ΠΡΟΣΔΗΝΟΜΔΝΖ ΓΔΩΜΔΣΡΗΑ ΣΟΤ ΠΛΑΣΩΝΗΚΟΤ ΣΗΜΑΗΟΤ

Transcript

1 ΠΡΟΣΔΗΝΟΜΔΝΖ ΓΔΩΜΔΣΡΗΑ ΣΟΤ ΠΛΑΣΩΝΗΚΟΤ ΣΗΜΑΗΟΤ Παλαγηώηε Υ. ηεθαλίδε BSc(Eng)Lon(Hons) MSc(Eng)NTUA ΜΣΔΔ CEng MIET ΔΠΗΣΖΜΟΝΗΚΟ ΤΜΠΟΗΟ ΓΔΩΜΔΣΡΗΑ 1 θαη 2 Ηνπλίνπ 2012 Γεσκεηξία: από ηελ Δπηζηήκε ζηελ Δθαξκνγή ΣΔΗ Πεηξαηά PROPOSED GEOMETRY OF THE PLATONIC TIMAEUS By Eur Ing Panagiotis Ch. Stefanides BSc(Eng)Lon(Hons) MSc(Eng)NTUA ΜΣΔΔ CEng MIET Geometry Scientific Symposium, Technological and Educational Institution of Piraeus, 1-2 June 2012 Copyright Panagiotis Stefanides

2 2 ΠΡΟΣΔΗΝΟΜΔΝΖ ΓΔΩΜΔΣΡΗΑ ΣΟΤ ΠΛΑΣΩΝΗΚΟΤ ΣΗΜΑΗΟΤ Παλαγηώηε Υ. ηεθαλίδε* Πεξίιεςε :Σν θύξην ζέκα ηεο εξγαζίαο κνπ είλαη ε πξνηεηλόκελε γεσκεηξηθή εξκελεία ηεο κνξθήο ηνπ Πιαησληθνύ νξζνγσλίνπ ζθαιελνύ θαιιίζηνπ ηξηγώλνπ, ηνπ Σηκαίνπ, όπνπ ε θξάζε...ηξηπιήλ θαηά δύλακηλ... απνδίδεηαη, εδώ, σο θύβνο θαη όρη σο ηξηπιάζην ηεηξάγσλν [ ρ. 1, 6]. Ζ ηδηαηηεξόηεηα ηνπ νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ απηνύ [θαη ησλ παξνκνίσλ ηνπ], είλαη ε γσλία θιίζεο ηνπ [ηεο ππνηείλνπζαο κε ηελ νξηδόληηα πιεπξά], κνλαδηθή ζηελ νπνία επηηπγράλεηαη ν ηεηξαγσληζκόο ηεο θαζέηνπ [κεγαιύηεξεο], δηα ηνπ γηλνκέλνπ ηεο ππνηείλνπζαο κε ηελ νξηδόληηα [κηθξόηεξε] πιεπξά ηνπ [ ρ. 14] Ζ γσλία απηή έρεη εθαπηνκέλε[θιίζε] ηελ ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ρξπζνύ ιόγνπ. Ζ ηδηόηεηα απηή ην θαζηζηά ηξίγσλν ηεηξαγσληζκνύ, θαη πεξαηηέξσ, έλα πξόζζεην βνήζεκα γηα ηνλ εξεπλεηή, ηδηαίηεξα, ζηελ έξεπλα ησλ άιπησλ θιαζηθώλ πξνβιεκάησλ [ ρ. 13, 19]. Kαηά ηνλ Πιάησλα, κε ην θάιιηζην ηξίγσλν θαη ην νξζνγώλην ηζνζθειέο, θαηαζθεπάζζεθε ην ζώκα ηνπ ππξόο θαη ηα ζώκαηα ησλ άιισλ ζηνηρείσλ [ ρ. 23]. Ζ δε κνλάδα δνκήο ησλ γελνκέλσλ ζσκάησλ, πξέπεη λα είλαη ζσκαηηθή γηα λα είλαη νξαηή θαη απηή..σκαηνεηδέο δέ δή θαί νξαηόλ απηόλ ηε δεί ην γελόκελνλ... [ ρ. 12]. Μέζσ ησλ αλαινγηώλ, ζπλδέζεθαλ ηα ζηνηρεία ππξ θαη γε κε έλαλ θάιιηζην, ζηεξενεηδή, δεζκό δηα ησλ ζηνηρείσλ αέξαο θαη ύδσξ, θαη ζπλελσκέλα κεηαμύ ησλ, όια ηα ζηνηρεία, απνηεινύλ κία αδηάιπηε κνλάδα. Δδώ, εξκελεύνληαη γεσκεηξηθά, θαηά ηνλ ζπγγξαθέα, νη αλσηέξσ έλλνηεο, κε ηελ ρξήζε ηνπ θαιιίζηνπ ηξηγώλνπ θαη νκνίσλ ηνπ, κέζσ ησλ θηινζνθηθώλ ελλνηώλ ησλ ηεζζάξσλ ζηνηρείσλ ππξ, αέξαο, γε θαη ύδσξ, ιακβαλνκέλσλ απηώλ σο αθκώλ ησλ ηξηγσληθώλ απηώλ επηθαλεηώλ 2. Σέινο, δίδνληαη ζρέζεηο θαη ζπκκεηξίεο ηνπ θαιιίζηνπ ηξηγώλνπ, κε ηα βαζηθά γεσκεηξηθά ζρήκαηα [ θαηά ηνλ Πιάησλα όια ηα ηξίγσλα πξνέξρνληαη από ηα δύν πξναλαθεξζέληα ηξίγσλα 3 ] ηεηξάγσλα, παξαιιειόγξακκα, θύθινπο, θαη κε ηνπο ινγάξηζκνπο, όπνπ από ηνλ ζπγγξαθέα δίλεηαη ε έλλνηα ηνπ ινγάξηζκνπ [ρ. 4Α, 4Β ],σο ιόγνο δύν αξηζκώλ [γσληώλ], κέζσ ηνπ πεηξνεηδνύο Οξηζκνύ ηνπ Λνγάξηζκνπ 4. εκεηώλεηαη όηη ην Σξίγσλν Kepler ηοσ Magirus [7] είναι ένα όμοιo αλλά ότι ηο ίδιο : Λέμεηο Κιεηδηά: Σίκαηνο Πιάησλνο, Κάιιηζην Σξίγσλν, Οξζνγώλην θαιελό Σξίγσλν, Οξζνγώλην Ηζνζθειέο Σξίγσλν, σκαηνεηδέο, ηεξενεηδήο Κάιιηζηνο Γεζκόο, Ίρλε ηνηρείσλ- Ππξ- Αήξ-Γή- Τδσξ, Σξηπιήλ θαηά Γύλακηλ. *ΠΑΝΑΓΗΩΣΖ Υ. ΣΔΦΑΝΗΓΖ Γηπι. Ζ/M University of London Γηπι. M/H/Μ Δζληθό Μεηζόβην Πνιπηερλείν Απόθ. Κιαζηθνύ Λπθείνπ Ο Πιάησλ Πεηξαηά Δξεπληηήο [η.] ΔΑΒ Οκνη. Μέινο ΣΔΔ, Chartered Engineer [UK]

3 3 Δηζαγσγή: Ζ εξγαζία απηή βαζίζηεθε, θπξίσο, ζηνπο πξνζσπηθνύο κνπ ζηνραζκνύο θαη εξσηεκαηηθά γηα ηελ ύπαξμε ηνπ ζύκπαληνο θαη, βέβαηα, ελ ζρέζε κε ηηο βαζηθέο ζπνπδέο θαη έξεπλέο κνπ γηα αλαδήηεζε πξόζθνξσλ κεζόδσλ επίσλ κνξθώλ ελέξγεηαο 1, πέξαλ ηεο θαζεκεξηλήο επαγγεικαηηθήο κνπ ελαζρόιεζεο, δειαδή απηήο ηνπ Γηπισκαηνύρνπ Μεραλνιόγνπ θαη Ζιεθηξνιόγνπ Μεραληθνύ ζπλεπηθνύξεζε δε ζε απηό ε αλαδήηεζε ηεο Κιαζηθήο Φηινζνθίαο. Με ηε ζπρλή ρξήζε ζεκάησλ θαη πξνβιεκάησλ θίλεζεο, δπλάκεσλ, ελέξγεηαο, ηζρύνο θιπ., παξεηήξεζα όηη ππάξρνπλ 7 βαζηθέο ζρέζεηο, νη νπνίεο θαίλνληαη λα πξνέξρνληαη ε κία από ηελ άιιε: L 1 /T 0, L 2 /T 0, L 3 /T 1, L 4 /T 1, L 4 /T 2, L 5 /T 2, L 5 /T 3 Απηέο νη ζρέζεηο είλαη απαξαίηεηεο ζηε δεκηνπξγία ελόο έξγνπ από ηε ζύιιεςή ηνπ έσο ηελ πινπνίεζή ηνπ. Απηέο δε είλαη: ε γξακκή, ε επηθάλεηα, ν όγθνο αλά κνλάδα ρξόλνπ [ L3 /T 1 ] θ ροθ μάζασ για πυκνότητα μονάδα εμφαίνεται πιο φυςικό ςτη άνω ςειρά [ L /T ] ), ε νξκή, ε δύλακε, ην έξγν θαη ε ηζρύο. Δίλαη θιάζκαηα κε αξηζκεηηθέο δπλάκεηο ηνπ ρώξνπ [ L ] θαη παξαλνκαζηηθέο δπλάκεηο ηνπ ρξόλνπ [ T ]. Ζ γξακκή θαη ε επηθάλεηα είλαη άρξνλεο θαη εγθεθαιηθέο έλλνηεο. Σα αλσηέξσ ήζαλ θίλεηξν γηα ηελ επαθή κνπ κε ηελ ΠΤΘΑΓΟΡΔΗΑ ζεσξία θαη αξγόηεξα κε ηε κειέηε ηνπ ΣΗΜΑΗΟΤ ηνπ ΠΛΑΣΩΝΑ, ηδηαίηεξα απηήο ησλ Πιαησληθώλ Σξηγώλσλ θαη δή ηνπ ΚΑΛΛΗΣΟΤ.

4 4 1.ΣΟ ΠΡΟΣΔΗΝΟΜΔΝΟ ΚΑΛΛΗΣΟ ΣΡΗΓΩΝΟ ΣΗΜΑΗΟΤ ΠΛΑΣΩΝΑ [ ρ.1] Πξώηνλ κελ δε ππξ θαη γε θαη ύδσξ θαη αήξ όηη ζώκαηά εζηί... ηνπ ζώκαηνο είδνο παλ θαη βάζνο έρεη... αλάγθε ηελ επίπεδνλ πεξηεηιεθέλαη θύζηλ... ε δε νξζή ηεο επηπέδνπ βάζεσο εθ ηξηγώλσλ ζπλέζηεθε... ηξίγσλα πάληα εθ δπνίλ άξρεηαη ηξηγώλνηλ, κίαλ κελ νξζήλ έρνληνο εθαηέξνπ γσλίαλ,... ηαο δε νμείαο. Σνηλ δε δπνίλ ηξηγώλνηλ ην κελ ηζνζθειέο κίαλ είιερε θύζηλ, ην δε πξόκεθεο απεξάληνπο. Πξναηξεηένλ νύλ αύ ησλ απείξσλ ην ΚΑΛΛΗΣΟΝ...ΣΡΗΠΛΖΝ ΚΑΣΑ ΓΤΝΑMIN ΔΥΟΝ ΣΖ ΔΛΑΣΣΟΝΟ ΣΖΝ ΜΔΗΕΩ ΠΛΔΤΡΑΝ ΑΔΗ. ρ. 1

5 5 ην ρσξίν 53 ηνπ ΣΗΜΑΗΟΤ, Ο ΠΛΑΣΩΝ νκηιεί πεξί ησλ ηξηγσληθώλ ζρεκάησλ ησλ ηεζζάξσλ ζηνηρεησδώλ ζσκάησλ ησλ εηδώλ ησλ θαη ησλ ζπλδπαζκώλ ησλ. Aπηά ηα ζώκαηα είλαη ε θσηηά, ε γε, ην λεξό θαη ν αέξαο. Δίλαη ζώκαηα θαη έρνπλ βάζνο. Σν βάζνο αλαγθαζηηθά πεξηέρεη ηελ επίπεδε επηθάλεηα, ε δε θάζεηε επί απηήο ηεο επηθάλεηαο είλαη πιεπξά ηξηγώλνπ, όια δε ηα ηξίγσλα γελλώληαη από δύν εηδώλ νξζνγώληα ηξίγσλα ην ηζνζθειέο νξζνγώλην θαη ην ζθαιελό νξζνγώλην. Απηή είλαη ε πηζαλόηεηα ηεο αξρήο ηεο δεκηνπξγίαο ηεο θσηηάο θαη ησλ άιισλ ζσκάησλ. Απηά ηα ζώκαηα είλαη ηέζζεξα, είλαη αλόκνηα κεηαμύ ησλ αιιά δύλαληαη λα δεκηνπξγνύληαη ην έλα από ην άιιν είδνο θαη λα δηαιύνληαη ην έλα ζην άιιν είδνο. Σπρόληεο ηνύηνπ έρνπκε ηελ αιήζεηα πεξί ηεο δεκηνπξγίαο ηεο γεο θαη ηεο θσηηάο θαη ησλ αλαιόγσλ ελδηακέζσλ απηώλ. Ωξαηόηεξα ζώκαηα από απηά κε ην δηθό ηνπ γέλνο ην θάζε έλα δε ζπκθσλνύκε κε άιιε άπνςε όηη ππάξρνπλ. Από ηα δύν είδε ηξηγώλσλ ην κελ ηζνζθειέο νξζνγώλην έρεη κόλν κία θύζε (δειαδή κία νξζή γσλία θαη δύν νμείεο ησλ 45 κνηξώλ), ην δε ζθαιελό έρεη άπεηξεο (δειαδή έρεη κία νξζή γσλία θαη δύν νμείεο δηαθνξεηηθώλ ηηκώλ ην εθάζηνηε άζξνηζκα ησλ νπνίσλ είλαη 90 κνίξεο). Από απηέο ηηο άπεηξεο θύζεηο μερσξίδνπκε έλα ηξίγσλν, ην πην σξαίν ηξίγσλν ην ΚΑΛΛΗΣΟ. Από ηα πνιιά ινηπόλ ηξίγσλα δερόκαζηε όηη ππάξρεη έλα ην πην σξαίν θαη αθήλνπκε απηά από ηα νπνία θαηαζθεπάδεηαη ην ηζόπιεπξν ηξίγσλν (έμη ηνλ αξηζκό ζθαιελά νξζνγώληα ηξίγσλα ησλ 30 θαη 60 κνηξώλ). Αο δηαιέμνπκε ινηπόλ δύν ηξίγσλα ηα νπνία είλαη ε βάζε θαηαζθεπήο, ηεο θσηηάο θαη ησλ άιισλ ζσκάησλ: Σν κελ ηζνζθειέο, ην δε ηξηπιήλ θαηά δύλακηλ έρνλ ηεο ειάηηνλνο ηελ κείδσ πιεπξάλ αεί. Σν κελ έλα ινηπόλ είλαη ην νξζνγώλην ηζνζθειέο, ην άιιν είλαη νξζνγώλην ζθαιελό, ε ππνηείλνπζα ηνπ νπνίνπ έρεη κήθνο ίζν κε θπβηθή δύλακε ηεο νξηδόληηαο κηθξήο θάζεηεο πιεπξάο, ε δε θάζεηε θαη κεγαιύηεξε πιεπξά είλαη ην ηεηξάγσλν ηεο κηθξήο θάζεηεο πιεπξάο [εξκελεία Π. ηεθαλίδε- ρ. 1 ]. Ζ ηηκή ηεο κηθξήο πιεπξάο είλαη ίζε κε ηελ ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο ρξπζήο ηνκήο, ν ιόγνο ησλ πιεπξώλ είλαη ίζνο πάιη κε ηελ ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο ρξπζήο ηνκήο (γεσκεηξηθή αλαινγία) θαη ε εθαπηνκέλε ηεο γσλίαο κεηαμύ ηεο ππνηείλνπζαο θαη ηεο κηθξήο θάζεηεο νξηδόληηαο πιεπξάο είλαη ίζε κε ηελ ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο ρξπζήο ηνκήο (Θ= 51ν κνίξεο). Ζ γσλία απηή πξνζεγγίδεη ηελ ππξακηδηθή. Σν γηλόκελν ηεο κηθξήο θάζεηεο πιεπξάο επί ηελ ππνηείλνπζα είλαη ίζν κε ην ηεηξάγσλν ηεο κεγάιεο θάζεηεο πιεπξάο ηνπ ηξηγώλνπ θαη ηζρύεη ζπγρξόλσο ην Ππζαγόξεην Θεώξεκα. Όιεο νη ηηκέο ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ απηνύ δίδνληαη κε αζύκκεηξνπο αξηζκνύο (ιύζε εμίζσζεο ηεηάξηνπ βαζκνύ). Αλαδηνξγαλώλνληαο ην ηξίγσλν ιακβάλνπκε έλα άιιν κε ηελ ίδηα γσλία θιίζεο, ην νπνίν έρεη ηελ κεγάιε θάζεην ίζε κε 4, ηελ κηθξή θάζεην ίζε κε ηέζζεξα δηεξεκέλν κε ηελ ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο ρξπζήο ηνκήο θαη ηελ ππνηείλνπζα ίζε κε 4 επί ηελ ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο ρξπζήο ηνκήο. Σν 4 δηα ηεηξαγσληθήο ξίδαο ηεο ρξπζήο ηνκήο είλαη ίζνλ κε

6 6 ηηο εζηάιε από ηνλ εηζεγνύκελν ζην W.I.P.O. έλα θείκελν κηαο ζειίδαο πνπ πεξηείρε ηα ζηνηρεία ελόο ηξηγώλνπ κε θάζεηε πιεπξά 4 νξηδόληηα πιεπξά : 1/ [= ] ππνηείλνπζα [ =4ρ ], γσλία κεηαμύ νξηδόληηαο κηθξήο πιεπξάο θαη ππνηείλνπζαο ίζε πξνο : Θ = 51ν κε ηελ νλνκαζία ην Δηδηθό Οξζνγώλην Σξίγσλν. Σν Δηδηθό Οξζνγώλην Σξίγσλν ήην απόξξνηα ηεο κειέηεο ηνπ βηβιίνπ ΣΟ ΜΤΣΖΡΗΟ ΣΖ ΜΔΓΑΛΖ ΠΤΡΑΜΗΓΑ ηνπ TOM VALENTINE, Δθδόζεηο ΩΡΟΡΑ (1981), ζην νπνίν αλαθέξεηαη όηη ν ΣΕΩΝ ΣΑΗΖΛΟΡ έθζαζε ζην ζπκπέξαζκα όηη ην εκβαδόλ ηεο θάζε πιάγηαο πιεπξάο ηεο ΜΔΓΑΛΖ ΠΤΡΑΜΗΓΑ είλαη ίζν κε ην ηεηξάγσλν ηνπ ύςνπο ηεο. Μεηά από απηή ηελ εξγαζία ηνπ Δηδηθνύ Οξζνγσλίνπ Σξηγώλνπ εξεπλήζεη ην θείκελν ηνπ ΣΗΜΑΗΟΤ ΣΟΤ ΠΛΑΣΩΝΑ, θαη εκειεηήζεη, βαζηθά, ην αξραίν (πξσηόηππν) θείκελν ζηα πην θξίζηκα ζεκεία ηεο γεσκεηξίαο. ηηο ν εηζεγνύκελνο απέζηεηιε πάιη ζην W.I.P.O. (WORLD INTELLECTUAL PROPERTY ORGANIZATION) έλα θείκελν κε ηίηιν : PLATO S TIMEOS - THE MOST BEAUTIFUL TRIANGLE Πξέπεη λα ζεκεησζεί επίζεο όηη ν ΠΛΑΣΩΝΑ νκηιεί πεξί ηεο θαηαζθεπήο ηνπ ζώκαηνο ηεο γεο (θύβνπ) από ην ηζνζθειέο ηξίγσλν ηα δε άιια ηξία ζώκαηα από ην ζθαιελό. Ζ κελ βάζε ηνπ θύβνπ (Δπηθάλεηεο επίπεδεο) από (4) ηζνζθειή νξζνγώληα ε δε βάζε ησλ άιισλ ζσκάησλ από (6) ζθαιελά ηνπ ηύπνπ 60 θαη 30 κνηξώλ. Δπίζεο ν ΠΛΑΣΩΝΑ νκηιεί θαη γηα κηα αθόκε (πέκπηε) δνκή πνπ ερξεζηκνπνίεζε ν Θεόο γηα ηε πκπαληηθή ρεδίαζε. πκπεξαίλεηαη εδώ όηη κέζσ ηνπ ΠΗΟ ΩΡΑΗΟΤ ΣΡΗΓΩΝΟΤ γίλεηαη ν πζρεηηζκόο, δηα ησλ Γεσκεηξηθώλ Αλαινγηώλ ησλ Πιεπξώλ ηνπ, ησλ Σεζζάξσλ ηνηρείσλ (Ππξ, Αήξ, Γε θαη Τδσξ), ήηνη Πύξ πξνο Αέξα είλαη ίζν κε Αέξα πξνο Τδσξ είλαη ίζν κε Τδσξ πξνο Γε, είλαη ίζν κε Σ όπνπ Σ είλαη ίζν κε ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο ρξπζήο ηνκήο. ήηνη Σ = = ( Όηη πεξ πύξ πξνο αέξα, ηνύην αέξα πξνο ύδσξ, θαη όηη αήξ πξνο ύδσξ, ύδσξ πξνο γήλ, μπλέδεζε...νπξαλόλ... 32C).

7 7 2. ΑΝΑΦΟΡΔ Δ ΔΡΓΑΗΔ ΥΔΣΗΕΟΜΔΝΔ ΜΔ ΣΖΝ TEXNH KAI TH ΓΔΩΜΔΣΡΗΑ ΣΖΝ ΔΛΛΑΓΑ Πξνηνύ πξνρσξήζσ, πεξαηηέξσ, ζηηο έξεπλέο κνπ ζην ζέκα απηό, ζα αλαθεξζώ ζηηο εξγαζίεο ησλ δηαθόξσλ εξεπλεηώλ πνπ ζρεηίδνληαη κε ηελ Σέρλε ζηελ Διιάδα, ηηο πξνεθηάζεηο ηεο ζηελ Δπξώπε θαη αιινύ θαη ζπλδένληαη κε ηελ Γεσκεηξία. Ζ εγθπθινπαίδεηα BRITANNICA (ΣΟΜΟ 10, ΔΚΓΟΖ 1972, ΔΛ. 829, GREEK ARCHITECTURE) αλαθέξεη όηη:... To the Greeks fell the role of inventing the grammar of conventional forms on which all subsequent European Architecture was based...). (... Έηπρε ζηνπο Έιιελεο ν ξόινο λα επηλνήζνπλ ηε γξακκαηηθή ησλ ζπκβαηηθώλ ηύπσλ επάλσ ζηνπο νπνίνπο βαζίζηεθε όιε ε Δπξσπατθή Αξρηηεθηνληθή...).... Greek was the patient genius with which they perfected every element, rarely deviating from the forward path to invent new forms or new solutions of old problems. This conservative adherence to older types has led to such masterpieces as the Parthenon and Erechtheum... (... Διιεληθό ήην ην δαηκόλην ηεο ππνκνλήο κε ην νπνίν νη Έιιελεο ηειεηνπνίεζαλ θάζε ζηνηρείν, ζπάληα απνθιίλνληεο, από ηελ πνξεία ηνπο πξνο ηα εκπξόο, γηα λα αλαθαιύςνπλ λένπο ηύπνπο ή λέεο ιύζεηο ηνπ παιαηνύ πξνβιήκαηνο. Απηή ε ζπκβαηηθή ζπλνρή ζηνπο παιαηόηεξνπο ηύπνπο ηνπο νδήγεζε ζε ηέηνηα αξηζηνπξγήκαηα όπσο ηνλ Παξζελώλα θαη ην Δξερζείν...). Καηά ην Θενθάλε Μαληά [3], ην ειιεληθό θάιινο θαη ην ειιεληθό πλεύκα επξίζθεηαη ζε πνιιά έξγα ηεο αξραηόηεηαο, ηα νπνία δελ αθάληζε ν ρξόλνο, ν ζάλαηνο ησλ αλζξώπσλ ή ν θαλαηηζκόο θαη ε καλία ησλ ιαώλ. Πόιεηο θαη ηεξά αλεγείξνλην κε πξνγξακκαηηζκό θαη επηζηεκνληθό ππνινγηζκό. Θξεζθεία ησλ αξραίσλ ήην ε απόιπηε νκνξθηά θαη νη Έιιελεο επίζηεπαλ σο ζεό ην απόιπην απηό θάιινο. Κάιινο αηζζεηηθό, νπηηθό εηο ηα ζρήκαηα θαη ηα ρξώκαηα θαη αθνπζηηθό κε ηελ θαιή κνπζηθή θαη θάιινο εζηθό πνπ εύξηζθαλ εηο ηελ Αξεηή θαη θάιινο πλεπκαηηθό πνπ ην εύξηζθαλ εηο ηελ θαιή κάζεζε θαη γλώζε. Καη όια απηά ηα είδε ηεο νκνξθηάο ηα θαηαθηνύζε θαη ηα έβιεπε ν άλζξσπνο κέζσ ηνπ έξσηα, δηόηη ν έξσηαο απεηέιεη ηε ζπλεθηηθή νπζία ηνπ αξκνληθνύ ζύκπαληνο.

8 8 Οη Αξραίνη είραλ κειεηήζεη κε ζξεζθεπηηθή επιάβεηα ην ζέκα. Δίραλ παξαηεξήζεη όηη εηο ηε θύζε ππήξρε θαη άιιε νκνξθηά, πέξα από απηήλ ηε θαλεξή αξκνλία πνπ ζήκεξα νη δηαθνζκεηέο, νη αξρηηέθηνλεο θαη γεληθά νη αζρνινύκελνη κε ηελ αηζζεηηθή θαη ηελ ηέρλε ρξεζηκνπνηνύλ, ε αθαλήο γεσκεηξηθή αξκνλία. Ο θύθινο, ην ηεηξάγσλν, ην ηζόπιεπξν ηξίγσλν, ην θαλνληθό εμάγσλν, νη ππξακίδεο, ν θύβνο θιπ. έρνπλ θαλεξή νκνξθηά. Ζ θαλεξή αξκνλία ήην ην είδνο εθείλν ηεο νκνξθηάο, ην νπνίν αληηιακβάλεηαη ν αλζξώπηλνο νθζαικόο θαη ην επξίζθεη ζε απηά ηα γεσκεηξηθά ζρήκαηα. Δηο ηα θύιια ησλ δέλδξσλ, εηο ηα πέηαια ησλ αλζέσλ, εηο ηνπο θνξκνύο θαη ηα θιαδηά ησλ θπηώλ, εηο ηα ζώκαηα ησλ δώσλ θαη πξνπάλησλ εηο ην ζώκα ηνπ αλζξώπνπ, αλεθάιπςαλ ζπκκεηξίεο θαη αλαινγίεο θαη άιιεο καζεκαηηθέο ζρέζεηο πνπ ζπλέζεηαλ κίαλ αθαλή αξκνλία ζρεκάησλ θαη ρξσκάησλ, αλώηεξε από ηε θαλεξή αξκνλία. Απηή ηελ αθαλή αξκνλία επξίζθνκε ζε όιεο ηηο εθδειώζεηο ηνπ πνιηηηζκνύ ησλ Διιήλσλ. ΝΑΥΤΙΛΟΣ ρ. 2

9 9 Γεσκεηξηθόο πζρεηηζκόο [ ρ.3]ηνπ Καιιίζηνπ Σξηγώλνπ κε έλα θέιπθνο Ναπηίινπ [ρ.2], ρεδηάδνληάο ησλ Βάζεη Τπνινγηζκώλ [θαηά πξνζέγγηζε]ησλ Γηαζηάζεώλ ηνπ. ρ. 3

10 10 ρ. 4Α

11 11 ρ. 4Β

12 12 Καηά ηνλ Δπάγγειν ηακάηε (Διιεληθά Μαζεκαηηθά ΑΡ. 4 Β έθδνζε 1979) ν Θ. ΜΑΝΗΑ [ 3-4 ] αλαθάιπςε όηη ηα παλάξραηα ηεξά ηεο Αξραίαο Διιάδαο έρνπλ θηηζζεί βάζεη γεσκεηξηθώλ ππνινγηζκώλ θαη κεηξήζεσλ. Δηο ηηο απνζηάζεηο κεηαμύ ησλ ηεξώλ απηώλ ν θ. Θ. Μαληάο παξαηεξεί εθαξκνγή ηνπ θαλόλα ηεο ρξπζήο ηνκήο. Ο Δ. ηακάηεο επίζεο αλαθέξεη όηη ν Γεξκαλόο ιόγηνο Max Steck, Καζεγεηήο ηνπ Πνιπηερλείνπ ηνπ Μνλάρνπ, ζε άξζξν ηνπ πνπ δεκνζίεπζε εηο ην πεξηνδηθό Έξεπλα θαη Πξόνδνο, ππνζηεξίδεη όηη ν πνιηηηζκόο ηεο Γύζεο, νη θαιέο ηέρλεο θαη επηζηήκεο, πξνέξρνληαη από ηελ επίδξαζε ησλ ειιεληθώλ καζεκαηηθώλ. Οη πεγέο πνπ ιακβάλνπκε γλώζε πεξί ησλ ειιεληθώλ καζεκαηηθώλ είλαη νη αξραηνινγηθέο έξεπλεο θαη ηα ζπγγξάκκαηα ησλ αξραίσλ ζπγγξαθέσλ. ηα βηβιία ηνπ ν MATILA GHYKA [ 1-2 ], παξνπζηάδεη εθηελέζηαηα ηηο ζρέζεηο ηεο ρξπζήο ηνκήο, ζε ζπλδπαζκό κε θσηνγξαθηθό πιηθό, κε ζέκαηα δσγξαθηθήο, γιππηηθήο, αξρηηεθηνληθήο αλζξσπίλσλ ζσκάησλ θαη πξνζώπσλ, θαζώο θαη ζσκάησλ δώσλ θαη θπηώλ, ζε ζπλδπαζκό κε γεσκεηξία θαη θειπθώλ κε ινγαξηζκηθέο ζπείξεο. Οκνίσο ν ROBERT LAWLOR [ 5 ], επεμεξγάδεηαη απηά ηα ζέκαηα, αιιά επηπξόζζεηα αλαθέξεη όηη επηζηεύεην όηη νη Αηγύπηηνη ζηελ ππξακηδηθή θαηαζθεπή ερξεζηκνπνίεζαλ ηνλ ιόγν 4/ θ σο ιόγν πεξηθεξείαο θύθινπ πξνο ηε δηάκεηξόλ ηνπ (δειαδή ν ιόγνο ηέζζεξα, δηαηξνύκελν δηα ηεο ηεηξαγσληθήο ξίδαο ηεο ρξπζήο ηνκήο) δηαθέξεη από ηελ ηηκή πνπ ρξεζηκνπνηείηαη ζήκεξα ζηελ επηζηήκε, ηελ ηερλνινγία θαη ηα καζεκαηηθά θαηά έλα ρηιηνζηό πεξίπνπ κόλν. Ο MAX TOTH αλαθέξεη αληίζηνηρα απηόλ ην ιόγν σο ρξήζηκν ηύπν θαηά πξνζέγγηζε, θαζώο επίζεο αλαθέξεη όηη από ηνλ Ζξόδνην, νη καζεκαηηθνί έρνπλ θαηαιήμεη ζε έλα νξζνγώλην ηξίγσλν, ηνπ νπνίνπ ε κία πιεπξά θάζεηνο είλαη ίζε κε ηε κνλάδα, ε ππνηείλνπζα ίζε κε θ θαη ε άιιε θάζεηνο ίζε κε θ. ηηο εξγαζίεο κνπ (1986) θαηέιεμα ζε έλα εηδηθό ζθαιελό νξζνγώλην ηξίγσλν [ LMN ] ηνπ νπνίνπ ε κία εθ ησλ δύν νμεηώλ γσληώλ ηνπ έρεη εθαπηνκέλε ηελ ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο ρξπζήο ηνκήο.

13 13 ρεδηαζκόο κε θαλόλα θαη δηαβήηε [ρ.5] ηεο γσλίαο Θ [ Σεηξαγσληθήο Ρίδαο ηεο Υξπζήο Σνκήο], κέζσ ηεο γλσζηήο θαηαζθεπήο ηεο γσλίαο Φ [ Υξπζήο Σνκήο]. ρ. 5

14 14 3. Ο ΠΛΑΣΩΝ ΟΜΗΛΔΗ ΓΗΑ ΣΟ ΚΑΛΛΗΣΟ ΟΡΘΟΓΩΝΗΟ ΚΑΛΖΝΟ ρ. 6

15 15 Ο Πιάησλ ζηνλ Σίκαην ηνπ νκηιεί γηα ην"θάιιηζην" νξζνγώλην ζθαιελό ηξίγσλν. Όπσο έρεη απνδνζεί ζηηο Διιεληθέο, Αγγιηθέο, Γαιιηθέο θαη πηζαλόηαηα θαη ζε κεηαθξάζεηο άιιεο, απηό ην ηξίγσλν, είλαη ην γλσζηό νξζνγώλην ζθαιελό ηξίγσλν ησλ 30 θαη 60 κνηξώλ Με έμη δε ηέηνηα ζθαιελά ηξίγσλα [30-60 κνηξώλ], θαηαζθεπάδεηαη ην ηζόπιεπξν ηξίγσλν. Απηό ην ηζόπιεπξν ηξίγσλν επξίζθεηαη ζηηο έδξεο ηνπ εηθνζαέδξνπ, νθηαέδξνπ θαη ηεηξαέδξνπ. Πξάγκαηη ν Πιάησλ έρεη αλαιύζεη απηό ην ζθαιελό [30-60 κνηξώλ], νξζνγώλην ηξίγσλν, εθηελέζηαηα, αιιά δελ νκηιεί κόλν γηα ηα ζθαιελά απηά θαη ην εμ απηώλ ζπληηζέκελν ηζόπιεπξν ηξίγσλν, ή επηθαλεηαθά κόλν γηα ηα ζηεξεά ηνπ. Αλαιπηηθά, αιιά θάπσο όρη ηόζν απνθαιππηηθά νκηιεί δηα ην βάζνο ησλ ζηεξεώλ ηνπ. Ζ θαιύηεξε κέζνδνο δηα λα θαηαιάβνπκε ηηο έλλνηεο ηνπ βάζνπο ησλ ζηεξεώλ, είλαη λα θάλνπκε ηνκέο απηώλ θαη λα ηηο αλαιύζνπκε πξνζεθηηθά. Πξνθαλώο ν Πιάησλ αληηιακβάλεηαη όηη ζα ππάξμεη πξνβιεκαηηζκόο ζηελ δηεξεύλεζε ησλ ηξηγώλσλ ηνπ, όζνλ αθνξά ην δηαρσξηζκό θαη πξνζδηνξηζκό απηώλ θαη δηα ηνύην αλαθέξεη: "... Αλ νύλ ηηο έρε θάιιηνλ εηπείλ εηο ηελ ηνύησλ μύζηαζηλ, εθείλνο νπθ ερζξόο ώλ αιιά θίινο θξαηεί...". 4.ΣΟΜΔ ΚΑΗ ΥΔΔΗ ΠΟΛΤΔΓΡΩΝ Από ηηο ηνκέο ησλ πέληε πιαησληθώλ ζηεξεώλ ελδηαθέξνπζα είλαη ε ηνκή ηνπ εηθνζαέδξνπ - ύδσξ [ ρ. 7]. Γηα ησλ ηνκώλ ησλ ηεζζάξσλ ζηεξεώλ επξίζθνπκε ηνπο ακνηβαίνπο ζπζρεηηζκνύο απηώλ, δειαδή ηνπ εηθνζαέδξνπ [ ρ.7] κε ηνλ θύβν κε ην ηεηξάεδξν θαη κε ην νθηάεδξν [ 8 ].

16 16 ΤΓΩΡ ΣΟΜΖ ΔΗΚΟΑΔΓΡΟΤ [ Π.Υ.ΣΔΦΑΝΗΓΖ] ρ.7

17 17 ρ. 8 Δπί πιένλ, εάλ ζπλελώζνπκε ηηο ηνκέο ησλ ηξηώλ ζηεξεώλ, εηθνζαέδξνπ[ ρ. 7], νθηαέδξνπ θαη ηεηξαέδξνπ, απνκέλεη έλα θελό ην νπνίν είλαη ηξηγσληθό[ ρ. 9]. ηελ ηνκή, ηέινο, ηνπ δσδεθαέδξνπ [ ρ. 8 ]αλεπξίζθνπκε έλα ηξίγσλν, ην νπνίν πιεξνί ην πξναλαθεξζέλ θελό.

18 18 By P.STEFANIDES ρ. 9 Έηζη έρνπκε θαη ην ζπζρεηηζκό ηνπ δσδεθαέδξνπ κε ηα άιια ηέζζεξα πιαησληθά ζηεξεά, ην νπνίν είρε ζεσξεζεί σο ην πέκπην ζηεξεό ηνπ Πιάησλα, κε ην όλνκα αηζήξ, από ηνπο θηινζόθνπο [ ρ.9].

19 19 5. ΤΥΔΣΗΜΟ ΠΟΛΤΔΓΡΩΝ ΜΔ ΔΝΑ ΠΡΟΣΤΠΟ ΜΔΓΑΛΖ ΠΤΡΑΜΗΓΑ Πέξαλ ησλ ρξπζώλ ηνκώλ ηνπ [ΔΗΚΟΑΔΓΡΟΤ θαη ΓΩΓΔΚΑΔΓΡΟΤ], επξίζθνκε ζην ΔΗΚΟΑΔΓΡΟ Παξαιιειόγξακκα [ ρ.11] θαη ηξίγσλα πιεπξώλ αλαιόγσλ απηώλ ΠΡΟΣΤΠΟΤ ηεο Μεγάιεο Ππξακίδαο, ηα νπνία θαηάιιεια ζπλελνύκελα έρνπλ βάζε ηεηξάγσλν θαη απνηεινύλ όια καδί έλα Πξόηππν[ ρ. 10] Μεγάιεο Ππξακίδα { κέζσ ηεο νπνίαο θαηαζθεπάδνπκε [ ρ. 11], ην Δηθνζάεδξν },ηα άιια Βαζηθά Πνιύεδξα θαη ηηο Γεσκεηξηθέο Μνξθέο νη νπνίεο ρεηίδνληαη κε απηά, θαη Λνγαξηζκηθέο πείξεο[ ρ.23] ρ. 10

20 20 ΚΑΣΑΚΔΤΖ ΠΟΛΤΔΓΡΩΝ ΜΔΩ ΚΑΣΑΚΔΤΖ ΜΔΓΑΛΖ ΠΤΡΑΜΗΓΟ ρ ΠΡΟΣΔΗΝΟΜΔΝΖ ΚΑΣΑΚΔΤΖ ΩΜΑΣΟΔΗΓΟΤ Από ηε θξάζε ηνπ Πιάησλα (ρσξίν 54, Σηκαίνπ) "ηξηπιήλ θαηά δύλακηλ έρνλ ηεο ειάηηνλνο ηελ κείδσ πιεπξάλ αεί" ζηελ νπνία ν Πιάησλ νκηιεί γηα ην "θάιιηζην" νξζνγώλην ζθαιελό ηξίγσλν θαη από ηα ρσξία 31, 32 Σηκαίνπ, ζηα νπνία νκηιεί γηα κία "θάιιηζηε" αλαινγία ζπλέλσζεο ησλ ηεζζάξσλ ζηεξεώλ ηνπ, εηο ην λα γίλνπλ "ΔΝΑ" [ρ.6].

21 21 ρ. 12 Σεηξάεδξν νλνκαζζέλ σκαηνεηδέο,[ρ. 12] δηα αλαιύζεσο απηώλ ησλ αλαινγηώλ δηα ηεζζάξσλ ηξηγσληθώλ επηθαλεηώλ ζπλελνπκέλσλ ζε ζύζηεκα (3) νξζνγσλίσλ αμόλσλ θαηαιήγνπκε ζην νξζνγώλην ηξίγσλν, ηνπ νπνίνπ ε εθαπηνκέλε ηεο κίαο νμείαο γσλίαο είλαη ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο ρξπζήο ηνκήο, ε ππνηείλνπζά ηνπ είλαη ε ηξίηε δύλακε ηεο κηθξήο θαζέηνπ πιεπξάο θαη ε κεγάιε θάζεηνο είλαη ίζε κε ην ηεηξάγσλν ηεο κηθξήο[ ρ. 12]. Ζ ηηκή δε ηεο κηθξήο θαζέηνπ δηα ιύζεσο ηεο ηεηάξηνπ βαζκνύ εμηζώζεσο ηνπ ηξηγώλνπ, δηα ηνπ Ππζαγνξείνπ Θεσξήκαηνο, επξίζθεηαη[ρ. 13] λα είλαη ίζε κε ηελ ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο ρξπζήο ηνκήο ( παξόκνην, αιιά όρη ίδην κε ην ηξίγσλν Kepler / Magirus [7] ).

22 22 7. ΤΥΔΣΗΜΟ ΚΑΛΛΗΣΟΤ ΣΡΗΓΩΝΟΤ ΜΔ ΚΤΚΛΟΤ ΣΔΣΡΑΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΖΛΟΓΡΑΜΜΑ ΣΟ ΠΡΟΣΔΗΝΟΜΔΝΟ ΚΑΛΛΗΣΟ ΣΡΗΓΩΝΟ ΣΗΜΑΗΟΤ ΠΛΑΣΩΝΑ, ΚΤΡΗΟ ΘΔΩΡΖΜΑ ΣΔΣΡΑΓΩΝΗΜΟΤ, ΒΑΗΜΔΝΟ ΣΟ ΜΔΟ ΑΝΑΛΟΓΟ [Σ ] ρ. 13

23 23 Γηά ηνπνζεηήζεσο ηνπ ηξηγώλνπ κέζα ζε έλα θύθιν έηζη ώζηε ε ππνηείλνπζά ηνπ λα είλαη ρνξδή ηόμνπ ηνπ θύθινπ, ιακβάλνληαη καζεκαηηθνί ζπζρεηηζκνί θαη ζπκκεηξίεο. ΤΥΔΣΗΖ ΠΔΡΗΦΔΡΔΗΑ ΚΤΚΛΟΤ ΜΔ ΔΜΒΑΓΟΝ ΣΔΣΡΑΓΩΝΟΤ ρ. 14

24 24 ΘΔΩΡΔΣΗΚΟ ΚΤΚΛΟ ΠΡΟΤΠΟΘΔΖ ΣΔΣΡΑΓΩΝΗΜΟΤ ρ. 15

25 25 AUTOCAD DRAWING - ΥΔΓΗΑΜΟ ΜΔ ΥΡΖΖ AUTOCAD ρ. 16

26 26 PCST GEOMETRY Copyright Eur Ing P.Stefanides CEng MIET - AUTOCAD DRAWING ΜΔΓΔΘΤΝΖ ΣΟΤ ρ. 18 ρ. 17 PCST GEOMETRY - - ΥΔΓΗΑΜΟ ΜΔ ΥΡΖΖ AUTOCAD ΖΜΔΗΟ ΜΔΓΗΣΖ ΤΜΜΔΣΡΗΑ [PCST : X=0, Y=0, ] MAXIMUM SYMMETRY PCST POINT ON THE CIRCLE THE SQUARE THE TRIANGLE ΚΟΚΚΗΝΔ ΓΡΑΜΜΔ δηα π = ΜΑΤΡΔ ΓΡΑΜΜΔ δηα π = = ΠΥ ΠΡΑΗΝΔ ΓΡΑΜΜΔ δηα π = ρ. 18

27 27 SPACE THESIS 2001 Copyright Panagiotis Stefanides For any circle, if a chord, such as (DH) is a quarter of the circles circumference, then the square, such as (DKLM) has an area equal to that of the circle, and perimeter of square (DHRS) equal to the circumference of the circle ρ. 19

28 28 ΚΑΣΑΚΔΤΖ ΜΔ ΥΡΖΖ ΚΑΝΟΝΑ ΚΑΗ ΓΗΑΒΖΣΖ Pi IRRATIONAL, POSITIVE REAL ROOT OF FOURTH ORDER EQUATION ρ. 20Α

29 29 Pi IRRATIONAL, POSITIVE REAL ROOT OF FOURTH ORDER EQUATION ρ. 20Β

30 30 AUTOCAD DRAWING - ΥΔΓΗΑΜΟ ΜΔ ΥΡΖΖ AUTOCAD ρ. 21

31 31 AUTOCAD DRAWING - ΥΔΓΗΑΜΟ ΜΔ ΥΡΖΖ AUTOCAD QUADRATURE [ OR SQUARING OF THE CIRCLE]CONDITIONS ACHIEVED By THE SPECIAL QUADRATURE TRIANGLE [By Panagiotis Chr. Stefanides] ρ. 22

32 32 πκπεξάζκαηα: ηελ εξγαζία απηή, έγηλε πξνζπάζεηα λα θαηαδεηρζεί ό,ηη ην ηξίγσλν πνπ αλαθέξεη ν Πιάησλ σο Κάιιηζην είλαη ην πξνηεηλόκελν ζηελ εηζήγεζε απηή, δειαδή ην αξκνληθό κε πιεπξέο Σ^3, Σ^2 θαη Σ^1, θαη όρη απηό ησλ 30 / 60 κνηξώλ νξζνγώλην κε ην νπνίν θαηαζθεπάδνληαη νη έδξεο ησλ 3 Πιαησληθώλ ηεξεώλ [ Σεηξάεδξν, Οθηάεδξν θαη Δηθνζάεδξν], ζε ζπκθσλία κε ηελ πξόηαζε ηνπ Πιάησλα ό,ηη όια ηα ηξίγσλα δεκηνπξγνύληαη από δύν ηξίγσλα. Δπίζεο πξνηάζεθε ν ηξόπνο ηεο ζηαδηαθήο κεζόδνπ θηηζίκαηνο ησλ 5 ηεξεώλ από Ίρλε [πιηθά] ησλ 4 ηνηρείσλ, δηα ησλ ζπκκεηξηώλ[ ρ. 17, 18] θαη ζπζρεηηζκώλ ησλ Γεσκεηξηθώλ Μνξθώλ[ Σεξαγσλα[ρ.20Α, Β θαη ρ. 21,22],Κύθινπο ρ.15, 16], Σξίγσλα, Παξαιιειόγξακκα] θαη πζρεηηζκό Λνγαξίζκσλ θαη Λνγαξηζκηθώλ πεηξώλ, από ην Οξζνγώλην Ηζνζθειέο θαη ην Οξζνγώλην θαιελό,ην Κάιιηζην[ρ. 23]. Photο 1 Phoτο 2 Photο 3 Photο 4 Photο 5 Photο 6 Photο 7 Photο 8 Photο 9 Photο 10 Photο 11 Photo 12 Photo 13 Photo 14 Photo 15 Photo 16 ρ. 23

33 33 Abstract in English Proposed Geometry of the Platonic Timaeus This work, proposes a different interpretation of Plato s Most Beautiful Triangle. In section 53/54, of PLATO'S "TIMAEUS", PLATO speaks about the triangular shapes of the Four Elemental Bodies, of their kinds and their combinations: These Bodies are the Fire (Tetrahedron) the Earth (Cube), the Water (Icosahedron), and the Air (Octahedron). These are bodies and have depth. The depth necessarily, contains the flat surface and the perpendicular to this surface is a side of a triangle and all the triangles are generated by two kinds of orthogonal triangles: the "ISOSCELES" Orthogonal and the "SCALΕΝΕ" Orthogonal. From the two kinds of triangles the "Isosceles" Orthogonal has one nature. (i.e. one rectangular angle and two acute angles of 45 degrees), whereas the "scalene" has infinite (i.e. it has one rectangular angle and two acute angles of variable values having, these two acute angles, the sum of 90 degrees). From these infinite natures we choose one triangle "THE MOST BEAUTIFUL". Thus, from the many triangles, we accept that there is one of them "THE MOST BEAUTIFUL. Let us choose then, two triangles, which are the basis of constructing the Fire and the other Bodies : "Το μεν ιζοζκελές, ηο δε ηριπλήν καηά δύναμιν έτον ηης ελάηηονος ηην μείζω πλεσράν αεί." Proposed New Interpretation: One of these two is the "ISOSCELES" orthogonal triangle, the other is the "SCALENE" orthogonal triangle, its hypotenuse having a value equal to the "CUBE" of the value of its horizontal smaller side and having its vertical bigger side the value of the "SQUARE" of its smaller horizontal side. The value of the smaller horizontal side is equal to the square root of the Golden Number, the ratio of the sides is equal, again, to the Square Root of the Golden Number (geometrical ratio) and the Tangent of the angle between the hypotenuse and the smaller horizontal side is also equal to the Square Root of the Golden Number (Θ = degrees). The product of the smaller horizontal side and that of the hypotenuse is equal to the "SQUARE" of the bigger vertical side, and the following equation holds: T^4-T^2-1=0, T = SQRT [(SQRT.(5) + 1)/2]. N.B. Kepler [ Magirus] Triangle is a similar one but not the same:

34 34 εκεηώζεηο 1. (A) by-title/2631-a-diferential-light-amplifier-applicable-to-a-solarlocator-and-tracker ( B ) 2. ROOT GEOMETRIES STRUCTURING THE ICOSAHEDRON, THE OTHER BASIC POLYHEDRA AND THE GEOMETRIC FORMS RELATED TO THEM-By Panagiotis Stefanides : 3. All triangles derive their origin from two triangles [ Pl.Ti. 53 D]. By Panagiotis Stefanides: 3. Logarithm Spiroid Definition By Panagiotis Stefanides:

35 35 Αλαθνξέο [ 1 ] THE GEOMETRY OF ART AND LIFE, MATILA GHYKA DOVER PUBLICATION, INC. NEW YORK [ 2 ] LE NOMBRE D'OR MATILA C. GHYKA GALLIMARD [ 3 ] ΠΑΡΘΔΝΩΝ ΘΔΟΦΑΝΖ ΜΑΝΗΑ ΠΤΡΗΝΟ ΚΟΜΟ [ 4 ] ΣΑ ΑΓΝΩΣΑ ΜΔΓΑΛΟΤΡΓΖΜΑΣΑ ΣΩΝ ΑΡΥΑΗΩΝ ΔΛΛΖΝΩΝ ΘΔΟΦΑΝΖ ΜΑΝΗΑ ΠΤΡΗΝΟ ΚΟΜΟ [ 5 ] SACRED GEOMETRY - ROBERT LAWLOR THAMES AND HUDSON [ 6 ] ΣΟ ΠΗΟ ΩΡΑΗΟ ΣΡΗΓΩΝΟ - ΣΗΜΑΗΟ ΠΛΑΣΩΝΟ Π.Υ. ΣΔΦΑΝΗΓΖ, Α ΤΝΔΓΡΗΟ ΗΣΟΡΗΑ ΚΑΗ ΦΗΛΟΟΦΗΑ ΣΩΝ ΑΡΥΑΗΩΝ ΔΛΛΖΝΗΚΩΝ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΩΝ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΖ ΔΣΑΗΡΔΗΑ ΗΓΡΤΜΑ ΔΡΔΤΝΩΝ 2-4 ΜΑΡ [ 7 ] ROGER HERZ-FISCHLER- Division in EXTREME and MEAN RATIO Wilfrid Laurier University Press, [ 8 ] ΓΔΩΜΔΣΡΗΚΔ ΔΝΝΟΗΔ ΣΟΝ ΠΛΑΣΩΝΑ ΥΔΖ ΣΟΤ ΜΔ ΣΖΝ ΣΔΥΝΖ. Π.Υ. ΣΔΦΑΝΗΓΖ, ΔΠΗΜΔΛΖΣΖΡΗΟ ΔΗΚΑΣΗΚΩΝ ΣΔΥΝΩΝ ΔΛΛΑΓΟ, ΓΖΜΟΚΡΗΣΔΗΟ ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΘΡΑΚΖ, ΝΟΔΜΒΡΗΟΤ [ 9 ] PAPER : Publication: Golden Root Symmetries of Geometric Forms The journal of the Symmetry: Culture and Science,Volume 1q7,Numbers 1-2, 2006, pp Editor: Gyorgy Darvas. Conference :SYMMETRY FESTIVAL 2006, BUDAPEST HUNGARY. [10] Presentation, Symmetries of the Platonic Triangle, by Panagiotis Stefanides, The IET Today and Symmetries of the Platonic Triangle, Technical Chamber of Greece, 30 Oct [11] Golden Root Symmetries of Geometric Forms, Book Published by Eur Ing Panagiotis Chr. Stefanides BSc(Eng)Lon(Hons) CEng MIET MSc(Eng)Ath MTCG. [12] Copyright Panagiotis Stefanides