομένα Φαινόμενα ή Σφαιρικά Οπτικά Κατοπτρικά Στοιχεία Μουσικής Βιβλίο περί διαιρέσεων Πορίσματα Κωνικά Τόποι προς επιφάνειες Ψευδάρια Μηχανική
Διαβάστε περισσότεραΤρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα
Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν. Τα τρία σημεία αυτά λέγονται κορυφές του τριγώνου.
Διαβάστε περισσότεραΤάξη A Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ
ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα -εξεταστέα
Διαβάστε περισσότεραA. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ
A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη
Διαβάστε περισσότεραΣχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2
A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι
Διαβάστε περισσότεραΓενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α
ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς
Διαβάστε περισσότεραΤρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)
Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θεωρήματα καθώς και το Θεώρημα Ι σ. 104 είναι SOS όχι μόνο για θεωρία αλλά και για χρήση στις ασκήσεις, οπότε πρέπει να κατανοήσετε τι λένε, να ξέρετε την απόδειξη και να είστε έτοιμοι
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Ι. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά.,
Διαβάστε περισσότερα5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //
1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν
Διαβάστε περισσότεραΣε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος.
ΙΩΝΙΣΜ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΟΥ 3/0/0 ΕΝΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜ ο ) Να αποδείξετε ότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και µόνο αν τα αποστήµατά τους είναι ίσα. Θεωρία, σελίδα 46 σχολικού βιβλίου Θεώρηµα III
Διαβάστε περισσότερα5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :
5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5
Διαβάστε περισσότεραΟνοματεπώνυμο... Β. Να γράψετε τον αριθμό κάθε πρότασης στο γραπτό σας και δίπλα να την χαρακτηρίσετε σαν «Σωστό» ή «Λάθος»
ο Γενικό Λύκειο Χανίων ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ - Τάξη ΓΡΠΤΕΣ ΠΡΟΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ ΜΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙ Τα θέματα ΔΕΝ θα μεταφερθούν στο καθαρό. Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα Οι απαντήσεις να γραφούν στο καθαρό
Διαβάστε περισσότεραΣωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα
Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα
Διαβάστε περισσότερα15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου 5 ΣΚΗΣΙΣ ΣΤ ΞΙΟΣΗΙΩΤ ΣΗΙ ΤΡΙΩΝΟΥ )ίνεται τρίγωνο µε = 45 και B = 75. ν µέσο της φέρουµε από το κάθετη στη διχοτόµο της γωνίας που τέµνει την στο. Στην παίρνουµε
Διαβάστε περισσότεραγεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )
γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +
Διαβάστε περισσότεραΟρισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.
6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται
Διαβάστε περισσότεραΗ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ
Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό
Διαβάστε περισσότερα2. Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου
2. Γεωμετρία Α Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ
ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό Μαθηµατικών Γ Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι,
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ
Διαβάστε περισσότερα6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης
6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές
Διαβάστε περισσότερα24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και
ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές
Διαβάστε περισσότεραΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου
Διαβάστε περισσότεραημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ
Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα
Διαβάστε περισσότεραΑ Γυμνασίου, Μέρο Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία
Α Γυμνασίου, Μέρο Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία Περιοδική Έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρο Β - Κεφάλαιο 2, Β. 2.2. Άξονα συμμετρία σχήματο ονομάζεται η ευθεία που χωρίζει
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Η παρούσα σύνοψη παρουσιάζει τις προτάσεις του σχολικού βιβλίου που διδάχτηκαν την φετινή χρονιά,συνοπτικά δίχως αποδείξεις και με διαφορετική σειρά
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΒ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β Ημερήσιου και Γ Εσπερινού Γενικού Λυκείου II. Διαχείριση διδακτέας ύλης Κεφάλαιο 7 ο (Προτείνεται να διατεθούν 6 διδακτικές ώρες). 7.1-7.6 Στις παραγράφους αυτές γίνεται πρώτη
Διαβάστε περισσότερα1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:
Διαβάστε περισσότεραΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία
Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού
Διαβάστε περισσότεραΟι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
Διαβάστε περισσότεραΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο
Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο,
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.
Διαβάστε περισσότερα6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr
6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που
Διαβάστε περισσότεραΔ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία
Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ÅÐÉËÏÃÇ
ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Σάββατο 8 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Α1. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελίδα 83 Α2. α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό
Διαβάστε περισσότεραΤο εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.
Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.
Διαβάστε περισσότεραΙδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις /
Ιδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις / Οι παρακάτω πίνακες καλύπτουν το μεγαλύτερο μέρος της ύλης του αναλυτικού προγράμματος σπουδών της Γεωμετρίας.
Διαβάστε περισσότερα1 x και y = - λx είναι κάθετες
Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ
1 3 ΜΕΣΚΘΕΤΣ ΕΥΘΥΡΜΜΥ ΤΜΗΜΤΣ ΘΕΩΡΙ Μεσοκάθετος ευθυγράµµου τµήµατος Λέγεται η ευθεία που διέρχεται από το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος και είναι κάθετη σ αυτό. Ιδιότητα : Κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα Γενικής Παιδείας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου
Διαβάστε περισσότεραΤο τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.
5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και
Διαβάστε περισσότεραΤρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου
Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και
Διαβάστε περισσότερα3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται το ισοσκελές τραπέζιο µε ɵ = = 45 ο. Έστω Ε, Ζ τα µέσα των και αντίστοιχα και Η. πό το Z φέρνουµε παράλληλη στην που τέµνει την στο Θ. Να δείξετε ότι Το τετράπλευρο
Διαβάστε περισσότεραB) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.
Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο
ΥΣΕΙΣ ΙΩΝΙΣΜΤΣ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜ 1 ο ) Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή ως λάθος () καθεµία από τις επόµενες προτάσεις. ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, όταν οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες.
Διαβάστε περισσότεραΗμερομηνία: Τρίτη 17 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ημερομηνία: Τρίτη 17 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα
Διαβάστε περισσότερα6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών
6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Στέφανος Κεΐσογλου Σχολικός σύμβουλος ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Στέφανος Κεΐσογλου Σχολικός σύμβουλος ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολείο: Ημερομηνία: / / Β Λυκείου τμήμα.. Καθηγητής/τρια:Τάξη: Α) Το θέμα και το μαθησιακό περιβάλλον. 1) Το γνωστικό
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου
Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ
Διαβάστε περισσότερα4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι
Διαβάστε περισσότεραΚόλλιας Σταύρος 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
Κόλλιας Σταύρος http://users.sch.gr/stkollias 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου
Διαβάστε περισσότερα